总序


　　科学，特别是自然科学，最重要的目标之一，就是追寻科学本身的原 动力，或曰追寻其第一推动。同时，科学的这种追求精神本身，又成为社 会发展和人类进步的一种最基本的推动。
　　科学总是寻求发现和了解客观世界的新现象，研究和掌握新规律，总 是在不懈地追求真理。科学是认真的、严谨的、实事求是的，同时，科学 又是创造的。科学的最基本态度之一就是疑问，科学的最基本精神之一就 是批判。的确，科学活动，特别是自然科学活动，比较起其他的人类活动 来，其最基本的特征就是不断进步。哪怕在其他方面倒退的时候，科学却 总是进步着，即使是缓慢而艰难的进步。这表明，自然科学活动中包含着 人类的最进步因素。
正是在这个意义上，科学堪称为人类进步的“第一推动”。 科学教育，特别是自然科学的教育，是提高人们素质的重要因素，是
现代教育的一个核心。科学教育不仅使人获得生活和工作所需的知识和技 能，更重要的是使人获得科学思想、科学精神、科学态度以及科学方法的 熏陶和培养，使人获得非生物本能的智慧，获得非与生俱来的灵魂。可以 这样说，没有科学的“教育”，只是培养信仰，而不是教育。没有受过科 学教育的人，只能称为受过训练，而非受过教育。
正是在这个意义上，科学堪称为使人进化为现代人的“第一推动”。
　　近百年来，无数仁人智士意识到，强国富民再造中国离不开科学技术， 他们为摆脱愚昧与无知作了艰苦卓绝的奋斗，中国的科学先贤们代代相 传，不遗余力地为中国的进步献身于科学启蒙运动，以图完成国人的强国 梦。然而应该说，这个目标远未达到。今日的中国需要新的科学启蒙，需 要现代科学教育。只有全社会的人具备较高的科学素质，以科学的精神和 思想、科学的态度和方法作为探讨和解决各类问题的共同基础和出发点， 社会才能更好地向前发展和进步。因此，中国的进步离不开科学，是毋庸 置疑的。
正是在这个意义上，似乎可以说，科学已被公认是中国进步所必不可
少的推动。 然而，这并不意味着，科学的精神也同样地被公认和接受。虽然，科
学已渗透到社会的各个领域和层面，科学的价值和地位也更高了。但是，
毋庸讳言，在一定的范围内，或某些特定时候，人们只是承认“科学是有 用的”，只停留在对科学所带来的后果的接受和承认，而不是对科学的原 动力，科学的精神的接受和承认。此种现象的存在也是不能忽视的。
　　科学的精神之一，是它自身就是自身的“第一推动”。也就是说，科 学活动在原则上是不隶属于服务于神学的，不隶属于服务于儒学的，科学 活动在原则上也不隶属于服务于任何哲学。科学是超越宗教差别的，超越 民族差别的，超越党派差别的，超越文化的地域差别的，科学是普适的、 独立的，它自身就是自身的主宰。
　　湖南科学技术出版社精选了一批关于科学思想和科学精神的世界名 著，请有关学者译成中文出版，其目的就是为了传播科学的精神，科学的 思想，特别是自然科学的精神和思想，从而起到倡导科学精神，推动科技 发展，对全民进行新的科学启蒙和科学教育的作用，为中国的进步作一点
　　
推动。丛书定名为《第一推动》，当然并非说其中每一册都是第一推动， 但是可以肯定，蕴含在每一册中的科学的内容、观点、思想和精神，都会 使你或多或少地更接近第一推动，或多或少地发现，自身如何成为自身的 主宰。
《第一推动》丛书编委会

序言


　　人类对于宇宙以及数学地位的认识已被迫作出了根本性的改变，本书 要讨论的正是这一点。现在我们知道，数学已不再受到普遍尊重和景仰。 数学曾经被认为是精确论证的顶峰，真理的化身，是关于宇宙设计的真理。 那么，人类是如何认识到这种观点是错误的，我们现在的观点又是什么， 这正是本书的主题。引论中将简要陈述这些主题，部分材料可由详尽的数 学史略拾一二。但是，对于普通读者来说，一种直接的、非专业性的探讨 更便于接受和理解。
　　许多数学家可能更愿意把对数学当前地位的揭示控制在数学圈里，公 开曝光这些困难也许会出现不好的效果，家丑不可外扬嘛。但是，受理性 指导的人们必须充分认识到他们所掌握的工具的力量，认识到推理的能力 及其局限性，这远比盲目相信有益得多，后者很可能导致错误的思想甚至 毁灭。
（以下为致谢部分，从略）

M·克莱因
布鲁克林，纽约
1980 年 1 月

引论


若想预见数学的未来，正确的方法是研究它的历史和现状。

——H·彭加勒
　　战争、饥荒和瘟疫能引起悲剧，然而，人类思想的局限性也能引起智 力悲剧。本书论及的不幸事件降临在人类最为卓著且无与伦比的成就，对 人类的理性精神具有最持久和最深刻的影响——数学的头上。
　　换句话说，这本书在非专业层次上探讨数学尊严的兴衰。看到数学现 在的宏大规模，日益增多甚至呈繁荣之势的数学活动，每年发表的数以千 计的研究论文，对计算机兴趣的迅猛飞涨，以及尤其是在社会科学和生物 科学中对定量关系的广泛研究，数学的衰落何从谈起？悲剧存在于何处？ 要回答这些问题，我们必须首先考虑是什么为数学赢得了巨大的声望和荣 誉。
　　作为一个独立知识体系的数学起源于古希腊，自它诞生之日起的两千 多年来，数学家们一直在追求真理，而且成就辉煌。关于数和几何图形的 庞大理论体系为数学提供了一个看来似乎永无休止的确定性前景。
在数学以外的领域，数学概念及其推论为重大的科学理论提供精髓。
尽管通过数学和科学的合作才获得的知识用到了自然定律，但它们看来似 乎与绝对的数学真理一样绝对可信，因为天文学、力学、光学、空气动力 学中的数学所做的预测与观察和实验相当吻合。因此，数学能牢固把握宇 宙的所作所为，能瓦解玄秘并代之以规律和秩序。人类得以趾高气扬地俯 瞰他周围的世界，吹嘘自己已经掌握了宇宙的许多秘密（实际上是一系列 数学定理）。拉普拉斯的话概括了数学家们一直在不懈地寻求真理的信念。 他说，牛顿是最幸运的人，因为只有一个宇宙，而他已发现了它的规律。 数学依赖于一种特殊的方法去达到它惊人而有力的结果，即从不证自 明的公理出发进行演绎推理。它的实质是，若公理为真，则可以保证由它 演绎出的结论为真。通过应用这些看起来清晰、正确、完美的逻辑，数学 家们得出显然是毋庸置疑、无可辩驳的结论。数学的这套方法今天仍然沿 用，任何时候，谁想找一个推理的必然性和准确性的例子，一定会想到数 学。这种数学方法所取得的成功吸引了最伟大的智者，数学已显示了人类 理性的能力、根源和力量。所以他们猜测，为什么不能把这种方法用到由 权威、风俗、习惯控制的领域，比如在哲学、神学、伦理学、美学及社会 科学中去寻求真理呢？人类的推理能力，在数学及自然科学中，是如此的 卓有成效，肯定也将成为上述其他领域思想和行为的主宰，为其获得真理 的美和美的真理。因此，在称作理性时代的启蒙时代，数学方法甚至加上
一些数学概念和定理，用到了人文事务中。
　　洞察力最丰富的来源是后者。19 世纪初的创造，包括令人奇怪的几种 几何学和代数学，迫使数学家们极不情愿地勉强承认绝对意义上的数学以 及科学中的数学真理并不都是真理。例如，他们发现几种不同的几何学同 等地与空间经验相吻合，它们可能都不是真理。显然，自然界的数学设计 并不是固有的，或者如果是的话，人类的数学都未必是那个设计的最好诠 释。开启真理的钥匙失去了，这一事实是降临到数学头上的第一个不幸事 件。
　　
　　新的几何学和代数学的诞生使数学家们感受到另一个宇宙的震动。寻 求真理的信念使数学家们如醉如痴，总是迫不及待地用严密论证去追求那 些虚无飘渺的真理。认识到数学并不是真理的化身动摇了他们产生于数学 的那份自信，他们开始重新检验他们的创造。他们失望地发现数学中的逻 辑形容枯槁，惨不忍睹。
　　事实上，数学已经不合逻辑地发展。其不仅包括错误的证明，推理的 漏洞，还有稍加注意就能避免的疏误。这样的大错比比皆是。这种不合逻 辑的发展还涉及对概念的不充分理解，无法真正认识逻辑所需要的原理， 以及证明的不够严密；就是说，直觉、实证及借助于几何图形的证明取代 了逻辑论证。
　　不过，数学仍然是一种对宇宙的有效描述，而且在许多人心里，特别 是在柏拉图主义者看来，数学自身当然还是一个颇具魅力的知识体系，一 个因具真实性而受到青睐的部分。因此，数学家们决定弥补丢失了的逻辑 结构，重建有缺陷的部分。在 19 世纪下半叶，数学的严谨化运动格外引人 注目。
　　到 1900 年，数学家确信他们已实现了自己的目标。尽管他们不得不满 足于数学仅能作为宇宙的一个近似描述的观点，许多人甚至放弃了宇宙的 数学化设计这一信念，但他们的确庆幸他们重建了数学的逻辑结构。然而， 他们还没来得及炫耀自封的成功，在重建的数学中就发现了矛盾。一般称 这些矛盾为悖论，这是避免直接说矛盾而破坏了数学逻辑的委婉用语。
当时那些领头的数学家几乎立刻就投身于解决这些矛盾，结果他们构
想、阐述甚至推出了四种不同的数学结构，每一种都有众多的追随者。那 些基础的学派不仅努力解决已有的矛盾而且力争避免新的矛盾出现，就是 说，建立数学的相容性。在这些基础研究中又出现了其他的问题，某些公 理和演绎逻辑推理的可接受性也成为几个学派采取不同立场的重要原因。
到 1930 年，数学家已满足于接受几种数学基础的一两个，并且宣称自
己的数学证明至少和这些学派的原则相符。但是，灾难再次降临，形式是 K．哥德尔的一篇著名论文。哥德尔证明了那几个学派所接受的逻辑原理无 法证明数学的一致性。这还不包括论文里其他一些意义重大、影响深远的 结果。哥德尔表明，对已取得的成功提出质疑不能不用到非常可疑的逻辑 原理。哥德尔定理引起一场巨变。随后的发展带来了更大的麻烦。例如， 就连过去极度推崇的、被认为是精密科学方法的公理化——演绎方法看来 也是有缺陷的。这些新的发展给数学增加了多种可能的结构，同时也把数 学家分成了更多的相异群体。
　　数学的当前困境是有许多种数学而不是只有一种，而且由于种种原因 每一种都无法使对立学派满意。显然，普遍接受的概念、正确无误的推理 体系——1800 年时的尊贵数学和那时人的自豪——现在都成了痴心妄 想。与未来数学相关的不确定性和可疑，取代了过去的确定性和自满。关 于“最确定的”科学的基础意见不一致不仅让人吃惊，而且，温和一点说， 是让人尴尬。目前的数学或是故作深沉，或是对广泛承认的真理，所谓完 美无缺的逻辑的拙劣模仿。
　　有的数学家认为，关于接受什么作为真正数学的不同观点，有一天会 统一起来。这些人中比较有名的是一群署名为布尔巴基的法国领头数学 家：
　　
　　长期以来，对数学原理的重要修正几乎无一不在不确定性时 期之后，而不确定性确实使矛盾出现了并且一定得被解决。?? 至今已有 25 个世纪之久的这段时期，数学家们一直在改正他们的 错误，并且看到了这门科学欣欣向荣，而不是枯竭衰败。这使他 们有权力对未来充满希望。 然而，更多的数学家并不乐观。本世纪最伟大的数学家之一，H.魏尔
在 1944 年说： 数学的终极基础和终极意义尚未解决，我们不知道沿着什么
方向可以找到最终答案，或者甚至于是否有希望得到一个最终 的、客观的答案。“数学化”很可能是人类原始创造力的一项创 造性活动，类似于语言或音乐，其历史观点否认完全客观的合理 性。
用哥德的话说：一门科学的历史就是这门科学本身。 对于正确的数学是什么所存在的分歧以及不同基础的多样性不仅严重
影响数学本身，还波及到最为生机勃勃的自然科学。我们将看到，最先进 的自然科学理论（即这种理论的结论可以在感觉上或实体上体现出来。例 如假设我们一点也不懂电磁波是什么，但我们却能听到收音机中传出的声 音），全都是数学化的。因此，没有亲自对数学基础下过功夫，而又不打 算花费数年时间研究不完美的数学的科学家，一定会关心什么样的数学能 被理直气壮地应用。
真理的丧失，数学和科学不断增加的复杂性，以及何种方法用于数学
是最保险的不确定性，已使大多数数学家放弃科学。风声鹤唳，草木皆兵， 数学家们不得不退回到证明方法看起来似乎很安全的数学领域。他们还发 现人为编造出来的问题比自然界提出来的问题更富魅力，处理起来更加得 心应手。
因完美的数学是什么而产生的危机和矛盾还阻碍了数学的方法在许多
其他文化领域中的应用，如哲学、政治科学、伦理学、美学。找到客观、 正确的定律和标准的希望变得微弱了，理性时代已经过去。
尽管数学令人不满意，方法复杂多变，对可接受公理持不同意见，还
有随时可能出现的新矛盾，都会殃及大部分数学，但是，一些数学家仍然 把数学应用于自然现象中，而且事实上把应用领域扩大到经济学、生物学 和社会学。数学的继续有效给我们两点启示。第一点是这种有效性可用作 判别正确性的准则，当然这个准则是暂时性的。今天认为正确的，也许下 次应用时就会证明是错的。第二点涉及到未知。真正的数学是什么？对此 并无定论。为什么数学依旧有效？我们是在用不完美的工具制造奇迹吗？ 如果人类已经被欺骗了，大自然也会受骗而屈服于人类的数学命令吗？显 然不会。而且，正是凭借建立在数学之上的技术，人类成功地登上了月球， 探测了火星和木星。这难道不是对宇宙中的数学理论的证实吗？那么，数 学的人为因素与变幻莫测又何从谈起呢？当心智和灵魂迷惘不定的时候， 躯体能生存下去吗？当然对于人类本身及数学，确实如此。因此我们应该 去研究为什么会这样。尽管数学的基础尚不确定，数学家们的理论亦彼此 冲突，而数学却已被证明成就辉煌，风采依然。

