解几何题的钥匙

几何是怎样入门的


　　几何是研究图形性质的学科。研究图形的性质，既不能单凭观察，也不 能先靠度量。那么靠什么呢？靠判断、推理。要做到这一点，首先，要学好 概念，这样才能了解题目的具体内容；其次，要学好公理、定理，这是判断、 推理的依据。所有这些，既是学好几何的准备，又是几何入门的开始。几何 是研究什么的


几何是研究图形性质的学科。在平面几何中重点研究的对象是三角形、 四边形和圆。








　　比如图 1 中已知△ABC，用刻度尺量一量每一边的长度，或者用量角器量 一量每一个内角的大小，这当然是几何课的内容。但是，几何课主要的内容 不是这些，而研究图形的一般性质。象三角形有三个内角，每一个内角有多 少度是不一定的，可是三个内角合起来一定是 180°，无论任何人画任何一 个三角形都会得出相同的结论。
有了什么条件，必然得到什么结果，这就是规律性的认识。象图 1 中△
ABC，若是给了 AB 边大于 AC 这个条件，就一定能得出 AB 边所对的∠C，一大
于 AC 所边对的∠B 这个结论。在图 2 中，已知ABCD 对角线相交于 O，根据 平行四边形定义不但能判断 AB 边等于 CD 边，而且可以判断△AOB 与△COD 是能够重合的。这里，既不用度量，也不用把△AOB、△COD 剪下来真的重合 在一起。这就是凡平行四边形一定有的特点，是它们的共性，是人们研究平 行四边形得到的规律性认识。
这些都图形的性质。
在图 3 中，已知 A、B、C、D 都是⊙O 上的点，可以判断∠ADB 一定等于
∠ACB。这样判断不是单凭观察就能得到的，因为只凭眼看是看不准的，也不 是靠度量，因为即使能量准，也不能得到一般性结论（一个圆有这个性质， 也不能对所有圆下结论）。
所以，几何要研究的图形性质，是某一种图形的一般的性质，即凡是这
一种图形一定有的性质，包括形状、大小和相互位置关系。

练习一

1． 已知∠AOB=+α，∠AOC=β，且α＞β，α、β表示∠BOC。
提示： 原题是不给图的。由已知条件可知 O 是这两个角的公共顶点，
OA 是这两个角的公共边，但是 OC 的位置，并没说明，OC 与 OB 若是分在 OA 的两旁，就成为图 4 形状，有∠BOC=∠AOB＋∠AOC=α＋β；OC 与 OB 若是同
在 OA 的一旁，如图 5 的形状，就有∠BOC=∠AOB-∠AOC=α-β。只有这样考 虑才算全面，才能反映出满足已知条件的角的一般性质。


　　2．画一个四边形 ABCD，使 AB∥CD，并且 AD=BC。提示：题目没有限定 四边形的边的长度，只提出 AB、CD 的位置是平行的，AD、BC 的大小是相等 的。可能有的读者画出来的是一个平行四边形，有的读者画出来是一个等腰 梯形。如果同时画出两种图形，就最好了。学过平行四边形判定的读者知道， 一组对边平行，另一组对边相等，是不能判定这个图形是平行四边形的。
　　
不懂概念寸步难行


　　研究图形性质，既不能单凭观察也不能靠度，那么靠什么呢？靠判断、 推理。
要学判断、推理，首先得学概念。 比如学几何必须先明白什么是直线，然后才能分清两直线相交还是不相
交，接下去才懂什么叫平行线、什么叫平形四边形。这样研究平行四边形的 性质才有了起点。
　　象直线、平行线、平行四边形这些是名称，相交、平行这些是术语，都 是概念。学习几何必须准确、牢固地掌握概念，才可能动手研究，才可能研 究出正确的结论。不懂概念是寸步难行的。
在图 6 中，已知：AB∥CD，直线 EF 和 AB、CD 都相交，交点分别是 E、F，
∠BEF 的平分线与∠EFD 的平分线相交于 H，求证：EH⊥FH。

　　这样一个题目，包含多少概念？AB、CD 是平行线，EF 是直线，它们相交 构成角，而且∠BEF 与∠EFD 是同旁内角（懂得三线八角中，用两条直线分内、 外，第三条直线分两旁，才能迅速、准确地找到内错角、同旁内角），平行 线的同旁内角是互补的，由角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，然后推 出∠2、∠是互余的。由三角形内角和 180°算出∠H=90°，再根据两条直线 互相垂直的概念，判断 EH⊥FH。
这当中平行线、直线、角、同旁内角、角平分线、三角形、内角都是名
称；而相交、互补、互余、互相垂直是术语。这个问题的解决共计用了十一 个概念。无论哪一个概念不明确。都将导致错误。
再如三角形的高是一个重要概念，不能一般对待，要格外认真地学。大
家知道： 三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做三角形的高。
学习这一概念的时候，必须一定一句对照图形认真研究。如图 7，在△
ABC 中∠ABC 是钝角，现在我们想从 A 点向它的对边画垂线，或者说想画出
BC 边上的高。这时，A 是“三角形一个顶点”，而“它的对边”是 BC 线段， “它的对边所在直线”是 BC 直线。既然是直线，那么 BC 可以向两方无限延 伸。引垂线就要自直线 BC 一点 A 用基本作图的方法（或用三角板推）画出垂
线 AD 来。A 点到垂足 D 之间的线段（即线段 AD），才是要作的高。

　　这道题能否作正确，就看你对三角形的高的概念是否清楚。具体地说， 这里用到了三角形、顶点、对边、所在直线、互相垂直、直角、垂线、垂线
　　
段等概念。 我们经常用概念指导画图或作图，用概念指导计算，用概念指导推理。
所以说，只有掌握好概念，才能形成正确的思路。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　练习二

回答下列问题：
1．什么叫钝角？
2．什么叫垂线？
3．两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线的距离各是什么意思？
4．什么叫三角形的外角？三角形外角和指的是什么？
　　5．一条直线上有 A、B、C 三个点，图中有几条射线？这个题目和射线概 念有什么关系？
6．什么叫命题、逆命题、公理、定义、定理？
7．什么叫多边形的对角线？
8．两个角既互余、又相等，这两个角各是多少度？既互补、又相等？
9．一个角是它余角的 5 倍，求这个角的补角是多少度？
10．画出钝角三角形的三条高。

怎样记概念学概念


　　一开始学几何，就遇到许多概念，光是前两节，大约就有 60 个名称、术 语。初学的同学一下子把这么多的概念都记住是有困难的。怎么办？请你把 最重要又常用的概念记牢，比如，射线、线段，特别是角的概念，包括各种 单称、并称、互称的角都必须学会；对于其他概念可以先读读，做作业用到 哪个概念就读哪个概念。逐渐对这些概念就会熟悉了，以后用到的时候再认 真学。分散难点，集中精力，为的是把重要概念学好。
到底怎样才能把几何概念学好呢？ 首先，我们应该把概念多念几遍，直到念顺了嘴为止。一个新概念，说
都说不利落，怎么能讲理解、运用呢？比如，点到直线的距离的定义是：“从 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。”只有反复 念几遍以后，才能在全面了解这个概念的基础上，抓住“垂线段”、“长度” 这个要点。
　　其次，我们应该结合图形，理解记忆。几何是研究图形性质的学科，几 何概念应该结合图形去理解记忆。比如图 8 中任意四边形 ABCD 内有一点 P，
问 P 点到各边的距离是多少厘米，要求用刻度尺去量，精确到 0.1cm。

　　根据点到直线的距离这个概念，应当先画出 P 点到这 AB 的垂线 PE，这 里垂足为 E，所以垂线段 PE 的长就是 P 点到 AB 的距离。同样，可以画出 P 点到 BC 的垂线段 PF，P 点到 DC 的垂线段 PG，P 点到 AD 的垂线段 PH，再用 刻度尺去量就可以了。这样边想概念边画图，就能懂得快、记得牢。
再就是运概念解题。无论几何证明题、几何计算题、几何作图题，都离
不开几何概念。学过等腰三角形性质以后，有这样一道证明题：求证“等腰 三角形底边中点到两腰的距离相等”。
在图 9 中，已知 AB=AC，D 是 BC 中点。有的同学说，因为 DB=DC，所以 D
到两腰距离相等。这就是错把 D 到 B、C 点的距离，当作 D 到 AB、AC 的距离 了。应该首先看清题目，是“底边中点”即 D 点，到“两腰”即 AB、AC 的“距 离”，是指点到直线的距离，不是点到点的距离。然后复习点到直线的距离 的概念，画出 D 到 AB、AC 的垂线段。这样，运用概念解决了问题。









　　值得一提的是，有些概念应该格外注意。例如，平角是用射线绕端点旋 转，始边终边成一直线定义的，而不是用 180°角定义的；钝角概念的理解、 叙述都要完整；互余、互补概念不要混淆??
下面看两个例题。


