数学演义

第一回 混沌初分 大千世界识一二 万物肇始 天圆地方自规矩

原始文明只能分辨 1、2 和“许多”。埃及人用|表示 1，用│││
│∩∩∩表示 34。炎黄始祖首创十进制位值记数，独领风骚数千年。《周 易》八卦，现代电脑，有根有据一脉相承。补天女娲，治水大禹，无规 无矩难成方圆。


　　自古以来，我国就流传着一个神话：在最古最古的时候，天地初分混沌 开，有一个人，叫做盘古。他生在天地的中间，天每天高了一丈，地也每日 厚了一丈，盘古也每天长了一丈。他老是顶天立地的生活着。经过了一万八 千年，天极高，地极厚，盘古也极长。
　　这里讲的宇宙是不断膨胀中的，速度是每日二丈。这倒和现代的“大爆 炸宇宙学”有些类似，不过我们现在倒不必去谈天体物理，还是看看这里的 数学：一万八千年后，天长高多少？地长厚多少？这是个很简单的计算。天 高暂且不论，地厚就是 18000 丈，合 6000 千米左右，这不正是地球的半径吗！
像这样的创世神话，全世界各民族都有。
　　《圣经》中说，大初的时候，地上全是水，无边无际，水面上空虚混沌， 暗淡无光。上帝说：“要有光！”这样就有了白天和夜晚。第二天，上帝说： “要有穹窿！”于是就有了穹窿。上帝称穹窿为天。
上帝如此这般辛苦工作了六天，天上就有了日月星辰，地上就有了万物
生长，还造出了人类的始祖——亚当、夏娃。 看来，中国的盘古要比西方的上帝悠久得多，光开天辟地就用了一万八
千年，远远超了纪录。
　　不知是不是咱中国人在很久很久以前，数学比他们学得好，早就知道了 很大很大的数？
也许有人要笑：一万八千算个什么大数啊！咱小学二三年级的小娃娃，
哪一个不是十万百万地朝大了说，几亿几亿地往本上写？请不要着急，且容 我细细道来。
且说在一个原始部落里，有两位智者，很受大家尊重，经常充当咨询顾
问一类的角色。但他们之间却往往互不服气，于是决定在部落大会上搞一次 智力竞赛。比赛的题目很单纯：谁说出的数大，谁就赢。
比赛开始了。甲先说出：“一。”
乙看了看甲，想了半天说出个数：“二。” 这回轮到甲再伤脑筋了。他拍了一会儿脑门，突然高兴地大声说：“三！” 发言权又转到乙的手上。他绞尽脑汁，最后不得不沮丧地对甲说：“你
赢了。” 这个故事多少有些挖苦人，似乎只能算笑话，但却千真万确是原始社会
对数的认识的一种写照。探险考古队员在本世纪到达某些原始部落中发现， 那里的人确实只能说出简单有限的几个数，最大的数不超过 5。
　　这样看来，现在的小娃娃要比原始时代的智者强得多。他们从呀呀学语 开始，首先就分清了“一”和“许多”。随后就慢慢能扳着手指数出“一、 二、三”来。到了两三岁，差不多就能数到“十”了。小学三年级就基本完 成了对自然数的认识过程。
　　
　　这么个认识数的过程和整个人类认识数的过程是基本一致的，只不过时 间大大缩短了。这倒很像小娃娃在他母亲的肚子里孕育的情况，从头到尾重 复了一遍生命从低级到高级的各个阶段，十分有趣而又十分令我们深思。
　　可以说，世界上无论那个民族，在最初的原始阶段，那几下蹒跚学步， 应该是基本一样的。
　　人类在最原始的时代首先分清的也是一和许多。随着社会逐步进化，人 们当然需要更多的数和对数的认识。一个部落必须知道它有多少成员、有多 少敌人；一个人也感到需要知道他羊群里的羊有没有少了。
　　或许最早的计数方法是用原始人个个都有的“计算器”——手来进行。 比如，数羊的只数时，每数一只羊就扳一个手指头，这就叫做“屈指可数”。 当然也可能用的是小石子来进行数数。英语 Calculus（计算）一词，原 来的含义就是小石头块。北美印地安人直到前不久还有用小石头块计数的。 切不可小瞧这么一种方法！这样一种方法实际上不就是我们常说的“一 一对应”嘛！把羊群里的羊一只一只地和一块一块石头逐一对应起来，或者 逐一扳下手指头，这就是所谓一一对应。这样，石头子有多少（或者手指头
有多少），羊就有多少。 这种方法虽然历史古远，平平常常，大家好像也并不陌生，但真要用好
用活，得出精髓，却真正能做出一篇轰轰烈烈的大文章。上世纪末本世纪初，
就有这么一位奇才，将此法用得出神入化，鬼斧神工，给数学史上平添一道 炫目之光。这是后话，暂且放下不提。
“识”了数，还需要“记”。我们的先民为了探索记数之法，走过了一
段漫长的道路。 说到“记”，不免要多说几句。所谓“记”，就是把一些信息用一定的
方式在载体上留下痕迹，留下记号，并且能使群体中的成员了解其记的意义，
解读出原来的信息。 “记”的载体可以多种多样。从古代的绳、石、手指，到后来的甲骨青
铜，绢帛竹简，一直到四大发明中的纸张的出现，再至现代的音碟光碟，电
脑中的内存外存，软驱硬盘，林林总总，数不胜数。小孩子在树干上划个刻 痕，标下身高，是“记”；做间谍的在窗台上放盆花，告诉同伙：安全如故， 亦是“记”，周幽王烽火戏诸侯，乱“记”一通，丢了周朝八百年江山；秦 始皇焚书坑儒，毁“记”一旦。一部人类的文明史，实在是“记”的历史， 是“记”的发展史。
那么，先民又是如何开始记数的呢？
　　最早，当然是用语音这种载体。但一开始，对于两只羊和两个人所用的 语音（词）是不同的——尽管他们都是两个。例如，在英语中有 teamofhorses
（共同拉车、拉犁的两匹马），yokeofoxe（共轭的两头牛），braceofpartridge
（一对鹧鸪），Pairofshoes（一双鞋）。你看，这里都有 2 这个数，但在不 同的对象中有不同的说法。把 2 这种共同性质加以抽象，并采用与任何具体 事物都无关的某个语音来代表它，或许在很长时间以后才实现的。我们现在 用的数词，起初很可能是指一些具体事物的，但是二者之间的这种关系，我 们现在都不知道了。现在的数词，是有相同数目的各类事物，它们所具有的 共同性质的一个抽象表示。因此我们可以说，数学在它的萌芽状态，就有了 抽象性这么个特点。
用语音作载体，毕竟有个很大的弱点：它太容易消失了，不太牢靠，不