第一章 数学真理的起源



极度幸福的灵魂，
是为谁而激发！ 为了这些真理， 去度量闪烁的星空！ 他们用思想的缰绳， 驯服了桀傲的天体。 过去扑朔迷离的天空， 现在变得清清楚楚。













——奥维德



任何值得一提的文明都探索过真理。思索的人们尽管不能，但总是试
图去理解复杂多变的自然现象，去解开人类如何定居在这个地球上的谜 题，去弄明白人生的目的，去探索人类的归宿。在所有早期文明中，这些 问题的回答都是宗教领袖给出的，并为人们所普遍接受。只有古希腊文明 是个例外。希腊人发现（人类所作出的最伟大的发现）了推理的作用。正 是古典时期（公元前 600 年至前 300 年间的鼎盛时期）的希腊人，认识到 人类有智慧、有思维（有时佐以观察或实验），能够发现真理。
是什么导致希腊人作出这个发现，这个问题不大好回答。把推理用于
人类活动和思维的始祖曾生活在爱奥尼亚——古希腊人在小亚细亚的一个 定居处。许多历史学家试图依据政治和社会环境对此作出解释，比如，爱 奥尼亚人有更大的自主性去无视统治欧洲希腊文明的宗教信仰。但是，我 们所知的在约公元前 600 年以前的希腊历史过于零碎，无法作出明确的解 释。
当时希腊人把推理用于政治体系、伦理道德、法律、教育和其他许多
方面。他们的主要的、决定性地影响了后代文明的贡献是接受了对推理的 最强有力的挑战，知道了自然界有规律可言。在作出这个贡献以前，希腊 人和古代其他文明时期的人们认为自然是混乱、反复无常，甚至是恐怖的。 自然现象是无法解释的，或者是神的意志决定的，只有用祈祷、祭祀和其 他宗教仪式来解脱。其卓越的文明可追溯到公元前 3000 年的巴比伦人和埃 及人，他们确实注意到了日月运动的周期现象，并据此设立了历法，但却 没有更深入地研究它们。这些极少的偶然的观察没有改变他们对自然的态 度。
　　希腊人敢于正视自然。他们的精神领袖（如果不是普通民众）摒弃了 传统观念、超自然力、迷信、教条和其他思想束缚。他们是最早检验并试 图理解各种谜一般的复杂的自然活动的人们。他们以思维与似乎瞬息万变 的宇宙现象抗争，将理性之光洒于其上。
　　他们有着永不满足的好奇心和勇气，他们提出和回答了许多人遇到 过、但却极少人试图解决，并且只能被具有最高智力水平的人所解决的问 题。整个宇宙的运转是有计划的吗？植物、动物、人类、星系、光和声， 仅仅是物理现象还是一个完美设计的一部分？由于希腊人总梦想着提出新 见解，所以他们建立了后来统治整个西方思想中关于宇宙的概念。
希腊的智者们对自然采取了一种全新的态度。这种态度是理性的、批

