中，笛卡尔对直觉给予很高的评价：“直觉是纯粹的专注的思维的可靠概 念，它仅由理性之光产生，而且比演绎更可信一些。”
　　在《方法论》一书中，他证实了思想的存在以及由思想包含的确切无 疑的知识，通过他的基本的直觉，笛卡尔在《方法论》一书中匆忙地证实 了上帝的存在。而且后来在围绕着循环推理的争论中，他自己确信，直觉 和演绎的方法一定是正确的，因为上帝不会欺骗我们。他说，“上帝是永 恒的，不可改变的，独立自主的，全知的和全能的，并且包括我自己在内 的万物都是上帝创造的。”
　　对于数学本身的真理来说，就像他在《哲学原理》（1641 年）一书中 指出的那样“对于属于算术和几何以及一般的纯抽象数学的图形、数字以 及其他一些符号来说，我认为它们是最可靠的真理，对此我感觉得一清二 楚。”“自从数学家从最容易的和最简单的东西开始研究后，只有他们才 能找到确知的真理及相关的事实。”数学的概念和真理并不是由人们从感 觉得来的，它们自从我们出生就深藏于我们思想之中了，这是上帝安排的， 对一般三角形的感性认识永远也不会使人联想起理想三角形的概念。同样 对心智很清楚的人来说，三角形的内角和一定是 180°。
　　笛卡尔下一步将目光对准现实世界，他说，对于清清楚楚的直觉以及 由之而来的演绎法，我们可以放心地将它们应用到现实中去。他认为上帝 是按数学设计世界的，在他的《方法论》中，他证实了可靠真理及观念的 存在，前者是上帝在自然界中建立起来的，而后者扎根于我们灵魂之中， 一旦我们对它们有足够多的思考，将不再怀疑它们可以在世界上所存在和 发生的万事万物中精确地观测到。
笛卡尔进一步证实自然法则是永恒不变的，因为它们是并且仅仅是预
定的数学模型的一部分。甚至就在出版他的《方法论》以前，笛卡尔在 1630
年 4 月 15 日给一位与数学家过从甚密的神学家梅森(Marin Mersenne)的信 中写道：
对于到处宣扬是上帝在自然界建立了这些原则不要害怕，这
就像一个最高统治者在他的国家建立法律一样??。而且这就像 一个国王，当他不被他的臣民所知的时候更加具有威信一样，我 们把国王的伟大看成不可思议时，我们并没有想到我们根本就没 有国王。一个人会告诉你如果上帝建立这些真理，他也可以像国 王改变他的法律一样来变更他们。对此，人们可能回答到这有可 能，只要他的意愿可以改变，但我认为这些真理是永恒不变的， 这也同我认为上帝是永恒的一样。
这里笛卡尔否认了通行的信念：上帝在不断地干预宇宙的活动。 对于研究客观世界，笛卡尔希望只需数学，就像他在《方法论》中所
说的，“迄今为止在所有探求真理的人中，只有数学家成功地进行任何一 种证明，即进行明白无误的，确定无疑的推理。”在研究客观世界时，笛 卡尔相信数学足够了，他在《哲学原理》中（1644 年）写到：
　　我坦率承认，在现实物质中，我还不知道有什么其他的物质 存在??除了几何学家用数值给它记上符号并且作为其论证的 对象的那种物质。对于这种物质，我只考虑分界线、形状以及变 化。简言之，除了可以由那些普通信条（它们的正确性毋庸置疑） 用在数学证明中所推出的以外，我不相信任何事。而且到现在，
　　
通过这种方法我们可以解释自然界的一切现象??我不认为我 们还可以承认什么其他的客观原理，或者说我们还有理由再寻找 其他任何一条。 笛卡尔在他的《哲学原理》中明确指出科学的实质就是数学，他说他
“既不承认也不希望在物理学中还有除了几何上的或抽象数学中以外的什 么原理，因为这样才能使所有自然现象都可解释并且可给出确定的证明。” 客观世界就是一个静止不动的空间，它具体体现在几何学中，因而其性质 可从几何的基本原理中得出（因为那时数学的大部分都是几何学，因而笛 卡尔和他的同代人都将几何看成数学的同义词）。
　　笛卡尔力图解释为什么世界可用数学来解释。他坚持认为物质最基本 最可靠的性质就是形状、延展性和在时空中的运动，而所有这些都是可用 数学描述的。由于形状可归结为延展，笛卡尔宣称：“如果给我延展和运 动，我就能构造宇宙。”他特别强调所有物理现象都是受外力作用的分子 机械运动的结果，然而作用力同样也满足不变的数学规律。
　　既然笛卡尔认为外部世界只是由运动的物质组成，那么他怎么解释味 觉、气味、颜色以及音质呢？在这些问题上他援引古希腊人的信条，即德 谟克里特的第一性和第二性学说。第一性，物质与运动，存在于客观世界 中；第二性，包括味觉，气味、颜色、热、声音的悦耳或刺耳，不过是外 界原子与感官互撞时由人们感官中的第一性产生的结果。现实世界是在时 空中可用数学描述的物体运动总和，整个宇宙是通过数学原理建立起来的 庞大的、和谐的机器，科学以及事实上任何用来建立顺序和测量的原理都 可归于数学。他在《思维的指导法则》第四法则中写道：
所有那些目的在于研究秩序和度量的科学，都与数学有关。
至于所求的度量是关于数、形、星体、声音或是其他东西都无关 紧要。因此，应该存在一门普遍的科学，去解释所有我们能够知 道的秩序和度量，而不必考虑他们在某个特殊学科中的应用。事 实上，通过长期使用，这门科学已经有了其专门的名称，这就是 数学。??其所以在灵活性和重要性上远远超过那些依赖于它的 科学，是因为它完全包括了这些科学的研究对象和许许多多别的 东西。
笛卡尔对数学本身并没有提出什么新定理，但他却提供了一种非常有
效的研究方法，即我们现在所称的解析几何（见第五章），从技术的观点 来看，解析几何彻底改变了数学研究方法。
　　在科学上，笛卡尔的贡献，虽然不如像哥白尼、开普勒以及牛顿那样 辉煌灿烂，但也不容轻视。他的漩涡理论（见第三章）是 17 世纪时的主要 宇宙学理论，他是机械论哲学的奠基人。这种哲学认为，所有自然现象， 包括人体的作用，但除了灵魂，都可归结为服从力学定律的运动。对于力 学来说，他系统地阐述了惯性定律，即现在所说的牛顿第一运动定律：如 果没有外力作用，每个物体都保持其静止状态或匀速直线运动状态。
光学，特别是透镜设计，是笛卡尔另一个主要兴趣所在，实际上他的
《几何学》一部分和《屈光学》的全部（《方法论》后面的附录）都是讲 光学的。他和斯涅耳共同发现了光的折射定律，即光在媒质中传播时，媒 质突然变化（如光从空气射到玻璃或水）时光线如何变化。希腊人开始将 光学数学化，但笛卡尔的贡献在于他把光学发展成为数学科学。在其他领