太稳定，有时还会产生不同的理解。怎么办呢？先民们就用当时能有的材料， 当时能有的条件进行着创造。
　　能用的材料当然首先是身边的一些物体，比如小石块啦，贝壳啦，等等。 但随后最普遍的，恐怕就是结绳这种方法了。在没有文字以前，人们大都用 这种方法记数，记事。春秋时期的古书《易经》上有“上古结绳而治”的记 载。结绳记数最迟在新石器时代早期（约 8000 年前）就普遍使用了。
　　结绳记数这种方法，不但在远古时候使用，而且一直在某些民族中沿用 下来。宋朝人在一本书中说：“鞑靼无文字，每调发军马，即结草为约，使 人传达，急于星火。”这是用结草来调发军马，传达要调的人数呢！其他如 藏族、彝族等，虽都有文字，但在一般不识字的人中间都还长期使用这种方 法。中央民族大学就收藏着一副高山族的结绳，由两条绳组成：每条上有两 个结，再把两条绳结在一起。
　　有趣的是，不但我们东方有过结绳，西方也结过绳。看样子，咱们这个 星球早就像个地球村了，只不过那时还没有电报电话。传说古波斯王有一次 打仗，命令手下兵马守一座桥，要守 60 天。为了让将士们不少守一天也不多 守一天，波斯王用一根长长的皮条，把上面系了 60 个扣。他对守桥的官兵们 说：“我走后你们一天解一个扣，什么时候解完了，你们就可以回家了。” 回头我们再来看一件有趣的事情。在我国古代的甲骨文中，数学的“数”， 它的右边表示一只右手，左边则是一根打了许多绳结的木棍：——“数”者， 图结绳而记之也。所以，数学研究所的门口，最好用木棍打几个绳结作标
“记”，连招牌都不用挂了。
　　和结绳几乎同时或者稍后的一种记数方法，要算是书契了。书契，就是 刻、划，在竹、木、龟甲或者骨头、泥版上留下刻痕，留下“记”号。《释 名》一书中说：“契，刻也，刻识其数也。”意思是在某种物件上刻划一些 符号，以记数。
我们国家 1974 年在青海乐都县发掘的原始社会末期的墓葬中，发现了
49 枚骨片，大小形状都差不多，是与小孩的小手指差不多大小，但很薄的一 个长方形。在骨片的中部两侧有刻口，有的带 3 个刻口，有的带 5 个刻口， 不少是带一个刻口的。如果一个刻口代表一个数的话，那么这 40 多枚骨片大 约可表达从一到五六十间的任何一个自然数。当然，这些小骨片也可用来计 算。十分有趣的是，公元 1937 年，人们在维斯托尼斯发现了一根四十万年前 的骨头，是狼惠子的小腿骨，七吋长，上面有 55 道深痕。这是到现在为止， 最早的刻痕记数的历史见证。所以今后诸位如果在荒郊野地里捡得几片骨 片，可千万要仔细，莫错过了当一次业余考古家的机会。
　　随着刻痕刻印的发展，渐渐地就出现了纯粹的数字符号。这可是一项光 辉伟大的成就。
说到最初的记数符号，不禁又想起了另一个笑话。 从前有个土老财，目不识丁，于是请了个先生教他儿子读书。 先生来了，先教财主儿子描红。描一笔，先生就数道“这是‘一’字”；
描两笔，先生便教道“这是‘二’字”；描三笔，先生又教道“这是‘三’ 字”。
　　“三”字刚写完，财主儿子便哈哈大笑，蹦着跳着去找他爹，连声说： “太容易了，太容易了，字我已经都会识了，不用请先生了。”土财主自然 很高兴，辞了先生更省了钱。
　　
　　不久，财主请一个叫万百千的人来喝酒，就叫儿子写请帖。不料过了许 久，仍不见儿子拿帖来，只好到书房去看看。
　　到得书房，只见儿子满头大汗，见面就埋怨说：“这位客人的姓名也太 古怪，什么不好叫，偏叫万百千，我一早到现在忙个不息，也才描了五百多 划，干脆把扫帚拿来划，来得快一点。”
　　可别光顾着笑话他们二位，说起来，咱们的先祖刚开始记数时，正是这 么干的。
　　我们把世界上各个民族最早的记数符号归纳来看一看，最初的几个数差 不多都一样，都是象形符号。
本世纪初发现的甲骨文，是我国文化史上的一件大事。上面的汉字约有
4500 多个，可辨认的不足 1000，当中有不少数学方面的资料。其中代表 1、
2、3、4 的几个符号分别是：这是远在四千年前殷商时候的事了。 同样是远在公元前三千多年的古埃及，埃及人刻在石头上的碑文，也是
象形文字，有时这些文字也写在其他材料上，比如纸草片、木头和陶器。其 中代表 1、2、3、4 的分别是：
| || ||| |||| 它们都是一些垂直放着的木棒。 早期的巴比伦人，居住在幼发拉底和底格里斯两河流域，大体上就是今
天的伊拉克。他们没有纸草片，恐怕乌龟壳也不多，甚至连便于刻划的石头
也不容易找到，他们主要用粘土来书写。 用一支硬笔把文字压印在湿的粘土板上，硬笔的笔尖是一个锐利的等腰
三角形。把硬笔稍稍倾斜，就在粘土板上印下一个楔形，然后把写好的书板
晒干，使其坚硬耐久，便于长期保存。在从公元前 2000 年到公元前 200 年的 楔形文字泥板上，表示 1，2，3，4 的是：



　　16 世纪初，西班牙一支探险队来到墨西哥的尤卡坦，发现了古时代玛雅 人的有趣数字，这里面是这样表示 1～4 的：


还有大家看到的罗马数字，有时在一些旧钟表上还有，那上面写的是： Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅲ或Ⅳ
你看，尽管这些世界文明的发祥地，相隔遥远，当时只能是鸡犬之声不
　　见，老死不相往来，但还是不约而同地创造出差工不多一样的几个最初的记 数符号。这也和小孩一样，不管什么民族，最早的几年大家都差不多。 接下来，我们的祖先就会遇到土财主的儿子同样的问题了。
　　当数目不太多时，恐怕一开始还是采取财主儿子的方法。比如“23”， 就用│││││││││││││││││││││││来表示。
　　把这么多的记号写成长长的没有间断的一行，阅读起来就麻烦得很，这 就自然需要把它分成较小的组。
　　　如果我们习惯于用一只手来计数的话，那么很自然地把记号分成五个一 组（直到现在，还有这样的习惯：做买卖侃价时，把一只手翻上几翻）。 这样，“二十三”就可以写成||||| ||||| ||||| ||||| |||
　　如果我们更老练一些，用两只手同时计数的话，我们就可以把它写成 HHHHH。
　　
　　如果这时同时又光着脚，把脚趾头也派上用场的话，我们又可以把数分 成以二十为一组了。
　　你可能会说，这样还是麻烦，干脆把这成组的数再用一个新的记号来表 示不就简单许多了嘛！
一点不错，咱们与老祖宗们想到一块了。而这正是进位制的开始！ 古罗马人创造的符号有点像逢五进一，不过也有整十整百的符号： Ⅰ＝“1” Ⅱ＝“2” Ⅲ＝“3”
V＝“5” L＝“100” D＝“500” X＝“10” C＝“100” M＝“1000” 　　记数时，采用的是加法和减法法则：即数值较小的符号位于数值较大的 符号后头时，则两数相加；反之,则数值相减。比如：“VⅡ”表示“五加二”， 即“七”；而“IV”则“五减一”，也就是“四”了。
这样，1988 用罗马符号表示就是：
　　　　　　　　M C M L X X X V Ⅲ 你看，识数捎带着连加减法一块儿练了，实在太费神，如果眼睛不济再
加上脑袋犯迷糊，就得全乱套。 比起罗马人来，尼罗河畔的古埃及就要先进了！比如“3224”，他们是
这么写的：
■ 想必大家也能破释这其中的密码：
头一个符号，代表一千，其实这是一朵莲花。
第二个符号，表示一百，这是一圈绳子。
∩，自然是十，它画的是一副脚镣。 后面的四根竖线当然就更一目了然了。 不过，埃及当时是从右到左写的，而我们这里是按照现在的习惯从左到
右了。
　　这已经是相当方便，相当不容易了。但更值得自豪的是我们中国人的创 造！早在四千年前，我国刚刚进入奴隶社会时期，就出现了相当完善的十进 制记数系统。在殷商时期的甲骨文中，便有从 1 到 10 的文字表示，以及“百”、 “千”、“万”等相应的符号（见下页图）：
这最后三个字，与现在的“百”、“千”、“万”的书写已十分接近了。
而且那“万”字是一只蝎子，想必那时这种小爬虫多得很。 甲骨上有着不少数字记录。比如，有一片甲骨刻着“八日辛亥允戈伐二
千六百五十六人”，意思是说在八日辛亥那天的一场战争中，消灭了敌方 2656 人。
　　像这样的资料甲骨文中还有许多，可以说已经达到当时的最高水平，领 导世界新潮流。
　　不要把这当作笑谈，大家仔细把前面刚说过的埃及记数法看看，自然是 能够明白。
　　在古埃及人那里，“三千”要用三朵莲花表示；两百呢，就用两圈绳子 表示。多麻烦！
　　中国的就不一样了，有多少个“千”、“百”、“十”，就在这些单位 的前面写上多少，多简单，多方便，多聪明！
再说，“二千六百五十六”，这里的“千”、“百”、“十”都是按从

大到小的顺序一溜排开，咱们就是把这些都省了，写成“二六五六”，不也 是一样知道是多大嘛！古人有时也多是这么写的。只不过那些老前辈们都是 竖排写字写惯了，把“二六五六”这么一竖起来，就有点不太好认了。也难 怪，咱老祖宗从一开始就用竹简写书写惯了，那竹简只能是竖排。
回头咱们再说说这“二六五六”。
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　　你仔细瞅瞅，这和现如今的记数方法是不是一码事？只不过现在用的是 阿拉伯数字罢了。
　　这现在的记数方法可真算是先进，是记数这方面的一大发明。先进在什 么地方呢？第一点，它只用了十个符号。这第二呢，就是有了数位的概念， 比如说同一个 3，写在百位上和写在千位上，意义就不一样：一个是“三百”， 一个是“三千”。
这么个聪明的办法现在就叫做位值记数法。 话说到这会，有些朋友可能心里还有些不踏实，总觉咱们的古人在记数
时中间还要夹上一些“万”、“千”、“百”这些单位，和现在记数法毕竟 不太一样。
　　大家放心，待往下细细一看，便知这发明位值记数法的冠军宝座，稳稳 是咱中国人坐的。
且说秦始皇一统天下，倒是忙了不少事：书同文，车同轨，修长城，统
一度量衡。忙得心烦意乱，就想出都城到处转转。于是就浩浩荡荡排起仪仗 顺着当时的高速公路——那时叫驿道——一路游去。
这一天来到东海之滨，始皇帝初观沧海，不免大放豪迈之情，手舞足蹈，
一不留神把腰里佩带的算袋失落水中。算袋就变成了乌贼鱼，所以乌贼又有 算袋鱼之称。
你可知，这算袋有何用处？内装何物？
原来这算袋是一只丝质的小口袋，里面装的是算筹。 这“算筹”是些什么物件？秦始皇为什么时时要把它带在身边？其实看
看这两个字的结构就能猜出个大概了。
　　筹，是竹字头，就是一般粗细、一般长短的小竹棍。黄河流域一带当时 是茂林修竹，竹子多得很，所以我们的祖先写字用竹简，吃饭用竹筷——古 时叫“箸”，又是竹字头。
那么，这算筹又是干什么用的呢？就是用来计算的。那时没有纸张，古
人们就用这些小竹棍摆成不同的行列，表示不同的数，进行计算。
　　《说文解字》中有这样的话：“筭长六寸，计历数者，从竹，从弄。言 常弄乃不误也。”
　　这“筭”，是算的古代写法，竹字头，下面一个弄字。弄，就是运算， 你看，多像把一些算筹摆在地上进行计算的情况。
　　算筹起源于周朝，后来运用了很长时间。所谓“决胜千里之外，运筹帷 幄之间”，就更有了计划、指挥的意思啦！直到现在咱们还常说“请仔细筹 划一番”，这根源就都起于算筹。
　　这算筹起先是用竹子做成，《汉书》上说长六寸，径一分。古时候尺小 一些，大约合现在 14 厘米左右。后来看看不行了，摆一个算式要用好大面积， 就逐渐缩短了。这形状呢，也有了改变。一开始是圆柱状的，会乱滚，后来 就有了方的，三棱形的等等。算筹的材料也来了个百花齐放，有骨制的，木
　　
制的。不过，就是秦始皇，恐怕也不会用金做的。你想想，把那金做的沉甸 甸的一大把放在算袋里，挂在腰上，多累人！
　　大家看到此处可能会小吃一惊：皇帝还要亲自计算？是的，那时不但搞 天文历法的要用算筹，就是一般的文武大臣，腰里都佩着一个算袋。而且是 法律规定，不佩不行。上朝的时候，皇上问你话，说不定要叫你把算筹拿出 来，当面算算帐。那时的知识分子士大夫阶级，腰里佩个算袋，可是个时髦 玩意儿。
要用筹来算，首先必须能用“筹”把数摆出来。一开始，是这么摆放的： 古人写字是从上到下，竖排。而这摆数，就是从左到右了。 那么现在摆一个 l、2、3，看看如何：







