第三章 远期和期货价格


　　在本章中，我们将讨论远期价格和期货价格与其标的资产价格之间的相 互关系。因为不是每日结算，分析远期合约一般来说比分析期货合约容易些。 因此，本章的第一部分的大多数分析是：直接进行远期定价而非期货定价。 幸运的是，我们可以看到，当同一资产的远期和朋货两种合约的到期日相同 时，该资产的远朋价格和期货价格是非常近似的。即可以认为所获得的有关 远期价格的结论也适用于期货价格。
本章的第一部分对如下几方面：
1.无收益的证券；
2.提供已知现金收益的证券；
3.提供已知红利收益的证券的远期合约提供了关键解答。 本章的第二部分将利用以上分析的结果来计算股票指数、外汇、黄金和
白银的期货合约价格。 本章将明确区分两类资产：一类是众多投资者仅为了进行投资而持有的
资产；另一类是几乎完全为了进行消费而持有的资产。基于前一类资产的远 期和期货价格能够以相对直接了当的方法进行定价，而那些基于后一类资产 的合约却不能这样定价。在本书的后面，我们将发现在为期权以及其它更复 杂的衍生证券定价时，做如上的划分也是十分必要的。

3.1 某些预备知识

在开始计算远期合约价格之前，给出如下的预备知识是十分有用的。

连续复利
　　在本书中，除非特别说明，所使用的利率均以连续复利来计算。习惯于 以一年、半年或其它方式来计算复利的读者可能会有些陌生。但是，在期权 以及其它复杂衍生证券定价时，连续复利得到广泛的应用，因而从现在开始 就熟悉它是很有必要的。
假设数额 A 以年利率 R 投资了 n 年。如果利率按每一年计一次复利计算，
则以上投资的终值为：
n
A（l＋R）


如果每年计 m 次利息，则终值为：
R mm

A?1? ?
? m?

（3.1）

　　设 A＝$100，每年 R＝10％，n＝1，即我们考虑一年的情形。当我们一年 只计一次复利（m＝1）时，从公式可知$100 增长到
　　　$100×1.1＝$110

当我们一年计两次利息（m＝2）时，从公式可知$100 增长到
$100×1.05×1.05＝$110.25

当我们一年计四次利息（m＝4）时，从公式可知$100 增长到
$100×1.025 ＝$110.38


　　表 3.1 表示了进一步提高复利频率所带来的效果（即提高 m）。当 m 趋 于无穷大时，就称为连续复利（continuous compounding）。在连续复利情 况下，数额 A 以利率 R 投资 n 年后，将达到：
　　
A?Rn

（3.2）



这里 e 是一个数学常数，2.71828。在表 3.1 的例子中，A＝100，n＝1.R
＝0.10，因此，A 以连续复利计息将增长到：
100?0.1 ? 110.52


这个数值（精确到小数点后两位）与用每天计复利得到的结果一样。从
大部分实用目的来看，通常认为连续复利与每天计复利等价。对一笔以利率
Rn

R 连续复利 n 年的资金，其结果是乘上 e
-Rn

。对一笔以利率 R 连续复利贴现 n

年的资金，则应乘上 e 。
　　假设 R1 是连续复利的利率，R2 是与之等价的每年计 m 次复利的利率，从 式（3.1）和（3.2），我们有：
? R

A?R1n ?

A?1 ? 2 ?

? m ?



或

?R1



? ?1 ?



R2 ?
?

? m ?





表 3.1 复利频率

提高计复利的频率对$100 在一年末的价值的影响，利率为每年 10 ％
复利频卒 $100 在一年末的价值（美元）
每一年（ m ＝ 1 ） 110.00
每半年（ m ＝ 2 ） 110.25 每季度（ m ＝ 4 ） 110.38 每月（ m ＝ 12 ） 110.47 每周（ m ＝ 52 ） 110.51 每天（ m ＝ 365 ） 110.52








这意味着：

? R ?

R ? m ln?1 ? 2 ?

(3.3)

1 ? m ?



和
R ? m??R1 / m ? 1?



(3.4)



这些公式可将复利频率为每年计 m 次的利率转换为连续复利的利率，反
之亦然。ln 为取自然对数。它的定义是：如果 y＝lnx，则 x＝e 。


例 3.1
考虑一个年息为 10％的利率，半年计一次息，利用式（3.3）,m=2，R2
＝0.10，可得到一个等价的连续复利的利率为：
　　2ln（1 十 0.05）＝0.0758 或年利息 9,758％。

例 3.2
假设债权人给出贷款利息为年息 8％，连续复利计息。而实际上利息时
一季度支付一次。利用式（3.4）,m=4，R1＝0.08，每季度计一次息的等价年 利率为：
4??0.02 ? 1? ? 0.0808


或年利率为 8.08％。这意味着，对于$1,000 的贷款，则要求借款人每季度必
须支付$20.20 的利息。

卖空
　　本章中的一些套利策略涉及了卖空操作。这是一项交易策略，即证券价 格下跌时盈利，而证券价格上升时亏损。它是指卖出并不拥有的证券，以后 再将其买回。
为解释卖空的机理，我们假设一个投资者与经纪人联系，卖空 500 股 IBM
股票。经纪人立即从另一位客户处借来 500 股 IBM 股票，然后象通常一样在 公开市场上将其卖掉，将出售股票所得存在这位投资者的帐户内。只要能借 到股票，这位投资者就能够按自己的愿望不断维持该空头头寸。然而到某个 阶段，投资者会指示经纪人轧平该头寸。经纪人于是用投资者帐户上的资金 去购买 500 股 IBM 股票，然后将之归还原主。如果股票价格下降了，则投资 者会盈利，若股票价格上升了，则投资者会有损失。若在合约未平仓期间， 经纪人借不到股票了，投资者就成了所谓挤空（Short-squeezed），尽管他 或她可能并不想轧平头寸，也必须立即平仓。
　　目前，管理部门只允许在价格升档（uptick）时才能卖空，即该证券的 价格在最近一段时间呈上升态势时可以卖空。经纪人要求空头客户支付数额 较大的初始保证金，象期货合约一样，如果证券价格出现了不利的变动（这 里是指价格上市），则要增加附加保证金。最初卖出证券的所得一般成为初 始保证金的一部分。有一些经纪人对保证金帐户内的资金支付利息，并且诸 如短期国库券这样的可在市场流通的证券能够存放在经纪人处，做为初始保
　　
证金。正如期货交易例子中一样，保证金并不代表一个真实的成本。 空头客户必须将该证券的任何收入，如红利或利息付给经纪人，这些收
入都是被卖空的证券应该正常得到的。经纪人然后将之转到被借了证券的客 户的帐户上。假设一位投资者于 4 月份卖空了 500 股 IBM 股票，每股价格是
$120，7 月份，当股票价格为$100 时，该投资者买回了这些股票，结清了头 寸。假设 5 月份每股股票支付了$4 的红利。投资者在 4 月份建立空头头寸时， 共收到：500×$120＝$60，000。5 月份的红利使投资者需付出：500×$4＝
$2，000。7 月份投资者轧平头寸时，需付出：5oo×$100＝$50，000。因此， 净收益为：
$60,000—$2,000—$50,000＝$8,000。

假设
在本章中，我们假定对部分市场参与者而言，以下几条全部是正确的：
1.无交易费用；
2.所有的交易收益（减去交易损失后）使用同一税率；
3.市场参与者能够以相同的无风险利率借人和贷出资金；
4.当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动。 注意，我们并不要求这儿条假设对所有的市场参与者都是正确的。我们
只要求这些假设对部分参与者是正确的，例如大的投资机构。这并非不合情
理。正像在第一章讨论的那样，投资者一旦发现套利机会就会进行套利，这 意味着在现实中一出现套利机会，很快就会消失。因此，为了我们分析的目 的，有理由假设不存在套利机会。

再回购利率
　　对许多在期货市场上操作的套利者而言，其相关的无风险利率就是所谓 的再回购利率（repo rate）。再回购协议（repo or repurchase agreement） 是指证券所有者同意将其证券出售给另一方，之后再以稍高一些的价格将这 些证券买回的协议。这里，对方提供了贷款。证券买卖的价差就是对方的利 息收益。这种贷款几乎没有风险，因为如果借钱的公司不遵守协议的话，债 权人只需保留证券即可。
再回购利率仅比短期国库券利率稍高一点。最普通的回购类型是隔夜回
购（ovemightrepo），该回购协议每天都重新商定。但是，期限长达两周的 长期协议（即所谓的期限回购（term repo））有时也会用到。

