解竞赛题的钥匙

一 算谜问题
——凑凑、估估、揭谜底


　　算谜问题是一类趣味性较强的数学游戏，它不仅加深对小学数学基本知 识的理解，对于培养学生的观察能力、分析能力、推理判断能力非常有益。
1958 年开始，心理学家以算谜为例子，研究人类解决问题的思维过程。由于 算谜问题构思精巧，变化多端，并且具有不同的难度层次，所以经常被智力 竞赛和数学竞赛所选用。
　　算谜问题，一般指那些含有未知数或待定的运算符号的算式。这种不完 整的算式就像“谜”一样，要我们根据运算法则和逻辑推理方法进行推理、 判断把算谜“猜”出来，使不完整的算式补充完整。
我们通过一些例子来讲述解答算谜问题的思考方法和技巧。
例 1 9○13○7=100
14○2○5= □
　　把+、-、×、÷分别填在适当的圆圈中，并在长方形中填上适当的整数， 可以使上面的两个等式都成立。这时长方形中的数是几？
（1986 年第一届“华罗庚金杯赛”决赛试题） 解法：先考虑第一个等式，等式右边是 100 比 9、13、7 大得多，所以等
式的圆圈里首先应考虑“+”或“×”，但 9×13=117 比 100 大，所以得 9＋
13×7=100。 第二个等式中，题意要求在长方形中填整数，而且只剩下减号和除号，
所以得 14÷2-5=2。
即长方形中的数是 2。
例 2 在 15 个 8 之间添上+、-、×、÷，使得下面的算式成立：
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 = 1986
（北京市第二届小学生“迎春杯”数学决赛题） 分析：这个式子数字很大，我们先凑出与 1986 较接近的数，如： 8888
÷8＋888=1999。这个数比 1986 大 13，这样原问题就转化为：能否用剩下的
七个 8 经适当的四则运算得出一个等于 13 的算式呢？还是用上面的想法：
11 与 13 较接近，而 88÷8=11 这样一来问题就转化为能否用剩下的四个 8 写 出一个等于 2 的算式。而这是不难办到的。如： 8÷8＋8÷8＝2
解法： 8888÷8＋888-88÷8-8÷8-8÷8=1986
用上面类似的方法你能找到另外的解答吗？
　　以上二例是填写运算符号，例 1 是根据运算结果进行逆推，是解答算谜 问题的常用方法。例 2 用逆推的方法比较麻烦，因此，我们先经过估算，凑 出一个与结果较接近的数，然后凑凑、算算，使算式成立。
下面我们来讲述填补等式或竖式的算谜问题。
　　例 3 将 0，1，2，3，4，5，6 这七个数字填在圆圈和方格内，每个数 字恰好出现一次，组成只有一位数和两位数的整数算式。问填在方格内的数 是几？
○×○=□=○÷○
（1986 年第一届“华罗庚金杯赛”复赛试题） 解法：要求用七个数字组成五个数，根据算式，应当三个数是一位数，
两个二位数，二位数应是积和被除数。

　　O 和 1 不宜做一位数，一位数如果是 2，则会出现 2×6＝12 （2 重复出 现）， 2×5=10 （经试验不行）， 2×4＝8（7 个数中没有 8）， 2×
3=6 （6 不能成为商），因此，2 也不能做一位数。
　　0、1 和 2 只能用来组成二位数，它可以组成 12 和 21，经验算，21 不能 填在方框内，于是得到 3×4=12=60÷5。
即填在方框内的数是 12。
　　例 4 下面的算式里，每个方框代表一个数字。问：这 6 个方框中的数 字的总和是多少？
（1991 年第三届“华罗庚金杯赛”初赛试题）
□□□
? □□□

1 9 9 1
　　分析：解决这样的问题，我们需要认真审题，抓住式中的某些特点，寻 找突破口。
这个题目的突破口在百位上，由于十位至多向百位进 1，且百位上两个
□内数字之和加上十位向百位的进位等于 19，可以推出百位上两个□内数字 均填 9，且十位向百位进 1；同理，由于十位上两个□内数字之和加上个位向 十位的进位等于 19，可以推出十位上两个□内数字均填 9，且个位向十位进
1；由此推出个位上两个□内数字之和等于 11。
解法：由于两个加数的十位和百位数字均为 9，两个加数的个位数字之 和为 11，因此所有□内数字之和为 9×4+11=47。







7，8，9”中的某一个数字，使得该除式成立。
（上海市 1988 年小学数学竞赛试题） 分析：根据除式条件，首先可知除数的十位数字是 1，第一次相除后，
余数是 32，由此推出商数的个位数字只能是 2，除数的个位数字也只能是 6。
解法：






例 6 在□中填上适当的数字，使算式成立。



　　分析：因为除数是三位数，并且百位数为 6，它和商的首位的乘积也是 三位数，所以商的首位是 1；
　　
因为第一行的个位数是 7，所以除数的个位数也是 7； 因为第二行的个位为 1，所以商的个位为 3。因为 3×7= 21，必须向十
位进 2，所以根据十位上的 6，推知除数的十位是 8。商与除数确定后，其他 数字都易于确定。
解法：








例7 ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A、B、C、D、
E、F、G、代表1～9中的不同的数字。已知ABCD + EFG = 1993，问：乘积
ABCD×EFG的最大值与最小值差多少？
（1993 年第三届“华罗庚金杯赛”决赛第一试试题） 分析：这是一道数字谜的最值问题，要选择好“突破口”通常从首位或
未位数字入手。 解法：由已知条件
A B C D
? E F G

1 9 9 3
　　首先确定 A＝1，然后再看被加数与加数的个位数字之和：D+G=3 或 13， 由题意 A、D、G 代表不同的数字，于是 D＋C≥2＋3=5，因此有 D＋G=13。同 理，被加数与加数的十位数字之和：C+F≤8＋9=17。这样可以断定 C＋F=8， 最后可以推知，被加数与加数的百位数字之和 B＋E=9，下面考虑乘法算式
1BCD×EFG。
为了使乘积最大，显然乘数的首位数字 E 应该尽可能大，而 B＋E=9。于
是 B 应该尽可能小，这样可以断定取 B =2，E=9，根据同样理由，可以确定 乘数的十位数字 F 应该取 5，因为这时 C 的最小值可取 3；最后确定 C=9，
D = 4，所以乘积ABCD×EFG的最大值是
　　　　　　　　　　1234×759=936606。 类似地，为了使乘积最小，可以依次确定 B=7，E=2，C=5，F=3，D=9，
C = 4，所以乘积ABCD×EFG的最小值是
1759×234=411606。
　　　　　　　　　936606-411606=525000。 所以，乘积 ABCD×EFG 的最大值与最小值差 525000。
例 8 在右边的算式中 A、B 代表不同的数字，若算式成立，求出 A、B。
A B
× B A

1 1 4
3 0 4

3 1 5 4
（1980 美国长岛小学数学奥林匹克竞赛试题）

　　解法：算式中， AB×A=114 将 114 分解因式， 114=2×3×19，然后 将 114 写成一个二位数与一个一位数的积。
114=52×2=38×3=19×6，显然 38×3 符合要求，所以 A=3，B＝8。
　　例 9 右边乘法算式中的来参加数学邀请赛“来参加数学邀请赛”八个 字各代×赛表一个不同的数字，其中赛代表来来来来来来来来来 9，来代表
＿＿＿，参代表＿＿＿，加代表＿＿＿，数代表＿＿＿ ，学代表＿＿＿，邀 代表＿＿＿，请代表＿＿＿。
（1986 年“小学生数学报”数学邀请赛试题）
解法：已知赛代表 9，赛×赛＝9×9=81，所以来代表 1，即乘积为
111111111。根据积÷一个因数＝另一个因数，可以求得被乘数 111111111÷
9=123456789。从而得出：参代表 2，加代表 3，数代表 4，学代表 5，邀代表
6，请代表 7。
例 10 下面乘式中的“趣味数学”四个字各代表一个互不相同的数字， 每个方框中可以填 0 至 9 任何一个数字，但最高位不能填 0，试确定算式中 的每一个数字。









解法：为叙述方便，把每行中的数字从上到下称为第一行，第二行，?? 从第二行看，“数”代表 0。 从第三行看，“趣”代表的数自乘后仍是一位数，所以这个数必须小于
等于 3。而且当“趣”代表 3 时，“味”必须小于等于 2。
从第四行看，第三行的第一个数字必须是 9，因此“趣”代表 3。 又因“数”代表 0，如果“味”代表 1，那么第二行的第一个数“3”与
第三行的第二个数“3”相加就没法进行。所以，“味”必须是 2。于是“趣”、
“味”、“数”分别为“3”、“2”、“0”。
　　最后看第一行“学”不能大于 3，否则第一行将是五位数，又因为四个 数字表示互不相同的数，所以学只能是“1”。
通过上面例题分析，解答算谜问题要注意：
　　1.首先要注意算式中的各个文字、字母、符号都只能取 0 至 9 中的某一 个数字。
　　2.要认真分析已知算式中给出的各种数量关系，根据这些数量关系，选 择“突破口”。
　　3.突破口的选择往往从确定一个数（乘数，被乘数，除数或商）的个位、 首位或其他数位上的数字入手。
　　4.必要时要采用枚举和筛选相结合的方法，淘汰那些不合题意的解，寻 找正确答案。
5.运用估算的方法，缩小枚举和试验范围以减少试验次数。
习题一

