泰勒


　　这些论战有助于澄清极限概念，并且逐渐地导致计算时可以忽略不计的 无穷小量的概念。它们也有助于推动应用牛顿流数法所能在数学上取得的进 步。英国数学家继续同莱布尼兹的争论，几乎以坚持这种方法引为自豪。早 些时候，布鲁克·泰勒（1685—1731）已在他的《增量法及其逆》（Methodus incrementorum directaet inversa）（1715 年）中，对纯粹流数理论及其 物理学应用两方面都作了重要贡献。这本书遵循牛顿对流数的成熟解释。


图 17──布鲁克·泰勒 它包括现今所称的“泰勒定理”，虽然所附的一个证明并不充分，但还把这 定理应用于物理学和方程论。泰勒对各种各样问题，诸如紧张弦的振动和光 线穿过地球大气的路径问题作了数学处理。他是差分演算的奠基者。

辛普森


　　托马斯·辛普森（1710—61）是一个自修成才的天才数学家。他在《流 数新论》（New Jreatise of Fluxions） （1737 年）中，设法不用无穷小 量而构造了一个流数理论。他以娴熟的技巧把流数应用到范围广泛的物理学 和天文学问题。

马克劳林





然而，在牛顿之后，十八世纪最伟大的流数著作家是苏格兰数学家科
林·马克劳林（1699—1746）。


图 18──马克劳林 他的巨著《流数论》（Treatise of Fluxions）（爱丁堡，1742 年）是第一 部并且在很长时间内也是唯一严格而又完整地概述了数学这一分支的著 作。拉格朗日认为它可以与阿基米德的杰作相媲美。马克劳林拒斥无穷和无 穷小量的概念，并企图从普遍的公理出发推演出这门学科的各条原理，以便 与古代人的严格性相匹。马克劳林在用流数对物理学与天文学问题作纯粹几 何处埋上显示了高超的技巧。这给他采用的那些综合方法带来新的生机。马 克劳林还使得圆锥曲线和高阶平面曲线的纯粹几何学取得了显著进步，成为 研究垂足曲线的先驱。
　　继马克劳林的工作之后，出现了严格性一度下降的倾向，其证据是倾向 于把牛顿的粗劣记法和莱布尼兹的粗劣概念相结合。于是，把大陆分析学家 的优美记法和在十八世纪英国发展起来的宝贵的极限概念结合起来，去除从 一开始就笼罩着流数理论的那种几何学和力学的比喻，这个任务就留给了从 罗伯特·伍德豪斯开始的十九世纪数学家。
（参见 F. Cajori：A History of the Conceptions of limits and
Fluxionsin Great Britain from Newton to Woodhouse. Chicago and
London， 1919。）

三、画法几何


　　十八世纪在纯粹数学方面的最大进展几乎全都集中在分析领域。然而， 在这个世纪末，几何学上出现了一个显著进展。这就是画法几何的创立，它 的特征问题是给出立体图形的平面表示和从这样得到的平面图精确地重新 绘制原始立体图形。
平面图和正视图的应用同建筑术一样古老。帕皮里表明，埃及人为了建
筑的需要绘制了这样的平面图，维特鲁维乌斯在他写于奥古斯都时代的《论 建筑》（on Architecture）一书中，论述了古罗马建筑师如何绘制这种平 面图。如此形成的这种技术直接产生于建筑实践的需要，并且它的进一步发 展也不是研究的产物，而是中世纪建筑师工场的产物。那个时期令人赞叹的 建筑业绩，只有解决了象拱形作图中产生的一些特殊画法几何问题才能作 出。当然，许多必要的作图方法都肯定是凭经验发现和加以应用的，而对它 们的正确性没有作任何数学的证明。例如，在很多十六和十七世纪的教科书 里，可以明显看到这一点。它们给出了重要的建筑作图法，但丝毫也没有试 图进行证明。画家自然也对在平面上正确表示立体图形的技术极感兴趣。因 此，无怪乎德国第一本关于这门学科的书是大画家阿尔布雷希特·丢勒写





的，虽然他之前已有一些前驱，包括意大利人弗朗切斯基，他大约在 1480
年就已经对这门学科作了系统的阐述。1525 年问世的丢勒的书的重要性与其 说在于说明了作图法，倒不如说在于它坚持认为，一幅画的透视基准应当由 数学规则给出，不要象当时惯常做法那样随手绘制，因为这必然带来严重误 差。所以，丢勒是这门透视科学的倡导者之一。但是，把许多世纪积累起来 的成果加以补充并把它们建立在严格论证的基础之上，从而把这门技术系统 化为数学的一个分支的工作，是法国数学家加斯帕尔·蒙日完成的。蒙日的 生涯清楚地反映了法国大革命时代的状况。

蒙日


　　加斯帕尔·蒙日（1746—1818）出身贫寒，生于法国勃艮第的博内。他 的父亲节衣缩食供养几个儿子受科学教育。蒙日在十六岁时就在里昂大学教 授物理学。


图 19──蒙日 由于为故乡绘制了详图，他获准进入在梅齐埃尔的军事工程学院。在那里， 他创造性地用几何方法取代过去在绘制防御工事详图时采用的繁琐算术方 法；大约在 1770 年，他由此得出了他的画法几何的一些基本原理。蒙日在 梅齐埃尔晋升为教授，后来到了巴黎。大革命时期他曾身居高位，被任为大 炮制造总监。然而，在“恐怖时期”，他遭受贬斥，遂亡命海外。在重返法 国后，又重执教鞭，直到与贝尔托莱一起参加拿破仑的埃及远征。蒙日作为 高等理工学校的教授，在帝国时代达到了其荣誉的顶峰。但在波旁王朝复辟 后，他失去了地位以及拿破仑授予他的种种荣誉。不久他就死去了。
由于和梅齐埃尔权威们意见不合，蒙日把他关于画法几何的发现搁置了
许多年。他关于这方面的论述，最先于 1795 年发表在《师范学校学报》
（Tournal des ?coles Nornales）上，第二次于 1798 年发表在他的《画法 几何》（Géométrie descriptive）里。（参见奥斯特瓦尔德的 Klassiker， No.117。）
按蒙日的意见，射影几何研究的问题有两个方面。一方面，必须把三维
图形归约为能在画图纸上表示的二维图形；另一方面，必须把如此描绘的立 体图形的形状和构形所引起的那些关系全部从这画推导出来。为了解决这个 问题，蒙日采用的射影法是从这样的假说出发的：空间中一点的位置可以用 数学加以定义，如果给定它在两个互相垂直平面上的射影的话。这里所谓一 个点在一平面上的射影，是指从该点向该平面画的垂线的垂足。蒙日的射影 方法非常明白，尤其因为他设想，垂直射影平面应绕其与水平射影平面的交 线旋转，直到它与后者叠合。这样，垂直射影就与水平射影并排位于同一张 纸上；这两个图形被这两个平面的原始交线分开；任一给定点的两个射影就





落在与这交线垂直的同一条直线上；任一平面由它与两个射影平面相交的两
条交线唯一地确定；并且，这两条交线与两个射影平面的交线相交在同一 点。蒙日研究的情形包括平面、曲面和一些较重要的立体以及它们的交的形 状与大小。蒙日的画法几何很快就在建筑、工程等等领域得到了大量技术应 用。在十九世纪，由于与彭色列和斯坦纳的综合几何建立了更紧密的联系， 画法几何取得了进一步的理论发展。
　　蒙日对数学的其他贡献主要在于曲面的微分几何。他是一个鼓舞人的教 师，对法国和其他地方的技术教育产生了深远的影响。
（参见 F. Cajori： A History of Mathematics，New York，1919；
D. E.Smith： History of Mathematics，Boston， 1923, 1925 和 A Source Bookin Mathematics， New York，1929；W. W. Rouse Ball, A Short Accountkof The History of Mathematics， London，1908。）





第三章 力学


　　十八世纪力学的系统化工作，起初主要是由伯努利家族、达朗贝和欧勒 进行的，而拉格朗日的工作则标志着这个过程暂时告一段落。

一、一般原理


　　早期的力学著作家大都满足于解决分散在应用数学各个分支中的大量 孤立问题。由于每一个问题都必须运用特殊手段以不同方式去解决，所以， 只有那些具有最高超数学才干的人才能有希望成功地解决力学问题。然而， 十八世纪里提出了一些能适用于一切种类问题的一般力学原理。这就是力守 恒原理、虚速度原理、达朗贝原理、最小作用原理以及欧勒和拉格朗日的动 力学方程。

