[哥白尼不怀疑上面这封信的真实性，他本来打算用这封信作为第一卷
的结尾。按照这个方案，在这封附有说明材料的信件后面，第二卷随即开 始。这份材料后来被删掉了。《天体运行论》前面 4 版都没有印出这份材 料，但在哥白尼原稿复原后发行的各个版本把这一部分包括在内。这个说 明材料见下。]


　　对于我已经着手进行的工作，那些必不可少的自然哲学命题已有简略 描述。这些可用来作为原则和假设的命题是：宇宙是球形的、浩瀚的，与 无限相似，而包罗一切的恒星天球是静止的，其他一切天体都在作圆周运 动。我还假设地球在作某些旋转运动。我力求以此为基础来创立整个关于 星星的科学。


　　[《天体运行论》前 4 版把原稿在此处被删掉材料的余下部分，印作下 列的Ⅰ，12 的开头。]


　　在这几乎一整部著作中，我要作的论证采用平面和球面三角形的直线 与圆弧。虽然关于这些课题的许多知识在欧几里得（Eu-clid）的《几何原 本》中都可查到，但是那本著作却不包括对本书主要问题（即如何由角求 边和由边求角）的答案。


　　[第一版用“圆周中直线的长度？”作为Ⅰ、12 的标题。《天体运行 论》后面的 3 个版本重复了这一标题，但它在原稿中没有直接的依据。


　　在另一方面，在手稿中原拟作为第二卷第一章的起始部分还有以下一 段。]


　　弦的长度不能由角来量，而角的大小也不能由弦来量。应当用弧来量。 因此，我们发现一种方法，可以求出任意弧所对应的弦长。利用这些线条， 可以求得对应于一个角度的弧长；而相反地，用弧长能够得到角度所截出 的直线长度。因此，在下卷中讨论这些线条以及平面和球面三角形中的边 与角（托勒密在个别例子中曾加以研究），这对我来说是适宜的。我在这 里要彻底弄清楚这些课题，这样才能阐明我在后面要讨论的问题。
　　
第十二章 圆周的弦长
【按哥白尼原订写作方案，为第二卷第一章】 按数学家的一般作法，我把圆分为 360 度。但是古人将直径划为 120
等分（例如见托勒密《大成》，Ⅰ，10）。后人希望避免弦长（大部分是 无理数，甚至在平方时也如此）在乘除中出现分数的麻烦。有人采用 1，
200，000 等分；另一些人取 2，000，000；而在印度数码通行后，还有人 创立其他适用的直径体系。用这样的体系作快速运算，肯定超过希腊或拉 丁体系。由于这个缘故，我也采用直径的 200，000 划分法，这已足够排除 任何大的误差，当数量之比不是整数比时，我们只好取近似值。我在下面 严格仿照托勒密的办法，用六条定理和一个问题(147)来说明这一课题。
定理一
　　给定圆的直径，则内接三角形、正方形、五角形、六角形和十角形的 边长均可求得。
　　半径（直径的一半）等于六角形的边长。欧几里得《几何原本》(148) 证明，三角形边长的平方为六角形边长平方的 3 倍，而正方形边长的平方 为它的两倍。因此，取六角形边长为 100，000 单位，则正方形边长为 141，
422，三角形边长为 173，205。

图 1—5
令六角形边长为 AB。按欧几里得著作第二卷第十题（或Ⅵ，10），它
在 C 点被分为呈平均和极端比值的两段①。令较长的一段为 CB，把它再延 伸一个相等长度 BD。于是整条线 ABD 也被分成平均和极端比值。延伸部分
BD 是较短的一段，它是内接于圆内十角形的一边，而 AB 是六角形的一边。
这从欧氏著作(149)，ⅩⅢ，5 和 9 可以了解到。
　　BD 可按下列方法求出。等分 AB 于 E 点。从欧氏著作、ⅩⅢ、3 可知， EBD 和平方为 EB 平方的 5 倍。已知 EB 和长度为 50，000 单位。由它的平 方的 5 倍可得 EBD 的长度为 111，803。如果把 EB 的 50，000 减掉，剩下
BD 和 61，803 单位，这就是我们所求的十角形的边长。
　　进而言之，五角形边长的平方等于六角形边长与十角形边长平方之 和。由此可得五角形边长为 117，557 单位。因此，当圆的直径已知时，内 接三角形、正方形、五角形、六角形和十角形的边长均可求得。证讫。
推论 因此，任意圆弧的弦已知时，半圆的剩余部分所对的弦长也可求得。 内接于一个半圆的角为直角。在直角三角形中，对应于直角的边（即
直径）的平方等于形成直角的两边的平方之和。十角形一边所对的弧为 36 度。定理一已证明它的长度为 61，803 单位，而直径为 200，000 单位。因 此可得半圆剩下的 144 度所对的弦长为 190，211 单位。五角形一边的长度
为 117，557 单位，它所对的弧为 72 度，半圆其余 108 度所对弦长可求得 为 161，803 单位。定理二（定理三的预备定理）




① 即黄金分割

图 1—6 在圆内接四边形中，以对角线为边所作矩形等于两组对边所作矩形之
和。
令圆内接四边形为 ABCD，我说的是对角线的乘积 AC×DB 等于 AB×DC
和 AD×BC 两个乘积之和。取 ABE 角等于 CBD 角。于是整个 ABD 角等于整个 EBC 角，而 EBD 角为两者所共含。此外，ACB 和 BDA 两角相等，因为它们截 取圆周的同一段弧。因此两个相似三角形（BCE 和 BDA）的相应边长成比例， BC∶BD=EC∶AD，于是乘积 EC×BD 等于乘积 BC×AD。因为 ABE 和 CBD 两角 是作成相等的，而 BAC 与 BDC 两角由于截取同一圆弧而相等，所以 ABE 和 CBD 两个三角形也相似。于是，和前面一样，AB∶BD=AE∶CD，乘积 AB×CD 等于乘积 AE×BD。但是已经证明乘积 AD×BC 等于乘积 BD×EC。相加便得
乘积 BD×AC 等于两个乘积 AD×BC 与 AB×CD 之和。此即所需证明。
定理三
　　由上述可知，如果在一个半圆中两段不相等的弧所对弦长已知，则可 求得两弧之差所对的弦长。
　　在直径为 AD 的半圆 ABCD 中，令相对于不等弧长的弦为 AB 和 AC。我 们需要求弦长 BC。从上述（定理一的推论），可求相对于半圆中弧的弦 BD
和 CD。于是在半圆中形成四边形 ABCD。它的对角线 AC 和 BD，以及三个边
AB、AD 和 CD 都已知。按定理二，在这个四边形中，乘积 AC×BD 等于两个 乘积 AB×CD 和 AD×BC 之和。因此，从乘积 AC×BD 中减去 AB×CD，剩下 的是乘积 AD×BC。如果除以 AD（这是办得到的），便可得我们所求的弦长 BC。


图 1—7 由上述，例如五角形和六角形的边长已知，于是它们之差 12°（=72
°-60°）所对的弦长可用这个方法求得为 20，905 单位。定理四已知任意
弧所对的弦，可求其半弧所对的弦长。

图 1—8
令圆为 ABC，其直径为 AC。令 BC 为给定的带弦的弧。从圆心 E，作直
线 EF 与 BC 相垂直。于是，按欧氏著作Ⅲ，3，EF 将 BC 等分于 F 点。延长 EF，它将弧等分于 D。画弦 AB 和 BD。ABC 和 EFC 为直角三角形。进而言之， 因为有共同角 ECF，它们是相似三角形。因此，既然 CF 为 BFC 的一半，EF
为 AB 的一半。但与半圆所余弧长相对的弦 AB 可按定理一的推论求得。于
是 EF 也可得出，而半径的剩余部分 DF 也求得了。作直径 DEG。画 BG 联线。 在三角形 BDG 中，从直角顶点 B 向斜边作的垂直线为 BF。因此乘积 GD×DF 等于 BD 的平方。于是 BDG 弧的一半所对的弦 BD 的长度便求出了。
因为对应于 12°的弦长已求得（定理三），对应于 6°的也可得出为
10，467 单位；3°为 5，235 单位；11/2°为 2，618 单位；和 3/4°为 1，309
单位。
定理五
更进一步，已知两弧所对的弦，可求两弧之和所对的弦长。