符号
本章中将要用到的符号如下： T：远期合约到期的时间（年） t：现在的时间（年） S：远期合约标的资产在时间 t 时的价格
ST：远期合约标的资产在时间 T 时的价格（在 t 时刻这个值是未知的） K：远期合约中的交割价格
f：时刻 t 时，远期合约多头的价值
F：时刻 t 时的远期价格
r：对 T 时刻到期的一项投资而言，时刻 t 以连续复利计算的无风险利率。

　　变量 T 和 t 是从合约生效之前的某个日期（具体是什么时间无关紧要） 开始计算的，以年为单位。在我们现在的分析中，感兴趣的变量当然是 T— t,代表远期合约中，以年为单位表示的剩下的时间。设置 T 和 t 两个变量是 有原因的。在以后的章节中，当我们考虑时间对衍生证券价格的影响时，设 置两个变量的意义就会显现出来。在目前阶段，读者可以简单地认为 T 一 t 是一个变量。
　　值得注意的是，远期价格 F 完全不同于远期合约的价值 f。正如在第一 章中讨论的那样，任何时刻的远期价格都是使得合约价值为 0 的交割价格。 合约开始生效时，一般设定交割价格等于远期价格，所以，F＝K 且 f＝0。随 着时间的变化，f 和 F 都在变化。下面几节的分析和例子将进一步探讨这两 个变量之间的不同之处。

3.2 无收益证券的远期合约


　　最容易定价的远期合约是基于不支付收益证券的远期合约。不付红利的 股票和贴现债券就是诸如此类的证券。①
　　由于没有套利机会，对无收益证券而言，该证券远期价格 F 与现价 S 之 间关系应该是：
　　
F ? S?r ?T ? t?

（3.5）



为了证明以上式子，先假设 F＞ S?r? T ? t ? 。一个投资者可以以无风险利率
借 S 美元，期限为 T—t，用来购买该证券资产，同时卖出该证券的远期合约。
在时刻 T，资产按合约中约定的价格 F 卖掉，同时归还借款本息 S?r? T ? t ? 。这 样，在时刻 T 就实现了 F— S?r? T ? t ? 的利润。
　　再假设 F＜ S?r? T ? t ? 。投资者可以卖出标的证券，将所得收入以年利率 r 进行投资，期限为 T—t，同时购买该资产的远期合约。在时刻 T，投资者以 合约中约定的价格下购买资产，冲抵了原来的空头，实现的利润为
S?r? T ?t ? ? F 。

例 3.3
　　考虑一个基于不支付红利的股票的远期合约，3 个月后到期。假设股价 为$40,3 个月期无风险利率为年利率 5％。这里，T—t＝0.25，r＝0.05，S
＝40，有

F ? 40?0. 05? 0. 25

? 40.50



这将是今天签订远期合约中的交割价格。如果实际的远期价格大于
$40.50，则某套利者可以先借钱，买股票，然后卖出远期合约，则可获得净 收益。如果实际的远期价格小于$40.50，则套利者可以卖股票，将所得收入 进行投资，同时购买远期合约，同样可获得净收益。
为了更正式地进行讨论，考虑如下两个证券组合：



① 在这一章前半部分所举例子中的某些合约（如基于不付红利股票的远 期合约）实际中不一定存在，但这
些例子对启发我们的思路很有用。

组合 A：一个远期合约多头加上一笔数额为 Ke ? r ? T ? t ? 的现金；
组合 B：一单位标的证券
　　在组合 A 中，假设现金以无风险利率投资，则到时刻 T 时，现金数额将 达到 K。在远期合约到期时，这笔钱正好可用来购买该标的证券。在时刻 T， 两个组合都将包含一单位的标的证券。可以知道，它们在早些时候，如时刻
t 时，两个组合的价值也应该相等，否则，投资者就可以通过购买相对便宜 的组合，出售相对昂贵的组合来获得无风险利润。
因此有：
f ? Ke ? r ? T ? t ? ? S



或者：


f ? S ? Ke ? r? T ? t ?


（3.6 ）

　　当一个新的远期合约生效时，远期价格等于合约规定的交割价格，且使 该合约本身的价值为 0。因此，远期价格 F 就是公式（3.6）中令 f＝0 的 K 值，即
F ? Se ? r ? T ? t ?


此式与式（3.5）是一致的。

例 3.4
　　考虑一个 6 个月期的远期合约的多头状况，标的证券是一年期贴现债 券，远期合约交割价格为$950。我们假设 6 个月期的无风险利率（连续复利） 为年利率 6％，债券的现价为$930。这里 T 一 t＝0.50，r＝0.06，K＝950，S
＝930，根据式（3.6）可以知道远期合约多头头寸的价值 f 为：

f ? 930 ? 950e?0.5?0. 06

? 8.08

类似地，该远期合约空头的价值为-8.08。

3.3 支付已知现金收益证券的远期合约


　　在本节中我们考虑另一种远期合约，该远期合约的标的资产将为持有者 提供可完全预测的现金收益。例如支付已知红利的股票和付息票的债券。设
I 为远期合约有效期间所得收益的现值，贴现率为无风险利率。
由于没有套利机会，F 和 S 之间的关系应是：

F ? ? S ? I ?e r ? T ? t ?

(3.7)



为证明此式，首先假设先假设 F ? ? S ? I ?e r? T ? t ? 。某套利者可以借钱，购
买资产，卖出远期合约。到时刻 T 时，依照合约中约定条款，资产以价格 F 卖掉。假定用所得收入偿还部分借款，则还有? S ? I ?er ?T ?t ? 金额的借款要在 T
时刻归还。于是，在时刻 T，实现的利润为 F ? ? S ? I ?er ? T ? t ? 。
　　其次再假设 F ? ? S ? I ?e r? T ? t ? 。套利者可以出售资产，将所得收入进行投 资，同时购买远期合约。在这种情下，在时刻 T ，实现的利润为
? S ? I ? er? T ?t ? ? F 。


例 3.5
　　考虑一个股价为$50 的股票的 10 个月期远期合约。我们假设对所有的到 期日，无风险利率（连续复利）都是年利率 8％，且利率的期限结构是平坦 的。同时我们假设在 3 个月、6 个月以及 9 个月后都会有每股$0.75 的红利付 出。红利的现值为：
　　
I ? 0.75e ?0.02 ? 0.75e ?0.04 ? 0.75e?0. 06

? 2.162



变量 T－t 为 0.8333 年，因此远期价格 F 为：
F ? ?50 ? 2.162?e 0. 08? 0.8333 ? 51.14


如果远期价格低于上面的值，则套利者可以卖出股票购买远期合约。若
远期价格高于此数，则套利者可以卖出远期合约，购买股票。

为了更正式地进行讨论，我们将前一节中的组合 B 变为：
组合 B：一个单位的证券加上以无风险利率借 I 数额的资金。 由于证券的收益可以用来偿还借款，因此在 T 时刻，这个组合与一单位
的证券具有相同的价值。组合 A 在 T 时刻也具有同样的价值。因此，在 T 时
刻，这两个组合应具有相同的价值，即：

f ? Ke ? r ?T ? t?

? S ? I




或
f ? S ? I ? Ke ? r? T ? t ?



(3.8)



远期价格 F 就是使 f＝0 的 K 值。由式（3.8）可得：
F ? ? S ? I ?er ?T ?t ?