力守恒原理


　　莱布尼兹关于宇宙中力守恒的思想，是从笛卡尔的一个主张出发的，莱 布尼兹反对笛卡尔的这个主张，认为它是错误的。笛卡尔选用物质质量与速 度的积作为对力的度量，他称之为动量；他断言宇宙中总动量必定保持恒 定。莱布尼兹在 1686 年投交《学术学报》（Acta Eruditorum）（Brevis demonstratio，等等）的一篇论文中反对这个观点。笛卡尔派与莱布尼兹派 的激烈论争持续了许多年，几乎每个欧洲国家的代表人物都卷了进去。最 后，达朗贝于 1743 年在他的《论动力学》（Traité de dynamique）里指 出，整个争端只不过是一场关于用语的无谓争论。他指出，对于量度一个力 来说，用它给予一个受它作用而通过一定距离的物体的活劲，或者用它给予 一个受它作用一定时间的物体的动量，同样都是合理的。为了驳斥他的对 手，莱布尼兹利用伽利略的落体定律把笛卡尔的另一条规则用一种新的形式 表达出来。笛卡尔假定，一个力可以用它所升起的重量与其升起的高度的积 来度量。莱布尼兹则表明，根据落体定律，一个物体升起的高度是与初速度 的平方成正比的，因此，作用在一个物体上的一个力的效应必定是与其重量 和所给予的速度的平方而不是简单速度的积成正比的。两方都是正确的，只 是莱布尼兹在取力的效应的量度时，错误地用乘积 m·v2
代替 1 mv2 。
2
势能与动能之间的关系以及自然界的力的等当性，尚属莱布尼兹知识范
围以外的观念，尽管他和同时代的很多人一样，也认为热是物质的终极微粒 的一种运动。他甚至还把从克分子运动向分子运动转变的过程形象地比喻为 把一枚金币换成零钱。





当然，十七世纪的力守恒学说早已在古代为伊壁鸠鲁及其追随者模糊地
提出过，伏尔泰也坚持认为，笛卡尔只不过是复活了一个古老的奇想。牛顿 没有把这种学说引入到动力学中。莱布尼兹所抱的蕴含着确定量力的封闭宇 宙的观念，是与牛顿的观点不相容的，牛顿把宇宙设想成一部不时需要神从 外部干预的机器。由碰撞定律可知，一个碰撞物体系中的动量不可能是恒常 的。与笛卡尔的主张相反，牛顿断言，整个宇宙的总动量不可能是恒常的， 但是，需要两条作用原理，第一是使物体运动起来，第二是保持这运动。约 翰·伯努利则表示反对说，假若牛顿弄明白了守恒原理的真正意义，他就不 会提出两条不同的原理。因为，同一原理既支配运动的传递，也使该运动守 恒，而运动其实不是与动量成正比，而是与活劲成正比，因而从这个意义上 说，宇宙中永远不可能有运动损失。正如我们所看到的，莱布尼兹赞同这样 的见解：宇宙中力的总量不会减少，因为没有物体损失力而又不把等量的力 传递给别的物体；并且它也同样也不会有所增加，因为没有一部机器能够不 从外部获得等效的推动而就产生力，所以，作为一个整体的世界也不可能这
样。
　　十八世纪的数理物理学家中间，约翰和丹尼尔·伯努利特别注意研究力 守恒原理。丹尼尔·伯努利 1750 年发表的著作是这一时期对于力守恒原理 的最重要发展（Mém. del’Acad.R.des Sc.’Berlin，1748 或 Ostwald’s Klassiker，No.191）。惠更斯和莱布尼兹考察了均匀引力场的作用所产生 的活劲。然而，丹尼尔·伯努利取消了这种对均匀场的限制。他研究了引力 中心处于运动之中的情形，例如，在一个按牛顿万有引力定律互相吸引的物 体的系统之中。伯努利首先考察了彼此自由靠近的两个物体的系统。他表 明，这系统所获得的活劲仅仅取决于这两个物体的最初和最终距离。他进而 把他的研究推广到三个物体，最后是任意多个物体的情形；他表明，无论各 别物体的路径怎样，这条规律总是适用的。他断言：“自然决不违背活劲守 恒这条伟大定律。”于是，伯努利把这条原理确立为普遍正确的，尽管还加 上种种限制，而这些限制仅在分子过程终于得到考虑时才被撤除。他驱散了 笼罩在这条原理之上的形而上学迷雾。为了避免任何含混，他宁可把这条原 理表述为“实际下降与潜在上升相等”原理，从而把他的观念直接与惠更斯 的观念联系起来。
　　约翰·伯努利在《学术学报》（1735 年）上写下如下的话来表达自己的 思想：“我们断言，每个活劲都有自己确定的量，并且凡是它的看似消失的 部分实际上都在由之产生的结果中重现。由此可见，活劲总是守恒的，所以， 在相互作用以前，存在于一个或多个物体中的活劲在这相互作用以后存在于 其中某个物体或者该系统之中。这就是我所谓的活劲守恒。”他认为，自然 界的这条普遍规律甚至在表面看来有差异的地方也成立。“因为，如果物体 不是完全弹性的，那么，活劲就有一部分似乎因没有完全复原所导致的压缩 而损失。但是，我们必须假定，这种压缩相当于一根弹簧上的情形：有一个
　　




制子阻止它展开，使它没有还出从一个碰撞物体得到的活劲，但把这活劲保
存下来，因而力并没有损失。”这在伯努利是一种思维的必然，因为他认为， 任何有效的原因——全部或者部分——都不会损失，如果没有产生与这损失 等价的结果的话，乃是一条公认的公理。丹尼尔·伯努利 1738 年在他的《流 体动力学》（Hy-drodynamica）中也表达了类似的想法。两人接近发现从克 分子运动向分子运动的转变以及机械能与热的等当性。这个时期和紧接其后 的时期尚缺乏确立这种等当性的精确数据。正如狄德罗正确地指出的那样
（Pensées sur l’interpretation de la nature，1754,§45,p. 61）， 直到物理学在实验方面取得了进一步进展之后，人们才认识到了自然力的相 关性。
　　因为活劲守恒原理如此被局限于力学，而且最初并没有被扩展到物理学 所有分支，所以，它曾几乎被人们完全忘掉了，甚至康德也未提到这条原理， 虽然他论述过估计活劲的方法。在十九世纪，由于确立了较为广泛的“能量 守恒”原理，物理学各个不同分支的联系才开始得到明确认识，力学才成为 这一切分支的基础。令人惊讶的是，康德在思考宇宙及其形成过程的时候， 丝毫没有提到力守恒原理，尽管在他的《自然科学的形而上学基本原理》
（Meta-physische Anfangsgründe der Natur wissenschaft）中，他却讲
到，物质的总量是不变的。把这条原理从早期它所适用的力学推广到所有其 他自然过程，大约是在十九世纪中叶，首先由迈尔、焦耳和赫尔姆霍茨实现 的，他们之和丹尼尔·伯努利的关系可以比做哥白尼之和萨莫斯的阿利斯塔 克的关系。

虚速度原理


　　早期的力学著作家在确立他们的命题时，常常隐含地利用现在称为“虚 速度原理”或（按照科里奥利斯）“虚功原理”的静力学定律。约翰·伯努 利在 1717 年致皮埃尔·瓦里尼翁的信中实际上已提出了它的现代形式（尽 管措词现已过时），该信于 1725 年发表于后者的《新的力学或静力学》
（Nouvelle Mécanique ou Statique）（Tom Ⅱ，p.174）。伯努利写道：
“在一切力的平衡中，不论它们的作用方式如何，不论它们沿什么方向相互 作用，也不论直接还是间接地作用，正能量的和将总是等于按正取的负能量 的和。”所谓“能”，伯努利指的是一个力与它推动作用点沿其作用线移过 的距离的积，即我们所说的这力所做的功。因此，当考虑在任意一组力作用 下保持平衡的一个质点或一个广延物体时，伯努利假定该系统有一个小的位 移（无论平移还是转动），从而取每个力与它的作用点沿其作用线的位移的 积。他称这位移为虚速度，称这个积为能量，计算时取正或负，视作用点移 动方向与力的方向相同还是相反而定。他还断言：对于这系统偏离平衡的假 想的微小位移，这些正能量与负能量的总和为零。







