排，

V排 =



F浮
ρ水 g



9.8牛
= 1.0×103 千克 / 米3




×9.8牛 / 千克 = 1×10-3 米3 ．

最后再根据密度公式求出金属球的密度．


∵ρ =


m G 空
，m = ，
V g

G 空
∴ ρ =
gV

14.7牛
= 9.8牛 / 千克×1×10-3 米3

= 1.5×103 千克／米3 ．
　　题 4 有一个方木块，当它浮在水面时，露出水面的部分是它总体积 的五分之二，这个方木块的密度是多大？
根据题意，当方木块浮在水面时，说明它受到的竖直向下的重力和竖
直向上的浮力大小是相等的，即 G 木=F 浮．
设方木块的总体积为 V 木，由于露出水面部分为总体积的 2/5，则浸入
水面以下的体积为总体积的 3/5，即方木块排开水的体积也为总体积的
3/5．


∵G = ρ


gV ，F = ρ

3
gV ，V = V


，G = F ，

木 木 木 浮 水 排 排

3
∴ ρ木 gV木 = ρ水 g 5 V木 ，

5 木 木 浮

3
木 = 5 ρ水

= 0.6×103 千克／米3 ．

　　题 5 如图 1-54 所示，一容器中装有水银和油，油在水银上面．有一 个体积 V=10 厘米 3 的实心铜球浮在这两种液体的分界面上．问铜球浸入油 和水银中的体积各是多少（油的密度ρ1=0.9×103 千克／米 3，水银的密度
ρ2=13.6×103 千克／米 3，铜的密度ρ3=8.9×103 千克／米 3）？ 根据题意，铜球浮在这两种液体的界面上，处于平衡状态，则铜球的
重力等于油和水银对铜球的浮力之和，即 G 铜＝F 浮 1＋F 浮 2．
设铜球浸没在油中的体积为 V1，浸没在水银中的体积为 V2，则 V 铜
=V-V2．
根据阿基米德原理：F 浮 1=ρ1gV1=ρ1g（V-V2），
F 浮 2＝ρ2gV2，
∵G 铜=F 浮 1+F 浮 2，G 铜=ρ3gV，
∴ ρ3gV=ρ1g（V-V2）＋ρ2gV2，代入数据计算得：
V2=6.3×10-6 米 3，V1=（V-V2）=3.7×10-6 米 3．
用例三 用阿基米德原理可求出液体的密度．
　　题 6 在粗细均匀的玻璃管内盛适量砂粒，制成一只简易密度计，玻 璃管总长为 24 厘米．若把它竖直放在水中时，量得露出水面部分长为 5 厘米；若把它竖直放在盐水里，量得露出盐水面部分长为 6 厘米，求盐水 的密度．
根据题意，密度计浸入水中的长度：
h=24 厘米-5 厘米=19 厘米； 浸没在盐水中的长度：
h’=24 厘米-6 厘米=18 厘米．
设密度计玻璃管的横截面积为 S， 则密度计在水中受到的浮力：
F 浮＝ρ水 gV 排=ρ铜水 ghS；
在盐水中所受到的浮力： F’浮=ρ盐水 gV’排=ρ盐水 gh’S．
　　因为密度计在水或盐水中都处于漂浮状态，它不论在水中还是盐水 中，受到的浮力都等于它的重力，即
G=F 浮=F’浮，
所以ρ水 ghS=ρ盐水 gh’S，
ρ = h ρ ，
h' 水
代入数据得ρ盐水=1.06×103 千克／米 3．

用例四 利用阿基米德原理和密度公式ρ= m ，可以判断出金属球是
V
实心的还是空心的．
　　题 7 铁球在空气中重 19．6 牛，若将它浸没在水中称量，弹簧秤的 示数为 14．7 牛，问铁球是空心的还是实心的（铁的密度为 7．8×103 千 克／米 3）？
铁球浸没在水中所受到的浮力为：
F 浮=G 空-C 水=4．9 牛．
根据阿基米德原理：F 浮=ρ水 gV 排，

F浮
V ? ?

4.9牛

排 10 ? 103 千克 / 米 3 ? 98 牛 / 千克
? 0.5 ? 10 ? 3 米3
因为铁球全部浸没在水中，则
V 球=V 排=0．5×10-3 米 3．
根据密度公式：ρ = m ，m = ρV，
V
铁球的质量
m 球=ρ铁 V 球
=7.8×103 千米／米 3×O.5×10-3 米 3
＝3.9 千克，
G 球=m 球 g=3.9 千克×9.8 牛／千克=38.22 牛
显然 38.22 牛＞19.6 牛，铁球是空心的． 上述解法是用相同体积的情况下比较重力的方法来判断的，还可用相
同重力的情况下比较体积或密度的方法来判断，请读者自己练习．
　　用例五 运用阿基米德原理和液体压强公式 P=ρgh，可计算出，在液 体中放入一个浮体时所引起的液体内任一位置的压强变化．
　　题 8 如图 1－55 所示，高 30 厘米，截面积是 10 厘米 2 的玻璃容器中， 盛有 10 厘米深的水．问：（1）距容器底 6 厘米处水的压强是多大？（2） 如果在容器中放入一个重 0．294 牛的木块，木块漂浮在水面上，这时距容 器底 6 厘米处水的压强又是多大？
首先应搞清楚距容器底部 6 厘米处的一点，距水面的深度是多少．
h=10 厘米－6 厘米=4 厘米=4×10-2 米，代入液体压强公式得：
p=ρ水 gh
=1.0×103 千克／米×9.8 牛／千克×4×10-2 米=392 帕． 当容器内放入木块后，容器内水面要升高，其升高的高度可通过阿基
米德原理和体积公式算出． 木块漂浮在水面上，它受到的浮力等于木块重力，即
F 浮=G 木=0.294 牛．根据阿基米德原理：