例1 一个角是它的余角的

1 ，求这个角的补角。
3

　　分析：设这个角为α，则它的余角为 90°-α，它的补角为 180°-α。 这就是用互余、互补的概念来表示这些角。再根据另外的大小关系列方程，
即α = 1 （90° - α），可得α = 22 ．5，它的补角180 ° - α = 157 ．5°。
3
1 1
若是用 的关系设未知数，即设这个角的余角为α，则这个角为
3 3
α，然后用互余概念列方程α＋ 1 α = 90°，可得α = 67．5°。因为一
3
个角的补角比它的余角大 90°，所以这个角的补角为 157．5°。这又是根据
互余、互补的概念作出的判断。
例 2 求证：三角形一边的两个端点到这边上的中线距离相等。
分析：如图 10，这个题涉及的概念中“三角形”、“边”、“端点”， 都不难懂，三角形的“中线”，就需要明确是“连结三角形一个顶点和它的 对边中点的线段”；尤其值得注意的是这个“距离”，是点到直线的距离， 所以要从 B 点和 C 点分别向 AD 及其延长线引垂线段。










　　在平面几何中，有三种不同的“距离”概念：两点距离；点到直线的距 离，两条平行线之间的距离。只有把它们归在一起，对比着念，才能分得清， 记得住。
概念清楚，证明就容易了。这个题只要用“角角边”证△BDE≌△CDF，
就可以得到 BE=CF 了。

练习三

想一想，下列各题错在哪里。
1． 在图 11 中，已知 AD∥BC，就说∠1=∠2 对不对？在图 12 中，已知 AB∥CD，就说∠DEC=∠BFH 对不对？








　　提示： 应着重研究三线八角中内错角与同位角概念。在图 11 中，两条 平行线 AD、BC 被 DB 所截，内错角∠3=∠4 是正确的，∠1、∠2 这一组三线 八角无关。若说∠1、∠2 也是内错角，那指的是两条直线 AB、CD 被 DB 所截， 但是 AB、CD 是否平行还不知道，所以不能说∠1=∠2。在图 12 中，两条平行
线 AB、CD 被 EF 所截有四组同位角，其中没有∠DEC 与∠BFH，这两个角的边

是 ED、EG、FB、FH 已经是四条直线了，怎么会是同位角呢？用三线八角认真 检查一下就明白了。








2．在图 13 中，问 E 到 CD 的距离，就画出垂线段 EF，然后量 EF 的长 对不对？









　　提示：点到直线的距离是用“垂线段”的长定义的，而“垂直”是用两 条直线相交成直角定义的。那么，对这道题来说是哪两条直线呢？既然是 E
到 CD 的距离，当然 CD 是一条直线，再就是所作的垂线 EF 是一条直线。下面，
我们在看一看 CD 与 EF 所成的四个角中是不是有一个角是直角呢？没有。所 以量 EF 的长是错误的。因为它不是从 E 点到 CD 所作的垂线，应该自 E 点作
CD 的垂线，然后再量垂线段的长。
3．把钝角三角形的三条高，画成图 14 的样子，对不对？



　　提示：AD 是△ABC 的高是对的，DE、DF 虽然也是垂线段，但是与三角形 的高的概念（“三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂线段”）不符合， 所以有两条垂线段不是高。我们应该从 C 点向 BA 的延长线引垂线，从 B 点向
CA 的延长线引垂线。
4．如图 15，AB 是直线 l 的垂线，垂足为 B，AC 为直线 l 的斜线，斜足 C，CD⊥CA，就说∠1 与∠2 互余、∠1 与∠3 互余，所以∠2 与∠3 互余，对 不对？







　　提示：根据互余的概念，写出表达式∠1＋∠2=90°；∠1＋∠3=90°这 两个等式经过移项，可改写成∠2=90°-∠1；∠3=90°-∠1。显然，∠2=∠3， 不是∠2 与∠3 互余。一般地说，由α＋β=90°γ＋β=90°是判断不出α＋ γ=90°的，应该得出α=γ。当然除非要α、β、γ都是 45°的情况。
　　
5．如图 16，已知在△ABC 中，D 是 AB 中点，E 是 AC 中点，N 是 BC
上一点，AN交DE于M。就说DM等于 1 BN，根据是三角形中位线定理，对
2
不对？

　　提示： 在应用三角形中位线定理的时候，必须符合三角形中位线的概 念。在△ABN 中，已知 D 是 AB 中点，可是，M 是不是 AN 避点，却还没证明。 应该先证 DE∥BC，再用平行线等分线段定理的推论，判断 AM=MN，才能用
△ABN两边中点连线DM平行于BN且等于 1 BN这个结论。
2
6．如图 17，在正方形 ABCD 中，E、O、F 分别是 AB、DB、AD 的中
点，能不能说根据三角形中位线定理，有OE = 1 AD、OF = 1 AB。因为
2 2
AD=AB，所以 OE=OF。又 AE=AF，∠A=90°，所以四边形 AEOF 是正方形。这样 说对不对？










　　提示：这个题中，论据摆了不少，但是对照正方形定义（“有一个角是 直角并且有一组邻边相等的平行四边形叫正方形”），还是少了一个条件， 即没有证明这个四边形是平行四边形。如果说先以两组对边分别是相等证出
平行四边形OE= 1 AD=AF，OF= 1 AB=AE，再有∠A=90°，AE=AF，这
2 2
样证明就对了。判断、推理的依据


　　判断、推理是研究图形性质的主要方法，判断、推理的依据又是什么呢？ 是几何的概念、公理和定理。概念问题，前两节已经讲过。下面，我们着重 谈谈公理和定理的作用。
　　让我们通过一道几何证明题，看看几何公理、定理的应用，以及公理、 定理间的联系。
如图 18，已知：△ABC。求证：∠A＋∠B＋∠C=180°






证明时过 A 点作 DE∥BC，得到∠1=∠B，∠2=∠C。这就用到学过的定理：

二直线平行，内错角相等。由于∠1＋∠BAC＋∠2=180°，比等量代换，可以 得到∠B＋∠BAC＋∠C=180°。
　　从表面上看这个证明过程只用了一个定理：“二直线平行，内错角相等”， 可是这定理是在学了“二直线平行，同位角相等”和“对顶角相等”这两个 定理之后得到的。因此，这个问题的解决，需要三个定理。 再进一步说，学 习另外两个定理时，又需要先学另外的公理、定理，还需要应用反证法的知 识和基本作图的技能。
　　看起来一道几何题的证明，就是研究一个图形的性质的过程，而这个研 究过程用的是判断、推理的方法。几何学要求每一步的判断都要有根据，这 些根据就是前面讲过的公理或定理。前面定理又要它前面学过的定理作依 据，照这样总要向前面要根据，最前面的怎办呢？这就是公理。几何公理是 人们从实践中总结出来的图形的基本性质，它已为大家所承认，可以作为说 明其他问题的根据。
　　在几何课里学公理、定理，如同在代数课里学法则、公式一样，就靠这 些内容来解题。研究图形性质，就要根据题目条件，选用一条或几条几何公 理、定理来判断、推理，最终得到需要的结论。所以，大家一定要象熟悉代 数法则、公式一样地念熟几何公理和定理。
推论是证明定理时附带得出的几何图形性质，也可以把它看作定理，只
不过推论往往是没有单独证明过。尽管如此，有时候一个定理的理论，比本 定理应用的时候还要多。例如，三角形内角和定理的推论，圆周角定理的推 论，都是这样。
练习四


　　1．将上面所说证明三角形内角和等于 180°的过程中用到的定理，都追 问一个为什么，并且加以证明。
2．证明下列定理，认真写出已知、求证、证明过程，以及每一步骤的依
据：
（1）同角的余角相等；
（2）同角的补角相等；
（3）等角的余角相等；
（4）等角的补角相等。

　　　　思路是怎样打开的


思路随着推理过程而展开，为了找开思路，必须会推理。 首先，要弄懂弄通某些局部知识的推理特点。比如，平行线部分的推理
特点是分清判定定理和性质定理；全等三角形部分的推理特点是有选择地挑 出三个元素对应相等；平行四边形是平行线与全等三角形的综合，必然兼有 以上两部知识的推理特点。
　　其次，要认真钻研某些知识的纵向联系，真正做到举一反三，触类旁通。 比如，下面将要看到的：从研究相似形开始，引入了基本图的思想；从研究 圆开始，提出了十套知识归类训练法。
　　思路打开以后，千万注意一个容易被人们忽视的问题：当你添设辅助线 的时候，一定别忘了添线的合理性和可能性。推理从这儿开始


