中国古代的历法成就
　　　　　　　　　　　　　　　自然科学史研究所 陈久金 什么叫历法？简单说来，就是人们为了社会生产实践的需要而创立的
长时间的纪时系统。具体说，就是年月日时的安排。时间的计量单位也和 长度、重量等计量单位一样，是人为规定的。但是，人们的实践告诉我们， 利用和生产实践密切有关的自然现象的变化规律作为天然计量时间的尺 度，这对人们计量时间的工作，将带来极大方便。于是，反映季节变化规 律的“回归年”、反映月貌变化规律的“朔望月”和反映昼夜变化规律的 “太阳日”，便组成三个大小合适的时间计量单位。这三种计量单位并用 的历法，人们称作阴阳历(例如农历)；只考虑回归年变化的称作阳历(例如 现行的公历)；固定十二个朔望月作为一年的称作阴历。
　　我国古代历法的起源是很早的。有原始的农牧业就应该有原始的历 法。早期的历法现在只留下片言只语的传说，难以深入考究。成文的历法 从周末到汉初的《古四分历》开始，经过多次的历法改革，在改革和斗争 中不断进步和完善，达到了相当高的科学水平，取得了一个又一个成就。 我国古代的历法大都使用传统的阴阳历，但是所包含的内容却不仅仅是年 月日时的安排，还包括日月五星位置的推算、日月食的预报、节气的安排 等等。历法的改革，包括了新的理论的提出，精密天文数据的测定，计算 方法的改进等等。我国古代的历法成就，在世界天文学史上占有相当重要 的地位。下面只介绍几个主要方面。
对太阳视运动的研究 由于地球的自转轴并不和它的公转轨道平面垂直，黄道和赤道相交成
二十三度半左右的夹角，这就使得同一地区太阳地平高度作规律性的变
化，形成这一地区气候寒暖的更替。因此，对于太阳视运动的研究直接关 系到历法的制定。研究太阳视运动的方法有两种：一种是测量中午时候日 影的长度变化，来决定季节的变化和测定回归年的长度(古代称作“岁 实”)。这种观测所使用的仪器是圭表。一种是测定太阳在恒星间的位置， 研究太阳一年中运动的快慢变化和测定冬至点逐年变化的数值(称作“岁 差”)。使用的仪器是浑仪等测角仪器。下面主要讲三项：
　　　　　　冬至时刻的测定和回归年长度的推求 冬至、夏至在战国时期以前称作“日南至”、“日北至”，表明冬至
是一年中日在南天最低位置的一天，日影最长，夏至是日在南天最高位置 的一天，日影最短。由于冬至影长，夏至影短，冬至的测定结果比夏至要 精确一些。
　　只有准确测得冬至的时刻，才能准确地预报季节；有了几次准确的冬 至时刻，就能得到岁实的数值。因此，测定准确的冬至时刻是我国古代历 法工作者的重要课题。保留下来的我国最早的冬至时刻的观测记录是在春 秋时期的鲁僖公五年(公元前 655 年)和鲁昭公二十年(公元前 522 年)。
　　从理论上说，测得相邻两次冬至时刻，就能求得回归年的长度。但是， 由于用土圭简单地观测日影的变化所定出的冬至日期并不很准确，可能有
　　
一二日的误差；另一方面，每次到达冬至的时刻并不正好在日中，简单地 用土圭观测，并不能得到冬至发生在某一天中的确切时刻。古人为了弥补 这一缺点，尽量利用相隔多年的冬至日的观测记录，以便减少观测误差给 推求回归年长度带来的误差。
　　春秋时期末年(公元前五世纪)，我国开始使用《古四分历》，它的岁 实是三六五·二五日，这是当时世界上所使用的最精密的数值。希腊的《伽 利泼斯历》和我国的《古四分历》相当，但是要比我国晚大约一百多年。
《古四分历》规定十九年中置七个闰月，就是十九个回归年正好有二百三 十五个朔望月，那么一个朔望月等于二九·五三○八五日，也比较精密。
《古四分历》的创制是一项具有世界意义的伟大贡献。 随着社会的进步和科学的发展，人们对于历法提出了越来越精密的要
求。《古四分历》使用了一个时期以后，人们就发现历法所推的气朔逐渐 落后于实际天象。为了避免这一现象，必须改用新的历法，来纠正这一误 差。西汉《太初历》和东汉《四分历》就是通过改元的办法来纠正误差的。 但是，人们逐渐懂得，不断改元并不能从根本上解决问题。东汉末的刘洪 认识到误差的产生是由于《四分历》的岁实太大，他第一次减小了岁实， 这样就提高了历法的精度。
要进一步提高历法的精度，必须从冬至时刻的测量方法上改进。西汉
以后，人们就已经习惯使用八尺高表来测定冬至的日期。但是，用八尺高 表简单地进行测量，并不能得到理想的结果。于是人们曾想过好多改进的 方法。南北朝时期的祖冲之(429－500)，首先从观测技术的改进上达到了 提高观测精度的目的。由于冬至前后的影长变化不太明显，这给冬至时刻 的准确测定带来困难，更重要的是简单的测量只能得到冬至发生的日期， 而不能得到一天中什么时刻是冬至。祖冲之想出一个新的方法，他不直接 观测冬至那天日影的长度，而是观测冬至前后二十三四日的日影长度，再 取它们的平均值，求出冬至发生的日期和时刻；又由于离开冬至日远些， 日影的变化就快些，所以这一方法提高了冬至时刻的测定精度。祖冲之制 定的《大明历》的岁实取三六五·二四二八日，这在当时来说是很精密的， 只有到了南宋以后的几个历法，才能达到或超过他的水平。宋代《明天历》 以后的历法，采用更多的观测点，并加大了两个冬至时刻年代的间隔，这 样就减小了所求回归年数值的误差，才更加提高了精度。
元代的郭守敬，是数学、天文、仪器制造等方面都有重要贡献的科学
家，他不但继承了前人观测日影的方法，而且创造了一个叫做“景符”的 仪器，用来解决日影边界模糊不清的问题。景符的原理是，使照射在圭表 上的日光首先通过一个小孔，再射到圭面，形成一个米粒大小的光点，它 的边缘就很清楚，可以量取比较准确的影长。按理说，加长表高就能使日 影变化更显著，但是表高增加以后，边界模糊不清就更严重，实际上达不 到提高精度的目的。解决了日影边缘的清晰问题，就可以加大表高来增加 测量冬至时刻的精度。现存的河南登封测景台，就是郭守敬所造的巨大的 砖石结构的圭表。表高四丈，是传统高度的五倍。南宋的杨忠辅对历史上 的观测数据进行了认真的分析研究，在他于宋宁宗庆元五年(公元 1199 年) 制定的《统天历》中首先使用了三六五·二四二五日的精密的岁实数值。 郭守敬根据自己多次精密测定的冬至时刻的结果，并且利用历史上从祖冲 之《大明历》以来的六次冬至时刻的观测资料，证实了三六五·二四二五