图 1—9

　　令圆内已知的两段弦为6A 和 BC。我要说明对应于整个 ABC 弧的弦长 也可求得。画直径 AFD 和 BFE 以及直线 BD 和 CE。因为 AB 和 BC 已知，而
DE 等于 AB，由前面的定理一的推论可得这些弦长。联接 CD，完成四边形 BCDE。它的对角线 BD 和 CE 以及三个边 BC、DE 和 BE 都可求得。剩余的一 边（CD）也可由定理二求出。因此与半圆余下部分所对的弦 CA 可以得到， 这即是整个 ABC 弧所对的弦。这是我们所要求的结果。
至此与 3°、11/2°和 3/4°相对的弦长都已求得。取这样的间距，可以
制精确的表。可是如果需要增加一度或半度，使两段相加，或作其他运算， 求得的弦长是否正确值得怀疑。这是因为没有找到它们之间的图形关系。 但是用另一种方法可以作到这一点，而不会有任何可以察觉的误差，只是 需要使用一个非常精确的数字。托勒密（《大成》，Ⅰ，10）也计算过 1
°和 1/2°的弦长。他首先指出下列问题。
定理六
大弧和小弧之比大于对应两弦长之比。
　　令 AB 和 BC 为圆内两段相邻的弧，而 BC 较大。我要说明 BC∶AB①的比 值大于构成 B 角的弦的比值 BC∶AB。令直线 BD 等分 B 角。联接 AC 线。令 它与 BD 相交于 E 点。联接 AD 和 CD 线。这两条线相等，因为它们所对的弧 相等。在三角形 ABC 中，角的等分线也与 AC 相交于 E 点，底边的两段之比 EC∶AE 等于 BC∶AB 的比值。BC 大于 AB，EC 也大于 EA。作 DF 垂直于 AC。
DF 等分 AC 于 F 点，此点应在较长的一段（即 EC）内。在每个三角形中，
大角对长边。因此在三角形 DEF 中，DE 边长于 DF 边。AD 甚至长于 DE。因 此以 D 为中心、DE 为半径画的圆弧，会与 AD 相交并超出 DF。令此弧与 AD 相交于 H，并令它与 DF 的延长线相交于 I。于是扇形 EDI 大于三角形 EDF。 但三角形 DEA 大于扇形 DEH。因此三角形 DEF 与三角形 DEA 之比，小于扇
形 EDI 与扇形 DEH 之比。可是扇形与其弧或中心角成正比，而顶点相同的
三角形与其底边成正比。因此角度之比 EDF∶ADE，大于顶边之比 EF∶AE。 由相加可知，角度比 FDA∶ADE 大于边长比 AF∶AE；同样可得，CDA∶ADE 大于 AC∶AE。相减，CDE∶EDA 也大于 CE∶EA。然而 CDE 与 EDA 两角之比 等于弧长之比 CB∶AB。底边 CE∶ AE 等于弦 BC∶AB。因此，弧长之比 CB∶
AB 大于弦长之比 BC∶AB。证讫。


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图 1—10
问题
　　因为相同两端点之间直线最短，弧总比其所对的弦长。但随着弧长不 断减少，这个不等式趋于等式，以致直线和圆弧最终同时在圆上的最后切 点消失。在这种情况出现之前，它们的差必定小到难以察觉。

图 1—11
例如，令弧 AB 为 3°，弧 AC 为 11/2°。设直径长 200，000 单位，按
定理四可得 AB 所对的弦为 5235 单位，而 AC 所对弦长为 2618 单位。AB 弧
是 AC 弧的两倍，可是 AB 弦不到 AC 弦的两倍，后者比 2617 只大一个单位。




① 此外 BC 和 AB 均为弧长。

如果取 AB 为 11/2°，AC 为 3/4°，便得 AB 弦为 2618 单位，而 AC 为 1309 单位。虽然 AC 应当大于 AB 弦的一半，但与一半似乎一样大，两弧之比与 两弦之比现在趋于一致。因此可知，我们现在接近于直线的弧线之差根本 无法察觉的状况，这时它们似乎已化为同一条线。因此我毫不犹豫地把 3/4
°与 1309 单位这一比值同样用于 1°或某些分度所对的弦。于是，1/4°与
3/4°相加，可得 1°所对弦为 1745 单位；1/2°为 8721/2单位；1/3°为 582
单位。


　　　　　　　　　　　　图 1—11 我相信在表中只列入倍弧所对的半弧就足够了。用这种简化方法，我
把以前需要在半圆内(150)展开的数值压缩到一个象限之内。这样做的主要 理由是在证题和计算时，半弦比整弦用得更多。我列出每六分之一度(151) 有一个值的表。它有 3 栏。第一栏为度数（即圆周的分度）和六分之几度 (152)。第二栏为倍弧的半弦数值。第三栏列出这些数值每隔一度的差额。 用这些差额可以一度内的分数内插出相应的正比量。下面就是圆周弦长表
(153)。


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第十三章 平面三角形的边和角

【按哥白尼原订写作方案，为第二卷第二章】 一

图 1-12 已知三角形的角，可求各边。
令三角形为 ABC。按欧氏著作第四卷问题 5，对它作外接圆，于是在
360°等于两个直角的系统内，AB、BC 和 CA 三段弧都可求得。在弧已知时， 内接三角形的边可按上面的表当作弦求出。取直径为 200，000，由此确定 边长的单位。

二


图 1-13 已知三角形的一角和两边，则另一边和两角可求得。 已知的两边可以相等或不等，已知的角可以是直角、锐角或钝角(156)，
而已知角可以是或不是已知两边的夹角。

二甲


　　首先，令三角形 ABC 中已知两边 AB 和 AC 相等。该两边夹已知角 A.于 是其他的角，即在底边 BC 两侧的角可以求得。该两角相等，各等于两直角 减去 A 角后的一半。如果底边的一角原来已知，于是与之相等的角已知， 两直角减掉它们后，另一角也求得了。当三角形的角与边都已知时，底边
BC 可由表查得。取半径 AB 或 AC 等于 100，000，或直径等于 200，000。

二乙



图 1-14
如果 BAC 为两已知边所夹的直角，可得同样结果。
　　很清楚，AB 和 AC 的平方之和等于底边 BC 的平方。因此 BC 的长度可 以求出，于是各边的相互关系也求得了。与直角三角形外接的是一个半圆， 其直径为底边 BC。取 BC 为 200，000 单位，便可得 B、C 两角所对弦 AB 和
AC 的长度。已知 B、C 两角的度数（180 度等于两直角(157)），便可用它们 查表。如果 BC 和夹直角两边中的一边已知，也可得到相同结果。我认为， 这一点现在完全清楚。

二丙


　　现在令已知角 ABC 为锐角，夹它的两边 AB 和 BC 都已知。从 A 点向 BC 作垂线，需要时延长 BC 线。（是否需要，视垂线落在三角形内或外而定。）
　　
令垂线为 AD。由它形成两个直角三角形 ABD 和 ADC。D 是直角，而按假设 B 角已知，因此三角形 ABD 的角都已知。于是 A、B 两角所对的弦 AD 和 BD 可由表查出，用直径 AB 为 200，000 的单位表示。AD、BD、以及 CD 的单位 都与 AB 相同。BC 超过 BD 的长度为 CD。因此在直角三角形 ADC 中、AD 和
CD 两边可知，所求的边 AC 和角 ACD 也都可按上述方法得出。
图 1-15 二丁
　　假如 B 角是钝角，结果是一样的。从 A 点向 BC 的延长线作垂线 AD， 由此形成三个角均已知的三角形 ABD。ABD 角是 ABC 角的补角，而 D 是直 角。于是 BD 和 AD 都可以用 AB 为 200，000 的单位表示。因为 BA 和 BC(158) 的相互比值已知，BC 也可用与 BD 相同的单位表示，于是整个 CBD 也如此。 直角三角形 ADC 的情况与此相同，因为 AD 和 CD 两边已知，于是所需的边
AC 以及 BAC 和 ACB 两角都可求出。
二戊 图 1-16
　　现在令已知两边之一与已知角 B 相对。令这个对边为 AC，而另一已知 边为 AB，于是 AC 可由表查出，三角形 ABC 的外接圆的直径为 200，000。
由 AC 与 AB 的已知比值，AB 可用相同单位表示。查表可得 ACB 角和剩下的
BAC 角。用后面这一角度，弦 CB 也可求得。当这一比值已知时，边长可用 任何单位表示(159)。
三 如果三角形各边已知，各角均可求得。
对于等边三角形，每个角都是两直角的三分之一。这一事实尽人皆知。
　　等腰三角形的情况也很清楚。两等边与第三边之比等于半径与弧所对 弦之比。通过弧，可以由表查出两等边所夹的角。角度的单位为 360°中 心角等于 4 个直角。在底边旁边的两个角各为从两直角减去两等边所来角 所余量的一半。