域他也做出重要贡献，包括地理学、气象学、植物学、解剖学（动物解剖）、 动物学、心理学、甚至医学。
　　尽管笛卡尔的哲学和科学观点背离亚里士多德主义及中世纪的经院哲 学，但在一个基本的方面，他还是一个经院主义者：他从自己的心里得出 关于存在和实在的本质命题，他相信有先验的真理，而理智本身的力量可 以得到对一切事物的完整知识。这样，他在先验推理的基础上阐明运动定 律（实际上他在生物学及其他一些领域的研究中作了一些实验，并且从中 得出一些重要的结论）。然而，通过把自然现象归结为纯物理现象，他做 了许多努力去剔除科学中的神秘主义和超自然力。
　　17 世纪伟大数学家之一，帕斯卡(Blaise Pascal)毫不怀疑科学中的 数学及数学规律是真理。和笛卡尔不同，笛卡尔认为直觉明显地可以被头 脑接受，帕斯卡则认为直觉只可以被内心所接受。真理必须是清晰地出现 或在心里确定无疑，或者是这类真理的逻辑推论，在他的《思想录》里， 他告诉我们：
　　关于空间，时间、运动和数的基本原理的知识如同我们通过 推理获得的任何知识一样可信，事实上，由我们内心和直觉所提 供的这种知识正是我们的推理赖以建立结论的基础。对推理来 说，要求在接受来自内心的基本原理前就要求其证明是无意义的 和荒谬的，就如同对内心来说，在接受由推理所论证的所有命题 前就要求其有直观知识一样是无意义和荒谬的。 对帕斯卡来说，科学就是研究上帝的世界，他认为单纯为了娱乐来从
事科学工作是错误的。以娱乐为主要目的而搞研究是糟蹋了研究，因为那
种人抱有“一种对学问的不尽贪欲，对知识的恣意挥霍。”“这种对科学 的研究出自于对自我为中心的关心，而不是着眼于在周围的自然现象中找 出神的存在和光辉。”
在开创现代数学和科学，富有独创精神的思想家中，伽利略与笛卡尔
齐名，当然，他也相信自然界是上帝按数学设计的。他在 1610 年《试金者》 中的论述非常著名：
哲学（自然）被写在那部永远在我们眼前打开看的大书上，
我指的是宇宙。但只有首先学会它的语言，把握了它的书写符号 以后，我们才能理解它。它是用数学语言写成的，符号是三角形， 圆以及其他几何图形，没有它们的帮助，人们一个字也读不懂， 没有它们，人们就只能在黑暗的迷宫中游荡。 自然界是简单而有序的，它的行为是规则的而且是必要的，它依照完
美并且不变的数学规律运动，神圣的推理是自然界中理性的源泉，上帝把 严格的数学必要性置于世界，即使人的推理与上帝有关，人也只有通过艰 苦努力才能领悟这种数学必然性。因此，数学知识不仅是绝对真理而且像
《圣经》那样，每句每行都不可侵犯，更进一步，研究自然就得像研究《圣 经》一样虔诚。“上帝在自然行为中所呈现给我们的，一点不比其在《圣 经》中用神圣的字句所表示的逊色。”
　　伽利略在《关于两大世界体系的对话》（1632 年）中断言：在数学中， 人类达到了所有可能的知识的顶峰，这一点他并不比那位神圣的智者逊 色。当然，后者知道的和感觉到的数学真理远远比人知道的多，但考虑到 客观确定性，少数被人掌握的真理与上帝所知道的一样完善。
　　
　　尽管伽利略是个数学教授而且是宫廷数学家，他的主要贡献是他在科 学方法上的许多变革，其中，最著名的就是他的废除物理解释的主张—— 亚里士多德奉为科学的真正目标——而应去寻求数学描述。这两种目标的 不同易于说明：一个物体落到地面，并且，事实上是以逐渐增加的速度下 落的，亚里士多德及信奉他的方法论的中世纪科学家则力图解释引起它下 落的原因，并假设是力学方面的。伽利略正相反，他仅用数学法则来描述 下落，用现代数学记号来表述就是 d＝16t2 这里 d 指在 t 秒内物体下落的 英尺数。这个公式一点也没说物体为什么下落，而且与人们想知道的有关 这种现象的事更是风马牛不相及。然而伽利略确信我们要探寻的自然知识 是可描述的。他在《两类新科学》中写到：“有关下落物体加速运动的原 因并不是必然要研究的部分。”更一般的，他指出，他要研究和证明的是 一些运动的性质而不考虑为什么会这样。正确的科学探索同所谓的寻求最 后原因之类的问题要分别开来，而且物理原因的假设应该放弃。伽利略坚 持向自然科学家提议：不要研究为什么会这样，而要讨论怎样定量描述。 对伽利略的这个方案的核心的第一反应即使在今天也许也是否定的， 用公式来描述现象只能说是第一步，亚里士多德派好像实际上已掌握了科 学的真正作用，这就是解释这些现象为什么会发生。即使笛卡尔也抗议伽 利略的寻找描述性公式的决定，他说：“伽利略关于真空中落体所说的一 切都是缺乏根据的，他应该首先确定重量的本质。”更进一步，笛卡尔说， 伽利略应该思考终极原因。依照后来的发展，现在我们知道，伽利略追求 描写的决定是关于科学方法论最深刻最有成效的变革。它的重要性，以后
会更明显，就在于把科学置于数学的保护之下。
　　伽利略的另一个原则就是科学的任一分支都可用数学模型模仿出来， 两个基本步骤是，数学从公理即不证自明的真理出发，通过推理建立新定 理。所以，任一科学分支都应由公理或原理出发进行推理。更进一步讲， 人们应该从公理中尽可能多地推出结论。当然这个原则是亚里士多德提出 的，其目的在于用头脑中的数学模型推出科学的推理结构。
然而，伽利略与希腊人、中世纪思想家和笛卡尔在获取基本原理的方
法上截然不同。伽利略以前的人及笛卡尔相信基本原理出自心中，心只须 对任何一类现象加以思考，就能得出基本真理。心的这种力量在数学中得 到明证，像等量加等量结果仍相等，两点决定一条直线等公理，只要一想 到数和几何图形，就会立刻呈现出来，而且是毋庸置疑的真理。希腊人也 确曾找出一些自明的物理原理，例如“宇宙中所有物体都应有自然位置” 这条原理再恰当不过了。静止状态看起来显然比运动状态更自然，欲推动 一个物体且使其保持运动，则必须用力，这似乎也是无可辩驳的。相信心 能够提供基本原理，并不否认观测能帮助我们获得这些原理，但是观测只 能唤起正确的原理。正如看见一个熟悉的面孔，就能想起有关那个人的事 情一样。
　　这些学者就像伽利略所说的，是首先决定世界怎样依照他们预定的原 理运作。伽利略认为，在物理学中，与在数学中相反，基本原理必须来源 于经验和实验，获取正确基本的原理的方法应是注意自然说了什么而不是 我们想了什么。他公开批评那些接受大自然怎样运作符合他们预定原理的 规律的科学家和哲学家，他说，自然界并不是首先造出人的大脑，然后再 安排世界以便使之可为人的智力所接受。中世纪的思想家喋喋不休地重复
　　
亚里士多德的话并且争论它的含义，伽利略批评说，知识来自观测，不是 来自书本，关于亚里士多德的争论是无用的。对于沉湎于把科学看成是研 究《伊利亚特》及《奥德赛》或者是诠释希腊人著作的人，伽利略称他们 是纸上科学家。他说：“当我们得到自然界的意志时，权威是没有意义的。” 当然，一些文艺复兴时期思想家及伽利略的同代人弗朗西斯·培根也 得出了实验是必要的结论。在他的新方法上，伽利略并不超出他人，但是， 笛卡尔却认为伽利略依赖于实验的办法是不明智的。笛卡尔认为感觉只能 导致幻觉，理性才能洞察幻觉。从心智所提供的天生的一般原理，我们能 推出自然界的特殊现象并且理解它们。确实，如同我们前面提到的，在笛 卡尔许多科学工作中，笛卡尔做了实验而且要求理论符合事实，但在他的
哲学里他仍然依赖内心的真理。 少数数学物理学家同意伽利略的观点，即靠推理并不能确保物理原理
的正确性。基督教徒惠更斯实际上批评过笛卡尔，英国物理学家也抨击过 纯理性主义。胡克(Robert Hooke)说，伦敦皇家学会的成员们“面临着这 么多致命的错例，这些错例，使人类的大多数人都为之迷惑，因为他们仅 仅依赖于推理的力量。而现在，会员们已开始凭感性来校正所有的假设 了。”
当然伽利略意识到靠一条不正确的由实验得出的原理，推出的结果也
是不正确的，因此，他建议并且可能做了一些实验来检验他推理的结论以 获得基本原理，然而，伽利略做实验做到何种程度却不得而知。有一些他 称之为实验的，实际上是理想中的实验，即想象如果真做实验的话，一定 会发生什么。然而，他的宗旨：物理学原理必须建立在经验及实验基础上 却具有革命性的关键意义。伽利略毫不怀疑一些上帝用来创造宇宙的真实 原理可从心里推出，但在从经验出发的角度上，他允许对此持怀疑态度。 如果科学的基本原理必须来源于实践，数学公理为什么不行呢？这个问题
在 1800 年以前对伽利略及他的后人都没引起什么麻烦，数学仍然是一门特
权学科。 在他的科学著作中，伽利略聚焦于物质和运动，他清楚地并独立地认
识到笛卡尔的惯性原理，即现在所说的牛顿第一运动定律。他也成功地获
得作垂直运动、沿斜面运动物体及抛射体运动的规律，他证明抛射体运动 轨迹为抛物线。总之，他获得了所有地上物体的运动规律。尽管，在任何 一项重大的变革中，都可以找到一些前人的足迹，但还没有人能够像伽利 略那样清楚地通晓指导科学研究的概念及原理，而且，没有人像他那样用 简单而有效的方式证明了它们的应用。
　　由于伽利略的对他的时代的重大创新，他的哲学和科学方法论成为牛 顿伟绩的开端，后者出生在伽利略逝世的那年。
　　
第三章 科学的数学化