　　如果把概念、公理、定理都学会了，判断、推是就有了基础。这时就要 进行一些训练，比如，从具体到抽象的训练。
下面，我们先从两个角互余的关第出发，研究一下推理是如何展开的。 若α为 40°，则它的余角β为 50°。互余是两角之间的大小关系，只要
知道其中一个角的大小，就可以求出另一个角的大小。
　　若α为 40°，画出它的余角γ，则γ为 50°；再画出α的另一个余角θ， 则θ亦为 50°。结论是：凡是 40°角的余角，无论画出多少个，都是 50°， 也就是相等。
若α不是 40°，则它的余角当然不是 50°，但总可以用 90°-α来表示。
结论是：凡是α角的余角，无论画出多少个，都可以用 90°-α表示。所以， 凡是α角的余角都是相等的。
以上道理虽然简单，但是已经离开了具体数字的计算，开始上升到抽象
推理。（或几个角）的大小（度、分、秒），过渡到判断两个角大小相等， 虽然这时并不知道这两个角各自是多少度。
与此相类似，若是α角等于β角，则α角的余角必等于β角的余角。
两角互补的关系也是一样，下面写出推理的具体思路看一看。 已知：如图 19，∠α是∠β的补角，∠γ也是∠β的补角。





求证：∠α=∠γ。 分析：既然∠α、∠β是互补的角，就用式子把它们的关系表示出来，
写成∠α＋∠β=180°，再进一步，∠α等于什么呢？∠α=180°-∠β；同 样的想法写出∠γ=180°-∠β。到这里，可以看出：∠α与∠γ都等于 180-
∠β，所以∠α=∠γ。
证明：∵∠α＋∠β=180°（补角定义）， 又∵∠γ＋∠β=180°（补角定义），
∴∠α=180°-∠β（等式性质），
∠γ=180°-∠β（等式性质），
∴∠α=∠γ（等量代换）。

　　同样是图 19，可以把知条件改作∠α与∠γ是对顶角，求证∠α=∠γ。 证明开始时，先说 OB、OC 分别是 OA、OD 的反方向延长线，根据是对顶角定 义；再说∠AOB 与∠COD 都是平角，根据是平角定义；接着说∠α＋∠β=180
°，∠γ＋∠β=180°根据是互补定义。到了这时就可以直接得出结论，∠
α=∠γ，根据是同角的补角相等。 通过上述推理过程可以看出，从已知条件出发，每一步骤就是一次判断，
把一次又一次的判断连接起来就构成了推理。判断的依据不是概念，就是公 理、定理，也包括等式性质，开始学某一部分知识的时候，一般用概念进行 判断较多；逐渐定理学多了，用定理作为推理依据就多了。
练习五


　　1．已知：∠AOC 和∠BOC 互为邻补角，OD 平分∠AOC，OE 平分∠BOC。求 证：OD⊥OE。
2．已知：AB⊥MN 等于 B，CD⊥MN 于 D。求证：AB∥CD。

泾渭分明的平行线问题


　　从研究同角的余角相等这个结论开始，我们已经走进了推理论证的大 门。判断、推理伴随着学习几何的全过程，但是各阶段的推理也有它自己的 特点。平行线这一部分推理的特点，是必须分清判定和性质。即已知平行用 性质定理；求证平行用判定定理。
　　用角的关系来判断两直线平行，是一各常用的方法。因为平行线虽然有 定义，但是不好运用“不相交”这个概念。所以不便用定义，需要另设关定 方法。
　　这里有一项准备工作必须做好。就是弄清三线八角中的同位角、内错角 和同旁内角。这些角是因位置不同而得名的并称的角；并不说明两个角的大 小关系，即同位角有的相等，有的不相等，内错角也是有的相等，有的不相 等；同旁内角有的是互补的，有的不是互补的。
　　学习平行线判定公理，千万不要过早地简化公理，应该要求自己能完完 整整一字不错地将公理全文背不来，明确这是用同位角的大小关系，判断两 直线平行或是不平行的。若知道 （已知或已证）同位角相等，就可以判断二 直线平行；若不知道同位角相等还是不相等，就不能判断二直线平行。
学过平行线性质定理，必须已知或已证二直线平行才能用，也要全文背
诵下来。 若是过早地简化，往往容易忽视“如果”、“那么”的关系，甚至随便
就说“同位角相等”，造成凡同位角就相等的错误印象。
　　有关平行线问题的推理，重要的事情就是分清性质和判定，每次证一个 题目，对其中每一个推理步骤，都要问自己一次：是已知平行还是求证平行？ 是用性质理还是用判定定理？
例如图 20 中，已知：AB∥CD，EG、FH 分别是∠AEF 和图 20∠EFD 的平分
线。求证：EG∥FH。








证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠AEF=∠EFD（两直线平线，内错角相等）。
∵∠1=∠2，∠3=∠4（角平分线定义），
∴∠2=∠3（等式性质），
∴EG∥FH（内错角相等，两直线平行）。
　　值得注意的是∠2 与∠3 确实是内错角，但是之所以能说∠2=∠3，并不 是因为这两角由它们的位置来看是内错角（因为内错角不见得相等），而是 因为∠2 是∠AEF 的一半，∠3 是∠EFD 的一半，∠AEF 与∠EFD 是相等的，∠
2、∠3 是等量的一半，所以相等。
练习六


　　1．如图 21，已知：直线 MN 分别交 AB、CD、EF 三直线于 P、Q、R，且 AB∥CD，∠1=∠2。求证：AB∥EF。
　　

　　提示：证明 AB、EF 的位置关系时，可以用有关的角证，也可以用平行公 理的推论证。
2．如图 22，已知：∠1+∠2=180°，∠3=61°，求：∠4 的度数。









3．如图 23，已知：AB∥CD，且∠1=∠2。求证：BE∥DF。

4．如图 24，已知：AB∥CD，AG、CF 分别是∠BAC 与∠DCE 的平分线。求 证：AG∥CEF。
　　
规规矩矩证全等三角形


　　每一个三角形都有三条边、三个内角。如果两个三角形这六个元素一一 对应相等，这两个三角形必然能重合。
　　如果两个三角形能重合，那么这两个三角形就叫做全等三角形。实际上， 在判定两个三角形全等的时候，不需要六个元素对应相等，只要有经过选择 的三个元素对应相等就够了。这就是课本上明确的五个判定定理。
　　但是一道几何题是不会给足三个条件的，至少要缺一个条件，让学生从 其他条件中再推出一个条件。
如图 25，已知：△ABC 与△ADE 都是等边三角形。求证：△ABD≌△ACE。

　　每见到一个图形，就应当立刻想想它有什么性质这是推理的具体准备。 比如，已知条件说△ABC 与△ADE 都是等边三角形，我们就会立刻想到 AB=BC=AC，∠CAB=∠ABC=BCA=60°；AD=DE=AE，∠EAD=∠ADE=∠DEA=60°。 这些不一定都写出来，只是作好准备，证明时用什么写什么。
再看看求证的两个三角形，已经有两对边分别相等了，下面或是能证明
夹角相等，满足“边、角、边”定理；或是能证明第三边相等，满足“边、 边、边”定理。结合上面推出的条件，∠1=∠BAC-∠3，∠2=∠DAE-∠3，所 以∠1=∠2。可以证明△ABD≌△ACE。
开始学习三角形全等，主要是证这类题，所缺条伯，经常靠下述关系补
足：1．公共边；2．公共角；3．对顶角；4．平行线的内错角（或同位角）；
5．同角（或等角）的余角相等；6．同角（或等角）的补角相等；7．等式性 质。
上面说的是“怎样想”。全等三角形与相似三角形是平面几何两大中心，
大部分知识环绕着这两个内容来研究，所以从已知的条件及求证的要求产生 证三角形全等的意识是很有用的。
证全等三角形不但要会想，而且要会写，要讲究证题格式。以前的证明
格式是在纸上画一条竖线，左边写过程，右边写根据；后来就用“∵”“∴” 的形式，一步步往下推理，将主要根据注在括弧内；现在用双箭头、大括号。 无论哪一种格式都要求有条有理、有根有据。讲究解题格式，最重要的理由 是保证推理无误，也使人能看清楚。出题的人不能把证全等的三个条件给全， 这就要求做题的人能根据已知条件有根有据地推出新的相等元素（边或角）。 寻新的相等元素的论证过程，未必都很简单，因此，有条有理地、清清楚楚 地写出证明过程，就显得十分重要了。
　　讲究格式对培养自己思维的条理性、全面性也是非常有益的。一道题的 前半部分是将需要的内容都证出来，准备好。后半部分是将用作判断三角形 全等的三条，摆在一起用大括号括起来，再审查一遍，看合不合要求，到底 是“角、边、角”，还是“角、角、边”，最后再用“≌”符号把要证的两 个三角形连结起来，在后面注明理由。
　　
如果做到上述要求，就不至于丢三落四了。 请大家看看下面例题的证明格式：
如图 26，已知：AB∥CD，BE⊥AC 于 E，DF⊥AC 于 F，且 AF=CE。求证： AB=CD。