达朗贝原理


　　让-勒-龙·达朗贝的教名取自巴黎的圣让- 勒- 龙教堂，他是在教堂台 阶上被发现的弃婴；他从劳动阶级的养父母家得到达朗贝的姓。他的生身父 母似乎属于上流社会，他的父亲还供他上学。他在早年就在数学和哲学上显 示了杰出才能，当上了巴黎和柏林科学院的院士。但是，他谢绝了腓特烈大 帝和凯瑟琳二世女皇的诱人邀请，终老在法国。
达朗贝发表他的《论动力学》（Traité de la dynamique）（巴黎，
1743 年）时年仅二十六岁。（德文译注本，可参见 Ostwald： Klass- iker.No.106。）这本书是力学发展史上的一个里程碑，它包含了像对于物 体平衡的虚速度原理那样简单而又基本的一条对于物体运动的原理。达朗贝 原理的由来可以追溯到复摆问题。像伯努利父子指出的那样，这种摆显然只 不过是一根运动中的杠杆：作用于其上每个质点的力可以分为外力或外加力 和质点间内部反作用两类。达朗贝假定，就整个物体而言，内部反作用互相 抵消，因而对运动没有任何贡献，而事实上另一组力把运动传递给该系统， 使得有效力 静态地等当于外力或外加力 。作为他的原理的应用的一个范 例，达朗贝用一根一端固定、另一端加上各种载荷的梁，它构成一个同样可 看做为复摆或运动杠杆的系统。达朗贝似乎这样阐明他的原理：如果把运动 传递给每一个由质点或物体相连而构成的系统，而运动由于质点或物体相互 连接而有所改变，那么每个系统的合运动可按下述方法求得。把传递给各别 质点的运动分解为 a，α；b，β；c，γ??这样一对一对的其他运动，以 致只要运动 a，b，c??传递给这些物体，它们就运动起来而互不影响，而 只要运动α，β，γ??外加于该系统，该系统就将保持静止。因此，a，b， c??就将是把相互反作用考虑在内的各别物体的运动。
达朗贝在该书后面部分里对他的原理作了大量应用；并且在他的《论平
衡和流体运动》 （Traité de l’équilibreetdumouvementdesfluides）
（巴黎，1744 年）中成功地把流体运动同这条原理关联起来。他赞同当时流 行的一个见解，即力学原理是可以证明的；但是他所提出的那些所谓的证明 只不过是说，所讨论的命题之所以真实，是由于没有充分的根据坚持相反命 题。然而，从柏林学院约在那时提出的一个悬赏征答问题可以看出，对力学 原理的地位是存有疑问的，那个问题是：“［力学］定律是必然真的，抑或 仅仅经验地是真确的呢？”达朗贝原理显然把动力学问题与关于平衡的研究 以及由此得到的实用知识联系了起来；它决没有使经验成为多余的。它可以 作为简捷地解决问题的一个典范，但是，正如马赫所指出的，它不像对力学 过程的真正掌握那样提供很多对它们的洞见。

最小作用原理







十八世纪首先部分地加以阐明的一条重要的动力学普遍原理是所谓“最
小作用原理”，或更确切地说，“稳定作用原理”。 从十七世纪末开始，所谓等周问题便引起人们重视。这问题就是如何确
定某些特定量取极大或极小值的条件的问题。人们发明了一种适用于研究这 种问题（例子在别处给出）的技术，它最初用来求得某些包含极大与极小值 的静力学问题的可采纳的解。丹尼尔·伯努利渴望把这种方法的应用从静力 学推广到动力学（例如，在有心力作用下的运动问题）；他于 1741 年及翌 年写信给欧勒，要欧勒关注这个问题（Fuss： Correspondancemathématique
et physique de quelques célébres géométres du 18 éme siécle， vol.Ⅱ）。欧勒的回信现已无存；但他在 1743 年初显然已找到 了某种答案，伯努利为此在当年 4 月 23 日曾致函祝贺。欧勒的结果最初于
1744 年秋发表在他关于变分法的一本书（Methodus inveniendi lineas Curvas， etc.；见 Additamentum Ⅱ，Demotu projectorum）之中。他考 察了在无阻力媒质中，一个质点在有心力作用下运动的简单例子。他表明， 对于在两个给定端点间
的运动，使? vds取极小值的条件给出的微分方程，与动力学通常法则给出
的轨道微分方程相同。欧勒的方法乃是该原理的一种正确而又精确的形式对 最简单情形的应用。然而，与此同时，法国数学家和哲学家 P.L.莫雷奥·德·莫 泊丢（1698—1759）采取了一条类似的原理，作为他解释光折射定律的基础。

图 20──莫泊丢
莫泊丢是在 1744 年 4 月 15 日（这个日子在欧勒的发现与其发表之间）提交 给法兰西科学院的一篇论文（Accord dedifférentes loix de la Nature）中提出他的理论的，该论文刊载于当年的《论文汇编》（Recueil）。 莫泊丢在这篇论文中综述了关于斯涅耳折射定律的各种已有解释。他认为， 根据一条普遍原理来解释这条定律，也许最好不过了。这条 原理是：主宰 宇宙的上帝总是选择最简单的手段来达到其目的。古代的光学家就已认识 到，一条光线因直线行进而用最短可能时间到达其目标。人们还已认识到， 光反射定律也包含这条原理，因为从一给定点向另一给定点行进中途被一片 给定平面镜反射的一条光线，当入射角等于反射角时，走过的距离最短。十 七世纪时，法国数学家费尔玛表明，关于一条光线在两种不同媒质边界处的 “斯涅耳折射定律”直接得自这样的假设：光线在从第一种媒质中的一个给 定点向第二种媒质中的一个给定点行进时走最短时间的路径。但是，费尔玛 的推演中包含着一个推论：光线在疏媒质中比在密媒质中传播得快。这是与 莫泊丢所遵循的当时盛行的折射理论相矛盾的。因此，莫泊丢拒斥费尔玛的 解释。但是，他表明，一条光线从一种媒质中的 A 点向另一种媒质中的 B 点 的行进仍可认为是沿最小作用的路径，倘若这种作用通过把光线在每种媒质





中行过的距离乘以光在其中的速度来度量的话。


这就是说，莫泊丢认为，（AC·V1+CB·V2）是一极小值，他由此推出
Sin? = V2 一个常数。


而费尔玛则认为




并推出

Sin?


? AC
? ?
? V1

V1


CB?
? 是极小值，
V2 ?

Sin? = V1 一个常数，
Sin? V2
如此，两个光速之光与莫泊丢得到的互为倒数。两年以后，即 1746 年，莫 泊丢向柏林的皇家科学院（当时他是该院院长）提交了一篇论文，题为《运 动规律研究》（Recherche des Loix du Mouvement）。他在文中这样 阐明他的 Principe de la moindre quantitéd’action［最小作用量原 理］：“每当自然界中发生什么变化时，为此变化所使用的作用量总是最小 可能的”，同时一个物体运动中所包含的作用与质量、速度和行过的距离均 成正比。这样，这条原理被推　广而成为一条普遍的自然规律。莫泊丢宣称， 力学的一切其他法则均可由之推出。但是，在证明中（或者确切地说在插图 中）提出的进一步讨论只不过是从该原理推演出关于弹性体的与非弹性体的 碰撞的一些已知定律。实际上，在莫泊丢那里，欧勒的原理所得到的普遍性 是以损失严格性为代价的。不久，达尔西爵士便指出，莫泊丢在对他的原理 的一些应用中使之最小化的“作用”在每种场合量上并不相等，而且可以举 出一些自然过程，其中包含的作用是极大值（Mém.de l ’Acad.，Paris，1749
和 1752）。对莫泊丢的另一攻击来自塞缪尔·柯尼希，起因于他为莱布尼兹 争夺发现这条原理的优先权。这导致了一场激烈论争，伏尔泰也被卷入。拉 格朗日在早期的变分法研究中，已大大推广最小作用原理的力学应用，并使 它解脱了同目的论的联系（Misc.Taur.，Ⅱ，1760—1）。按照十八世纪末 的定义，一个质量为 m 的质点从一给定点沿其路径向另一给定点的运动中所 包含的作用是它的动