这一看，毛病就出来了。 几根竖放的棍子摆放在一起，数位与数位之间很容易搞乱。中间的间隔
一乱，就难以说清是 1、2、3，还是 2、l、3，还是 1、5??
怎么办呢？“山人自有妙计”。古人除了上面提到的摆法（叫纵式）以 外，还有一种横式摆法：




　　这样一来，就好办了，相邻数位纵横交错摆放。古人有这么个说法：“凡 算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”
就是说个位以纵式表示，十位以横划表示。百位是纵的（“立”），而
千位则是横的（“僵”）；这样，千位和十位看起来是相同的，万位和百位 也是如此。
那么现在摆起来就不会乱了。比如，6614 这个四位数用算筹表示是：

遇到某位数是零的时候，最早的方法是不放算筹，让 它空位。比如 86021，就这么摆：

后来才改用圆圈（O）来表示：

　　现在咱们可以很放心地说一句：这位值记数法咱中国人早就发明、早就 用上了。这块金牌非我莫属。
这种位值记数再加上十进制，就叫做十进制的位值记数法。 说到进制，大家都还记得前边给大伙说过的五进制、二十进制。 五进制就是逢五进一，最初用得很广泛，直到现在，一些南美部落还是
用手计数——“1，2，3，4，手，手和 1”，等等。 而玛雅人则是以二十进制为计数原则。这恐怕是因为玛雅人鞋子发明得
太晚了。不过，格陵兰人也有这种进制的痕迹：它们用“一个人”代表 20， “两个人”代表 40。
其实，逢几进一里的这个“几”，除了一以外，随便什么自然数都成。

这里面一要看当时的环境，二要看实际需要。这个话题很长。 上古时候中国野兽很多，黄河里面的水族，尤其千奇百怪无所不有。其
中有一种类似河马的动物，身上有黑白相间的花纹，也常常随波上下。 有位智者伏羲氏，偶然在晴朗天气到河边观赏，看见这马上的花纹陆离
斑驳，黑自分明，心中忽然有感。自从做了部族首领，常常为内政外交许多 事操心，又无法记忆计算。用打绳子结来记事吧，也不够用了。他便模仿这 兽身上的黑白长短条纹，创造了两种长短线条，互相配搭，成了八个不同样 子的记号，用来代表一些事物，名为“八卦”。
　　后来黄河里这种兽绝迹不见了（恐怕是没划野生动物保护区），后人便 认为马是不会生在河里，除非是龙马；马身上不会有花纹，除非背上驮了什 么图。这就是所谓“河图”的来由。再传下去，就又有了洛水里出现的一只 神龟，背负“洛书”，这就叫“河出图，洛出书，圣人则之”。也就是说圣 人伏羲根据“河图洛书”，画成八卦，这就是《周易》（也就是《易经》） 的来源。
　　《周易》的研究现在可是个大热门，感兴趣的人、赶热闹的人都不少。 不过我们现在只单单说一说“八卦”的组成。
　　这古圣人认为，世上万事万物归根结蒂是由阴阳两种基本元素构成的， 就把它们画成两种卦爻（念 yáo），一阳一阴，阳爻为“——”，阴爻为“—
—”。
把阳爻和阴爻每次取两个排列，就成四象：

每次取三个呢，就有了八种不同的排列，就叫八卦了：

　　八卦代表不同的八种基本自然物：乾为天，坤为地；巽为风，震为雷； 坎为水，离为火；艮为山，兑为泽。
四对物质两两相对，相反相成，即所谓天地、风雷、水火、山泽，表示
的符号也正好是相反的。 德国数学家莱布尼兹（1646—1716），几千年后看到八卦大吃一惊：想
不到自家辛辛苦苦多少年创造出来的二进制，竟让中国人大大抢先一步！
　　为何有此一说呢？因为二进制就是“逢二进一”。十进制，“逢十进一”， 只要用到 0～9 十个数码，所以“二进制”，就只要用 0、1 两个数码，多一 个都不要。因为你要表示 2，就需要在高一位上用“l”表示，逢二进一嘛。 比如说“二”，写成二进制数就是：10；“三”呢，就写成：11；“四”
在二进制里就表示成 100。
莱布尼茨老先生把“——”（阳爻）看作 1，阴爻“——”当作 0，这样 一来，八卦就是二进制数了：



二进制码：000 001 010 011 100 101 110 111 十进制码：0 1 2 3 4 5 6 7
　　后来周文王姬昌被有名的暴君纣王拘押在羑里地方，他倒不显得着急， 而是用心研究起伏羲氏的卦来，演成六十四卦。这就是现在的《周易》。太 史公所谓“文王厄而演周易”，就是讲周文王在羑里遭受困厄，反而成就了 一番学问，发展八卦成六十四卦。相信朋友们现在也能依次写出这六十四个
　　
二进制数，再对照一下六十四卦，倒也不失为一件有趣的事。 这里我们想给大伙提供点帮助，看看如何写出一个二进制数。 比方说“二十七”这个数，因为它含有十三个二，再加上一个一，所以
在“个”位上就可以写上“l”，而在上一位（右边第二位）就可以暂且写上 “13”。
　　不过这“13”还要继续往前进，因为“13”比二大得多。所以我们看看 “13”里有几个二，就向前进几（向右边第三位）。用除法一除，可以知道 “13”里有六个二，还多一个一，这样第二位就写“1”，而第三位可暂时写 上“6”。
下面对“6”就可以如法炮制了。用算式表示可以看得更清楚：

　　最后一次除，商是 1，不能再被 2 除了，所以最高位就是“1”（即第五 位，从右数）。其余各位依次取余数。
这样“二十七”写成二进制数就是 11011。
大家可以看到，这办法的主要原则就是不断除以二，叫做“除二取余”。 而且我们也能清楚，这二进制各个数位的单位依次是：
??26，25，24，23，22，21，1 就好像十进制各数位是：??106，105，104，103，102，10，1
二进制数位的单位弄清楚了，把二进制数化成十进制数也就容易了。
　　不过，同一个数，用二进制表示就长得多了。比方上面所说的“二十七”， 用十进制表示是两位，用二进制表示就是五位。而且数越大，位数增加得越 快。
所以在 17 世纪莱布尼茨老先生那会儿，这二进制倒未见得有什么风光。
一直到本世纪中间，这二进制忽然大红大紫，风头十足，原因何在呢？说起 来很简单，也只是时势二字罢了。
原来在 20 世纪中叶，发生了一场轰轰烈烈、至今仍方兴未艾的大革命：
计算机革命。 这计算机中的逻辑电路都是由开关型的电子器件构成，它们只有两种状
态：“开”和“关”。
　　这样的两种状态的器件一是比较可靠，二是实现比较容易。所以我们就 用“开”表示“l”，用“关”表示“0”，其他数码就不能表示了，这样就 必须用二进制记数法来表示数。
　　再者，咱们通常进行逻辑推理，常喜欢说：“‘是’就是‘是’，‘非’ 就是‘非”’。也就是在下判断的时候，对就是对，错就是错，没什么含糊。 这就是所谓“二值逻辑”。“对”，可以用“1”来表示；“错”，可以 用“0”表示。许许多多的命题以及命题之间的关系，都能用一个数学式子和
数学式子的演算来实现，而这些演算都是用二进制记数的。 因此，电脑在本世纪 40 年代的发明，必然使二进制风云一时。 话说到这会儿，这二进制咱们聊得也差不多了。不过，有时它还是使人