证明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠C（两直线平行，内错角相等）。
∵BE⊥AC 于 E，DF⊥AC 于 F，
∴∠AEB=∠CFD=90°（垂直定义）。
∵AF=CE，
∴AF-EF=CE-EF， 即 AE=CF。
∴△ABE≌△CDF（角、边、角），
∴AB=CD。 刚刚开始学习三角形全等的同学，有必要将已经推出的三个条件重写一
遍，用大括号括在一起。
　　证两个三角形全等，往往不是目的，而是通过证明两个三角形全等得到 对应边相等或对应角相等。
有时证了一套三角形全等以后，还要再去证第二套甚至第三套三角形全
等。这样，题目加深了，内容复杂了，步骤多了，产生错误的可能性就更大 了。所以，我们说要规规矩矩证全等，只有找准三个条件，才能依照判定定 理证全等。
一般的题目是这样，难度大的题目更是这样。
如图 27，已知：等边△ABC，延长 BC 到 D，再延长 BA 到 E，使 AE=BD， 连结 EC、ED。求证：EC=ED。










　　这个题有几种不同的解法，应该怎么想呢？所谓学会想问题的方法，是 指什么说的呢？从等边△ABC 着眼，想到 AB=BC=AC，∠B=∠BAC=∠ACB=60°；
由 AE=BD=BC+CD 想到为了能说清这些线段之间的关系，不妨设 BC=a，CD=b，
则 AB=a，AE=a+b，BE=2a+b；由 BE 的长度可以用 a、b 表示，∠B 又是 60° 角，想到若是作 EF⊥BD 于 F，则△BEF 为直角三角形，∠BEF 为

1 1
30°，30°角所对边BF为斜边BE的一半，即BF= BE=
2 2

1
（2a+b）=a+
2

b。但是，BF=BC+CF=a+CF，所以CF= 1 b。又CD=b，所以FD= 1 b。即
2 2

CF=FD。这时，再证△ECF≌△EDF 就不困难了，易得 EC=ED。 这个题目与前面一些题目比较，显得难了一些，训练要求也高了一些。
要求降了必须熟悉等边三角形性质以外，还必须弄清这几条线段间的位置关 系与大小关系，才能按照需要运算、推理。
　　最后，欲证△ECD 是等腰三角形，作出辅助线 EF⊥CD 于 F，制造全等三 角形的想法是比较自然的。与些同时制造了直角△EBF，这个一举两得的结果 对解这个题是十分关键的。
练习七

1．如图 28，已知：AB=AC，AD=AE。求证：








（1）△ABE≌△ACD；（2）△BOS≌△COE；
（3）△AOD≌△AOE；（4）△AOB≌△AOC。
2．已知条件如上题。求证：∠BAO=∠CAO。
3．如图 29，已知：D 是△ABC 的 BC 边的中点，E 是 AC 边上一点，DF⊥
DE 交 AB 于 F，以 E 以圆心 EF 长为半径作弧交 FD 的延长线于 G，连结 CG，求 证：BF=CG。










4．如图 30，已知：C 是 AB 上一点，CD=AB，且 BE∥CD，以 BE=AC。求证， AE=AD。
　　
综合性强的平行四边形


　　平行四边形本身就是平行线与全等三角形的综合，因此，解题的时候必 然要兼顾上述两个方面。值得注意的是，对于“见到图形想到性质”的训练， 在这里要求更高些。从已知条件向推理，到底从哪个条件开始：这个选择是 十分重要的，关系到能不能顺利地进行推理。“已知”告诉我们的是“有什 么”，“求证”告诉我们的是“要什么”这就要求我们能按照题目的需要选 择有关的图形性质。
　　如图 31，已知：在四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A=∠C。求证：四边形 ABCD 是平行四边形。
这道题目虽然简单，但是证题的思路要清楚。若利用边的关系来，则可 以用定义，也可以用“一线对边平行且相等”或“有两组对边分别相等”。 这时，千万不要忙着连结对角线，证三角形全等。首先应当看看本题的条件 与哪条定理接近，显然，用平行四边形定义来证是可以的。现在，已经有一 组对边平行了，因而可以得出∠A+∠D=180°，现在，换成∠C+∠D=180°， 就能证出另一组对边 AD∥BC。其次应当再想一想：因为没有“对边相等”的 条件，所以就不考虑后两种办法了；若用角证，则靠等角的补角相等，也能 证出另一组对角也相等；因为图中没有对角线，就不考虑用对角线判定了。 如图 32，已知ABCD 中，DE⊥AB 于 E，交 AC 于 F，且 FC=2AD。求证：
∠DAC=2∠CAB。






如果一时没有头绪，不妨根据平行四边形的性质，进行推理，扩大可知
的条件。由于有平行线，于是有∠1、∠2 相等，同时有∠CDF=90°；这样， 图中共有三个直角三角形：△ADE、△AFE、△DFC；显而易见进一步该考虚直 角三角形的性质了。我们学过直角三角形的性质，如在直角三角形中，锐角 互余，斜边中线等于斜边一半，30°角所对边是斜边一半等等。这里，锐角 互余暂时派不上用场，也没有 30°角可用。那么，只好考虑斜边中线等于斜 边一半这一条了。已知 FC2=2AD，可改写成
1
AD= FC，这一改写使我们得到启发，若看直角△DFC，斜边就是FC，
2
AD 就是这斜边的一半。取 FC 中点 M，连结 DM，这 DM 就是斜边中线，应该
等于斜边一半，于是有DM= 1 FC，经等量代换，得到AD=DM，∠3=∠4 。
2
而 DM=MC，∠2=∠5，∠4 是△DMC 的外角，∠4=∠2=∠5=2∠2，再换成∠3=2
∠1。
再如图 33，已知 ABCD 对角线相交于 O，引 OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F。 求证：OE=OF。
　　
　　前面那个题的思考方法，主要是从前到后，先看有什么，是从已知向后 推理，属于综合法。这一次求证两线段相等，自然想到要证三角形全等，使 它们当对应边，这种想法主要是从后向前，先看要什么，希望证出什么，属 于分析法。
　　要证 OE=OF，看看它们所在的三角形，希望证出△AOE≌△COF，或是△ DOF≌△BOE。这两个三角形全等的条件够不够呢？有 OA=OC，根据是原平行 四边形对角线互相平分，有∠AEO=∠CFO=90°，还有∠1=∠2，满足角、角、 边，可以了。从而得到 OE=OF。如果没好好想一想，随便说 OA=OC，∠AEO=CFO=90
°，还有∠AOE=∠COF 是对顶角相等，也满足角、角、边，不是也能证△AOE
≌△COF 吗？这就错了。因为已知条件给的是分别从 O 点向 AB、CD 引垂线， E、O、F 三点在不在一条直线上还没证明。在肯定 EOF 是直线以前，说∠AOE 与∠COF 是对顶角是不行的。其实，要证三点共线并不难，这个题只要用三 角形内角和为 180°，就能证出∠AOE=∠COF，而 AOC 是直线，即∠AOF+∠ COF=180°，经等量代换，可以得到∠AOF+∠AOE=180°，则∠EOF=180°，据 平角定义，EOF 当然是直线了。即使不证三点共线，也能证明 OE=OF，那么何 必自讨苦吃呢？所以，遇到共线问题，能躲开是躲开的好，这是一般的想法。 练习八


1．如图 34，已知：四边形 ABCD 是正方形，直线 MN 过 C 点，BE⊥MN 于 E，DF⊥MN 于 F。求证：DF-BE=EF。









　　2．如图 35，已知：E、F 分别是△ABC 的边 AB、BC 的中点，G、H 是 AC 边上的点，且 AG=GH=HC，EG 和 FH 的延长线相交于 D。求证：四边形 ABCD 是 平行四边形。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0033_1.bmp}
　　提示：连结 BH，EG 为△ABH 中位线；连结 BG，则 FH 为△BCG 的中位线。 可证四边形 BHDG 为平行四边形。连结 BD，交 AC 于 O，因为 OG=OH，易证 OA=OC， OB=OD。这个图形中有对角线的关系，所以用对角线判定平行四边形比较方 便。
3．如图 36，已知：△ABC 中∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D，∠A 的平分线 AE
交 CD 于 F，FH∥AB 交 BC 于 H，再引 EG⊥AB 于 G，连结 FG。求证：四边开 CFGE 是菱形；四边形 FGBH 是平行四边形。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0033_2.bmp}
　　提示 ：分别找出∠1、∠2 的余角，可证 CF=CE。易证△AEC≌△AEG， 有 CE=EG。
　　4．如图 37，已知：ABCE，且△ABE、△CDF、△BCG 都是等边三角形。 求证：EG=AC。提示：由于 EB=AB，BG=BC，∠EBC=60°+∠ABG=∠ABC，所以
△EBG≌△ABC。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0034.bmp}