图 1-17 尚待研究的是不等边三角形。它们也可以分解为直角三角形。令 ABC
为三边均已知的不等边三角形。对最长边（例如为 BC）作垂线 AD。按欧氏 著作、Ⅱ、B，一个锐角所对 AB 边的平方小于其他两边的平方之和，差额 为乘积 BC×CD 的两倍。C 应为锐角，否则按欧氏著作、Ⅰ、17 以及随后的 两条定理，AB 会成为最长边，而这违反假设。因此 BD 和 DC 都已知；于是 和已经多次遇到的情况一样，三角形 ABD 和三角形 ADC 都为边与角均已知 的直角三角形。由此可求得三角形 ABC 的所求各角。
另一种作法是按欧氏著作、Ⅲ，也许更容易得出同样结果。令最短边
为 BC。以 C 为中心，BC 为半径画的圆会与其他两边或其中的一边相截。

先让圆与两边都相截，与 AB 截于 E 点，与 AC 截于 D 点。延长 ADC 线
到 F 点，使 DCF 的长度等于直径。用这一图形，由欧氏定理可知，乘积 FA
×AD 等于乘积 BA×AE。这是因为该两乘积都等于从 A 点对圆所作切线的 平方。AF 的各段已知，整个 AF 也可知。CF 和 CD 都是半径，自然均等于 BC。AD 为 CA 超过 CD 的长度。因此乘积 BA×AE 也已知。于是 AE 的长度 以及 BE 弧所对 BE 弦的长度都可求得。联接 EC，便得各边已知的等腰 三角形 BCE。因此 EBC 角可求得。于是由前述可以得到三角形 ABC 的其他 两角 C 和 A。
图 1-18 图 1-19
现在如第二图所示，设圆不与 AB 相截，然而 BE 已知。进一步说，在
等腰三角形 BCE 中 CBE 角已知，它的补角 ABC 也可求出。按与前面完全相 同的推证程序，可得其他角。
　　上述各点（包括测量学的较多内容）可以满足平面三角形的需要。下 面讲述球面三角形。
　　
第十四章 球面三角形


【按哥白尼原订写作方案，为第二卷第三章】 下面我把凸面三角形认作在球面上由三条大圆弧围成的圆形。一个角
的大小以及各个角之差，用以角的顶点为极所画大圆的弧长度量.该弧在形 成该角的大圆上截出。这样截出的弧与整个圆周之比，等于相交角与 4 个 直角之比。我所说的整个圆周和 4 个直角都含 360 个相等的分度。

一(160)


　　如果球面上有三段大圆的弧，其中任意两段之和比第三段长，它们显 然可以形成一个球面三角形。
　　关于圆弧的这段话在欧氏著作，Ⅺ，23 已经对角度证明过。因为角之 比和弧之比相同，而大圆的面通过球心，成为弧的 3 段大圆显然在球心形 成一个立体角，因此本定理成立。
二 三角形的任一边均小于半圆。
半圆在球心并不形成角度，而成一直线穿过球心。在另一方面，其余
两边所属的角在球心不能构成立体角，因此不能形成球面三角形。我认为， 这就是托勒密在论述这类三角形（特别是球面扇形）时规定各边均不能大 于半圆的理由（《大成》，Ⅰ，13）。

三


　　在直角球面三角形中，直角对边的 2 倍弧所对弦同其一邻边 2 倍弧的 弦之比，等于球的直径同另一邻边与对边所夹角的 2 倍在大圆上所对弦之 比。

图 1-20
全球面三角形 ABC 中 C 为直角。我要说明，两倍 AB 所对的弦同两倍
BC 所对的弦之比等于球的直径同两倍 BAC 角在大圆上所对弦之比。
　　取 A 为极，画大圆弧 DE。作成 ABD 和 ACE 两象限。从球心 F 画下列各 圆面的交线：ABD 和 ACE 的交线 FA； ACE 和 DE 的交线 FE；ABD 和 DE 的交
线 FD 以及 AC 和 BC 两圆面的交线 FC。然后画垂直于 FA 的直线 BG，垂直于 FC 的 BI 以及垂直于 FE 的 DK。联接 GI 线。
　　如果一圆与另一圆相交并通过其两极，则两圆相交成直角。因此 AED 为直角。按假设，ACB 也是直角。于是 EDF 和 BCF 二平面均垂直于 AEF。 在后一平面上的 K 点作一条与交线 FKE 垂直的直线。按平面相互垂直的定 义，这条垂线与 KD 相交成另一直角。因此按欧氏著作，Ⅺ，4，KD 也垂直
于 AEF。用同样方法，作 BI 垂直于同一平面，于是按欧氏著作，Ⅺ，6，
DK 和 BI 相互平行(161)。与此类似，因为 FGB 和 GFD 都是直角，GB 平行于 FD。按欧几里得《几何原本》，Ⅺ，10， FDK 角等于 GBI 角。但 FKD 是直

角，按垂线的定义 GIB 也是直角。相似三角形的边长成比例，DF 比 BG 等
于 DK 比 BI。因为 BI 垂直于半径 CF，BI 是 CB 的倍弧所对的半弦。同样可 知，BG 是 BA 的倍边所对的半弦；DK 是 DE 的倍边或 A 的倍角所对的半弦；
而 DF 是球的半径。因此显然可知，AB 的倍边所对的弦与 BC 的倍边所对的 弦之比，等于直径与 A 的倍角或 DE 的倍弧所对的弦之比。这个定理的证明 对后面是有用的。
四 在任何三角形中，一角为直角，若另一角和任一边已知，则其余的角
和边均可求(162)。

图 1-21
　　令三角形 ABC 中 A 为直角，而其余两角之一（例如 B）也已知。至于 已知边，可分 3 种情况。它与两已知角都相邻，即为 AB；仅与直角相邻，
为 AC；或者为直角的对边，即 BC。
先令已知边为 AB。以 C 为极，作大圆的弧 DE。连接象限 CAD 和 CBE·延
长 AB 和 DE，使之相交于 F 点。因为 A 和 D 都是直角，F 也是 CAD 的极。如 果球面上的两个大圆相交成直角，它们彼此平分并都通过对方的极点，因
此 ABF 和 DEF 都是象限。因 AB 已知，象限的其余部分 BF 也可知，EBF 角
等于其对顶角 ABC，而后者已知。按前面的定理，与两倍 BF 所对的弦同与 两倍 EF 所对的弦之比，等于球的直径同与两倍 EBF 角所对的弦之比。因为 它们之中有 3 个量（即球的直径，BF 和 EBF 角一倍或它们的一半）已知。 因此，按欧氏著作， Ⅵ，15，与 EF 的倍弧所对的半弦也可知。按表，EF 弧已知。因此，象限的其余部分 DE，即所求的角 C 可知。
反过来，同样可得 DE 和 AB 的倍弧所对弦之比等于 EBC 与 CB 之比。但
已有 3 个量已知，即 DE、AB 和象限 CBE。因此第四个量（即二倍 CB 所对 的弦）可知，于是所求边 CB 也可知。就倍弧所对弦来说，CB 与 CA 之比等
于 BF 与 EF 之比。这两个比值都等于球的直径与两倍 CBA 角所对弦之比。
两个比值都等于相同比值，它们彼此相等。因此，既然 BF、EF 和 CB 等三 个量已知，第四个量 CA 可以求得，而 CA 为三角形 ABC 的第三边。
令 AC 是假定为已知的边，需要求的是 AB 和 BC 两边以及其余的角 C。
如果作反论证，两倍 CA 所对弦与两倍 CB 所对弦之比等于两倍 ABC 角所对 弦与直径之比。由此可得 CB 边以及象限的剩余部分① AD 和 BE。于是再次 得两倍 AD 所对弦与两倍 BE 所对弦之比等于两倍 ABF 所对弦（即直径）与 两倍 BF 所对弦之比。因此可得弧 BF，而其余边为 AB。用与上述相似的推 理过程，从两倍 BC、AB 和 FBE 所对的弦，可得两倍 DE 所对的弦，即余下 的角 C。进而言之，如果 BC 已知，可仿前述求得 AC 以及余边 AD 和 BE。正 如已经多次谈到的，用这些量并通过所对直线和直径，可得弧 BF 及余边 AB。于是按前述定理，由已知的 BC、AB 和 CBE，可得 ED，这即是我们要求 的余下的角 C。
于是又一次在三角形 ABC 中，A 和 B 两角已知，其中 A 为直角，三边



① 即余边。

中有一边已知，则第三角与其他两边可以求得。证讫。

五(163)