1.在 1199 之间填上适合的运算符号，使等式成立。

1199＝10
（天津市第一届小学生“我爱数学”邀请赛试题）
2.填上合适的符号，使等式成立。
4444=1
4444=2
4444=3
4444=4
4444=5
（天津市第二届小学生“我爱数学”预赛试题）
3.在下面式中填上算术运算符号、括号，使式子成立：
（1）1 2 3=1；
（2）1 2 3 4=1；
（3）1 2 3 4 5=1；
（4）1 2 3 4 5 6=1；
（5）1 2 3 4 5 6 7=1。
（1984 年重庆市小学数学竞赛试题）
4. 填上适当的运算符号，使下式成立：
1 2 3 4 5＝100
（1983 年《小学生报》数学邀请赛）
5.在下面十五个 9 之间添上+、-、×、÷、（ ）使下面算式成立：
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9＝2000
6.在被除数小于 100 的情 况下，在右图□内填上适当的数：
?□ ? 4??4
□÷?□ ? 5??5
?
?□ ? 6??6
（1983 年《小学生报》数学邀请赛试题）
7.在下面的□中，分别填上 1、2、3、4、5、6、7、8、9 中的一个数字
（每个只许填一次）使得带分数算式（每式只要一个填法）：





（上海第一届“从小爱数学”邀请赛试题）
8.在下面乘法竖式的□内各填上适合的数字，使算式成立：







9.在下面的方框中填上适当的数字，使算式成立：




10.关于下面的算式，只知道一个数字 8，你能确定其他数字吗？







11.把下面除法算式中的*号填出来，成为一完整的算式。

　　12.下式中不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，求 出这些字母各代表什么数字，算式才能成立：
H E
H E

(1)
?





(2)

H E H E

A H


A B C D







13.将下面式中的字母用数字代替，使算式成立。
赛 竞 学 数 年 少 匙 钥 金

+ 8 6 4 1 9 7 5 3 2
金 钥 匙 少 年 数 学 竞 赛
（1984 年上海“金钥匙”数学竞赛题）
　　14.下面算式中每一个字代表一个数字，不同的字代表不同的数字，当算 式成立时，求每个字所代表的数字。
　　
努 力 学 习
向 上 我 们 天 天 向 上
（1986 年北京奥林匹克学校入学试题）
　　15.在下面的算式中“三”、“好”、“学”、“生”四个汉字各代表一 个阿拉伯数字，其中“三”代表＿＿，“好”代表＿＿，“学”代表＿＿， “生”代表＿＿。
学 生 好 学 生 三 好 学 生 1 9 8 9 （1988 年《小学生数学》报小学生数学邀请赛初赛试题）
　　16.在象棋算式里，不同的棋子代表不同的数字，请你想一想棋子各代表 哪些数字。
兵 砲 马 卒
+ 兵 砲 车 卒
车 卒 马 兵 卒
　　17.下列各题的每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字， 试求出下列各算式。
(1)
从 小 爱 数 学
× 4
学 数 学 小 从
(2)
1 红 花 映 绿 叶
× 3
红 花 映 绿 叶 1
(3)
蜜 蜜 蜜 × 蜜 蜜 蜜 蜜 蜂 酿 蜂 蜜
（4）优优优优优优÷学=学习
再学习

二 填数问题
——从“九宫算”谈起


　　在填数问题中，小学生常常采用“凑”的方法，通过几次试验来寻找解 答。如果我们深挖其中的道理，就会找到一些解题规律，使认识进一步深化。 在这个意义上讲，填数问题是一种很好的“锻炼思维的体操”。
　　我国古代人民对数学的发展作出过许多杰出贡献，著名的“九宫算”就 是其中之一，最早提出的问题是：
　　将 1 至 9 这九个数字填在右图中九个方格里使每一横行、每一纵列和两 个对角线上的数之和相等。


这种图形填数，我国古代称为“九宫算”、“纵横图”，国外叫做幻方。
“九宫图”就是将 1 至 9 的九个数填在 3×3 的小格内，它是一个三阶幻方。 传说大禹治水的时候，洛水中浮出一只神龟，龟背上驮了一个“洛书”图。 将它译释成今日数字即为一个三阶幻方。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0014_1.bmp}
　　一般地，在 n×n 的方格内，既不重复又不遗漏地填上 n2 个自然数，每 个数占一格，并使每行、每列及两条对角线上 n 个自然数的和都相等，这样 排成的数表称为 n 阶幻方。都相等的和叫幻和。
幻方曾使不少数学爱好者入迷。大数学家欧拉、著名物理学家富兰克林
就曾经对幻方很感兴趣。目前，最大的幻方是 105 阶，它是由美国一位 13 岁少年作成的。
下面我们来谈谈如何填好“九宫图”。
例 1 填九宫图所表示的幻方。 解：首先应解决二个问题：
（1）每行、每列的和是多少？
（这个和叫幻和）
（2）中间位置的数应当填几？
（求幻和时几次用到了它） 为了叙述方便，我们把每个方格内要填的数字用字母表示（图 1）。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0015_1.bmp}
首先求出幻和。因为 a1+a2＋a3＋b1＋b2＋b3+c1+c2+c3＝1+2+3+4+??
+9=45，a1+a2+a3=b1+b2+b3=c1+c2＋c3=幻和，所以，幻和×3=45，幻和=45÷
3=15。
其次，确定中心数 b2。 因为（al+b2+c3）+（a3+b2+c1）+（a2+b2+c2）+（b1+b2+b3）=15×4 al+a2+a3+b1+b2+b3+c1+c2+c3+3b2=60，
所以 b2=5，即中间数应当是 5。
最后，考虑四个角上应填什么数 假设 a1 为奇数，那么

（1）如果 a2 也是奇数，那么 a1＋a2＋a3=a1+5＋c3=a2+5＋c2=15。于是
a3、c3、c2 也都是奇数，连同 b2=5 共有六个奇数，矛盾（如图 2）。
（2）如果 a2 为偶数，那么 a3、c2 为偶数。又因为 c3 为奇数，a3＋b3＋
c3=c1+c2＋c3=15，所以 b3、c1 为偶数。这样就有 5 个偶数，矛盾（如图 3）。
所以 a1 不能为奇数。
同理可证 c1、c3、a3 都不能为奇数。弄清了这一点就可填写三阶幻方（如
图 4、图 5）。

例 2 把 4 至 12 填在 3×3 的方格内，制成三阶幻方。 解：（1）求幻和：（4＋5＋??＋12）÷3＝72÷3=24。
（2）求中心数：∵72＋3b2=24×4，∴3b2=24，∴b2=8。（3）确定四角 数：由上题九个数中有五个为奇数，中心数为奇数，四角数为偶。现在九个 数中五个为偶数，中心数为偶数，猜想四角数应为奇数，经验证这个猜想是 正确的，所以在四个角上填 7、5、9、11。填其余数字就容易了（如图 6）。







　　数阵是一种由幻方演变而来的数字图。数阵可以分为辐射型、封闭型、 既辐射又封闭的复合型数阵。
例 3 将 1 至 7 七个数字填入图中的圈内，使每条线上的三个数的和相
等。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0017_1.bmp} 解：首先确定中心数。不妨设中心数为 a，则 1+2+3+4+5+6+7+2a 能被 3
整除。
所以， （28＋2a）÷3=28÷3＋2a÷3。其中，28÷3 商 9 余 1。因此，
2a÷3 的余数必须是 2，那么当 a 是什么数时 2a÷3 的余数才是 2 呢？为此， 我们在 1～7 六个数中试验选择如下：
当 a＝1 时， 2a÷3=2÷3 商 0 余 2；（符合要求）
当 a＝2 时， 2a÷3=4÷3 商 1 余 1； 当 a＝3 时， 2a÷3=6÷3 商 2 余 0；
当 a=4 或 7 时，余数也是 2。（符合要求）
所以，当 a=1、4、7 时，2a÷3 的余数是 2，即中心数为 1，4，7。
当 a＝l 时，（28＋2）÷3＝10，所以除中心数外，其他两个数的和是
10-1＝9，只要把 2、3、4、5、6、7 按和为 9 分成三组填入○内即可。
当 a=4 时，（28＋8）÷3=12，除中心数外其他两个数的和为 8。
当 a＝7 时， （28＋14）÷3=14，除中心数外其他两个数的和为 7。 因此，可得三个解：
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0018_1.bmp}
例 4 将 1 至 6 分别填入圈内，使各边上三个○内数字和相等。

解：首先应确定三个顶点上○内的数字。
　　用 k 表示每边上三个○内的数字和，用 a、b、c 分别表示三个顶点○内 的数字，因为三个顶点上的数在求和时多用了一次，所以 1+2+3+4+5+6+a+b+c
＝3k，21+a+b+c＝3k，即 k=（21+a+b+c）÷3。
又因为 a、b、c 可以分成七组数：1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，
6；1，2，6；1，3，5；2，4，6。
我们把这四组 a＋b＋c 的和与 k 的值列表如下：