有些不习惯，不明白。其实，这二进制不但老早中国就有，现在全球风行， 就是澳洲的一些原始部落里还从古到今一直用到现在呢！
兴许是识数太少的原由，所以澳洲东部昆士兰的土人是这么计数的：“1，
2，2 和 1，两个 2，多多。”您瞧，这不就是用了“逢二进一”吗？只不过 数到 4 就停下来了。
　　阿根廷火地岛的一个部落，用的是所谓“逢三进一”，三进制；而南美 的一些部落则是用四进制。
这里的“二”、“三”、“四”，我们就把它叫做计数的“基”。 前面谈过五进制，它的基就是五。是古代用得很广泛的记数法。而现在
最常用的十进制，基就是十了。 也难怪，谁让咱们人类都长着五个手指头呢？要是女蜗造人多捏了一个
手指头，现在流行的可就不是十进制了。 还有一种大家都知道一点的，就是以 12 为计数的基。
　　咱们都了解，一打（dozen）是 12 个，一箩（gross）是 12 打。这些都 是英国人常用的。古代的一英磅是 12 盎斯，1 先令是 12 便士，1 英寸是 12 英分，l 英尺是 12 英寸。
　　这也许是由于一年大约有 12 个朔望月；也可能是因为 12 能被许多整数 整除。
二十进制就是 20 为基的记数法，曾被广泛应用，它使人想起人类的赤脚
时代。这种记数法，曾由美洲印第安人使用过，在高度发达的玛雅文化中更 有完整的表现。
就是在欧洲各国的语言中，也能发现这种进位制的痕迹。法语中常用四
个 20 代替 80，用四个 20 加 10 代替 90；格陵兰人则用“一个人”代表 20， “两个人”代表 40，英国人也常常用 csore（20）这个字。
而以巴比伦古代那会儿，就是以六十进位制为主了。直到现在，咱们计
算时间，计算角度，也还是这么用着。 咱们中国虽然是以十进制为主流，不过也还有其他的一些。比如，咱们
古代记时辰，也是分一天为 12 个时辰。
这记时用的 12 个字分别就是： 子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。 这十二个字就叫“地支”。
夜里 11 点到 1 点，就叫子时，每个时辰合现在两个小时。依次类推，就
能出丑时、寅时、卯时等等。哪位同学有兴趣，也不妨算一算，自己是何“时” 出生的。
　　亥时一过，新的一天又开始了，就又是新子时。这 12 个字循环往复，轮 回使用，正反映了一种周而复始的现象，一种周期性的运动。
不过，它也可以看作是“逢十二进一”，是一种十二进制记数法。 可能有人会说，这“逢十二进一”，进的那高一位的“数”在哪呢？ 这里给大家打个比方。比如说有一块自动日历表，那么每到夜里 12 点（也 就是“子夜”）就会咔嚓一声，日历框里换了个新的日子。而时间呢，依然
是从 0 点开始重新往前去。您看，这新的一天不就等于往前进的一位吗？ 不过我国古代最早是把一日分为百刻，是用十干来记时。后来才把一日
分为 12 辰，用地支（12 支）来表示。 十干，也就是平常所说的天干，一共有 10 个字：

甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸。 魏晋时还有“甲夜、乙夜、丙夜、丁夜、戊夜”的说法，就相当于后世
的一更、二更、三更、四更、五更。这就说明了记时是用过天干的，因为一 日百刻，甩十干比较方便。
　　那么记日又怎么办呢？早在夏代，就用甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、 辛、壬、癸这 10 个字来记日。
　　不过，大家也可以看出来，这种词法十天一轮换，太短，容易把日子弄 混了。
　　后来，人们就想了个办法，把天干的 10 个和地支的 12 个字配合起来， 依次组合，比如“甲子”，“乙丑”，“丙寅”，“丁卯”，等等。
有心人动手亲自这么一搭配，就会发现点小问题：
　　天干只有 10 宇，而地支有 12 个字，等到天干的最后一个字“癸”和地 支中的第 10 个字“酉”搭配成“癸酉”后，天干的 10 个字已经用完了，地 支还余两个字“戍”，“亥”。
　　怎么办呢？就把天干 10 个字依次重新再使用，配合成“甲戌”，“乙亥”， “丙子”，“丁丑”，等等。以后不管是“干”，还是“支”，用到最后一 个字了，就都这么从头循环使用。
那么，这么一搭配，会出现多少个不同的情况呢？什么时候再出现一开
头的“甲子”呢？
　　这个问题倒也不复杂，是个求最小公倍数的问题：10 和 12 的最小公倍 数是 60。
因此，上面的正确答案就是 60，共能配合成六十组，循环使用，就叫做
“六十甲子”。
　　这种干支搭配最早是用来记日的，殷商武乙时期（约公元前 13 世纪）的 一块牛胛骨上，就刻有完整的六十甲子。
后来到了东汉建武三十年（公元 54 年），就开始用来记年了。直到现在，
咱们中国的日历上，还有这种记年方法。这记年，也是 60 年一轮换，所以叫 “六十花甲子”。因此，如果一个人一辈子遇到两个甲子年，或者是其他两 个相同名称的农历记年，那他肯定超过了六十花甲。
不用我说，大伙也明白，这六十次一轮回，当然也可以看作是“六十进
位制”。 所以，我国的记数方法是既很先进，又很丰富。既有占有主导地位、在
全球发明最早的十进制位值记数法，又有沿用至今的“二进制”、“十二进
制”、“六十进制”等等其他记数法。真可谓源远而流长，历久而弥新。 这盘古开天地，天高地厚的答案，古人总算给了我们一个交代。顺理成
章，老祖宗随后自然而然要问天，问地，问自己，这天像什么物体？地是什 么形状？
让咱们看看周公和商高的一席话，便知究竟。 这周公是周武王之弟，名旦，是一位很有本事、很有贤德的人。武王死
后，其子尚小，就由周公摄政，主持一切。 周公旦礼贤下士，甚至于“一沐三握发，一饭三吐哺”。也就是说他勤
于接待，洗发时三次握着头发停下来不洗，吃饭时三次吐出食物，急忙迎客， 殷勤待土。这就是所谓“握发吐哺”的来历了。
话说这高商亦是当时的一位算学大家，“高级知识分子”。周公也经常

和他讲论算学。这一天周公与商高又见了面，行一番“吐、握”之事，彼此 按周礼躬让一阵，就开了讲。
　　周公很虚心地向商高请教：“我听说，大夫很精通数的艺术。是不是请 您谈谈，古代伏羲是怎样确定天球的度数的？天是没有一种梯子能登攀得上 的，地也无法用尺子来测量。因此我很想问问您，这些数字是从哪里来的？” 商高施了一礼，回答说：“数的艺术是从圆形和方形开始的。圆形出自 方形，而方形则是用矩（带边的丁字尺）作出来的。而矩的制作出于‘九九’ 乘法表。一个矩形沿对角线对折起来，如果勾长三单位，股长四单位，那么
弦长一定是五单位。昔日大禹治水，就是用这样一些方法。” 周公听了很感叹，又接着说道：“数这门艺术真是了不起啊！我想再请
教应用矩的道理。” 这里的矩，是一种工具，所谓“不以规矩，不成方圆”，有点像现在的
丁字尺。 商高一听到这话题，更来了劲，不由得侃侃道来：
　　“把矩平放在地上，可以用绳子设计出平直的和方形的工程。把矩竖立 起来，可以测量高度。倒立的矩可用来测量深浅，而平放的矩则可用测出距 离。
“让矩旋转，可以画出圆形；把几个矩合在一起，可以得到正方形和长
方形。” 接着，他又谈到了天和地：
“方形属于地，而圆形则属于天，所以天是圆的，而地则是方的。方形
的数是标准，从方形的数可以推出圆形的大小来。 “天像一个笠子。天的颜色是蓝的和黑的，地的颜色是黄的和红的。可
以用一个按照天的数制成的圆盘来表示天，朝上的一面像外表面一样，是蓝
色和黑色的；朝下的一面像内表面一样，是红色和黄色的。这就是天和地的 形象再现出来了。”
商高随后又发表了一番议论：“对地有所了解的人是聪明人，而对天有
所了解的人则是圣人。‘矩’和‘数’结合起来，就是指导和统治万物的东 西。”
周公听得都入了迷，隔了好一会才回过神来，不由得感慨地说：“这确
实是太妙了。” 这一段记在《骨髀算经》上的故事，大约已经有三千年左右了。这说明
人们很早就认识了几何图形。最早认识的，就是正方形和圆形。而且在周朝
以前，就有了车辆，所以当时不但认识了圆，而且能造出圆。 这商高确实了不起！他不但认识到勾三股四弦五，而且还是个天文学家，
有了天圆地方、天像个笠子盖在地上这样一种初步认识。古代的许许多多数 和形的知识就是从天文观察和测量中得来的；古时许多天文学家就是数学 家，而数学家又同时是天文学家。
　　商高大夫还提到大禹的事。其实，太史公司马迁也说过，夏禹治水时， 是“左准绳，右规矩”。
　　你瞧瞧，咱们这位禹王爷不但运筹帷幄、指挥策划，而且还是位高级水 利工程师，左手拿着水准工具和绳子，右手带着规和矩去测量放线。真是事 必躬亲，身体力行。
不过，战国的一位学者，把这规与矩的发明推得更早：“古者，倕为规、