F = ρ

F浮
gV ，V =


= 3×10-5 米3。

浮 水 排 排

?水 g

根据体积公式V = lS，


V
l = =
S

3×10-5 米3
1×10-3 米2


= 3×10-2 米，

即水面升高 3 厘米，距容器底部为 13 厘米． 这时距容器底部 6 厘米处的水深
h’=13 厘米－6 厘米=7 厘米=7×10-2 米． 代入液体压强公式求出水的压强
p’＝ρ水 gh
=1.0×103 千米／米 3×9.8 牛／千克×7×10-2 米
=686 帕．
　　【物体的浮沉条件】 浸在液体里的物体受到两个力的作用，一个 是竖直向下的重力，另一个是竖直向上的浮力，这两个力的合力情况就决 定着物体的浮沉．设物体完全浸没于液体中，
当 F 浮＞G 时，F 合方向向上，物体上浮；
当 F 浮＜G 时，F 合方向向下，物体下沉；
当 F 浮=G 时，F 合=0，物体可悬浮在液体里任何地方．
因为 F 浮=ρ液 gV 排，G=ρ物 gV 物，当物体全部浸没在液体里时，则有
V 排=V 物．将此三式代入上面各情况，可得物体和液体的密度关系对物体浮
沉的影响： 当ρ液＞ρ物时，物体上浮； 当ρ液＜ρ物时，物体下沉；
　　当ρ液=ρ物时，物体可悬浮在液体里任何地方．漂浮在液面上的物体， 它的重力也等于它受到的浮力，即 F 浮=G。这时，物体有一部分露出在水 面上，V 排＜V 物。物体与液体的密度关系是，ρ物＜ρ液，这属于从液体内
部上浮的物体运动静止后的特例。 正确理解上述物体的浮沉条件，还需注意下列几个问题：
1．上浮和下沉表示了物体在浮力和重力的合力作用下的运动过程，物
体的运动方向与合力方向是一致的。而漂浮和悬浮表示了物体在浮力和重 力相等时，合力为零的情况下所处的状态，即静止（平衡）状态。
2．漂浮和悬浮的条件都是 F 浮=G，但它们是有区别的。漂浮时，物体
的部分体积浸在液体里，V 排＜V 物，且ρ物＜ρ液；而悬浮时，物体必定全
部浸没在液体里，V 排=V 物，且ρ物=ρ液．
　　3．物体的浮沉条件主要是指重力和浮力作用在物体上的三种情况，而 物体和液体的密度关系，是从这三种情况推导出来的，它使我们能方便地 判断物体的浮沉，但必须注意：此密度关系仅适用于实心物体，对空心物 体不适用．
　　4．物体的浮沉条件对于浸在气体中的物体同样适用．如气球内充入密 度小于空气的气体，如氢气、热空气、氦气等，气球的总重力小于空气对
它的浮力（F 浮＞G），它就上升；若放掉部分气体，气球体积缩小，气球

受到空气的浮力小于它的总重力（F 浮＜G），它就降落．
　　用例一 由物体的浮沉条件判断放入液体中的物体是上浮、下沉还是 悬浮．
　　题 1 有一质量为 5 千克，体积为 1 分米 3 的实心球，将其放入水中后， 该球将 ；将其放入水银中后，该球将 （填写：上浮、下沉或悬浮）．
实心球的质量为 5 千克，其重力 G=mg=5 千克×9.8 牛／千克=49 牛．
其体积 V 球=1 分米 3=0.001 米 3．
将其浸没于水中，因 V 水排=V 球，它所受到水的浮力
F 水浮=ρ水 gV 排
=1.0×103 千克／米 3×9.8 牛／千克×0.001 米 3
＝9.8 牛．
因为 F 水浮＜G，所以实心球在水中将下沉；将其浸没于水银中，因 V
汞浮=V 球，它所受到水银的浮力
F 汞浮＝ρ水银 gV 排
=13.6×103 千克／米 3×9.8 牛／千克×0.001 米 3
=133.28 牛。
因为 F 汞浮＞G，所以实心球在水银中将上浮。
　　本题也可先算出实心球的密度，再通过它与水或水银的密度关系得出 结论。
题 2 现有壁薄内空的金属球。当球内充满氢气时能上升，如果把球
抽成真空（假定球壳不变形），则该球还能上升吗？ 壁薄内空的金属球，充满氢气后能上升，是因为它受到空气的浮力大
于它的总重力，即 F 气浮＞G 总，而 G 总=G 球＋G 氢。现在把这个金属球抽成
真空，则它的总重力变小了，G’总=G 总-G 氢=G 球，由于金属球体积不变，
它所受到空气的浮力未变，根据物体的浮沉条件 F 气浮＞G’总，应能上升。
　　题 3 如图 1-56 所示，小气球 A 下挂一小金属块，在水中某一深度悬 浮，它能否在水中任意深度保持悬浮状态？为什么？
应注意，不能因为挂有小金属块的气球可以在某一深度悬浮，就不加
思索的认为它可以在任一深度悬浮。由于气球不是体积不变的实心物体， 它的体积将随外界的压强不同而变化，外界压强变大，它的体积将变小； 外界压强变小，它的体积将变大。
　　当气球在水中的深度变化时，受到的压强变化将引起气球体积变化， 从而导致气球受到的浮力发生变化，使原来的浮力与重力的平衡状态遭到 了破坏，故气球不能在其它任意深度处悬浮。
　　用例二 利用物体的浮沉条件和阿基米德原理制造出密度计，可直接 测出液体的密度。
　　如图 1-57 所示，密度计是一根密闭的玻璃管，上部粗细均匀，内壁贴 有刻度纸，下部较粗，最下端装有铅粒，能使玻璃管竖直浮在水面上。
由于密度计的重力是一定的，它漂浮在液面时受到的浮力也是一定的
（ρ液 gV 排=G→V 排=G／ρ液 g），所以把它放在密度较大的液体中，它排
开的液体就少一些，玻璃管浸没在液体里的深度就小一些。反之，玻璃管