量的空间积分? mvds，这个空间积分等当于活劲的时间积分即? mv 2 dt。更
更一般地，一个动力学系统在从一给定位形变为另一给定位形中的作用被定
义为它的各质点的作用的和? ? mvds或? mv2 dt。“稳定作用原理”是说, 一个保守系通过任意两个给定位形的自由运动；乃由它从第一位形过渡到第 二位形的过程中，作用相对于假设的微小变化的一个稳定值来表征。像拉格 朗日所认为的那样，这条原理仍为含混不清所累，因而他很少运用它。但是， 及至十九世纪，在哈密尔顿和雅各比那里，它得到了澄清，并有了重大发展。 作用在二十世纪物理学中终于起到了带根本性的重要作用。它是一种绝对的 量，独立于任何特定观察者对时空连续区进行分析的方式。作用的原子性的 发现则成为“量子论”的基础。
　　（参见 A.Mayer ： Geschichtedes PrincipsderKleinstenAction ， Leipzig，1877 ）

欧勒方程


　　欧勒在动力学中引入了关于刚体绕一定点或其质心运动的一些重要的 一般方程，它们至今仍以他命名（Mém.del’Acad.R.des.Sc.，Berlin，1758， XIV，p.165）。欧勒方程导致发现并部分地解释因地球自转轴绕其图形轴运 动而造成的纬度变化（上引著作，pp.194ff.）。欧勒还建立了流体运动的 基本方程（上引著作，Vol.Ⅺ）。

拉格朗日方程


　　一直等到拉格朗日才来把理论力学形成一个系统，并通过把虚速度原理 和达朗贝原理相结合，导出描述任何物体系运动的力学基本方程。这些重要 结果是拉格朗日在他的杰作《分析力学》（Mécanique analy tique）（巴 黎，1788 年）中提出来的。该书为现代力学奠定了基础，它在力学史上的地 位仅次于牛顿的《原理》。这两部著作有一个根本的不同之点，即牛顿借助 于图形，纯粹几何地即综合地导出他的结果，而拉格朗日则不用图形，完全 以分析方式来处理问题。他效法欧勒进行这种分析的处理，并努力求出最概 括的公式，使尽可能多的特例都能用同一种方法加以解决。正是在这个意义 上，马赫把拉格朗日的工作誉为对思维经济的最伟大贡献之一。
在静力学方面，拉格朗日从虚位移原理推导出了任一给定力系平衡的一
般公式。设力 P1，P2，P3??作用于一个相连的质点系，沿各力方向的相应
虚位移为 p1，p2，p3??那么，如果 P1p1+P2p2+P3p3+??=0，或更简短地，
ΣPp=0，则该体系处于平衡。这是静力学的基本方程。若质点以直角坐标轴 为参照，且每个力和位移部分解为与这些轴平行的分量，那么，这方程变成：





? (Xdx ? Ydy ? Zdz) ? 0
式中 X，Y 和 Z 是作用在一个典型质点上的力的三个分量，dx，dy，和
dz 是这质点的虚位移的三个分量。 结合达朗贝原理，从虚位移原理推导相应的动力学公式，是按如下方式
进行的。考虑一个质点系，它们的质量为 m1，m2，m3??它们的坐标为 x1，
y1，z1；x2，y2，z2，等等。设作用在各质点的力的分量为 X1，Y1，Z1；X2，
Y2，Z2，等等。用每个质点的质量——加速度量度的有效力为
2 1 2 2

m1· d x

, m d y1 , m d z1

dt 2 1

dt 2 1

dt 2

　　其他质点亦复如此。根据达朗贝原理，这些有效力静态地等当于 外加 力，所以，按照虚位移原理，我们有
　　
? d 2 x
m?
? dt 2
或


?x ?

d 2 y dt 2


?y ?

d2 z dt 2


?z? ? ? (X?x ? Y?y ? Z?z),
?

?? d 2 x ? ?

d2 y?

? ?? X ? m

2 ??x ? ? Y ? m 2 ?

?? dt ? ?
?

dt ?

d 2 y ? ?

? Z ? m

? ?z? ? 0

? dt 2 ? ?


拉格朗日接着推导出更一般的动力学方程，它们把一个系的动能和势能
同定义该系位形的“广义坐标”及其导数联系了起来。 分析力学的各个基本公式并没有给我们提供关于机械过程本性的任何
新信息；它们只是在人们已熟知的一些原理之上建立的。不过，它们提供了
用标准方法分析地处理各种特殊情形的手段。不然的话，这些特殊情形就不 得不逐个予以考查。拉格朗日在这领域的工作的完善有待于微积分的进一步 发展。十九世纪，由于高斯、泊松、哈密尔顿和赫尔姆霍茨等人的努力，这 工作才得以完成。
关于拉格朗日在数理天文学方面的贡献，放在第八章里讨论。

二、特殊问题 丹·伯努利

　　丹尼尔·伯努利热衷于利用新的分析法解决一些困难的力学问题，这些 问题用惠更斯以及牛顿在其《原理》中所采取的几何方法是无望成功地加以 解决的。因此，应当把他看做是称为数理物理学的那个科学分支的主要奠基
　　




人之一。他把活劲守恒原理明确地引入力学（惠更斯在研究复摆时已隐约知
道这条原理）。伯努利在他对流体运动的研究中始终应用这条原理，这些研 究发表于他的《流体动力学》 （Hydrodynami-ca）（斯特拉斯堡，1738 年）。 虽然他因此而认识到这条原理具有十分重要的意义，但真正确立它们普遍有 效性，把整个自然科学建立在它上面，则是十九世纪的事。


　　　　　　　　　图 22──丹屁尔·伯努利 伯努利在他的流体力学论著中研究了支配容器中液体流动以及由之引
起的反作用和碰撞的定量定律。他还研究了管中流体的流动和振荡问题、涡 旋问题以及水力学原理等等。不过，最令人感兴趣的是第十章，那里试图对 气体的实验定律作力学的解释。伯努利设想气体乃由向四面八方高速运动的 微粒组成，因它们反复碰撞而对容器产生压力。伯努利设想有一大群这种微 粒被束缚在配有活动的加重活塞的汽缸中，计算出随着压降活塞以使体积按 一定比例减小而必然造成的压强增加。这样，伯努利便推出了玻义耳定律。 他把温度升高造成的气体压强增加归因于微粒速度增加，而压强与这速度的 平方成正比。这样，丹尼尔·伯努利成为气体分子运动论的奠基者。这个理 论在十九世纪由焦耳、克伦尼希、克劳胥斯以及他们的后继者发展得较为完
善。

罗宾斯


　　与落体和抛射体运动有关的力学问题也属于十八世纪里研究的力学问 题。伽利略以他关于这类运动的理论在力学领域中开辟了一个新纪元。但他 不得已地撇下一个基本因素即空气的阻力而未加考虑，尽管他充分认识到它 的重要性。牛顿第一个提出一条描述液体和气体对运动物体的阻力的定律。 他假设，一种给定媒质对一给定物体的阻力与物体速度的平方成正比。根据 牛顿的提议做的一些实验对于平均速度证实了这一假设。第一个试图研究在 空气阻力的影响下一个抛射体划出的路径的人是约翰·伯努利。但是，他发 现，他所掌握的数学分析还不足以胜任这一任务，只有实验和计算的结合才 有希望给予这个弹道学基本问题一个近似解。本杰明·罗宾斯在这方面获得 了最为成功的进展。他的《新射击原理》（New Principles of Gunnery）
（伦敦，1742 年）由欧勒编辑出版了德文本，题为《新炮学原理》（Neue Grunds?tze der Artillerie）（柏林，1745 年）。罗宾斯表明，牛顿定律 只适用于低速度；对于较高速度，阻力的增加远比牛顿定律所考虑到的为 快。为了能确定一个射弹在其轨道上任一给定点的速度，罗宾斯制造了他的 “冲击摆”。一个相当大重量的物体被悬吊起来，以使它能来回摆动。如果 将一个球射向这摆，那么，按照碰撞定律，根据球和摆的重量以及摆的摆度， 就可推算出球的碰撞速度。因为，如设球和摆（看成一个单摆）的重量分别





为 m 和 M，在碰撞后以共同速度 V 开始运动，那么，球在碰撞时刻的速度 v
就可由下列方程得到：
mv = （M + m）·V，它给出v ? M ? m ·V。
m
自从伯努利和罗宾斯时代，特别是自从航空学兴起以来，人们从理论上
和实验上广泛研究了气体和液体对运动物体的阻力效应。但是，由于所涉及 的因素十分复杂，这个问题至今尚未最后解决。