从表中看出，当 a＋b＋c 的最小值是 1＋2＋3=6 时，k 的最小值是 9。
当 a＋b＋c 的值最大是 4＋5＋6＝15 时，k 的最大值是 12。
1.当 a＋b＋c=6，k=9 时，a、b、C 分别是（1，2，3）、（1，3，2）、
（2，1，3）、（2，3，1）、（3，1，2）、（3，2，1），那么，其余三个
○内分别填 4、5、6。我们可以填出六种解法：
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0019_1.bmp} 从上面答案可发现，只要把一个解中的数左右旋转或适当调换就可以得
到其余的五个解。我们把第一个解叫做基本解，其余的五个解看作与基本解
是同一个解。
2.当 a＋b＋c=9，k=10 时，试验如下：
　　（1）如果 a=1，b=2，c=6（如右图），那么在三角形底边上只有填 2， 才能使底边上○内数的和是 10，但这样重复，因此无解。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0020_1.bmp}
　　（2）如果 a=1，b=3，c=5，那么其余三个○内分别填 2、4、6，得本题 的第二个基本解。
（3）a=2，b＝3，c=4 时，无解。
　　3.当 a＋b＋c=12，k=11 或 a＋b＋c=15，k=12 时，用上面同样的方法得 到下面的两个基本解：
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0020_2.bmp} 从上面分析，我们可以看到，每一个基本解可得六个解，本题共有 24
个解，但是今后解答这类问题时，只要求基本解就可以了。
　　例 5 把 1 至 8 八个数分别填入图中的八个○内，使每个圆周上五个数 的和都等于 21。
　　解：设两个圆的交叉点上的两个○内各是 a、b。那么，在计算两个大圆 周上 10 个数的和时，a、b 两数都多加了一次，所以 1＋2+??＋8＋a＋b 除以 2 应该是 21，即 36＋a＋b=21×2，从而得 a＋b=6。
在 1 至 8 八个数中，只有 1 和 5，2 和 4 这两组数的和是 6。

　　（1）如果中间两个○内分别填 1 和 5，另外三个○①内三个数的和都应 当是 21-6=15，在 2，3，4，6，7，8 这六个数中，和相等的数只有 2，6，7
和 3，4，8。
（2）如果中间两个○内填 2 和 4，其他的数可分成两组 1，6，8 和 3，5，
7，分别填入○中。
例 6 把 1 至 7 七个数填在右图的○内，使每条线上三个数的和都相等。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0021_1.bmp}
（1988 年无锡市小学生数学竞赛试题）
解：本题是例 3 的发展，设中心数为 x，其余各数分别为 a、b、c、d、e、
f。根据例 3 的分析，x 可取 1、4、 7。
（1）当=1 时，则得每条线上三个数的和为 10。
　　　　　a+b+c+d+e+f=28-x=-27。 但 a+c+e=10，b+d＋f＝10，
　　　　于是 a+b+c+d+e+f=20。 两种结果产生矛盾，因此，x 不能为 1。
（2）当 x＝4 时，则得每条线上三个数的和为 12。
a+b+c+d+e+f=28-x=24。
但 a+c+e＝12，b+d+f=12， 于是 a+b+c+d+e+f＝24。
两种结果一致，因此，x 可为 4。
　　因为 1+7+4=12，6+2+4＝12，5+3+4=12，而且 7+2+3= 12，1＋6＋5=12， 所以可得解（见右图）。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0022_1.bmp}
　　图中当 1 的位置确定后，5 与 6 可以对换，（3 与 2 也相应的对换），因 此有两种不同的形式。而 1 在外圈上有三个位置可选择，有三种不同形式， 这样就有 2×3=6 种不同形式。外圈上三个数与内圈上三个数可同时交换，因 此，本题有 6×2=12 种不同形式。
（3）当 x=7 时，无解。
习题二
1.在下面的方格内，每边加起来的数都是 5，总数是 12，现在请你用任 何数字重新排列，每边加起来仍是 5，但总数是 13、l4。






　　2.把 5、7、9、11、13、15、17、19、 21 分别填入下面正方形的方格里， 使每行、每列、对角线上三个数的和都相等。


3.右图中的 A=＿＿＿，B=＿＿＿ ，C= ＿＿＿，D=＿＿＿ ，E= ＿＿＿
时，它可能构成一个三阶幻方？

19 A 14 10 B C D 18 E



4.将 1 至 8 八个数填入右图的八个方格内，使上面四格，下面四格，右
边四格，中间四格，对角线上四格和四角四格内的四个数的和都是 18。






5.用 1 至 5 这五个数填入右图中使每行和每列的 3 个数的和相等。

6.将 1 至 9 这九个数分别填入右图的○内，使每条辐射支上的三个数的 和都相等。








7.将 1 至 11 这 11 个数，分别填入右图中，使每条线段上三个○内数的 和都相等。









　　8.在右图的每个圆圈里填上适当的质数（不得重复），使每条直线上三 个数的和都相等，且均为偶数。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0024_1.bmp}
（安庆市首届小学数学竞赛试题）
　　9.请将 1 至 8 这八个数字填入右图的空方框内，使每条直线上三个数的 和都为质数。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0024_2.bmp}
（张家口市 1990 年小学五年级数学竞赛（复赛试题））
　　10.把 1 至 7 七个自然数分别填入右图中的圆圈里，使每条线上三个数的 和相等。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0024_3.bmp}
（1990 年济南历下区小学五年级数学竞赛试题）
　　11.把 20、21、22、23、24、25 这六个数分别放在图中的一个圆圈中， 使这个三角形各边上的三个数之和是相等的。
　　
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0024_4.bmp}
（天津市第二届“我爱数学”竞赛题）
　　12.将 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这九个数分别填在右图的三角形的圆 圈里，使每条边上的四个数字和等于 17。
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0024_5.bmp}
（1983 年洛阳市小学生数学竞赛试题）
　　13.如图，四个小三角形的顶点处有六个圆圈。如果在这些圆圈中分别填 上六个质数，它们的和是 20，而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等。 问这六个质数的积是多少？
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（1986 年“华罗庚金杯”决赛试题）
　　14.把 1 至 10 这十个数填入右图的十个○内，使每个正方形四个顶点上 各数的和都等于 24。
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　　15.把 5、6、7、8、9、10、11、12、13、14 填入右图中的小圆中，使每 个大圆圈中六个数的和是 55。
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（长春市 1988 年四年级数学竞赛题）
　　16.将 195、196、197、198、199、200、201 七个数分别填入右图的小圆 圈内，使每条直线上和每个圆上的三个数的和都是 594。
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（石家庄市长安区 1989 年五年级数学复赛试题）
　　17.将 1 至 10 这十个数分别填入图中○内，使每条线段上四个○内数的 和相等。每个三角形三个项点上○内数的和也相等。
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三 数列问题
——从高斯的故事谈起


　　高斯是 19 世纪德国的著名数学家。他从小喜欢学数学，善于思考，聪明 过人。据说他在读小学三年级的时候，一次老师布置一道题目：“把从 1 到
100 的自然数加起来，和是多少？”正当同学们埋头一个数一个数加的时候， 小高斯很快报出答数为 5050，这使得老师非常吃惊。
小高斯是采取什么办法巧妙地进行计算的呢？ 先来观察一下题目，发现数字的排列是有规律的。
1+2+3+4+5+6+7+8+9+??+100。 这是按自然数排列的，后面一个数都比前面一个数大 1，好比上体育课
同学们排成一队，叫做队列，这就叫做数列。请观察下面的数列：
①1，3，5，7，9，11；
②2，6， 10， 14， 18，22；
③5， 10， 15， 20， 25， 30。 这些数列的两个数之间的差都是相等的，所以叫做等差数列。既然这些
数列排列都有规律可找，因此可以发现许多数学问题，这些就是数列问题。 小高斯做的题目是最简单的数列问题。100 个数相加大多了。我们先用
九个数来研究一下：

这样凑成 4 个 10 再加上 5，和为 45。 还有一个办法：

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 和
9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 和


? ?2倍和
?

10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 90
把数列颠倒过来相加，所得结果是和的 2 倍，只要除以 2 就得到答案：
　　　　　　　　　　　和＝90÷2＝45。 按照这个道理，可以得到求等差数列的和的一般公式：
　　　　　　　　　（首项+末项）×个数÷2 把小高斯做的题目： 1+2+3+4+5+?+100 代入公式：
（1+100）×100÷2
=101×100÷2
=10100÷2
=5050
例 1 1+2+3+?+250＝31375
（1+250）×250÷2
=251×250÷2
=62750÷2
=31375

例 2 1+3+5+7+9+?+199＝10000 这是一列奇数数列，也可代入公式
（首项十末项）×个数÷2
（1+199）×100÷2=20000÷2=10000 怎样算出连续奇数的个数，不必一个一个地数出来。只要（首项+末项）
÷2，就能求出个数。
例 3 101+103+105+?+199=？ 这道题和上面讲的有所不同。它虽然也是求连续奇数的和，但却不是从
1 开始的。其实也不难，只要先算出从 1 到 199 的连续奇数的和，再减去从 1
到 99 的连续奇数的和，问题就解决了。
∵1+3+5+?+99=2500，
1+3+5+?+199=10000，
∴101+103+105+?+199=10000-2500＝7500。 例 4 2+4+6+?+100=？
　　这道题一看就知道，是求从 2 开始连续偶数的和。同样可用上面的公式 代入
（2+100）×50÷2=5100÷2=2550。
　　要知道从 2 开始连续偶数的个数，也不用一个一个地去数，只要把最后 那个偶数除以 2 就可以了。
例 5 五个连续偶数的和是 150，这五个偶数是哪几个数？
粗看这道题目觉得很难，感到无从下手。可以先枚举几组五个连续偶数 观察一下：















请你仔细观察分析，就会发现规律，五个连续偶数的和，凑巧是中间数
的 5 倍。中间数找到了，前后四个数就能写出来了。解例 5： 先求出五个连续偶数的中间数：150÷5=30。 所以这五个连续偶数是：26，28，30，32，34。
例 6 已知四个连续偶数的和是 84，这四个偶数是哪几个数？ 这道题是四个连续偶数，没有中间数，上面的办法不适用了，要根据上
题的思路重新想办法。先枚举几组题目观察一下：


　　从上面两组题发现，四个连续偶数分成两个数对，每个数对的和是相等 的。根据这个特点，可以从这个和中先求出一个数对，然后再推算出四个连 续偶数来。
84÷2=42 然后推算出这个四个偶数：18，20，22，24。
例 7 10 到 80 之间能被 7 整除的各数之和是多少？
　　10 到 80 之间，7 的最小倍数是 14，7 的最大倍数是 77，这是一列 7 的 倍数的数列：
14+21+28+?+77＝455。 代入求等差数列之和的公式得：
（14+77）×10÷2=910÷2=455。
1 1 1 1
例8 ? ? ? ? ? ? ?