在任何特定的理论中，只有其中包含数学的部分才是真正的科学。
——康德
　　科学中的数学定律是真理，体现在上帝对宇宙的设计之中，如果这个 信念还须加强，那么它已由艾萨克·牛顿爵士极好地完成。牛顿是剑桥大 学的数学教授，被称为最伟大的数学家之一，他还被誉为一个物理学家。 他的工作提供了一整套新的科学方法，开创了科学的一个新纪元，并因之 加强和深化了数学的作用。
　　哥白尼、开普勒、笛卡尔、伽利略、帕斯卡都证明了自然界的一些现 象与数学定律相吻合。他们深信上帝不仅创造了世界，而且其创造与人的 数学思维相一致。统治 17 世纪的哲学或科学方法论由笛卡尔系统地阐述和 发展，笛卡尔甚至认为全部物理学都可以归结为几何学。几何学这个词被 他和其他人常常用作数学的同义词。笛卡尔的方法论被大多数牛顿时代以 前的人所采纳，尤其是惠更斯，后者认为，科学具有另外一种附加的功能， 即提供一个自然现象的物理解释。
　　希腊人，尤其是亚里士多德，也用物理学术语来解释自然现象的行为。 他们的主要理论是，所有的物质是由四种元素：土、气、火和水组成，它 们具有一种或多种性质，重性、浮性、干性和湿性。这些性质可解释物体 的表现：火向上燃烧是因为火轻，而土质的物质向下落是因为它具有重量。 对于这些性质，中世纪的学者们还增加了其他许多性质，如共振和不相容。 共振解释了一个物体相对于另一个物体，如铁对磁石的吸引。不相容则解 释了一个物体被另一物体所排斥。
另一方面，笛卡尔却摈弃了所有这些性质，坚持认为所有物理现象都
能由物质和运动来解释。物质的这些基本属性具有广延性，并且可以度量， 因此可以归结为数学。再进一步，由于没有物质，也就没有广延性，因此 真空是不可能的。空间充满着物质，并且物质只可能由于直接接触而相互 作用。然而，物质是由大小、形状和其他特征各异的不可见颗粒所构成的， 正是因为这些颗粒小得不可见，所以有必要对它们的行为作一些假设，以 解释人们可以观察得到的大的现象。依据这个观点，空间充满了微粒，它 们可以推动更大的物体，如行星绕太阳旋转。这也就是笛卡尔的漩涡理论 的精髓所在。
笛卡尔是机械唯物主义的奠基人。法国哲学家，基督教士伽桑狄
(Pierre Gassendi)，英国哲学家霍布斯(Thomas Hobbes)和荷兰数学家与 物理学家惠更斯(Christian Huygens)继承了他的学说。惠更斯在他的《光 论》（1690 年）一书中，假设空气中充满能传递光的运动的以太微粒，从 而解释了光的各种现象。事实上这本书的副标题就是：对反射和折射发生 原因的解释。在绪论中，惠更斯认为，在真正的哲学中，“人们构想所有 自然界作用的原因是机械运动，因此，依我的观点，我们或者是搞清楚所 有的物理现象，或者是放弃这一希望。”但另一方面伽桑迪却坚信，原子 是在真空中运动。
　　物理学有关微粒作用的假设确实，至少在大体上，解释了自然界的总 体行为。但这些都是心智的创作，而且笛卡尔和他的追随者们的物理学假 设是定性的，因此也就仅能解释而已，而不能精确地预言观察和实验中所
　　
出现的现象。莱布尼茨称这种物理学假设为一个美丽的神话。 一种关于科学的，与上述哲学完全相反的哲学由伽利略所开创。科学
必须寻求数学描述而不是物理学解释，而且，基本理论应由实验和根据对 实验的归纳而得出。根据这种哲学，同时受他的老师巴罗的影响，牛顿改 变了科学研究的程序。他采用数学前提来取代物理学假设，从而使预言具 有培根所倡导的确定性，而这些前提是由实验和观察得来的。
　　伽利略先于牛顿探讨了物体的下落和抛物体的飞行，牛顿却解答了一 个更为深广的问题，一个 1650 年左右在科学家们脑海中占据最主要地位的 问题：能否在伽利略的地上物体运动定律和开普勒的天体运动定律之间建 立一种联系？所有运动现象都应遵循一套定律，这种想法似乎有点过于自 信和不凡，但确实在 17 世纪严谨的数学家们的头脑中很自然地产生了。上 帝设计了宇宙，因此可以推测所有的自然现象都遵循一个总的规划，上帝 极可能用一套基本原理来支配相联的事物。对于 17 世纪致力于揭示上帝的 自然设计的数学家和科学家来说，合乎情理的做法似乎应该是去寻求控制 各种地面物体运动和天体运动的统一规律。
　　在实施他推导宇宙运动规律的计划的过程中，牛顿对代数、几何、尤 其是微积分（见第六章）做出了许多贡献，而这些仅仅是为达到其科学目 标的辅助工作。事实上，牛顿认为数学是枯燥和乏味的，只是表述自然定 律的一种工具。他致力于寻找能导出一个统一地上物体运动和天体运动的 定律的科学原理，幸运的是，正如狄德罗所说的，自然界把秘密告诉了牛 顿。
牛顿当然熟悉由伽利略建立起来的定律，但这些还不够。由运动学第
一定律可以很清楚地知道，行星受一个被吸往太阳的力，如果没有这个力， 每一颗行星将作直线运动。总是有一个力将行星拉向太阳的想法许多人都 有过。哥白尼、开普勒、著名实验物理学家胡克、物理学家和著名建筑学 家雷恩(ChristopherWren)、天文学家哈雷(Edmund Halley)以及其他一些 人，甚至在牛顿之前就开始了探索的工作。而且有人推想，这种力对一个 较远星球的作用必定比对较近星球的要弱，而且随着太阳与星球的距离的 增大，力成平方反比减小。然而在牛顿的工作以前，这些有关引力的想法 都没有推进到能超过观测结果。
牛顿吸收了他的同时代人所作出的推想，即在任何两个质量为 m 和 M，
相距为 r 的物体之间的引力 F，可由以下公式
F＝G mM
r 2
给出。在这个公式中，G 是常量，即无论 m、M 和 r 为何值，它都不变。这
个常量的值取决于所用的质量、力及距离的单位。牛顿还将伽利略的地上 物体运动定律进行普遍推广，这些推广现在称之为牛顿运动三定律。其中 第一定律已由笛卡尔和伽利略所导出：如果一个物体不受力，它将保持静 止或做匀速直线运动；第二定律说：如果一个力作用在一个质量为 m 的物 体上，那么它将给此物体一个加速度，准确一点说，这个力等于质量与加 速度的乘积，用公式表示即 F＝ma；第三定律则认为：如果物体 A 给 B 一 个作用力 F，那么 B 给 A 一个大小相等、方向相反的作用力 F。由这三个定 律及万有引力定律，牛顿可以很容易地推断地球上所有物体的运动规律。 就天体运动来说，牛顿真正的成就在于他证明了开普勒经过多年观测

和研究得出的开普勒三定律可以由万有引力定律和运动三定律用数学方法 推导出来。在牛顿以前关于行星运动定律的研究工作，曾被认为与地面物 体运动无关，现在的结果则表明行星运动遵循与地面物体运动同样的规 律。从这种意义上说，牛顿解释了行星运动规律。此外，由于从万有引力 定律所推导出来的开普勒定律与观测结果十分吻合，也为万有引力定律的 正确性提供了强有力的证据。
　　用运动定律和万有引力定律所推导出来的这些结果只是牛顿所完成的 工作的一小部分。他应用万有引力定律解释了以前一直难以解释的海洋潮 汐现象，对大范围的水域来说，引力主要来自于月亮，其次是太阳。由收 集到的太阴潮，即由月球所引起的潮的高度的数据，牛顿算出了月球的质 量。牛顿与惠更斯计算了地球沿着赤道的隆起度，牛顿还与其他人一起说 明了彗星的轨道与万有引力定律保持一致，因此可以认为彗星也是我们太 阳系的一个合法成员，而不是什么突发事件或上帝派出来泄怒降灾的天外 来客。牛顿接着说明了月亮和太阳对地球赤道隆起带的吸引力使地球的自 转轴形成一个周期大于 26000 年的锥，其不总指向天空中的同一颗星。地 轴轴向的这种周期性变化使每年的春分和秋分都发生些微的变化，这一事 实喜帕恰斯早在 1800 多年前就观察到了，这样牛顿就解释了岁差。
最后，牛顿用近似的方法，解决了许多有关月球运动的问题。例如，
月球运动所在平面略微向地球运动平面倾斜，牛顿能够说明太阳、地球、 月球三者之间的相互吸引而引起的这种现象遵循万有引力定律。牛顿和他 的直接继承者们推导出了如此浩繁而又杰出的有关恒星、彗星、月球、海 洋运动的结果，以至于他的成就在接下来的两百年里被誉为“世界体系的 阐述”。
在所有这些工作中，牛顿采纳伽利略的提议去寻求数学描述而不是物
理解释。牛顿不仅将开普勒、伽利略、惠更斯的大量实验和理论性成果融 汇起来，而且将数学描述和推导置于所有科学描述和预言之前。在他巧妙 地命名为《自然哲学的数学原理》（1687 年）一书的序言中，他写道：
古人（如帕普斯所告诉我们的）认为在研究自然事物时，力
学最为重要，而今人们则舍弃其实体化的形式和深藏的实质，而 力图以数学定律说明自然现象。我在本书中致力于用数学来探讨 有关的哲学问题。??因此我把这部著作称为哲学的数学原理， 因为哲学的全部任务就在于从各种运动现象来研究各种自然之 力，而后用这些力去推证其他现象。本书第一、第二编中的一些 普遍命题就是为了这个目的而提出来的。??然后根据其他同样 是数学上论证过的命题，从这些力中推演了行星、彗星、月球和 海潮的运动。
很明显，数学在这里起了主要作用。 牛顿有充分的理由强调定量的数学定律来反对物理学解释，因为在他
的天体力学中，核心概念是万有引力，而万有引力的作用根本不能用物理 学术语解释。不管两个物体相距多么遥远，它们仍然相互吸引，这种万有 引力的概念简直和亚里士多德派及中世纪的学者们为了解释科学现象而发 明“质”的概念一样令人难以置信。这种概念尤其不能为牛顿的同时代人 所接受，他们坚持力学的解释并且认为力只有在一个物体“推”另一物体 时才有可能发生。这种放弃物理机制而采取数学描述的方法震撼了甚至是