从相似形谈到研究基本图


　　学习相似三角形，主要是研究比例线段。这是因为证四条线段成比例， 在平面几何里是一个重要的内容。
　　根据图形性质判断四条线段成比例，共有三部分定理：平行线分线段成 比例定理，角平分线定理，相似三角形对应边成比例。其中，用得较多的是 第三部分定理。我们知道，相似三角形判定定理有五个，但是用得比较多的 还是下面两个：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相 交，截得的三角形与原三角形相；一个三角形的两个角和另一个三角形的两 个角对应相等，则这两个三角形相似。在直线形中的比例线段问题，多用前 一个定理，在圆中的比例线段问题多用后一个定理。
　　下面，我们重点谈谈基本图。什么是基本图呢？就是在成千上万的几何 题中，反复出现，重复使用的简单图形。
图 38 和图 39 是比例线段问题中常用的、重要的基本图。 如图 38，D、E 分别是 AB、AC 边上的点，且 DE∥BC。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0035_1.bmp}


这里一方面可用平行线分线段成比例定理，即

AD AE
=
DB EC


。这四条线段

是连续的，DB在AD的延长线上，EC和AE也是这样。另外，用合比、反

AB
比，也可以得到
DB

AC AB
= 和
EC AD

AC
= 。另一方面用相似三角形可以
AE

得到 AD = AE = DE 。如图39，ED∥BC，可以得到 AD = AE = DE 。

AB AC BC

AB AC BC

下面，让我们通过两个例题，说明这两个基本图在证明题中的应用。
如图 40，已知：B 是线段 AC 上的一点，△ABET 和△BCD 都是等边三角形，
AD 交 BE 于 M，CE 交 BD 于 N。求证：BM=BN。我们注意到，在图 40 中，△ACD 内有 BM∥CD，符合图 38 的条件，于

BM
是有 =
CD

AB
，即BM =
AC

AB·CD
AC


，同样，在△ACE内有BN∥AE，得到

BN BC
=
AE AC


，即BN =

AE·BC AC


，等量代换后，有BM = BN。

如图 41，已知：在△ABC 中，D 是 BC 上的一点，E 是 AD 的中点，BE
的延长线交AC于F。求证： AF = BD 。
FC BC
　　若是记住基本图，无论是从图 38 考虑，还是从图 39 考虑，都需要添平 行线制造相似三角形。如图 41，作 DG∥AC 交 BF 于 G，易证△GED≌△FEA，
　　
BD
同时有 =

GD BD
，换成 =

AF AF AE
；如图42，作CG∥AD，有 = =

BC FC

BC FC

FC GC

ED = BD 也可以。
GC BC
很明显，由于头脑中有了基本图的印象，所以在添设辅助线的时候就有
了更强的目的性。无疑有了制造基本图（即想法让图中，出现图 38、图 39） 的思想，证题就方便得多了。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0037_1.bmp}

　　上面这道题目，已知的点共六个：A、B、C、D、E、F，应该从哪一点引 平行线呢？作哪条线的平行线呢？通过这样的研究思考，就会产生一题多解 的结果，同时还能达到熟悉这一类题的目的。
图 43 和图 44 又是两个基本图。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0037_2.bmp}
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0037_3.bmp}
　　在图 43 中，EF∥BC。这个图实际上是两个图 38 合关在一起的情况。如 果再有 BD=DC 这个条件，就可以证出 EM=MF。在图 44 中，有直角三角形斜边 上的高。这里，有互余的角、相等的角，有相似三角形，还有射影定理。
　　下面一个例题，只要应用图 43 这个基本图，就能很快地找到解题的思 路。
如图 45，已知：在△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D，E 是 CD 中点，
BE 的延长线交 AC 于 F，FM⊥AB 于 M。求证：FM2=CF·AF。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0038.bmp} 经过细心地观察，你会发现“E 是 CD 中点”这个条件不易使用。如果这
时，你能灵活地运用图 38，想到由它所派生的图 43，那么问题就迎刃而解了。 具体做法如下：
延长 MF 和 BC 相交于 N 点，用图 43 的思路，由 MN∥CD，CE=ED，即可证
出 NF=FM；欲证 FM2=CF·AF，即可先证 NF·FM=CF·AF，希望先证

NF AF
=
CF FM

。从而，只要证明△NFC∽△AFM就可以了。

　　可以这么说，有关直线形的比例线段问题，用得最多的还是图 38、图 39 和图 44。无率是简单题，还是复杂题，凡是有这三个图出现时，立刻用它们 的性质写出比例线段；没有这三个图出现时，可以添辅助线制造这三个图， 然后用它们的性质写出比例线段。只要掌握了这三个基本问题，这一部分的 知识就基本上掌握了。
相似形这一部分可以选出基本图，其他部分是否也有基本图呢？有。
在角平分线这部分知识中，和它有关的三个图形都可以看作基本图。
　　图 46 的条件是在△ABC 中，AB＞AC，∠1=∠2，果延长 AC 到 E，使 AE=AB， 则△AED≌°△ABD（当然在 AB 上截取 AF=AC，也能收到相同的效果）；图 47 的条件是 AP 是∠BAC 的平分线，PD⊥AB 于 D，PE⊥AC 于 E，则△APD≌△APE；
图 48 的条件是 AD 是△ABC 的角平分线，且垂直于对边 BC，则△ADB≌△ADC。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0039_1.bmp}
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0039_2.bmp}
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0039_3.bmp} 在三角线、中线这部分知识中，延长三角形中线，使等于它本身，也是
一套常用的思路，可以得出全等三角形，得出平行四边形，还可以移动线段、 移动角的位置（其实是等量代换），因此，这个图也可以算作一个基本图。
比如，已知两边以及第三边上的中线作三角形。怎么作呢？ 如果单单用学过的公法、基本作图、三角形基本作图，那就无法直接作
出合乎条件的三角形来。这时就用到上述基本图的思路了。在图 49 中延长中
线 AD 到 E，使 DE=AD，有 AC=b，EC=AB=c，AE=2AD=2m。知道三边作三角形是 可以的。先按条伯△AEC，然后取 AE 中点 D，连结 CD，延长 CD 到 B，使 DB=CD， 再连结 AB，则△ABC 即为所求。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0040.bmp}