日是我国历史上所使用的最精密的数值。这个数值的使用，在世界历法史 上是最早的。欧洲的著名历法《格里历》也是采用这个数值，但是要比《统 天历》大约晚四百年。明末的邢云路又把表高加大到六丈，测得岁实三六 五·二四二一九○日，比用现代理论推算的当时数值只小○·○○○二七 日，精密程度超出了当时欧洲天文学的水平。
冬至点和岁差的测定 冬至点就是指冬至时太阳在恒星间的位置，这种位置现代都以赤经、
赤纬来表示。我国古代是以距离二十八宿距星的赤经差(称作入宿度)和去 极度来表示。
　　战国时期的《古四分历》所测得的冬至点在牵牛初度。秦代使用的《颛 顼历》立春在营室五度，按古度推算，那太阳冬至点的位置也在牵牛初度。 这应该是我国最早的冬至点的实测数据。
　　由于太阳的位置不能直接测量，只能间接推得，早期测定冬至点的方 法大致是利用当时给定的冬至日，以漏刻得到夜半的时刻，由这个时刻中 天的恒星的入宿度，反推得到太阳的位置。这一方法由于漏刻定的时间难 以准确，所以测得的数值也比较粗略。
　　在晋代以前，我国的天文学家是不知道有岁差现象的。天周和岁周不 分，以为从冬至到冬至一周岁(岁周)，就是太阳在众星间运行一周天(天 周)。所以当《四分历》把回归年长度定作三百六十五又四分之一日，也把 周天划分成三百六十五又四分之一度。他们相信冬至点的位置一旦测定， 就永远不变，所以战国时期到西汉大都沿用冬至点在牵牛初度这个数据。 西汉武帝太初元年(公元前 104 年)制定的《太初历》，认为冬至太阳在建 星，实际并未改变。西汉刘歆在成帝绥和二年(公元前 7 年)说，冬至点的 位置进退牛前四度五分，含糊其词，不敢肯定。东汉贾逵在章帝元和二年(公
元 85 年)才明白地说，冬至太阳在斗二十一度又四分之一。汉代人不知道
岁差的现象，但是通过实际观测，已经明显地反映出冬至点的位置是变化 的。南北朝时期后秦的姜岌，想出了一个巧妙方法，就是在月食的时候测 量月亮的位置，这样推得太阳的位置，再核算到冬至太阳的位置。这种方 法是相当准确的。他实测得冬至点的位置在斗十七度。
地球是一个椭球体，又由于自转轴对黄道平面是倾斜的，地球赤道那
里的突出部分受到日月等吸引而引起地轴绕黄极作缓慢的移动，大约二万 六千年移动一周，由此产生了岁差现象。这种变化是缓慢的，冬至点在赤 道上每年西移的度数，依我国古代所用的度数计算，大约七十七年差一度。 晋成帝的时候(公元 330 年前后)，虞喜(约 284－约 360)比较了历史上 冬至点的观测结果，第一次明确地提出冬至点有缓慢的移动，认识到太阳 在天球上运动一周天并不等于冬至到冬至一周岁，应该“天自为天，岁自 为岁”。太阳从冬至到下一个冬至，还没有回到原来恒星间的位置，还不 到一周天，于是称这个现象叫“岁差”。虞喜根据自己的分析结果，认为 五十年冬至点沿赤道西移一度。他的发现虽然比古希腊的依巴谷迟约四百 五十年，却比依巴谷冬至点每百年沿黄道西移一度(依我国古代度制计算， 相当于冬至点经一百零九年多沿赤道西移一度)的数值精密。在虞喜以后不
久，岁差便在历法的计算上得到实际应用。 何承天也讨论过岁差现象，他以为赤道岁差每百年差一度，但是没有
应用在他的历法中。祖冲之是第一个用它来改进历法的人。他实测得冬至

点在斗十五度，和姜岌的斗十七度相比较，不到一百年就差二度，因而得 到四十五年十一个月差一度。虽然祖冲之所得的数据不很准确，但是他在 历法中引用岁差，却是一个很大的革新。隋代的刘焯，在他的历法中使用 七十五年差一度的黄道岁差数值，这在当时来说，已经相当精密了，而这 时候西方还是沿用依巴谷的数值。唐宋以后，赤道岁差值的推算更加准确， 如周琮的《明天历》、皇居卿的《观天历》、陈得一的《统元历》等都曾 采用七十七年多差一度的数值，达到了很高的水平。
平气和定气 地球沿着离心率很小的椭圆绕太阳运动，每天实际运行的距离是不等
的，但是由于离心率很小，这种差数是不大的。古代受观测仪器的限制，
在南北朝以前还不知道太阳的视运动是不均匀的，认为太阳每天所行的角 度相等。当时也不知道有岁差，那么一年太阳行一周天，一年三百六十五 又四分之一日，一周天就是三百六十五又四分之一度，太阳每天行一度。 每一节气所占的日数也相等，是一五·二日。后人把这种规定节气的方法 称作平气或恒气。
北齐张子信用浑仪在海岛实测了许多年，才发现太阳的视运动是不均
匀的，发现“日行在春分后则迟，秋分后则速”(《隋书·天文志》)。事 实上，当时冬至点离开黄道的近地点不远，近地点只在冬至点前十度多， 这一结果是大致符合实际情况的。随着时代的推移，冬至点和近地点越来 越接近，大约在南宋的时候二者相合。
张子信的这一发现，对历法的改进是有很大意义的，不久就应用在历
法中。刘焯等开始提出在历法中改用二十四等分周天来定节气，得每气十 五度多，这种划分节气的方法称作定气。由于太阳每天在黄道上移动的快 慢不同，所以太阳移行一气所需的日数也不一样。冬至前后日行快，一气 只有一四·七一八日；夏至前后日行慢，一气达一五·七三二日。他推得 春分、秋分离冬至各八十八日多，离夏至各九十三日多。但是他所给定的 太阳运行快慢数值是和实际不符的。僧一行的《大衍历》却更符合实际情 况，认为冬至附近日行最快，所以二气间的时间最短，夏至附近日行最缓， 所以二气间的时间最长。《大衍历》指出了正确的日行快慢规律，纠正了 刘焯的错误认识。实际上，《大衍历》日行最快的时刻定在大雪和冬至之 间，当时实际近地点在冬至点前九度，所以《大衍历》的数据是准确的。
《大衍历》又测知从冬至到春分六个定气间共八八·八九日，日行一象限； 从春分到夏至六个定气间共九一·七三日，也行一象限。秋分前后和春分 前后情况相同。
　　郭守敬的《授时历》把日行最快的时刻定作冬至，《授时历》创作时 代的近地点实际在冬至后不到一度，所以它所使用的数值是很精密的。《授 时历》根据实测，知道从冬至到平春分前三日(定春分)，日行一象限，只 需八八·九一日；从平春分前三日到夏至九三·七一日，日也行一象限； 秋分前后相同。
　　由此可知，从《大衍历》以后，就有了能够比较准确地推算太阳位置 和推算定气的方法。但是由于长期使用平气的习惯影响，安排节气仍用平 气，定气这种概念只是在计算日行度数和交会时刻等的时候才使用。直到
　　
清代才改用定气。


对月亮运动的研究


　　我国古代的历法以月亮的圆缺作为记月的单位，很早就注意对月亮运 动的观测和研究。中国古代对于日月食的预报也特别重视，所以对月行的 研究更加认真。春秋末期的《古四分历》，对朔望月的长度(古称“朔策”) 已经掌握得相当精密了，和真值相比较，大约三百多年差一日。隋代以前 的历法，就一直以朔望月的长度来推算安排各月的历日。每月的第一天称 “朔日”，意思是日月合朔将发生在初一这天。由于朔望月的长度比二九·五 日稍大，所以，通常以这样的办法来进行调整：大月三十日，小月二十九 日，大小月相间，相距大约十七个月安排一个连大月。
　　由于太阳在天球上的位置也在移动，所以一个朔望月并不等于月亮绕 天一周。我国古代很早就能把这两种概念区分开来。《淮南子·天文训》 就记有日行一度，月行十三度又十九分之七①，那月行一周天是二七·三二 一九日，已经有了“恒星月”的概念(月亮从天球上某一固定位置运行一周 又回到原来的位置所需的日数叫恒星月)。
地球在公转轨道上作椭圆运动，月亮在自己的运行轨道上也是这样，
所以月亮的运动速度是作周期变化的。月亮过近地点的时候运动最快，过 远地点的时候最慢。月亮从最快点运行一周又回到最快点所需的日数称作 “近点月”。它和朔望月的长度是不等的，这就使得月亮圆缺一次所需的 时间实际是不等的。所以，朔望月只是月相变化一周所需的平均日数。以 朔望月长度推得的合朔时刻称作“平朔”。
战国时期的石申可能已经知道月亮运动的速度是有变化的，可惜记载
简略。西汉刘向(约前 77－前 6)在《洪范五行传》中有关于月行九道的记 载。东汉贾逵也认识到月行有快慢。他认为月行快慢是由于月道有远近造 成的，并且知道，经过一近点月，近地点向前推进三度。以此推算，经九·一 八年近地点才能回到原处，那一近点月是二七·五五○八一日。张衡也提 倡用九道术。在古代文献中也记载了月行九道图，可见月行九道的说法在 汉代是很流行的。九道术是我国早期对远地点变化的认识。按九道术安排 月历，会有三大月相连和二小月相连。九道术虽然比较粗略，但是比不考 虑月行有快慢的平朔法要精密。
刘洪在《乾象历》中第一次考虑到月行的快慢问题，他设每近点月中
近地点前进三度四分(十九分是一度)，由此可以求得近点月是二七·五五 三三六日，和现今测得的值二七·五五四五五日相差不远。《乾象历》实 测得一近点月中每日月亮实行度数，给出月亮每日实行速度超过或不及平 均速度的“损益率”表。“损益率”逐次相加称“盈缩积”。求某日月亮 的实行度数，以月亮平行数值加从近地点时起到前一日的盈缩积。《乾象 历》求日月合朔时刻，使用了一次内插法。《乾象历》计算月行的快慢问 题，主要是为了推算日月食发生的时刻和位置，所以它不但能求出定朔望 时候的经度，而且能求出日月食发生的时刻。
古人为了研究交食的需要，对于“交点月”的长度也进行过许多研究