欧勒


　　伽利略以及后来的惠更斯和莱布尼兹都曾试图研究悬链线，即一根两端 固定的均匀链由于自重而弛垂所呈的曲线，但均未成功。雅各布·伯努利大 概最早正确地定义这种曲线的形状（并附有一个证明）（载 Acta Erudit.，
1691 和 1694，参见 Ostwald：Klas-siker，No.175）。欧勒在这个问题上应 用了变分法。他从没有弹性起作用的简单悬链线问题开始，继而研究一根弹 性带在给定力作用下所呈现的曲线。


图 23──一根弹性钢带受迫而形成的曲线 人们早就熟知这样形成的图形。图 23 所示的属于最为人们熟悉的图形。这 是一根鲸骨带或钢带在 B 点固定、两端 A、C 承受沿方向 AD、CD 的力作用时 所呈的图形。这类弹性曲线问题也用到极大和极小理论，并又导致有关弹性 带振动的问题。丹尼尔·伯努利是第一个深入研究了这种类型问题的人。如 果这种振动足够地快，那就会产生一个律音，而其本性可以通过实验进行研 究。这样，数学分析的结果就可用物理学方法加以证实，由此可获得对于弹 性体本性的更深刻的认识。在这个研究领域中，欧勒也起了重要作用。他区 分开所研究的问题的种种特殊情形，例如区分开一条弹性带一端固定时的行 为和两端都固定时的行为。这样，他就能把那些主要靠张力来维持其弹性的 物体（如弹性弦）的振动与那些天然就具有弹性的物体的振动区分开来。克 拉尼专门研究了这类振动产生的律音，发现这些律音与欧勒的理论结果十分 吻合。
　　在欧勒最早的应用数学研究中，有一项涉及牛顿的潮汐理论。鉴于这个 问题的重要性，十八世纪初科学院在法国港口进行了大量潮汐观测。结果发 现，牛顿的理论仅能部分地解释这些观测。因此，1740 年科学院悬赏征求对 这个问题的研究。获奖论文中包括欧勒和丹尼尔·伯努利两人提交的应征 文。由于他们是在牛顿奠定的基础上进行工作的，所以，他们借助高等分析 的工具，能够考虑到共同决定潮汐的多种环境因素。因此，举例说来，他们 能粗略地计算出高潮落后于月球中天时刻的时间。
欧勒对光学研究的贡献将在第七章中讨论。





1750 年，西格纳说明了他发明的水轮。这件事导致欧勒去研究应用力学
中的一个重要问题。这促使他撰写了有关运动水反作用所驱动的机器的理论 的论著（Mém.de l’Acad. Roy. des Sciences，Berlin，1754， pp.
227ff.，或 Ostwald：Klassiker，No. 182）。西格纳和欧勒的两部著作已 证明对于涡轮机的制造有着根本性的重要意义。即使在今天，欧勒的论著也 没有完全过时。欧勒在这部著作中解决了计算一台水力机对应于一给定水位 降落和耗水量的工作性能的问题。他又进一步以一系列实例表明了，如何计 算涡轮机在给定条件下的最高可能工作性能。

克勒洛和达朗贝


　　克勒洛和达朗贝对数理物理学作出了一些宝贵贡献。因为，他们发明了 解这个领域中和他们对一些特殊问题的研究中反复出现的一些重要类型微 分方程的方法。拉格朗日则作出了具有更深远意义的类似贡献。特别是，他 推进了对偏微分方程的处理以及引入了一个物体具有对邻近物体施加引力 或斥力的位势的概念。后来格林首先称这个概念为位势。这个概念由拉普拉 斯加以发展（Mém. de l’Acad.Roy. des Sciences， Paris，1787， p.252），他证明，在自由空间中，位势（V）满足微分方程
　　
? V ?

? V ?

? V ? 0

?x2

?y 2

?z2

　　拉普拉斯还以其毛细作用理论和修正牛顿的声速公式而名垂数理物理 学史。
傅里叶和泊松把更高发展水平的数学分析应用于物理学问题，但这属于
十九世纪。

三、摆的实验


　　数学理论领域中的进展和实验技术进步之间的相互联系在摆的研究中 得到很好说明，这些研究主要是法国物理学家在十八世纪里进行的。这些研 究主要旨在测定为了打秒拍，单摆的摆长必须是多少，以及这种摆长如何随 观测地点纬度而变，但是，这些研究也用于测量落体加速度（g），而且对 于测定地球形状的问题也具有重要意义。摆的运动的基本定律是在十七世纪 确立的。伽利略已经认识到，任何一个给定摆的振动周期都几乎与摆动弧的 幅度无关，而与悬线长度的平方根成正比。他试图把摆的这种等时性应用于 时钟的调节。惠更斯在这方面获得了成功。惠更斯还得出了单摆和在重力作 用下绕固定轴振动的广延物体的振动周期公式。利用惠更斯的公式，现在就 可通过测量任何单摆的长度和周期来求得重力加速度。
十八世纪里，在单摆的制造和悬吊方法方面，在对温度效应和摆的运动





受周围空气的影响的估计方面，以及精确地把摆的振动速率与可靠钟表指示
作比较的方面，都获得了相当大的进步。在早期摆的实验中，全都把悬线上 端夹在一个牢牢固定的夹钳上。但是，这样的布置使摆绕之转动的点的确切 位置不确定，而且摆的有效长度的估计也有了不确定性。因此，从十八世纪 中期开始，便有人应用了刀口悬吊法（如布格埃，参见 Mém. de l ’Acad. des Sciences， 1735，p.526）。这样，运动中心就可取为位于刀口所在的平面， 而摆的全部重量都由刀口承载。然而，这种悬吊方式也自有其问题，因为， 正如拉普拉斯和贝塞尔后来所认识到的那样，刀口实际上是圆筒。皮卡尔
1669 年注意到摆钟速率因温度变化而被扰乱。哈里森发明的铁栅摆（1725 年，见 Phil. Trans. ， 1752 ， p.517 ）和格雷厄姆发明的水银摆
（Phil.Trans.， 1726，p.40），都是为了自动补偿这种不规则性。另一 方面，拉孔达明让一根标准长度的金属棒象摆一样地振动，观察其周期如何 随已知温度变化而变化，试图由此来测定金属的热膨胀（Mesure des trois premiers degrés，etc.，Paris，1751，p.75）。十八世纪里，也 有人试图估计摆的振动受周围媒质的影响，媒质以惯性阻止摆通过它，而其 浮力减小摆锤的有效重力。十八世纪的研究者没有能力为前一因素找到适当 的处理办法，因为这种流体动力学问题造成种种困难。然而，牛顿已通过实 验研究了 各种媒质对摆的振动幅度的这种阻力的效应（Principia， BK. Ⅱ，Sect.6）， 但忽视了对周期的效应。他的后继者们直到贝塞尔一直也 都是这样。牛顿在《原理》第二版（1713 年）中还就空气密度修正了皮卡尔 在巴黎对秒摆长度的估计，并在第三版中（1726 年，BK.Ⅲ，Prop.20）对此 作了解释。但是，这一点后来被人们忽视了，直到布格埃才在他在南美进行 的摆实验中就空气浮力修正了他的结果。布格埃测定空气比重的方法是看一 具气压计必须从观测地点升高多少才使水银柱下降一线①（Figure de la Terre，Paris，1749，p.340）。布格埃还把所有摆观测都下放到海平面上， 由此就重力随高度的变化作了修正（上引著作，p.357），尽管他为了凑数 据而不得不把观测地附近海平面之上物质的引力也考虑进来。当摆的振动幅 度大出很少几度时，对摆等时性的近似定律的偏离就变得显著。所以，早期 研究者，例如皮卡尔为了精确起见就限制被试验摆的振幅。但是，这也带来 一个缺点，即摆的运动很快就停止。然而，丹尼尔·伯努利于 1747 年表明 了，如何把观测到的振动周期变换成同无限小振幅相应的周期（Piéces de prix de l ’ Acad.en 1747，pp.Ⅰ ff.）。如取一级近似，则以振幅α（按
弧度制）振
动的一个摆的周期同它划出无限小的弧时的周期成由?1 ? 1 sin 2 ? ? 量度的
? ?
? 4 2 ?





① 线（line），长度单位，等于十二分之一英寸。——译者






比例，而如果α很小，则该比例可以取为?1 ?