浸没在液体里的深度就大一些。根据玻璃管浸没在液体里的深度就可读出 液体的密度。图 1-57 中的读数为 1.30，表示这种液体的密度是水密度的
1.3 倍。
　　题 4 在一根表面涂蜡的细木棍的一端绕着适量的铁丝，把它放到三 种密度不同的液体里，木棍浸入液体里的情况如图 1-58 所示。这三种液体 的密度哪一种最大？哪一种最小？
　　木棍的总重力一定，根据物体的浮沉条件，它在三种液体里受到的浮 力也一定。由于在乙液体中浸入的体积最小，排开液体体积也最少，所以 乙液体的密度最大，反之，甲液体的密度最小。
1
题5 有一柱形浮标浮于水面，露出全长的 ；若浮于酒精时，则露
2
出全长的 1 ，求酒精密度。
3
设浮标的长度为 h，横截面积为 S。
1

在水中则有：F水浮

= ρ水g· 2 hS，

在酒精中则有：F酒浮 = ρ酒精

g· 2 hS ，
3

因为浮标重力一定，在水中和在酒精中所受的浮力也相同，F 水浮=F 酒
浮，故有


水g·

1
hS = ρ
2


酒精 g·

2
hS。
3

解得 ρ

3
= 4 ρ 水

3
= ×1.0×103 千克 / 米3
4

= 0.75×103 千克／米 3 。
　　用例三 根据物体浮沉条件，把密度大于水的材料，制成空心物体， 使它能排开更多的水，达到漂浮的目的，因而可用钢铁制造船舶．
题 6 有一只空心铝球，空心部分的体积是总体积的 0.7 倍，若将此
球轻轻放入水中，它将上浮还是下沉（ρ铝=2.7×103 千克／米 3）？ 设空心铝球的总体积为 V，
则球壳的体积为 V 球壳=（1-0.7）V=0.3V，
空心铝球的重力 G 空=ρ铝 gV 球壳
=2.7×103×9.8×0.3V
=7.9×103×V（牛）。 把空心铝球放入水中，它受到的浮力为
F 浮＝ρ水 gV
=1.0×103×9.8×V
=9.8×103×V（牛），
显然 F 浮＞G 空，空心铝球在水中将上浮．
　　题 7 一艘装满货物的轮船总质量为 1 万吨，它从长江驶入大海．设 江水和海水中的密度分别为 1.0×103 千克／米 3 和 1.03×103 千克／米
　　
3，则轮船的排水体积将减少多少米 3？ 轮船是漂浮在江面和海面的，船的总重力不变，它在江水和海水中所
受到的浮力也不变，且都等于船的总重力，由于江水和海水的密度不同， 因此轮船浸入江水和海水中的体积也不同。
轮船的总质量为 10000 吨，因为 G=mg，
G 总=10000×100O 千克×9.8 牛／千克
=9.8×107 牛．
在江水中，G 总=F 江浮，F 江浮=ρ江 gV 江排，

F江浮
V = =

9.8×107 牛


= 10000米3。

江浮 ρ g

1.0×103 千克 / 米3 ×9.8牛 / 千克

在海水中，G 总 = F海浮 ，F海浮 = ρ海 gV海排 ，

F海排
V = =

9.8×107 牛

海排 ρ g

1.03×103 千克 / 米3 ×9.8牛 / 千克

= 9708.74米3 。
轮船在海水中减少的体积：
V 江排-V 海排=10000 米 3-9708.74 米 3=291.26 米 3。
　　用例四 根据物体的浮沉条件，用改变自重的方法，达到下潜和上浮 的目的，潜水艇就是根据这一原理制造的。
潜水艇的横向剖面图如图 1－59 所示。潜水艇两侧有两个水舱，用向
水舱里充水、排水的方法改变自身的重力，使潜水艇下潜、上浮或悬浮在 水中。
题 8 潜水艇在海中潜水时排水量为 800 吨，在海面上航行时排水量
为 650 吨，潜水艇在海面航行时水上部分的体积多大？要充入多少海水才 能潜入海水中（ρ海=1.03×103 千克／米 3）？
　　排水量 800 吨或 650 吨均为被排开海水的质量，可由密度公式分别求 出各自排开海水的体积。
　　
m 潜
V潜 =
海