这与式（3.7）是一致的。

例 3.6
　　考虑一种五年期债券，价格为$900。假设这种债券的一年期远期合约的 交割价格为$910。在 6 个月后和 12 个月后，预计都将收到$60 的利息。第二 次付息日正好在远期合约交割日之前。6 个月期和 12 个月期的无风险利率分 别为年利率 9％和 10％。在此例中,S＝900,K＝910,r＝0.10,T-t＝1,且有
I ? 60e ?0.09? 0.5 ? 60e ?0.10 ? 111.65


由式（3.8）可以得出远期合约多头的价值 f：
f ? 900 ? 111.65 ? 910e ?0.1 ? ?35.05


远期合约空头的价值为+35.05。注意，在本例中，在合约的开始和结束
都没有应付利息。我们将在第四章讨论由应付利息引起的问题。

3.4 支付已知红利率证券的远期合约


正如将在以后几节讨论的那样，可以认为货币和股票指数是提供已知红
利收益率的证券。本节中我们对基于这类证券的远期合约进行一般性分析。 一个已知的红利收益率意味着表示为证券价格百分比的收益是已知的。 我们假设红利收益率按照年率 q 连续支付。为进一步解释它的含义，假设 q
＝0.05，即红利收益率为每年 5％。当证券价格为$10 时，下一个小的时间段 的红利按照每年$0.50 的比率支付。当证券价格为$1m 时，下一个小的时间段 的红利按照每年$5 的比率支付，依此类推。
为确定远期合约的价值，3.2 节中的组合日可以更改为：

组合 B：e ? q( T ? t ) 个证券并且所有的收入都再投资于该证券。

组合 B 中拥有证券的数量随着获得红利的增加而不断增长，因此，到时
刻 T 时，正好拥有一个单位的该证券。在时刻 T 时，组合 A 和组合 B 价值相 等。在 t 时刻两者也相等，可得：

f ? Ke ?r ( T ?t )

? Se ? q( T ?t )



或：
f ? Se? q (T ?t ) ? Ke ?r ( T ? t ) (3.9)


远期价格 F 就是使 f＝0 时的 K 值：
F ? Se( r ?q ) ( T ? t ) (3.10)


注意，如果在远期合约有效期间红利收益率是变化的，（3.10）式仍然
是正确的，此刻 q 等于平均红利收益率。

例 3.7
　　考虑一个 6 个月期远期合约，标的资产提供年率为 4％的连续红利收益 率。无风险利率（连续复利）为每年 10％；股价为$25，交割价格为$27。这 里，S＝25,K＝27,r＝0.10,q=0.04,T-t=0.5。由式（3.9）可知，远期合约多 头的价值 f 为：
f ? 25e ?0.04? 0. 5 ? 27e ?0.1? 0. 5 ? ?1.18


从式（3.10）可知远期价格 F 为：
f ? 25e 0. 06? 0.5 ? 25.76


3.5 一般结论


　　对所有的资产（既包括以投资为目的的资产，也包括以消费为目的的资 产），下式都是正确的：
f ? ? F ? K ?e ?r ( T ?t ) (3.11)



这是因为，无论 f

? ? F ? K ?e ? r (T ? t) 还是 f

? ? F ? K ?e ? r (T ? t) 都存在套利机

会。
首先考虑 f


? ? F ? K ?e ? r (T ? t) 的情形。我们购买一个到期时刻为 T、交割

价格为下的远期合约，同时卖出一个到期时刻为 T、交割价格为 K 的远期合 约。由于第一个合约的价值为 0，这个策略产生的初始现金流等于 f。终值的 现金流为：


?ST ? F ? ? ? K ? ST ? ? ?? F ? K ?


从而投资导致了正的净现金流，其现值为：
f ? ? F ? K ?e ? r( T ?t )



同样，如果 f

? ? F ? K ?e ? r (T ? t) ，我们出售一个到期时刻为 T、交割价格

为下的远期合约，同时购买一个到期时刻为 T、交割价格为 K 的远期合约。 该投资的现金流为正，其现值为：
? F ? K ?e? r ( T ? t ) ? f


容易证明，式（3.11）与 3.2、3.3 和 3.4 节中从 F 和 f 中推导出的公式
是一致的。

3.6 远期价格和期货价格


　　附录 3A 给出了一个套利的讨论，指出：当无风险利率恒定，且对所有到 朋日都不变时，两个交割日相同的远期合约和期货合约有同样的价格。附录
3A 的讨论还可以扩展到利率为一个已知的时间的函数的情形。
　　当利率变化无法预测时（正如现实世界中的一样），远期价格和期货价 格从理论上来讲就不一样了。两者之间关系的证明不在本书的范围之内。但 是，我们对两者之间的关系能有一个感性认识。考虑如下情形：标的资产价
格 S 与利率高度正相关。当 S 上升时，一个持有期货多头头寸的投资者会因
每日结算而立即获利。由于 S 的上涨几乎与利率的上涨同时出现，获得的利 润将会以高于平均利率的利率进行投资。同样，当 S 下跌时，投资者立即亏 损。亏损将以低于平均利率水平的利率融资。持有远期多头头寸的投资者将 不会因利率变动而受到与上面期货合约同样的影响。因此，期货多头比远期 多头更具有吸引力。当 S 与利率正相关性很强时，期货价格要比远期价格高。
当 S 与利率的负相关性很强时，类似上面的讨论可知远期价格比期货价格要 高。
　　有效期仅为几个月的远期合约价格与期货合约价格之间的理论差异在大 多数情况下时小得可以忽略不计的。随着合约有效期的增长，这个差异开始 变大。实际上，许多没有反映在理论模型中的因素使得远期和期货价格不一 样。这些因素包括：税收、交易费用、保证金的处理方式等。同时，在某些 情况下，期货合约比远期合约流动性更强、更易于交易。但是，尽管有以上 这些因素，在大多数情况下，假定远期和期货价格相等仍是合情合理的。这 也是贯穿本书始终的一个假定。符号下既可代表期货价格又可代表远期价 格。
　　

实证研究
　　在本章末尾列出了一些对远期和期货合约进行比较的实证研究论文。 Cornell 和 Reinganum 研究了 1974 年至 1979 年间英镑、加拿大元、德国马 克、日元以及瑞士法郎的远期和期货价格。他们发现在统计意义上，两个价 格之间没有显著的差别。Part 和 Chen 研究了 1977 年至 1981 年间的英镑、 德国马克、日元和瑞士法郎，得出了相同的结论。
　　French 研究了 1986 年到 1980 年间的铜和白银。结果显示白银的期货价 格和远期价格有明显的差异（5％的量信区间）.期货价格通常比远期价格高。 铜的研究结果没有这么显著。Part 和 Chen 研究了 1977 年至 1981 年间的黄 金、白银、银币、铂、铜以及胶合板，他们的研究结果与 French 对白银的研 究结果是类似的：期货价格与远期价格有显著的不同，且期货价格高于远期 价格。Rendleman 和 Carabini 研究了 1976 年至 1978 年间的短期国债市场， 他们也发现期货价格与远期价格在统计意义上有显著的不同。

3.7 股票指数期货


　　股票指数（stock index）反映了一个假想的股票组合的价值变化。每种 股票在组合中的权重等于组合投资中该股票的比例。组合中的股票可以有相 同的权重，或权重以某种方式随时间变化。定义一个很小的时间段里股票指 数的上升百分比等于同一时间内组成该组合的所有股票总价值的上升百分 比。股票指数通常不因派发现金红利而调整。也就是说，大多数的指数在计 算其百分比变化时，不考虑股票组合收到的任何现金红利。
值得注意的是，如果假想组合中的股票保持不变，则组合中个股的权重
就不会保持不变。如果组合中某一股票的价格比其它股票上涨快得多，该股 票的权重就会自动地增大。由此可以推出：如果设定组合中股票的权重为常 数，则该组合每天都将发生变化。如果组合中某股票的价格上涨比别的股票 更快，该股票的持有量就应减少以维持这个权重。

股票指数
　　表 3.2 为 1991 年 10 月 18 日在《华尔街日报》上刊登的 4 个不同股票指 数的期货合约的价格。这些价格是 1991 年 10 月 17 日的收盘价。这些股票指 数如下：
　　1.S＆P5oo（标准普尔 500）指数。在芝加哥商品交易所 CME 交易，该指 数是一个包括 500 种股票的组合：4oo 种工业股、40 种公用事业股、20 种交 通事业股和狈种金融机构股。在任一时间股票的权重为该股票的总市值（= 股价 X 流通的股票数）。该指数占纽约股票交易所全部上市公司股票总市值
的 80％。在芝加哥商品交易所 CME 交易的该指效期货合约价格为指数乘以
500。
　　2.日经 225 股票平均指数。该指数是一个在东京股票交易所交易的 225 家最大股票的组合。权重为股票的价格。在芝加哥商品交易所 CME 交易的该 指效期货合约价格为指数乘以 5。
　　3.纽约股票交易所 NYSE 综合指数。该指数时一个在纽约股票交易所上市 的所有股票组成的组合。象 S＆P500 一样，权重为市场价值。在纽约期货交
　　
易所交易的该指数期货合约的价格为指数乘以 500。
表 3.2 1991 年 10 月 18 日《华尔街日报》股票指教期货行情