1 ·? 2 ? 。

? 16 ?
　　十七世纪里，默森（1644 年）、利乔里（1651 年）和皮卡尔（1669 年） 等人测量了敲打秒拍的一个单摆的长度。皮卡尔的方法是调节悬线长度，直 到摆与一个打秒拍的时钟同步，然后用一把尺测量这个长度（Mesure de
la Terre，Paris ，1671，p.139）。然而，1735 年德·梅朗预言了后来 的“符合法”，尽管还很粗糙（ExpériencesSur la lonueur du pendule
á Secondes á Paris，Mém.del’Acad.，1735，pp.166ff）。他的方法是 观察被试摆和紧位于其后的一个钟的摆同时到达垂线同一侧的摆动弧端点 的时刻。这两次会合的间隔时间相当于整数次摆振动和整数多个秒，这样用 除法便很容易求得摆的周期。1743 到 1749 年间，布莱德雷在格林威治应用 了这种方法的“耳目并用”形式：把用眼对摆的观察同用耳听时钟的嘀嗒声 相比较（Bradley 的 Miscellaneous Works， Rigaud 编，1832，p.384）。 十八世纪末，R.G.波斯科维奇在关于这个问题的一篇论文中提出了改进摆实 验技术精细程度的意见（Opera Perti- nentia ad Opticam et Astronomiam， Bassani，1785，Tome V，pp.179—269）。他建议记时钟和被试摆都通过各 自垂直位置时的符合，这时观察者通过一块屏上的一个孔集中注意看摆动弧 的中部。这实际上就是现代的“符合法”。它比德·梅朗的方法更精确，因 为两个摆是在它们与观察者眼睛处于同一直线上时，而且当它们以最大速度 运动时被观察的。波斯科维奇还确认了伯努利变换到无限小弧的方法，并表 明如何把这些修正应用于一种具有实际重要意义的情形，在这种情形里，像 布格埃所认为的，逐次振幅按几何级数递减。波斯科维奇似乎并没有把这些 方法应用于自己的摆实验。但是，数年以后，J.C. 博尔达和 J.D. 卡西尼·德 蒂里在他们旨在在巴黎测定秒摆长度的一些精心研究中就基本上采用了波 斯科维奇提出的这种方法。
博尔达和卡西尼的实验是 1792 年春夏期间在巴黎天文台进行的。他们
的方法主要是把一个已知长度的摆的振动速率与一个其摆打秒拍的时钟的 速率相比较，该时钟的误差由观测恒星中天得知。这时钟固定在一堵坚牢的 扶壁（为支持墙象限仪而建）上，摆 挂在一块突出石头上，在钟前面悬下（图
24）。摆是一个直径约 1.5 英寸的铂球，由一根约 12 英尺长的细铁丝悬吊，
这样，它将以约 2 秒的半周期振动。铁丝的下端用螺钉固定着一个倒置的铜 杯（图 25），摆锤恰好可以容纳在里面，摆锤涂了一点润滑油。这样，一次 实验之后，摆锤就可以很容易地翻转过来，这可以反复进行，以消除摆锤形 状或密度的任何不规则所产生的效应。摆悬置在刀口上，刀口则置于一个水 平钢表面之上；这钢表面固定在一块铜板 IKL 上，铜板则用螺钉固定在那个 突出石块上。摆通过狭缝 ST 悬下。悬线上端附着在杆上，这杆由其向上延 长部平衡。





图 24──博尔达和卡西尼的摆(1) 图 25──博尔达和卡西尼的摆(2)
　　这延长部带有一个活动的重物，通过对这重物的调节，可使这悬置系的 固有振动周期与摆的周期相等，这样，摆的运动就不受这悬置系惯性的影 响。摆和时钟都完全封闭在一个箱子里，因而避开了气流，观察者通过一块 窗玻璃用望远镜观看它们的运动。摆的长度这样调节使得在时钟摆动两次的 同时，摆的摆动还远远不到一次。观察者的任务是，记下两个摆都从右向左 运动时，它们同时通过垂直位置的时刻。为了便于进行这种观测，在时钟摆 锤上设置了一个在黑色背景上的白色十字符，并适当放置望远镜，使得当两 个摆都处于静止时，一个摆的悬线在观察者看来乃通过另一个摆上的十字符 的中心。此外，每个摆的摆动弧的左半部分被一个屏遮住，使观察者看不见。 当让两个摆开始摆动后，观察者记下在两个摆刚刚都消失在屏后面时摆线平 分十字符的时刻。观察者还要记下被试摆在每次这样重合时的振幅，这样， 就可用得上伯努利的修正法。将各次观察到的重合之间的时间间隔除以经修 正的这期间发生的振动次数，博尔达和卡西尼就计算出了被试摆的振动周 期；这样，再考虑到这个悬置系的长度；就推算出在巴黎一个打秒拍的摆的 长度。“符合法”的好处在于这样的事实：逐次符合的时间间隔的估计误差 仅仅相当于这些间隔的一小部分，而相应的振动周期误差则是这周期的远小 得多的一部分。用来测量摆长的是一个铂标尺，其上端有一个置于钢板上的 钢横档，这样，标尺上端便与刀口齐平，而其下端是一个可以在一条槽道中 上下自由滑动的刻度舌片 EF，及一个游标 X ，它指舌片端部在标尺零刻度 以下延伸多远。（戈丹早已使用过这种可伸长的标尺。）这铂标尺的一面覆 盖一根铜标尺，用螺钉固定在标尺一端。这组合用作一种金属温度计。因为， 由一个专用游标量出两个标尺的热膨胀差，这使得铂标尺的相应绝对膨胀得 以计算出来，并可用作对藉这标尺作的测量的修正。在进行这些测量时，先 把标尺上端的位置调整好；然后，用一个螺钉使位于摆锤之下的水平板升 高，直到刚好接触摆锤的下表面，再使舌片 EF 降低到与 IH 接触。于是，标 尺全长（对于其自重引起的伸长，已加以修正）加上舌片在游标 X 零刻度以 下的伸长部分便示出了摆的总长度，测
　　
量结果精确度达到

1
116

线以内。为了测定等效单摆的长度，博尔达和卡西

尼又作了许多修正。他们根据零件的重量和大小计算出了摆的摆动中心的位 置，从而也计算出了摆的有效长度。根据实验期间温度和大气压，他们计算 出了空气的密度，并因而也算出了空气浮力在抵消铂球重力方面所会产生的 效应。最后，还必须把铂标尺上的任意分度表达为某种公认标准的标度。他 们选用了科学院官方的 toise ①。博尔达和卡西尼经过二十组观测得出的最 后结果是，在巴黎打秒拍的摆的长度为 440.5593 线。



①





十九世纪，势在必然地以可倒复摆取代单摆在科学研究中的应用。G.里
什德普洛尼 1800 年提出的一些建议中已包含这种思想的萌芽。然而，这被 忽视了，直到 1817 年才有凯特船长独立地发现这一原理，并付诸实践。
　　十七世纪末便有人发现，在赤道附近秒摆的长度要比在高纬度地区短， 相应地重力也比较弱。这观测提出了关于地球形状的问题，导致牛顿和惠更 斯试图估算通过地球极轴取的地球任何截面的椭圆率，地球被认为关于其极 轴是对称的。十八世纪期间，积累起了世界各地秒摆长度的大量估计值；这 些数据大都基于用固定长度的块体摆作的测量，这种摆可以接连在不同地点 设置，并能连续摆动数小时。自从德布勒蒙首先发表了这种估计数值表（载 他译的法文版 1734 年《哲学学报》，巴黎，1740 年，p.126）以后，便不时 有这种表发表。人们试图推导出一个理论公式，它应把秒摆长度和观测地纬 度联系起来，并应同已有数据相符。牛顿已经得出过一条简单法则，它把纬
度φ处的长度 1φ，与赤道上的长度 lo 联系了起来，其关系为




1? ? 1o

(1 ? m sin2 ?)，其中m ?