判的和反宗教的。神学中上帝按其意愿创造了人和物质世界的信仰被摒弃 了。智者们终于得出了这样的观念：自然是有序的，按完美的设计而恒定 地运行着。从星体的运动到树叶的颤动，所有感官能感知的现象都能用一 种精确、和谐而理智的形式来描述。简而言之，自然是按理性设计的，这 种设计，虽然不为人的行为而影响，却能被人的思维所理解。
　　希腊人不仅是探索混杂现象的秩序和规则的勇敢的先驱，而且也是以 才智发掘出自然现象显而易见所遵循的基本模式的先驱。他们敢于询问并 且发现了人类观测到的最壮观的景象的基本规律：朝升夕落的太阳，阴晴 圆缺的月亮，光彩夺目的行星，星汉灿烂的夜空，奇妙无比的日蚀、月蚀。 正是公元前 6 世纪的爱奥尼亚哲学家首先尝试寻求对大自然和宇宙运 行规律的合理解释。这一时期的著名哲学家们，如泰勒斯(Thales)、阿那 克西曼德(Anaximander) 、阿那克西米尼 (Anaximenes)、赫拉克利特 (Heraclitus)和阿那克萨哥拉(Anaxagoras)，各自恪守一个主旨去解释宇 宙的构成。比如泰勒斯认为万物都是由气态、液态和固态的水组成的，他 试图用水的观点解释许多现象——这是一个不无道理的解释。因为云、雾、 露、雨和雹是水的不同形态，而水是生命不可缺乏的，它滋润庄稼，养育
动物。现在我们知道甚至人体的 90％是水。 爱奥尼亚人的自然哲学是一系列的大胆的观察，敏锐的猜测和天赋的
直觉，而不是广泛而细致的科学研究的成果。这些人也许有些过于急切看
到世界的全貌，从而匆匆忙忙得到一些泛泛的结论。但他们的确抛弃了一 些陈腐的神秘观点，而代之以唯物主义的，对宇宙的设计和运行的客观解 释。他们以理性方法取代了幻想和非批判的观点，用推理来论证自己的观 点成立。这些人敢于用思维来对待世界，拒绝依赖神灵、意志、鬼怪、妖 魔、天使和其他也许能够维护或毁灭自然现象的神秘力量。可以用阿那克 萨哥拉的话来表述这种理性观点的精髓：“理性统治着世界。”
摒除故弄玄虚、神秘主义和对自然运动的杂乱无章的认识，而代之以
可理解的规律的决定性的一步是数学知识的应用。在这里，希腊人展示出 一种可以与推理的作用的发现相媲美的、几乎同样富有想象力和独创性的 洞察力：宇宙是以数学方式设计的，借助于数学知识，人类可以充分地认 识它。最早提出自然界数学模式的是以毕达哥拉斯（Pythagoras）为领袖 的座落于意大利南部的毕达哥拉斯学派。虽然他们从盛行的致力于灵魂的 净化和将它从肉体的污浊束缚中解脱出来的希腊宗教中汲收了灵感和信 条，其自然哲学却是完全理性的。毕达哥拉斯派震惊于这样一个事实，即 由定性地看各种各样的现象都表现出相同的数学性质，可推知数学性质必 定为这些现象的本质。更精确地，他们从数和数的关系方面发现了这种本 质。数学是他们解释自然的第一要素，所有物体都是由物质的基本微粒或 “存在单元”根据不同的几何形状组成的。单元的总量实际上代表了实在 的物体，数学是宇宙的实体和形式。因而毕达哥拉斯学派认为：“万物皆 数也。”因为数是万物之“本”，对自然现象的解释只有通过数字才能得 出。
　　这种早期的毕达哥拉斯派思想是令人迷惑的。因为对于我们来说，数 字是抽象概念，而事物是实际存在的。但我们已经得到了一种数字的抽象， 而早期的毕达哥拉斯派并未做到。在他们看来，数字是点或微粒。他们提 到三角形数、正方形数、五边形数时，想到的是点集、晶状体或点状物体。
　　
如图 1.1—1.4 所示。
图 1.1 三角形数 图 1.2 正方形数 图 1.3 五边形数 图 1.4 六边形数
虽然历史片断没有提供精确的年代数据，这一点却是无疑的，即毕达
哥拉斯学派发展并完善了自己的认识。他们开始把数字理解为抽象概念， 而物体只不过是数字的具体化。有了这一后来的特性，我们可以明白菲洛 罗斯(Philolaus)的论述：“如果没有数和数的性质，世界上任何事物本身 或与别的事物的关系都不能为人所清楚了解??”你不仅可以在鬼禅的事 务上，而且在人间的一切行动和思想上乃至在一切行业和音乐上看到数的 力量。
　　例如，毕达哥拉斯学派之所以能把音乐归结为数与数之间的简单关 系，乃是因为他们发现了下列两个事实：第一，弦所发出的声音取决于弦 的长度；第二，两根绷得一样紧的弦，若一根是另一根长的两倍，就会产 生谐音。换言之，两个音相差八度。如两弦长为 3 比 2，则发出另一谐音。 这时短弦发出的音比长弦发出的音高五度。确实，产生每一种谐音的多根 弦的长度都成整数比。毕达哥拉斯学派也搞出了一个著名的音阶。我们虽 然不打算讲许多希腊时代的音乐，但要指出许多希腊数学家包括欧几里得 和托勒密，都写过这方面的著作，特别是关于谐音的配合，而且还制定过 音阶。
毕达哥拉斯学派把行星运动归结为数的关系。他们认为物体在空间运
动时会发出声音，这也许是从绳端吊一东西摆动时发出声音这一方面引起 的特例。他们还认为运动得快的物体比运动得慢的物体发出更高的音。根 据他们的关系，离地球越远的星，运动得越快，因此行星发出的声音（我 们因为从出世之日起就听惯了，所以觉察不出来）因其与地球的距离而异 而成谐音。但因这“天籁之音”也像所有谐音一样可以推为数的关系，所 以行星运动也是这样。
自然界的其他形形色色特性也可“归结”为数。1、2、3、4 这四个数，
叫四象，是特别受重视的。据说毕达哥拉斯学派的誓词即是：“谨以赋予 我们灵魂的四象之名宣誓，长流不息的自然的根源包含于其中。”他们认 为自然是由四元性组成的，点、线、面和立体。后来柏拉图强调的则是四 种物质元素，土、气、火、水。
　　四象的四个数字之和为 10，所以十是个理想数，其代表宇宙。为了填 满这个数字，毕达哥拉斯学派引入了中心地球，加上日、月，已知的五大 行星和位于中心地球另一侧的反地球。我们看不到中心地球和反地球，因 为我们所居住的那部分地球是背朝它们的。我们在这里不打算详细叙述细 节，关键一点是毕达哥拉斯学派将天文学建筑在数的关系之上。
　　由于毕达哥拉斯学派将天文学和音乐“归结”为数，这两门学科就同 算术和几何发生了联系。这四门学科都被人看成是数学学科，甚至一直到
　　
中世纪，仍被包括在学校课程中，当时号称“四大学科”。 亚里士多德在《形而上学》一书中，总结了毕达哥拉斯学派对数的现
实世界的认识： 他们似乎察觉到了存在的以及将要形成的事物在数方面的共
性，而不仅仅表现在火、土和水上（这样或那样数字的修正是合 法的，另一种是精神和推理，再一种则是机会——同样几乎所有 的其他事物都可用数字表达）；又因为音阶的修正和比例可用数 字表示；还由于其他事物在本质上都能用数字来模式化，数字似 乎是整个自然界的先驱。他们认为所有事物里都含有数的成分， 整个太空就是一个音阶或一个数字。 毕达哥拉斯学派的自然哲学很难与实际相吻合。美学考虑和对数学关
系的穷追不舍相混合，当然会导致超越实际观察的论断。毕派也未使物理 科学的任一分支向前发展，可以公正地称其理论为肤浅的。但或是凭运气 或是凭天生的直觉，毕派的确言中了后来两条证明是极为重要的信条：第 一是自然界是按数学原理构成的；第二是数学关系决定、统一并显示了自 然的秩序。实际上现代科学也坚持毕派对数学的强调，虽然，正如我们将 看到的，现代理论是毕派理论的更为高级的形式。
毕派之后的哲学家更加关注现实世界的本质和基本的数学设计。留基
伯(Leuccipus)和德谟克里特(Democritus)由于更加清晰地确定了原子论 而闻名于世。他们的共同哲学观点是：世界是由无穷多个简单的、永恒的 原子组成的。这些原子的形状、大小、次序和位置各有差异，但每个物体 都是由这些原子以某种方式组合而成的。虽然几何上的量，如直线段，是 无限可分的，原子却是终极的，不可再分的质点。形状、大小等只是原子 的特性，其他性质如味、热则非原子所固有而来自观察者，所以感性认识 不可靠，因它随观察者而异。原子论者也和毕达哥拉斯学派一样，认为隐 藏在自然界不断变化着的万象之下的真实性是可用数字来表示的，而且认 为这个世界上所发生的一切是由数字规律严格确定了的。
继毕达哥拉斯学派之后，传播这种主张最有影响的，当属由柏拉图领
导的柏拉图学派。柏拉图接受了一些毕派思想，他控制了公元前 4 世纪这 一重要时期希腊人的思想。他是雅典柏拉图学园的创立者，这个学园是一 个吸引了当时一流思想家的中心，存在了九百年之久。
也许在柏拉图的对话《爱好者》中，其对于宇宙的合理性的信仰表现
得最为出色。
（普洛塔库斯简称普，苏格拉底简称苏） 普：什么问题？
苏：他们所说的宇宙是不可推理、杂乱无序的，抑或像我 们前人所认为的是由极高的才华和智慧所控制和有 序化的。
普：迷茫的苏格拉底，这两种论点截然相反，你刚才的话 我认为亵渎了神明，但是一个观点，即思维统治万 物，却是极富有价值的。我别无它求。
　　后来毕派和柏拉图学派在物质世界和理想世界之间产生了尖锐的分 歧。物质世界的事物及联系是不完美、变化和衰落的，因而不能代表终极 真理。但有一个绝对而不变的真理的理想世界，这些真理正是哲学家们所
　　
关注的。对于物质世界我们只可能有观点，可见、可感知的世界只是理想 世界的一个模糊迷离、不完美的拷贝。“事物是思想在经验屏幕上的投影。” 由于现实可在感觉和实物中找到，因而柏拉图认为一匹马、一间屋或者一 个完美的女子并不真的存在。现实只存在于马、房屋、女子的广为接受的 形式或观念之中。永恒的知识只能从纯粹理想的形式中获得，这些思想实 际上是永恒不变的。关于它们的知识是稳固而坚不可摧的。
　　柏拉图坚持认为只有从理想世界的数学知识来理解现实世界的实在性 和可知性，无疑这个世界是数学化的。普鲁塔克（Plutarch）道出了柏拉 图的名言：“上帝终究要将世界几何化。”在《共和国》一书中，柏拉图 认为“几何学所要求的知识是永恒的，而不是转瞬即逝或反复无常的。” 数学定律不仅是现实的本质，而且永恒不变。数字关系也是现实的一部分， 实际事物不过是数字的模拟体。早期毕派认为数字是事物内在固有的，而 柏拉图认为数字超越了事物。
　　柏拉图比毕派前进了一步，他不仅希望用数学来理解自然界，而且要 用数学来取代自然界本身。他相信，对物质世界仅用少量决定性的几步推 理，即能得到基本的真理。按此观点将只有数学存在，数学将取代物理研 究。
普鲁塔克在他的《马塞鲁斯的生平》一书中提及欧多克斯(Eudoxus)
和阿基塔斯(Archytas)（柏拉图同时代的名人）运用实际论据来“证明” 数学结果。但柏拉图义愤地贬斥这种证明为几何学的堕落；指责他们利用 感性知识来取代纯粹的推理。
柏拉图对于天文学的观点显示了他正在探索这门科学的立场。他认
为，这门学科研究的不是可见的天体的运动。天空中星体的排列和明显可 见的运动的确奇妙美丽，但仅有对运动的观察和解释远称不上真正的天文 学。在接触这门真正的科学之前，我们必须抛开“天体”，因为真正的天 文学探求的是数学化宇宙中星体的运动定律，而可见的天体只是其不完美 的表现形式。他鼓动人们献身于理论天文学，因为其问题取悦于人的心智 而不是视觉，其对象由人的心智就能感受到而不是凭眼睛所看见。天空中 呈现出的各种图形只可用作探索更深层真理的辅助图表。我们必须把天文 学看成几何学一样，仅仅是由可见事物揭示的一系列问题。柏拉图对航海、 历法和计时中的天文学的使用并不感兴趣。
亚里士多德虽然是柏拉图的学生并从老师那儿继承了许多思想，对于
现实世界以及数学和现实之间的关系的探究却有着不同的看法。他批评柏 拉图的冥世思想以及把科学归结为数学的认识。亚里士多德是个物理学 家，他相信物质的东西是实在的主体的源泉。物理学乃至一般的科学必须 研究现实世界并从中获取真理。真正的知识是从感性的经验通过直观和抽 象而获得的，这种抽象不能独立于人的思维而存在。
　　亚里士多德的确强调从实物中抽象出的普适的一般的性质。为了获得 这些性质，他认为我们应“从可知和可观察的事物出发，向着本质上可为 人们认识的逐渐清晰的事物前进。”他抽取物体的明显的感性特征，使之 具体化并上升为独立的精神上的概念。
　　在亚里士多德关于事物的分类方案中，把数字摆在什么地位呢？物理 科学是基础科学，数学则从描述形式上的特征（如形状和数量）这方面来 帮助研究。它也为物质现象中观察到的事实提供解释。例如几何说明光学
　　
和天文学提供的事实，算术上的比例关系能说明产生谐音的理由。但数学 概念和原理肯定是从现实世界中抽象出来的，正因为如此，它们也可用于 现实世界。思维使我们可以从感性认识获得实物的理想化特征，这种抽象 必然是真实的。
　　对于铸造和构成了希腊思维世界的哲学家的短暂回顾也许有助于说明 为什么他们为了了解、欣赏更深层次的内涵，都重视对实质的探讨。而且， 从毕达哥拉斯开始，所有哲学家都认为世界是依照数学设计的。在这个经 典时期末期，上述观点已经确立，并且开始了对数学规律的探求。虽然这 个观点并未影响后世所有的数学家，但一旦为人接受，它就作用于大多数 伟大数学家的思维，甚至影响了那些尚未接触过它的人。希腊人这一重要 思想的最大胜利是他们认为宇宙是按可为人类思维所能发掘的数学规律运 行的。
　　于是希腊人决定寻求真理，特别是关于自然的数学化设计的真理。人 们怎样寻求真理并证明其是真理呢？在此，希腊人也绘出了方案。这个方 案在从公元前 600 年到公元前 300 年这段时期逐渐发展，它是何时由何人 最先提出尚无定论，但到公元前 300 年，它已经相当完善了。
　　从广义的、使用数字和几何图形这方面来看，数学早于古典时期希腊 人的研究几千年就开始形成了。广义来讲数学包括了许多已经消失了的文 明（最有名的有埃及文明和巴比伦文明）的贡献。除了希腊文明外，在其 他文明中数学并不是一个独立体系，它没有形成一套方法，仅为了直接而 实用的目的被研究。它是一种工具，是一系列相互无关的、简单的、帮助 人们解决日常问题的规则，如推算日历、农业和商业往来。这些规则是由 试探、错误、经验和简单的观察得到的，许多都只是近似的正确。这些文 明中的数学的最优之处在于，它显示了思维的某些活力和坚韧，尽管不严 格，成就也远非辉煌。这类数学的特点可用经验主义一言蔽之。巴比伦人 和埃及人的经验主义数学为希腊人的研究工作揭开序幕。
虽然希腊文明没有完全脱离外界影响——希腊思想家们曾在埃及和巴
比伦游历学习——尽管现代意义上的数学必须经受希腊的理性氛围的熏 陶，希腊人的创造与他们所吸收的知识却有天壤之别。
希腊人已决心探索数学真理，他们不能把工作建筑在前人（有名的埃
及人和巴比伦人）粗糙的、经验主义的、有限的、零散的，在很多情况下 是不精确的成果之上。数学原本是一些关于数字和几何图案的基本事实， 必然是一个真理体系。数学推理旨在推导出关于自然现象，如天体运动的 真理，必然得出不容置疑的结论。怎样达到这些目的？
　　数学的本原应是处理抽象对象。对于创造了希腊数学的哲学家来说， 严格的真理只适用于永恒不变的实体以及关系。幸运的是，人类由对事物 的感性认识得到的认识可以上升为较高层次的理念，这便是思想，永恒的 现实和思想的真实载体。青睐抽象还有一个原因，欲使数学更强有力，就 必须在一个抽象概念中包涵它所表示实物的本质特征。从而数学上的直线 必须包括拉伸的绳子、直尺边、田地的边界和光线的路径。相应地，数学 上的直线没有粗细、颜色、分子结构和绷紧度之分。希腊人明确地指出数 学是处理抽象事物的。柏拉图在《共和国》中提及几何学家：
　　你是否也知道，他们虽利用可见的形象并拿来进行推理，但 他们想的并不是这些东西，而是类似于这些东西的理想形象：他
　　
们所看到的不是所画的图形，而是绝对正方形及绝对直径??。 他们力求看到事物本质，而这只有用心灵之目才能看到。 因而数学首先处理点、线和整数等抽象概念。其他概念，如三角形、
正方形和圆可以用基本概念来定义，而基本概念正如亚里士多德所说应该 是不可定义的，否则就没有起始点。希腊人的精明之处表现在，他们要求 被定义的概念应有现实的对应物体，或是论证得到或是构造得到。因而人 们无法定义三等分角并证明有关它的定理，它可能并不存在。实际上，由 于希腊人无法在他们自己提出的作图条件下三等分角，他们就没有引入这 个概念。
　　为了推导出数学概念，希腊人从自明的、无人怀疑的公理入手。柏拉 图用他的回忆理论证明了公理的可行性。正如我们前面提到过的，他认为 存在一个真理的客观世界。人在出世前有过精神世界的经历，只要激发一 下就可以回忆起以前的经历从而认识到几何学公理是真理，这并不需要实 践。但亚里士多德并不这样认为，他认为公理是可理解的原理，符合思维 而没有什么可怀疑的。亚里士多德在《后验分析》中指出，我们凭着绝对 可靠的直觉认识到公理是真理，而且，我们必须以这些公理作为推导的基 础。相反，如果使用了一些并未证明是真理的事实，下一步推理就需要证 明这些事实，而这一过程是无限循环的，那么这就变成了永无止境的回退。 他又区分了公理和公设，公理对所有思想领域皆真，包括“等量加等量还 是等量”这样的命题。公设则适用于专业学科，如几何学。从而有，“两 点决定一条唯一的直线”。亚里士多德也的确指出公设无需一望便知其为 真，但应被其所推出的结果所支持。然而这种不证自得的真理是数学家所 需要的。
从公理出发，可用推理得出结论。有多种推理方法，比如，归纳、类
比和演绎，其中只有一种能够证明结论的正确性。由一千只苹果都是红的 而得出苹果都是红的这个结论，是归纳，不一定可靠。类似的，由于约翰 的兄弟已从大学毕业，而约翰受教于同样的老师，所以也应该能从大学毕 业，这是由类比推出的推理，当然也是不可靠的。然而，如果假定人终将 一死，而苏格拉底是人，则必然接受苏格拉底也会死这样的结论。这里所 涉及到的逻辑，亚里士多德称之为三段式演绎法。在亚里士多德的其他推 理规则中，还有归谬法（一个命题不可能既真又假）及排中律（一个命题 必须为真或假）。他和世人都毫无疑问地承认这些推理原理用于任一前提 时，推导出的结果和前提一样可靠。因此，如果前提为真，则结论也为真。 值得一提的是，后面我们将要讨论的，亚里士多德从已为数学家所应用的 推理方法中抽象出了演绎逻辑法。
　　虽然几乎所有希腊哲学家都宣称演绎推理是获取真理的唯一可靠方 法，柏拉图的观点却有些不同。他虽然不否定演绎证明，却认为没必要。 因为数学公理和定理存在于不依赖于人的意志的客观世界，根据柏拉图的 回忆理论，人们只须回忆并且承认他们那些毋庸置疑的真理，用柏拉图在
《西艾泰德斯》一书中的比喻来说，定理，就像关在鸟笼中的鸟。它们呆 在那里，你只须伸手进去抓住它们。学习就是一个收集的过程。在柏拉图 的对话《梅农》里，通过巧妙地询问一个年轻奴隶，苏格拉底证实了同底 等高的正方形面积是等腰三角形面积的两倍。从而苏格拉底成功地得出结 论，即便是没有受过几何学训练的奴隶也可以在适当的提示下回忆起来。