1×2

2×3

3×4

99×100

　　求这一数列各数之和，如果按照普通方法计算实在太麻烦了。你愿意试 一下的话，恐怕半天还算不出来呢。
从何下手呢？首先要仔细分析题目，看看这些分数有什么特点。不难看
出，这 99 个分数的分子都是 1，分母都是两个连续的自然数的乘积。这一数 列的编列是有规律可找的。
根据分数乘法的法则，它们都可以分成两个分数相乘，如：

1
1×2
1 1 1
∵ × ?
2 3 6

= 1 × 1 ·
1 2

1
2×3 =

1 × 1 .
2 3

1 1 3 ? 2 1
? ? ? .
2 3 6 6
1 1 1 1
∴ × ? ? 。
2 3 2 3
　　根据上面分析，两个分数的积与这两个数的差可能相等。但这两个分数 不是任意的，它们必须符合一定的条件。具体地说，就是它们的分子都是 1， 分母分别是两个连续的自然数中的一个。
　　分析到这里，爱动脑筋的同学会恍然大悟解答例 8 可以找到简便方法 了。只要用两个分数的差的形式代入式子里：
　　

同学们看到这里一定会高兴得跳起来。这个方法太巧妙了！ 1 ? 1 , ? 1 ? 1
2 2 3 3
13+13 ? ? 不 是 都 等 于 0 吗 ？ 最 后 就 只

剩下第一个数和最后一个带“一”号的数，即1 - 1
100

，所以立即可以算得结

果 99 。
100
　　一道复杂繁难的题目，现在竟不费吹灰之力就解决了。所以学习数学， 一定要勤于思考、善于分析。
练习三
1.101+102+103+104+??+200=
2.1+3+5+7+??+259=
3.52+54+56+??+150=
4.72+74+76+??+200=
5.比 101 小的所有的偶数的和是多少？
（天津市小学生红花奖竞赛中年级试题）
6.全部三位数的和是多少？
（哈尔滨市第八届小学生数学竞赛试题）
7.三个连续自然数的和是 231，这三个数中最大的一个是多少？
（江西省 1990 年“八一杯”小学数学比赛题）
8.三个连续自然数的积是 2730，这三个数分别是多少？
（宜兴市 1990 年第五届小学生数学竞赛试题）
9.一个数分别与相邻两个偶数相乘，所得的积相差 50，这个数是多少？
（北京市第三届小学生“迎春杯”数学竞赛试题）
1 1 1 1

10.

? ? ? ?? ? ?

1×2
1

2×3

3×4
1

199×200
1

11.

? ? ? ??

100×101
1

101×102

102×103

?
199×200

四 假设问题
——以“假”求“真”，化难为易


　　用假设的方法来解答问题是一种极其重要的思维方法。恩格斯曾经指 出：“只要自然科学在思维着，它的发展形式就是假设。”
　　科学史上的许多有重大影响的科学理论，如门捷列夫的元素周期表、哥 白尼的太阳中心说等等，最初就是以假设的形式出现的。
　　在解答数学问题中，假设未知数为 x，列出方程进行解题，就是建立在 假设的思想基础上的。由于假设，可以把未知看作已知，可以把复杂的数量 关系简单化。我国古代算术中的“鸡兔同笼”问题，就是用假设法来解的， 它往往先假设某种现象的存在，得到和已知条件不同的“差异”，再分析“差 异”的原因，进行适当的调换，使问题得到解决。
例 1 笼中共有鸡兔 100 个头，350 只脚，问鸡兔各有多少头？
（1990 年济南市历下区小学数学五年级竞赛题）
分析：假设 100 头全为兔，则应有 4×100=400 只脚，比实际多了 400-
350=50 只脚，如果把一只兔换成一只鸡，那么可减少 4-2=2 只脚，要减少 50 只脚，就要换 50÷2=25 头鸡，这样就求出了鸡的头数。
解法一：
（4×100-350）÷（4-2）=25（头）??鸡，
100-25=75 （头）??兔。
或者 （350-2×100）÷（4-2）=75（头）??兔，
100-75=25 （头）??鸡。
解法二：
设：鸡有 x 头，则兔有（100-x）头。
　　　　　2x+4×（100-x）=350， 解之得 x=25。
100-25=75（头）??兔。
答：鸡有 25 头，兔有 75 头。
例 2 光明书店卖出甲、乙两种书共 120 本，甲种书每本 5 元，乙种书每
本 3.75 元，卖出的甲种书比乙种书多收入 162.5 元。甲、乙两种书各卖出几 本？
（《小学生数学报》第五届初赛题）
分析 1：假设全部卖出的为甲种本，则甲种本比乙种本多收入 5×120-
3.75×0=600 元，比实际的相差数多 600-162.5＝437.50 元。如果甲种本换 一本为乙种本（也就是甲种本少卖一本，乙种本多卖一本），那么甲种本的 收入比乙种本少 5＋3.75=8.75 元，要减少 437.50 元，就要换几次（也就是 乙种本的本数）， 437.50÷8.75=50（本）。
解法 1：
　　（5×120-162.5）÷（5+3.75）＝5（本）??乙种本，120-50＝7（本）?? 甲种本。
分析 2：假设甲、乙各卖出 120÷2＝60 本，则甲比乙多收入（5-3. 75）
×60=75 元，比实际的相差数少 162.5-75＝87.5 元（说明甲不止 60 本）。 如果乙换一本为甲，那么乙的收入比甲少 5＋3.75=8.75 元，要增加 87.5 元， 就要换几次（也就是需要增加甲种本的本数）， 87.5÷8.75=10 （本），

所以卖出的甲种本有 60＋10＝70（本）。 解法 2：
[162.5-（5-3.75）×（120÷2）]
÷（5+3.75）=10（本）
60+10=70（本）??甲种本，
60-10=50 （本）??乙种本。
答：卖出的甲种本有 70 本，卖出的乙种本有 50 本。 你还有其他假设的方法吗？你能用列方程的方法解答吗？
　　例 3 有 1 元、5 角、2 角三种人民币 11 张，共值 4.7 元，其中 2 角的 张数比 5 角多 3 张。三种人民币各有几张？
　　分析：由于 2 角与 5 角的张数不同，在调换时较难进行。如果 5 角多 3 张，那么题意改为“有 1 元、5 角、2 角的人民币共 11+3=14 张，共值 4.7+0.5
×3=6.2 元（62 角），其中 2 角的张数与 5 角的同样多，求各有几张？”再 用假设法解题。
　　根据以上的改题，可以假设全是 1 元（10 角）的，则共值 10×14=140 角，比实际多 140-62=78 角，如果用 2 张 10 角的，调换：1 张 2 角、1 张 5 角的（总张数不变），那么可少 10×2-2-5=13 角，要减少 78 角，就要换几 次（也就是 2 角或 5 角的张数）， 78÷13=6（张），就是原来 2 角的有 6 张，原来 5 角的有 6-3=3 张。
解法：
[10× （11+3）-（47+5×3）]÷（10×2-2-5）=6（张）??2 角，
6-3=3（张）??5 角， 14-2×6=2（张）??1 元。 答：1 元有 2 张，5 角有 3 张，2 角有 6 张。
如果原题中“2 角的减少 3 张”，你能解答吗？你能用列方程的方法解
答吗？
　　通过以上例题，可以看到用假设法解答“鸡兔问题”时，它的一般解题 规律是：
（1）假设结果（如笼中都是兔）；
（2）求出相差（如脚的只数与某一已知条件有“差异”）；
（3）进行调换（如一只兔调换一只鸡，使兔的只数减少）；
　　（4）由甲入手，求出是乙（假设笼中的动物都是兔，但先求出的倒是鸡 的头数）。
例 4 买语文书 30 本，数学书 24 本，共花 41.7 元，已知每本语文书比每
本数学书贵 0.22 元，语文书每本多少元？数学书每本多少元？
（1990 年长春市小学数学竞赛五年级试题）
　　分析：假设语文书的单价便宜 0. 22 元，那么数学书和语文书的单价就 相同了，买 30 本语文书就可便宜 0.22×30=6.6 元。41.7 元减去 6.6 元所得 的差正好是 30+24=54 本数学书的总价。这样，就可求出数学书的单价了。
解法：
（41.7-0. 22×30）÷（30+24）=0.65（元）
??数学书单价。
0.65+0.22=0.87（元）??语文书单价。 答：语文书每本 0. 87 元，数学书每本 0. 65 元。
例 5 少年宫开办音乐、美术两个培训班，去年共招收 200 人。今年计