如果三角形的角都已知，其中一个为直角，则各边可知。 仍用前图。在图中，因角 C 已知，弧 DE 可知，于是象限的剩余部分
EF 也可知。因为 BE 是从 DEF 的极画出的，BEF 为直角。EBF 为一个已知角 的对顶角。因此按前述定理，三角形 BEF 有一个直角 E、另一已知角 B 和 已知边 EF，则它的边和角均可知。 于是 BF 可知，象限的剩余部分 AB 也可知。按前述，在三角形 ABC 中同样可以证明其余的边 AC 和 BC 都可知。

六(164)


　　　　　　　　　　　　图 1—22 如果在同一球面上有两个三角形，它们各有一直角，一个相应角和一
个相应边彼此相等，则无论该边与相等的角相邻或相对(165)，余下的两个 相应边以及一个相应角均彼此相等。
令 ABC 为半球。在它上面作两个三角形 ABD 和 CEF。令 A 和 C 为直角。
进一步令角 ADB 等于角 CEF，并令各有一边相等。先令相等边为相等角的 邻边，即令 AD=CE。还有 AB 边等于 CF 边，BD 等于 EF 和余下的角 ABD 等于 余下的角 CFE。以 B 和 F 为极，画大圆的象限 GHI 与 IKL。连接 ADI 和 CEI。 它们应在半圆的极（即 I 点）相交，这是因为 A 和 C 为直角，而 GHI 与 CEI 都通过圆 ABC 的两极。因 AD 和 CE 已取为相等边，则它们的余边 DI 和 IE 应相等，角 IDH 和角 IEK 是取为相等角的对顶角，也应相等。H 和 K 为直 角。等于同一比值的两个比值应当相等。两倍 ID 所对弦与两倍 HI 所对弦 之比，等于两倍 EI 所对弦与两倍 IK 所对弦之比。按上述定理三，这些比 值中每一个都等于球的直径与两倍 IDH 角所对弦（或与之相等的两倍 IEK 角所对弦）之比。两倍 DI 弧所对弦等于两倍 IE 所对弦。因此，按欧几里 得《几何原本》， Ⅴ，14，两倍 IK 和 HI 所对弦也相等。在相等的圆中， 相等的直线截出相等的弧，而分数在乘以相同的因子后保持相同的比值。 因此，单弧 IH 与 IK 相等。象限的剩余部分 GH 和 KL 也相等。于是 B 与 F 两角显然相等。因此两倍 AD 所对弦与两倍 BD 所对弦之比以及两倍 CE 所对 弦与两倍 BD 所对弦之比，都等于两倍 EC 所对弦与两倍 EF 所对弦之比。按 定理三的逆定理，这两个比值都等于两倍 HG（或与之相等的 KL）所对弦与 两倍 BDH 所对弦（即直径）之比。AD 等于 CE。因此，按欧几里得《几何原 本》，Ⅴ，14，由两倍 BD 和 EF 所对直线，可知这两段弧相等。
　　已知 BD 和 EF 相等，我将用同样方法证明其余的边与角均各自相等。 如果把 AB 和 CF 改设为相等边，则由比值的相等关系可得同样结论。

七(166)


　　如果没有直角，假如相等角的邻边等于相应边，则相同的结论可予证 明。
在 ABD 和 CEF 两个三角形中，令任意两角 B 和 D 等于两相应角 E 和 F。

还令与相等角相邻的边 BD 等于边 EF。则这两个三角形的边和角都相等。 又一次以 B 和 F 为极，画大圆的弧 GH 和 KL。令 AD 和 GH 延长时相交
于 N，而 EC 和 LK 相似延长时相交于 M。于是在两个三角形 HDN 和 EKM 中，
角 HDN 和角 KEM 作为假定为相等角的对顶角，也是相等的。H 和 K 都通过 极点，因此是直角。进一步说，边 DH 和 EK 相等。因此按上一条定理，两 三角形的角和边各自相等。

图 1—23
　　因为假设 B 和 F 两角相等，GH 和 KL 又一次是相等的弧。按相等量相 加后仍然相等这一公理，整个 GHN 等于整个 MKL。因此此处两三角形 AGN
和 MCL 也有一边 GN 等于一边 ML，角 ANG 等于角 CML，并有直角 G 和 L。根 据这一理由，这些三角形的边与角都各自相等。从相等量减去相等量后， 其差仍相等，因此 AD 等于 CE，AB 等于 CF，角 BAD 等于角 ECF·证讫。

八(167)


　　进而言之，如果两三角形有两边等于两相应边，还有一角等于一角（无 论为相等边所夹角还是底角），则底边也应等于底边，其余两角各等于相 应的角(168)。
在上图中，令边 AB 等于边 CF，AD 等于 CE。先令相等边所夹角 A 等于
角 C。求证底边 BD 也等于底边 EF，角 B 等于角 F，而角 BDA 等于角 CEF。 我们有两个三角形 AGN 和三角形 CLM，它们的角 G 和 L 都是直角，而角 GAN 和角 MCL 作为相等角 BAD 和 ECF 的补角也相等；GA 等于 LC。因此两个三角 形的相应角与边都相等。AD 和 CE 相等，DN 和 ME 也相等。但已经证明角 DNH 等于角 EMK。已知 H 和 K 为直角，三角形 DHN 和三角形 EMK 的相应角与 边也都相等。则 BD 等于 EF，GH 等于 KL。两三角形的角 B 与角 F 相等，角
ADB 和角 FEC 也相等。
　　但如果不取边 AD 和 EC，而令底边 BD 和 EF 相等。这些底边与相等角 相对，其余一切都与前面一样，证明可以同样进行。作为相等角的补角，
角 GAN 与角 MCL 相等。G 和 L 是直角。AG 等于 CL。于是与前述相同，三角
形 AGN 和三角形 MCL 的相应角与边都相等。对它们所包含的三角形 DHN 和 MEK 来说，情况是一样的。H 和 K 为直角；角 DNH 等于角 KME；DH 和 EK 都 是象限的剩余部分，这两边相等。从这些相等关系，可以得出已阐明的相 同结论。
　　　　　　九(169)
在球面上也是这样，等腰三角形底边的两角相等。

图 1—24
　　令三角形 ABC 的两边 AB 和 AC 相等。求证两底角 ABC 和 ACB 也相等。 从顶点 A 画一个与底边垂直的（即通过底边之极的）大圆。令此大圆为 AD。 于是在 ABD 和 ADC 两三角形中，边 BA 等于边 AC；AD 为两三角形的共同边；
在 D 点的两角为直角。因此很清楚，按上述定理角 ABC 和角 ACB 相等。证 讫。
推论

　　根据本定理和上述定理明显可知，从等腰三角形顶点画的与底边垂直 的弧使底边平分，同时使相等边所夹角平分，反之亦然。

　　　　十(170)


相应边都相等的两任意三角形，其相应角也各自相等。 在这两种情况下，三段大圆形成角锥体，其顶点都在球心。但它们的
底是由凸三角形的弧所对直线形成的平面三角形。按立体图形相等和相似 的定义，这些角锥体是相似和相等的。可是当两个图形相似时，它们的相 应角也应相等。尤其是对相似形体作更普遍定义的人们要求，具有相似构 形的任何形体，它们的相应角都是相等的。我想从这些道理显然可知，相 应边相等的球面三角形是相似的，这与平面三角形的情况是一样的。

十一(171)


若任何三角形的两边和一角已知，则其余的角和边都可知(172)。 如果已知边相等，则两底角相等。按定理九的引理，从直角顶点画垂
直于底边的弧，可使待证命题自明。
　　但在三角形 ABC 中已知边可以不相等。令 A 角和两边已知。该两边可 夹或不夹已知角。
先令已知角为已知边 AB 和 AC 所夹。以 C 为极，画大圆弧 DEF。完成
象限 CAD 和 CBE。延长 AB，使之与 DE 相交于 F 点。于是在三角形 ADF 中，
边 AD 是从象限减去 AC 的剩余部分①，也已知。则角 BAD 等于两直角减去角 CAB②，角 BAD 也已知。角度及其大小的比值与从直线和平面相交所得比值 相同。D 为直角。因此按定理四，三角形 ADF 为各角与边都已知的三角形。 又一次在三角形 BEF 中，F 角已求得；E 角的两边都通过极点，因此是直角；
边 BF 是整个 ABF 超出 AB 的部分，也是已知的。因此按同一定理，BEF 也
是一个各角和边都已知的三角形。于是从 BE 可求得象限的剩余部分，即所 求边 BC。从 EF 可得整个 DEF 的剩余部分 DE，这即是 C 角。从 EBF 角可求 得其对顶角 ABC，此即所求角。

图 1—25
　　但是，如果假定为已知的边不是 AB，而是已知角所对的边 CB，仍会得 出相同结果。AD 和 BE 作为象限的剩余部分，都已知。按与前面相同的论 证，ADF 和 BEF 两三角形的各角和边都可知。正如前面提出的，从这两个 三角形可求得主题三角形 ABC 的各边和角。