1
229

　　（Principia，Ⅲ， Prop. 20）。克勒洛从关于地球内部构成的比牛 顿更为概括的假设出发，得出了同牛顿的公式形式一样的关系式，但赋于 m
　　
以值 5f
2 g 0

? ?，其中

f＝赤道上因地球自转而产生的离心加速度；
go＝赤道上的重力加速度；
∈＝地球的一个子午截面的椭圆率。 人们作了许多尝试，想通过比较世界各地作的摆观测的结果，推导出 m 以及 从而也推出椭圆率∈。但从这种比较中推出的椭圆率的值彼此还不能很好地 吻合，也不能同通过测量子午弧得到的几何椭圆率相吻合。（参见 Collection
de Mémoires relatifs ála Physique ，Publiés parla SociétéFrancaise
de physique， Paris， 1889，Tome Ⅳ，其中转载 Basedu Systém Métrique， Paris， 1810 ，TomeⅢ，pp.582ff.博尔达和卡西尼的论文， 还载有关于摆的理论和应用的参考书目和论文目录，以 C·Wolf 撰的一篇历 史性述评。）

四、实验流体动力学


　　继十七世纪托里拆利、马里奥特和牛顿等人的开拓性工作之后，十八世 纪从理论和实验两方面对流体动力学问题予以相当的注意。所研究的主要是 关于固体在流体中通过时所受到的阻力的问题，以及液体在压力作用下从容 器注孔中喷出而成的射流的问题。在这个时期中，人们试图建立一个关于流
　　




体阻力的数学理论（甚至假定流体是不可压缩的），但始终遇到了种种分析
上的巨大困难，所得的结果与相应的实验数据相比，总的来说是令人失望 的。十八世纪初期流行的那些流体阻力理论普遍建立在这样的流体观基础之 上：流体乃由孤立粒子构成，这些粒子仅仅藉碰撞相对它们作运动的一个物 体的表面而阻止其运动。这假说认为，一个平面表面沿与其自己平面垂直的 方向通过流体运动时，所受到的阻力同表面的大小以及其速度平方成正比。 而如果是一个三棱柱的斜面像船头一样通过流体运动，其底面与运动方向垂 直，则这些斜面所受到的阻力同斜面对运动方向的倾角的正弦平方成正比。 人们还曾追随牛顿进一步假设，一个物体所受到的阻力仅取决于该物体的处 于其最大截面（与运动方向垂直地取的）之前的那一部分的形状，因此，物 体后面部分的形状根本不影响阻力的值。
　　达朗贝在其《论一种新的流体阻力理论》（Essai d’une nouvelle Théorie de la Résistance des Fluides）（巴黎，1752 年）中批评了 这种过分简单的理论，特别是因为这种理论忽略了媒质粒子在碰撞了物体之 后本身会怎么样的问题。他认为，碰撞后每层粒子起着十分重要的作用，因 为这样的粒子层在物体表面滑动，对物体施以压力和摩擦力，干扰继起粒子 层的碰撞作用。他还试图描绘出当达致稳定运动状态时媒质粒子沿之运动的 “流线” （filets）。达朗贝试图把流体力学建立在一些坚实的基本原理 之上，这些原理与他认为固体力学业已确立的那些原理相联系。但是，他在 试图用他的理论导出能为实验证实的推论时，遇到了重大的分析上的困难。 达朗贝认为，他在写《论一种新的流体阻力理论》时所能得到的关于流体行 为实验证据太粗略，不宜作为流体动力学理论的重要根据。但是大约二十年 后，达朗贝本人也参与的一些研究在这一学科的实验处理上开辟了一个新纪 元。他的共事者是孔多塞侯爵和修道院长博絮。1755 年，博絮发表了一篇根 据自己观测讨论水在管道和隧道中的运动的流体动力学论文。同年，达朗 贝、孔多塞和博絮受命于杜尔哥进行旨在改进航海的研究。他们对液体对通 过其中的物体的阻力的定律进行了实验研究。他们的实验是 1775 年 7 月和 9 月间在军事学校（ECole Militaire）院内一个湖上进行的。博絮充当 rapporteur〔报告人〕，这次研究的过程和结果明白地记载在他的《关于流 体阻力的新经验》 （NouvellesExpériences Sur la Résistance des Fluides）（巴黎，1777 年）之中。
　　这三位百科全书派采取的方法是测量由已知力牵引通过水的船所获得 的速度。每次都由一个下落的重物提供动力。重物被系在一根绳索的一端， 这绳索绕过位于一根约 75 英尺高的桅杆的顶端的一个滑轮和桅杆下端的另 一个滑轮，然后把它的自由端系在船头，这样，当重物下落时，小船便被牵 引沿水平方向前进（图 26）。绳索由于自重而稍有下垂的效应忽略不计。湖 的轮廓大致呈矩形，约 100 英尺长，50 英尺宽，深度不等，最深处达 6 英尺 左右。湖的两条长边部分地划成区段，每段 5 英尺长由直立标杆标示，相应
　　




于 0，5，10??45，50 英尺。连接两对岸相应分度的连线与小船的运动方
向垂直，标示 50 英尺的分度接近湖的尽头，船在该处停靠于木排。每条船 都从零刻度线后的某处出发，以使在它进入 50 英尺的被测路程时达到一个 均匀的终速度。然后，观察者对船在这路程中的运动计时，记下通过连接各 对标杆的每条连线（0—0，5—5，等等）的时刻，其时一个戴表的计时人出 声地数出半秒的时刻。在这些关于船运动的实验中，所通过的水域相对船来 说实际上可以认为是无界的。除了这样的实验而外，还有另一些实验，其中 同样的船被推进通过一条沟渠，沟渠的宽度和深度可以在一定限度内
图 26─用船做的流体动力学实验 任意改变。构成这种沟渠的方法是，沿湖在水下建造一个平台，两边由平行 的两道木栏围住，它们形成沟渠的两边，它们的间距可以任意调节。沟渠深 度可通过在湖中引入或多或少的水加以改变。这类实验大都在沟渠两端开放 的条件下做的，不过也有少数是在两端封闭的条件下进行的。在这些实验 中，应用了二十种不同的船，船头和船尾形状各异，有的方形，有的呈不同 锐度的尖顶。船幅和吃水深度也各不相同；吃水大都在一英尺左右。为了使 船在开阔水中直线行进，还为船装备了舵。但在沟渠实验中，必须使用一根 从船头和船尾上两对滑轮间通过的导向索，并要对滑轮的摩擦给予修正。在 每一组给定条件下，观察都重复多次，取船历次驶过 50 英尺所需时间的平 均值；为此目的所得到的各组结果的差异罕有达到一秒的。
在《新经验》中提出的各个理论结论乃基于在适当变化的条件下对船的
平均速度进行的数百次测定。总的来说，阻力随速度平方而变化的定律得到 了充分支持，尽管发现阻力的增大速率比理论的要求稍高一些。但是，这一 点基本上可从下述认识中得到解释：船头前形成的上涨（remou）即水面升 高以及在船尾形成的凹陷必定要引起有效阻力增加。为了对这种效应进行修 正，当船达到稳定速度后，立即测量船头中央和两侧的上涨高度，并与实验 的其他结果一起记录下来。对速度相等但表面不等的物体所受阻力进行比较 时，要区别两种情况。(1)当浸没水中的表面深度相等而宽度不等时，发现 阻力的增加速率稍稍大于表面的增加速率。(2)当表面宽度相等而深度不等 时，阻力的增加速率略小于表面的增加速率。把上涨效应考虑进来后，各种 情形里的差异便得到了解释。接着又比较了用方头船得到的结果、用船幅和 吃水深度相等、速度明显相等、但船头两侧交角不同因而以不同倾斜度击水 的各种船得到的结果。结果发现，随着船头变得越来越尖，“正弦平方”定 律越来越站不住脚。产生动力的重量比理论所要求的要重，并且船头越尖， 就重得越多。博尔达的一些关于斜向阻力的实验也得出过类似结果（Mém. de l’Acad.， Paris，années l763 和 1767）。结果发现，船头尖角的正弦 的任何其他简单幂都不能取代平方来作为对所受阻力的一种精确量度。还发 现，当船尾成为尖锥形时，船受到的阻力减小。在沟渠实验中，发现阻力和 速度平方之间的正比例关系完全成立。然而，在每种情形里，当其他条件相