　　认识到人们是多么坚定相信演绎推理是很重要的。假设一位科学家在 不同地区测量了一百个形状大小不同的三角形，发现它们的内角和在实验 精度允许范围内都是 180°，他当然可以下结论，任何三角形的内角和都
是 180°。但他的证明是归纳而不是演绎，从而在数学上不会被认可。同 样，只要你高兴，你可以检验任意多的偶数，发现它们都是两个素数的和， 但这种检验也不是演绎证明，因而结果也不是数学定理。那么看来，演绎 证明是一种很严格的要求。但是，希腊的数学家们，他们（主要是哲学家） 坚持一定要用演绎推理，因为这样可以得到真理，永恒的真理。
　　哲学家们偏爱演绎推理还有一个原因，他们致力于理解人类和物质世 界的广泛知识。为了建立普遍成立的真理，如人性本善，又如世界是既定 的，或人本有为而生之，从可接受的基本原理进行演绎推理要比用归纳或 类比，更加可行。
　　古希腊人喜爱演绎法的另一个原因应归结于他们的社会构成。富有阶 层进行哲学、数学和艺术活动，这些人不干体力劳动。奴隶、非公民和自 由手工业者，从事商业和家务劳动，甚至从事最重要的职业。受过教育的 自由人不动手，很少进行商贸活动。柏拉图认为商贸活动，对于自由人来 说是堕落，他还希望，如果自由人从事了这一行，就要被视为犯罪而受到 惩罚。亚里士多德认为在理想条件下公民（与奴隶相对）不应从事任何商 业。在毕欧钦人（Boeotian，希腊人的一个部落）中，用商务来亵渎自己 的人十年内不得担任公职。对于这种阶层里的思想家，是不用实验和观察 的，因此也无法从中获得科学或数学结论。
虽然希腊人坚持运用演绎推理的原因很多，但还有一个问题，即：是
哪个哲学家或哲学派别首先提出这个要求的。遗憾的是，我们对于苏格拉 底时代以前的哲学家们的学说和著作的认识是零碎的，尽管众说纷纭，却 无定论。到了亚里士多德时代，对演绎推理的要求已经确定，因为他阐明 了不可定义概念的必要性和推理方法的严格标准。
希腊人欲得到宇宙的数学规律，他们在这方面成就如何呢？由欧几里
得、阿波罗纽斯(Apollonius)、阿基米得(Archimedes)和托勒密(Ptolemy) 所创立的数学的精华有幸传给了我们。在时间上他们属于希腊文化的第二 个重要时期，亚历山大里亚时期（公元前 300 年—公元 600 年）。在公元
前 4 世纪，马其顿的菲利浦王着手征服波斯人，后者控制了近东，是欧洲
希腊人的世敌。菲利浦被刺后，其子亚历山大继承了王位。亚历山大击败 了波斯人，把扩大的希腊帝国的文化中心迁到了一个他谦虚地以自己名字 命名的新城市。亚历山大死于公元前 323 年，但他发展新中心的计划由其 在埃及接受了托勒密王号的后继者继续。
　　可以肯定欧几里得约于公元前 300 年生活在亚历山大里亚，在那里教 育学生，虽然他自己也许是在柏拉图学院完成了学业。顺便提一句，这是 我们所了解的欧几里得个人生活的全部。欧几里得著作具有系统、演绎的 形式，是许多古希腊人孤立发现的汇合，他们的主要著作《几何原本》给 出了空间和空间中图形的规律。
　　欧几里得的《原本》是他对空间几何的全部贡献。欧几里得从一本已 失传的书中接收了圆锥曲线的理论，在亚历山大里亚学习数学的小亚细亚 拍加人阿波罗纽斯，继续其关于抛物线、椭圆和双曲线的研究，并写出了 这方面的经典著作《圆锥曲线》。
　　
　　在亚历山大里亚受教育而生在西西里的阿基米得对纯几何学知识增添 了几本著作《论球和圆柱》，论《劈锥曲面体与球体》，《抛物线的求积 》。 他都是用欧多克斯（Eudoxus）提出的方法来计算复杂的面积和体积，后来 被称作穷竭法。现在这些问题可用微积分来解决。
　　希腊人对空间和空间图形的研究，作出了一个重要贡献——三角学。 这一学科的创始人是喜帕恰斯。他生活在罗德斯和亚历山大里亚，约死于 公元前 125 年。三角学由梅内劳斯（Mene－laus）发展，并由在亚历山大 亚里工作的埃及人托勒密给出完整的、权威的描述。他的主要著作《数学 汇编》，阿拉伯人称之为《大汇编》，知名度更广。三角学研究三角形边、 角的量化关系。希腊人主要关注球面上的三角形，其边是由大圆（圆心在 球心）弧组成的。因为在希腊天文学中，行星和恒星沿大圆运行，所以他 们的三角学，主要应用于行星和恒星的运动。同一理论加以改变，又可用 于平面上的三角形，这正是我们现在学校里所学的那种三角学形式。三角 学的引入要求其使用者具有较高深的算术和某些代数知识。希腊人怎样在 这些领域内工作的，我们将在后面讨论（见第五章）。
　　借助于这样一些发现，数学从模糊的、经验的割裂状态转变成为辉煌 的、庞大的、系统化的和充满智慧的创造物。然而，欧几里得、阿波罗纽 斯和阿基米得的经典著作（托勒密的《大汇编》是个例外）所涉及到的空 间及空间图形的性质却囿于视野之内，对其中所蕴含的更广泛意义却少有 提示。这些著作似乎和揭示自然的真理无关，实际上，他们只是给出了一 种形式上的、精练的演绎数学。在这方面，希腊数学课本与现代数学课本 和文献没有什么两样。这些书的目的仅仅是为了组织和显示已取得的数学 成果，而省略了这些工作的动机，定理的来源和提示及其应用。因而许多 研究古希腊科学的人都认为，古希腊这一时期的数学家主要是为了数学本 身而探索数学，他们指出并证实了这个论断，并提及欧几里得的《原本》 及阿波罗纽斯的《圆锥曲线》这两部当时最著名的著作。然而，就像仅凭 二项展开式定理就得出牛顿是一个纯粹数学家的结论，他们仅凭这两部著 作就得了这个论断，视野未必过于狭窄。
真正的目的是探索自然。在物质世界的探索中，甚至连几何学的真理
也是非常重要的。很清楚，对于希腊人，几何学原理是宇宙的整体结构的 体现，空间是其中的基本组成部分。因而关于空间和空间图形的探索是宇 宙探索的基本工作，几何学实际上是一门更大的宇宙科学的一部分。比如， 当天文学数学化时（在柏拉图时代出现），球体上的几何学研究就着手进 行了。实际上，希腊语中的球一词，对毕达哥拉斯派的人来说，就意味着 天文学。欧几里得的《现象》就是专门讨论用于天文学的球面几何学的。 有了这些证据和对更近代的数学的发展状况更充分的了解，我们也许可以 肯定这一点，即科学探讨必然会引起数学问题，而数学是探索自然的一部 分。我们不必专门去研究这些，只须检验希腊人在探索自然中做了些什么， 以及这些人中包括谁。
　　物理科学中最伟大的成就是在天文学上取得的，柏拉图很清楚巴比伦 人和埃及人做出的大量天文学观测，但却强调说他们没有建立或统一理 论，没有对看上去无规律的行星运动作出解释。欧多克斯（柏拉图学园里 的一名学生，其纯粹几何学工作包括在欧几里得《原本》的第五篇和第十 二篇中）着手解决“整理外观”的问题。他的解答是历史上第一个相当完
　　
备的天文学理论。 我们描述欧多克斯的理论，只是为了表明它是完全彻底的数学化理
论，并且涉及到天体的相互作用。这些球体，除了那个固定的恒星外，都 不是物质实体，而是数学的构想。他也不想尝试去描述引起球体转动的力， 他的理论在思想上是极先进的，因为在今天，科学的目的就是为了寻求数 学描述而不是物理解释。在欧多克斯之后这一理论为三位最著名的理论天 文学家阿波罗纽斯、喜帕恰斯和托勒密所继承，其成果包括在托勒密的《大 汇编》一书里。
　　阿波罗纽斯关于天文学的著作现已失传。他的著作，被希腊人，甚至 包括托勒密在他的《大汇编》（第十二篇）中广为引用。他作为一个天文 学家是如此著名以致获得了艾普西隆（希腊字母ε的读音）的雅号，因为 他对月球运动做了许多研究工作，而ε是月球的记号。关于喜帕恰斯的工 作我们只知道一点，他的工作也同样地被《大汇编》引用。
　　现在我们所承认的托勒密天文学的基本方案在欧多克斯和阿波罗纽斯 时代的希腊天文学就已形成。在这种方案中，行星 P 以 S 为中心作匀速圆 周运动，而 S 本身以地球 E 为中心作匀速圆周运动。S 运动的圆叫从圆，P 运动的圆叫周转圆。对某些行星来说，点 S 就是太阳，但在其他情形下则 只不过是数学上假设的一个点。P 与 S 的运动方向可能相符，可能相反， 太阳和月球的情况就属于后一种。托勒密也将这套方案加以变化来描述某 些行星运动。通过适当选取周转圆和从圆的半径以及天体在周转圆上的和 周转圆心在从圆上的运动速度，喜帕恰斯和托勒密所描述的天体运动与那 时的观测结果十分吻合。从喜帕恰斯时代起，人们就能预报月蚀，误差不 超过一两小时，但对日蚀的预报却不那么准。这种预报之所以可能，是托 勒密运用了他称之为专门为天文学而发明的三角学。