800×1000 千克
= 1.03×10 3 千克 / 米 3


＝776.7 米3


V水下

m水下
= =

650 ×1000千克
3


3 = 631.1米

?海 1.03×10

千克 / 米

在海面航行时，水上部分的体积为：
V 水上=V 潜－V 水下=776.7 米 3－631.1 米 3=145.6 米 3
充入 145.6 米 3 的海水，潜水艇就可潜入海中。 本题解法甚多，可自行练习。
题 9 一只空心球，其截面如图 1-60 所示。球的体积为 V，球腔容积
为 V ，当它漂浮在水面时有一半露出水面。如果在球腔内注满水，则
2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ ） A．球仍漂浮在水面，但露出水面部分小于一半 B．球仍漂浮在水面，露出水面部分仍为一半 C．球可以停留在水中任何深度的地方
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　D．球将下沉 在球腔内注满水后，改变了自重，破坏了原来的平衡。必须再用浮沉
条件或密度关系进行重新判定，本题用密度关系判定较为方便。
V

漂浮时，G

＝F ＝ρ g ，

球 浮 水 2

球腔内注满水后，G

球和水的平均密度

V
g ，
水 水 2


V V

m 总
ρ＝ ＝
V

G 球 ? G 水
Vg

?水 g 2 ? ? 水 g 2
Vg


＝ρ水 。

根据密度关系ρ＝ρ水，可以停留在水中任意深度的地方，应选 C。此
题亦有另外解法，请同学们自己练习。
　　题 10 有一粗细均匀的蜡烛长 20 厘米，在蜡烛底端插入一根铁钉， 使蜡烛能直立地浮于水中，上端露出水面长 1 厘米（如图 1-61 所示）。现 将蜡烛点燃，问蜡烛燃烧到还剩下多长时，蜡烛的顶面与水面相平，烛焰 被水淹灭（假定蜡烛燃烧时，蜡烛油全部被燃烧而不流下来，铁钉体积不
计，ρ蜡＝0.9×103 千克/米 3）？
　　蜡烛燃烧时，自重不断减小，总长度不断缩短，浸入水中的部分不断 上浮，蜡烛始终处于漂浮状态，当蜡烛顶面与水面相平时烛焰熄灭，此时 蜡烛的剩余部分淹没在水中，呈悬浮状态。虽然蜡烛的燃烧是一个复杂过 程，各物理量都在不断地变化着，但我们可以抓住点燃前和淹灭后这两个 始末状态，根据漂浮、悬浮的特征及阿基米德原理进行列式求解。
点燃前：蜡烛处于漂浮状态，设蜡烛的横截面积为 S，此时的重力为
G1，受到的浮力为 F1，铁钉重为 G’。
因 F1＝G1＋G’，而 G1＝ρ蜡 g×0.2S，
而 F1＝ρ水 g×（0.2-0.01）S，所以
ρ水 g×（0.2－0.01）S＝ρ蜡 g×0.2S＋G’，
整理得ρ水 g×0.19S＝ρ蜡 g×0.2S＋G’。 ①
　　烛焰淹灭后：剩余的蜡烛处于悬浮状态，设蜡烛剩余部分的长度为 l， 重力为 G2，受到的浮力为 F2。
因 F2＝G2＋G’，而 G2＝ρ蜡 glS
而 F2＝ρ水 glS，所以ρ水 glS＝ρ蜡 glS＋G’。 ②
①式减②式消去 G’，得：
0.19gρ水 S-ρ水 glS＝0.2ρ蜡 gS-ρ蜡 glS
0.19? 水 ? 0.2? 蜡

整理得l＝


? 水 ? ? 蜡

＝ 0.01 ＝0.1（米）
0.1
蜡烛燃烧到剩下 0.1 米时，烛焰被水淹灭。
用例五 根据物体的浮沉条件，可以比较、判断浸入液体中的物体的

密度、体积、质量等。
　　题 11 一个体积为 0.03 米 3 的救生圈浸入水中时，恰能使质量为 70 千克的人（设人的密度为ρ人＝1.1×103 千克/米 3）的 1/5 身体浮在水面
上，问救生圈的密度ρ为多少？
设救生圈的体积为 V，因人与救生圈漂浮在水面上，则有 F 浮＝G 总。
∵G 总＝G 人＋G 圈＝m 人 g＋ρgV，
? 4 m人 ?

F浮 ＝ρ水 gV＋? 5 · ?

? ρ水 g，
人 ?