① 一作“月日行十三度七十六分度之二十六”，即略小于十三度又十九分之七。

工作。月亮从黄、白道的升(降)交点起运行一周又回到升(降)交点所需的 日数称作交点月。祖冲之的《大明历》第一个推得交点月的数值是二七·二 一二二三日，同现今测得的值比较，只差十万分之一。以后各家历法差不 多都推算交点月的长度，都达到很高的精度。
　　张子信发现太阳运动有快慢以后，为定朔的进一步研究提供了良好的 条件。从隋代的刘焯、张胄玄开始，在历法中推算定朔时刻的时候同时考 虑月行和日行的不均匀性，这在中国历法史上是一个重大进步。刘焯在推 算定朔的时候创立等间距二次差的内插法公式，在历法中引进了中国古代 数学的先进成就。
　　南北朝的何承天，首先在他于刘宋元嘉二十年(公元 443 年)制定的《元 嘉历》中，提出安排历日使用定朔法，但是由于受到反对而终于未能实行。 以后不断就改用定朔问题进行斗争。唐初的《戊寅历》曾一度使用定朔法， 因为受到反对又停止使用，直到唐高宗麟德元年(公元 664 年)颁行的《麟 德历》才又改用定朔。改用定朔法从何承天倡议开始，经过二百多年的争 论和斗争，终于获得胜利。
　　唐代的僧一行对刘焯计算定朔的方法又作了发展，使用不等间距二次 差的内插法公式。元代的郭守敬更对刘焯等在推算定朔的时候日月在短时 期里的运动速度是等加速的假设进行改进，认为日月的运动不是时间的一 次函数，而是二次函数，在某一时间里日月多行的度数应该是时间的三次 函数。他创立平立定三次差的内插法公式，把我国古代数学的光辉成就应 用到历法的实际计算上，使我国古代的天文历法成就达到了新的高峰。
　　　　　　　　　　　　交食研究 我国古代对于日月食成因的科学认识是很早的。
《周易·丰卦》就有“月盈则食”的记载，《诗·小雅·十月之交》
有“彼月而食，则维其常”的诗句，就认识到月食是有规律的，只有在月 望的时候才能发生。
战国时期的石申，已经知道日食和月亮有关，认识到日食必定发生在
朔或晦。西汉末刘向在《五经通义》中说：“日食者，月往蔽之。”可见 最迟在西汉的时候，就已经明白了日食产生的原因。东汉张衡在《灵宪》 中对月食的成因解释得更清楚，认为月光来自太阳所照，大地遮住了太阳 光，便产生月食。
　　沈括在《梦溪笔谈》卷七中曾清楚地解释了为什么不是每一朔望月都 发生日月食的道理，指出了黄道和白道并不在一个平面，而是相交的。只 有当角度(经度)相同而又靠近的时候(纬度相近)，就是在黄道、白道相交 的地方，才会互相掩盖。在黄白道正好相交的地方，便发生全食；不在正 中，便发生偏食。
　　我国古代对于交食是作了长期认真的分析的，早在西汉以前，就能认 识到交食的发生是有一定规律的，是有周期变化的。所谓“交食周期”， 就是经过一个周期以后，太阳月亮地球三者又回到了原先的相对位置，一 个周期以前出现的日月食又再次相继出现。从数学上来看，这就是探求朔 望月和交点年之间的公倍数问题。由于两者之间没有简单的倍数关系，所 以根据不同的精度可以求得不同的交食周期。我国古代的历法工作者用自
　　
己创立的方法探求交食周期，所采用的数值在世界天文学史上说，也是很 先进的。西汉的《三统历》就使用了一百三十五个朔望月的交食周期。此 后交食周期值的推算不断得到进步，达到很高的精度。西方十九世纪才由 美国天文学家纽康(1835－1909)推得的比较精密的三百五十八个朔望月的 纽康周期，我国早在唐代的《五纪历》就已经找出了(周期是纽康的二倍)。 利用交食周期，只能预推日月食发生的大概日期和情况。我国古代天 文工作者并不满足于这一结果，而是编制了一套预推交食的计算方法。早 在《乾象历》中，就已经求得黄白交角是六度左右，这在当时来说是相当 精密的。《乾象历》规定月亮距黄白交点十五度以内才能发生日食，后代
都用这个数作为会不会发生交食的判据，这就是食限的概念。 随着对日月运动研究的深入，推算日月食的方法也越来越改进，预报
的结果也越来越精密。 三国时期杨伟的《景初历》开始了预报日食发生的食分大小和亏起方
位。刘焯在推算交食的时候第一次考虑到视差对交食的影响(在地球表面观 测天体和在地心观测天体所产生的天体位置的差称“视差”)。从唐代僧一 行起，开始尝试推算各地见食的情况。隋唐宋元历法水平不断向上发展， 因而推算日月食的水平也不断提高。元代郭守敬所推交食是相当准确的， 所用方法在世界天文学史上也是很先进的。
我国古代对于日月食的研究成果，在世界天文学的发展史上，写下了
光辉的一页。
节气和置闰 节气和置闰这两部分内容在我国古代的历法中都占有非常重要的地
位。我们现在所了解的古代历法，一开始就是阴阳历。由于回归年、朔望 月和日之间都没有整数倍数的关系，十二个朔望月比一个回归年少十一天 左右，必须设置闰月来调整季节。《尚书·尧典》就记载着“期三百有六 旬有六日，以闰月定四时成岁”。设置闰月的历史可能比帝尧时更早。二 十四节气的出现，相对来说要晚一点。节气和闰月是有联系的，如果没有 闰月，就没有使用节气的必要。正因为设置了闰月来调整寒暖，才有必要 创立二十四节气，以便更精确地反映季节的变化。但是，二十四节气的产 生也进一步促进了置闰规律的发展和完善，它们是互相促进的。
在《古四分历》出现之前，为了在历法中能反映出四季的变化，早已
知道把昏旦一定星象的出没和月份联系起来，《夏小正》、《月令》等书 就有这样的记载。一旦发现不符，就设置闰月来调整。昏旦中星的变化和 北斗斗柄所指的方向成为置闰的标准。由于全凭肉眼观察，判断不容易准 确，置闰也就没有一定的严格标准。只能随时观测，随时置闰。这种方法， 从理论的角度来说，任何一个月都可置闰，但是由于观测不精，大都在岁 终置闰，这样比较方便易行。由于置闰经验的逐步积累，人们慢慢掌握了 置闰的规律，到春秋中期，就大致掌握了十九年七闰的方法。十九年七闰 法是我国首先发现的，西方发现这一规律要比我国大约晚二百年。
　　二十四节气产生以后，更准确地设置闰月就有了基础。《太初历》规 定以没有中气的月作闰月，是很符合科学道理的。依据这一原则，就能使 闰月安排得更准确，更合理，使节气在月份里的变化不超过半个月。总结
　　
出十九年七闰的规律，对于《四分历》的产生和发展是起了很大的促进作 用的。这十九年七闰的“闰周”，从春秋中期出现以后，在历法中一直使 用到南北朝时期。由于东汉和魏晋南北朝的科学进一步发展，对岁实、朔 策已经测得更准确，如果再沿用十九年七闰法，就限制了历法的改进。这 是由于岁实、朔策和十九年七闰法之间具有互相制约关系的缘故。刘洪减 小了岁实(三六五·二四六二日)，同时也就减小了朔策(二九·五三○五四 日)，这两项改革都提高了精度。但是要进一步改革，就会发生困难：如果 再减小岁实，那朔策就更小；如果加大朔策，那岁实就更大。例如《景初 历》朔策取二九·五三○六○日，比《乾象历》精密，但是为了符合十九 年七闰，岁实取三六五·二四六九日，比《乾象历》更大。南北朝时期北 凉赵接着做■第一次打破这个旧框框的束缚，改用新的闰周，祖冲之又把 新的闰周定得更精密。事实上，规定了以没有中气的月作闰月之后，再规 定闰周就是多余的了。唐代李淳风以后，就不再考定闰周，专按没有中气 的月置闰。
　　二十四节气是逐步产生起来的，是我国劳动人民为了生产实践的需要 而发明的。节气完全是太阳位置的反映，因而也就是气候寒暧的反映。这 就是我国古代的劳动人民非常重视节气的原因。首先产生的是对冬至、夏 至的认识；对春分、秋分的认识也很早，因为它们处在冬至、夏至之间的 平分点上。最迟在春秋时期，这些概念就产生了。《春秋》一书中记有春 夏秋冬的四季概念，每季三个月。根据现有的资料看，二十四节气可能产 生在战国末期。虽然全部二十四节气的名称在西汉《淮南子·天文训》中 才出现，但是战国末期成书的《吕氏春秋》就记载了二十四节气的大部分 名称。秦统一中国的时候制订的《颛顼历》，已经把历元定在立春，这些 都可以说明，二十四节气产生在秦统一中国以前。
二十四节气是节气和中气的通称。从小寒起，每隔三十日多或黄经三
十度有一节气，如小寒、立春、惊蛰等十二节气；从冬至起，每隔三十日 多或黄经三十度有一中气，如冬至、大寒、雨水等十二中气。在二十四节 气中又以立春、春分、立夏、夏至、立秋、秋分、立冬、冬至八节最重要。 它们之间各相隔大约四十六日。一年分为四季，“立”表示四季中每个季 节的开始，“分”“至”表示正处在这个季节的中间。
节气的定法有平气和定气二种，这在前面已经讲了。
　　在我国古代的历书中还插入和人民生活有关的历注，其中“九九”、 “三伏”到今天还在流行。它们也是和太阳的位置直接或间接有关的。“九 九”是从冬至开始，安排九个九日的周期，“九九”过后不几天，春分也 就到了。伏日的安排是根据传统的习惯，头伏安排在夏至后第三个庚日， 中伏在第四个庚日，末伏在立秋后第一个庚日。由于夏至日可以是任何一 个干支，因此第三个庚日距夏至可以有十天的变化，这就使得二伏有时是 十天，有时是二十天。夏至太阳达到最北点，冬至达到最南点，那好像冬 至应该最冷，夏至应该最热，但是事实并不是这样。有句谚语说：“冷在 三九，热在中伏。”这是经验的总结。这个道理南北朝的祖暅就作出了科 学的解释：这是由于寒暑的积累而造成的。
　　二十四节气是我国劳动人民的独创，从这点也可看出我国古代的生产 和科学的发展水平是高的。世界上也有很多国家使用过阴阳历，但是他们 最多也只知道有二分二至。这是我国古代历法优越的地方。我国古代的历
　　
法所使用的数据都是很精密的，太阳月和阳历年之间关系的调节也达到了 比较好的程度，我国古代的历法成就是巨大的，是值得进行总结和发扬的。