在与三角形中位线有关知识中，基本图有两个：一个是△ABC 中已有两

中，D 是 AB 中点，DE∥BC 交 AC 于 E。在已知条件中，并没有两个中点，还 不能说 DE 是△ABC 的中位线，必须先用平行线等分线段定理的推论，确定另 一个点为中点。这时，凑够三角形中位线的条件，有时一个题目，先用后面 的方法确定另一个中点，再用前面的中位线性质。下面举个典型的例题。
如图 50，已知：在△ABC 中，AD 是中线，E 是 AD 的中点，BE 的延长
张交AC于F。求证：AF = 1 FC，EF = 1 BE。
2 3
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0041.bmp}
因为求证里有 1 FC，所以需要图中出现 1 FC，我们不妨取FC的中点
2 2
M，希望证明 AF=FM，这就得有 DM∥EF。换一个角度看，在△BCF 中，D、M
克是 BC、FC 的中点，当然可用中位线定理，得到 DMBF。于是，在△ADM 中，显然 F 是 AM 的中点，再用 EFDM，问题都解决了。此外，某些特殊图 形由于给出了某些特殊关系，也可以看作基本图。如图 51，就是一个常用的 基本图。这个图告诉我们，如何通互余，证角相等。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0042_1.bmp}
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0042_2.bmp}
图 51 的条件是，已知：过正方形 ABCD 的顶点 A 引一条直线 EF，作 DE
⊥EF，BF⊥EF 。请你注意，在这个图中，∠2 与∠3 互余往往为初学者所忽 略。我们知道了∠1 与∠2 互余，又知道了直角两侧的两个角∠2 和∠3 互余， 就可以得出∠1=∠3，就可以证△DAE≌△ABF。下面举几个典型例子。在图
52 中，已知：正方形 ABCD，延长 AB、BC、CD、DA 分别理 B0′、C′、D′、
A′、且 BB′=CC′=DE′=AA′。求证：四边形 A′B′C′D′是正方形。在我 胶用三角形全等证出 A′B′=B′C′=C′D′=A′D′以后，还需要一个直 角。这时，必须先列出一个等于 90°角的式子：∠1+∠2=90°。由于∠3=∠
1,所以可以换成∠3+∠2=90°。应该说，这个题目的证明是很容易的。
在图 53 中，已知：正方形 ABCD，分别在 AB、BC、CD、DA 边上截取 AA
′=BB′=CC′=DD′。求证：四边形 A′B′C′D′是正方形。同样，在我们 用三角形全等证出 A′B′=B′C′=C′D′=D′A′以后，也是需要一个直 角。这个题的证明比上一个题要困难一些。如果熟悉图 51 这个基本图，并能 逆过来用，就会由∠1+∠2=90°，换成∠2+∠3=90°，剩下 C′D′A′=90°， 问题就解决了。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0043_1.bmp}
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0043_2.bmp}
在图 54 中，已知：AB、CD 都是⊙O 的弦，且 AB⊥CD 于 E，M 是 BC 中点，
ME 的延长线交 AD 于 N。求证：MEN⊥AD。这个题要比上面两个题难得多，如 果直接用图 51 这个基本图，就可以得出∠1+∠2=90°。但是∠1+∠2=90°， 但是∠1=∠B=∠D，所以 ∠D+∠A=90°,MEN⊥AD 得到证明。
　　如果把上面这个题目的已知换成 EN⊥AD 于 N，NE 的延长线交 BC 于 M， 其余条件不变。那么这个题就可以变为，求证：NEM 平分 BC。读者不妨自已
　　
证一证。 平行四力形性质、判定的综合问题可以举出不少，但是按照它们的特点，
一般多与以下两个基本图（图 55、图 56）有关。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0044_1.bmp}
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0044_2.bmp}
如图 55，已知：在ABCD 中，E、F 分别是 AB、CD 的中点。求证：四边
形 AECF 是平行四边形。这是一个基本图。这个简单证明题，是以一组对边平
得且相等（AECF），证明某个图形是平形四边形，然后，再根据题目的要 求利用它的性质。下面，我们举一个例子。
　　如图 57，已知：在ABCD 中，E、F 分别是 AB、CD 边上的点，且 AE+CF， DE、AF 相交于 M，BF、CE 相交于 N。求证：四边形 MENF 是平形四边形。根据
基本图的思路，由 AEFC,得车边形 AECF 是平行四边形，有 AF∥CE，由 EBDF，得四边形 DEFB 是平得四边形，有 DE∥BF。这样，就可以用定义判
断车边形 MENF 为平行四边形了。
　　如图 56，属于在对角线上作文章的题目。已知：在ABCD 中，E、F 都 是对角线 AC 上的点，且 AE=CF。求证：四边形 DEBF 是平行四边形。这又是 一个基本图。这个题无论用定义或是任何一种判定定理都可以证；但是，我 们应当清楚地看到，这类题涉用对角线，因而用对角线这个条件，证较为简 便。我们知道，平行四边形对角线互相平分。这里说的是两对角线间的关系， 所以要连结 BD，造出另一个对角线，这样 BD 与 AC 相交于 O，OA=OC，OB=OD， 再运用等式性质，以对角线互相平分，可证出平行四边形。下面，再举一个 例子。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0045.bmp}
如图 58，已知：矩形 ABCD，对角线 BD 的垂直平分线 EF 交 AB 于 E，交
CD 于 F，交 BD 于 O。求证：四边形 DEBF 是菱形。如果粗心大意，说 BD、EF 互相平分又垂直，这个图形当然是菱形，那是不对的。加为题中只说了 EF 垂直平分 DB，并没说 DB 出平分 EF。如果用几套全等三角形证明 DF=EB、 DE=BF、DF=FB 以满足两对边分别相等，且邻边又相等，这种证法是不好的。 看过题目以后，关脑非常清楚，本题证菱形用对角线互相平分且垂直为最简 便。显然，题目中有 EF 平分 BD，有 EF⊥BD，只差 EO=OF。所以只要证出△ EOB≌△FDO，问题就解决了。
和圆有关的角有四个基本图最常用。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0046.bmp}
　　图 59 是⊙O 内有相交弦，顺次连结圆上各点，出现圆内接四边形，同时 出现八个圆周角，其中∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8。这个知识， 不但要懂，而且要会用。从训练角度看，对这个简单图形必须非常熟悉，否 则遇到综合题中有这种图形，也往往用不上。图 61 是圆内接四边形外角等于 内对角的简单图示，其中∠CBE=∠CDA。对这两个图形的运用，要求同学们达 到非常熟练的程度，还有一个原因，就是判断四点共圆的题目，往往就是为 了用这两个图。不过，一般证明四点共圆常常不画出圆来，这对同学看图的 要求就更高了。图 60 这个图要求胸见到直径，就能想到直角，即直径上的圆 周角地直角。特别是需要添加辅助线制造这个基本图的时候，能及时作出来。
图 62 这个图要求胸见到弦切角以后，能有意识地找到夹弧对的圆周角，从而

证它们相等。
　　关于图 59 的应用，在和圆有关的角的题目中用得很多，其中也往往用到 图 61。
　　图 60 和图 62 用处也很多，我们通过下面两个题目让读者体会它们的应 用。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0047.bmp}
在图 63 中，已知 AB 是⊙O 的直径，BF 是⊙O 的切线，弦 AC 的延长张交
BF 于 D，统 AE 的延长线交 BF 于 F。求证：AC·AD=AE·AF。在这个题的几种 证法中，有一种是直接从直径得到启发，连 BE 和 BC，在 Rt△AFB 中用射影 定理，有 AB2=AE·AF；在 Rt△ADB 中，再用射影定理，有 AB2=AC·AD，于是 AE·AF=AC·AD。
　　在图 64 中，已知：⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，CE⊥AD 于 E，CE 的延长线交 AB 于 F。求证：AC2=AF·AB。我们很容易从直径得到启发， 连结 BD，则∠ABD=90°，又∠AEF=90°，且∠FAE=∠DAB，因
而△AFE∽△ADB，有 AF = AE ，改为乘积形式，即AF·AB = AE·A
AD AB
D，再连结 CD，则∠ACD=90°，出现射影定理的图形，有 AC2=AE·AD，经等 量代换，可以满足求证的要求。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0048.bmp}
　　对于这个题，因为图中有“直角三角形斜高”这个条件，所以很容易想 到这是一个基本图形，可以用它的结论，即射影定理。由于有熟路可走，所 以证题的时候，就会想得快、想得好。在这一节里，我们总共介绍了 17 个基 本图。那么整个平面几何一共有多少基本图？ 哪个图形算基本图？哪个图形 不算基本图？我们粗粗算了一下，充其量不过几十个。每个人可以根据自己 证题的体会，记住三四十个自己认为重要的、常用的图形，这 \对学好几何是 一个捷径。一般地说，这些图形往往是很简单的、常常是复杂题目的组成部 分。如果在证题的时候，你能从这些简单的、基本的图形想起，并能利用这 些图形的性质，把自己的推理联系起来，那么对于形成解题思路将是十分有 益的。
练习九