　　4.主要市场指数 MMI。该指数是一个在纽约股票交易所上市的 20 只蓝筹 股组成的组合。这些股票根据它们的价格来加权。为反映股票分割和股票红 利的影响，还要对权重进行一些调整。MMI 与广泛引用的道·琼斯工业平均 指数相关性很好。道·琼斯工业平均指数也是包含相对较少的几种股票的组 合。MMI 期货合约在芝加哥交易所 CBOT 交易，该指数期货合约价格为指数乘
以 500。 在第二章已经谈过，股票指数期货合约是现金交割，而不是实物交割。
在最后一个交易日，所有合约是盯市的并且所有头寸必须轧平。大多数合约 在最后一个交易日的结算价格通常是当天指数的收盘指数。但正如第二章已 经讨论过的，S＆P500 的结算价是次日的开盘指数。对于 NYSE 综合指数和 MMI，最后一个交易日是交割月份的第三个星期五。对于 S＆P500，是交割月 份的第三个星期五之前的那个星期四。

股票指数的期货价格
　　大部分指数可以看作为付红利的证券。这里的证券就是计算指数的股票 组合，证券所付红利就是该组合的持有人收到的红利。根据合理的近似，可 以认为红利时连续支付的。设 q 为红利收益率，由式（3.10）可得期货价格
F 为：
F ? Se( r ? q) ( T ? t ) (3.12)


例 3.8
　　考虑一个 S＆P500 指纹的 3 个月期期货合约。假设用来计算指数的股票 的红利收益率为每年 3％，指数现值为 400，连续复利的无风险利率为每年 8
％。这里，r=0.08，S=400，T-t=0.25，q＝0.03.期货价格 F：

F ? 400e0. 05? 0. 25

? 405.03



实际上，计算指数的股票组合的红利收益率一年里每周都在变化。例如，
纽约股票交易所的大部分股票是在每年二月份、五月份、八月份和十一月份 的第一周付红利的。q 值应该代表合约有效期间的平均红利收益卒。用来估
计 q 的红利应是那些除息日在期货合约有效期之内的股票的红利。从表 3.2
可以看出，S＆P500 指数期货的价格随到期日的变化而以每年 2.4％的速度增 长。这与无风险利率超过红利收益率大约 2.4％的情形相对应。
　　如果分析者对于计算红利收益率不感兴趣，他或她可以估计指数中股票 组合将要收到的红利金额总数及其时间分布。这时股票指数可看成是提供已 知收入的证券，式（3.7）中的结论可用来计算期货价格。这个方法对日本、 法国、德国的指数很有效，因为这些国家里所有的股票都在相同的时间里付 红利。

指数套利
如果 F ? Se( r ?q ) (T ? t ) ，可以通过购买指数中的成分股票，同时卖出指数期

货合约而获利。若 F ? Se( r ?q ) (T ? t ) ，则可通过相反操作，即卖出指数中的成分 股票，买进指数期货合约而获利。这些策略就是所谓的指数套利（index arbitrage）。当 F ? Se( r ?q ) (T ? t ) 时，指数套利操作通常由拥有指数成分股票 组合的养老基金来进行，而当 F ? Se( r ?q ) (T ? t ) 时，指数套利操作则通常由拥有 短期资金市场投资的公司来进行。对于一些包含较多股票的指数，指数套利
有时是通过交易数量相对较少的有代表性的股票来进行，这些代表性的股票 的变动能较准确地反映指数的变动。指数套利经常采用程序交易（program trading）方法来进行，即通过一个计算机系统来进行交易。

1987 年 10 月 19 日
　　在正常的市况下，F 与 Se( r? q ) ( T ? t ) 非常接近。但是，1987 年 10 月 19 日发 生的事件却很有意思。那一天股市价格下跌幅度超过 20％，纽约股票交易所 的成交股数（6.04 亿）创下了历史最高记录。这一天的大部分时间里，期货 价格都明显低于指数。例如，在收盘时，S＆P500 指数为 225.06 点（一天下 跌了 57.88 点），而 12 月份交割的 S＆P500 指数期货的价格是 201.50 点（一 天下跌了 80.75 点）。这主要是因为处理卖出股票的订单有较长的延迟，使 得指数套利风险太大。第二天，即 1987 年 10 月 20 日，纽约股票交易所对程 序化交易运作的方式采取了临时性的限制措施。结果使得股票指数与股票指 数期货之间传统的联系不能继续下去。曾在某时刻，12 月份的指数期货合约 价格比 S＆P500 指数低了 18％！

日经指教
　　式（3.12）对日经 225 指数的期货合约无效。原因是很微妙的。设 SF 代 表日经 225 指数值，这是用日元衡量的组合的价值。而在芝加哥商品交易所
CME 交易的日经 225 指数期货合约的标的变量是价值为 5SF 的美元值的变量。 也就是说，期货合约的变量用日元计量，但却把它视为美元来处理。我们不
可能投资于一个价值总是 5SF 美元的证券组合。最好的做法是投资于价值为
5SF 日元的组合，或者投资于价值为 5QSF 美元的组合，这里 Q 是一日元的美 元价值。因此，日经 225 期货合约的标的变量是一个美元量，该变量不等于 某个可交易证券的价格，因而我们无法通过套利讨论来导出理论上的期货价 格。在第十二章我们将采用其它的方法来推导芝加哥商品交易所 CME 的日经
225 指数期货的价格公式。

利用指数期货对冲
　　指数期货能用来对冲一个高度分散化股票组合的风险。熟悉资本资产定 价模型的读者应该知道，股票组合的收益与市场收益之间的关系由参数β来 描述。它是组合超出无风险利率的超额收益对市场超出无风险利率的超额收 益进行回归得到的最优拟合直线的斜率。当β=1.0 时，股票组合的收益就反 映了市场的收益；当β=2.0 时，股票组合的超额收益为市场超额收益的两 倍；当β=0.5 时，股票组合的收益为市场收益的一半；依此类推。
假设我们希望对冲某股票组合在时间段 T-t 里的价值变动风险。设：
△1：若投资于股票组合，在 T-t 内每美元的变动；

△2：若投资于市场指数，在 T-t 内每美元的变动； S：股票组合的现值；
F：一个期货合约的现值；
N：对冲股票组合时，最佳的卖空合约数量。
　　一个期货合约的价值 F 是期货价格乘以该合约大小。在 S＆P500 指数中， 一个合约的价值为指数乘以 500。若 S＆P500 的期货价格为 400，则合约价值
为 400×500＝$200,000。 从β的定义，近似可得：
?1 ? a ? ?? 2


其中 a 为常数。在时间 t 至 T 间股票组合的价格变动 S△1 为或：
aS ? ?S? 2


　　在此段时间里期货合约价格的变动近似为 F△2。从而，组合价值变动中， 不确定部分近似为：
　　S
?
F


乘上一个期货合约的价格变动。因此：
S
N ? ?
F


例 3.9
　　某公司想运用还有 4 个月有效期的 S＆P500 指效期货合约来对冲某个价 值为$2,100,000 的股票组合。当时的期货价格为 300，该组合的β值为 1.5。 一个期货合约的价值为 300×500=$150,000。因而应卖出的期货合约的数量
为：
2,100,000
1.5× ＝21
150,000


有效的股票指数对冲将使得对冲者的头寸近似以无风险利率增长。很自
然地要问：为什么对冲者要不辞劳苦地用期货合约呢？如果对冲者的目的只 是为了获得无风险利率，他可以将组合卖掉然后将所得收入投资短期国债即 可。
　　一个可能的原因是：对冲者认为股票组合中的股票选择得很好。他或她 可能对整个市场的表现很没有把握但坚信股票组合中的股票会比市场表现出 色（在适当调整组合的β值之后）。采用指数期货来对冲转移了市场波动的 风险，仅使对冲者股票组合超过市场的部分收益暴露于市场风险当中。另一 个可能的原因是：对冲者计划长期持有该组合，但在不确定的市场状况下短 期内需要保护该头寸。若采用先卖掉组合，以后再买回的策略，可能会导致 过高的交易费用。

改查β值

　　运用指效期货能改变股票组合的乒值。考虑例 3.9 中的情况。要将组合 的β值从 1.5 减少到 0，需要 21 个合约；若要将β降到 1.0，则只需要卖出
21 个合约的 1/3 即 7 个合约即可；要将β值从 1.5 上升至 3.0，需要买 21 个合约；依此类推。一般来说，要将组合的β值从β变到β*时，当β＞β* 时，应卖出：
（? ? ? * ） S
F