　　十二(173)


进而言之，如果任何两角和一边已知，可得同样结果(174)。 仍用前面的图形，在三角形 ABC。中令角 ACB 和角 BAC 以及与它们都



① 即 AC 的余边。
② 即 CAB 的补角。

相邻的边 AC 均已知。此外，若已知角中任一个为直角，则按前述定理四的 论证，其他一切均可求得。然而我要论证的为已知角都不是直角。于是 AD 为象限 CAD 减去 AC 的剩余部分；角 BAD 等于两直角减去 BAC；而 D 是直角。 因此按前面定理四，三角形 AFD 的角与边均可知。但因 C 角已知，弧 DE 可知，剩余部分 EF 也可知。角 BEF 为直角，F 是两个三角形共有的角。按 前述定理四，同样可求得 BE 和 FB，由此可以求得其余的边 AB 和 BC。
　　在另一情况下，已知角中的一个与已知边相对。例如，已知角不是角 ACB 而是角 ABC，而其他一切不变，则与前面相同的论证可以说明整个三角
形 ADF 是各角和边都可知的三角形。对次级三角形 BEF 来说，情况是一样 的。F 角是两三角形的公共角；角 EBF 为一已知角的对顶角；而 E 为直角。 因此，正如前面已证明的，该三角形各边均可知。最后，由这些边可以得 出与我所阐明的相同的结论。所有这些性质之间随时都有一种不变的相互 关系，有如球形所满足的关系。

十三(175)
最后，如果三角形各边已知，其角均可知。 图 1—26
令三角形 ABC 各边已知。求各角。三角形的边可以相等或不相等，先
令 AB 等于 AC。与两倍 AB 和 AC 相对的半弦显然也相等。令这些半弦为 BE
和 CE。它们会相交于 E 点，这是因为它们与位于 DE（它们的圆的交线）上 的球心是等距的。这从欧氏著作，Ⅲ，定义 4 及其逆定义中明显可知。但 按欧氏著作，Ⅲ，3，角 DEB 是平面 ABD 上的一个直角，DEC 也是平面 ACD 上的一个直角。因此，按欧氏著作，Ⅺ，定义 4，角 BEC 是这两个平面的 交角。角 BEC 可按下列方法求得。它与直线 BC 相对。于是有平面三角形 BEC·它的边可由已知的弧求得。BEC 的各角也可知，于是由前述可得所求 的角 BEC（即球面角 BAC）及其他两角。


　　　　　　　　　　　　图 1—27 但是如第二图所示，三角形可能是不等边的。显然，与两倍边相对的
半弦不会相交。令弧 AC 大于 AB，并令 CF 为与两倍 AC 相对的半弦。于是
CF 从下面通过。但如果弧 AC 小于 AB，半弦会高一些。这按欧氏著作，Ⅲ，
15，视这些线距中心较近抑或较远而定。画 FG 使之平行于 BE。令 FG 与圆 的交线 BD 相交于 G 点。连接 CG。于是角 EFG 显然为直角，它当然等于角 AEB。因为 CF 是两倍 AC 所对的半弦，角 EFC 也是直角。于是角 CFG 为 AB
和 AC 两圆的交角。因此角 CFG 也可得出。由于三角形 DFG 与三角形 DEB 为相似三角形，DF 比 FG 等于 DE 比 EB。因此 FG 单位与 FC 相同。但 DG 与
DB 也有同一比值。取 DC 为 100，000，DG 也可用同样单位表出。此外，角 GDC 可从弧 BC 求得。因此，按关于平面三角形的定理二，边 GC 可用与平 面三角形 GFC 其余各边相同的单位表示。按平面三角形的最后一条定理， 可得角 GFC，此即所求球面角 BAC，然后按球面三角形的定理十一可以求得
其余的角。

十四(176)


　　如果将一段圆弧任意地分割为两段短于半圆的弧①，若两段弧的两倍所 对半弦之比已知，则可求每段弧长。
　　令 ABC 为已知圆弧，D 为圆心。令 ABC 被 B 点分割成任意两段，但须 使它们都短于半圆。令两倍 AB 与两倍 BC 所对半弦之比可用某一长度单位 表出。我要说明弧 AB 和 BC 都可求。

图 1—28
　　画直线 AC，它与直径相交于 E 点。从端点 A 和 C 向直径作垂线。令这 些垂线为 AF 和 CG，它们应为两倍 AB 和 BC 所对的半弦。于是在直角三角
形 AEF 和 CEG 中，在 E 的对顶角相等。因此两三角形的对应角都相等。作 为相似三角形，它们的与相等角所对的边成比例：AF 比 CG 等于 AE 比 EC。 于是 AE 和 EC 可用与 AF 或 GC 相等的单位表出。由 AE 和 EC 可得用相同单 位表示的整个 AEC。但是作为弧 ABC 所对弦的 AEC，可用表示半径 DEB 的单 位求得。还可用同样单位求得 AK（AC 的一半）以及剩余部分 EK。连接 DA
和 DK，它们可以用与 DB 相同的单位求出。DK 是从半圆减去 ABC 后余下的 弧所对弦长的一半。余下的这段弧包含在 DAK 角内。因此可得 ADK 为包含 一半 ABC 弧的角。但是在三角形 EDK 中，因为两边已知，而角 EKD 为直角，
角 EDK 也可求得。于是可得整个 EDA 角。它包含弧 AB，由此还可求得剩余
部分 CB。这即是我们所要证明的。

十五(177)
如果三角形所有的角都已知，即使它们都非直角，各边仍均可求。 图 1—29
令三角形为 ABC，其各角均已知，但都不是直角。求各边。从任一角，
例如 A，通过 BC 的两极画弧线 AD。它与 BC 正交。除非 B、C 两底角中一为 钝角，另一为锐角，否则 AD 将落到三角形之内。要是情况如此，就须从钝 角作底边的垂线。完成象限 BAF、CAG 和 DAE。以 B 和 C 为极作弧 EF 和 EG。 因此角 F 和角 G 也是直角。于是在两个直角三角形中，两倍 AE 和 EF 所对 半弦之比等于球的半径与两倍 EAF 角所对半径之比。与此相似，在三角形 AEG 中，G 为直角，两倍 AE 和 EG 所对半弦之比等于球的半径与两倍 EAG 角所对半弦之比。因为这些比值相等，两倍 EF 和 EG 所对半弦之比等于两
倍 EAF 角和 EAG 角所对半弦之比。作为从直角减掉 B 和 C 角的余量，FE 和
EG 是已知的弧。于是从 FE 和 EG 可得角 EAF 与角 EAG 两角之比，这即是它 们的对顶角 BAD 与 CAD 之比。但整个 BAC 角已知。因此按上述定理，BAD
和 CAD 两角可求。于是按定理五，可得 AB、BD、AC、CD 各边以及整个 BC 边。
就满足我们目标的需要来说，为三角形所作偏离主题的讨论至此已足 够了。如果作更加充分的讨论，就需要有一部专著(178)。



① 英译本原文为两段弧之和小于半圆，有误，现据俄文本改正。

第二卷 引 言


　　我已经概括地叙述了地球的三种运动。我指望用它们来解释天体的一 切现象[Ⅰ，11]。下面我将尽最大努力，通过对现象的逐个分析与研究， 来做到这一点。然而我将从人们最熟悉的一种运转，即昼夜交替谈起。我 已经说过[Ⅰ，4]，这在希腊文中称为νυχθημερον。我认为这个 现象特别地并直接地与大地的球形有关，而月、年以及其他名目繁多的时 间称号都起源于这种运转，正如各个数字都起源于一。时间是运动的量度 (1)。对于昼夜的不等长以及太阳和黄道十二宫的出没（这些都是这种运转 的效果），我只想谈很少一点看法，这主要是因为关于这些课题许多人已 经做了充分论述，并与我的观点协调一致。虽然他们的解释以地球不动和 宇宙旋转为基础，而我持相反的论点(2)并同样能说明这些现象，实际上二 者并无差异。情况就是这样，相互有关联的现象显示出一种正反两面都成 立的一致性。可是我不会忽略任何重要的事情(3)。如果我仍然单纯地谈到 太阳和恒星的出没以及类似现象，但愿谁也不要感到惊奇。与此相反，应 当承认我用的是每个人都能接受的常用词汇，然而我随时牢记在心(4)①。 大地载我辈，
日月经天回。
星辰消逝后， 终将再返归。





