图 1.5 从探求真理的观点来看，值得提及的是托勒密和欧多克斯一样，充分
认识到他的理论只是符合观测结果的方便的数学化描述，而不一定是自然
的真正设计。对于某些行星，他有几种可供选择的方案，他选择了数学上 较简单的那个。托勒密在他的著作《大汇编》的第十三篇中说，在天文学 上，人们应寻求尽可能简单的数学模型。但托勒密的数学模型，被基督教 接受为真理。
托勒密的理论提供了第一个相当完整的证据，说明自然是一致的而且
具有不变的规律，而且也是希腊人对柏拉图提出的合理解释表观天体运动 这一问题的最后解答。在整个希腊时期没有任何一部著作能像《大汇编》 那样对宇宙的看法有如此深远的影响，并且除了欧几里得的《原本》以外， 没有任何别的著作能获得这样毋庸置疑的威信。
　　对希腊天文学的这一简短叙述，自然不足以显示即令只是在这里所提 到的几位希腊学者工作的深度和广度，并且还略去了其他许多贡献。希腊 天文学博大精深，并且应用了大量数学，而且，几乎每一位希腊数学家， 包括大师欧几里得和阿基米得，都研究过天文学。
　　希腊人关于实在的真理的成果并不局限于空间和天文学的数学，他们 还创建了力学。力学研究可作为质点处理的物体及经过外延后的物体的运 动，还有引起运动的力。在《物理学》一书中，亚里士多德把标志希腊力
　　
学顶峰的运动定理归纳到一起。和他的所有物理学一样，他的力学也是建 立在一些理性的，似乎是自明的原理之上，与观测结果完全吻合。虽然这 一理论支配世界几近两千年，但我们不打算重述，因其为牛顿力学取而代 之。关于亚里士多德运动理论值得一提的是阿基米得关于物体重心的工作 和杠杆定律。所有这些，都体现了数学的重要作用，从而更加证实了数学 是洞察自然设计的基础。
　　继天文学和力学之后，光学成为人们最经久探索的学科。这门数学学 科也是希腊人创建的。从毕达哥拉斯派开始，几乎所有的希腊哲学家都致 力于光、像和色的性质的探索。我们关心的却是这些方面的数学成就。第
一 项 成 就 是 西 西 里 岛 阿 格 里 真 坦 的 伊 姆 班 道 克 斯 (EmpedoclesofAgrigentum)先验地提出的光以有限速度行进的说法。光学 的第一批系统性著作是欧几里得的《光学》和《镜面反射》。《光学》研 究视像问题以及怎样从视像确定物体的大小。《镜面反射》描述从平面镜、 凸透镜和凹透镜反射出来的光的习性以及它对我们视觉的影响。这书也像
《光学》一样，是从实际上就是公设的一些定义出发的。定理 1（现代教 科书上是一条公理）称为反射定律，是几何光学的一条基本定理。这定理 说从 A 点出发的入射光线与镜面所成角 A 等于反射光线与镜面所成角 （见
图 1.6）。欧几里得还证明了光线照射在凸透镜或凹透镜面上的规律（见
图 1.7）。在切点处，他以切线来代替镜面。这两本书在内容及编排上都 是用数学来处理的，像欧几里得的《原本》一样，定义、公理和定理贯穿 始终。
从反射律出发，数学家和工程师海伦（Heron）推出一个重要结论。如
果 P 和 Q 是图 1.6 中直线 ST 同侧的任意两点，则从点 P 到直线再到点 Q 的一切路径中，以通过直线上点 R 使线段 PR 和 QR 与直线的夹角相等的 那条路径为最短，而这恰好就是光线所经过的路径。所以，光线从 P 出发 经过镜面再到 Q 是采取最短路程的。很明显，自然界是很了解几何且运用 自如的。这个命题出现在海伦的《镜面反射》一书中，那也是讲述凹透镜、 凸透镜和反射镜的组合的①。
图 1.6 图 1.7
有不少著作是论述光线在各种形状镜面上的反射的，其中有阿基米得
所著而现已失传的《镜面反射》以及迪奥克斯和阿波罗纽斯所写、书名同 为《论点火镜》的两部著作。点火镜是呈球面形、旋转椭球面型（椭圆绕 其长轴旋转而生成的形体）和旋转抛物面型的凹透镜。阿波罗纽斯肯定知 道，而且迪奥克斯的书里也包含有抛物镜面能把焦点处发出的光反射成平 行于镜面轴的光束（见图 1.8）的证明。反之，若照射的光线平行于轴， 则反射后就聚集在焦点处，这样就可把太阳光聚集在焦点处产生高温，从 而有点火镜之名。据说阿基米得就是利用抛物镜面的这一性质把日光集中 到围攻他的家乡叙拉古的罗马船上使它们起火的。阿波罗纽斯也知道其他 圆锥曲线的反射性质，例如，从椭圆镜面一焦点发出的光经反射后会集中