个合约。当β＜β*时，应买入


（? * ??） S
F



个合约。


3.8 货币的远期和期货合约


　　现在我们考虑外汇的远期和期货合约。变量 S 代表以美元表示的一单位 外汇的即期价格；K 是远期合约中约定的交割价格。外汇的持有人能获得货 币发行国的无风险利率的收益（例如持有人能将外汇投资于以该国货币标价 的债券）。我们设 rf 为外汇的无风险利率，连续计复利。
用于外汇远期合约定价的两个组合如下：
组合 A：一个远期多头加上 Ke-r(T- t) 金额的现金；
组合 B：e-rf (T- t) 金额的外汇。
　　两个组合在时刻 T 时都将等于一单位的外汇。因此，在 t 时刻时两者也 应该相等，有：
　　
f ? Ke ? r ( T ? t )

? Se ? rf ( T ? t )



或：
f ? Se ? rf ( T ?t ) ? Ke ? r ( T ? t ) (3.13)


远期价格（或远期汇率）F 就是使得式（3.13）中 f=0 时的 K 值。因而：
F ? Se ( r ? rf )( T ? t ) (3.14 )
　　这是国际金融领域著名的利率平价关系。从本章前面的讨论可知，F 大 致上也是期货价格。
　　注意：如果将 q 用 rf 代替，则式（3.13）和（3.14）分别与式（3.9） 和（3.10）等价。这是因为外汇与支付已知红利收益率的证券是一样的。这
里的“红利收益率”就是外汇的无风险利率。要了解其原因，应注意到外汇
持有者的利息所得也是外汇，因此其价值在用本国货币衡量时亦与外汇的价 值成比例。
表 3.3 1991 年 10 月 18 日《华尔街日报》外汇期行情

表 3.3 为 1991 年 10 月 17 日在芝加哥商品交易所 CME 的国际货币市场
IMM 上交易的外汇期货合约价格，包括：日元、德国马克、加拿大元、英镑、

瑞士法郎以及澳大利亚元。期货的价格用单位外汇的美元价值来标价（对日 元，用美分标出日元的价格）。以上标价方式与大部分外汇的现货价格和远 期价格的标价方式有所不同，它们是用每单位美元若干数额的外汇来标价。 若加拿大元的远期标价为 1.2000，则其期货标价为 0.8333。
　　当外汇的利率大于本国利率时（rf＞r），从式（3.14）可知 F 始终小于 民且随着合约到期日 T 的增加，F 值减小。同样，当外汇的利率小于本国利
率时（rf＜r），从式（3.14）可知下始终大于 S，且随着合约到期日 T 的增 加，F 值也增加。在 1991 年 10 月 17 日，日本、德国、加拿大、英国、瑞士
和澳大利亚的利率都比美国的利率高，因此符合 rf＞r 的情况，并解释了为 什么随着到期日的增长，这些货币期货价格下降。

例 3.10
　　表 3.3 中，加拿大元的期货价格随着到期日的增长以大约每年 2.2％的 速度下降。例如，1992 年 6 月的结算价大约比 1991 年 12 月的结算价低 1.1
％。这说明美国的短期无风险利率比加拿大低 2.2％。

3.9 商品期货


　　下面我们考虑商品期货合约。这里可以看到，将商品区分为如下两大类 是十分重要的，即：为投资目的而由相当多的投资者所持有（如黄金和白银） 商品和为消费目的所持有的商品。对投资目的的商品，我们可以通过套利讨 论得出准确的期货价格。但是，对消费目的的商品来说，套利讨论只能给出 期货价格的上限。

黄金和白银
　　黄金和白银为众多投资者所拥有，目的就是投资。如果不考虑存储成本， 黄金和白银类似于无收益的证券。采用前面的符号，S 是黄金的现货价格。 由式（3.5）可知，远期价格 F 为：
F = Se r（T- t） （3.15）


　　存储成本可看作是负收益。设 U 为期货合约有效期间所有存储成本的现 值，由式（3.7）可知：
　　
F＝（S + U）e r（T- t）

（3.16）



若任何时刻的存储成本与商品价格成一定的比例，存储成本可看作是负
的红利收益率。在这种情况下，由式（3.10）可知：

F＝Se （r +u）（T- t）

（3.17 ）



这里，u 是每年的存储成本与现货价格的比例。
　　若我们回到表 2.2.可以看到黄金的期货价格随着合约到期日的增长，以 每年 4.5％的速度增加。这与 1991 年 10 月 17 日的无风险利率相近，并且与 刚给出的公式相一致。
　　
例 3.11
　　考虑黄金的一年期货合约。假设黄金的存储成本是每年每盎司$2，在年 底支付。假设现价为$450.无风险利率始终为每年 7％。从而有：r＝0.07，S
＝450,T-t＝1，且：
U＝2e-0.07 = 1.865



期货价格 F 为：


F = （450＋1.865）e0.07 = 484.6



其它商品
对于那些持有的主要目的不是为了投资的商品来说，推导公式（3.15）、
（3.16）和（3.17）的套利讨论需要仔细重新考虑。 假设式（3.16）的等式不成立，有：

F＞（S + U）e r（T- t）

（3.18 ）



为利用该式存在的好处，某套利者应采用如下策略：
1.以无风险利率借金额为 S＋U 的资金，用来购买一单位的商品和支付存储成 本；
2.卖出一单位商品的期货合约。
若我们认为期货合约与远期合约相同，这必将在时刻 T 时获利
F ? （S十U）er（T- t） 。对任何商品采用这套策略都没有问题。但是，当许多 套利者都这样操作时，S 将上涨，而下将会下跌，直到式（3.18）不再成立。 因此，我们的结论是式（3.18）不能维持很长时间。
下面再假设

F＜（S + U）er( T- t)

（3.19）



我们可以采用某种策略来套利，该策略与不付红利股票的远期合约在远
期价格很低时采用的套利策略相同。但是，该策略在卖出商品时存储成本支 付给了卖出商品的人，这一般来说是不可能的。
对黄金和白银，我们知道许多投资者持有的目的仅仅是为了投资。当他
们发现式（3.19）中的不等关系时，他们将从如下的策略中盈利：
1.卖出商品，节约存储成本，以无风险利率将所得收入进行投资；
2.购买期货合约。 相对于单独仅持有黄金和白银的投资者而言，以上策略在到期日的无风
险利润为(S ＋U)er(T-t) 。因此，式（3.19）也不能长期成立。既然式（3.18）
和（3.19）都不能长期成立，我们一定有： F＝（S + U）er(T- t) 。 对于持有目的主要不是投资的商品来说，以上讨论不再适用。个人或公
司保留商品的库存是因为其有消费价值，而非投资价值。因此他们不会积极
主动地出售商品购买期货合约，因为期货合约不能消费。因此式（3.19）得 以存在下去。由于式（3.18）不能长久成立，有：

F≤（S + U）er(T-t)

（3.20）



若存储成本用现货价格的比例 u 来表示，则有：

F≤Se(r + u)(T-t)

（3.21）



便利收益
　　当 F < Se （r + u）（T- t） 时，商品使用者一定会感到持有实实在在的商品比持 有期货合约是有好处的。这些好处包括：从暂时的当地商品短缺中获利或者 具有维持生产线运行的能力。这些好处有时称为商品的便利收益
（convenience yield）。如果存储成本可知，且现值为 U，便利收益 y 可定 义为：
Fey（T- t） ＝（S + U）er（T- t）


若每单位的存储成本为现货价格的固定比例 u，则 y 定义为：
Fey（T- t） ＝Se（r + u ）（T- t）


或
F ? Se( r ? u? y )(T ? t) (3.22)


便利收益简单地衡量了式（3.20）或（3.21）中，等式左边小于右边的
程度。对于投资性资产，便利收益必为 0，否则就会有套利机会。第二章中 的表 2.2 显示出铜和原油的期货价格随着合约到期日的增长而减少。这说明 便利收益 y＞r＋u。
便利收益反映了市场对未来商品可获得性的期望。在期货合约有效期
间，商品短缺的可能性越大，则便利收益就越高。若商品使用者拥有大量的 库存，则在不久将来出现商品短缺的可能性就很小，从而便利收益会比较低。 另一方面，较低的库存会导致较高的便利收益。