最伟大的科学家。惠更斯认为万有引力的想法是荒谬的，因为这种超空间 的作用不属于任何一种机械运动。他对牛顿没有根据而不厌其烦地只用万 有引力的数学原理作那么多繁琐的计算感到吃惊。其他许多人，包括莱布 尼茨，也反对万有引力的纯数学解释。莱布尼茨自 1690 年读完了牛顿的《原 理》后就开始抨击它直至逝世。伏尔泰(Voltaire)1727 年在出席了牛顿的 葬礼后，调侃牛顿把一个真空留在了伦敦，又在法国找到了一个实空 (Plenum)，在那儿，笛卡尔的哲学仍然盛行。为解释“超距作用”而作的 努力一直持续到 1900 年。
　　即使完全没有物理学解释，而仅仅依靠数学描述，牛顿也使得他那无 与伦比的贡献成为可能。作为对物理学解释的替代，牛顿确实有一个有关 重力作用定量的公式，这个公式既重要又实用，因此，在他的《原理》开 篇中，牛顿说：“我在此只为这些力提供一个数学的概念，并没有考虑他 们的物理因果。”在书末他又重复了这种思想：
　　但是我们的目的，是要从现象中寻出这个力的数量和性质， 并且把我们在简单情形下发现的东西作为原理，通过数学方法， 我们可以估计这些原理在较为复杂情形下的效果。??我们说通 过数学方法（着重号为牛顿所加），是为了避免关于这个力的本 性或质的一切问题，这个质是我们用任何假设也确定不出来的。
在他 1692 年 2 月 25 日写给牧师本特利博士的信中，牛顿这样写道：
　　至于引力是物质所内在的，固有的和根本的，因而一个物体 可以穿过真空超距地作用于另一个物体，毋须有任何一种东西的 中间干预，用以把它们的作用和力从一个物体传递到另一个物 体，这种说法对我来说，尤其荒谬。我相信凡在哲学方面有思考 才能的人决不会陷入这种谬论之中。引力必然是由一个按一定规 律行事的主宰所造成的，但是这个主宰是物质的还是非物质的， 我留给读者自己去思考。 尽管有牛顿在数学上的成功，但物理机械论的久不出现依然困绕着科
学家们，然而他们想得到这样一种物理机械论的努力一直没有实现。贝克
莱(Bishop George Berkeley)在他的对话《艾西弗伦》（Alciphron，1732 年）中阐述了以下观点：
（尤弗拉洛简记为尤，艾西弗伦简记为艾）。
尤：??我请求您，艾西弗伦，不要被那些术语所迷惑，把 力这个字放一边吧，把其他任何事情从你的思想里去 除，然后看你对力有什么明确的见解。
　　艾：力是存在于能发生运动和其他可知后果的物体中的东 西。
尤：那么力与那些后果是截然分开的吗？ 艾：是的。
尤：那我们现在很高兴不用考虑力的主体和后果，而只须考 虑力本身的准确概念了。艾：我认为事情并非如此简单。 尤：看来你我都不能用自己才智范围内的语言构造一个力的 概念，因为人的思维和才能如此相似，那么我们可以设
　　　　想其他人也不会有比我们更好的想法了。 牛顿确实希望引力的本质能为人们探究和知晓，但事与愿违，没有人
　　　　
能解释引力是如何作用的，这种力的物理真实性从未得以证明，而只是人 类能力试图影响这种力的一个科学幻想。然而，由定量定律得到的数学结 论被证明是如此有效，以致于这种方法被认为是自然科学的一个整体部 分。科学所做的就是牺牲物理上的可解释性而得到数学上的可描述性和可 预测性。
　　17 世纪的成就常被概括为数学物理学家们构造了一个像机器一样运 转的力学世界。当然，如果力学仅仅是指通过作用在微粒及它们的延展而 成的物体上的力，用重性、浮性、共振和前面所提及的一些概念解释所产 生的运动，那么，亚里士多德及中世纪的科学家们的科学也是力学。然而，
17 世纪的人，尤其是笛卡尔及其追随者，摈弃了前人用以解释运动的质量 多元性的假设，而将力限定为物质的、明显的：扔出一个物体必须有重量 或力。可以称这种牛顿以前的物理学为物质物理学，数学可以描述它但数 学不是根本。
　　牛顿力学和他以前的力学的本质不同不只在于引入了数学来描述物体 的状态，数学对物理学的帮助也不只因为它是一种更方便、更简洁、更清 晰、更普遍的语言，而是因为它提供了最基本的概念。重力只是一个数学 符号的名称，同理在牛顿第二运动定律（F＝ma，力等于质量乘以加速度） 中，力可以是使物体产生加速度的任何东西。力本身的性质在物理上也许 是不可知的，因此牛顿谈到而且使用了向心力和离心力的概念，尽管他并 不知道这些力的机制。
在牛顿力学中甚至质量的概念也是虚构的。确切而言，质量是物质，
而物质却如同塞缪尔所“证明”的像踢一块石头一样真实。对牛顿来说， 质量最基本的性质是惯性，其意义已在第一运动定律中表述，即若一个物 体处于静止且不受力作用时，它将继续保持静止；若它处于运动状态，则 它将作匀速直线运动。为什么是直线而不是曲线呢？伽利略将惯性运动理 解为曲线运动。那么，为什么会是匀速运动呢？如果没有力的作用，物体 为什么总保持静止或做匀速运动？惯性是一个虚构的概念，并非实验事 实，质量不可跟所有的力分开。牛顿运动定律中唯一具有物理真实性的部 分是加速度，我们可以观察并度量出物体加速度的大小。
但牛顿终于放弃了物理的解释，他用数学概念及量化了的公式，还有
能导致公式的数学推导重铸了整个 17 世纪的物理学①。牛顿的光辉业绩呈 现给人类一个崭新的世界秩序，和一个用一套普遍的，仅用数学表述的物 理原理控制的宇宙。这是一个包括了石头下落、海洋潮汐、行星及其卫星 运动、彗星挑战性的大尾巴以及恒星辉煌庄严的运动的宏大的规划。牛顿 这个规划使世人折服：自然界是依数学设计的，自然界的真正定律即数学。 牛顿的《原理》是物理解释的墓志铭。拉普拉斯曾说过，牛顿是最幸运的 人，因为只有一个宇宙，而他成功地发现了它的定律。
在 18 世纪，数学家们，同时也是伟大的科学家们继承了牛顿的想法， 拉格朗日的《分析力学》（1788 年）可视作是牛顿数学方法的典范。在这 本书中，力学完全数学化地处理，与物理过程无甚联系。事实上，拉格朗 日夸口他不需这些，甚至连几何图形也不需要。牛顿力学和天文学的方法， 也被用于处理物理学一些较新的分支，如流体力学、弹性力学和电磁学。



① 在《光学》里，牛顿确实给出了物理解释，然而其不足以解释所有的光学现象。

定量的、数学化的方法构成了科学的本质，真理大多存在于数学之中。
　　17 世纪的叛逆者们借助于数学描述进行研究，发现了一个量化了的世 界。他们将物理世界的具体事物转换成数学公式，从而留给后人一个数学 的、定量的世界，这就是繁荣至今的自然的数学化的开始。而当詹姆斯·琼 斯爵士(James Jeans)在《神奇世界》（1930 年）中称：“宇宙的伟大建 筑师现在看起来似乎是一个纯粹的数学家”时，他至少已落后于时代两个 世纪。
　　虽然如我们所说，单纯依赖于不被物理解释所支持的数学公式，牛顿 也颇感不安，但他不仅竭力提倡他的关于自然哲学（物理学）的数学原理， 而且确信其是他所描述的现象的真正解释。他为何有这种信念呢？原因 是，正如他那个时代的所有数学家和科学家一样，牛顿相信上帝创造的世 界与数学原理相吻合。最具说服力的是牛顿在《光学》（1704 年）中，有 关上帝作为宇宙框架构造者而存在的一段经典论述：
　　自然哲学的主要任务是不作虚构假说而从现象来讨论问题， 并从结果中导出其原因，直到我们找到第一个原因为止，而这原 因一定不是机械的。??在几乎空无一物的地方有些什么？太阳 和行星之间既无稠密物质，它们何以相互吸引？何以自然界不作 徒然之事，而我们在宇宙中看到的一切秩序和美丽又从何而来？ 出现彗星的目的何在，并且何以行星都是一样在同心的轨道上运 动，是什么在阻止一颗星下落到另一颗的上面？动物的身体怎么 会造得如此巧妙，它们的各个部分各自为了哪些目的而设？没有 光学的技巧，是否能造出眼睛，没有声学知识，是否能造出耳朵？ 身体的运动怎样依从意志的支配，而动物的本能又从何而 来？??这些事情都是这样井井有条，所以从现象来看，是否好 像有一位没有形体的、活的、最高智慧的、无所不在的上帝，他 在无限空间中，像在他的感觉中一样，仿佛亲切地看到形形色色 的事物本身，深刻地理解并全面地领会它们，因为事物就直接呈 现在他的面前？ 在他的《原理》第三版中，牛顿回答了他自己的问题：
太阳、行星和彗星这个最美丽的系统只能开始于一个有智
慧、有能力的人的圣旨和支配。??这个人统治了天下万物，他 不仅是世界的灵魂，而且是一切的主宰。 牛顿也确信，上帝是一个全能的数学家和物理学家。他在一封 1692
年 12 月 10 日给理查德·本特利的信中写道： 为了形成（宇宙）系统及其全部运动，就得有这样一个原因，
它了解并且比较过太阳、行星和卫星等各天体中的质量以及由此 确定的重力，也了解和比较过各个行星与太阳的距离，各个卫星 与土星、木星和地球的距离，以及这些行星和卫星围绕这些中心 体中所含的质量运转的速度。要在差别如此巨大的天体之间比较 和协调所有这一切，可见那个原因决不是盲目的和偶然的，而是 非常精通力学和几何学的。 科学将揭开上帝辉煌设计的秘密，牛顿在给本特利的同一信中开头如
此表达自己的观点：“在我撰写关于我们系统（译注：指太阳系）的著作
（译注：指《原理》）时，我曾着眼于这样一些原理，用这些原理也许能