① 我们今天所拥有的版本，也许是包括欧几里得在内，若干人著作的汇编。——原注

到另一焦点上，他在所著《圆锥曲线》第三篇里讲述了椭圆和双曲线的有 关几何性质。


图 1.8 希腊人还创建了许多其他学科，著名的有地理学和流体静力学。施勒
尼的厄拉多塞(EratosthemesofCyrene)是亚历山大里亚图书馆馆长，被认 为是古代最有学问的人。他计算了为希腊人所知道的地球上的许多重要地 点之间的距离。他也对地球（大圆）的周长作了一个著名而相当准确的计 算，并写了一本书《地理学》。在书中他不但描述了他所用的数学方法， 而且给出了地表变化的原因和解释。
　　地理学最深刻的著作是托勒密那部包含八个篇章的《地理学》，托勒 密不仅拓展了厄拉多塞的工作，而且用和我们现在所用的完全类似的经纬 度，定位了地球上 8000 个位置。托勒密也给出了绘制地图的方法，其中， 有些现在还在运用，特别是球极平面投影法。在所有这些地理学工作中， 从公元前 4 世纪就开始应用的球面图形的几何学是基础。
　　流体静力学这门学科讨论放置在水中的物体所受到的压力，阿基米得 的《论浮体》一书是这方面的奠基作。像我们曾讨论过的所有其他著作， 其方法和结论推导都是彻底的数学化。特别的，它包含了现在称之为阿基 米得原理的定律：浸在水中的物体受到的浮力，等于其所排开的水的重量。 为什么人们能在肆虐泛滥的世俗洪水中免于沉伦，我们也要归功于阿基米 得。
尽管对数学的演绎推导和自然定律的数学表示统治了亚历山大里亚希
腊时期，我们还应该注意这一时期的人与古典希腊时期的人不同，他们也 求助于实验和观测。他们继承并利用了巴比伦人两千多年来所获得的相当 精确的天文学观测结果。喜帕恰斯把当时能够观察到的星体制成表格，当 时的一些发明物（主要由阿基米得和数学家及工程师海伦完成）包括日晷、 星盘、蒸气和水力的运用。
由埃及亚历山大的直接继承者托勒密一世创办的亚历山大里亚艺术宫
极为闻名。艺术宫内学者云集，有一个藏书 400，000 册的著名图书馆，由 于它无法存放所有的手稿，另外 300，000 卷便存放在塞拉皮斯的神庙里。 学者们也为学生授课。
利用他们的数学成就和许多科学研究结果，希腊人对宇宙是依据数学
设计的，给出了充分的证明。数学实质上存在于宇宙万物之中，它是关于 自然界结构的真理，或者如柏拉图所说，是物质世界的客观存在。宇宙存 在规律和秩序，数学是达到这种有序的关键。而且，人类理性可以洞察这 个设计并且揭示其数学结构。
　　对自然作逻辑的、数学的探索的概念主要来自于欧几里得的《原本》， 虽然这一著述旨在研究物理空间，但其编排组织，独创性和清晰度激发了 公理演绎方法，不仅适用数学的其他领域，如关于数字的理论，而且适用 于所有科学。所有基于数学的物理知识的逻辑化结构通过这本书进入了理 性世界。
　　这样希腊人建立了数学和对现代科学基础的自然设计的探讨之间的联 系。直到 19 世纪后半叶，对数学设计的探求，即对真理的探求，认为数学 规律是自然界的真理的信念为数学吸引了最深刻和最著名的思想家。
　　
第二章 数学真理的繁荣


　　对外部世界进行研究的主要目的在于发现上帝赋予它的合理次序与和 谐，而这些是上帝以数学语言透露给我们的。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　——开普勒 宏大的希腊文明被几股力量所摧毁，首先就是来自希腊、埃及和近东 罗马人的逐渐侵占。罗马人扩充政治势力的目的并不是要传播它的唯物主 义文化，而是使被征服的地区成为殖民地，通过剥削和捐税，可从中搜刮
巨大的财富。 基督教的兴起是对异教的希腊文化的另一个打击，尽管基督教的领袖
们为使基督教更易于被接受，采纳了许多希腊人和东方的神话和习俗，但 他们仍然反对异教徒的学问，甚至嘲弄数学、天文学和物理学。尽管受到 罗马人的残酷迫害，基督教仍广为流传并且变得如此强大以至于罗马皇帝 君士坦丁大帝(Constantinethe Great)在公元 313 年的米兰诏书中将基督 教定为国教。后来，狄奥多西(Theodosius)废除了异教并且在 392 年发布 命令拆毁他们的神庙。
　　成千上万的希腊图书被罗马人和基督徒所焚毁，在公元前 47 年，罗马 人纵火焚烧亚历山大里亚港口内的埃及船只，火势蔓延烧毁了藏书最丰富 的古代图书馆。在狄奥多西禁止异教的年代里，基督徒摧毁了亚历山大里 亚城内唯一保存大量希腊著作的塞拉皮斯神庙，其他许多写在羊皮上的著 作也被基督徒刮掉以便写他们自己的著作。
罗马帝国的后期历史也与此类似，狄奥多西将他广阔的疆土分给了他
的两个儿子，霍诺留统治意大利和西欧，阿卡丢统治希腊、埃及和近东。 西部在公元 5 世纪时被哥特人占领，所以其后续历史属于中欧，东部则保 持了独立。由于东罗马帝国，也被称为拜占庭帝国，容纳了希腊和埃及， 在某种程度上说，希腊文化和希腊著作被保存了下来。
对希腊文明的最后打击是公元 640 年新崛起的回教徒对埃及的征服。
残剩的图书被焚毁一尽，其理由正如阿拉伯征服者奥玛尔所说的：这些书 的内容或许可兰经里也有，那么我们不必读它；这些书里或许有反对可兰 经的内容，那我们不准读它。因此在亚历山大里亚的浴室里接连有六个月 用羊皮纸来烧水。
回教徒占领埃及以后，大多数学者迁居到当时的东罗马帝国的首都君
士坦丁堡。尽管在不友好的拜占庭基督教氛围内没有什么按希腊思想轨迹 的活动能兴旺发达，但这些学者及其著作汇集到相对安全的地方，却丰富 了几百年后流传给欧洲的知识宝库。
印度人和阿拉伯人使得数学活动得以延续，并且引入了一些对后世有 较大影响的思想①。从公元 200 年至 1200 年，印度人在某种程度上受过希 腊著作的影响，对算术和代数做了一些有独创性的贡献。阿拉伯人，在其 鼎盛时期，王国已扩充到濒临地中海的所有陆地并伸入近东，包括了许多 被回教徒统一的种族。他们吸收了许多希腊人和印度人的成就并取得了一 些属于自己的发展，这些成就含有亚历山大里亚希腊人的精神，混和了演 绎推理和实验。阿拉伯人对算术、几何、天文学和光学均做出了贡献，他