中国古代的宇宙理论
　　　　　　　　　自然科学史研究所 陈美东 人类生活在地球上，面对着浩瀚的天空，从那遥远的古代，就对关于
宇宙的一些问题产生了兴趣。随着天文观测资料的积累和思维的发展，人 们对于宇宙的本原、天体的演化、宇宙的结构、宇宙是有限还是无限等等 宇宙理论问题，作了种种推测，在我国古代留下了十分丰富的遗产。本文 仅就其中若干精辟的见解和它们的发展情况略作介绍。
关于宇宙本原和天体演化思想 宇宙万物是物质的、运动的、发展的观点，在我国古代产生得很早。
战国时期屈原(约前 340－前 278)、庄周(约前 369－前 286)等人的著作所
记述的古代口耳相传的神话、传说，都明白无误地反映了古代人们的如下 看法：天和地是从一种朦胧不分、浑浑噩噩、深沉幽暗的“浑沌”状况中 诞生出来的。也就是说，现存世界是通过长时间的历史过程发展而来的观 点，在遥远古代人们的心目中是不言而喻的。那时，对这一团“浑沌”究 竟是些什么东西，还没有具体的说明。到西周末年(公元前八世纪)，史伯 就有过“以土与金、木、水、火杂以成百物”(《国语·郑语》)的说法， 把金、木、水、火、土五种元素(其中又以土为主)看成是万物的本原。后 来，有人认为水才是最基本的元素。《管子·水地篇》指出：“水者何也？
万 55 物之本原也，诸生之宗室也。”这是把水作为包括生物界在内的万
物的本原。显然，用几种或一种人们所熟知的物质去说明丰富多彩的物质 世界的尝试，是人们对宇宙本原的认识的重大进步，但是由于物质世界的 复杂性和多样性，这种尝试遇到了种种困难。于是，战国中期的宋钘、尹 文进一步提出了新的见解，他们指出：“凡物之精，比则为生。下生五谷， 上为列星，流于天地之间，谓之鬼神，藏于胸中，谓之圣人，是故名气。” (《管子·内业篇》)这就是后世得到充分发展的元气学说的早期论述。它 以比较抽象的形态出现的、物质性的“气”作为宇宙万物的本原，为物质 世界的复杂性和多样性提供了比较合理的、比较科学的解释。也就在春秋 战国时期，还产生了天地都在不断地运动发展的观点。《管子·侈靡篇》 指出：“天地不可留，故动，化故从新。”就是说天地都处在不停的运动 中，正因为这种无休止的运动，促成了宇宙万物的新陈代谢，生生不息。 这一观点和朴素唯物主义的元气学说连同古老的天地是从浑沌中产生的 思想的有机结合，便是我国古代天体演化思想的精髓。
　　在战国时期，人们已经在探索通过什么样的机制从浑沌中生成天地的 问题。《素问·阴阳应象大论》中，曾经提到“清阳为天，浊阴为地”的 思想，这里明确地把下面两个观念应用到天地生成说中：一是把阴、阳两 种不同属性的物质的矛盾斗争引进天地分离的过程之中；二是以人所共知 的轻清的物体上升、重浊的物体下沉的现象，说明天地分离的原因。这种 朴素的、直观的天地生成说，成了我国古代传统的观点。
　　西汉早期的《淮南子·天文训》继承并发挥了这一思想。它明确地指 出：天地生成过程中，元气中的“清阳者”上升形成为天，“重浊者”向
　　
下凝聚为地。它又认为天地日月星辰都是从元气派生出 56 来的，是元气 在它发展的各个不同阶段上的产物，把它们都统一于元气的运动和发展之 中。而在宇宙本原的问题上，《淮南子·天文训》却认为元气是从虚无中 产生出来的。
　　《淮南子·天文训》关于天地演化的论述，由于得到著名天文学家张 衡等人的赞同，在我国古代发生了很大影响。但是，历代有许多人提出不 少新的创见。唐代柳宗元(773－819)在《天对》中指出：在初始的浑沌状 态中，只有元气在运动着、发展变化着(“庞昧革化，惟元气存”)。阴、 阳和天都是由元气派生出来的(“合焉者三，一以统同”)，由于阴阳二气 运动速度和温度的不同，两者既相互对立，又彼此渗透，从而生成了天地 (“吁炎吹冷，交错而功”)。这里，柳宗元不但申明了朴素唯物主义的天 地演化思想，而且注意到阴阳二气运动的不同速度和温度对天地生成过程 中所起的作用。柳宗元在《非国语·三川震》中还进一步指出：在无限的 宇宙中，矛盾变化是无穷的。阴阳二气时而会合，时而分离；有时互相吸 引，有时互相排斥；就像旋转着的车轮或机械，时刻不停(“天地之无倪， 阴阳之无穷，以澒洞轇轕乎其中，或会或离，或吸或吹，如轮如机”)。 这就把会合和分离、吸引和排斥这些两极对立的概念引入天地生成的动因 中去了。
宋代的朱熹(1130－1200)，在描述以地球为中心的天地生成过程的时
候指出：“天地初间，只是阴阳二气。这个气运行，磨来磨去，磨得急了， 便拶许多渣滓，里面无处出，便结个地在中央。气之清者便为天，为日月， 为星辰，只在外常周环运转。地便只在中央不动，不是在下。”(《朱子 全书》卷四十九)这里描述了一个处于不停顿的旋转运动中的、由阴阳二 气组成的庞大气团，由于摩擦、碰撞和离心力的作用，在它中央结成地球， 在地球周围形成天和日月星辰的情景。这实际上也为浑天说作了思辨性的 理论说明。
天地日月星辰既然是一种生成的东西，那么它们也必然会有终结，这
种思想在我国古代也有过精辟的论述。东晋的张湛在今传本的《列子·天 瑞篇》①中，记述长庐子的话说，“夫天地，空中之一细物”，于是“天 地不得不坏，则会归于坏”的。元代的《琅环记》也论及这一思想，它以 问答的形式说道：“天地毁乎？曰：天地亦物也，若物有毁，则天地焉独 不毁乎？曰：既有毁也，何当复成？曰：人亡于此，焉知不生于彼也？天 地毁于此，焉知不成于彼也？”他们都从天地是“物”这一基本点出发， 得出有朝一日天地终要毁坏的结论，而后者比前者的进步之点在于：它明 确指出天地的毁坏并不等于归于虚无，而一定要在别的处所生出新的天地 来。宋代的张载(1020－1077)早在他的《正蒙·太和篇》中表述过这一思 想。他指出“气有聚散，并无生灭”，“太虚不能无气，气不能不聚而为 万物，万物不能不散而为太虚，循是出入，是皆不得已而然也。”这就从 更大的规模上，更概括地阐述了宇宙万物生生不息的图景，也就论述了由 气聚为万物，万物以气的形式散入太虚，并且往复无穷的必然性。
当然，在古代的历史条件下，不可能对天体的演化进行具体的论证， 这些思想都还是朴素的、思辨性的认识，但是在当时世界上却是十分先进