使深思熟虑的人们相信上帝的存在；而当我看到它对这个目的有用时，可 以说没有别的什么东西能使我更加高兴的了。”牛顿还有许多类似这样的 信件。
　　牛顿对宗教的兴趣是他进行数学和科学研究的真正动力。他相信基督 教的教义就是上帝的启示，上帝是所有自然力和万事万物存在与发生的原 因，神的意志、引导、控制无所不在。从他青年时代开始，牛顿就做过严 格的有关宗教方面的研究和解释工作，他的后半生也全部献给了神学。在 他的著作《对丹尼尔的预言和圣约翰的启示录的观察》（1733 年）和《古 代王国编年史修订本》残存的数百页手稿中，他试图确定《圣经》事件年 表。虽然科学研究本身就是要从神秘和超自然中解放出来，但牛顿认为科 学也是崇拜上帝的一种形式。牛顿为自己的工作揭示了无所不在的上帝之 秘密而倍感欣慰。他重视加强宗教的基础远胜过重视数学和科学成就，因 为后者只不过是展示了上帝对宇宙的设计而已。他经常为自己那艰难有时 甚至是枯燥的工作辩护，因为这些工作通过提供上帝安排宇宙秩序的证据 支持了宗教，他就像拜读《圣经》一样虔诚地工作。上帝的智慧可以通过 展示宇宙的结构而被证明，上帝也是天下万事发生的原因，奇迹只是上帝 常规活动之外的即兴创作。上帝偶尔也必须修正一些小纰漏，正如钟表匠 修理钟表那样。
上帝设计了宇宙，数学和科学的作用是揭示这些设计，如果这一信念
还须加强，那么这一工作已由莱布尼茨(Gottfried Wil-helm Leibniz)来 担当。像笛卡尔一样，莱布尼茨主要是个哲学家，他多才多艺，对数学、 科学、历史、逻辑学、法律，外交和神学的贡献都是首屈一指的。同牛顿 一样，莱布尼茨视科学为一种宗教使命，科学家们有义务去肩负之。在 1699 年或 1700 年的一封没署名日期的信中他写道：“在我看来，整个人类的首 要追求目标应该是理解和发展上帝所创造的奇迹，这也是上帝赐给人类地 球这个帝国的原因。”
在《神正论》（1710 年）中，莱布尼茨肯定了到那时为止这样一些类
似的想法，即上帝是位伟大的智者，正是她创造了这个精心设计的世界。 莱布尼茨对现实世界和数学世界的和谐，以及对数学在现实世界适用性的 最终辩护是，上帝与世界是统一的，因为上帝已精心计算在先，所以世界 就是如此，数学与自然之间，有一种先天的默契。宇宙是尽善尽美的，是 所有可能有的世界中最美好的世界，而且是理性的思维揭示了它的规律。 真正的知识在我们头脑中是与生俱来的，尽管不是如柏拉图所说，是 先验存在的。感觉永远不能教给我们诸如上帝存在，或所有直角都相等之 类最起码的真理。因此，数学的公理是先天存在的真理，正如它是力学和 光学等推理科学中的基本原理一样。“为了确定被感知的事物，感觉不可 或缺，同样，为了确定事实，实验不可或缺。??但证明的力量在于理性
的概念和真理，只有它们能使我们识别什么是必需的。??” 莱布尼茨的数学和科学工作广泛而有价值，我们以后还将详述。但有
点像笛卡尔，他的贡献是技术性的。他在微积分及微分方程创立之初所做 的工作，还有他对某些新出现的概念——如我们今天称之为动能——的重 要性的确认，都是第一流的。但莱布尼茨没有贡献任何新的关于自然的根 本性法则，倒是他的以数学为基础的科学哲学认为，在激励人们寻求真理 时，数学最为重要。

　　18 世纪的人们极大地发展了数学和数学科学，使有知识的人确信，数 学和科学中的数学定律是真理，但他们的工作大部分是前人工作的延伸。 贝努利家族，尤其是詹姆斯·贝努利(JamesBernoulli)、其弟约翰·贝努 利(John Bernoulli)及约翰之子丹尼尔·贝努利(Daniel Beroulli)，还有 欧拉、达兰贝尔、拉格朗日、拉普拉斯及其他许多人继续对自然进行数学 探索，他们都对微积分的技巧有所发展，并创建了一些全新的数学分支， 如常微分方程、偏微分方程、微分几何、变分法、无穷级数及复变函数。 这些学科本身不仅被作为真理接受，而且为探索大自然提供了更加强有力 的工具。正如欧拉 1741 年所言：“数学的用处，通常认为是其基础部分， 但数学的用处，不仅不囿于较高深的数学，而且事实上，科学越向纵深发 展，数学的作用就越显著。”
　　数学研究的目的在于获得更多的自然规律，更深刻地了解自然的设 计。为了继续牛顿描述和预言天体运动的工作，人们在天文学上所做的努 力最多。牛顿的主要理论，即行星的轨迹是椭圆，只当天空中仅有太阳和 一颗行星时才正确，他对此也很清楚。但在牛顿时代和几乎整个 18 世纪， 人们已得知有 6 颗行星，每一颗相互吸引而所有的行星又被太阳吸引。更 进一步，一些行星，如地球、木星、土星均有卫星，因此椭圆形轨道会受 到干扰。那么，真正的轨道又是什么呢？所有 18 世纪的伟大数学家们都在 考虑这个问题。
问题的关键在于三个物体之间相互有引力作用。如果能够设计某种方
法以测定第三个物体的干扰作用，那么这种方法也同样适用于第四个物 体，并可依此类推下去。然而，即使到了今天，就算是三个物体运动的一 般问题也还没有确切的解答，不过，人们已经设计出近似程度越来越好的 方法。
即便是采用了近似的方法，18 世纪的成就仍然是令人瞩目的。克莱洛
(Alexis-ClaudeClairaut)对哈雷彗星回归的预言证明了数学工作在天文 学上的精确性，这是最富有戏剧性的论据之一。有好几个人都曾观测过这 颗彗星，哈雷在 1682 年曾试图测定出它的轨道，他预言说这颗彗星将于
1758 年返回。1758 年 11 月 14 日，在巴黎科学院的一次会议上，克莱洛宣
布哈雷彗星将于 1759 年 4 月中旬返回到它的近日点，可能的误差是 30 天。 这颗彗星比预料的早到了一个月，一个月的误差似乎很大，但是人们最多 只能在几天中看到，而且这颗彗星 77 年才能见到一次。
天文学中另一辉煌的成就应归功于拉格朗日和拉普拉斯的工作。人们
观测到月球和行星的运动不很规则，这些不规则的运动可能意味着行星将 越来越远离太阳或是移向太阳。拉格朗日和拉普拉斯证明了，人们所观测 到的木星和土星速度的不规则是周期性变化的，因而它们的运动基本上是 稳定的。这个世纪的天文学工作都收录在拉普拉斯恢宏的科学巨著《天体 力学》中，这本书在 1799 到 1825 年间共出版了五卷。
　　拉普拉斯实际上将他的全部生命献给了天文学，他将他所涉猎的每一 个数学分支都应用于天文学。众所周知的一个事实是，他在他的著作中经 常省略一些困难的数学步骤，并且说：“易知?? ”这说明他实际上对数 学细节并无耐心，而只管应用。他对数学的许多基本贡献只是他在自然科 学的伟大工作中的副产品，而由别人发展起来的。
同样为人们所津津乐道且富有戏剧性的是海王星的发现。虽然海王星

迟至 1846 年才发现，但是这一发现都是建立在 18 世纪数学工作的基础之 上的。 1781 年，赫谢耳(William Herscher)通过一个大功率的新式望远 镜发现了天王星，但是天王星的轨迹与人们所预测的并不相符。于是，布 瓦德(Alexis Bourard)提出这样一个假想：还有一颗未知的行星在干扰着 天王星的运动。人们通过观测和计算这颗未知行星可能的大小和轨迹，以 试图确定这颗行星的位置。1845 年，亚当斯(John Couch Adams)，剑桥大 学的一个 26 岁的学生，对这颗假想的行星的质量、位置及轨道做了详细的 估算。当得知这一工作时，格林威治皇家天文台台长，著名的艾利(George Airy)爵士对之不予理睬。但是另外一位年轻的天文学家、法国的列维利尔 (Urhain J.J.Leverrier)也独立地推出了和亚当斯相同的结论，并给德国 天文学家加勒(JohannGalle)寄去了一套如何找到这颗行星的位置的说 明。加勒于 1846 年 9 月 23 日收到了这份资料并于当天晚上发现了海王星， 其方位与列维利尔预测的仅差 55 分。在预测能够精确到万分之一的情况 下，对于使这种惊人的预测成为可能的天文学理论，谁又会怀疑它的真实 性呢？
　　除了天文学以外，光学这门学科甚至在古希腊时代就已经部分数学化 了。17 世纪早期显微镜和望远镜的发明极大地激发了人们研究光学的兴 趣，并且像古希腊时代一样，17、18 世纪的每一位数学家都致力于这一领 域的研究。在 17 世纪史奈尔和笛卡尔就已经发现了托勒密求而无获的光折 射定律：光通过突然改变的介质时，如从空气到水，会发生什么现象。罗 伊默(OlausRoemer)注意到光速是有限的，而牛顿则发现白光是从红到紫所 有颜色的光的混合物。这两个事实极大地激发了人们对光学的兴趣。牛顿 在《光学》（1704 年）一书中大力提倡这门学科并将其归功于显微镜与望 远镜的改进。在这里，数学仍然是主要的工具，而欧拉关于光学的一部三 卷著作则是另外一个里程碑。
但光的物理本质却一点也不清楚。牛顿认为光是一种微粒的运动，惠
更斯则认为光是波的运动，虽然并不是通常意义的波。而欧拉却是第一个 用数学处理光振动并得出光的运动方程的人。他力主光的波动本质并在这 个问题上成为唯一反对牛顿的人。19 世纪早期菲涅尔 (Augusfin- JearFresnel)和托马斯·扬(ThomasYoung)的工作都为他的理论作了辩护。 但是光的本质即便在那时也没有变得更清楚些，数学定律依然占据主导地 位。现在被人们普遍接受的光理论、电磁理论，在那时离诞生还有 50 年之 遥。
　　18 世纪时，人们还开辟了一些新的研究领域，并且至少取得了部分成 功。第一个就是乐音的数学描述和分析。这一过程颇为冗长，其起源于对 一根振动弦，比方说，一根小提琴弦发出的声音的研究，丹尼尔·贝努利、 达兰贝尔、欧拉及拉格朗日，对此均做出了贡献。但在对其进行数学分析 时，他们之间产生了严重分歧，直到 19 世纪初傅立叶的工作问世后，这种 分歧才得以消除。尽管如此，在 18 世纪，这方面的研究仍然取得了巨大的 进展。我们现在知道，每个乐音都是基音和泛音组成，泛音的频率，用音 乐术语来讲就是音高，都是基音频率的整数倍，这些已在 18 世纪大师们的 著作中明确指出，在今天的录音及播放设备，如电话、电唱机、收音机和 电视机的设计中都是最基本的知识。
还有一个数学物理的分支至少也是起源于 18 世纪，即对流体（气体或