? 4 m 人 ?
? ?
∴m人 g＋ρgV＝ρ水gV＋ · ρ水 g
? 5 ?人 ?
4 m 人? 水 m人
整理得：ρ＝ρ ＋ · －
水 5 ? V V


0.8 ? 70 ? 1.0 ? 103
＝1.0×103 ＋ －
1.1 ? 103 ? 0.03
＝364千克 / 米3 。
救生圈的密度ρ为 364 千克/米 3。


70
0.03

题 12 如图 1-62 所示，用一根细绳将一个体积为 0.4 分米3 的铁球（ρ
3＝7.8×103 千克/米 3）与一块木块连结在一起放入容器内。木块的密度为
ρ3＝0.2×103 千克/米 3，体积为 5 分米 3。若向容器内不断注入水，问：
（1）当水浸没木块的体积为 3 分米 3 时，绳的拉力是多少？（2）继续向 容器内注水，木块浸入水中的体积至少为多大时，铁球对容器底没有压力？
（1）设木块的重力为 G 木，绳子的拉力为 T1，此时的浮力为 F 浮。因
木块处于平衡态，则有：
F 浮＝G 木＋T1，T1＝F 浮-G 木＝ρ水 gV 排－ρ木 gV 木，
T1＝1.0×103 千克/米 3×9.8 牛/千克×0.003 米 3－0.2×103 千克/米
3×9.8 牛/千克×0.005 米 3
＝29.4 牛-9.8 牛
＝19.6 牛。
（2）设此时木块所受的浮力 F 木浮，铁球所受的浮力为 F 铁浮，铁球的
重力为 G 铁，欲使铁球对容器底无压力，则应有：F 木浮＋F 铁浮＝G 木＋G 铁，
ρ水 gV 木排＋ρ水 gV 铁＝ρ木 gV 木＋ρ铁 gV 铁，
? 木 gV木 ? ? 铁 gV铁 ? ? 水 gV铁

V木排 ＝

，
? 水 g

代入数据 V 木排＝0.00372 米 3
＝3.72×10-3 米 3。
木块浸入水中 3.72×10-3 米 3 时，铁球对容器底无压力。
　　【杠杆】 一根在力的作用下绕某一固定点转动的硬棒，在物理学中 叫做杠杆。
图 1-63（a）中撬石头的撬棒，简易吊车的撑杆，抽水机的曲柄，都

是杠杆。杠杆不一定都是直的，也有曲臂杠杆。为了研究杠杆，需画出杠 杆的示意图，通过示意图反映杠杆的结构特点和受力情况，图 1-63（b） 便是与图 1-63（a）对应的杠杆示意图。
有关杠杆的几个概念：
支点 杠杆绕着转动的点，图 1-63（b）中的 O 点。
动力 使杠杆转动的力，图 1-63（b）中的 F1。
阻力 阻碍杠杆转动的力，图 1-63（b）中的 F2。
动力臂 从支点到动力作用线的距离，图 1-63（b）中的 l1。
阻力臂 从支点到阻力作用线的距离，图 1-63（b）中的 l2。
　　在研究杠杆问题时，正确理解力臂的概念是个关键。力臂是支点到力 的作用线的垂直距离，并不是支点到力的作用点的距离；力的作用线是通 过力的作用点且与力的方向重合的直线；力臂不一定在杠杆上。
用例一 简易杠杆问题示意图的画法。 画杠杆示意图是研究杠杆问题的基础，画出正确完整的杠杆示意图应
注意：
　　1．根据支点的定义，确定支点的位置，根据动力、阻力的含义，确定 动力和阻力。力的作用点必须画在杠杆上。
2．用带箭头的有向线段表示力，其方向必须跟力的方向一致，并能反
映各力的大小，要区另开作用力的方向和作用点的运动方向，这两者有时 一致，有时不在同一直线上。
3．在示意图上，要用字母分别标出支点、力和力臂。
　　题 1 画出用一支撑架悬挂重力为 G 的重物（图 1-64a）的杠杆示意图。 其杠杆示意图如图 1-64b 所示，动力 FA 的力臂为 lA＝OA×sin30°，阻力 FB＝G，阻力臂 lB＝OB。
用例二 日常生活中的隐形杠杆模型的表示。 在日常生活的许多问题中，并没有明显的硬棒，但能找出一个固定的
转动点，可以抽象出杠杆模型，用杠杆示意图将其形象地表示出来。
　　题 2 图 1-65（a）是起瓶盖的起子。当起子起瓶盖时，A 点受到向上 动力的作用，B 点受到瓶盖阻力的作用，在两力作用下起子绕支点 O 转动， 其示意图如图 1-65（b）所示。
题 3 图 1-66（a）是手的前臂举起铅球的实物示意图。当手臂用力，
肌肉收缩带动前臂绕肘部转动时，肘部关节 O 为支点，肌肉收缩为对前臂 产生的拉力，铅球对手的作用力为阻力，图 1-66（b）即为其杠杆示意图。
　　题 4 图 1-67（a）表示一位小朋友用力 F 推球使球开始越过障碍物 H 的情景。在这里球也是变形的杠杆，在翻越的某个位置上，球与障碍物 H 接触点 O 为支点，小朋友推球的力为动力，球的重力为阻力，其杠杆示意 图如图 1-67（b）。
用例三 杠杆问题中有关力和力臂的动态分析。 在生产和生活中，杠杆的运用常显示出动态变化，如题 4 中球刚离
开地面时阻力臂较大，快越过障碍物时，尽管阻力不变，阻力臂却变小了， 类似这种非静止的、有变化过程的定性分析或定量计算，需要较高的综合 分析能力。
题 5 用道钉撬来撬铁路枕木上的道钉，如图 1-68 所示。当作用在 A