　　请读者自己选十个基本图（包括上面说过的），再统计一下，这些图形 在你作过的题里反复出现多少次？对于推理所起的作用如何？
　　
从圆谈到知识归类训练法


　　要想提高自己的解题能力，必须系统地进行思维训练。这里所说的归类 训练，是指把某一类知识综合归纳在一起，从而使自己能够根据所学的知识 形成几套现成的想问题的方法。这样，就会使零散的知识集中起来，为你想 问题、解问题服务。这里提高解题能力的一条捷径。由于圆这一部分知识放 在三角形、四边形、相似形这后，所以带有一定的综合性。这时着手知识归 类、训练配套的工作是适宜的。
　　下面，我们从圆开始把知识归类训练法总结为十套。这十套方法实际上 是几何中应用较为广泛的思路方法。
　　第一套：“同弧上的圆周角相等；同弧上的圆周角和弦切角相等；直径 上的圆周角是直角；圆内接过形外角等于内对角。”
　　如果你想学好圆这一章、想迷会证圆的题目，那么可以告诉你，最有用 的东西就是上面的四句话。这就要求大家，第一要把它们背熟；第二中图中 要把它们看熟。
　　和圆有关的角是圆这一章的重点。这部分的定理讲的是角和弧之间的关 系，其中主要是研究柄点在圆上的角（圆周角和弦切角）和弧之间的关系， 我们以上列举的四句话是“推论”，是用来直接说明角与角的关系的。这些 推论中有三个是证角相等的，有一个是证直角的。
记两个题：
　　1．如图 65，已知：AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，CD⊥AB 于 D，CE 是⊙O 的切线。求证：∠DCB=∠BCE．
2．如图 66，已知：⊙O 的内拉四边形外角∠ADF 的平分线交⊙O 于 E。
求证：∠CBE=∠ABE。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0050.bmp} 第二套：“切线性质、切线长、弦切角、圆幂定理。” 圆的切线是圆这一章中另一个重点。涉及圆的切线是题目很多，应该怎
样考虑呢？不外上述四个方面。为了好记，这里史列了个“目录”，详细的
内容，比如切线性质指的是“切线和过切点的半径垂直”等等，课本上说得 很清楚，这里就不详写了。另外，弦切角定理，第一套训练中已经提到，这 里重复提出，是从训练的角度考虑的。目是看见图中有切线，就要往这四方 面想。还有，在圆幂定理中，中有切割线定理与切线有关，两割线定理、相 交弦定理与切线无关，这里一并提出，是让你多记一点知识，有时要用。
记两个题：
　　1．如图 67，已知：AB 是⊙O 的弦，OD⊥OA，交 AB 于 C；BD 是⊙O 的切 线，交 OD 于 D。求证 CD=BD。
提示：用切线性质、切线长、弦切角都可以。
　　2．如图 68：已知 PC 切⊙O 于 C，PBA 交⊙O 于 B、A，若 PB=4，AB=9。 求 PC 的长。
　　第三套：“圆的直径、圆的切线、多边形的高以及其他垂直关系都会出 现直角，直角多了，就要注意：通过互余证角相等，通过四点共圆证角相等， 位置合适可以证平行。”
　　前面几句是说什么情况会出现直角，后面几句是说垂直关系多了有什么 用处。这一套思路贯彻全书各章的始终。这中间必然涉及辅助线的添法，比
　　
如直线 BC 切⊙O 于 A，那么“连结 OA”就可以得到 QA⊥BC；再如 AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，那么“连结 AC”就可以行到∠ACB=90°。凡是题目中遇有 上述条件，就可以往有关的方面去想，再结合其他条件，看看思路有没有进 展。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0052.bmp} 记两个题：
1．如图 69，已知：AD、BE 都是△ABC 的高，AD、BE 样交于 H。求证：
△CED∽△CBA。
　　提示：这里有三角形的高，可以考虑用四点共圆来证，我们希望 A、B、 D、E 共圆，这样就能得到∠3=∠ABC，从而证明△CED 与△CBA 有两组角相等。 但是，怎样证四点共圆呢？于是，又想到∠1 和∠2 都是∠C 的余角，能证∠
1=∠2，问题就解决了。如果考虑 H 是垂心，作出高 CF，易证 H、D、C、E 四 点共圆，有∠3=∠4；由 F、B、D、H 四点共圆，有∠4=∠ABC 也可以。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0053.bmp}
2．如图 70，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD、BE 都是△ABC 的高，它们相交
于 H，CF 是⊙O 地直径。求证：四边形 FBHA 是平行四边形。
　　第四套：“有直角，就会有直角三角形。有直角三角形，就地研究安的 性质：人边上看，有射影定理、勾股定理、斜边中线；从角上看，有锐角互 余；从边角之间上看，有锐角三角函数。”
大家知道，很多图形中有直角三角形，见到直角三角形自然要研究它的
性质。这里切记，对于这些性质，不要想起什么算什么，要系统全面地想起 来，根据题目条件，选择应用。勾股定理表示的是 直角三角形三边间的关系， 它的形式是通过线段平方米表示的，而且有和、差两种定法，比如，
a2+b2=c2,c2-a2=b2。射影定理是采取乘积形式，所以，这两个定理都可以用 的时候，一般地说，射影定理较勾股定理容易变化（例如约分）。锐角互余 大家已经熟悉了，这里就不说了。关于锐角三角函娄的应用，应 \该说是什得 提倡的。
记两个题：
1．已知：D 是△ABC 的 BC 边上一点，C 是 AC 中点，且 AE=DE=EC，F
是AB中点。求证：BD = 1 AB。
2
　　2．如图 71，已知 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D，AE 是∠A 的 平分线，交 CD 于 F，FG∥AB，交 BC 于 G。求证：CE=BG。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0054.bmp}
提示：作 GH⊥AB 于 H，设∠CAE=∠EAB=a，易证∠BGH=2a。用锐角


三角函数，有CE = AC·tg? = AD·

1
cos2?


·tg? = FD·ctg?·

1
cos 2?


·tg?


= GH·

1
= GB·cos2?·
cos2?

1
cos 2?


= GB。



第五套：“要有乘式，就要列比例式；要列比例式，就要证相似三角形；
证相似，就要两组角相等；证角相等，靠四个推论。”如果这还不行，就得 “换比、换积、换线段。”
这一套讲的是圆中的比例线段以及和圆有关的比例线段问题。这里面有

很多是以乘积相等的形式出现的，实际上所应用的知识就是第一套讲的四个 推论。至于说证哪两个三角形相似？一般地说，从求证的比例式中就可以找
到。比如求证 AB = AE ，这里AB、AD、AE、AC都是三角形的边它们
AD AC
中间有对应成比例的关系，那么这个三角形必定是△ABD 与△AEC，或是△ABE 与△ADC；如果靠这个办法证不出要求的比例线段，那就不是一套相似三角形 能解决的问题，还得换比、换积、换线段。
记几个题：
　　1．已知：⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径。 求证 AB·AC=AD·AE。
　　2．已知：在△ABC 中，AB=AC，⊙O 是△ABC 的外接圆，弦 AC 交 BC 于 D。 求证：AB2=AD·AE。
　　3．已知：⊙O 的内接四边形 ABCD，作 AE∥DB 交 CB 的延长线于 E。求证： EB·DC=AB·AD。
　　4．已知：AB 是⊙O 的直径，C 是 AB 上一点，过 C 点的 AB 的垂线和半圆 相交于 D，CD 的延长线上有一点 E 连结 BE 交⊙O 于 F，连结 AF 交 CD 于 G。 求证：CD2=CD·DG。
5．已知：⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 是△ABC 的高，过 A 点引⊙O 的切
线 MN，BE⊥MN 于 E，CF⊥MN 于 F。求证：AD2=BE·CF。
　　6．已知：A 是⊙O 上一点，⊙A 交⊙O 于 B、C，D 是⊙A 上一点，DA 是延 长线交 BC 于 E，和⊙O 的加一外交点是 F。求证 AD2=AE·AF。
如果说圆这部分内容有许多知识、训练可以配套，便于记忆、使用，那
么以前的知识、训练是否也可以归成类，配成套呢？当然可以。下面，我们 就来讲讲。
第六套：“选全等，造全等；选相似，造相似。”如果把整个平面几何
说成是始终环绕着全等三角形与相似三角形的话，那么我闪说这种说法并不 算过分。证三角形全等与相似，往往不是目的，而是手段。通过这两种手段 来证明线段相等、角相等，证四条线段成比例。我们在证题的时候，应该根 据已知条件进行分析，如果发现有全等三角形、相似三角形，就及时把它们 挑选出来，以便应用；如果没有现成的全等三角形、相似三角形，就要添加 辅助线，制造全等三角形与相似三角形。
那么，怎样添加辅助线呢？下面，我们举例说明。例如，三角形两边不
等的时候，可以在长边上截取或把短廷长（这里指有这两边夹角平分线时的 情况）；再如，延长中线使等于它本身。这些目的都是为了制造全等三角形。 另外，制造相似形常常以添加平行线为主。还有，在有关圆问题中常常采用 连结圆上两点的方法，用以适应三角表全等或相似的需要。记几个题：
　　1．如图 72，已知：C 是线段 AB 上一点，△DAC、△ECB 都是等边三角形， AE 交 DC 于 M，DB 交 EC 于 N。求证：CM=CN。
　　提示：如果考虑选全等三角形，则包括 CM 的有△CMA、△CME；包括 CN 的有△CND、△CNB。如果考虑选相似三角形，证出平行线来以后，有△DCN、
△BEN；△ADM、△ECM；△ABD、△CBN；△ABE、△ACM，可供选择。
2．如图 73，已知：AM∥BN，∠MAB 的平分线与∠NBA 的平分线相交于 C，
过 C 任作一直线交 AM 于 D，交 BN 于 E。求证：AD+BE=AB。

{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0057.bmp}

提示：在 AB 上截取 AF=AD，制造，△CAF≌△CAD，再证△CBF≌△CBE。
3．已知：在△ABC 中，C 是 BC 中点，DEF 交 AC 于 E，交 BA 的延长于 F。


求证： AE EC

FA
? 提示：试从点引 BC 的平行线或的平行线：再从 B 点引 AC
FB

或 DEF 的平行线；还可以从 C 点引 AB 或 DEF 的平行线。这样可以得到六种不 的解法。
第七套：“在三角形中，时常是先定点，后用中点。” 这是针对用用角形中位线推理不来密而说的。比如，在梯形 ABCD 中，AB
∥CD，EF 梯形中位线，AC 交 EF 于 C，若 VD=2cm，求 EG 的长。这个题就不能 随便答出 EG 为 1cm。首先，要说清在△ACD 中，E 是 AD 中点易证 EG∥DC。然 后，再根据平行线等分线段定理的推论，证出 AG=GC。时，才能说 EG 是△ACD 的中位线，EG 等于 1cm。这里值得重视，不要疏忽。
记两个题：
1．已知：在△ABC 中，D 是 BC 中点，E 是 AD 中点，BE 的延长线交 AC
于F，求证：EF = 1 BE。
3
　　2．已知：在△ACB 是 D、E 都是 BC 边上的点，且 BD=DE=EC，F 是 AC 中 点，BF 交 AD 于 M，交 AE 于 N，求：BM∶MN∶NF。
第八套：“要证边不等，有在一个三角形中，大角对大边，两边和大于
第三边；要证角不等，有在一个三角形中，大边对大角，三角形的外角大于 和它不相邻的内角。”
记两个题：1．已知：在四力形 ABCD 中，∠ A=∠C=90°,四条边中 AD
最小。求证：AB＞BC，
2．已知：中△ABC 内有一点 D。求证：（1）∠BDC＞∠A；（2）BD+DC
＜AB+AC。
　　第九套：“三角形面积公式要记四个：底乘高的一半；两边乘积上夹角 正弦的一半；海伦公式；内切园半径与周长乘积的一半。”
上述面积公式都可以用，但是要注意具体问题具体分析。
记两个题：
1．已知：在△ABC中，VA=60°，a+b+c=20cm，S =10 3cm 2 。
求：三边 a、b、c 的长。
提示：由S = 1 b·c·sin·A，求得bc = 40；由海伦公式，求
△ABC 2
得（10-a）（10-b）（10-c）=30；还有 a+b+c=20。解方程组，求得 a=7cm, b=5cm,c=8cm。
2．已知：在等腰△ABC 中，AB=BC=13cm，AC=10cm。求：内切贺半径 r
的长。
1 1 10