液体）及流体中物体运动的研究。牛顿考虑过这样的问题：一个物体欲在 流体中以最小的阻力前进，应当取什么样的形状？在丹尼尔·贝努利的奠 基性著作《流体动力学》（1738 年）中，他顺便提及，这个理论可用于描 述人体动脉和静脉中血液的流动。随后，欧拉的一篇重要文章（1755 年）， 推导出了可压缩流体的运动方程。他写道：
　　如果我们仍不能透彻领悟有关流体运动的完整知识，那么归 结其原因，并非因为我们对力学或对已知的运动原理认识不足， 而是因为（数学）分析本身背弃了我们，因为所有的流体运动理 论已经归结于分析公式的求解了。
事实上，流体理论比欧拉想象的要复杂得多，以后的 70 年，又增加了许多 知识。比方说，欧拉忽视了粘体（水是无粘流体，但油，则有些粘性，因 而流得缓慢）。然而，可以说，欧拉创立了可用于船舶和飞机运动的流体 力学。
　　大自然是数学化的，而上帝肯定是世间万事万物的设计者且是最有效 的设计者，对这种观点，如果说 18 世纪的人还需什么另外的佐证外，他们 已在其他的数学发现中找到。海伦证明了（见第一章）光经过一面镜子的 反射，从 P 点至 Q 点遵循最短的路线，因为光在此以匀速运动，所以最短 距离即最少时间。
17 世纪的费马 (Pierre de Fermat)作为数学巨擘之一，在相当有限
的事实基础上，证明了他的最少时间原理。该原理认为，光在从一点到另 一点的过程中，总是选择所需时间最短的路径，显然上帝不仅让光服从数 学定律，还让其遵循最短路径。当费马成功地从史奈尔和笛卡尔先前发现 的光的折射定律中得到这一原理时，他愈发相信他的原理的正确性了。
到 18 世纪初，数学家们对自然界总试图将某些重要量取成极大或极小
值这一事实有了一些很鲜明的实例。惠更斯起初也反对费马的原理，他认 为费马原理不能解释光在连续变化的介质中传播时的现象。但甚至牛顿第 一运动定律，即一个运动的，不受任何力干扰的物体，将作直线（最短路 线）运动，也是自然界力图节约的范例。
18 世纪的人们确信：因为一个完美的世界不能容忍浪费，所以自然的
作用应该是花费最少即能达到目的，于是，一个寻找普遍原理的工作开始 了。此种原理的第一个公式由莫帕图伊斯 (Pierre-LouisMoreau de Maupertuis)提出。他主要是一个数学家，曾率领一支探险队到拉普兰地区
（挪威、瑞典、芬兰和前苏联各国靠近北极的地带）丈量沿着子午线一度
的长度。他的测量显示了地球确如牛顿和惠更斯通过理论证明得到的那 样，其两极是扁平的。莫帕图伊斯平息了 J ·卡西尼 (Jean- DominiqueCassini)及其子亚金(Jacques)相反的论调。莫帕图伊斯因此得 了个绰号叫“弄平地球的人”，或者像伏尔泰所说的，他压平了地球和卡 西尼们。
　　1744 年，在进行光的理论的研究时，莫帕图依斯在他题为《迄今为止 看起来似乎不相容的自然界不同法则的协调性》的论文中提出其著名的最 小作用原理。他从费马的原理出发，但考虑到当时的一些不同见解，如光 在水中的速度是否比在空气中大（笛卡尔和牛顿的观点），或者比在空气 中小（费马的观点），摒弃了最少时间说法而代之以作用的概念。莫帕图 伊斯认为，作用是质量、速度及所经距离乘积的积分（在微积分的意义上），
　　
而自然界的任何改变都是要使作用最小。莫帕图伊斯多少有点糊涂，因为 他没有规定乘积是在什么时间区间上取的，又因为他在光学和某些力学问 题的每个应用中对作用赋以不同的意义。
　　虽然莫帕图伊斯有一些物理实例来支持他的原理，但他提倡这个原理 还是出于宗教理由。物质行为的各种规律应具有上帝创造的完美性，而最 小作用原理似乎满足这一准则，因为这个原理显示出自然界是经济的。莫 帕图伊斯宣称他的原理是自然界的普遍规律，是上帝存在和她富于智慧的 第一个科学明证。
　　欧拉，是 18 世纪最伟大的数学家，在 1740 年至 1744 年间，他一直就 这个话题与莫帕图伊斯通信。他赞同后者的观点，即上帝根据某种基本原 理建造了宇宙，这种原理的存在即证明了上帝的能力。他用这样的话来表 述他的坚信不疑：“宇宙的结构是最完美的，它是一位最为睿智的创造者 的杰作。所以，如果没有某种极大或极小的法则，那就根本不会发生任何 事情。”
　　欧拉的观点比莫帕图伊斯更进了一步。欧拉认为所有自然现象之所以 表现如此，是因为它们要使某些函数达到极大或极小，因而，基本的物理 原理应包括达到极大或极小的函数。无疑，上帝这位数学家比 16、17 世纪 人们所称颂的更为英明，欧拉的宗教信仰还使他确信，上帝赋予人类的使 命是运用人类自身的才能去理解她的法则，自然之书已经打开展现在我们 面前，但它是用我们一时半会不能理解的语言写成的，只有用毅力、热爱、 坚忍和钻研才能读懂，这种语言便是数学。因为我们的这个世界是最好的， 所以其法则也应是最好的。
最小作用原理是由拉格朗日阐明并推广的。作用成为基本能量，从这
个基本原理出发，可以推导出更多的力学问题的解答，这个原理成了变分 法（由拉格朗日在欧拉所作初步工作的基础上创立的一个新的数学分支） 这门学科的核心。英国的“牛顿第二”，哈密尔顿(William R. Hamilton) 对这个原理作了更进一步的推广，今天，其是力学中最富内涵的原理，同 时也成为物理学其他分支中类似的原理，称为变分原理的范例。然而我们 应知道，到哈密尔顿时代，莫帕图伊斯和欧拉关于上帝设计宇宙融合了最 小作用原理的推断已被摒弃，一些征兆表明在解释该原理意义时已发生了 某种改变。伏尔泰在《阿卡基亚博士的历史》一书中嘲弄了这种证明上帝 存在的论点。然而，18 世纪的人们还是坚信这样一个无所不包的原理只可 能意味着世界理所当然地是由上帝设计并与这一原理相吻合的。
　　数学支配一切，18 世纪最伟大的智者对此深信不疑。著名的数学家丹 尼斯·狄德罗(Denis Diderot)，编纂《法国大百科全书》的主要参与者， 说“世界的真正体系已被确认，发展和完善了。”显然，自然法则就是数 学法则。
拉普拉斯还有一段更著名的论述： 我们可以把目前的宇宙状态看作是宇宙过去的结果和将来的
原因。如果一个有理性的人在任何时刻都知道生物界的一切力及 所有生物的相互位置，而他的才智又足以分析一切资料，那么他 就能用一个方程式表达宇宙中最庞大的物体和最轻微的原子的 运动。对他来说，一切都是显然的，过去与未来都将呈现在他眼 前。

　　威廉·詹姆斯(William James)在《实用主义》一书中描述了这个时期 数学家们的态度：
　　当最初数学的、逻辑的和自然的统一体，最初的定律被发现 时，它们的清晰、美妙和简洁深深地吸引了人们，使众人相信似 乎他们已真正成功地读出了万能之主的真正思想。上帝的心智发 出轰鸣，作为对演绎法的回声，她也陷入对圆锥曲线、平方、方 根和比例的沉思，像欧几里得那样进行几何研究。她为行星运动 确立了开普勒定律，她使落体的速度与时间成比例地增长。她还 创造了正弦定律，使光在折射时遵循。??上帝构想出一切物体 的原型，设计出它们的变体，而当我们重新发现了其中任何一个 神奇创作时，也就是说我们理解了她的原始本意。
坚信自然是上帝依据数学设计的，甚至在诗中也得到了反映，例如，约瑟 福·艾迪生(Joseph Addison)在他的《赞美诗》中写道：
高高苍天， 蓝蓝太空， 星汉灿烂， 正是它们本源使然。
太阳东升西落，日复一日，
把她有力的圣光， 洒向四面八方， 这就是万能的主，功德辉煌。
??
所有的行星都恪守规矩， 在它们自己的轨道上旋转， 把真理传到每一寸土地上。
到了 18 世纪末，数学已如同一棵根深蒂固的参天大树，扎根于现实之
中已有两千年之深，它威风凛凛的枝条覆盖了所有其他知识体系，无疑， 这棵大树将永远生存下去。

第四章 第一场灾难：真理的丧失



每个时代都有其神话，并称之为更高的真理。


——无名氏



进入 19 世纪，数学界正是一派祥瑞景象：拉格朗日仍然活跃在数学
界，拉普拉斯正处在他智力的顶峰时期，傅立叶致力于研究他 1807 年的手 稿，这篇手稿后来并入了他的经典著作《热论》（1822 年）；高斯(Gauss) 刚刚发表了他的《算术研究》（1801 年），这是关于数论的一个里程碑， 随后他又做出了许多的贡献，为他赢得了数学王子的雅称；高斯的法国同 行柯西(Augustin－Louis Cauchy)在他1814年的一篇论文中显露出超凡的 才能。
　　通过对这些人的工作的简单介绍，可以看出 19 世纪前半叶在发现自然 设计的奥秘的过程中取得了巨大进步。尽管高斯在数学上做出了巨大贡献
——我们很快将要讨论其中之一——但他把大部分时间投入了物理学研 究。事实上他并不是数学教授，在将近 50 年的时间里，他一直担任天文学 教授和哥廷根天文台台长。天文学占去了他的绝大多数时间和精力，而且 他对天文学的兴趣可追溯到他在 1795—1798 年在哥廷根求学的时候。1801 年他获得了他的第一项令人瞩目的成就，那年 1 月 1 日皮亚奇 (GiuseppiPiazzi)发现了小行星谷神星。尽管能观察到的时间只有几个星 期，当时年仅 24 岁的高斯却在观察中运用了新的数学方法，并预言了这颗 行星的轨迹。这一年的年底的观察结果与高斯的预言十分接近。1802 年当 奥伯斯(Wilhelm Olbers)发现另一颗小行星智神星的时候，高斯又一次成 功地算出了它的轨迹。在高斯的主要著作之一《天体运动论》（1809 年） 中，对所有这些天文学方面的早期工作作了总结。
后来，应汉诺威公爵之邀，高斯对汉诺威进行了测量，奠定了大地测
量学，并由此产生了微分几何的创造性思想。在 1830 年到 1840 年间对理 论和实验磁学中的物理研究也获得了巨大的成功，他创造了测量地球磁场 的方法。麦克斯韦(James ClerkMaxwell)，这位电磁场理论的奠基人，在 他的《电学和磁学论》中说，高斯的磁学研究重新构造了整个科学：使用 的工具，观察的方法及对结果的计算。高斯的地磁学论文是物理研究的典 范。为了纪念这项工作，磁场的单位叫做高斯。
尽管高斯和韦伯(Wilhelm Weber)并没有首创电报的思想，（因为在此
之前其他人已有许多尝试），1833 年他们却设计了一个实用的装置，能使 指针向左或向右偏转，转的方向依赖于导线上电流的方向。这只是高斯的 若干发明之一。他还从事光学方面的研究，这是一项自欧拉时代以来就一 直被忽略的学科。他在 1838—1841 年间所做的研究奠定了处理光学问题一 个全新的基础。
　　19 世纪在数学界能与高斯匹敌的就是柯西了，兴趣广泛的柯西数学论 文超过 700 篇，数量上仅次于欧拉，按现代的版本算是整整 26 卷，涉及数 学的所有分支。他是复变函数论（见第七章，第八章）的奠基人。但柯西 投入到物理问题中的精力至少与投入到数学中的一样多。1815 年由于一篇 关于水波的论文使他获得了法国科学院颁发的一项奖励。在小棒及弹性膜
（例如金属薄片）的平衡，弹性介质中的波等方面，他都写出了奠基性的