① 在第五章我们将更多地讨论印度人与阿拉伯人的工作。——原注

们也建立了旨在传播知识的学院和学校，阿拉伯人值得称道之处在于：尽 管他们是他们自己宗教的忠实信徒，但并没有允许宗教的教旨限制他们的 数学和科学研究。
　　抛开印度人和阿拉伯人都从希腊人建立的坚实的基础中获益的事实不 谈，尽管他们发展了希腊的数学和科学，但他们并没有像希腊人那样渴望 理解宇宙的结构。阿拉伯人广泛地翻译，评论甚至批判希腊人的著作，但 是，没有什么非常重要或有价值的东西去丰富已知的真理。到公元 1500 年，他们的王国被西部基督徒和东部的内战给毁掉了。
　　正当阿拉伯人建设和扩大他们的文明时，另外一种文明在西欧产生 了。在中世纪的西欧，一种高水平的文化被建立起来，从公元 500 年一直 延续到 1500 年，这种文化被天主教教会所控制。然而，不管其多么精深， 值得称道，也不会有利于对现实世界的研究。上帝统治了宇宙，人的作用 只是侍奉和取悦于神，这样就可使灵魂得救，从而可在阳光明媚、欢乐幸 福的来世永生。今世生活水准无足轻重，并且痛苦和磨难不仅应该忍受而 且事实上必须经历，以之来检验对神的忠贞不二。因此，在希腊时代，由 于研究现实世界的需要而激起的对数学和科学的兴趣在当时处于低谷就可 以理解了。中世纪欧洲的学者虽然是真理的孜孜不倦的探求者，却是到《启 示录》和《圣经》中去寻找真理，因此中世纪的思想家没有为自然界的数 学设计提出新的证据。然而，后来的中世纪哲学确实承认自然行为的规律 性和一致性，尽管这被认为是上帝的意志的结果。
后来，中世纪欧洲被一系列的变革所震撼和改变。在中世纪文明转为
现代文明的许多事物中，我们所最关心的是希腊著作的获取和研究。我们 知道这是通过阿拉伯人的翻译和完好无损地保存在拜占庭帝国的希腊著作 而得到的。事实上，当土耳其人在 1453 年征服这个帝国时，许多希腊学者 带着他们的著作向西逃窜，正是从这些希腊著作中，睿智的欧洲文艺复兴 领袖们知道了自然是依照数学而设计的，而且这种设计是和谐统一、美妙 悦人的，它正是自然界的内在真理所在。自然界不仅仅是合理的、有秩序 的，而且是依照恒定的，不可抗拒的法则来运转的。欧洲的科学家就像希 腊人的孩子一样开始了他们对自然界的探索。
希腊思想的复苏引起了一些人对研究自然的兴趣，但是，数学和科学
复苏的速度和强度是由许多其他的因素引起的。使一种文化消亡并且培植 了另一种文化的作用力是多方面的而且是极其复杂的。关于科学的兴起已 经被许多学者研究过并且许多历史书已经非常确切地描述了其原因，除了 引证它们以外，我们在这不必再做什么。
　　一个自由工匠阶层的产生，紧接着对数学、技能和技术的兴趣引出了 一些科学上的难题。以寻找原料和黄金为动机的地理探险导致掌握了一些 以前不为人知的陆地和习俗的知识。这些对中世纪欧洲文化提出了挑战， 新教变革反对某些天主教义，因而引发了二者之间的论战。清教徒向人们 强调工作和知识的用处。火药的引入，引出了新的军事问题。例如抛物体 的运动及在海洋上航行好几千英里不见陆地，都促进了对自然的研究。印 刷术的发明使过去一直由教会控制的知识的传播成为可能。尽管权威们对 到底是哪一个或哪些外力影响了对自然的探求各执己见，但是，这些力是 如此之多，足以使我们注意到这样一个被普遍接受的事实，对科学的探索 确实是现代欧洲文明的最主要特征。
　　
　　欧洲人通常并不立即对新的冲击和影响作出反应，在标榜为人文主义 的年代中对希腊著作的研究和吸收远甚于对希腊人的目标的追逐，但是大 约到了公元 1500 年，被灌输了希腊目标的思想——即推理在自然研究中的 应用以及对数学设计的根本原因的探索——开始活跃起来。然而，他们面 临一个难题，希腊目标与当时盛行的文化产生了冲突。希腊人相信自然界 的数学设计，自然界亘古不移地遵守某个理想的方案。而后来中世纪学者 把所有的方案和行为都归于上帝，他是设计者和创造者，而且所有的自然 界行为都遵循他制定的规则，宇宙是他的杰作，是他的意志的产物。文艺 复兴时期及后续几个世纪的数学家和科学家都是正统的基督徒因而接受了 以上宗旨，但是天主教学说中决不会包括自然界的数学设计这样的希腊教 条，那么怎样使试图弄清上帝的宇宙和探求自然界的数学法则和谐一致 呢？答案就是再增加一条新教义，即上帝依照数学设计了宇宙，这样，以 理解上帝的意愿和他的创作为最高宗旨的天主教教旨就以探求上帝对自然 的数学设计的形式出现。事实上，16、17 世纪及 18 世纪的大半，数学家 所做的工作都是宗教的需要。这一点我们不久会看得更清楚，探索自然界 的数学法则是一种很虔诚的工作，其揭示上帝的杰作的伟大和辉煌。数学 知识，即是关于上帝的宇宙设计的真理，就像任何一条《圣经》的经文一 样神圣不可侵犯。人类不可能指望像上帝自己那样清楚地明白上帝的意 图，但人至少可以以谦恭和虔诚的态度来接近神的思想，这样就可以明白 神创造的世界。
人们更进一步断言：存在支配自然现象的数学规律，并且不懈地探求，
因为他们还先验地相信，上帝已将这些规律融入了宇宙结构中，每一个自 然法则的发现都被视为神的英明的证明而不是证明研究者自己。数学家和 科学家例证了文艺复兴时期席卷欧洲的更广泛文化现象。最近重新发现的 希腊著作向人们展示了一个极为虔诚的基督教世界，其中每一个教派的领 袖都被另一个教派的教条所吸引并相互采纳。
希腊人的宗旨——自然是依数学设计的，与文艺复兴时的信念——上
帝是这个设计的作者，融汇在一起，统治了欧洲，关于这一点最令人信服 的证据就是哥白尼和开普勒的工作。直到 16 世纪，唯一合理和实用的天文 学理论是喜帕恰斯和托勒密的地心说，这套理论被职业天文学家所接受并 应用于历法推算和航海。新天文学理论的工作是由哥白尼开创的，他于
1497 年入波伦亚大学学习天文学，在 1512 年他被任命为东普鲁士瓦尔明
佛朗大波尔教堂的教士。这个工作使得哥白尼有足够的时间来进行天文观 测并思考与之有关的理论，经过数年的观测和思考，哥白尼形成了一套关 于行星运动的新理论，并写入他的经典著作《天体运行论》。这部书的第 一版他于 1507 年就已完成，但由于担心其将触怒教会，哥白尼迟迟没有发 表。这部书于 1543 年，即他逝世的那一年问世。当哥白尼开始思考天文学 的时候，托勒密的理论变得更为复杂了，更多的周转圆被补充进由托勒密 引入的这套系统以使其满足大部分由阿拉伯人获得的不断增长的观察数 据。在哥白尼时代，这套理论共需 77 个圆来描述太阳，月亮及当时所知的 五颗行星的运动。对许多天文学家来说，这套理论就像哥白尼在他的书的 序言中所说那样，达到了令人难堪的繁琐。
　　哥白尼研究过一些希腊著作并且确是依数学及和谐的原理设计的。和 谐，要求一套更赏心悦目的理论而不是繁复冗赘的托勒密理论。在读了某
　　
些希腊作者，主要是阿里斯塔修斯(Aristar-chus)的著作后，哥白尼认为 或许太阳是静止不动的，地球绕太阳旋转的同时自转，他决心研究这种可 能性。
　　哥白尼的推理的要点是他也用托勒密关于周转圆和从圆的图式（见第 一章）来描述天体的运动。然而，最主要的区别是，太阳位于每个从圆的 中心，而地球成了一颗在圆周上运动，同时自转的行星，他将圆（包括周 转圆和从圆）的数目从地心说所需要的 77 个减小到 34 个，从而极大地简 化了地心说。
　　更加惊人的简化成就是由开普勒(TohannesKepler)所取得的，这是科 学史上最不可思议的事情。他的一生经历了许多个人不幸及由宗教和政治 事件引起的磨难。1600 年，他幸运地成为著名的天文学家布拉赫 (TychoBrahe)的助手。其时布拉赫正致力于自古希腊以来第一桩大的科学 工作，即重新进行全面的天文观测，这些观测和其他由开普勒自己完成的 观测对开普勒有极大的价值。布拉赫于 1601 年死去，开普勒接替他而成了 奥地利国王鲁道夫二世（Rudolf Ⅱ，1576—1612 年在位）王宫中的王室 数学家。开普勒的科学推理令人叹为观止，像哥白尼一样，开普勒也是个 神秘工作者，他相信上帝在设计世界时，遵循了某个简单、优美的数学方 案，在他的著作《宇宙的秘密》（1596 年）中他说上帝头脑中的数学和谐 性解释了“为什么天体运动的轨道、大小和数目是这样而不是那样。”这 种信念占据了他的全部思维。但开普勒也具备我们今天归于学者才有的那 种品质，即近乎冷酷的理性化。他丰富的想象产生了新理论体系的概念， 但开普勒明白理论必须与观察结果相一致，到了晚年他更清楚地意识到正 是从经验资料提出了科学的基本原则，开普勒因此甘心放弃他最心爱的数 学假设，一旦看到这种假设和观测数据不一致，他就以难以置信的固执拒 绝容忍任一位当时学者都会忽略的偏差。这导致他可以赞成极端的科学思 想。开普勒拥有谦逊，坚忍和毅力等诸多品性，正是这些品性帮助伟人们 去成就他们非凡的事业。
开普勒确信存在自然的数学规律，这些规律的追求使他在错误的道路
上探索了多年。在《神秘的宇宙》一书的序言中，他说：“我企图去证明 上帝在创造宇宙并且安排宇宙的次序时，看到了从毕达哥拉斯和柏拉图时 代起就为人们熟知的五种几何正多面体，他按照这些形体安排了天体的数 目，它们的比例和它们运动间的关系。”但是，以五个正多面体为基础建 立起来的理论所推出的结论与观测的结果不一致，他花了极大的努力以改 进了的形式去运用它，但最后还是放弃了这种方法。
　　然而，他在后来努力寻找和谐的数学关系时，却取得了极大的成功， 他最著名也是最重要的成果就是我们今天所说的开普勒行星运动三定律。 前两条定律公布在他 1609 年出版的一本书里，这本书有一个很长的名 字，通常取其前部分，称为《新天文学》或取其后部分，称为《论火星的 运动》。第一条定律尤为著名，因为开普勒打破了两千多年来的传统，即 必须用圆或球来描述天体运动。毋须借助于托勒密和哥白尼用来描述行星 运动的周转圆和从圆，开普勒发现只须一个椭圆足矣。其声称，每颗行星 都沿着椭圆轨道运行，太阳位于这些椭圆轨道的公共焦点上（见图 2.1）， 而另一个焦点只是一个数学点，什么也没有。这条定律使得理解行星运动 轨道更加容易因而极富价值。当然，开普勒像哥白尼一样，他指出，地球