提示：由S △ABC = 2 b·h b ,同时S △ABC = 2 r（a+b+c），求得r=

cm。
3

　　第十套：“能过比例线段证明两线段相等，一般是值是首先证两个比相 等，然后作出判断：若前项相等则后项等；若后项相等，则前项等。”记两 个题：
　　
　　1．已知：在△ABC 中 AD 是中线，E、F 分别是 AB、AC 上的点，且 EF∥ BC 交 AD 于 G。求证：EG=GF。
2．已知：AB 是⊙O 的直径，AE、BF 都是⊙O 的切线，半贺上有一点 C，
过 C 点的⊙的切线和 AE 交于 E，和 BF 交于 F，引 CD⊥AB 于 D，BE 六 CD 于 M。 求证：DM=MC。
提示：可以通过 MD = BD = FC = FB = CM ，由AE = CE，得出


MD = CM。

AE BA

FE FE CE

　　思路通常是指思才问题的途径。证几何题的思路，因人、因题应有所不 同，本不必拘泥于成法，应该根据题目的条件，产生自已的想法，探索、创 造形成自己的思路。但是，在培养维能力的过程中，并不排斥学习、运用一 些现成的思路，特别是初学的阶段，每个人都有一模仿的过程，特别是同一 类问题，总有些共性。我们上面整理出的十套思路方法，仅供同学们参考。
上面十套思路方法，在什么时候应用呢？ 第一套是证圆中两角相等（或证直角）的时候用。 第二套是题目条件中有切线的时候，应该往这四个方面想。 第三套是什么时候会产生直角，直角多了有什么作用。 第四套是有直角就可能有直角三角形，要想直角三角形几方面的性质。 第五套是圆中比例线希问题的特点。 第六套是要有选全等三角形、造全等三角形、选相似三角形、造相似三
角形的意识。
第七套是关于三角莆中点问题的思路。 第八套是三角形不等问题学过哪些定理，需要用的时候，就该往哪儿想。 第九套是全面掌握三角形面积公式，用到进不要只想“底乘高的一半”。 第十套是通过比例线段相等的思路。 应该说明：为了便于记忆，上述十套知识归类训练法，有的话说得过于
简单。不过，只要读者能懂、能用，能帮助读者记忆就好。
　　每套训练后面都要记两个题，目的是通过具体的题目，记住具体的用法， 形成自己的思路，从单纯模仿到学会推理论证的方法。
　　　　　练习十

你用上面思路，证过多少题？每套能出一至三个题吗？

辅助线与基本作图的关系


　　辅助线在较为复杂的题目中，是十分重要的。但是，添加辅助线必须是 合理的、可能的。
　　比如说，两条平行直线分别切⊙O 于 A、B 两点，若说“连结 AB，使 AB 经过 O 点”，就是不对的。因为 A、B 是两 个已知点，可以把它们连结起来，
但是不能附加其他条件（即不能附加一条：使 AB 经过 O 点）。 那么，初学者不知道什么样的辅助线是合理的、可能的，什么样的辅助
线不对，怎么办呢？ 应该说，凡是添加辅助线，都必须以公法、基本作图为依据。 这里说的公法，是最简单的仅仅用圆规、直尺作图的动作。 比如，已知两边和夹角，求作一个三角形。第一步作什么呢？作一个角
等于已知角。作法怎样写呢？可以写“作∠EAF=α”（α是已知角）。若问 作一个角等于已知角怎么作，作法怎样写呢？可以先写“作射线 AF”，若问 射线 AF 怎么作，作法怎样写呢？就不好回答了，因为它是最简单、最基本的 作图动作。
象这类作图暂且沿用老名字，叫做公法。 通常公法指的是：
（1）连结已知两点或过任意两点作直线；
（2）把已知线段延长到任意长；
（3）在一条已知直线上截取一条线段使它等于定长；
　　（4）以已知点为圆心，已知长为半径作圆（或者作弧）。基本作图指的 是：（1）作一个角等于已知角；
（2）平分已知角；
（3）经过已知直线上的一点作这条直线的垂线；
（4）经过已知直线外的一点作这条直线的垂线；
（5）作线段的垂直平分线；
（6）经过已知直线外的一点作这条直线的平行线。 此外还有几个作图，在添加辅助线的时候，有进要用：
（1）任意等分一条线段；
（2）作点 A 关于直线 a 的对称点 A′；
（3）作点 A 关于中心 O 的对称点 A′；
（4）过不在一条直线上的三个已知点作圆；
（5）过⊙O 外一点 P，作⊙O 的切线；
（6）作两圆的内、外公切线。 下面举两个例题研究一下：
　　例 1 求证：梯形两条对角线中点的连线的平行于两底并且等于两底差的 一半。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0063.bmp}
　　分析：先以图 74 为例。如果具体作法是“连结 AE、并延长 AE 交 BC 于 M” 当然可以，因为这是“公法”。由于梯形两底 AD∥BC，E 为 BD 中点，证△AED
≌△MEM 很容易，行到 E 是 AM 中点，本来 F 就是 AC 中点，所以 EF 是 MC 的 一半，而 MC 是 BC 与 AD 的差，证明是正确的。如果具体作法是“在 BC 上截
取 BM=AD，连结 AM”，这也是“公法”，没什么不可以，但是 AM 是否经过 E

点，就需要证明了。如果具体作法是“在 BC 上截取 BM=AD，连结 AM 经过 E 点”，这就不对了，因为公法和基本作图都没有这个内容。事实上，若有两 个已知点，把它们连结起来的时候，还要求经过第三个点，那么可能呢？所 以没有此项作图。连结就是连结，到于 E 点在不在 AM 上，需要证点共线。 再以图 75 为例。如果具体作法是“作 AN∥DC，交 BC 于 N”，那么由于
ABCD 是梯形，有 AD∥BC，又 AD＜BD，可见上述的截取和这里 N 点的位置都 是有根据的，并且得到一个平行四边形 ANCD。平移腰是梯形常用的辅助线。 此时还可以得到 BN 是两底差。继续往下证又遇到了前面提到的问题。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0064.bmp}
　　这时，只能连结 DN，因为 ANCD 是平行四边形，对角线应该互相平分， 即对角线 DN 与 AC 的交点应该是 AC 的中点 F，所以 F 在 DN 上，或者 DN 与 AC 相交于 F′（不管 F′与 F 有什么关系），易证 F′应为 AC 中点，而 AC 只有 一个中点，所以 F′与 F 重合。如果开头助线是“作 AN∥DC，使 AN 和 BC 的 交点 N，在 DF 的延长线上，”这就不行了，公法和基本作图是没有这个内容 的。例 2 如图 76，已知：在⊙O 的内接四边形 ABCD 中，AB、DC 的延长线 相交于 E，AD、BC 的延长线相交于 F，EM 切⊙O 于 M，FN 切⊙O 于 N。求证：
EM2+FN2=EF2。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000070_0065.bmp} 分析：由于求证中有线段平方，所以结合圆的性质，很容易想到切割线
定理；EM2=EB·EA=EC·ED；FN2=FD·FA=FC·FB。左右分别相加。后面的乘 积式，相加还看不出是否等于 EF2。这时就只能用割线定理换比了。我们可
以过 C、D、F 三点作辅助圆。交 EF 于 G，或者∠CGF=∠ADC，证 C、D、F、G
四点共圆。但是，后一种方法，由于 G 点位置没有确定，所以∠CGF 是不能 做的。怎么办呢？我们不妨在 EF 上任取一点 P，作∠EPQ=∠ADC，PQ 交 EC
于 Q，然后作 CG∥QP 交 EF 于 G。这两项都是基本作图，当然是可以的。于是
有 EC·ED=EG·EF。
　　接下去，千万不能照样过 C、B、E 三点作图。因为这个圆是否经过 G 点， 作图时不能保证。前面已经提到，除公法和基本作图以外，还有几个作图都 是课本上学过的。但是，没有过不在同一直线上三点作圆，附带还得经过另 一点的作图，所以不成。正确的方法是通过∠CGE=∠FDC=∠ABC，证 B、E、G、
C 四 点 共 圆 ， 得 FC · FB=FG · FE 。 合 并 起 来 ， 有
EM2+FN2=EC·ED+FC·FB=EG·EF+FG·FE=EF（EG+FG）=EF2。练习十一