点的作用力方向竖直向下时，图中哪条线是动力臂？若要使动力臂能取最 大值，动力方向应怎样，此时动力臂多长？
　　当动力方向竖直向下时，OB 即为动力臂。当动力方向垂直于 OA，沿着 AC 方向时，动力臂为 OA，且为最大值。
从该问题中看出，当杠杆所受动力方向变化时，力臂也有相应变化。
　　题 6 图 1-69（a）中，从图示位置开始提起杠杆右端向上运动过程中， 阻力臂的大小是否变化？如有，则如何变化？
对这个问题需借助于图 1-69（b）（c）（d）来分析。图（b）为开始
位置，阻力臂 lB＜OB，图（c）为杠杆转到水平位置，此时阻力臂 l’B＝OB，
继续向上转动到图（d）位置时，阻力 l’’B＜OB。所以，拉住 A 端向上运动
时，阻力臂先变大后变小。
　　【杠杆的平衡条件】 一般说来，杠杆平衡是指杠杆处于静止状态 或作缓慢的匀速转运状态，当杠杆平衡时，动力、动力臂、阻力、阻力臂 四个物理量满足关系：
　　　　　　　　动力×动力臂＝阻力×阻力臂。 这个关系式为杠杆的平衡条件，也叫做杠杆原理，其数学表达式为：
F1l1＝F2l2。
【研究杠杆平衡的条件】 实验目的研究杠杆的平衡条件。
实验器材 杠杆和支架，钩码，刻度尺，线。
　　实验步骤 1．将杠杆的中点支在支架上，调节杠杆两端的螺母，使 杠杆在水平位置平衡。
2．在杠杆两边挂上不同数量的钩码，调节钩码悬挂的位置，使杠杆能
在水平位置平衡，如图 1-70 所示。把支点右方的钩码重当作动力 F1，支
点左方的钩码重当作阻力 F2；用刻度尺量出动力臂 l1 和阻力臂 l2；把 F1、
l1、F2、l2 的数值填入下表。
3．改变动力和阻力的大小，仿照上述方法再做两次，将结果填入表中。
实验次数 动力 F1
（牛） 动力臂 l1
（厘米） 阻力 F2
（牛） 阻力臂 l2
（厘米） 1 2 3


4．分析表中各次实验数据中四个物理量的关系，得到：
　　　　　　　　动力×动力臂＝阻力×阻力臂。 理解上述实验要注意以下几点：
　　1．该实验中动力和阻力的确定是相互的，可以互换的。实际生活中杠 杆的动力和阻力有时是难以区别的，例如两个小朋友玩翘翘板，就难以区 别哪是动力哪是阻力。
2．实验中取水平位置为平衡状态，是为了测量力臂方便，因为只有在
水平位置时钩码重力方向即钩码拉力方向与杠杆垂直，l1、l2 便为从支点
到动力、阻力的垂直距离，即为动力臂和阻力臂。
3．杠杆两端螺母的作用是调节杠杆在水平位置平衡，使杠杆的重心在

支点上，消除了杠杆自身重力对实验的影响。若发现杠杆左端向下倾斜， 为使杠杆在水平位置平衡，应将该端螺母调节向右，反之，将螺母调节向 左。杠杆调好后，在实验操作过程中不能再作调节。
用例一 利用杠杆平衡条件来纠正实验中的错误。
　　题 1 某同学如图 1-71 那样做实验，调节左边钩码的个数和悬挂位 置，使杠杆平衡，读出弹簧秤的示数 F1，钩码重 F2，量出由支点到这两个
力的作用点的距离 OA、OB，他将所得数据直接代入杠杆的平衡条件数学式 中，发现 F1·OA 和 F2·OB 两者并不相等，为什么？
因为弹簧秤的拉力 F1 的力臂不是 OA，应该是从支点 O 到拉力 F1 的垂
直距离，该距离小于 OA，所以
F1·OA＞F2·OB。
正确操作可以改为：（1）保持 F1 方向不变，正确量出 F1 的力臂；（2）
或者为了测量力臂的方便，可将弹簧秤拉力方向改为竖直向下。
　　题 2 某同学按照题 1 中后一种修改方法重做实验，如图 1-72 所示， 将弹簧秤竖直放置使用，力的读数准确，力臂测量也正确，实验结果仍不 理想，原因何在？
原因在于弹簧秤的使用不当。图示使用方法中弹簧秤的读数 F1 表示人
手拉力的大小，F1 小于弹簧秤对杠杆的拉力，所以有 F1·OA＜F2·OB。在
这里正确使用弹簧秤的方法应该将图示弹簧秤上下倒过来，把承挂重物的 挂钩挂在杠杆右侧作用点 A 上，便可改正错误。因为如图示方法使用弹簧 秤，弹簧秤对杠杆的拉力 F’还应考虑弹簧秤自身的重力 G，其关系有 F’＝ F1＋G，杠杆平衡的条件应满足（F1＋G）·OA＝F2·OB。
用例二 用杠杆平衡条件定量解决一些杠杆问题。
　　题 3 用道钉撬来撬铁路枕木上的道钉，如图 1-73 所示，当加在道钉 撬上竖直向下的力为 200 牛时，道钉刚好被撬动，求道钉对道钉撬的阻力。 题中所讲“道钉刚好被撬起”是指阻力、动力作用在道钉撬上刚好使 道钉撬处于如图所示的平衡状态，可用杠杆平衡公式求解。数据代入公式
前应先将单位统一。
从图示看出，动力臂 l1＝1.2 米，阻力臂 l2＝6 厘米＝0.06 米，根据
杠杆平衡条件 F1l1＝F2l2 得道钉对撬的阻力为