① 原诗为两句，现改译为四句。

第一章 圆圈及其名称


　　我已经说过[Ⅰ，11]，赤道是绕地球周日自转的两极所画的最大纬度 圈。另外，黄道是通过黄道十二宫中心的圆，而地球的中心在黄道下面作 周年运转。但是黄道与赤道斜交，这与地轴对黄道的倾斜是一致的。于是， 作为地球周日自转的结果，倾角的最外极限在赤道的每一边都扫描出一个 与黄道相切的圆。这两个圆称为“回归线”，这是因为太阳在这两条线上
（即是在冬天和夏天）出现方向倒转。于是北面的一条通常称为“夏至线”， 而南面的为“冬至线”。这在前面对地球运转的一般描述中已经解释过了
[Ⅰ，11]。 接着要谈到的是所谓的“水平圈”。罗马人称之为“分界线”，因为
它把宇宙划分为我们看得见的和隐而不见的两部分(5)。一切上升的天体似 乎都在地平圈上升起，而一切下落的天体似乎都在地平圈上沉没。它的中 心是在地面上，而极点在我们的天顶。但是天穹比地球大得无可比拟。照 我的看法，甚至日月之间的整个空间也不能和浩瀚的天穹相提并论。正如 我在前面说明过的[Ⅰ，6]，地平圈就像一个通过字宙中心的圆面，把天穹 划分为两等分。但是地平圈与赤道斜交。于是在赤道两边，地平圈也与一 对纬圈相切。在北边，这是一年到头都可以看见的星星的边界圆圈，而在 南边是永远隐而不见的星星的边界圆圈。普罗克拉斯(Proclus)①和大多数 希腊人把前者称为“北极圈”(6)。而后者为“南极圈”(6)。这两个圆圈随 地平圈的倾角或北极星的高度而变大或缩小。
剩下的是穿过地平圈的两极，也穿过赤道两极的子午圈。因此子午圈
同时垂直于这两个圆圈。当太阳到达子午圈时，它指示出正午或午夜。这 两个圆圈（我指的是地平圈和子午圈）的中心都在地面上。他们完全由地 球的运动和我们（无论在何处）的视线而定。在任一地点，眼睛都是在各 方向可见天球的中心。因此，正如埃拉托西尼(Eratosthenes)②、蒲西多尼 奥斯（Posidonius）以及其他宇宙结构与地球形状研究者已经明确证明过 的，假定在地球上的一切圆圈也是它们在天穹中的对应体以及类似圆圈的 基础(7)。这些圆圈也有专门的名称，而其他的可以用无穷无尽的方式来命 名。




















① 古希腊哲学家（410？—485）。
② 公元前三世纪的希腊天文学家和地理学家。

第二章 黄道倾角、回归线间的距离 以及这些量的测定法


　　黄道倾斜穿过回归线和赤道之间。于是我认为现在需要研究回归线之 间的距离以及与之有关的赤道与黄道交角的大小。这凭感觉自然可以察 觉，而籍助于仪器可以得到这个非常珍贵的结果。为此用木料做一把矩尺。 最好用更为结实的材料（如石头或金属）来做，以免木料被空气吹动，使 观测者产生错觉。要求矩尺表面十分光滑，并有五、六呎长，于是在它上 面可以刻上分度。与它的大小成正比，用一个角落为中心，画出圆周的一 个象限(8)。把它分成 90 个相等的度。然后再把一度分为 60 分，或一度所 能容纳的任何分度。在中心安装一个精密加工的圆柱形栓子。栓子垂直于 矩尺表面，并略为突出，约达一个手指头的宽度。
　　在这件仪器已经这样制成后，它可装在地板上用于测量子午线。地板 应当用水准器尽可能精确地校准，使之位于水平面上而不致在任何方向上 倾斜。在这个地板上画一个圆圈，并在圆心竖一根指针。在上午任一时刻 观察指针的影子落在圆周的什么地方，我们在这一点作记号。下午作类似 观测，并平分已作记号的两点之间的圆弧。用这个方法由圆心通过平分点 画的直线，肯定能为我们毫无差错地指示出南北方向。
以这条线为基线，把仪器的平面垂直竖立起来，并使它的中心指向南
方。从中心悬挂的铅垂线与子午线正交。这一操作的结果自然是仪器表面 包含子午线。
因此，在夏至和冬至这两天，应当在正午用那根栓子或圆柱体观测投
射在中心的日影。要设法用上面谈到过的象限弧更有把握地确定影子的位 置。我们需要尽可能精确地记下影子中包的度数和分数(9)。如果我们这样 做，从夏季和冬季两个影子的记录求得的弧长，就可以给出回归线之间的 距离以及黄道的整个倾角。取这个角度的一半，便得回归线与赤道的距离， 与此同时黄赤交角的大小也显然可知了。
托勒密测定了前面谈到的南北极限之间的间距，以圆周为 360°的度
数表示为 47°42′40″[《大成》，Ⅰ，12]。他还发现在他以前喜帕恰斯 和埃拉托西尼的观测结果与此相符。如果取整个圆周为 83 单位，则上述测 定值为 11 单位。。由这个间距的一半（即 23°51′20″(10)可得回归线与 赤道的距离以及与黄道的交角。托勒密认为这是常数，永远不变。但是从 那时起到现在，人们发现这些数值不断减少。我们同时代的一些人(11)和我 都发现，回归线之间的距离现在大约不大于 46°58′，而黄赤交角不大于
23°29′。于是现在完全清楚，黄道的倾角也是可变的。我在后面[Ⅲ，10] 要更详细地讨论这一课题，我要说明按一个完全可信的推测，这个倾角过 去从未大于 23°52′，以后也决不会小于 23°28′(12)。

第三章 赤道、黄道与子午圈相交的弧和角； 赤经和赤纬对这些弧和角的偏离及其计算


　　我刚才谈过[Ⅱ，1]宇宙各部分在地平线上升起和沉没，于是我现在要 说天穹由子午圈等分为两部分。在 24 小时周期内，子午圈在黄道和赤道上 都扫过一遍。子午圈把黄道和赤道都分割开，截出由黄、赤道的交点（春 分点和秋分点）算起的圆弧。反过来说，子午圈又由与一个圆弧相截而分 割开。因为它们都是大圆，它们形成一个球面三角形。按定义，子午圈通 过赤道的两极，于是子午圈与赤道正交，所以该三角形为直角三角形。在 这个三角形中，子午圈的圆弧（或者在通过赤道两极的任一圆周上像这样 截出的圆弧）称为黄道弧段的“赤纬”。赤道的相应圆弧（它和与之有关 的黄道上的一段弧一同升起）称为“赤经”。


图 2—1 这一切在一个凸三角形上都容易看清。令 ABCD 为既通过赤道两极又通
过黄道两极的圆。它通常称为“分至圈”。令 AEC 为黄道的一半，BED 为 赤道的一半，E 为春分点，A 为夏至点，而 C 为冬至点。设 F 为周日旋转的 极，并取黄道上的段长 EG 为 30°。通过它的端点画出象限 FGH。于是在三 角形 EGH 中，EG 边显然已给定为 30°。角 GEH 也已知。在它为极小时，取
360°=4 直角的分度法，它等于 23°28′。这与赤纬 AB 的极小值相符。GHE
为直角。因此，按球面三角形的定理四，EGH 是一个各角和边均可知的三 角形。当然可以证明，两倍 EG 和 GH 所对弦之比等于两倍 AGE 所对弦（即 球的直径）与两倍 AB 所对弦之比。它们的半弦之间也有类似关系。取两倍 AGE 的半弦（即半径）为 100，000，则用同样单位表示，两倍 AB 和 EG 的 半弦各为 39，822 和 50，000(13)。如果 4 个数成比例，中间两数之积等于 首尾两数之积。于是可得两倍 GH 弧的半弦为 19，911 单位(14)。在表中这 个半弦给出 GH 弧的值为 11°29′，即为与 EG 段相应的赤纬。因此在三角
形 AFG 中，FG 和 AG 两边作为两条象限的剩余部分，可求得为 78°31′和
60°，而 FAG 为直角。同样可知，两倍 FG、AG、FGH 和 BH 所对的弦（或它 们的半弦）成比例。现在既然它们中的三个量已知，便可得第四个（即 BH）
为 62°6′。这是从夏至点算起的赤经，或者从春分点算起为 HE，等于 27
°54′。与此相似，从已知边 FG 为 78°31′，AF 为 66°32′(15)以及一 个象限，可得 AGF 角约为 69°231/2′。它的对顶角与此相等。在一切其他
情况下，我们都将沿用这个例子。