矩、准、绳，使天下仿焉。” 这“倕”，是传说中距今四千五百年黄帝时的能工巧匠。 不管怎么说，反正人们对这方面的认识是够早够远够先进的了。而所有
这些发现、发明，也都是与生产的不断发展，文明的不断进步、一代一代人 的不断继承紧密联系的。
　　比如说，20 年前在湖北，发现了一批几十万年前的旧石器。其中的“石 核”，就是经过人工打击而成的球状石器。古人正是从这样一些活动中，逐 渐形成了几何观念。
　　而六七千年前古人所做的陶器，更有许多的类型，有尖底瓶、筒状的器 皿、盘、大小不等的球、纺轮，等等。这说明那时已具有了圆、球、圆柱、 圆台、同心圆等等几何观念。
　　读者如假日有空，倒真可以到西安半坡、山东大汶口这样一些遗址去看 看，凭吊一番先民们的丰功伟绩，艺术修养。那陶器上的几何图案确实描画 得简练生动，抽象概括，而且有着很好的对称美，倒不是今天的每一个人都 能画出来做出来的。
　　咱们华夏的先民们在黄河两岸创造着这一切，那两河流域的巴比伦人和 尼罗河畔的埃及人，也同样勤劳辛苦，发展着自己的文明。
且说埃及位于非洲东北部，东临红海，北濒地中海，西南是浩瀚无垠的
撒哈拉大沙漠。如果不是尼罗河从北向南贯穿它的全境，埃及早就成了寸草 不生的沙漠了。难怪古希腊历史学家希罗多德把埃及称为“尼罗河的赠礼”。 尼罗河是埃及人的生命源泉。他们靠耕种尼罗河每年泛滥的淤土所覆盖 的田地谋生。肥沃的淤泥给他们带来了丰收，同时也需要他们要有丰富的天
文知识，预报洪水到来的日期。
　　泛滥后的土地年年要重新划界，需要测量，需要计算，需要工具。这样， 初步的几何认识就在劳动中产生了。
有关尼罗河的文明，人们知道得很早。在很长一段时期内，埃及一直是
西方研究古代历史最丰富的宝库。 说起这其中的原因，倒有点是歪打正着。埃及的法老们生前为了扬威，
修建了不少庙宇；死了以后呢，更是大造坟墓，这就给后世留下了许多极其
丰富多彩的壁画和雕刻。 再说，尼罗河两岸气候异常干燥，他们留下来的许多纸草片，也就不会
腐烂。要知道，这纸草片可就是那古埃及人的百科全书，记下了他们的文明
和创造呢！ 古埃及人的纸草片就这样留传下来。而西方人也一直认为那里的数学起
源最早，最先进。一直到上个世纪，考古学家们在两河流域挖出了五十万块 刻着文字的粘土书板，这才大吃一惊，想不到巴比伦人的数字，水平更高， 也更独特。
这正所谓：山外有山，天外有天。 欲知后事如何，且听下回分解。

第二回 甲骨泥版 共创数学纪元 竹简纸草 同著算术春秋

一块古巴比伦泥版上刻满了毕氏三数，可惜残缺不全，留下千古之
谜。中国的陈子胆子倒确实不小，居然测量起太阳的直径，用的仅是根 竹竿！埃及的神庙，夏至时阳光能直射神像，善男信女惊异不已。


　　且说这西方学界，一直认为埃及的古代数学是希腊文明繁荣之前，水平 最拔尖的，待到巴比伦的泥版问世，方知更技高一筹；更不需说他们对古华 夏的数学成就一无所知了。这里先谈一番巴比伦。
　　这巴比伦人居住在美索不达米亚。“美索不达亚”是古希腊语，意思是 两河之间的地方。这两条河就是底格里斯河和幼发拉底河。
　　两河流域最早的文明大约至少有六千多年了。这块地方大致以今天的巴 格达城为界，分为南北两部。北部以古亚述城为中心，称为西里西亚；南部 以巴比伦城为中心，称为巴比伦尼亚。各个民族居住在一些独立的城邑中。 这南部主要有苏美尔人、阿卡德人。美索不达米亚文明最初就是苏美尔
人创造出来的。 苏美尔人几乎和埃及人同时发明了文字。这就是大名鼎鼎的楔形文字
了。
上个世纪开始，考古学家们在美索不达米亚进行大规模的发掘。 这里的房屋几乎一直都是有土坯盖起来的，有点像北方的干打垒。下一
次大雨自然要冲毁一些，就在旧屋子上面又造新屋。这样盖了塌，塌了盖，
最后就形成了一个个土丘。把这些个土丘直直地挖下去，就会看到这个城市 从古到今一层一层地分得很清楚，真好像一块历史的千层饼。
考古学家们在这块千层饼里细剔细筛，发现了五十万块写有文字的粘土
书板，仅仅在古代尼普尔这个地方就出土了五万块！ 许多的国家，许多的博物馆、文物馆，那是闻风而动，千方百计各种途
径，收藏这些珍贵的文物。有时，同一块泥版会分成几块，藏在不同的博物
馆里。
　　这些泥版有大有小。大的呢，也就和教科书差不多，小的只有巴掌那么 大吧。有时书板的一面有字，有时又是两面都有字。想必做这样一本书也不 容易，要节约用纸。
现在流传问世的，大约有三四百块和数学有关的泥版和一些碎片。
　　泥版上没有什么年代的记号，学者只能根据它们在千层饼中的位置来推 断啦。他们发现，大部分泥版是在 3000 年以前的若干世纪内制作的，前后延 续有 2000 年左右。还有一小部分是公元前 600 年到公元 300 年间制作的。 这两部分之间留下了很大的一段空档，正是巴比伦历史上的一个动乱时
期。
　　看来，巴比伦的数学创立得十分迅速。而在这短暂的迅速发展之后，接 下来的却是长时期的停滞不前。
　　要想破译这泥版的内容，可就比断定它们的年代更难啦。一直到 1935 年，经过诺伊格尔和吐娄——当兰的著名发现，人们才了解了不少数学书板 上的内容。
许多早期的书板，都是有关田地转让的计算。还有不少是一些契约文书，

像帐单、收条啦、期票啦、卖货的单据、商号和帐目等等。 巴比伦人的计算倒是挺有意思，是借助各种各样的表来实现的。在数学
泥版中，大约有 200 块是表，有乘法表，倒数表，平方表和立方表，甚至还 有指数表。
　　接下来，咱们拿一块巴比伦泥版来试看破译一下，和大伙一起暂时当一 次考古研究者。当然，现在我们早已就知道一些谜底了，猜起来可就要比那 些先驱者容易多了。
　　我们现在看到的就是一块古代巴比伦泥版了（见下页图）。正确点说， 是它的一个复制品。左面是正面，右面是反面，两面都刻有字。
　　首先我们数一数行数，一共有 24 行。每一面呢，都有两列，我们把它分 别叫做第Ⅰ列（左边的）和第Ⅱ列。
现在我们从第 1 列开始正式考察。 它的第一行是一个垂直的楔形，我们把它叫“直楔”。第二行就是两个
直楔了。第三行呢，是三个。其实这些记号咱们都碰过面，就是没碰过面大 家也能猜出来：不就是 1、2、3 嘛！
　　顺下来的几行也很容易，就是从 4 到 9，只要数一数直楔的个数就成了。 不过大家看到它们有时是三个一组的，这么一来就更容易读了。比如 8，写 成三层，两层各有三个直楔，一层有两个，一眼望过去，就知道是多少。这 开头的九行倒很顺利，咱们破译初步成功。
再往下看，到 9 后面，我们发现了一个新记号：“■”，我们把它叫做
“角楔”。
　　我们当然首先想到这应该是 10，不过还要谨慎一些，看看能不能往下 顺。如果在下面的几行中把它看作 10 也正确，那么猜想就对了。
接下去的几行确实令人很高兴，没费周折，我们可以认出 11，12，
13，??，18。再往下应该是 19，从规律和书写的情况来看，肯定是 19，只 不过有一些涂改的痕迹，可能是这位巴比伦人写得有点不耐烦了，笔划太多。
再往下也没什么难懂得的，是 20，30，40 和 50。
这么一来，我们就破译出第Ⅰ列，这一列顺序写出了 1 到 20，然后是 30，
40，50。直楔代表 l，而一个角楔代表 10。 现在咱们要扩大战果，把我们的发现用到第Ⅱ列上。 开头的几行当然畅行无阻，是 9，18，27，36，45，54。咱们把它们和
第Ⅰ列中同一行的数一联系，窍门就看出来了，这不就是九的乘法表嘛！
再往下，第七行、第八行当然应该是 63 和 72。但是第七行写的是：

　　那右边一块堆的三个直楔自然是 3，那么 60 又在哪呢？好像把最左边的 那个大一点的直楔认作是 60 才妥当。
　　这样看来，同样都是直楔，放的位置不同，表示的数也不一样；这正是 前面说过的位值记数法。不过咱们在这向左移一移，不是变成 10，而是 60 了！这是不是“逢六十进一”呢？
　　这泥版上的 63，我们用现在的符号写一下，就是 1，3＝１×60＋3＝63。 记住，我们这里用逗号把两个数符分开，表示两个数位。就像十进制中 的个位和十位一样。只不过“个”位的单位当然是１，这里的“十”位的单
位可就是 60 了。 下面可就势如破竹了，咱们可以把它们改写成：

l，12＝1×60＋12＝72；
1，21＝1×60＋21＝81；
1，30＝90；1，39＝99；
l，48＝90；1，57＝117。 所有这一切都说明咱们一开始就猜对了；这块泥块果然是九的乘法表。