① 战国时期列御寇著《列子》八篇，早佚。今传本《列子》据考证可能是晋人伪托

的。


关于宇宙的结构和地动说


关于宇宙的结构，在我国古代主要有盖天、浑天和宣夜三种学说。 盖天说认为“天圆如张盖，地方如棋局”，以后又发展为“天似盖笠，
地法覆槃”(《晋书·天文志》)，认为大地是方形或中央隆起的覆盘似的 实体，在它上面罩着半圆形的天穹。这一学说大约起于周代，而到汉代趋 于衰落。
　　春秋战国时期，盖天说的正确性已为人们所怀疑，并开始萌发了浑天 说的思想：春秋时期的邓析(前 545－前 501)就提出了“天地比”(《荀子·不 苟篇》)的命题，认为天和地不存在截然的高低之分。到战国时期，慎到(约
前 395－约前 315)指出：“天体如弹丸，其势斜倚”(《慎子》)，明确地 建立了球形的天的概念；惠施(约前 370－约前 310)在他的一些论辩中也隐 约提出了大地是球形的观念；《素问·五运行大论》还提供了大地是靠“大 气”的作用悬浮于空中的思想。这些都为浑天说在汉代的形成准备了条件。 东汉张衡的《浑天仪注》对浑天说作了如下的发展和概括：“浑天如 鸡子，天体圆如弹丸，地如鸡中黄，孤居于内，天大而地小。天表里有水， 天之包地，犹壳之裹黄。天地各乘气而立，载水而浮。”这里，最重要的 发展是关于天是球形的论述和大地是球形的比喻，但这种地球观是很不完 备的，而关于“天表里有水”、天地“载水而浮”等观念，是它的严重缺 欠。东汉以后，这一观念渐被地在气中、因气的运动而悬于空间等思想所 替代，使浑天说趋于成熟。总的说来，浑天说是一种以大地为中心、有一 个浑圆的天壳绕它旋转的宇宙结构模式。它同古希腊托勒玫的地心说有不 少相似之处，只是前者不如后者完备。它是以对天象的直观观察作为基础 的，能比较好地解释一些天体的视运动现象，在历法中有比较大的实用意 义。应该说，在古代的条件下，它仍不失为一种有价值的宇宙结构学说。 关于宣夜说，我们将在下一节予以评介。这里，我们先来介绍我国古
代的地动说。
　　前已叙及，春秋战国时期产生了天地都在不断地运动发展的观点。人 们从不同的角度对它进行过论述。如《素问·五运行大论》说：“歧伯曰：
‘上者右行，下者左行，左右周天，余而复会也。’”右行是指从东向西，
左行是指从西向东。所以，这是试图用天右旋、地左转的观点来说明天体 周日视运动的现象。又如，尸佼(约前 370－约前 310)说：“天左舒而起牵 牛，地右辟而起毕昂”(《尸子》)。当时人们认为牵牛是作为一年之始的 冬至点所在的星宿，毕昴是夏至点所在，所以，这是想用天(这里实应指的 是太阳)在恒星间左行、地在恒星间右行的观点，说明太阳在恒星间作周年 视运动的现象。他们用天和地同时作相反方向运动的观点对周日或周年视 运动所作的说明是不尽正确的，但可贵的是，他们都不约而同地引进了地 动的观念，成为后世发展的重要起点。
到西汉末年，随着运动相对性原理的阐明，地动说得到了很大的进步。
《春秋纬·运斗枢》指出：“地动则见于天象”，就是认为地动可以从有 关天象的变化中反映出来，也就是把有关天象的变化看作是地动的结果。
《河图·括地象》指出：“地右动起于毕”，这似乎只是尸佼的话的简单

重复，其实不然，它已经屏弃了所谓天动的说法，把太阳在恒星间周年视 运动完全归因于地动的结果。这些论述都隐含着关于运动相对性的重要观 念。而对这一观念作了最精彩的论述的，要算《尚书纬·考灵曜》，它以 具体形象的譬喻，“人在大舟中，闭牖而坐，舟行不觉也”，来说明为什 么“地恒动不止，而人不知”的道理，为地动说提供了简明的思辨性说明。 有趣的是，哥白尼在论证地球运动的理论时，也曾引用了和它相类似的比 喻。
　　《尚书纬·考灵曜》还用地动的观点说明太阳在一周年中视高度变化 的现象。它指出：“地有四游，冬至地上北而西三万里，夏至地上南而东 三万里，春秋二分其中矣。”对这现象的另一种解释是以太阳本身在运动 作为基本点的：冬至时，太阳走到极南，而后沿黄道日渐往北向东游动到 黄赤道的交点春分；夏至时，太阳走到极北，此后沿黄道日渐往南向西移 动到黄赤道的另一交点秋分。《考灵曜》正是从运动相对性的原理出发， 认为冬至时地游到极北，而后日渐往南向西游动到“中”点春分；而夏至 时地游到极南，此后日渐往北向东游到另一个“中”点秋分。这恰和传统 的说法南北易位，东西反向。虽然《考灵曜》并未讲明从春分到夏至、从 秋分到冬至地游的情况，但它已明言“地有四游”，所以在这两个区间的 地游状况是不言而喻的。总的说来，它和日行黄道的传统看法相反，似乎 隐含着地是沿黄道运动的思想，但终未点明，没有形成明确的概念。其中 关于“三万里”的说法是不正确的。不过，它把一周年中太阳视高度的变 化看作是“地有四游”的结果，这一思想是十分明确的，是十分可贵的。 关于恒星周日视运动和地球自转之间关系的明确无误的论述，见于宋 代张载的《正蒙·参两篇》。他指出：“恒星所以为昼夜者，直以地气乘 机左旋于中。”他把昼夜交替现象和恒星自东向西的右旋运动看作是地球 自身从西向东左旋的直接结果。这是我国古代地动说最精辟的论述和最科 学的应用之一。地动说在我国古代为不少人所接受。虽然它的论证是思辨 性的、初步的，但它比托勒玫的地心说关于地球在宇宙中心静止不动的观
点要高明得多。
　　　　　　　　关于宇宙无限性的辩证论述 早在战国时期，关于宇宙时空无限性的朴素观点，已经为社会上许多
人所承认。尸佼曾说过：“四方上下曰宇，往古来今曰宙。”(《尸子》) 就是说“宇”是指东、南、西、北、上、下六个方向，“宙”包括过去、 现在、将来的时间。但是尸佼的定义对时空是否存在界限、开端或终点的 问题，没有作出明确的回答。而和尸佼同一时期出现的《墨经》的见解却 进了一步。它认为“宇”包括所有不同的场所(“宇，弥异所也”)，“宙” 包括所有不同的时代(“久，弥异时也”，这里的“久”同“宙”)，这样， 宇宙就包括了所有不同的空间和时间，包含了无限时空的初步认识。《墨 经》还指出，物体在空间移动(“宇域徙”)，必定经历一定的空间和时间(“说 在长宇久”)，并且空间位置的变迁是和时间的流逝紧密地结合在一起的 (“宇徙久”)。这些论述把空间和时间统一于物质的运动之中，是时空之 间辩证统一关系的精采论述。也就在战国时期出现的《庄子·逍遥游》中， 记载着关于空间无限性的明确观念，认为天是“远而无所至极”的。在《庄