图 2—2 然而我们不应忽视这一事实，即在黄道与回归线相切的点，子午圈与
黄道正交。这是因为，我已经谈过，在那些时候子午圈通过黄道的两极(16)。 但是在两分点，子午圈与黄道的交角小于直角，并随黄赤交角偏离直角愈 多，上述交角比起直角就愈小，因此现在子午圈与黄道的交角为 66°32
′。还应提到，从两分点或两至点量起的在黄道上的相等弧长，与两个三 角形的相等角或相等边同时出现。画赤道弧 ABC，黄道弧 DBE，二者相交于 B。令它为一个分点。取 FB 和 BG 为相等弧。通过周日旋转极点 K 和 H 画两 条象限 KFL 和 HGM(17)。于是有 FLB 和 BMG 两个三角形。它们的边 BF 和 BG

相等，在 B 点有对顶角，而在 L 和 M 有直角。因此，按球面三角形的定理 六，这两个三角形的对应边与角都相等。于是赤纬 FL 和 MG 以及赤经 LB
和 BM 都各自相等，并且角 F 等于角 G。


图 2—3 当相等弧是从一个至点量起时，情况可用相同方法说明。令 AB 和 BC
为在 B 点两侧的相等弧，而 B 为回归线与黄道的相切点。从赤道的极点 D 画象限 DA 和 DC(18)，并连接 DB。同样可得两个三角形 ABD 和 DBC。它们的
边 AB 和 BC 相等，BD 是共有边，而在 B 点有两个直角。用球面三角形的定 理八，可以证明这两个三角形的相应边与角均相等。于是显然可知，如果 对黄道上一条象限造出这些角与弧的表，它们对整个圆周其他的象限均适 用。
　　在下面对表的说明中，我要举出一个关于这些关系的例子。第一栏所 载为黄道度数，第二栏为与这些度数相应的赤纬，而第三栏为在黄道倾角 极大时出现的赤纬超过这些局部的赤纬的分数；最大差值为 24′。我对赤 经与子午圈角度表也同样编制。当黄道倾角改变时，与它有关的一切都应
当变化。但是赤经的变化非常小，因为它不超过一个“时间”的 1/10，而在
一小时的过程中只有它的 1/150。古代人用“时间”这个词来表示与黄道分
度一道升起的赤道分度。我已经多次说过[例如见Ⅰ，12]，这两个圆都有
360 单位。然而为了区分它们，许多人都把黄道的单位称为“度”，而赤 道的单位为“时间”。这也是我在下面要采用的名称。我已经说过，这种 变化小到完全可以忽略，但我还是要把它也加进去(19)。从这些变化显然可 以对黄道的任何其他倾角得到同样结果(20)，但要假定对每一栏可用相应的 分数，而这与黄道最大倾角与最小倾角之差成正比。举例来说，取倾角为
23°34′，如果我想知道黄道上从一个分点量起的 30°的赤纬有多大，就
可从表一查到 11°29′，差值为 11′。当黄道倾角为极大时，应当加上这 个差值。我已经说过，黄道倾角极大值曾达 23°52′。但是在目前的例子 中可取为 23°34′，这比极小值大 6′。这 6′是最大倾角超过最小倾角
的 24′的四分之一。按同样比值可得 11′的部分约为 3′。对 11°29′加
上这个 3′，便得从至点量起黄道为 30°时的赤纬为 11°32′。对子午圈 角和赤经，可用同样办法，只是对后者随时应加上差值，而对前者应减去 差值，这样才能对一切与时间有关的数量得到更精确的结果。







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第四章 对黄道外任一天体，若黄经、黄纬已知， 测定其赤经、赤纬和过中天时黄道度数的方法


　　上面的解释谈的是黄道、赤道、子午圈及其交点。然而就与周日旋转 的关系来说，重要的事情就不仅是要了解那些只是出现在黄道上的太阳现 象。同样重要的是要对那些位于黄道之外的恒星和行星，用类似办法求出 由赤道算起的赤纬以及赤经，但须假定它们的经纬度已知。
　　通过赤道和黄道的极点画圆周 ABCD。令 AEC 为以 F 为极的赤道半圆， BED 为以 G 为极的黄道半圆，后者与赤道相交于 E 点。从极点 G 画通过一 颗恒星的圆弧 GHKL。令恒星位置已知在 H 点，通过此点从周日旋转的极点 画象限 FHMN。于是显然可知，在 H 的恒星与 M 和 N 两点一齐通过子午圈。 HMN 弧是恒星从赤道算起的赤纬，而 EN 为恒星在球面上的赤经。这些即是 我们所求的坐标。

图 2—4
　　在三角形 KEL 中，边 KE 和角 KEL 已知，而角 EKL 为直角。因此，按球 面三角形的定理四，KL 和 EL 两边以及角 KLE 均可知。于是整个 HKL 弧可 知。在三角形 HLN 中，角 HLN 已知，LNH 为直角，边 HL 也可知。则按球面 三角形的同一定理四，余下的边 HN（即恒星的赤纬）和 LN 均可知。从 EL 减去 LN，余量为 NE。这是赤经，即天球从分点向恒星所转过的弧长。
另外一种办法是，从上述关系中取黄道的弧 KE 作为 LE 的赤经。这时
LE 可从赤经表查出。LK 是与 LE 相应的赤纬。角 KLE 由子午圈角度表给出。 已经证明，从这些量可以定出其余的量。于是，从赤经 EN 可得 EM，即是 在恒星与 M 点一同过中天时的黄道度数。

第五章 地平圈的交点


　　在正球中的地平圈与斜球的地平圈不是同一个圆圈。对正球来说，地 平圈是与赤道垂直的圆，或通过赤道两极的圆。但在斜球中，赤道倾斜于 我们称之为地平圈的圆。因此在正球中一切天体都在地平圈上垂直出没， 而白昼和黑夜总是一样长。子午圈①把一切由周日旋转而形成的纬圈等分； 它自然通过纬圈的极。而在这些情况下我在讨论子午圈时〔Ⅰ，1，3〕所 解释过的现象就出现了。但是我们现在所说的白昼是从日出到日没，而不 是照一般人所理解的是从曙光出现到夜幕降临，即是从黎明到华灯初上。 后面在讨论黄道十二宫的出没时〔Ⅱ，13〕，我还要结合谈到这一问题。 在另一方面，在地轴垂直于地平圈的地方，就没有天体出没。此时每 个天体都转出一个永远可见或永远隐而不现的圆圈。像绕太阳周年运转那 样的运动，却会产生例外情况。这种运动的结果是白昼持续存在六个月， 而其余时间是黑夜。此外，在那种情况下赤道与地平圈重合，因此除冬夏
之差外也不会有其他差别。 然而对斜球来说，一些天体时出时没，而另一些永远可见或永远隐而
不现。同时，昼夜不等长。在这些情况下，倾斜的地平圈与两条纬圈相切， 纬圈的角度视地平圈的倾角而定。在这两条纬圈中，靠近可见天极的一条 是永远可见天体的界限；而另一条纬圈，即靠近不可见天极的纬圈，是永 远隐而不现的天体的界限。因此，把这两个极限之间的一切纬圈都延长， 就会发现地平圈把它们分为不相等的弧段。赤道是一个例外，因为它是最 大的纬圈，而大圆彼此等分。于是在北半球，倾斜的地平圈把纬圈切割成 两段圆弧，其中靠近可见天极的一段长于靠近不可见的南极的一段。对南 半球来说，情况相反。太阳在这些弧段上的周日视运动，产生了昼夜不等 长的现象。





