著作。他也是数学物理这一分支的创始人。他从事于由菲涅耳创建的光波 理论的研究并把这项理论扩展到光的分解和偏振领域。柯西是一流的数学 物理学家。
　　虽然傅立叶的工作与高斯和柯西并不完全在同一领域，但由于他为数 学领域热的传导带来了更为实质性的进展，因此他的工作尤其值得一提。 傅立叶把这一学科看作宇宙研究中最重要的一环，因为对地球内部的热传 导的研究有可能证明地球是从一种熔化状态冷却凝固而形成的，这样就可 以对地球的年龄做一些估计。在这项工作过程中他发展了无穷三角级数—
—现在称为傅立叶级数——的理论，使得它能用于许多其他的应用数学领 域中。对他的工作无论用什么词来赞誉都是不过分的。
　　高斯、柯西、傅立叶以及其他数百人的成就似乎成了不容反驳的明证： 越来越多关于自然界的真理正在被揭示。事实是整个 19 世纪中数学巨人们 一直在沿着先人铺设的道路前进，创造了更为有力的数学方法并把它成功 地应用到对自然界的进一步探索中。他们加速寻求自然界的数学定律，他 们似乎被这样一种信念所驱使：他们就是神派来揭示上帝意图的。
　　假如他们对一些同行的行为稍加注意，那么，也许他们会对即将面临 的灾难有所准备。培根早就在他的《新工具》（1620 年）中写道：
一个群体的观念是与生俱来的，与群体和种族关系甚密。因
而人的感觉有时错误地被当作事物的标准。另一方面，所有感觉 上的或是心智上的领悟力，依赖于人而不是宇宙。而人的心智就 像不平坦的镜面，把自己的性质转赋给了事物。光线原由事物发 出，而镜子使之扭曲变形。
在同一部著作中培根倡议用经验和实验作为所有知识的基础，他写道：
　　推理建立起来的公理不足以产生新的发现，因为自然界的奥 秘远胜过推理的奥秘。
是什么导致了上帝在设计宇宙中作用的削弱，即使是最忠实的信徒也会无
意地在这个问题上发生分歧。 哥白尼，开普勒都将他们的日心说理论看作是上帝的数学智慧的明
证。但它却是与《圣经》中人的重要性相冲突的。伽利略、波义耳(Robert
Boyle)、牛顿坚持说他们进行科学研究的目的在于证明上帝的意图和存 在，但实际上他们的工作中甚少涉及上帝。事实上伽利略在他的一封信中 说道：“对我来说从来没有任何关于《圣经》的直接讨论，以前从来没有 哪个天文学家或科学家像我这样干过。”当然，正如我们所看到的那样， 伽利略是相信上帝的数学设计的，他之所以这样说只是为了说明在解释自 然界的奥秘时，不应该引入其他的神秘的或是超自然的力量。在伽利略的 时代，万能的上帝能改变他的设计这一信仰占着统治地位。而笛卡尔，这 位虔诚的教徒却宣称自然界的法则是不可改变的。这就无疑地限制了上帝 的能力。牛顿也相信宇宙的固有秩序，并且指望上帝依照自己的旨意来维 持世界运转。他把这比作钟表匠修理钟表来使之正常工作。牛顿有充分的 理由相信上帝的创造：尽管他十分清楚由于一颗行星的轨迹受到其他行星 的影响从而不是一个真正的椭圆，他却不能从数学上证明这种偏离是由于 其他行星对它的引力产生的，因此他认为，除非是上帝按照自己的计划继 续使宇宙运行，否则不可能维持其稳定。
莱布尼茨反对这种看法，在他 1715 年 11 月给牛顿的拥护者、哲学家

克拉克的信中，他这样评价牛顿关于上帝经常需要给宇宙修理和上弦的观 点的：“上帝似乎并没有足够的远见维持世界的永远运动。??在我看来， 世界上的力和能是恒定的，依据自然法则从物质的一部分转移到另一部分 而已。”莱布尼茨指责牛顿否认了上帝的能力。实际上，莱布尼茨还指责 牛顿使英国的宗教信仰日趋衰弱。
　　莱布尼茨的话并没有说错，牛顿的工作无意中使自然科学第一次从神 学中分离或者解放出来。我们已经提到过，伽利略坚持说自然科学必须与 神学相分离，而牛顿在他的《原理》一书中坚持这一原则，朝着对自然现 象给以纯数学的解释迈进了一大步。因此上帝越来越多地被排斥在科学理 论的数学描述之外了。实际上，牛顿所没能解释的那些反常现象在后来的 研究中得到了根本上的解释。
　　制约天体和地面物体运动的普适法则逐渐统治了整个知识界，而且预 言和观察结果的持续一致说明了这法则的完善。尽管在牛顿之后，仍然有 人认为这种完美的设计出自于上帝之手，但上帝已退到幕后。宇宙的数学 法则则成为了焦点。莱布尼茨注意到在牛顿的《原理》中暗示着：不论有 没有上帝，世界依然我行我素，于是攻击这本书为非基督徒的。追求纯粹 的数学结果的目的逐渐取代了对上帝的设计的关注。虽然欧拉之后的许多 数学家仍然相信上帝的存在，相信上帝对世界的设计，以及数学作为一门 科学其主要功能是提供破译这个设计的工具，但是随着数学的进一步发展 以及其后的更多的发展，数学研究从神那儿得到的启示越来越少，上帝的 存在性也变得模糊起来。
拉格朗日、拉普拉斯虽出身天主教世家，却是无神论者。拉普拉斯完
全否认上帝是世界的数学设计者。有个著名的故事说，拉普拉斯把他的《天 体力学》呈献给拿破仑时，后者说：“拉普拉斯先生，他们告诉我，你写 了这本关于宇宙系统的书，却根本没有提到它的创造者。”据说拉普拉斯 是这样回答的：“我不需要这种假说。”自然代替了上帝，正如高斯所说： “你，自然，我的女神，我对你的规律的贡献是有限的。”高斯确信有一 个无时不在，无所不知，无所不能的上帝，但却认为上帝与数学及宇宙的 数学规律探索没有丝毫联系。
哈密尔顿关于最小作用原理的工作（见第三章）也揭示了知识界观点
的转变，在 1833 年的一篇文章中，他写道： 虽然最小作用定理已立足于物理学最高级定理之林，然而从
宇宙经济的基地上看，当时人们普遍拒绝把它作为宇宙规律的主
张。对此，拒绝恰恰在于其他理由，事实上伪装节约的都是常常 浪费地消耗着??因此，我们不能认为这个数量的节约是由宇宙 的神的思想设计的。不过，某种高度的简洁可以被认为是包含在 这一思想中。 回顾一下就可以看出，自然是上帝的数学设计这一信条正在被数学家
们的工作所削弱。学者们越来越多地相信，人的推理是最有力的工具和最 好的证明，因为它是数学家的成功。如果为了正当的理由要去捍卫它们， 为什么不能将推理用于评判流行的宗教与伦理的信条呢？幸或不幸的是将 推理运用于宗教信仰的基础损害了许多正统观念的根基。宗教信仰因此而 从正统观念分化出许多的旁门左系，诸如唯理论的超自然主义、自然神论、 不可知论或是干脆的无神论。这些运动对 18 世纪那些学识广博的数学家产