3.10 持有成本


　　期货价格与现货价格之间的关系可用所谓的持有成本（cost of carry） 来描述总结。它包括存储成本加上融资购买资产所支付的利息，再减去资产 的收益。对不支付红利的股票，持有成本就是 r,因为既无存储成本，又元收 益；对一个股票指数，持有成本为 r-q，因为资产的收益率为 q；对货币而言， 持有成本为 r - rf ；对商品而言，若其存储成本占价格的比例为 u,则持有成本
为 r＋u；依此类推。
设持有成本为 c。对投资性资产，期货价格为：
F = Se c（T-t） （3.23）


对消费性资产，期货价格为：
F = Se （c- y）（T-t） （ 3.24）


这里，y 为便利收益。

3.11 交割选择

　　尽管远期合约一般正式规定了交割的具体的特定日期，但期货合约却允 许空头方选择在一个特定时间段里的任一天进行交割（一般空头方应提前几 天给出其打算交割的通知）。这使得期货定价更加复杂。期货合约的到期日 应是交割期的开始、中间还是末尾呢？尽管大部分期货合约在到期前就平仓 了，但了解交割何时发生对计算期货价格的理论值仍然是十分重要。
　　如果期货价格为到期时间的增函数，则由式（3.24）可知，由持有资产 所获得的好处（包括便利收益和净存储成本）小于无风险利率。因此空头方 越早交割越有利，因为收到的现金所获得的利息超过了持有资产的好处。作 为一般规则，这种情况下的期货价格的计算应以交割发生在交割期开始为基 准。若期货价格随到期时间的增长而降低，则应相反：空头方越晚交割越有 利，作为一般规则，期货价格的计算应建立在交割发生在交割期的末尾的基 础上。

3.12 期货价格和预期将来的即期价格


　　有一个经常提到的问题，就是某资产的期货价格是否等于其预期的将来 的即期价格。若你打算猜测 3 个月后某资产的价格，其期货价格是否是元偏 估计呢？John Maynard Keynes 和 JohnHicks 于本世纪三十年代对此进行了 讨论，认为如果对冲者倾向于做空头而投机者倾向于做多头，则期货价格将 低于预期的将来的即期价格。这是因为投机者承担的风险需要补偿。他们只 在预期期货价格将上涨的情况下才会进行交易（另一方面，由于对冲者减少 了风险，因而对冲者会接受轻微的损失）。若对冲者做多头而投机者做空头， Keynes 和 Hicks 认为，期货价格一定高于预期的将来的现货价格。原因是类 似的，为了补偿投机者承担的风险，投机者一定预期期货价格随时间而递减。 期货价格低于预期未来现货价格的情形被称为现货溢价（normal backwardation），而期货价格高于预期未来现货价格的情形被称为期货溢价
（contango）。下面我们将从资本市场的风险和收益平衡的角度来探讨造成
以上两种现象的原因。

风险和收益
　　一般来说，一项投资的风险越高，投资者要求的预期收益将越高。熟悉 资本资产定价模型的读者应该知道，经济生活中存在两类风险：系统风险和 非系统风险。对投资者而言，非系统风险并不重要，因为可以通过持有高度 分散化的组合来消除它。投资者承担非系统风险不应要求更高的收益。但是， 系统风险不能通过分散化消除。它由投资收益与股票市场整体收益的相关性 决定。因此，若承担的系统风险为正值，投资者通常要求高于无风险利率的 收益。同样，若承担的系统风险为负值，投资者也会接受低于无风险利率的 收益。

期货头寸的风险
　　考虑一个做期货多头的投机者，他希望资产的价格在到期日时能高于期 货价格。我们假设投机者将期货价格的现值以无风险利率投资，同时买入期 货合约。设期货合约与远期合约运作方式相同。无风险投资的所得将在交割 日用来购买资产，然后立即以市场价格将该资产卖掉。对投机者而言，其现
　　
金流为：

时刻 t：- Fe -r（T- t）
时刻 T： + S T
ST 为时刻 T 时资产的价格。
此次投资的现值为：

? Fe ? r ( T ? t ) ? E (S

)e ? k ( T ?t )



这里，k 为与此项投资相对应的贴现率（即它是投资者对该投资的期望
收益率），E 代表期望值。假设证券市场上所有的投资机会的净现值均为 O：

? Fe ? r ( T ? t ) ? E (S

)e ? k ( T ?t ) ? 0




或
F ? E (ST )e


( r ? k )(T ? t)


(3.25)



k 值取决于投资的系统风险。若ST 与股票市场不相关，则投资的系统风
险为 0，这时，k = r，由式（3.25）可知 F=E(ST ）；若ST 与整体股票市场
正相关，则投资的系统风险为正，这时，k＞r，由式（3.25）可知 F＜E（ST ）；
最后，若 ST 与股票市场负相关，则投资的系统风险为负，这意味着 k＜r，由
式（3.25）可知 F＞E（ST ）。

实证检验
如果 F＝E（ST ），期货价格随着市场预期未来现货价格的态度变动而上
下波动。在较长的一段时间内，我们可以合理地假设市场对未来现货价格的 期望值时上时下，几率相同。因此，当 F = E（ST ）时，长期待有期货合约 多头头寸的平均利润应为 0。F＜E（ST ）的情况对应于系统风险为正值的情
况，由于在合约到期时，期货价格和现货价格应该相等，所以平均来说，期 货价格应上涨，交易者长期待有期货合约多头头寸将会带来正的利润；同理， F＞E（ST ）的情况意味着交易者长期持有期货合约空头头寸将带来正的利
润。
　　期货价格实际表现如何呢？本章末尾列岀了一些实证研究的文章，结论 是含糊不清的。Houthankker 研究了 1937 年至 1957 年间的小麦、棉花和玉 米的期货价格发现做期货多头明显能获得利润。这说明玉米投资具有正的系 统风险，且 F＜E（ST ）。Telser 的研究结果与 Houthakker 的结论不一致。 他研究了 1926 年至 1951 年间的棉花和 1927 年至 1954 年间的小麦的价格，
但发现做多头明显能获得或做空头并不能带来明显的利润。Telser 说：“没 有任何证据证明期货价格违背了简单的假设：即期货价格是期望的未来现货 价格的无偏估计”。Gray 研究了 1921 年至 1959 年间的玉米期货创格，得出 了与 Telser 类似的结论。Dusak 运用 1952 年至 1967 年间玉米、小麦和大豆 的数据，用另一种方法进行了研究。它通过计算商品价声与 S＆P500 的相关 性来估计投资于这些商品的系统风险。结果是没有系统风险，并支持 F=E
（ST ）的假设。然而，近来由 Chang 对同样的商品采用了更为先进的统计技

术进行的研究却支持 F＜E（ST ）的假设。

3.13 小结


　　在大多数情况下，具有某个确定交割日期的期货合约的价格与具有同样 到期日的远期合约的价格可视为一致。理论上可以证明，当利率完全可预测 时，两者应精确相等；当利率变化不可预测时，两者非常接近。
　　为了理解期货（或远期）价格，先将期货合约的标的资产分为两类是很 有帮助的：一类是众多投资者拥有，其目的仅是投资的标的资产；另一类是 拥有的目的主要是为消费的标的资产。
在投资性资产的情况下，我们考虑了三种不同的情形：
1.资产没有提供收益；
2.资产具有已知的现金收益；
3.资产具有已知的红利收益率。
　　结果总结于表示感谢 3.4。由此可以得岀股票指数、货币、黄金和白银 的期货合约价格。
表 3.4 投资性资产的远期/期货价格

期货合约的价格小结：标的资产现价为 S ，到期日为 T ， T 年期间的无风险利率为 r:
交割价格为 K 的远期合

资产
约多头的价值

远期/期货价格

无收益 S ? Ke ? r( T ?t ) Ser( T ?t )
有已知收益，现值为 I S ? I ? Ke ? r ( T ? t ) (S ? I )er (T ?t )
有已知红利收益率， q Se? q ( T ? t ) ? Ke ? r( T ?t ) Se( r? q )( T ? t )




对于消费性资产，不可能得出期货价格关于现货价格和其它可观察变量
的函数关系。所谓的资产的便利收益参数就变得很重要了。该变量衡量的是 商品使用者感到拥有现货实际资产比仅持有期货合约更有好处的程度。这些 好处包括从本地暂时性商品短缺中获利，以及具有保持生产线得以运行的能 力。使用套利讨论仅可以得到消费性资产的期货价格的上限。
持有成本的概念有时很有用。持有成本是标的资产的存储成本加上融资
成本，再减去该资产收到的收益。对投资性资产，期货价格高于现货价格， 差额部分反映了持有成本。对消费性资产，期货价格高于现货价格，差额部 分反映了持有成本减去便利收益。
　　如果资本资产定价模型正确，期货价格和预期未来现货价格之间的关系 将取决于现货价格与股票市场是正相关还是负相关。正相关的关系将使得期 货价格低于预期未来现货价格；负相关将使得期货价格高于预期未来现货价 格。只有当相关性为 0 时，理论上的期货价格才等于预期的未来现货价格。