　　咱们当然把它改写为 2，6＝2×60＋6＝126，这 126，不就是 14 乘以 9 的答案嘛！
以下的几行当然不难改写成：
2，15＝2×60＋15＝135，
2，24＝144，
2，33＝153，
2，42＝162，
2，5l＝171。
　　值得注意的是，我们需要把逗号右边的那些数，比如 15 啦，24 啦，33 啦等等，看作是一位数！是巴比伦人用的六十用制中的个位数。尽管这里用 十进制表示出来是两位，但在六十进制中，是一位，是用一个完整的独立的 符号表示的。
所以，六十进制中记数的符号一共要有从 0 到 59 这六十个符号。而十进
制位值记数法，则是用从 0 到 9 这十个符号。
　　不难理解，b 进制记数法就应该用从 0 到 b—1 这 b 个记数符号。比如现 在电脑中常用的二进制，只用 0，l 这两个符号。十六进制也是电脑中常用的 记数法。只用 0 到 9 这十个符号就不够了，所以又添了 A、B、C、D、E、F 这六个符号表示 10 到 15 这六个数。因为这六个数还不够资格向前进位，只 能在低一位上用一个符号表示出来。
比如 15，十六进制中就写成 F。而 2B 这个十六进制数，就等于 2×16＋
ll＝43。
　　不过看起来好像巴比伦人只有从 1 到 59 这五十九个符号，少了个 0。我 们仔细看一下 2，51 后面的那个数就可以知道，它是三个直楔，后面空了格。 想必那空的一格表示 0，这样这个数就是 3，0＝3×60＋0＝180。下面的几行 也很容易破译。咱们就请朋友们自便吧。
像上面一样，1，25，30 这个巴比伦数就是个三位数，其中的 25 和 30
都看作是一位。它应该是 1×602＋25×60＋30＝3600＋1500＋30＝5130。 不过因为巴比伦早期用空格表示零，这空到底是空一格还是空两格，还
是不空格，就比较模糊。所以，l，25，30 也可以看作是 1，25，30，0 或者
是 1，25，30，0，0。
1，25，30，0＝1×603＋25×602＋30×60＋0
＝60×5130＝307800
而 1，25，30，0，0＝1×604＋25×603＋30×602＋0×60＋0
＝602×5130＝18468000。
　　你瞧，把这个数向左移动一位，就扩大了 60 倍。这也与十进位差不多。 十进位中，一个数向左移动一位，就扩大了 10 倍。
　　
　　60 和 10 分别是六十进制和十进制中的“基”。所以，把一个二进制数 向左移动一位，就扩大 2 倍；把一个十六进制数向左移动一位，就扩大了 16 倍。
因为用空格表示零比较模糊，所以把一个数 1，25，30 看作是 l，25，
30，0 还是 1，25，30，0，0 就要根据上下文来确定。 在后期的泥版中，巴比伦人也偶尔用一个记号表示零，这样就比较方便
了。
　　这六十进位与十进位的明显差别首先自然是基底不一样，一个是 60，一 个是 10。
　　当然，每种基底都有自己的优点和缺点。以 60 为基底的只有很少几位就 能写出很大的数，这在上面大家已经看得很清楚；而以二为基底的二进制数， 我们以前的已经说过，同一个数用二进制比用十进制，位数要多得多。
　　不过这基底较大，缺点也很明显。比如说二进制，只有两个数码就成； 六十进制呢，得用六十个不同的符号，可真够难记的。
　　这且不说，尤其难的是它的乘法口诀。十进制中叫“九九表”，因为它 有九九八十一句口诀。为什么要九九八十一句呢？因为十进制中一位数只有
从 1 到 9 九种情况（不连零）。 问题到了六十进制那地方，可就麻烦大了。六十进制中一位数有 59 种情
况！所以它的乘法口诀共有 59×59 句！近 3600 句！太难记了。
　　人们想到可怜的巴比伦学童们背这么一张 59×59 的大表可能会不寒而 栗。看书的同学大概也很庆幸自己没有出生在伟大的巴比伦时代，尽管那儿 有举世闻名的空中花园。
有过好在那时已经有了各种类型的大量数表，不必要再去死记硬背了。
利用数表来进行计算正是巴比伦的特点，巴比伦的创造。 在巴比伦的泥版中有许多“倒数表”。这所谓倒数表，也就是一些分子
为 1 的分数。不过在他们那儿是用六十进制表示的。

比如 1 ?

7 ? 30 ,

1 ? 20 等等。

8 60

602

3 60

这样一来，巴比伦就能做整数除以整数的除法了。比方说一个整数要除
以 8，那就把它乘以 1/8，查一查倒数表，看看 1/8 能化成什么样的六十进分 数。
这十进分数在我们的十进制记数法中，实际上就是十进的有限小数。所
以，六十进分数在六十进位制中也就是有限小数。这样，化除法为乘法一个 小数，当然简单了。
　　巴比伦的数表真真是数不尽，道不完。他们还有表示平方、平方根、立 方和立方根的数表。
遇到无理数，当然不能用有限的六十进制表示啦，不过 2 在那会儿倒 算得挺准：1．414213??当然，他们哪能知道 2 是无限不循环小数呢？那
时各个地方的人似乎都认为世界上只有有限位的小数。
当然，这 2 在巴比伦人那里还是用六十进制分数表示的：
24 51 10
1 ? ? ?

60 602

603

却说这巴比伦的数学泥版，除了大量的表以外，其他就是一些提问式的

内容了。这些问题的一个个解决，往往反映了他们的代数方面的水平。 早期巴比伦的代数相当发达。这方面的一个著名问题，就是求出一个数，
让它和它的倒数的和等于已知数。 用现代的记号来说，就是要求出这样一个 x，使得
x＋ 1 ＝b
x
这么个代数方程大家都能把它化成一个一元二次议程：x2－bx＋1＝0

他们先出（ b ）2 ，再求出

b 2
( ) ? 1，然后得出答案。

2 2
b b b b

( ) ?

( ) 2 ? 1 和

? ( ) 2 ? 1 。

2 2 2 2
由于巴比伦人不知道负数，所以负根是略去不提的。 这样看起来，巴比伦人实际上知道二次方程根的公式。当然，我们这里
看到的二次方程是特殊了点，常数项只是 1。 不过，有好些问题是打算说明二次方的一般解法的。对于更为复杂的代
数问题，甚至用到了等量代换，把复杂的化成简单的！ 巴比伦人很喜欢用文字代表未知量，把代数方程用语言叙述并且还用语
言求解出来。他们常常用长、宽、面积这些了来代表未知量，好像我们求解
方程时，把未知量设为 X、Y 等。 比如说，在一块泥版中有这么个问题：
“长乘以宽得到面积 10；现在我把长自乘，得到的也是面积。再把长与
宽的差平方，然后乘以 9，得到的还是面积 10。问长和宽是多少？” 这个问题翻译成现在的写法就是
XY＝10
9（X—Y）2＝X2
　　这样的方程组咱们初中生解决起来不费事，不过，你要想想这可是三千 多年前的事（公元前 1600 年），可真够伟大的！
这古代的巴比伦人不但在记数、算术和代数方面技高一筹，几何方面的
知识也不赖。从公元前 2000 年到 1600 年的一些泥版中，可以知道他们已熟 悉了长方形面积、直角三角形面积的计算。还有一些简单立方体的体积也已 经能算出来。
对于圆，全世界的文明都对它有浓厚的兴趣。这里关键的一点，就是对
圆周率的认识。

圆的面积他们是用 C


（C表示圆周长），这样一个

12
式子算出来的，这说明在那时候，圆周率取得了。
　　这和我国古代“周三径一”的说法是如此的相同！后 来，他们用了 1 来作为圆周率的值，相对来说要精确一些。
8
不过，巴比伦在几何方面的造诣可远不止这么些。
　　1945 年，有两位学者对放在哥伦比大学的一块数学泥版解读一番，发现 了更令人吃惊的事情。这块泥版的编号叫变普林版 322 号。
　　这块泥版上一共列举了 15 行数，经过认真地研究这才发现：原来每一行 都是毕氏三数！
　　
什么叫毕氏三数呢？也就是能构成直角三角形边的三个整数。比如像
3、4、5，就是商高说过的“勾三股四弦五”。还有 5、12、13 等等。 但是这普林顿 322 号版上给出的 15 组毕氏三数可是了不得！很大，现在
咱们写出几组：
（120，119，169）（3456，3367，4825）
（4800，4601，6649）（6480，4961，8161） 其中有一组更大：（13500，12709，18541） 这么大的数决不可能是用一次次试算求得的。人们猜测这些古人是不是
掌握了计算毕氏三数的一组公式：
d＝2xy，b＝x2－y2，c＝x2＋y2
　　这里，x 与 y 互素，有偶性也不同，并且 x＞y。这样，a、b、C 就构成 毕氏三数了。
　　这组公式可是在普林顿泥版的一千多年后，才作为一项伟大的成就出现 的呢！
人们还猜测，这些古巴比伦人是不是当时就得知了“毕达哥拉斯定理”
（也就是勾股定理）。要真是这么回事，那可就是把毕代定理提前 1500 年发 现了！
不幸的是，这普林顿 322 号是个残品，这块书板的右边中间有一个很深
的缺口，左边掉下的一块也下落不明。这左边破的地方还有现代胶水粘过的 痕迹。大概是这块书板不知怎么破了，人们尝试着用胶水把它们粘在一起， 但最后还是脱了胶。更糟糕的是这掉下的一半都不知弄那去了。也许是想要 这块泥版的人太多，你争我抢弄坏的吧？也许是原来不当它回事，东扔西丢 搞掉了吧？说不定也有可能还蕴含着一个惊险曲折的传奇故事。反正在大洋 彼岸的我们，也只能这么瞎猜猜了。
巴比伦人的天文学知识很丰富，三千年前就有了系统的观测资料。他们
的天文学家甚至能把新月和亏蚀出现的时间准确地算到几分钟之内。 巴比伦古代有的是阴历。这阴历的一月是按月亮的运行周期定的，所以
有的月份是 29 天，有的月是 30 天，全是根据新月出现的情况来定。这样，
哪一个月定 29 天，哪一个月定 30 天，计算起来就复杂啦！ 再者，阴历的月和一年的时间长短也不能很好配合。12 个月就是都照 30
天算，也还只有 360 天，何况这其中还有不少是 29 天的，这就和一年的天数
差得多了。所以要根据情况，必要时在一年中插进一个月，变成 13 个月。这 就是阴历的闰月。如果 19 年里插进 7 个月，也就是 19 年 7 闰，那么月和年 就能配合起来了。
这和我们中国用的农历是完全一样的。正所谓“英雄所见略同”吧。 使我们感兴趣的还有他们建造过的许多巨大的天文台。这种建筑通常是
由 7 个梯台组成的，一个造在另一个的上面，就好像一架巨大的梯子伸向天 空。每一个梯台上都涂有一种颜色，代表七个星球——太阳，月亮，金、木、 水、火、土星。也许，这就是传说中巴比伦造的通天塔吧。
　　用这种建筑形式建造的宫殿，它的宏伟、朴素、匀称和美观是令人惊讶 的。谁敢说，建造这些宏大的建筑不需要几何知识呢？
说了巴比伦，下面要把尼罗河畔的事由道一个明白。 这古埃及人得天独厚，在尼罗河畔沐浴着阳光幸福地成长。当美索不达
米亚的统治权在各个民族间你争我夺，迭经更替的时候，埃及的文明却在尼