生了一定影响。正如狄德罗这位唯理论者，反教权主义时代的知识界领袖 所说：“让我相信上帝，必须让我能摸到他。”不是所有 19 世纪的数学家 都否认上帝的地位。柯西这位虔诚的天主教徒指责人们“毫不犹豫地抛弃 与已发现的定理矛盾的一切假说。”然而把上帝看作宇宙的数学设计者这 样的信仰还是开始衰退了。
　　这种信仰的衰退不久就产生了这样一个问题，即为什么自然的数学法 则一定是真理呢？最早对真理问题提出质疑的人中有狄德罗。在他《自然 的解释》（1753 年）中说，数学家就像赌徒：二者都与自己发明的抽象规 则赌博。他们的研究主题只是毫无事实基础的规则。学者冯登利(Bernard LeBovierdeFontenelle)在他的《世界的多元性》（1686 年）中对此也同 样持批评态度。他对天体运动法则不变性的攻击是这样的：只要玫瑰花还 在开放，园丁就永远不会死去。
　　数学家们愿意相信是他们提供了哲学家思想的源泉，但在 18 世纪，哲 学家们都是否认物质世界真理的先驱。我们略过霍布斯、洛克(John Locke) 和大主教贝克莱的教条，这不是由于它们能被轻易地驳倒而是因为它们不 像激进的休谟(David Hume)那样有影响力。实际上休谟不仅赞同贝克莱的 观点，甚至走得更远。在他的《人性论》 （1739—1740 年）一书中，休 谟强调，我们既不了解精神，也不了解物质，两者都是虚幻的。我们只接 受感觉，诸如印象、记忆和思想等简单的概念只是这些感觉的模糊反映， 任何复杂概念都是简单概念的集合。精神实际上只是我们的感觉和概念的 集中，除了可以通过直接经验所感知的事物，我们不能假定任何其他事物 的存在，然而经验只能产生感觉。
休谟对物质持同样的怀疑态度。谁能保证有一个永远存在的实物的世
界，所有我们能够知道的只是我们对这样一个世界的感觉。重复地感知一 张椅子并不能证明这椅子确实存在，时间和空间只是我们产生概念的方式 和顺序，同样的，因果关系只不过是概念在习惯上的一种联系而已。无论 是时间还是空间，或是因果关系，都不是客观实在，我们被自己的感知能 力所迷惑，因而相信了这样的实在：存在一个有确定属性的外部世界。这 实际上只是一种无根据的推论，知觉的产生是不可理解的。我们不知道， 它是来自于外部事物、心灵深处还是上帝。
人本身不过是单个的感觉和思想的集大成者，他只能这样存在着。“自
我”就是不同的感知力的汇聚。任何试图了解自己的尝试最终只能导向领 悟。所有其他的人和假定存在的外部世界只是某一个人的领悟，而且没有 什么能保证他们确实存在。于是也就不可能有任何关于一个永恒的客观的 物质世界的科学法则。这样的法则仅仅是一种感觉的合适的总结。更进一 步说，由于因果概念并不是基于科学的证明而不过是一种来自于经常发生 的“事件”的通常的顺序的思维习惯，所以我们无法了解，过去感知到的 事件将来还会不会再发生。这样休谟就否认了自然法则的必然性、永恒性 以及不可破坏性。
　　否认了外部世界遵循固定的数学定律这一信条，休谟也就否认了代表 实在的逻辑推理结构的价值。但是数学中也包含着关于数字和几何的定 理，其毫无疑问是从包含数字和几何的假设真理中推出来的。休谟并不否 认公理，但却贬损它们以及由之推导出的结果。公理来自于对假定存在的 物理世界的感知，定理的确是公理的必然结果，却无非是公理的精确复述。
　　
它们是推论，但只是隐含在公理中的论断的推理。因此公理和定理，都是 同义重复，并不是真理。
　　由是休谟回答了“人怎样获得真理”这一基本问题——他否认真理的 存在，人不可能区别真理。休谟的工作不仅贬损了在科学和数学上付出的 努力和得到的结果，还对推理本身的价值提出了质疑。对于大多数 18 世纪 的思想家来说，这样一种对人类最高智慧能力的否认是大逆不道的。数学 家、人类推理的其他成就如此辉煌以至于到了“不可一日无此君”的地步。 休谟的哲学对于 18 世纪绝大多数的学者来说是矛盾和令人嫌恶的，而且与 数学和其他科学中的惊人的成就是如此格格不入，因此遭到了驳斥。
　　历史上最受尊敬的可能也是最深邃的哲学家康德发起了这一挑战。但 是对康德殚精竭虑所提出的结论进行仔细推敲后发现其并不比其他人的更 令人信服。在他的《未来形而上学导言》（1783 年）一书中，康德看来确 是站在科学家和数学家一边：“我们可以确切地说：纯粹的先验的综合知 识，纯粹数学和纯粹物理学是真实存在也是先天既定的，二者都包含一些 被广泛承认、绝对肯定的命题，??而且是独立于经验的。”在他的《纯 粹理性批判》（1781 年）一书中，康德甚至使用更为确信的词语作为开头， 他肯定所有的数学公理和定理都是真理，但是为什么？康德自问道。他愿 意接受这样的真理吗？显然经验本身并不足以证明它们的有效性。如果你 能回答一个更大的问题——数学确实是一门科学吗——你也就能回答这个 问题了。康德的回答是：时间和空间的形式依我们的心智所定，所谓时间 和空间只是我们感知的一种模式。这种感知——康德称之为直觉——的模 式由心智对待经验的方式决定。我们依据这些智力形式去感知，组织和理 解经验，经验与之相符犹如面团符合于它的模子。心智将这些方式加到感 觉、印象上去使感觉与内在的模式相吻合。既然空间的直觉来源于心智， 那么心智自动地接受空间的某些属性，诸如直线是两点间的最短路径，三 点确定一平面以及欧几里得的平行公理。康德称这些真理为一个先验的假 设的真理，它们是我们心智构成的一部分。几何学的科学性恰恰在于其揭 示了这些真理的逻辑推断，心智正是通过“空间结构”来对待经验这样一 个事实说明经验与基本原理和定理是一致的。我们自认为感知到的外部世 界的秩序和理性是由我们的精神和我们的思考方式加诸其上的。
康德既然从人的大脑创造出了空间，那他也就看不出有什么理由不让
它是欧氏空间。他不能构想出其他的几何空间。这促使他相信，不存在别 的空间，由此欧氏几何定理既不是宇宙中固有的，也不是由上帝设计出来 的，它是使人的感性认识条理化、理性化的作用结果。至于上帝，康德说 上帝的本质不在理性知识范围内，但我们还是应该相信上帝。康德在几何 上的轻率超过他在哲学上的大胆。他没有到过离东普鲁士城市哥尼斯堡他 的家 40 英里以外的地方，然而他却假定他能决定世界的几何形状。科学的 数学法则又是如何呢？由于所有的经验都是时间和空间的精神框架所构成 的，数学一定吻合于所有的经验。
　　在他的《自然科学的形而上学基础》（1786 年）中康德承认牛顿定律 及其推论是不证自明的。他宣称已知证明了的牛顿运动定律可由纯粹推理 导出，而且这些定律也是唯一能使自然界被理解的假设。他说，牛顿所给 予我们的，对宇宙如此清晰的领悟，永远也不会改变。更一般地，康德认 为科学的世界是一个由精神所组织和控制的，与内在的范畴，诸如空间、
　　
时间、因果以及物质等相一致的感官印象的世界。精神包含客体必定符合 的结构。感官印象确乎来自于真实的世界，然而不幸的是，这个世界是不 可知的，所谓实在只是借助于感知，通过主观分类所了解的。因此除了欧 氏几何和牛顿力学，没有别的办法来使经验条理化。随着经验的增加，新 的科学的形成，心智并不会从这些新的经验中提取并形成新的原理。而是 将沉睡的心智部分唤醒来解释这些新的经验。心智的观察力是靠经验来启 发的，这就解释了为什么有些真理譬如说力学定律发现得相当晚，而有些 则在几个世纪前就为人们所知了。康德的哲学几乎是毫不掩饰地推崇理 性，然而他认为理性的作用不在于对自然界的探索，而在于开发人类心智 荒芜之处。由于来自于外部世界的感知提供了精神组织的原始材料，因此 经验就作为知识的必然因素而被认可，而数学就是精神的必然法则的揭示 者。
　　数学家们是习惯于“数学是一个先验真理的体系”这一论断的，但大 多数人并没有对康德是如何得出这个结论给以足够的注意。否则他的学说
——数学家所证明的并非是物质世界固有的，而是来自于人类的精神—— 会使所有的数学家停止工作。我们实际中所固有的与所感觉的是同一结构 吗？这种空间的感知结构一定是欧氏的吗？我们如何知道这一点呢？与康 德不同的是，数学家和物理学家仍然相信存在一个受独立于人的精神的法 则支配的外部世界。人只是揭示其设计规律并用来预测在这个外部世界中 将要发生的事情。
康德的学说既有解放思想的一面，也有束缚思想的一面，由于强调了
精神能够组织，我们并不真正了解的世界中的经验，他为创建与当时人们 坚信的概念相反的概念打下了基础，但由于他坚持依照欧氏几何法则来组 织空间感知，他阻碍了其他观点的接受。如果康德对同时代的数学家的工 作多加关注，也许他对这一观点不会那样固执己见了。
对于“上帝是宇宙原则的制定者”这一信仰的漠视甚至否认以及康德
的“法则存在于人的精神的结构中”的观点，引起了“神圣的设计者”的 报复，上帝决定要惩罚这些康德主义者，尤其是那些自以为是、盲目自信 的数学家们。因而他转而鼓励非欧几何，这项发明摧毁了人类自以为推理 是自给自足、无所不能的信条。
尽管到 1800 年时上帝的存在越来越不被感觉到，而且一些像休谟那样
偏激的哲学家否认所有真理，然而当时的数学家们还是相信严格的数学真 理和自然界的数学法则。在所有的数学分支中，欧氏几何最受推崇。这不 仅由于它是第一个用演绎方法建立起来的，而且在两千多年的时间里，它 的定理一直完美地与客观事实一致。“上帝”所攻击的正是欧氏几何。
　　欧氏几何中有一条公理一直在困惑着数学家们，不是由于他们对其正 确性有任何怀疑之处，而是由于它的表达方式。这就是平行公理，或者通 常称为欧几里得的第五假设，欧几里得的表述是这样的：
　　如果一条直线（图 4.1）与两条直线相交，使得一侧的内角 不都是直角，则如果将这两条直线延长，它们在内角不都是直角 的直线一侧相交。
即若＜1＋＜2＜180°，将 a、b 充分延长，则它们必定相交。 欧几里得有很好的理由以这种方式表述他的公理。他本可以用另一种
方式来叙述：若＜1+＜2＝180°则直线 a 与直线 b 永不相交，即直线 a 平