附录 3A：当利率为常数时，远期价格与期货价格相等的一个证明

在本附录中，我们将证明当利率为常数时，远期价格和期货价格相等。

假设一个持续 n 天的期货合约，Fi 为第 i 天未（0＜i＜n）的期货价格。定义
δ为每天的无风险利率（设为常数）。考虑如下策略：
1、在第 0 天末，买入期货合约e ? （即：在合约开始生效时买入）。
2、在第 1 天末，增加多头头寸至e 2? 。
3、在第 2 天末，增加多头头寸至e 3? 。依此类推。
表 3.5 即为上述策略的总结。在第 i 天的开始，投资者拥有多头头寸e?i 。
第 i 天的利润（可能为负）为：
(Fi ? Fi ? 1)e


假设这个盈利以无风险利率计复利直至第 n 天未。它在第 n 天未的价值
为：

(F ? F ? 1)e ?i e

( n? i) ?

? (Fi ? Fi ? 1)e



整个投资策略的第 n 天未的价值为：
n
? (Fi ? Fi ? 1)e
i=1



即有：
??Fn ? Fn


? ? ?Fn



? Fn


? ? ? ? ? F


? F ??en?


? ? F

?1 ?1
? F ?en?

?2 1 0



由于 Fn 与最终的资产价格 ST 相等，由此整个投资策略的最终价值可写
为：
?ST ? F0 ?e


将 F0 投资于无风险债券中，将这项投资与上述策略混合可得到其在时刻
T 的收益为：

F en? ? ?S

? F ?en?

? S en?



由于上述所有的多头期货头寸并不需要任何资金，由此可见，投资 F0 能
n?
够在 T 时刻得到 ST e 。
下面假设第 0 天末的远期价格为G0 。通过将G0 投资于无风险债券并购
买e n? 个远期合约，在时刻 T 仍然保证具有易 S en? 的资产。因此就有两种投
资策略：一个要求初始投资 F0 ；另一个要求初始投资G0 ，两个投资在 T 时刻
n?

都得到 ST e

。从而在无套利机会的情况下：
F0 ? G0



换句话说：期货价格与远期价格是等价的。注意在本证明中对一天的时
间周期并没有特殊限制。因此当相关假设做出后，每周结算的期货合约的价 格也与远期价格相等。


表 3.5 用以体现期货价格与远期价格相等的投资策略


日期 0 1 2 ? n-1 n 期货价格 F0 F1 F2 ? Fn-1 Fn
期货头寸 e δ 2 δ
2 δ

3 δ nδ
e e 0
2 δ n δ

利润/损失 0 (F1-F0)e
计复利至 第 n 天的

(F2-F1)e

? ? (Fn-Fn-1)e

利润/损失 0 (F -F n δ

n δ
2 1)e

n δ
n n-1)e

第四章 利率期货


　　利率期货合约是标的资产价格仅依赖于利率水平的期货合约。在这一 章，我们描述利率期货运作的机制以及如何报价的。我们也解释期货价格与 现货价格的相互关系，讨论久期的概念，考虑包含利率期货的对冲策略。
　　对冲某公司的利率风险暴露比对冲诸如铜价之类的风险暴露更复杂。这 是因为为了完全描述利率水平，需要整个利率的期限结构，而铜价可以由单 一数字来描述。希望对冲利率风险暴露的公司必须确定它所要求对冲的期 限，同时还必须确定它暴露于利率风险的期限。然后它还必须寻找合适的利 率期货合约以获得相应的对冲。

4.1 某些预备知识


　　在我们描述利率期货合约性质之前，有必要回顾几个有关利率期限结构 的概念。

即期和远期利率
n 年期即期利率是从今天开始计算并持续 n 年期限的投资的利率。因此，
3 年期即期利率是投资持续 3 年的利率，5 年期即期利率是投资持续 5 年的利 率等等。考虑的投资应该是中间没有支付的“纯粹”的 n 年投资。这意味着 所有的利息和本金在 n 年末支付给投资者。n 年即期利率也指的是 n 年期零 息票收益率（n-year zero—coupon yield）。由定义可知，该收益率正好是 不付息票债券的收益率。
远期利率是由当前即期利率隐含的将来时刻的一定期限的利率。计算方
式如下：我们假设即期利率如表 4.1 的第二列所示。这些即期利率以连续复 利计息。因此，一年期 10％年利率意味着今天投资$100，一年后投资者收到
100e0.10=$110.52；二年期 10.5％年利率意味着今天投资$l00，二年后投资
者收到100e 0.105 ? 2 ? $123.17 ；依此类推。



表 4.1 远期利率的计算


年（ n ） n 年期投资的即期利率
（％ p.a.）
1 10.0

第 n 年的远期利率
（％ p.a.）

2 10.5 11.0
3 10.8 11.4
4 11.0 11.6
5 11.1 11.5







表 4.1 中第二年的远期利率是年利率 11％。这是一个即期利率隐含的第
一年末至第二年末之间期限的利率。它可以通过一年期 10％年即期利率和二

年期 10.5％年即期利率计算出来。正是这个第二年的利率，与第一年 10％利 率组合在一起，得到整个二年期间 10.5％的年利率。为证明正确答案是 11
％，假设投资$100，则第一年 10％利率和第二年 11％利率在第二年末收益 为：

100e 0.10 e 0.11

? $123.37



二年期 10.5％年利率投资的收益为：
100e0.105 ? 2


这个结果也是$123.37。这个例子说明了一个一般的结论：即当这些利率是连
续复利，并且将相互衔接时期的利率组合在一起时，整个期间的等价利率是 这些利率的简单算术平均（10.5％是 10％和 11％的平均值）。当这些利率不 是连续复利时，这个结果近似成立。
　　第三年的远期利率是二年期 10.5％年即期利率与三年期 10.8％年即期 利率隐含的利率，计算的结果是 11.4％年利率。这是因为以 10.5％年利率投 资二年之后再以 11.4％年利率投资一年可获得三年期 10.8％年利率收益。其 它的远期利率可用类似的方法计算，列在表 4.1 中的第三列。一般来说，如
果 r 是 T 年期的即期利率，r * 是T * 年期的即期利率，且T * ＞T，T * -T 期间
的远期利率如下：

? r *T * ? rT
r = T * ? T


（4.1）



为说明这个公式，我们从表 4.1 中数据计算第四年远期利率。T=3，T * =4，
r=0.108，且r * =0.11，公式给出r?＝0.116。

零息票收益率曲线
　　零息票收益率曲线（zero—coupon yield curve）是表示即期利率（即 零息票收益率）与到期日之间关系的曲线。图 4.1 表示了表 4.1 中数据的零 息票收益率曲线。区分零息票收益率曲线与附息票债券收益率曲线是很重要 的。在图 4.1 所示的情况下，收益率曲线是向上倾斜的，零息票收益率曲线 总是在附息票债券收益率的上面。这是因为如下的情况影响了附息票债券收 益率：在债券到期前，投资者获得一些利息收入，对应于这些利息收入的相 应贴现率低于最后支付日期相应的贴现率。

图 4.1 表 4.1 中数据的零息票收益率曲线 分析家有时也考虑远期利率与远期合约期限之间的关系曲线。因此远期
利率的期限可以是 3 个月期、6 个月期或其它任何便利的时间期限。式（4.1） 可重写为：


? r* ? ( r* ? r)

T
T* ? T



这表明，如果收益率曲线是向上倾斜，r * >r 于是 r>r * >r，所以远期利

率高于零息票收益率。取T * 趋近于 T 的极限（所以r * 趋近于 r），我们看到
在 T 时刻开始的一个相当短期间的远期利率是：
?r
r ? T
?T


这就是所谓的时刻 T 的瞬态远期利率（instantaneous forward rate）。
　　图 4.2 是当收益率曲线向上倾斜时的零息票收益率曲线、附息票债券的 收益率曲线和远期利率曲线。由于上述理由，远期利率曲线在零息票收益率 曲线之上，而零息票收益率曲线又在附息票债券的收益率曲线之上。图 4.3 说明了当收益率曲线向下倾斜时的情况。类似在向上倾斜收益率曲线中的讨 论，可知在收益率曲线向下倾斜情况下，附息票债券的收益率曲线在零息票 收益率曲线之上，而零息票收益率曲线又在远期利率曲线之上。

图 4.2 当收益率曲线是向上倾斜时的情况 图 4.3 当收益率曲线是向下倾斜时的情况
零息票收益率曲线的确定
　　实际中，即期利率（或零息票收益率）并不总是能够直接观察到的。能 够观察到的只是附息票债券的价格。因此，一个重要的问题是如何从附息票 债券的价格得出零息票收益率曲线。
一个通常的方法就是所谓的息票剥率（bootstrap）方法。为说明这个方
法，考虑表 4.2 中 6 个债券价格的数据。由于前 3 个债券不付息票，对应这 些债券期限的连续复利的即期利率可以容易地计算出来。第一个债券 3 个月 期限，价格 97.5，其收益率为 2.5。连续复利的 3 个月期利率是

?
ln?
?