子·齐物篇》里对于时间的无限性问题也有朴素的认识。从尸佼、《墨经》、
《庄子》的有关论述可知，战国时期人们对于宇宙无限性的认识固然是可 贵的，但是还处于发展的初期阶段。
关于空间无限性的思想，到东汉有了重大的发展。经王充(27－约
97)、黄宪、郄萌(约公元一到二世纪)、张衡等人的探讨，逐步达到了那个 时期认识的高峰。王充在《论衡》中认为“天去人高远，其气莽苍无端末”， 明确提出了在无限的宇宙空间都有“气”的存在的思想，这和我们现今所 认识的星际空间物质的存在有相似之处。黄宪在《天文》中认为日月星辰 只是活动在有限空间里的天体，天却在这有限的空间之外(“天外也，日月 内也”)。他又认为天也有一个边界(“外则以太虚为涯”)，在这边界外面 是一个虚无的无边无垠的空间(“同归于虚，虚则无涯”)。这就把整个宇 宙同有一定边界的天区别开来。张衡在《灵宪》中也表达了相类似的思想， 他认为天有一个椭圆形的边界，但是张衡并不认为这就是宇宙的边沿，相 反，他认为“宇之表无极，宙之端无穷”，明确地表述了宇宙在空间和时 间上都是无穷无尽的思想。然而，张衡给出的天球半径和日月星辰附丽于 天球的看法，却妨碍人们对宇宙真正无限性的认识。
　　比张衡稍早的郄萌，继承了在他以前的宣夜说思想，兼采各家的长处， 把无限宇宙的思想提高到一个新的高度。著名的宣夜说，打破了传统的有 形质的天的概念。据《晋书·天文志》引郄萌“记先师相传”关于宣夜说 的论述：“天了无质，仰而瞻之，高远无极。”还应用人们日常生活得知 的经验，论证人眼所及的浑圆蓝天并非真有一个浑圆的边界和苍苍的颜 色，指出：“眼瞀精绝，故苍苍然也。譬之旁望远道之黄山而皆青，俯察 千仞之深谷而窈黑，夫青非真色，而黑非有体也。”宣夜说认为日月星辰 的运动“迟疾任情，其无所系著可知矣，若缀附天体，不得尔也。”这就 从对日月星辰运动特性的观测和研究，进一步论证日月众星并非附着于“固 体”的天球，因为它们各自不同的运动特性是不能用附着于一个“固体” 天球来统一解释的。宣夜说还进一步指出：“日月众星，自然浮生虚空之 中，其行其止皆须气焉。”这就从正面提出了日月众星的运动是由于“气” 的作用的结果，描述了一幅日月众星在物质的无限空间运动的图景。这些 见解比浑天说和托勒玫的地心说都要高过一筹。
三国时期的杨泉、东晋的张湛、宋代的张载等人，都从各自不同的角
度表述了在无限空间里运动着的物质普遍存在的思想。杨泉在《物理论》 中，重申了“天无体”的思想，并且指出：“夫天，元气也，皓然而已， 无他物焉。”而“星者，元气之英也。”张湛在《列子·天瑞篇》中认为 “天积气耳，无处无气，若屈伸呼吸，终日在天中行止，”而“日月星宿 亦积气中之有光耀者。”张载在《正蒙·太和篇》中也认为“气块然太虚， 升降飞扬，未尝止息”。
　　唐代的柳宗元，对空间无限性问题作了更加精辟的论述，他在《天对》 中指出，天没有青黄赤黑之分，也没有中心和边缘，怎么能划分哪儿是天 的边界呢？(“无青无黄，无赤无黑，无中无旁，乌际乎天则？”)其中关 于天没有所谓中心的思想，是对空间无限性的十分深刻的见解。
　　元明时期，人们对宇宙无限性的认识更提高一步，出现了无穷的天体 系统的观念，把空间的有限和无限辩证地统一起来。如元代《琅环记》一 书中有这样一段有趣的问答：“人有彼此，天地亦有彼此乎？曰：人物无
　　
穷，天地亦无穷也。譬如蛔居人腹，不知是人之外更有人也；人在天地腹， 不知天地之外更有天地也。”又如元代的邓牧(1247－1306)在《伯牙琴·超 然观记》中指出：“天地大也，其在虚空中不过一粟耳。虚空，木也，天 地犹果也；虚空，国也，天地犹人也。一木所生，必非一果；一国所生， 必非一人。谓天地之外无复天地，岂通论耶？”他们都以通俗的比喻，阐 明了天地之外复有天地以至于有无穷的天地的思想，天地虽大，它却如同 一虫、一粟、一果或一人那样，是有限度的，是渺小的，而整个宇宙空间 却是无穷的有限空间的总和。明代《豢龙子》一书又在这一无穷的天体系 统的思想基础上，提出了时间有限和无限的辩证的统一观：“或问天地有 始乎？曰：无始也。天地无始乎？曰：有始也。未达。曰：自一元而言， 有始也；自元元而言，无始也。”也就是说，对于某一个具体的天体系统 来说，在时间上是有始有终的，但是就由无穷的天体系统组成的宇宙来说， 那便是无始无终的了。
　　我国古代关于宇宙的理论，凝聚着我国古代劳动人民的聪明才智。科 学地总结这份历史遗产，将有助于我们发展在现代科学基础上的宇宙理论 作出贡献。
　　
二 数学

中国古代的数学名著简介
自然科学史研究所 杜石然 中国古代数学，和天文学以及其他许多科学技术一样，也取得了极其
辉煌的成就。可以毫不夸张地说，直到明代中叶以前，在数学的许多分支 领域里，中国一直处于遥遥领先的地位。中国古代的许多数学家曾经写下 了不少著名的数学著作。许多具有世界意义的成就正是因为有了这些古算 书而得以流传下来。这些中国古代数学名著是了解古代数学成就的丰富宝 库。
　　例如现在所知道的最早的数学著作《周髀算经》和《九章算术》，它 们都是公元纪元前后的作品，到现在已有两千年左右的历史了。能够使两 千年前的数学书籍流传到现在，这本身就是一项了不起的成就。
　　开始，人们是用抄写的方法进行学习并且把数学知识传给下一代的。 直到北宋，随着印刷术的发展，开始出现印刷本的数学书籍，这恐怕是世 界上印刷本数学著作的最早出现。现在收藏于北京图书馆、上海图书馆、 北京大学图书馆的传世南宋本《周髀算经》、《九章算术》等五种数学书 籍，更是值得珍重的宝贵文物。
从汉唐时期到宋元时期，历代都有著名算书出现：或是用中国传统的
方法给已有的算书作注解，在注解过程中提出自己新的算法；或是另写新 书，创新说，立新意。在这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳 动成果，它们是历代数学家共同留下来的宝贵遗产。

《算经十书》


　　《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名数学著作，它们曾经 是隋唐时候国子监算学科(国家所设学校的数学科)的教科书。十部算书的 名字是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《五曹算经》、
《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《五经算术》、《缉
古算经》、《缀术》。 这十部算书，以《周髀算经》为最早，不知道它的作者是谁，据考证，
它成书的年代当不晚于西汉后期(公元前一世纪)。《周髀算经》不仅是数 学著作，更确切地说，它是讲述当时的一派天文学学说——“盖天说”的 天文著作。就其中的数学内容来说，书中记载了用勾股定理来进行的天文 计算，还有比较复杂的分数计算。当然不能说这两项算法都是到公元前一 世纪才为人们所掌握，它仅仅说明在现在已经知道的资料中，《周髀算经》 是比较早的记载。
　　对古代数学的各个方面全面完整地进行叙述的是《九章算术》，它是 十部算书中最重要的一部。它对以后中国古代数学发展所产生的影响，正 像古希腊欧几里得(约前 330－前 275)《几何原本》对西方数学所产生的影 响一样，是非常深刻的。在中国，它在一千几百年间被直接用作数学教育 的教科书。它还影响到国外，朝鲜和日本也都曾拿它当作教科书。
　　
　　《九章算术》，也不知道确实的作者是谁，只知道西汉早期的著名数 学家张苍(前 201－前 152)、耿寿昌等人都曾经对它进行过增订删补。《汉 书·艺文志》中没有《九章算术》的书名，但是有许商、杜忠二人所著的
《算术》，因此有人推断其中或者也含有许、杜二人的工作。1984 年，湖 北江陵张家山西汉早期古墓出土《算数书》书简，推算成书当比《九章算 术》早一个半世纪以上，内容和《九章算术》极相类似，有些算题和《九 章算术》算题文句也基本相同，可见两书有某些继承关系。可以说《九章 算术》是在长时期里经过多次修改逐渐形成的，虽然其中的某些算法可能 早在西汉之前就已经有了。正如书名所反映的，全书共分九章，一共搜集 了二百四十六个数学问题，连同每个问题的解法，分为九大类，每类算是 一章。
　　从数学成就上看，首先应该提到的是：书中记载了当时世界上最先进 的分数四则运算和比例算法。书中还记载有解决各种面积和体积问题的算 法以及利用勾股定理进行测量的各种问题。《九章算术》中最重要的成就 是在代数方面，书中记载了开平方和开立方的方法，并且在这基础上有了 求解一般一元二次方程(首项系数不是负)的数值解法。还有整整一章是讲 述联立一次方程解法的，这种解法实质上和现在中学里所讲的方法是一致 的。这要比欧洲同类算法早出一千五百多年。在同一章中，还在世界数学 史上第一次记载了负数概念和正负数的加减法运算法则。
《九章算术》不仅在中国数学史上占有重要地位，它的影响还远及国
外。在欧洲中世纪，《九章算术》中的某些算法，例如分数和比例，就有 可能先传入印度再经阿拉伯传入欧洲。再如“盈不足”(也可以算是一种一 次内插法)，在阿拉伯和欧洲早期的数学著作中，就被称作“中国算法”。 现在，作为一部世界科学名著，《九章算术》已经被译成许多种文字出版。
《算经十书》中的第三部是《海岛算经》，它是三国时期刘徽(约 225
－约 295)所作。这部书中讲述的都是利用标杆进行两次、三次、最复杂的 是四次测量来解决各种测量数学的问题。这些测量数学，正是中国古代非 常先进的地图学的数学基础。此外，刘徽对《九章算术》所作的注释工作 也是很有名的。一般地说，可以把这些注释看成是《九章算术》中若干算 法的数学证明。刘徽注中的“割圆术”开创了中国古代圆周率计算方面的 重要方法(参见本书第 98 页)，他还首次把极限概念应用于解决数学问题。
《算经十书》的其余几部书也记载有一些具有世界意义的成就。例如
《孙子算经》中的“物不知数”问题(一次同余式解法，参见本书第 106 页)，《张丘建算经》中的“百鸡问题”(不定方程问题)等等都比较著名。 而《缉古算经》中的三次方程解法，特别是其中所讲述的用几何方法列三 次方程的方法，也是很具特色的。
　　《缀术》是南北朝时期著名数学家祖冲之的著作。很可惜，这部书在 唐宋之际公元十世纪前后失传了。宋人刊刻《算经十书》的时候就用当时 找到的另一部算书《数术记遗》来充数。祖冲之的著名工作——关于圆周 率的计算(精确到第六位小数)，记载在《隋书·律历志》中(参见本书第
101 页)。
　　《算经十书》中用过的数学名词，如分子、分母、开平方、开立方、 正、负、方程等等，都一直沿用到今天，有的已有近两千年的历史了。
　　
宋元算书