① 原文为地平圈，有误。

第六章 正午日影的差异


　　正午日影也各有不同，由于这个缘故有些人可以称为环影人，另一些 为双影人，还有一些是异影人。环影人可以接受四面八方的日影。这些人 的天顶（即地平圈的极点）离地球的极点有一段距离，这段距离小于回归 线与赤道间的距离。在那些地区，与地平圈相切的纬圈是永远可见或永不 可见的星星的界限，它们大于或等于回归线。因此在夏季，太阳高居于永 远可见恒星之中，在那个季节把日昝的影子投向四面八方。但是在地平圈 与回归线相切的地方，这两条线本身成为永远可见和永远不可见恒星的界 限。因此在至日，太阳看起来是在午夜掠过地球。在那个时刻，整个黄道 与地平圈重合，黄道的六个宫迅速而同时地升起，同样数目的相对各宫同 时沉没，而黄道的极与地平圈的极重合。
　　双影人的正午日影落在两侧。这些人居住在两条回归线之间，古代人 把这个区域称为中间区。在整个这一区域，每天有两次黄道正从头顶上通 过。欧几里得的《现象篇》的定理二(21)证明了这一点。因此在同一区域， 日昝的影子两次消失，而当太阳移向这一边或那一边时，日昝之影有时投 向南面，有时投向北面。
我们是地球上其余的居民，居住在双影人和环影人之间。我们是异影
人，因为我们把自己在中午的影子只投向一个方向，即是北方。 古代数学家习惯于用通过不同地方的一些纬圈(22)把地球分为 7 个地
区。举例来说，这些地方是梅罗（Meroe）、赛恩（Syene）、亚历山大
（Alexandria）、罗得斯（Rhodes）岛、赫列斯彭特（Hellespont）海峡①、 黑海中央、第聂伯（Dnieper）河、君士坦丁堡（Constantinople）等。选 择这些纬圈的根据是以下 3 点：一年中在一些特定地点最长白昼的长度之 差及其增加量；在两分日和两至日的正午用日昝观测到的日影长度；还有 天极的高度或每一地区的宽度。这些数量部分地随时间变化，现在与以前 已经并非完全一样了。正如我谈到过的〔Ⅱ，2〕，原因就是黄道倾角可以 改变，而以前的天文学家忽略了这一点。或者，说得更确切些，原因在于 赤道对黄道面的倾角可变。那些数量与这个倾角有关。但是天极的高度或 所在地的纬度(23)，以及在二分日日影的长度，都与古代观测记录相符。情 况应当是这样，因为赤道由地球的极而定。因此日影和白昼的任何非永久 性性质都不会以足够的精度使那些地区结合在一起。从另一方面说来，用 与赤道的距离可以更精密地确定各地区的界限，而与赤道的距离是永远不 变的。但是回归线的变化，尽管非常小，却能使南方各地的白昼和日影产 生微小的差异，而对向北走的人来说，这种差异变得更容易察觉。


图 2-5 谈到日昝的影子，则对太阳的任何高度显然可以得出影子的长度，反
过来也是这样。于是今日昝 AB 的投影为 BC。因为竿子垂直于地平面，按 与平面垂直的直线的定义，ABC 总是直角。连接 AC，便得直角三角形 ABC， 而对一个已知的太阳高度，角 ACB 可求知。按平面三角形的定理一，竿子
AB 与其影子 BC 之比可知，BC 的长度也可知。反过来说，在 AB 和 BC 已知



① 达达尼尔（Dardanelles ）海峡的古名。

时，按平面三角形的定理三，角 ACB 即测投影时太阳的高度也可求得。用 这样的方法，古人在他们对地球上那些地区的描述中，不仅在二分日，还 在二至日对每一地区确定了日影的长度。

第七章 如何相互推求最长的白昼、 各次日出的间距和天球的倾 角；白昼之间的余差


　　我在下面要对天球或地平圈的任何倾角，同时说明最长和最短的白昼 以及各次日出的间距，还有白昼间的余差。日出之间的间距是在冬、夏二 至点的日出在地平圈上所截出的弧长，或者这两次日出与分点日出之间的 距离。

图 2-6
　　令 ABCD 为子午圈。在东半球，令 BED 为地平圈的半圆，AEC 为赤道的 半圆。令赤道的北极为 F。假定在夏至日日出是在 G 点。画大圆弧 FGH。因 为地球绕赤道的极点 F 旋转，G 和 H 两点应当一齐到达子午圈 ABCD。这两 点的纬圈是绕相同的两极画出的，于是通过这些极点的一切大圆都在那些 纬圈上截出相似的圆弧。因此从 G 点升起到正午的时间等于弧 AEH 的长度， 而地平圈下面半圆的剩余部分 CH 的长度等于从午夜到日出的时间。AEC 是 一个半圆，而 AE 和 EC 都是从 ABCD 的极点画出的象限。所以 EH 是最长白 昼与分日白昼之差的一半，而 EG 为分日与至日日出的间距。因此在三角形 EGH 中，球的倾角 GEH 可由弧 AB 求得。角 GHE 为直角。边 GH 为夏至点与 赤道的距离，也可知。因此，按球面三角形的定理四，还可求得其他的边， 即分日白昼与最长白昼之差的一半 EH 以及日出之间的间距 GE。进一步说， 如果除边 GH 外，边 EH（最长白昼与分日白昼之差的一半）(24)或 EG 已知，
则球的倾角 E 可知，因此极点在地平圈上的高度 FD 也可知。

图 2—6
其次，假设黄道上的 G 不是一个至点，而是其他任何点。然而 EG 和
EH 两弧均已知。从前面列出的赤纬表，可以查出与该黄道度数相应的赤纬
弧 GH，而用同样的证明方法可得其他一切数量。于是还可知，在黄道上与 至点等距的两个分度点在地平圈上截出与分点日出等距并在同一方向上的 圆弧。它们也使昼夜等长。这种情况的出现是由于黄道上的这两个刻度点 都在同一纬圈上，它们的赤纬相等并在同一方向上。然而，如果从与赤道 的交点往两个方向上取出相等的圆弧，日出处之间的距离仍然相等，但方 向相反，而按相反次序昼夜是等长的。这是因为它们在两边扫出纬圈上的 相等弧长，正如黄道上与一个分点等距的两点从赤道算起的赤纬是相等 的。


图 2-7 现在在同一图形中画两条纬圈弧。令它们为 GM 和 KN。它们与地平圈
BED 相交于 G 和 K 两点。从南极点 L 也画一条大圆象限 LKO。于是赤纬 HG 等于 KO。在 DFG 和 BLK 两个三角形中有两边各等于两相应边：FG 等于 LK， 而极点的高度 FD 等于 LB。B 和 D 都是直角。因此第三边 DG 等于第三边 BK。 它们的剩余部分 GE 和 EK（即日出点之间的距离）也相等。于是此外的 EG
和 GH 两边也等于 EK 和 KO 两边。在 E 点的对顶角相等。于是其余的边 EH
和 EO 相等。用这些相等量加上相等量，得到的和为整段圆弧 OEC 等于整段

圆弧 AEH。但因为通过极点的大圆在球面的平行圆周上截出相似圆弧，GM 和 KN 相似和相等。证讫。


图 2-8 然而，这一切都可用另一种方法说明。同样画子午圈 ABCD。令它的中
心为 E。令赤道与子午圈截面的直径为 AEC。令子午面上地平圈的直径为 BED，球的轴线为 LEM，可见天极为 L，隐而不见的天极为 M。假设夏至点 的距离或任何其他赤纬为 AF。在这个赤纬处画纬圈，其直径为 FG，纬圈与 子午面的交线也是 FG。FG 与轴线相交于 K，与子午线相交于 N。按蒲西多 尼奥斯的定义(25)，平行线既不会聚也不发散，但可使它们的垂直线处处相 等。因此直线 KE 等于两倍 AF 弧所对的半弦。与此相似，对于半径为 FK 的纬圈来说，KN 是表示分点日与昼夜不等长日之差的圆弧所对的半弦。理 由是以这些线为交线，即是以这些线为直径的一切半圆（即倾斜地平圈 BED、正地平圈 LEM、赤道 AEC 和纬圈 FKG）都垂直于圆周 ABCD 的平面。按 欧几里得《几何原本》，Ⅺ，19，这些半圆的相互交线在 E、K、N 各点都 垂直于同一平面。按同书定理 6，这些垂线相互平行。K 为纬圈的中心，而
E 为球心。因此 EN 为代表纬圈上日出点与分日日出点之差的地平圈弧的两 倍所对的半弦。赤纬 AF 和象限的剩余部分 FL 均已知。于是两倍 AF 和 FL 弧所对半弦 KE 和 FK 可以 AE 为 100，000 的单位得出。但是在直角三角形 EKN 中，角 KEN 可由极点的高度 DL 得知；而余角 KNE 等于角 AEB，因为作 为斜球上的纬圈，它们与地平圈的倾角相等。因此各边均可以球半径为
100，000 的相同单位得出。KN 也可以纬圈半径 FK 为 100，000 的单位得出。
作为分日与相应于纬圈之日的整个差值所对的半弦，KN 可以纬圈圆周为
360 的单位同样得出。于是 FK 与 KN 之比显然包含两个比值，这就是两倍
FL 和两倍 AF 所对弦之比（即 FK∶KE）以及两倍 AB 和两倍 DL 所对弦之比。 后一比值等于 EK∶KN，此外 EK 自然为 FK 与 KN 的比例中项。与此相似，
BE 与 EN 的比值也可由 BE∶EK 和 KE∶EN 两个比值求得。托勒密用球面弧
段对此作了详细说明〔《大成》，Ⅰ，13〕。我相信，昼夜之差可用这个 方法求得。但是对月球或任何恒星，如果纬度也已知，它们在地平圈上面 由周日旋转所扫出的纬圈弧段可以和地平圈下面的弧段区分开来。从这些 弧段容易得知它们的出没(26)。







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