划招收 246 人，其中音乐班人数比去年增加 25％，美术班人数比去年增加 20
％。求今年计划招收的音乐班、美术班各有多少人？ 分析：假设美术班今年比去年也增加 25％，则今年计划招收 200×
（1+25％）=250 人，比实际多 250-246=4 人，这是因为美术班今年比去年增 加的百分数与实际相比较多了去年的 25％-20％=5％，这里的 5％，就是 4 人的对应分率，所以去年美术班有 4÷5％=80 人。
解法：
[200×（1+25％）-246]÷（25％-20％）
=80 人 ???去年美术班人数，
80×（1＋20％）=96 人??今年美术班人数，
246-96=150 人 ??今年音乐班人数。 答：今年音乐班计划招收 150 人，美术班计划招 96％人。
假设“音乐班今年比去年增加 20％”，那么怎样解答呢？你去试一试看。
　　例 6 甲原有的故事书是乙的 6 倍，两人各再买 2 本，则甲现有的书是 乙的 4 倍。甲、乙两人原来各有故事书多少本？
　　分析：假设要使甲现有的书仍是乙现有的书的 6 倍，则甲应买 2×6=12 本，但甲只买了 2 本，少买了 12-2=10 本，这样甲现有的书就只有乙现有的 书的 4 倍了，比实际少买了乙现有的书的 6-4=2 倍，所以乙现有的书是 10÷
2=5（本），乙原来的书有 5-2=3 本。
解法：
　　（2×6-2）÷（6-4）=5（本）??乙现有的书，5-2=3（本）??乙原 来的书， 3×6＝18（本）??甲原来的书。
答：甲原来有 18 本故事书，乙原来有 3 本故事书。你能用列方程的方法
解答吗？
练习四
　　1.学校买来 100 张电影票，一共用去 22 元。票价有 0.2 元和 0.25 元两 种。问 0.2 元的有多少张？0.25 元的有多少张？
（北京市东城区 1988 年小学数学竞赛题）
　　2.一个中学生一顿饭可以吃 3 个馒头。三个幼儿一顿饭吃 1 个馒头，现 在有中学生和幼儿共 100 人，一顿饭正好吃 100 个馒头。有幼儿多少人？
（北京市第五届小学“迎春杯”数学竞赛题）
　　3.12 张乒乓球台上共有 34 人在打球，问：正在进行单打和双打的台子 各有多少张？
　　4.松鼠妈妈采松籽。晴天每天可以采 20 个。有雨的天每天只能采 12 个。 它一连几天采了 112 个松籽，平均每天采 14 个。问这几天当中有几天有雨？
（首届“华罗庚金杯”初赛试题）
　　5.五年级数学竞赛题共 10 题，规定做对一题得 15 分，做错一题倒扣 10 分，小亮在这次竞赛中得了 100 分，你知道他做错了多少题？
　　6.李强把自己储存的 17 枚硬币，合计 6 角 4 分捐献给有关部门抢救大熊 猫。已知硬币有 1 分、2 分、5 分三种，并且 1 分与 2 分的枚数相等。求三种 硬币各有多少枚？
（1990 年东台市小学生数学竞赛预赛题）
　　7.丰庆百货公司委托运输公司包运 1000 块玻璃，议定每块运费 0.50 元， 如损失一块，不但没有运费，并且要赔偿成本费 3.50 元，货物运到目的地后，
　　
运输公司获得运费 480 元，损失的玻璃有多少块？
（四川省 1990 年小学生“天府杯”数学题）
　　8.某农民饲养鸡兔若干，已知鸡比兔多 13 头，鸡的脚比兔的脚多 16 只， 问鸡和兔各几头？
　　9.某班 42 个同学参加植树，男生每人平均种 3 棵，女生每人平均种 2 棵，已知男生比女生多种 56 棵。求男、女生各多少人？
　　10.蜘蛛有 8 只脚，蜻蜒有 6 只脚和两对翅膀，蝉有 6 只脚和一对翅膀， 现在有这三种小虫 18 个，共有脚 118 只，翅膀 20 对，问每种小虫各有多少 个？
　　11.两数相除商 3 余 2，被除数、除数、商与余数的和是 179，被除数比 除数大多少？
（1990 年《少年报》有奖测试题）
　　12.三只船运木板 9800 块，第一船比其余两船共运的少 1400 块，第二船 比第三船多运 200 块，三只船各运木板多少块？
　　13.某车间男工人数是女工人数的 2 倍，若调走 18 个男工，那么女工人 数是男工人数的 2 倍，这个车间有女工多少人？
（福州市 1990 年小学生“迎春杯”数学题）
14.果园里苹果树的棵数是桃树的 3 倍，管理人员每天能给 25 棵苹果树
和 15 棵桃树喷洒农药，几天后当桃树喷完农药时苹果树还有 140 棵没有喷 药。果园里这两种树共有多少棵？
15.某商店里花布是白布的 2 倍，如果每天卖 30 米白布和 40 米花布，几
天后，白布全部卖完，而花布还剩 120 米。原来库存花布多少米？

五 方程问题
——巧设未知数，列好等量式


　　在小学阶段解答应用题时，大多数使用的是算术解法，但是这种解法只 限于对已知数之间进行计算，不允许未知数参加计算。而用列方程的解法， 未知数与已知数同样都是运算的对象（也就是把未知数看作已知数），再找 出“未知”与“已知”之间的等量关系（也就是列出方程），从而得到问题 的解。所以对于应用题，列方程的方法往往比算术解法易于思考、易于解答。 对于参加竞赛的同学，只有简易方程的知识是不够的，还必须补习一些一元 一次方程的内容。
列方程解应用题的一般步骤是：
　　（1）理解题意，找出一个（或几个）适当的未知数，用一个（或几个） 英文字母来表示；
（2）找出应用题中数量间的等量关系；
（3）根据等量关系列出方程；
（4）解方程并检验、验算，写出答案。 其中布列方程是关键的一步，其实质是将同一个量用两种方式表示出来
写成等量关系，而这等量关系的建立必须对
题目作细致的分析，灵活运用基本的数量关系式，列出正确的方程。
（一）列一元一次方程解应用题
例 1 两个数的和是 10，差是 4，求这两个数。 解法 1：
设较大的数是 x，则根据“两个数的和是 10”可得较小的数是（10-x），
按“差是 4”为等量关系列方程，得 x-（10-x）=4。 解方程，得 x=7，
∴较小数是 10-7=3。
解法 2：
　　设较小的数是 x，则根据“两个数的和是 10”可得较大的数是（10-x）， 按“差是 4”为等量关系列方程，得
（10-x）-=4。
解方程，得 x=3，
∴较大数是 10-3=7。 解法 3：
　　设较大的数是 x，则根据“差是 4”可得较小数是（x-4），按“两个数 的和是 10”为等量关系列方程，
得 x+（x-4）=10。
解方程，得 x=7，
∴较小数是 10-7=3。 解法 4：
　　设较小的数是 x，则根据“差是 4”可得较大数是（x+4），按“两个数 的和是 10”为等量关系列方程，得
x+（x+4）=10
解方程，得 x=3，
∴较大数是 3+4=7。

答：较大数是 7，较小数是 3。
　　例 2 有一个班的同学去划船。他们算了一下，如果增加一条船，正好 每条船坐 6 人；如果减少一条船，正好每条船坐 9 人。问：这个班共有多少 同学？
（第二届“华罗庚金杯”初赛题） 解法 1：
显然，每条船坐 9 人时所租用的船比每条船坐 6 人时要少用 1+1=2 条船。 设每条船坐 9 人时租船 x 条，则每条船坐 6 人时租船（x+2）条。按“两
种计算全班人数的结果相等”为等量关系列方程，得
9x＝6（x+2）。
解方程，得 x=4，
∴全班有 9×4＝36 （人）。 解法 2：
　　设每条船坐 6 人时租船 x 条，则每条船坐 9 人时租船（x-2）条。按“两 种计算全班人数的结果相等”为等量关系列方程，得
6x=9（x-2）。
解方程，得 x=6，
∴全班有 6×6=36 人。 解法 3：
设全班学生有 x 人，则每船坐 9 人所租船的条数是 x9（条），每船坐 6
人所租船的条数是 x 6（条）。按“每船坐 9 人所租船比每船坐 6 人时要少
用 2 条船”为等量关系列方程，得
x x
? ? 2
6 9
解方程，得 x=36。 答：全班学生有 36 人。
例3 有甲乙两桶油，两桶内装油量的差是20千克。甲桶油量的 2 等
5
于乙桶油量的 1 。求甲桶里有油多少千克？
2
（1990 年长春市小学数学六年级竞赛题） 解：
显然，由于“甲桶油量的 2 等于乙桶油量的 1 ”，所以甲桶油量比
5 2
乙桶要多。
设乙桶内有油x千克，则甲桶内有油（x + 20 ）千克。按“甲桶油量 2
5
等于乙桶油量的 12”为等量关系列方程，得




解方程，得 x=80，

2 （x + 20）＝ 1 x。
5 2

80+20＝100（千克）。 答：甲桶内有油 100 千克。
例 4 一件工程，甲、乙两人合作 6 天完成，甲独做 10 天完成，现在甲

独做若干天后，由乙接替甲将剩余的部分完成，这样两人共
用了12 1 天，问甲、乙两人各工作了几天？
2
（蚌埠市二中小学毕业生数学比赛题） 解法：
设甲工作了x天，则乙用了（12 1 - x）天。把一件工程作为单位“1”，
2

那么甲、乙工作效率之和为 1 ，甲的工作效率为
6

1 ，乙的工作效率为1
10

6 - 1 10 = 1 15。甲x天完成的工作量是1 10x，乙（12 1 - x）天完成的工作量
2
是 1 （12 1 - x），按两人共用12 1 天完成一件工程（“1”）为等量关系列方