　　中国古代数学，经过从汉到唐一千多年间的发展，已经形成了更加完 备的体系。在这基础上，到了宋元时期(公元十世纪到十四世纪)又有了新 的发展。宋元数学，从它的发展速度之快、数学著作出现之多和取得成就 之高来看，都可以说是中国古代数学史上最光辉的一页。
　　特别是公元十三世纪下半叶，在短短几十年的时间里，出现了秦九韶 (1202－1261)、李冶(1192－1279)、杨辉、朱世杰四位著名的数学家。所 谓宋元算书就指的是一直流传到现在的这四大家的数学著作，包括：
秦九韶著的《数书九章》(公元 1247 年)；
李冶的《测圆海镜》(公元 1248 年)和《益古演段》(公元 1259 年)； 杨辉的《详解九章算法》(公元 1261 年)、《日用算法》(公元 1262
年)、《杨辉算法》(公元 1274－1275 年)；
朱世杰的《算学启蒙》(公元 1299 年)和《四元玉鉴》(公元 1303 年)。
　　《数书九章》主要讲述了两项重要成就：高次方程数值解法和一次同 余式解法(分别参见本书第 119 页和第 110 页)。书中有的问题要求解十次 方程，有的问题答案竟有一百八十条之多。《测圆海镜》和《益古演段》 讲述了宋元数学的另一项成就：天元术(用代数方法列方程，参见本书第
121 页)；也还讲述了直角三角形和内接圆所造成的各线段间的关系，这是
中国古代数学中别具一格的几何学。杨辉的著作讲述了宋元数学的另一个 重要侧面：实用数学和各种简捷算法。这是应当时社会经济发展而兴起的 一个新的方向，并且为珠算盘的产生创造了条件。朱世杰的《算学启蒙》 不愧是当时的一部启蒙教科书，由浅入深，循序渐进，直到当时数学比较 高深的内容。《四元玉鉴》记载了宋元数学的另两项成就：四元术(求解高 次方程组问题，参见本书第 123 页)和高阶等差级数、高次招差法(参见本 书第 131 页)。
宋元算书中的这些成就，和西方同类成果相比：高次方程数值解法比
霍纳(1786－1837)方法早出五百多年，四元术要比贝佐(1730－1783)①早出 四百多年，高次招差法比牛顿(1642－1727)等人早出近四百年。
宋元算书中所记载的辉煌成就再次证明：直到明代中叶之前，中国科
学技术的许多方面，是处在遥遥领先地位的。 宋元以后，明清时期也有很多算书。例如明代就有著名的算书《算法
统宗》。这是一部风行一时的讲珠算盘的书。入清之后，虽然也有不少算
书，但是像《算经十书》、宋元算书所包含的那样重大的成就便不多见了。 特别是在明末清初以后的许多算书中，有不少是介绍西方数学的。这反映 了在西方资本主义发展进入近代科学时期以后我国科学技术逐渐落后的情 况，同时也反映了中国数学逐渐融合到世界数学发展总的潮流中去的一个 过程。
中国数学发展的历史表明：中国数学曾经为世界数学的发展作出过卓 越的贡献，只是在近代才逐渐落后了。我们深信，经过努力，中国数学一 定能迎头赶上世界先进水平。




① 贝佐也译作裴蜀或比左。

十进位值制、筹算和珠算
　　　　　　　　自然科学史研究所 梅荣照 我国古代数学以计算为主，取得了十分辉煌的成就。其中十进位值制
记数法、筹算和珠算在数学发展中所起的作用和显示出来的优越性，在世 界数学史上也是值得称道的。
　　十进位值制记数法曾经被马克思(1818－1883)称为“最妙的发明之 一”①。
　　从有文字记载开始，我国的记数法就遵循十进制。殷代的甲骨文和西 周的钟鼎文都是用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、 万等字的合文来记十万以内的自然数的。例如二千六百五十六写作■■■
■(甲骨文)，六百五十九写作■■■■■(钟鼎文)。这种记数法含有明显 的位值制意义，实际上，只要把“千”、“百”、“十”和“又”的字样 取消，便和位值制记数法基本一样了。
　　春秋战国时期是我国从奴隶制转变到封建制的时期，生产的迅速发展 和科学技术的进步提出了大量比较复杂的数字计算问题。为了适应这种需 要，劳动人民创造了一种十分重要的计算方法——筹算。我们认为筹算是 完成于春秋战国时期，理由是：第一，春秋战国时期，农业、商业和天文 历法方面有了飞跃的发展，在这些领域中，出现了大量比以前复杂得多的 计算问题。由于井田制的废除，各种形状的私田相继出现，并相应实行按 亩收税的制度，这就需要计算复杂形状的土地面积和产量；商业贸易的增 加和货币的广泛使用，提出了大量比例换算的问题；适应当时农业需要的 历法，要计算多位数的乘法和除法。为了解决这些复杂的计算问题，才创 造出计算工具算筹和计算方法筹算。第二，现有的文献和文物也证明筹算 出现在春秋战国时期。例如“算”和“筹”二字出现在春秋战国时期的著 作(如《仪礼》、《孙子》、《老子》、《法经》、《管子》、《荀子》等) 中，甲骨文和钟鼎文中到现在仍没有见到这两个字。一二三以外的筹算数 字最早出现在战国时期的货币(刀、布)上。《老子》提到：“善计者不用 筹策”，可见这时筹算已经比较普遍了。因此我们说筹算是完成于春秋战 国时期。这并不否认在春秋战国时期以前就有简单的算筹记数和简单的四 则运算。
关于算筹形状和大小，最早见于《汉书·律历志》。根据记载，算筹
是直径一分(合○·二三厘米)、长六寸(合一三·八六厘米)的圆形竹棍， 以二百七十一根为一“握”。南北朝时期公元六世纪《数术记遗》和《隋 书·律历志》记载的算筹，长度缩短，并且把圆的改成方的或扁的。这种 改变是容易理解的：长度缩短是为了缩小布算所占的面积，以适应更加复 杂的计算；圆的改成方的或扁的是为了避免圆形算筹容易滚动而造成错 误。根据文献的记载，算筹除竹筹外，还有木筹、铁筹、玉筹和牙筹，还 有盛装算筹的算袋和算子筒。唐代曾经规定，文武官员必须携带算袋。1971 年八月中旬，在陕西宝鸡市千阳县第一次发现西汉宣帝时期(公元前 73 年 到前 49 年)的骨制算筹三十多根，大小长短和《汉书·律历志》的记载基