同时，阻力总是要比在开阔水域中大；留给水从船前头流到船后面的地位越
小，这种阻力增加就越明显。曾尝试求得水对行进的船的绝对阻力的某种估 计值。空气阻力所起的作用也考虑到了，空气阻力与水阻力的比例根据这两 种媒质的相对密度以及物体表面分别暴露于它们的面积推算出来。水的韧性 以及水沿船侧的摩擦被认为可以忽略不计。根据所获得的大量数值结果，得 出这样的结论：一个平面表面在无界流体中以速度 V 沿与自身垂直的方向通 过无界流体运动时，所受到的阻力等于该流体的这样一个柱的重量，柱的底 面积等于受压表面积，柱的高等于一个落体为达到速度 V 所必须通过的距 离。
　　1775 年，博絮关于流体动力学的论著以及他与达朗贝和孔多塞合作的实 验结果的发表，激发了 P.L.G. 迪比阿爵士去进行更加精细的研究。这些研 究是 1780—83 年间进行的。他的《水·力学原理》 （Principes d’ Hydraulique）（巴黎，1779 年；修订版，1786 年）的后面几版描述了这些 研究。迪比阿研究的问题包括水在沟渠中匀速运动的定律、液体射流喷注的 碰撞、各种形式固体相对阻抗媒质运动时表面所受压力的分布以及摆在这种 媒质中振动时伴生的某些效应。书中还讨论了许多其他比较专门的技术问 题。迪比阿用人造木质沟渠进行实验，其宽度、梯度和水深都可以任意改变。 他认为，当沿这样一条沟渠向下流动的稳定水流倾斜于水平方向时，那表示 作用于水的重力加速力和因水的粘滞性而产生的反力之间达致一种均衡状 态以及它对沟渠两侧壁产生了摩擦。通过改变了水流的宽度，深度和坡度， 一次改变一项，并注意水达致的流速随之发生的变化，他成功地得出了关于 流速与这些因素关系的一个经验公式。若设 V 为水流平均速度；r 为水流的 截面除以截面周长；其梯度为 1/b，则这些量之间的关系由下式给出：
　　
V ? 307(

r ? 0.1)


? 0.3(


r ? 0.1)

b ? log e b ? 1.6
这些量采用（英国的）寸和秒度量，沟渠的截面和梯度假定是恒常的，其长 度与其别的维度相比是相当大的（Principes d’ Hydaulique，1816 年版， Vol.I， pp. 62f.）。迪比阿还研究了水流表面和底部的水速之间的关系。

他发现, 如果V是水流表面的速度, v是水流底部的速度，那么, v (

V ? 1)2 ，

而水流整个截面上的平均速度（由沟渠单位时间内放出的水量推知）便是 V
和 v 的算术平均值（上引著作，p.90）。这些结果看来与沟渠床的大小、形 状和梯度无关。他测量表面流速的方法是，向中流扔进一薄木片，用一块表 计量它在沟渠中行过 10 英寻的时间。至于对水流最底层速度的测量，他以 类似方式观察一些小球沿沟渠底的运动，小球用密度稍大于水的材料做成， 而且其色彩鲜艳，易于观察——红茶麃子最适合作此用途。十九世纪初，G. 里什德普洛尼得到了关于沟渠中流动的水的更加概括的公式。但是，他的法 则基本上以经过挑选的前人实验为基础。迪比阿用一根玻璃管来研究射流喷 注的冲击力。玻璃管的两端开放，并弯成直角，安装时让管的一肢呈水平，





另一肢竖直朝上。水平肢的开口插入一块金属板（使用各种形状的金属板）
上的一个孔中，恰使管口与金属板表面齐平。然后把管端推入水喷注中，后 者直径大于管的直径。这个实验旨在测定喷注压力将在竖立肢中维持多高的 水柱。迪比阿表明，这高度近似等于维持喷注的压头高度。在压头和喷注直 径的某个值域中，这个结论都很好成立，如果冲击发生地点离注孔不太远， 且不让冲出的水通过一个管嘴的话。迪比阿还研究了一个浸没于水流中的固 体的表面所受压力的分布问题。他借助一个金属盒子来进行这一研究，盒子 壁上各处钻有孔，这些孔可随意打开或关闭。一个连通盒子内部的流体压力 计伸出水面。它显示出内部压力与外部压力的关系，以及当这个或那个孔打 开时这种关系如何变化。一个这种方盒子附装于一个方棱柱的末端，整个地 把它们浸没于水中，盒子的开孔面指向逆流方向。于是发现，这障碍物的正 面即逆流面的中央压力最大，位置向边缘靠近时压力随之减弱，而在边缘处 压力实际上让位于向外的空吸。迪比阿把这个盒子附装于各种长度的棱柱， 由此表明，障碍物越长，正面的压力就越小。为了研究这样一个障碍物后面 的压力状况（在此之前这一问题一直被忽视），迪比阿把他的设备掉个头（使 开孔面指顺流方向）。再同前述一样进行实验。他确定，在障碍物后面的空 吸随着从圆周向中心而渐减，而且障碍物越长，减弱越甚。以前研究这个问 题的人采取这样一条公理：阻止媒质和浸没于媒质中并与其作相对运动的物 体之间的反作用力，当其他条件不变时，不管是物体通过静止媒质运动，还 是媒质流过静止物体，都是一样的。迪比阿通过一些实验使他怀疑这条公 理。在那些实验中，他在蒙斯附近的埃恩河上把他的钻孔盒子放在两条平底 船之间的水下牵引前进，其水闸关闭，水流停止。他把在这里对于从一个适 当的速度范围得到的结果与以前水在他的人造沟渠中流经仪器的实验中得 到的结果进行比较。他觉得看到了一些差异，在静止河水中所受到的阻力有 规律地小于沟渠中的相应反作用力。他提出，水静止时可能比运动时易于分 开；还提出，运动液体的各层沿流动方向形成一个向下的斜坡，而一个浸没 物体将趋向沿这斜坡下滑。迪比阿认识到，在流体中运动的物体势必要带走 一部分流体，物体的有效质量因而便增加。他试图通过研究摆在水中的运动 来估算出在某些特例中这种虚质量增益。他假设这种摆的振动周期受阻力影 响不大。两个具有相似摆锤而周期相等的单摆，一个在空气中，另一个在水 中时，它们的长度应当与两个摆锤在各自媒质中的重量成正比。但是，如果 摆锤的有效质量因携带了流体而增加，则这关系就会被扰乱。迪比阿根据所 观察到的这种差异而推算出，在水中的一个球形摆锤的有效质量的增加量是 其体积约相当于摆锤一半的水的质量，而且摆锤直径或密度或者悬置系长度 的差别对这个关系影响不大。他还试图为其他简单形状的摆找出类似关系， 并想通过摆实验来比较不同密度媒质的阻力。贝塞尔在十九世纪对摆的这些 问题进行了更带根本性的研究。





五、弹性

梁的理论


　　十八世纪初以前，只发表过三种关于梁的理论的重要著作。(1)伽利略 在其《两种新科学》（Two New Sciences）（1638 年）中勾勒出了一种数 学理论，它认为，一根肱梁上的载荷和在其“断裂底”上引起的抗力是作用 于一根转向杆的两个力，以使它们各自关于一根轴的矩相平衡，这根轴就是 拱腹平面与断裂底平面的交线。伽利略没有考虑弹性形变，而且认为抗力在 断裂底上是均匀分布的。(2)埃德梅·马里奥特在其《论水的运动》 （Traité
du Mouvementdes eaux）（1686 年）中论证说，情况不可能如此，因为构 成梁的物质的纤维的伸长是不等的。他仍然采用伽利略的轴，计算出他的材 料的“绝对抗力”即直接抗张强度的矩为伽利略的估值的三分之二。当他注 意到在一个简单对称截面上，一半纤维伸长，一半被压缩的情况后，便提出 了一个更为精确的理论（这个理论使他的矩只有伽利略的三分之一）。但是， 这理论更不令人满意，而他做了一些粗糙的实验后，却墨守着这个理论。


图 27──载荷──伸长曲线 由于得到了莱布尼兹的支持，这个理论在十八世纪里始终是一个同伽利略理 论相抗衡的理论。(3)罗伯特·胡克在他的卡特勒讲义《势的恢复》（De potentia restitu-tiva）（1678 年）中表明，施加的载荷与因而产生的畸 变是成简单比例关系的。他由此为用伽利略所忽视的弹性形变来研究这个问 题奠定了基础。马特里奥也没有认识到这种形变的重要意义。在解决这个问 题的进程中，胡克定律即 Ut tensio sic vis （应变与应力成正比）是 最重要的一步。但是，它曾被忽视了一个多世纪。
十八世纪发表的对于弹性理论的贡献中，最重要的是雅各布·伯努利、
欧勒和库仑三人的贡献。 伯努利对问题的实质进行了实验研究。但是，实质恰恰表现反常。因此，
这导致伯努利误以为应变的增大率比产生它们的应力的增大率要小。如图 27
所示。图中，e1 与 e 的比小于 t1 与 t 的比。