2.5 ?
? ? 0.1012
97.5 ?



或每年 10.12％。类似地，6 个月期是：

?
ln?
?

5.1 ?
? ? 0.1047
94.9 ?




或每年 10.47%。1 年期是


?
ln?1 ?


10 ?
? ? 0.1054

? 90.0 ?


或每年 10.54％。
第四个债券期限 1.5 年。按如下方式支付：
6 个月期后 $4
1 年期后 $4
1.5 年后 $104
从前面的计算中，我们知道在 6 个月末支付所用的贴现率是 10.47%，在
1 年末支付所用的贴现率是 10.54％。我们也知道债券的价格$96 必须等于债

券持有人收到的所有收人的现值。设 R 表示 1.5 年期的即期利率，因此：

4e ?0.1047? 0.5 ? 4e ?0.1054 ? 104e? 1.5R

? 96




化简为：


e ?1.5R


? 0.85196



或
ln?0.85196?
R ? ? ? 0.1068
1.5


因此，1.5 年期的即期利率是 10.68%。这是唯一的与 6 个月期、1 年期
即期利率及表 4.2 中数据一致的即期利率。



表 4.2 息票剥率方法的数据


债券本金
（$）

到期期限
（年）

年息票*
（$）

债券价格
（$）

100 0.25 0 97.5
100 0.50 0 94.9
100 1.00 0 90.0
100 1.50 8 96.0
100 2.00 12 101.6
100 2.75 10 99.8
*注：假设每 6 个月支付所列息票数额的一半






　　运用 6 个月期、1 年期、1.5 年期即期利率和表 4.2 中第五个债券的信息， 可以计算出 2 年期的即期利率。如果 R 表示 2 年期的的即期利率，
　　
6e? 0.1047 ? 0.5 ? 6e ?0.1054?1. 0 ? 6e ?0.1068?1.5 ? 106e?2 R ? 101.6
R=0.1081，或 10.81%。

从 以 上 可 得 出

　　至今，我们已经求出 5 个对应不同期限的零息票收益率曲线上的点。利 用线性插值可以得到对应其它中间期限的点。第六个债券的现金流如下：
3 个月期后 $5
9 个月期后 $5
1.25 年后 $5
1.75 年后 $5
2.25 年后 $5
2.75 年后 $105
　　对应于第一个现金流的贴现率已经求出为 10.12％。利用线性插值方 法，求出以下三个现金流的贴现率分别为 10.505％，10.61％和 10.745％。 因此前四个现金流的现值为：
5e? 0.1012 ? 0.25 ? 5e?0.10505 ? 0.75 ? 5e ?0.1061 ?1. 25 ? 5e?0.10745?1.75 ? 18.018

最后两个现金流的现值为：
99.8-18.018=81.782
设 2.75 年朋的即期利率为 R，利用线性插值，2.25 年期即期利率为：
2 R
0.1081 ? ?
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3 3
或 0.0721＋R/3。因此，R 的方程为：
5e ? 2.25? ? 0. 0721? R/3? ? 105e ? 2.75? R ? 81.782


利用试错法或诸如牛顿法的数值方法解以上方程，得出 R=0.1087。①2.75
年期的即期利率为 10.87％。
　　从表 4.2 中六个债券价格中可以描出图 4.4 中的零息票收益率曲线。如 果给出更长期限债券，可获得更完整的期限结构。




期限结构理论

图 4.4 表 4.2 中数据的零息票收益率曲线

　　有许多种不同的期限结构理论。最简单的是预期理论（ex-pectations theory）。该理论认为长期利率应该反映预期的未来的短期利率。更精确他 说，它认为对应某一确定时期的远期利率应该等于预期的未来的那个期限的 即期利率。另一个理论是所谓的市场分割理论（market segmentation theory）。该理论认为短期、中期和长期利率之间没有什么关系。不同的机 构投资于不同期限的债券，并不转换期限。短期利率由短期债券市场的供求 关系来决定，中期利率由中期债券市场的供求关系来决定，等等。
比较令人感兴趣的另一个理论是所渭的流动性偏好理论（liquidity
preference theory）。该理论认为远期利率应该总是高于预期的未来的即期 利率。这个理论的基本假设是投资者愿意保持流动性并投资于较短的期限。 而另一方面，长期借款的借款者通常愿意用固定利率。如果银行和其它金融 中介提供的利率使得远期利率等于预期未来即期利率，长期利率应该等于预 期未来短期利率的平均值。在没有其它选择的情况下，投资者将倾向于存短 期资金，借款者将倾向于借长期资金。于是金融中介发现他们需用短期存款 来为长期固定利率贷款融资。这将包含额外的利率风险。实际上，为了使存 款者和借款者匹配，避免利率风险，金融中介将提高长期利率超过预期未来 的即期利率。这将减少长期固定利率借款的需求，鼓励投资者存更长期限的 资金。
　　流动性偏好理论使得长期利率大于预期的未来的短期利率。经验检验结 果说明收益率曲线向上倾斜的状况比向下倾斜的状况要多，流动性偏好理论 与以上结果相一致。

4.2 长期和中期国债期货


表 4.3 是 1991 年 10 月 18 日《华尔街日报》报出的利率期货行情。最 普遍的长期利率期货合约是在 CBOT 交易的长期国债利率期货。在这个合约



① 牛顿数值计算方法可以求解 形式的方程。它先从猜测 这个解开始，利用公式 ，它可以得到一系列的
更好的估计值的解 就已经非常接近真实解了。

中，期限超过合约交割月份第一天 15 年以上的，并从那天起 15 年内不能回 赎的任何政府债券都可以进行交剖。下面还要解释，交易所已经公开调整的 方法，该方法调整空头方交割特定长期国债时可接受的价格。
　　中期国债和 5 年期国债期货合约也在频繁交易。对中期国债期货合约， 有效期在 6.5 年和 10 年之间的任何政府债券（或票据）都能进行交割。正如 以上国债期货合约一样，也有一种方法调整空头方交割特定中期国债时可接 受的价格。对 5 年期国债期货合约，四个最近由政府拍卖的任何中期国债都 能进行交割。
　　以下我们的讨论集中在长期国债期货合约上。然而，讨论的结论也适合 于其它国债期货合约。

表 4.3 1991 年 10 月 18 日《华尔街日报》利率期货行情



报价
　　国债价格以美元和 32 分之一美元报出。所报的价格是面值为$100 债券 的价格。因此，90—05 的报价意味着面值$100,00 债券的表示价格是
$90.156.25。
　　报价与购买者所支付的现金价格并不相同。现金价格与报价之间的关系 为：
现金价格＝报价+上一个付息日以来的累计利息
为说明这个公式，设现在是 1990 年 3 月 5 日.所考虑的债券息票利率为
11%，在 2010 年 7 月 10 日到期，报价为 95—16（或$95.50）。由于政府债 券半年付一次利息，最近的一次付息日是 1990 年 1 月 10 日，下一次付息日 将是 1990 年 7 月 10 日。在 1990 年 1 月 10 日与 1990 年 3 月 5 日之间的天数
是 54 天，而 1990 年 1 月 10 日与 1990 年 7 月 10 日之间的天数是 181 天。
一个$100 面值债券，在 1 月 10 日和 7 月 10 日支付的利息都是$5.50。1990
年 3 月 5 日的累计的利息应该均摊 7 月 10 日支付给债券持有者息票，计算如 下：