F ＝ l1
2

1.2米
F1 ＝ 0.06米 ×200牛＝4000牛。

　　若道钉对撬的阻力达 4500 牛，仍用 200 牛的动力作用在撬的同一点 上，能否将道钉撬起？
　　阻力增大，而动力的作用点不变，可采用增加动力臂的长度的办法。 当动力方向垂直于撬向下作用时，即取动力臂
l1＝1.2 米/cos30°＝1.4 米，
此时能克服的最大阻力

l 1
F2 ＝
2


F1 =

1.4米
0 .06


×200牛＝4666.7牛，

该值大于 4500 牛，所以能将道钉撬起。
题 4 有一轮子直径 D 为 60 厘米，重 100 牛，停在高 h 为 12 厘米的

台阶前，如图 1-74，要使轮子越过台阶，对轮子中心轴至少要加多大的拉 力？
　　轮子在拉力作用下克服重力作用滚上台阶，可将轮看成以轮与台阶接 触点 P 为支点的变形杠杆，O 既是动力作用点，也是阻力作用点。只有当 动力的方向与 OP 垂直时，动力的力臂才最大，根据杠杆平衡条件，此时动 力值为最小。
取拉力 F 垂直于 OP 时，动力臂
D 1
l1 ＝OP＝R＝ 2 ＝ 2 ×60＝30（厘米）。
过 P 点作到重力作用线的垂直线段，该距离即为阻力臂

2 2 2 2

l 2 ＝ R

? (R ? h) ＝

30 ? (30 ? 12)

＝24 （厘米）。

根据杠杆平衡条件公式得

F＝ l2
l1

24
G＝ 30 ×100＝80（牛）。

　　题 5 某同学用一根均匀的小木棒和两个小秤盘制作了一架土天平， 把待测的物体放到天平左盘，右盘放一个质量为 m1 的砝码，使天平水平平 衡；然后把待测物体放到天平右盘，左盘放一质量为 m2 的砝码（m1≠m2）， 天平又重新平衡。待测物体的实际质量是多少？
　　物体分别放在左右两盘时，使天平平衡的砝码不一样，表明土天平为 不等臂天平，设待测物体的质量为 m，支点到左边挂盘悬挂点的距离为 l1， 到右边悬挂点的距离为 l2，当待测物体放在左盘时，根据杠杆平衡条件有：
mg l 2
= ①
m lg l1
当待测物体放在右盘时，有

m g l
2 = 2 ②
mg l1

由①、②两式得：m＝

m1 m2

用例三 杠杆平衡问题的动态分析及计算。
题 6 如图 1-75 所示，杠杆 AB 可绕 O 转动，弧形导轨 MN 以 A 为圆心，
绳 AD 的 D 端系一滑环可在 MN 上自由滑动，在滑环从 N 向 M 滑动过程中， 杠杆保持平衡，问绳 AD 对杠杆的拉力如何变化？
　　设杠杆左端重物对 B 点的拉力为阻力，则阻力×阻力臂为一恒量，根 据杠杆平衡条件，动力×动力臂也必为一恒量。当 AD 的 D 端由 N 滑向 M 的过程中，绳子拉力的力臂先由小逐渐变大，到达导轨 P 点（P 在 A 的竖 直向下方向上）时，力臂最大，然后力臂又逐渐变小，根据杠杆平衡条件，
D 由 N 滑到 M 的过程中，绳子的拉力先变小，在 P 点时为最小，然后又变 大。
　　题 7 杠杆总长为 1.2 米，与墙壁夹角为 30°，如图 1-76 所示，在 B 点挂一重为 240 牛的物体，OB 为 0.8 米。在动力 F 的作用下，杠杆在竖直 平面内缓慢向上转动至水平位置。已知动力方向始终与杠杆垂直，求这个 过程中动力大小的变化。
因为杠杆缓慢转动，是个动态问题。但起始状态及最终水平时可以看

作是平衡态。杠杆向上转动过程中，由于动力始终与杠杆垂直，所以动力
臂 l1＝OA＝1.2 米，是个不变的值；阻力 F2＝240 牛，也保持不变，阻力
臂在开始时 l2＝OB·sin30°＝0.4 米， 转至水平位置时，阻力臂 l’2＝OB＝0.8 米。
该问题由于前、后状况有异，定量计算也应分别立式后求解。 杠杆在图示位置时，设动力为 F，根据杠杆平衡条件有： Fl1＝F2l2，
l 2

动力F＝
1

F2 ＝80牛。

杠杆转至水平位置时，设动力为 F’，则： F’l1＝F2l’2，
l' 2

动力F' ＝ l'