15 2
程，得

2


1 1
x ? ( ?
10 6




1 )×(12 1
10 2





? x) ? 1

解方程，得 x=5，



1 1
12 - 5 = 7
2 2



（天）。

答：甲做了5天，乙做了7 1 天。
2
　　例 5 要把 30 克含盐 16％的盐水稀释成含盐 0.15%的盐水，需要加水多 少克？
解法 1：
　　设需要加水 x 克。由于原来 30 克盐水加上 x 克水后，重量变了，浓度变 了，但盐水中所含的盐的重量没有变，按“加水前后的含盐量相等”为等量 关系列方程，得 30×16％=（30+x）×0.15％。解方程，得 x=3170。
解法 2：
　　设需要加水 x 克。按“加水前后的含水量相差 x 克”为等量关系列方程， 得（30+x）×（1-0.15％）-30×（1-16％）＝x。解方程，得 x=3170。
答：需要加水 3170 克。
　　例 6 早晨 8 点多钟，有两辆汽车先后离开化肥厂，向幸福村开去。两 辆汽车的速度都是每小时 60 千米。8 点 32 分的时候，第一辆汽车离开化肥 厂的距离是第二辆汽车的 3 倍。到了 8 点 39 分的时候，第一辆汽车离开化肥 厂的距离是第二辆汽车的 2 倍。那么，第一辆汽车是 8 点几分离开化肥厂的？
解法 1：
　　显然，根据两辆车的速度都是每小时 60 千米，可知每 1 分钟走 1 千米， 即车走几分钟就走几千米。
　　设 8 点 32 分时，第二辆车开出了 x 分钟（也就是离开化肥厂 x 千米）， 则第一辆车此时离开化肥厂 3x 千米（也就是开出了 3x 分钟），所以到 8 点
39 分时，第一辆车开出了（3x＋39-32）分钟，离化肥厂（3x＋7）千米；第 二辆车开出了（x＋39-32）分钟，离化肥厂（x＋7）千米。按“第一辆汽车 离开化肥厂的距离是第二辆汽车的 2 倍”等量关系列方程，得
3x+7=（x+7）×2。

解方程，得 x=7，7×3＝21（分），32-21＝11（分）。 解法 2：
　　设 第一辆车是 8 点 x 分离开化肥厂的，在 8 点 32 分与 8 点 39 分这两 个时刻。第一辆车所在的两个地点的距离为 1×（39-32）=7 千米，第二辆车
到 8 点 32 分时行了 13（32-x）千米，到 8 点 39 分时行了 12（39-x）千米， 所以第二辆车在 8 点 32 分与 8 点 39 分这两个时刻所在的两个地点的距离为
12（39-x）-1 3 （32-7），并且也是 7 千米，按这一情况作为等量关系列方 程，得 1 2（39-7）-13（32-x）＝7。解方程，得 x=11。
答：第一辆车是 8 点 11 分离开化肥厂的。
例 7 一辆车从甲地开往乙地。如果车速提高 20％，可以比原定时间提
前 1 小时到达；如果以原速行驶 120 千米后，再将速度提高 25％，则可提前
40 分钟到达。那么甲、乙两地相距多少千米。
（1992 年小学数学奥林匹克比赛决赛题） 解法 1：
设全程为 x 千米。
因为当距离一定时，时间与速度成反比，所以速度提高 20％，所用时间
缩短到原来时间的1÷（1＋20％） = 5 ，因
6
此，这辆车用原速度行驶，需要1÷（1－ 5 ）＝6小时到达乙地。同样车
6
速提高 25％，所用时间缩短到原来的 1÷（1＋25％）＝45。如果这辆车
从开始就提高速度25％，那么就可提前6×（1－ 4 ）＝65小时到达乙地。
5

现在只提前40 分钟（23小时），少提前了 6 － 2 ＝

8 （小时）。这是

5 3 15
因为前 120 千米仍是按原速度行驶的，也就是如果提高速度 25％，那么行驶
6
120千米，可提前815小时；如果提高速度25％，行驶χ千米，可提前
5
小时，按这一情况为等量关系列方程，得χ：120＝65：815。 解方程，得χ＝270。
解法 2：
　　设 全程为 x 千米，原来速度是每小时 a 千米，则根据已知条件中的第 一层含义，按“提前 1 小时”为等量关系列方程，得
　　
x
a(1 + 20%)

x
＝ －1
a

（把a看作常数）。

解方程，得x＝6a（也就是a＝ 1 x）。
6
　　再根据已知条件中的第二层含义，按“提前 40 分钟（23 小时）”为等 量关系列方程，得
　　
120
?
x

x ? 120 x 2
? ?
a(1 ? 25%) a 3

把a＝ 1 x代入这个方程，可得
6






解方程，得 x＝270。



720
x

24
(x ? 120)
? 5 ? 16
x 3

答：甲、乙两地相距 270 千米。
　　例 8 甲数是乙数的 35，两数的最大公约数与最小公倍数的和为 1040。 甲、乙两数的和是多少？
（哈尔滨市第七届小学生数学比赛题） 解法 1：
由“甲数是乙数的 3 ”可以这样巧设未知数。
5
　　设甲数是 3k，乙数是 5k，因为 3 与 5 是互质数，所以 3k 与 5k 的最大公 约数是 k，最小公倍数是 3×5×k＝15k，按“两数的最大公约数与最小公倍 数的和为 1040”列方程，得
　　

解方程，得 k＝65。

解法 2：

k＋15k＝1040。

（3＋5）×65＝520。

　　设甲数和乙数的最大公约数是 x，则甲数是 3x，乙数是 5x（想一想，为 什么？），两数的最小公倍数是 15x。可得方程
x＋15x＝1040。

解方程，得 x＝65。


（3＋5）×65＝520。



答：甲、乙两数的和是 520。
　　例 9 一个两位数，十位数字是个位数字的 2 倍，将个位数字与十位数 字调换，得到一个新的两位数，这两个两位数的和是 132。求这个两位数。
（《小学生数学报》第四届比赛题）
解：
设 这个两位数的个位数字是 x，则十位数字为 2x，原数是 10×（2x）
＋x，新数是 10×x＋2x，按“两个两位数的和是 132”为等量关系列方程，
得


解方程，得 x＝4。

（20x＋x）＋（10x＋2x）＝132。

4×2＝8。

答：这个两位数是 84。
例 10 如右图在一直角三角形内作正方形，求正方形的面积
（1990 年哈尔滨市第九届小学数学比赛题）
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0052_1.bmp} 解：
　　设正方形边长为 x 厘米。原来大直角三角形分成了两个小直角三角形和 一个正方形，按“它们的面积和等于原来大直角三角形的面积”为等量关系 列方程，得
　　
x 2 ? 1 ·x·(6 ? x) ? 1 ·(8 ? x )·x ? 1 ×8×6

2
解方程，得 x＝337。
3
3
7




×3 3
7

2


37
? 11
49
　　　　　　　　
2


(平方厘米)

答：正方形的面积为 113749 平方厘米。
　　例 11 老王骑自行车从甲地去乙地送文件，去时顺风，每分钟行 240 米， 回来时逆风，每分钟行 120 米。他往返的平均速度是每分钟行多少米？
解：
设 他往返的平均速度是每分钟 x 米，甲、乙两地间的距离是 a 米。他

往返的总距离是2a，往返的总时间是（ a ?

a ）分钟，按“往返总距

　　　　　　　　　　　240 120
离等于往返的平均速度乘以往返的总时间”的等量关系列方程，得




解方程，得 x＝160。

a
2a = ( +
24

a
120

)·x

答：他往返的平均速度是每分钟行 160 米。
　　说明： （1）若以（240＋120）÷2＝180（米）作为往返的平均速度是 错误的。一般来讲求平均数还是应该运用“总数÷总份数＝平均数”这个数 量关系来求出。（2）对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题，列方 程时除了应设的未知数外，还需要增设一些“设而不求一”、“临时参加” 的所谓“参数”（如本题中所设的 a 这个未知量为参数，以便沟通数量关系， 为列方程创造条件。在解这类方程过程中“参数”会“自行消失”，而使问 题得到较好的解答）。
（二）列不定方程解应用题
　　在一个方程中，未知数的个数多于一个，如 x＋y＝5，就是一个含有两 个未知数的方程，由于它的解不唯一（如 x＝1，y＝4；x＝0.2，y＝4.8；??）， 所以也叫做不定方程。根据问题的实际意义，这类方程常常需要确定它的整 数解，在不太复杂的情况下，可以通过观察或枚举来解决，得到一个解或几 个解。
例 12 小强问小明：“你家养了几只兔、几只鸡？”小明答：“我家养的
兔比鸡多，鸡兔一共有 24 只脚，你猜我家养了几只兔、几只鸡？” 解：
　　设小明家养了 x 只兔、y 只鸡，按“鸡兔一共有 24 只脚”为等量关系列 方程，得
4x＋2y＝24。 解这个不定方程时，可以把 x（或 y）看作常数， 得：y＝12－2x
因为 x、y 都是自然数，所以 x、y 只能取以下几组值：
x 1 2 3 4 5 y 10 8 6 4 2