罗河的摇篮里独自发展着。 埃及的文明源自何处今天已难以考证，不过可以肯定的是，在公元前
5000 年之前，就存在着。 在今天埃及这块土地上，一开始有许多的州。每个州都有自己的名称、
都城，军队、政权、方言和图腾，俨然是一个个独立的小王国。 经过长期的战争和兼并，到公元前 4000 年代的中期，形成了两个较大的
王国。两国以孟斐斯为界，以南的尼罗河谷地为上埃及，以北的尼罗河下游 三角洲平原为下埃及。
　　公元前 2100 年左右，上埃及国王美尼斯征服了下埃及，实现了全埃及的 统一。美尼斯把都城迁到上下埃及接壤的孟斐斯，并把它称为“白城”。
　　以后埃及历史的主要时期就以统治的朝代来命名，而以美尼斯为第一王 朝的创建人。
　　埃及文化在第三王朝（公元前 2500 年左右）到达顶峰，当时的统治者建 造了至今闻名的金字塔。一直到公元前 332 年，亚历山大征服它以前，埃及 文明都按着自己的道路延续着。从此以后，埃及的历史和数学就融入到希腊 文明中去了。
　　古代埃及文明的历史延续了 3000 多年，是世界文明发祥地中的一个。 古代的埃及好像“书”没有“同文”，他们有几套自己的文字，最早的 是象形文字，这些都和咱们中国一开始的情况差不多。公元前 2500 年左右，
开始用一种所谓“僧侣文”来作日常的书写。
他们又是怎么书写的呢？大家或许都知道就是用墨水写在纸草片上。 纸草是尼罗河下游的一种植物，又叫纸莎草，形状像芦苇。古代埃及人
把这种草从纵面剖开，压平后用来写字。同时，一般是把许多条纸草片粘在
一起，连成长幅，卷在一个杆子上，形成卷轴（倒很人些象我们的卷轴书画 呢！），所以这些纸草文书又叫纸草卷。
古埃及的气候干燥，所以纸草卷不会霉烂，这样就能保存下来，留给后
世；但正因为也太干了点，所以纸草片又容易干裂成碎末，这样保存下来的 又不多。正所谓“成也萧何，败也萧何”，老天爷弄得也挺为难的。
留给后世的纸草文书那可是大不一样了，恒温恒湿，高精控制，比总统
住的还高级。这里面有数学内容的主要是两批。
　　一批是在 1893 年由俄罗斯收藏家哥列尼舍夫所收购，1912 年转为莫斯 科美术博物馆所有，所以叫莫斯科纸草卷。
一批是 1858 年由英国发现的，现存英国博物馆。因为它的作者阿摩斯，
是公元前 1700 年左右的一位埃及僧人，所以又叫阿摩斯纸草文书。 据这位僧人记载，这份纸草文书的内容是从公元前 2200 年第十二王朝时
代的纸草文书上转录下来的。他在这份纸草文书的开头写下了这么句话：“获 知一切奥秘的指南。”
数学纸草卷都是在古埃及政府和庙宇里工人的纪录员们记下的作品。 在莱因德纸草文书里有 85 道数学问题和解答，莫斯科纸草文书里有 25
道。虽然这些数学问题“解答大全”是在公元前 1700 年左右编写的，但所含 的数学知识是埃及人早在公元前 3500 年就已经知道的，而从那时起直到希腊 人征服他们以前，他们也还是没增加什么新内容。
　　埃及的数学就这么平静地流淌了三四千年，好像尼罗河停止不动了。不 过，当时的生产水平也就那么高，当时的需要也就那么多。纸草卷上的那点
　　
数学也就足矣！ 看来不但时势造英雄，时势也成就科学。
　　从纸草卷上来看，古埃及还学会用数学来管理国家和宗教事务，确定付 给劳役者的报酬，求谷仓的容积和田地的面积，征收按田亩估出的地税，计 算修房盖屋和建防御工程所需要的砖块，再算算酿酒要多少谷物，等等，数 学一开始就是从实际需要发展起来的，这恐怕是全球都适用的公理。
　　古埃及人创造了一套从一到一百万的有趣的像形数字记号。咱们前面已 见识过：1 是垂直的一根木棒，10 是一副脚镣（有人把这解释为放牛时用的 弯曲工具），100 是一卷卷起来的测量绳（可能当时每卷测绳都是 100 个长 度单位），1000 是朵莲花。
　　一万呢，是个手指头，十万就画成小蝌蚪。最有趣的是一百万，画了一 个举起双手表示吃惊的人（这么大的数确实也令我们吃惊，古埃及好像是最 早写出这么大数的人）。
　　这套数字符号是以 10 为底的，但不是进位制的。书写的方式呢，也是从 右向左。咱们在上一回已经看到了，故且放下不提。
　　埃及的算术具有加法的特征，不但加法是加，而且乘法也是用叠加的方 法做出来的。
现在我们当一回古埃及人，做一下 26 与 33 的积，看看究竟是如何叠加
的。
　　因为 26＝16＋8＋2，所以我们只要把 33 的这些倍数（2 倍、8 倍、16 倍）加起来就行了。而 2、8、16 等等，都是 2 的乘幂，所以只要对 33 逐次 加倍就可能得到所求的倍数。
具体做法如下：

把那些带有星号（“*”）的 33 的倍数加起来，就得到答案 858。 做除法呢，就是连续减去加倍。
比如对 753 除以 26，可以连续地把除数 26 加倍，一直到再加倍就超过
被除数 753 为止。其程序如下：
126252410482081641628
　　右边的一列分别表示 26 的 1 倍、2 倍、4 倍、8 倍、16 倍，26 的 32 倍 已经超过被除数 753，所以就没有列出。
因为
753＝416＋337
＝416＋208＋129
　　　　　＝416＋208＋104＋25 这样我们又可以得到：753—26×（16＋8＋4）＝25 减式中一共有 16＋8
＋4＝28 个 26，所以商就是 28，余数为 25。 有人会想了，如果一个除法中，商不是 28，能不能由左边的那列数：1、

2、4、8??，也就是 2 的各次乘幂，相加得到呢？ 回答是肯定的。因为任何一个整数，都可以表示成 2 的各次幂的和。为
什么呢？这是因为任何一个整数都可以用“除二取余”的方法化成二进制数。 一进制数不就是 2 的乘幂的和吗？
埃及的乘法和除法在计算过程中不仅不需要乘法表，而且便于用算盘。 古埃及的乘法程序不断发展，到后来就把上面讲过的叠加法改变为“双
倍和折半法”。
假如我们还是以 33 乘以 26，那么就可以连续地减半 26，并对 33 连续加 倍：









然后把倍列中的那些与半列中奇数相对应的 33 倍数加起来，即 66＋264
＋528，便得到乘积 858。
这其中的道理其实只要把 26 化为二进制数，就能理解。 今天电脑中的乘法就是用这种方法进行的，因为电脑中数的表示都是二
进制。相信朋友们自己能够解决这个问题，我们就不多谈了。
埃及人的分数记法也比较独特，还比较复杂。比如在像形文字中：

　　大家可以看到这卯形（■）的下面是个整数，所以卯形■加在整数上就 表示是一个几分之一的分数，也就是单位分数。
其他的分数就用单位分为九的和来表示
比如： 2 写成 1 + 1 。
5 3 15
　　在莱因德纸草文书中有个数表，把分子为 2 而分母为 5 到 101 的奇数的 这样一些分数，表达成单位分数的和：
　　
2 ? 1 ?