　　
在绕其椭圆形轨道运行同时也在自转。 但欲使天文学有实际用处的话，它必须再进一步，它必须告诉我们怎
样预言行星的位置。如果一个人通过观测得知行星处于一个特殊点，比如 说，在图 2.1 中的 P 点，他可能想知道什么时候，比方说，夏至、冬至或 春分、秋分时这颗行星会位于什么位置，人们所关心的是行星以多大的速 度绕它们的轨道运行。
　　在这里，开普勒也迈出了极为大胆的一步，哥白尼和希腊人一直用的 是匀速，即行星沿着它的周转圆运动等时间内扫过相同的弧度，同时，每 个周转圆的中心又在另一个周转圆或从圆上作匀速运动，但是开普勒的观 测结果告诉他，行星并不以匀速绕其椭圆形轨道运动。一个艰苦而漫长的 寻找速度规律的工作以胜利而告终。他发现，如果行星在一个月内从 P 点 移到 Q 点（图 2.2），比如说，也是一个月内，从 P′点到 Q′点，则面积 PSQ 与面积 P′SQ′相等。由于 P 点距太阳较 P′点近，如果面积 PSQ 与面
积 P′SQ′相同，弧 PQ 必须优于弧 P′Q′，因此，行星并不是以匀速运动， 事实上，它们靠近太阳时运动得快一些。
图 2.1 每颗行星都围绕太阳以椭圆形轨道运行 图 2.2
开普勒为他发现了第二定律而欣喜若狂，尽管它没有简单到像匀速运
动定律那样好用，却证实了他最基本的信念，即上帝是依据数学原理来设 计世界的。上帝所选择的可能更为微妙，但数学定律却能清楚地指明行星 运动的速度大小。
还有一个重要问题没有解决，从太阳到行星的距离是依照哪一个定律
来描述？问题的复杂性在于从行星到太阳的距离不是固定的，因此开普勒 想找出一个新的能反映这一情形的原理，开普勒深信，自然界的设计不仅 是基于数学原理，而且还基于和谐原理，他认为“和谐”这个词在这里非 常贴切。他相信存在关于天体的音乐，其能产生和谐的旋律效果，不是通 过耳朵，而是通过将行星运动的事实转译成音符而辨别出来。开普勒遵循 这样的思想，即把数学性与音乐性奇妙地结合在一起。他得出，如果 T 是 行星的公转周期，而 D 是其与太阳的平均距离，那么
T2=KD3
此处 K 对于所有行星都是一个常数，这就是开普勒在《世界的和谐》（1619 年）中得意洋洋地宣布的行星运动第三定律。然后，开普勒对上帝大唱赞 歌：“太阳、月亮和群星，用你们无法表达的语言赞颂上帝吧！天上的和 谐，你应当理解上帝神奇的创造，给它唱赞歌吧！我的灵魂，你赞美造物 主吧！造物主创造了一切，一切又存在于造物主之中，我们最了解造物主 和我们虚幻的科学所创造的东西！”
　　哥白尼和开普勒坚信上帝和谐、简单地设计了世界的程度可以通过他 们必须反驳的异议来判断。其他行星按照托勒密理论运动，可以用希腊人 的学说这样解释：这些行星是由特殊的很轻的物质所组成，因而很容易运 动，但是怎样才能使很重的地球运动呢？哥白尼和开普勒都不能回答这个 问题，还有一种反对地球转动的观点认为：如果地球在旋转，那么，地球 表面的物体会飞到宇宙中去，就像物体从旋转着的平台掉下来一样。没有
　　
人能反驳这种观点。对于更进一步的反对意见，旋转的地球会飞散，哥白 尼软弱地反驳说，地球的运动是自然的，因而不会毁掉它自己。然后他反 问道，为什么天空不会因为昼夜不停的飞速运转（地心说理论认为的）而 飞散？还有另外一种反对意见：如果地球由西向东旋转，那么抛向空中的 物体就会坠落于原来位置的西边，因为当地球运动时物体还在空中。更进 一步，地球围绕太阳旋转，既然物体的速度与其重量成正比，至少如同希 腊人和文艺复兴时期的物理学所认为的那样，那么地球上较轻的物体应留 在后边，甚至空气也应留在后边。对这最后一个问题，哥白尼解释说：空 气具有“地球性”，所以其富有同情心地跟着地球运动。所有这些反对意 见的实质在于：地球的自转与公转不符合在哥白尼和开普勒时代被普遍接 受的亚里士多德运动理论。
　　一类反对日心说的科学异议来自天文学本身，尤以基于下列事实的为 甚：日心说把恒星视为固定不动，然而，地球在六个月时间内要在空中变 换它的位置约 186，000，000 英里，因此，如果人在某一时间内看到某颗 恒星并且在六个月后又看到它，则视差应该可以被观测到，然而在哥白尼 和开普勒时代这却做不到。哥白尼争辩说，恒星离我们是如此之远以至于 视差太小而难以被观测到。他的解释不能使批评者信服，他们反驳说：如 果恒星真的那么遥远，那么它们就根本不会被清楚地看到。在这个问题上， 哥白尼的回答是正确的，即使是离我们最近的恒星，在六个月内它的视差 也只有 0.31 秒，这是由数学家贝塞尔于 1838 年首次观测到的，当时，他 有一架高级望远镜。
传统主义者又进一步问道，根据新天文学，地球以每秒约 18 英里的速
度绕太阳转动并以每秒约 0.3 英里的速度自转，为什么我们却没有感到任 何运动呢？事实上我们的感觉告诉我们是太阳在天空运动，对于开普勒时 代的人来说，这样的论证是无可辩驳的，所有这些对地球是在运动的科学 异议都很有份量，并且不能视为拒绝接受真理的顽固守旧势力而不予考 虑。
哥白尼和开普勒都很虔诚，但他们都否定了基督教的一条核心教义，
即人是宇宙的中心，上帝主要关心的是人。把太阳置于宇宙的中心，这就 威胁了这个慰藉人类的教义，因为它使得人成为可能有的一大群漂泊于寒 冷天空的流浪者之一，他不像是为了生前享受荣华富贵，死后荣登天堂， 更不像是上帝施恩的对象。哥白尼抨击地球是宇宙中心的说法，他指出， 宇宙是如此巨大以至于去谈论其中心是毫无意义的，但是这种逆耳之声在 当时影响甚微。
　　反驳所有反对日心说的意见，哥白尼和开普勒都只用了一个无以辩驳 的回答，他们都使得自己的理论臻于数学的理论，更显得和谐，优雅。考 虑到上帝设计了宇宙并且显然会采用更优秀的理论，那么日心说就一定是 正确的。
　　对他们所发现的，并认为是正确的理论，在哥白尼的《天体运行论》 及开普勒的许多著作中都有毋庸置疑的证明。比方开普勒，评价他的椭圆 运动理论时说：“我从内心深处感觉到这个理论的真实性，我以难以置信 的欣喜之情欣赏它的美妙。”开普勒 1619 年发表的著作，就取名为《世界 的和谐》，其中洋溢着他对上帝不尽的赞颂，表达了对上帝辉煌的数学设 计的钦佩之情，也表示了他自己对此坚信不疑。
　　
　　起初只有数学家支持新理论是不足为奇的。因为只有那些确信宇宙数 学化并且简单化地设计的数学家才具备坚定的信心去蔑视那些盛行的哲学 上的，宗教上的和科学上的异议，而欣赏这种革命性的天文学数学。只有 对数学在设计宇宙中的重要性坚信不移的人才有勇气去面对强大的反对力 量而证实一种新理论。
　　对新理论的支持来自于一个意想不到的发展。早在 17 世纪，望远镜就 被发明出来，伽利略听说了这项发明之后马上自己建造了一架，然后用于 天体观测，这令他的同时代人大为震惊。他看到了木星的四颗卫星（我们 现在能看到 12 颗），这一发现表明，每个行星都可以有卫星，伽利略还观 察到月亮粗糙的表面及山峰，他还观察到太阳和围绕土星赤道的一条隆起 带（现在我们称之为土星光环）。他的发现进一步证实：行星都同地球相 像，它们肯定不是像希腊人和中世纪的思想家所认为的由轻飘飘的物质所 构成的理想球体。用望远镜可以发现原先在天空中像一条宽宽的光带的银 河是由无数颗恒星组成，因此天空中还含有其他的太阳，也许还有其他的 行星系。哥白尼预言，假如人类的视力更锐利一些，我们就能观测到金星 和水星的相位，就像我们能用肉眼看出月球的相位一样。借助望远镜伽利 略确实观测到了金星的相位，他的观测结果使他确信哥白尼的理论是正确 的，而且他在其经典著作《关于两大世界体系的对话》（1632 年）中竭力 为之辩护。日心说之所以被接受还由于其使得天文学家、地理学家及航海 家计算起来更为简便。到 17 世纪中叶，科学界也愿意在日心说的基础上继 续发展，而数学法则对真理的要求也得到了极大的加强。
坚持地球既围绕太阳旋转同时又自转的学说在 17 世纪早期的理性氛
围中绝不是偶然的。伽利略被罗马天主教宗教法庭审判早已众所周知，虔 诚的天主教徒帕斯卡发现自己的著作被列入禁书之列，因为他不知天高地 厚地诋毁基督耶稣，在他的《致外省人书》中，帕斯卡声称：“对于伽利 略的地动学说，即使你得到了罗马教廷否定伽利略的判决也是徒劳的，因 为这并不能说明地球是静止不动的??。”
哥白尼和开普勒毫无疑问地接受了希腊人关于自然是按数学设计的信
念及天主教关于上帝创造和设计了宇宙的信条。笛卡尔(RenèDescartes) 着手建立系统的、清晰的和有说服力的新科学哲学。尽管笛卡尔被誉为数 学王冠上的明珠之一，但他首先是一个哲学家，其次是宇宙学家，第三是 物理学家，第四是生物学家，第五才是数学家。他的哲学极为重要，因为 它主宰了 17 世纪人们的思想甚至影响到牛顿和莱茨这样的巨人，他的基本 目标是要找到在所有领域内建立真理的方法，这贯穿了他的基本著作《更 好地指导推理和寻求科学真理的方法论》（1637 年，简称《方法论》）。 通过只接受那些确凿无疑的事实，笛卡尔开始他的哲学体系的建立工 作。那么他是怎么区分哪些是可接受的论据，哪些是不可接受的呢？在他 的《思维指导法则》中（写于 1628 年，但他死后才得以出版），他指出： “对于我们要研究的对象来说，我们不仅不应该研究他人已经想出的，而 且也不应研究我们自己臆测的东西，而应研究我们能清楚明了的看出或可 靠地演绎出的东西，因为知识不可能用别的方法得到。”使头脑有能力直 接获得清楚和明晰的基本原理，极其敏锐的直觉和对结果的演绎——这就 是笛卡尔认识哲学的实质。笛尔卡认为思维只有两种方法，它们能使得我 们不必担心陷入谬误而获得知识，这就是：直觉和演绎。在《法则》一书