但根据“兔比鸡多”，即 x＞y；
所以只能取表中 x＝5，y＝2。

答：小明家养了 5 只兔、2 只鸡。
　　例 13 在一个两位数的两个数字中间加一个 0，那么所得的三位数比原 数大 8 倍，求这两位数
（北京市第三届小学生迎春数学比赛题） 解：
　　设这个二位数的十位数字是 x，个位数字是 y（显然，x、y 都是 0～9 之 间的整数），这个二位数是（10x＋y），在它的中间加一个 0 后所得的三位 数是（100x＋y），按“三位数比原数大 8 倍（即是原数的 1＋8＝9 倍）”为 等量关系列方程，得
100x＋y＝9（10x＋y）。
10＝8y，
4
x＝ y，
5
所以 y 是 5 的倍数，得 y＝5，x＝4。
4×10＋5＝45
答：这个两位数是 45。
　　例 14 如右图在一个圆圈上有几十个孔（不到 100 个）。小明像玩跳棋 那样从 A 孔出发，沿着逆时针方向每隔几个孔跳一步，希望一圈以后跳回到
A 孔，他先后试着每隔 2 孔跳一步，结果只能跳到 B 孔；他又试着每隔 4 孔
跳一步，也只能跳到 B 孔；最后他每隔 6 孔跳一步，正好跳回到 A 孔，问这 个圆上共有多少个孔？
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0055_1.bmp}
（第二届《华罗庚金杯》复赛题） 解：
首先要明确题意：
　　（1）隔 2、4、6 孔跳一步，“隔”字的含义，即每步分别跳 3、5、7 个孔。
（2）因为从 A 孔出发，每步跳 3 孔、5 孔都只跳到 B 孔，离 A 孔还有一
个孔，所以总孔数分别被 3、5 除都余 1，又因为 3 与 5 是互质数，所以也可 以说总孔数被 3×5＝15 除余 1。同理，总孔数能被 7 整除。
设总孔数为 15x＋1，它被 7 除时的商为 y。按“总孔数相等”为等量关
系列方程，得
15x＋1＝7y。 求这个不定方程的整数解。
y＝ 1 (15x ? 1) ? 1 [14x ? (x ? 1)] ? 2x ? 1 (x ? 1)
7 7 7
即 y＝2x＋ 1 （x＋1）。
7
　　因为 x、y 都是自然数，所以（x＋1）是 7 的倍数，得 x＝6，13，20，?? 又因为总孔数 15x＋1＜100，所以 x＜7，综合以上情况，得 x＝6，总孔数是
15×6＋1＝91（个）。 答：一共有 91 个孔。
　　例 15 大、小盒子共装 99 个球，每个大盒装 12 个，小盒装 5 个，恰好 装完，盒子总个数大于 10，那么大、小盒子各有多少个？
　　
解：
　　设大盒子有 x 个，小盒子有 y 个，按“大、小盒子共装 99 个球”为等量 关系列方程，得
　　　　　　　　　　　　12x＋5y＝99 求这个不定方程的整数解。
　　　　　　　　　　　　
1
x ? (99 ? 5y) ?
12

1 1
[96 ? (3 ? 5y)] ? 8 ?
12 12


(5y ? 3)

即x＝8 － 1
12

（5y－3）。

因为x为自然数，所以 1
12

（5y－3）为整数，并且 1
12

（5y－3） ＜8,

也就是说，（5y－3）能被 12 整除，并且 y＜20。又因为在不定方程 12x＋5y
＝99 中，12x 为偶数，99 为奇数，所以 y 必定是奇数。综合以上情况，y 只 能取 3 或 15。

当y＝3时，得x＝8－ 1
12

×（5×3－3）＝7 。

　　而 x＋y＝10 这与“盒子总个数大于 10”矛盾，所以 x＝7，y＝3 这一情 况应该舍去。
　　
当y＝15时，得x＝8 ?

符合题意。

1 ×（5×15－3）＝2 ，x＋y＝2＋15 ? 17＞10,
12

答：大盒子有 2 个，小盒子 15 个。
　　说明：如果没有对不定方程 12x＋5y＝99 的结构进行分析，限止 y 的取 值范围（只能是奇数），那么，就要讨论 y＝1、2、??、19 时的十九种情 况，这样，解题就繁琐了。
练习五
　　1.甲、乙、丙三个同学做纸花，已知甲比乙多做 5 朵，丙做的是甲的 2 倍，比乙多做 22 朵。他们一共做了多少朵花？
（1989 年上海市黄浦区小学四年级比赛题）
　　2.在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于 120，而差是减数的 3 倍，那么差等于多少？
（1988 年无锡市小学数学比赛题）
　　3.父亲比儿子大 30 岁，明年父亲的年龄恰好是儿子年龄的 3 倍，那么今 年父亲多少岁？
（1990 年营口市第四届小学五年级比赛题）
4.学雷锋小组为学校搬砖。如果每人搬 18 块，还剩 2 块；如果每人搬
20 块，就有一位同学没砖可搬。问共有多少块砖？
（1990 年广州市小学五年级数学比赛题）
　　5.如右图，梯形 ABCD 被它的一条对角线 BD 分成了两部分。三角形 BCD 的面积比三角形 ABD 的面积大 10 平方分米。已知梯形的上底与下底的长度之 和是 15 分米，它们的差是 5 分米。求梯形 ABCD 的面积？
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0058_1.bmp}
（《小学生数学报》第四届预赛题）
6.甲、乙两人星期天一起上街买东西，两人身上所带的钱共计是 86 元。

在人民商场，甲买一双运动鞋花去了所带钱的 4 ，乙买一件衬衫花去了人民
9


币 16 元。这样，两人身上所剩的钱正好一样多。问甲、乙两人原先各带了多 少元？
（《小学生数学报》第四届预赛题）
　　7.某装订车间的三个工人要将一批书打包后送往邮局（要求每个包内所 装书的册数同样多）。第一次，他们领来这批书的 712，结果打了 14 个包还
多 35 本。第 2 次他们把剩下的书全部领来了，连同第一次多的零头一起，刚 好又打 11 包。这批书共有多少本？
（《小学生数学报》第五届决赛题）
　　8.一件工程，乙队先独做 4 天，继而甲、丙两队合作 6 天，剩下工程甲 队又独作 9 天才全部完成。已知乙队完成的是甲队完成的 13，丙队完成的是 乙队完成的 2 倍。甲、乙、丙三队独做，各需多少天完成？
（天门市 1990 年小学生数学比赛题）
　　9.甲容器中有纯酒精 11 升，乙容器中有水 15 升。第一次将甲容器中的 一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精和水混合；第二次将乙容器中的一部分混 合液倒入甲容器，这样甲容器中的纯酒精含量为 62.5％，乙容器纯酒精含量
为 25％，那么第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少升？
　　10.如右图，东西、南北二条路交叉成直角，甲距路口中心 1500 米，乙 在路口中心，甲由南向北，乙由西向东，同时行走，5 分钟后，甲尚未走到 路口两人离路口中心的距离相等。又走 45 分钟后，二人离路口的距离又相 等。求甲、乙两人每分钟各行多少米？
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0059_1.bmp}
（1990 年青岛市四方区小学四年级数学比赛题）
　　11.一个六位数的末位数字是 2，如果把这个“2”移到首位，而其它五 位数字及它们的编写顺序都不改动，那么原数就是这个新数的 3 倍，求原来 的六位数。
12.如右图，有两个正方形，大小两个正方形对应边的距离均为 1 厘米。
如果两个正方形之间部分的面积是 20 平方厘米，那么小正方形的面积是多少 平方厘米？
{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !16000100_0060_1.bmp}
　　13.有红、黄、蓝三种颜色的皮球共 26 个，其中蓝皮球的个数是黄皮球 的 9 倍，三种球各有多少个？
　　14，下列数据是从一次调查中得到的：310 的学生戴眼镜；13 的男生戴 眼镜：14 的女生戴眼镜。学生的几分之几是男生？
（第三届新加坡小学奥林匹克比赛题）
　　15.要把 1 米长的优质铜管锯成长 38 毫米和长 90 毫米两种规格的小铜 管。每锯一次都要损耗 1 毫米铜管。那么，只有当锯得的 38 毫米的铜管为多 少段？90 毫米的铜管为多少段？这时所损耗的铜管才能最少？
（《小学生数学报》第五届数学决赛题）
　　16.一个小于 80 的自然数与 3 的和是 5 的倍数，与 3 的差是 6 的倍数， 这个自然数是几？
　　
六 整除问题
——概念清，规律要记牢


　　同学们与数学交朋友都是从整数 1、2、3、??开始的，现在大家都有 了一些关于整数方面的知识，但这仅仅是整数中最简单、最基本的内容，还 有许许多多奥妙的理论与问题等待着我们去发现、去创造。陈景润爷爷所研 究的“哥德巴赫猜想”就是整数中的一个著名的问题，他已取得了世界上令 人嘱目的领先地位。
　　本章概念多、理论性强，希望大家在弄清概念的基础上要记牢规律，它 对于解答整数问题，一定有很大的帮助。
本章所研究的数或英文字母，仍指零和自然数（统称叫整数）。
例1 四位数3A71能被9整除，求A。
（美国长岛小学数学比赛题）
解：根据“如果一个数各位上的数的和能被 9 整除，那么这个数能被 9
整除”的规律，要使四位数3A71能被9整除，3＋A＋7＋1＝11＋A必须能
被 9 整除，这里，A 是 0～9 中的整数，因此， A＋11＝18，得 A＝7。 答：A 是 7。
说明：为了学好《整除问题》，必须牢记能被一些常用数（如 2、5、4、
25、8、125、3、9、7 11、13??）整除的数的特征以及整数的基本性质。 现在分别叙述如下：
（一）能被一个数整除的数的特征
（1）能被 2 或 5 整除的数的特征是：这个数的末一位数能被 2 或 5 整除；
　　（2）能被 4 或 25 整除的数的特征是：这个数的末两位数能被 4 或 25 整除；
（3）能被 8 或 125 整除的数的特征是：这个数的末三位数能被 8 或 125
整除；
（4）能被 9 或 3 整除的数的特征是：这个数的各个数位上的数之和能被
9 或 3 整除；
　　（5）能被 11 整除的数的特征是：这个数奇数位上数的和与偶数位上数 的和之差（或反过来）能被 11 整除；
（6）能被 7、11、13 整除的数的特征是：这个数的末三位数与末三位以
前的数之差（或反过来）能被 7、 11、 13 整除。
（二）整数的基本性质
　　（1）如果两个整数都能被同一个自然数整除，那么这两个数的和或差也 能被这个自然数整除。
　　如： 18 与 12 都能被 3 整除，所以 18 与 12 的和 30 也能被 3 整除， 18 与 12 的差 6 也能被 3 整除。
　　（2）如果一个整数能被一个自然数整除，那么这个数的整数倍也能被这 个自然数整除。
如： 14 能被 7 整除，所以 14×5 的积 70 也能被 7 整除。
　　（3）如果一个整数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个整数能 被这两个互质数的积整除。
如：60 能被 3 整除，也能被 5 整除，3 与 5 是互质数，所以 60 能被 3×
5 的积 15 整除。