① 马克思：《数学手稿》，人民出版社 1975 年版，第 205 页。

本相同。1975 年上半年在湖北江陵凤凰山一六八号汉墓又发现西汉文帝时 期(公元前 179 年到前 157 年)的竹制算筹一束，长度比千阳县发现的算筹 稍大一点。1980 年九月，在石家庄市又发现东汉初期(公元一世纪)的骨制 算筹约三十根，长度和形状同《隋书·律历志》的记载相近，这说明算筹 长度和形状的改变早在东汉初期已经开始。算筹的出土，为研究我国数学 发展史提供了可贵的实物资料。
筹算是以算筹作工具，摆成纵式的(■■■■■■■■■)和横式的(■
■■■■■■■■)两种数字，按照纵横相间(“一纵十横，百立千僵”) 的原则表示任何自然数(如六千七百零八表示为■■■，遇到零的时候用空 位表示)，从而进行加、减、乘、除、开方以及其他的代数计算。
　　筹算一出现，就严格遵循十进位值制记数法。九以上的数就进一位， 同一个数字放在百位就是几百，放在万位就是几万。这种记数法，除所用 的数字和现今通用的印度－阿拉伯数字形式不同外，和现在的记数法实质 是一样的。筹算是把算筹一面摆成数字，一面进行计算，它的运算程序和 现今珠算的运算程序基本相似。记述筹算记数法和运算法则的著作有《孙 子算经》(公元四世纪)、《夏侯阳算经》(公元五世纪)和《数术记遗》(公 元六世纪)。负数出现后，算筹分成红黑两种，红筹表示正数，黑筹表示负 数。算筹还可以表示各种代数式，进行各种代数运算，方法和现今的分离 系数法相似。我国古代在数字计算和代数学方面取得的辉煌成就，和筹算 有密切的关系。例如祖冲之的圆周率准确到小数第六位，需要计算正一万 二千二百八十八边形的边长，把一个九位数进行二十二次开平方(加、减、 乘、除步骤除外)，如果没有十进位值制的计算方法，那就会困难得多了。 古巴比仑的记数法虽然有位值制的意义，但是它是六十进的，计算比 较繁琐。古埃及的数字从一到十只有两个数字符号，从一百到一千万有四 个数字符号，而且是象形的，例如用一个鸟表示十万。文化比较发达的古 希腊，由于看重几何，轻视计算，记数方法十分落后，用全部希腊字母表 示一到一万的数字，字母不够的时候就在字母旁边增加符号“‘”，如‘α 表示一千，‘β表示二千等。现在世界通用的印度－阿拉伯数字和记数法 是印度古代人民创造的，但是印度在公元三世纪以前使用的记数法是希腊 式和罗马式两种，都不是位值制，真正使用十进位值制记数法出现在公元 六世纪末。由此可见，我国古代的十进位值制记数法和筹算，在世界数学
史上应该占有重要的地位。
　　筹算在我国古代用了大约两千年，在生产和科学技术以至人民生活 中，发挥了重大的作用。但是它的缺点也是十分明显的：首先，在室外拿 着一大把算筹进行计算就很不方便；其次，计算数字的位数越多，所需要 的面积越大，受环境和条件的限制；此外，当计算速度加快的时候，很容 易由于算筹摆弄不正而造成错误。随着社会的发展，计算技术要求越来越 高，筹算需要改革，这是势在必行的。这个改革从中唐以后的商业实用算 术开始，经宋元出现大量的计算歌诀，到元末明初珠算的普遍应用，历时 七百多年。《新唐书》和《宋史·艺文志》记载了这个时期出现的大量著 作。由于封建统治阶级对民间数学十分轻视，以致这些著作的绝大部分已 经失传。从遗留下来的著作中可以看出，筹算的改革是从筹算的简化开始 而不是从工具改革开始的，这个改革最后导致珠算的出现。
珠算是由筹算演变而来的，这是十分清楚的。筹算数字中，上面一根

筹当五，下面一根筹当一，珠算盘中的上一珠也是当五，下一珠也是当一； 由于筹算在乘、除法中出现某位数字等于十或多于十的情形(例如 26532÷
8，第一步就是“八二下加四”，■■■■ 就变成■■■■)，所以珠算盘 采用上二珠下五珠的形式。其次，我们可以证明，从杨辉、朱世杰开始到 元末丁巨、何平子、贾亨止的除“起一”法外的全部现今通用的珠算歌诀， 是为筹算而设的。杨辉的《乘除通变本末》(公元 1274 年)和朱世杰的《算 学启蒙》(公元 1299 年)已经有相当完备的歌诀，但是杨辉在《乘除通变本 末》中说：“下算不出‘横’‘直’”，其中“横”“直”显然是指算筹 的纵横排列；朱世杰在《算学启蒙》中提到“知算纵横数目真”，也是这 个意思。《丁巨算法》(公元 1355 年)、何平子的《详明算法》(公元 1373 年)、贾亨的《算法全能》(约公元 1373 年)也有相当完备的归除歌诀，但 是都没有提到珠算，而《详明算法》还有许多筹算算草。歌诀出现后，筹 算原来存在的缺点就更突出了，歌诀的快捷和摆弄算筹的迟缓存在矛盾。 为了得心应手，劳动人民便创造出更加先进的计算工具——珠算盘。
　　现存文献中最早提到珠算盘的是明初的《对相四言》。明代中期公元 十五世纪中叶《鲁班木经》中有制造珠算盘的规格：“算盘式：一尺二寸 长，四寸二分大。框六分厚，九分大，??线上二子，一寸一分；线下五 子，三寸一分。长短大小，看子而做。”把上二子和下五子隔开的不是木 制的横梁，而是一条线。比较详细地说明珠算用法的现存著作有徐心鲁的
《盘珠算法》(公元 1573 年)、柯尚迁的《数学通轨》(公元 1578 年)、朱
载堉(1536－1611)的《算学新说》(公元 1584 年)、程大位的《直指算法统 宗》(公元 1592 年)等，以程大位的著作流传最广。
值得指出的是，在元代中叶和元末的文学、戏剧作品中有提到珠算的。
例如元世祖至元十六年(公元 1279 年)刘因在他的《静修先生文集》中有一 首关于算盘的五言绝诗；陶宗仪在他的《辍耕录》中把婢仆贬作算盘珠， 要拨才动；《元曲选》“庞居士误放来生债”提到“去那算盘里拨了我的 岁数”，等等。文学、戏剧中用算盘珠作比喻，说明珠算盘已经比较流行， 也说明它是比较时新的东西。因此可以认为，珠算出现在元代中叶，元末 明初已经普遍应用了。
有的外国学者认为我国的珠算出现在汉代，他们的根据是汉徐岳著、
北周甄鸾注的《数术记遗》已经明确提到珠算。我国数学家、数学史家钱 宝琮(1892－1974)曾经考证过，《数术记遗》是甄鸾依托伪造而自己注释 的书。在北周时，乘、除运算都在上、中、下三层进行，又没有简化乘、 除法的歌诀，因此甄鸾注释的珠算，充其量不过是一种记数工具或者只能 作加减法的简单算盘，和后来出现的珠算是完全不同的。
　　珠算还传到朝鲜、日本等国，对这些国家的计算技术的发展曾经起过 一定的作用。日本人在十七世纪中叶，在中国算盘的基础上，改成梁上一 珠、珠作棱形的日本算盘。
　　
出入相补原理
　　　　　　　　　　　　数学研究所 吴文俊 我国古代几何学不仅有悠久的历史，丰富的内容，重大的成就，而且
有一个具有我国自己的独特风格的体系，和西方的欧几里得体系不同。这 一几何体系的全貌还有待于发掘清理，本文仅就出入相补原理这一局部方 面，就所知提出几点，主要根据是流传至今的以下各经典著作：
《周髀算经》(简称《周髀》)，
《九章算术》(简称《九章》)， 刘徽《九章算术注》(简称《刘注》)，
《海岛算经》(简称《海岛》)， 赵爽《日高图说》和《勾股圆方图说》(简称《日高说》和《勾股说》)。 田亩丈量和天文观测是我国几何学的主要起源，这和外国没有什么不
同，二者导出面积问题和勾股测量问题。稍后的计算容器容积、土建工程 又导出体积问题。
　　我国古代几何学的特色之一是，依据这些方面的经验成果，总结提高 成一个简单明白、看起来似乎极不足道的一般原理——出入相补原理，并 且把它应用到形形色色多种多样的不同问题上去。
以下将列举这些不同的应用。
简单应用和比例理论 所谓出入相补原理，用现代语言来说，就是指这样的明显事实：一个
平面图形从一处移置他处，面积不变。又若把图形分割成若干块，那么各 部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差 有简单的相等关系。立体的情形也是这样。
应用这一原理，容易得出三角形面积等于高底相乘积的一半这一通常
的公式，由此以定任意多角形的面积。作为另一简单实例，可以观察左图， 如果看作把△ACD 移置△ACB 处，又把Ⅰ、Ⅱ各移到Ⅰ′、Ⅱ′，那么依出 入相补原理有：
Ⅲ=Ⅲ′，□PC=□RC，??(指面积相等)

由此得


PO×OS=RO×OQ，PQ×QC=RB×BC，??

而 PO=AR，OS=QC，PQ=AB，RB=OQ，?? 因而 AR∶OQ=RO∶QC，AB∶OQ=BC∶QC，??
就是相似勾股形 ARO 和 OQC、ABC 和 OQC 的相应勾股成比例。并且可以导出 其他相应部分的比例关系。
　　以上这些极简单的结果虽然没有在《九章》中明白说出，但是曾经多 处用这些关系来解决各种具体问题，参看《刘注》。