1 ， 2

? 1 ?

1 ??

7 4 28

99 66

198

　　利用这张数表，就能把其他一些分数写成分子为 1 的单位分数之和，埃 及人利用单位分数来进行分数四则运算。
　　这分数运算这么一来很繁琐，恐怕这也是尼罗泥畔的算术和代数没有达 到更高水平的原因吧。
　　在莱因德纸草文书的 85 个问题中，许多都是用来计算面包的分法，啤酒 的深度，牛和家禽的饲料混和比例，还有谷物贮藏等的。
　　对于其中出现的未知量，他们用纯粹算术的方法，没有解方程这种想法。 有些是用后来在欧洲称为“试位法”的方法来解决的。
比如对方程：x＋ x ＝24，
7

先选定的x的一个简便的值，譬如说7，于是
x＋ x ＝8，而不是24。因为8必须乘以3才是24，
7
所以互的正确值一定是7×3＝21。
在卡洪发现的一份公元前 2000 年的纸草文书中，有这么个问题：
“两个正方形面积之和是100，两者边长之比为1∶ 3 ，
4
求它们的边长。”
我们可以列出两个现在的方程：
x 2 ＋y 2 ＝100和x＝ 3 y
4
　　消去一个未知数，就得到一个一元二次方程，自然好解。可是，我们也 可以用“试位法”来解这个问题。这“试位法”其实就是“假设法”。
比如，取 y＝4，则 x＝3。而 x2＋y2＝25，不是 100；所以我们必须修正
x 和 y，把原来的数值加倍，这样 X＝6，y＝8。 当然，埃及人当时并没有用未知量、方程，而是用文字去叙述解的过程
的。所以这基本上只能是算术。
　　在莱因德纸草卷中，有一个问题（第 79 号问题）很有趣，对它的解释也 五花八门。在这个问题中，出现了一组奇妙的数据。我们把这个问题写在下 面：
一个人的全部财产
房子 7 猫 49 老鼠 343 麦穗 2410 谷物 16807 19607 　　眼睛尖的读者可能已经发现，这些数是 7 的前 5 次幂，最后是它们的和。 这样，人们一开始就认为这不过是一张形象一点的 7 的乘方表。
然而有位历史学家康托尔（不是那位数学家）在 1907 年对此给了一个更
精彩也更合理的说法。 他首先联想到中世纪一位意大利数学家斐波那契在他的《算盘书》中谈
到的一个问题：“有七个老妇人走在去罗马的路上，每人有七匹骡子；每匹
骡子驮七条口袋；每只口袋装七个大面包；每个面包带七把小刀；每把小刀 有七层刀鞘。在去罗马的路上，妇人、骡子、口袋、面包、小刀和刀鞘，一 共有多少？”
这个问题后来在英国还演变成了一首童谣： 我赴圣地爱弗西，
途遇妇女数有七， 一人七袋手中提一袋七猫数整齐， 一猫七子紧相依， 妇女、布袋、猫与子， 多少同时赴圣地？
这么简单的一联想，思维的火花顿时迸出光芒，康托尔很自然地把莱因
德 79 号问题解释成：“一份财产包括七间房子；每间房子有七只猫；每只猫 吃七只老鼠；每只老鼠吃七个麦穗；每个麦穗产七克谷物。在这份财产中，

房子、猫、老鼠、麦穗和谷物，总共有多少？” 当今天的孩子在唱英国人的那首有趣的绕口令时，不知是否知道，这也
许还是三千七百年前埃及人留传下来的呢！ 埃及人的几何又是怎样呢？尼罗河畔自然不能缺少几何；而谈到几何，
自然又想到巍巍屹立的金字塔。
公元前 2900 年建造的胡夫金字塔最大，它原高为 146．5 米（现在还剩
下 137 米），用 2000000 块石头组成，每块平均重 2．5 吨，非常仔细地砌在 一起。正方形的底面每边长 233 米（现在 227 米）。
但是，这么巨大的正方形，底边长度的误差只是全

长的 1
14600

，仅仅只有1．6厘米！四个直角的误差只有

12 ″，仅为直角的

1 。
27000

此外金字塔的四个面正对着东南西北，与正北的偏差也只有 3′左右。 这么高大的金字塔，建造精度如此之高，唯有叹服也！不过有人认为，
莫斯科纸草文书的第 14 个问题，更是一座最伟大的金字塔。 在这个问题中，要你求一个截去了顶的金字塔，也就是现在常说的棱台
的体积。当然，它接着就告诉你上、下两个正方形的边长，这个截顶金字塔
的高。然后就教你怎么算了。 从这些埃及人的伟大教导中，我们竟得出了一个连现代人都感到困难的
四梭台计算公式：
V＝ 1 h（a 2 ＋ab＋b 2 ）
3
　　这里当然是用了现代的记法，h 代表高，a、b 分别是上、下正方形的边 长。
这也许是埃及几何里最了不起的一项成就了，因为它完全正确。
　　不过在计算比较简单的四边形的面积时，却有一个明显的，令人迷惑不 解的错误。
在一个庙宇的墙上就刻有一张捐献田地的表，这些田地一般都有四边，
我们用 a、b、c、d 表示它们的长。并且，a、b 两边相对，C、d 两边相望。 不过，这一次埃及人给我的教导令人失望，墙上刻出的这些田地的面积
是：
（a＋b） · （c＋d）
2 2
　　这个公式用来计算长方形时是完全正确的，但用来计算一般的四边形面 积就不对了。如果这个四边形的四角与直角相差太大，那误差就非常明显了。
　　如果碰上一些三角形的田地，他们就认为d消失 了，面积的算法就变成 （a＋b） · c ，这个公式自
2 2
然也有毛病。


有一个流传很广的说法；古埃及的拉绳人（测量员），在绳子上打结，
把全长分成 3 比 4 比 5 的三段，然后用来构成直角，或者构成直角三角形。 这个美好传说在纸草文卷和庙宇壁刻上都找不到痕迹。
但是找不到并不能说他们对勾股定理没有认识。应当相信，许多普遍性

的东西在各个文明发源地都会有发现，有表现的。 所以有人建议，如果地球人发射宇宙飞船去寻找外星人的话，不妨用勾
股定理去作勾通的名片，交流的话题。当然，这送去当礼物的勾股定理有什 么文字书写，用什么话去说都没什么用，外星人谁懂得你地球上的一套信息 符号呢？所以有人就又建议把这勾股定理画成一幅一看就懂得的几何图，行 不行就是两说了。因为外星人有没有更是两说呢。
埃及人对圆面积的计算好得惊人，有的公式是A＝（ 8d ） 2 。
9
这 d，自然是直径。这就等于取圆周率为 3．1605，够精确的了。 尼罗河定期泛滥，这样，观察好天象，研究好历法可是件大事，这可真
正是关系到能不能得到食物的事情。古埃及靠观察天狼星来算得一年的日 子。他们把一年定为 365 天，分为 12 个月，每月 30 天，年末外加 5 天。不 过他们的天文学比起巴比伦人来，要逊色多了。
　　不过，埃及人在天文和几何方面有另一项好记录，他们造的神庙，能使 一年中白天最长的那一天（也就是夏至），阳光可以直照入庙宇，照亮祭坛 上的神像。小民们不知事情缘故，自然是惊恐地或惊讶地伏在神像下多叩头 了。
两边文明一一叙，让咱们再回到华夏古国。
　　却说这周公、商高的一番对话，自然使我们好激动。不过大家对只有“勾 三、股四、弦五”这点内容当然不够满意。3、4、5 这一组数毕竟只是最好 找的毕氏三数。
那么，商高们似乎并不仅仅停留在勾股定理的一些特殊情况。
　　《周髀算经》中在摆谈了一阵周公、商高的恳谈后，又出现了一段荣方 和陈子的问答。这荣方与陈子是何年何月何处人氏，典籍都没有交代，想必 不是名人，不像周公旦那样名声远播。但陈子的一席话却是有历史纪念碑般 的作用，不可小觑。
陈子曰：“若求斜至日者，以日下为勾，日高为股。勾、股各自乘，并
而开方除之，得斜至日。” 陈子是在说，你想求出“斜至日”（弦），只要把勾股分别平方（自乘），
然后相加，再对其开平方，也就是说：
弦＝ 勾2 ? 股2 。
　　这样，我们的勾股定理就不限于 3、4、5 这些具体情况，而是有着对任 意直角三角形都适用的一般形式。因此，尽管我们古人对勾股定理并没有像 希腊的毕达哥拉斯那样去证明，但却要早几百年发现。
　　这《周髀算经》是中国最古老的算书，大约在 2000 多年前写成，主要记 述的是周代的一些数学、天文知识。
　　“髀”的原意是股或股骨，所谓“髀者，股也”，就是这个意思。这里 是用来指测量太阳影子的“表”了，也就是标杆。想必当初一开始用的标杆 就是动物的一段股骨。
　　“正晷者，勾也”，这是陈子对“勾”的说法，意思是影子的长。所以， 这陈子得出勾股定理，是从测量太阳影子的工作中取得的。知道了标杆的长 和影子的长，就能把“斜至日”，也就是影子的未端与标杆的顶端的那一段 算出来。
陈子教导荣方说，夏至的时候到南面 16000 里的地方，冬至的时候南去