例 2 如果六位数□8919□能被 33 整除，那么这个六位数是多少？ 解：设这个六位数为 W，并且它的十万位上的数为 x，个位上的数为 y（也
就是 W＝x8919y）。
　　因为 33＝3×11，3 与 11 是互质数，所以根据整数的基本性质（3），可 得如果 W 能被 3、11 整除，那么 W 就能被 3×11＝33 整除。
　　要使 W 能被 3 整除，必须使 x＋8＋9＋1＋9＋y＝27＋x＋y 能被 3 整除， 因为 27 能被 3 整除，如果 x＋y 也能被 3 整除，那么根据整数的基本性质（1） 可得 27＋x＋y 能被 3 整除，从而 W 能被 3 整除。
　　要使 W 能被 11 整除，必须使（9＋9＋x）－（y＋1＋8）＝9＋（x－y） 能被 11 整除。
综合以上情况，得
x＋y 能被 3 整除??????????????（1）
9＋（x－y）能被 11 整除??????????（2）
因为 x、y 均是 0～9 中的整数（x≠0），所以，9＋（x－y）＝11，即 x
＝y＋2。
当 y＝0、1、2、3、4、5、6、7 时，
x＝2、3、4、5、6、7、8、9。
由（1），可得 y＝2，x＝4 或 y＝5，x＝7。 所以 W＝489192 或 789195。 答：这个六位数是 489192 或 789195
例 3 下面这个 41 位数
　　55??5□99??9（其中 5 和 9 各有 20 个）能被 7 整除，那么中间方格 内的数字是多少？
（1991 年小学奥赛决赛题）
　　解：根据数的整除特征（6），555555，999999 这两个数都能被 7 整除， 这样，18 个 5 和 18 个 9 分别组成的十八位数，也都能被 7 整除。
　　
原数＝5?5??? 5

00??? 0＋55□99

0??? 0＋

9???9

23个0 18 个0 18个9
在这个和式中，第一部分与第三部分加数都能被 7 整除，所以只要第二部分 加数中 55□99 能被 7 整除，也就是只要□99－55＝□44 能被 7 整除，原数 就能被 7 整除，经试除得□内填 6。
答：中间方格内的数字是 6。
说明：由 6 个相同的数字所组成的六位数总能被 7、11、13 整除。
　　例 4 一个三位数的百位、十位、个位数字分别是 5、a、b，将它接连重 复写 99 次成为：
5?ab?5?ab?????5?ab
99 个5ab
< /PGN0064.TXT / PGN > 如果所成之数能被91整除，问：这个三位数5ab


是几？
解：因为5ab5ab＝5ab×1000＋5ab
＝5ab×1001
＝5ab×11×91，

所以，由2个5ab所得的数5ab5ab能被91整除，进而可得由98个5ab
所得的数




也能被 91 整除，因此：

5?ab?5?ab?????5?ab
98 个5ab

原数＝5?ab?5?ab?????5?ab×1000＋5ab。
98个5ab
又由于原数能被91整除，根据整数的基本性质（1）可得5ab能被91
整除。
因为91×6＝546，所以5ab＝546。
答：这个三位数5ab是546。
例 5 三个质数的和为 122，求这三个质数的乘积的最大值。 解：因为三个质数的和为 122 是偶数，所以这三个质数当中必定有一个
数是偶数，另外两个质数都是奇数。在质数中，2 是唯一的偶数，故三个质 数中有一个质数是 2。
　　另外两个质数的和为定值（120），为使这两个质数的乘积尽可能地大， 就要使该两个质数的差值尽可能地小，因为 1202÷2＝60，所以得到 59 和 61 两个质数，是和为 120 且差为最小的两个质数，它们的积也就最大。
综合以上情况，和为 122 的三个质数中，以 2、59、61 这三个质数的乘
积最大，最大乘积为 2×59×61＝7198。 答：三个质数的乘积的最大值是 7198。
说明：注意“如果两个整数的和一定，那么当这两个数的差值尽可能小
时，其乘积最大”。
例如，和为 11 的两个整数有如下五种情况：1＋10、2＋9、3＋8、4＋7、
5＋6，相对应的乘积是 10、18、24、28、30，通过比较，可得“和为 11，其 积最大的两个整数是 5 和 6”。
例 6 如果 325×472＋765×895×（ ）的积的最后五个数字都是零，
那么括号内填入的自然数最小可以是多少？
（上海市 1989 年小学六年级数学比赛题） 解：
要使五个数的连乘积的最后五个数字都是 0，这个连乘积一定是 100000
的倍数，把 100000 分解质因数：
100000＝25×55。 说明要使连乘积的末尾有五个零，因数中至少应该有五个 2 和五个 5。 因为 325＝52×13，765＝3×5×51，
472＝23×59，895＝5×179
　　四个数的乘积里一共包含了 4 个 5 和 3 个 2，必须要再乘以两个 2 和一 个 5，
所以括号里应填 22×5＝20。 答：在括号内最小可以是 20。
　　例 7 一个自然数能分解成 3 个质因数的积，如果这 3 个质因数的平方 和是 1710，求这个自然数。
解：设所求的自然数是 N，把 N 分解质因数为



2 2 2

N＝a1·a2·a3。

由题意得a 1 ＋a 2 ＋a 3 ＝1710，因为奇数（或偶数）的平方仍是奇
数（或偶数），而 1710 是偶数，所以这三个质数中一定有一个是偶数，在质
数中，2 是唯一的偶数。假设 a3＝2，则 a1、a2 是奇数又是质数，且
2 2 2
a1 + a2 = 1710 - 2 = 1706，又因为任何一个奇数的平方的个位数只能是1、5，
9、1 加上 5 等于 1706 的个位数 6，而个位数是 5 的质数只有一个是 5，所以
a1、a2 中一定有一个数是 5，假设 a2=5，则
2 = 1706 - 52 = 1681。
402＜1681＜502。找出 40～50 中个位数是 1 的质数，得 a1=41。所以 N=2
×5×41=410。 答：这个自然数是 410。
例 8 360 这个数的约数有多少个？这些约数的和是多少？
（第三届华罗庚金杯赛决赛题）
　　解：把 360 分解质因数是：360=23×32×5，所以 360 的任何一个约数都 是从三个质数 2、二个质数 3、一个质数 5 中取若干个出来相乘得到的。
23 的约数是 1、2、4、8（或 1、21、22、23）；
32 的约数是 1、3、9（或 1、31、32）；
5 的约数是 1、5（或 1、51）。 如果我们把下面的式子
（l+2+4+8）×（1+3+9）×（1+5）
展开成一个和式，和式中的每一个加数都是在每个括号里各取一个数相乘的 积。由前面的分析可得，360 的任一个约数都恰好是这个展开式中的一个加 数。由于第一个括号里有 4 个数，第二个括号里有 3 个数，第三个括号里有
2 个数，所以这个展开式中的加数个数是 4×3×2=24，这就是 360 的约数的
总个数，这些约数是：
1×1×1=1，2×1×1=2，4×1×1=4，8×1×1=8，
1×1×5=5，2×1×5=10，4×1×5＝20，8×1×5=40，
1×3×1=3，2×3×1＝6，4×3×1＝12，8×3×1=24，
1×3×5=15，2×3×5=30，4×3×5=60，8×3×5=120，
1×9×1＝9， 2×9×1=18，4×9×1=36，8×9×1=72，
1×9×调 5＝45，2×9×5=90，4×9×5=180，8×9×5=360。
（你能知道上面每个等式中，三个数相乘的由来吗？）
另一方面，360 的所有约数的和就等于这个展开式的和，也就是（1+21+22+23）
　　　　　　　×（1+31+32）×（1+51）＝1170。 答： 360 的约数有 24 个，这些约数的和是 1170。
　　说明：本题中的二个问题的解法具有一般性，并由此可以得出下面二个 结论。
若 自然数 N 可以分解质因数为：
N=am·b5·ct
（其中 a、b、C 为不同的质数，m、s、t 为自然数），
则（1）自然数 N 的约数的总个数是（m+1）·（s+1）·（t+1）；
（2）自然数 N 的所有约数的总和是
（1+a+a2+?+am）·（1+b+b2+?bs）·（1+c+c2?+c3）。