F2 ＝160 牛。

　　整个过程中，动力从 80 牛，增大至 160 牛，原因是阻力臂在不断地增 大。
题 8 如图 1-77，AOB 为一弯曲杠杆，AO＝BO＝1 米，在 A 点挂一质量
是 5 千克，密度为 2.5×103 千克/米 3 的矿石，并使矿石浸没在水中，这时
在 B 点加多大竖直向下的力可以使杠杆平衡？若取走水盆，保持这个动力 的大小不变，能否用改变动力方向的办法维持杠杆平衡？
此时的阻力 F2＝G-F 浮，
m

而据V ＝

物 ，F ＝ρ

gV ，

物 浮 水 物
物
代入数据得：
m 5

V物 ＝
物

＝ ＝2×10 -3 （米 3 ），
2.5 ? 10 3

F 浮＝ρ水 gV 物＝1×103×9.8×2×10-3＝19.6（牛）。 悬挂矿石绳子的拉力 F2＝G-F 浮
=5×9.8—19.6
=29.4（牛）。 根据杠杆平衡条件 F1l1＝F2l2，
其中 l2＝OA，l1＝OB·cos60°，代入数据得：
l 2 OA
F1＝ l F2 ＝ OB * cos60° F2 = 58.8（牛）。
取走水盆时：F2＝G＝mg＝5×9.8＝49（牛）， 对于杠杆左侧有：
阻力×阻力臂＝49 牛×1 米＝49 牛·米，
若保持动力大小和方向均不变，则杠杆右侧有： 动力×动力臂＝58.8 牛×0.5 米＝29.4 牛·米，
显然杠杆不能平衡，左侧向下倾。若保持动力大小不变，而改变动力

方向，使动力作用线垂直于 OB，此时的动力臂为最大值，则动力×动力臂 的乘积可取得最大值：
58.8 牛×1 米＝58.8（牛·米）＞49（牛·米）。 显然，只要适当改变动力的方向，使动力×动力臂的积等于 49 牛·米，
即可重新满足杠杆平衡条件，维持杠杆平衡．
【三种杠杆】 1.省力杠杆：特点是 l1＞l2，F1＜F2。使用这种杠杆
能省力，但要多移动距离，常见的有撬棒、铡刀、汽水扳子、动滑轮等。
2．费力杠杆：特点是 l1＜l2，F1＞F2。使用这种杠杆费力，但可以少
移动距离，常见的有理发剪刀、钓鱼杆、缝纫机踏脚板等.
3．等臂杠杆：特点是 l1＝l2，F1＝F2。使用这种杠杆既不省力也不费
力，既不省距离也不费距离，常见的有天平、定滑轮等。
用例 利用三种杠杆的特点，可以判别常见杠杆的省力情况。
　　题 1 比较图示 1-78 中普通剪刀、铁匠剪刀和理发剪刀的动力臂、阻 力臂的长短，试说明各自的省力情况。
　　普通剪刀的动力臂与阻力臂基本相等，既不省力又不费力，适合家用。 铁匠剪刀的动力臂远大于阻力臂，省力，能剪断铁皮等材料。理发剪刀的 动力臂明显小于阻力臂，属费力杠杆，虽费力，但操作方便，剪发较快， 较整齐。
题 2 在利用铡刀铡草时，常将草往刀口前部移动，如图 1-79 所示；
工人师傅用扳手拧生锈的螺母时，常在扳手柄上加套一节管子，如图 1-80 所示。试分析这样做法的好处。
铡草时把草往前移，可以缩短阻力臂，在阻力、动力臂不变的情况下
可以减小动力，达到省力目的。拧螺母时，在手柄上加套管子是为了增大
l 2

动力臂，在阻力、阻力臂一定时，动力（F1 ＝
1
而减小，更容易拧下螺母。

F2 ）由于l1 增大而减小,

*【轮轴】 由轮和轴组成能绕共同轴转动的简单机械叫做轮轴，如
图 1-81（a）所示。从图 1-81（b）可以看出轮轴实质是可以连续旋转的杠 杆。轮和轴的中心 O 是支点，作用在轮上的力 F1 是动力，作用在轴上的力
F2 是阻力，动力臂是轮半径 R，阻力臂是轴半径 r，由杠杆的平衡条件可
知：
F2 R
F = r 。
轮半径是轴半径的几倍，作用在轮上的力就是轴上阻力的几分之一。
用例一 轮轴在生产、生活中的广泛应用。
题 1 图 1-82 的辘轳，图 1-83 的汽车方向盘，图 1-84 的自行车把手，
图 1-85 的自来水开关，图 1-86 的电风扇调速开关等都是轮轴在日常生活 中的应用。
用例二 利用轮轴进行有关计算。
题 2 辘轳轴的直径是 20 厘米，从手摇臂的把手到轴线的垂直距离是
50 厘米，从井里提起重量为 120 牛的一桶水，在把手上要加多大的力？ 此题中的动力臂为把手到轴线的距离，阻力臂为轴的半径，即：

1
l 阻 ＝ 2 ×20＝10（厘米），l 动 ＝50（厘米），F阻 ＝120牛，代入公
式F1R＝F2 r，可得F1 ＝24（牛）。
　　【滑轮】 周边有槽，能绕轴心转动的圆轮叫做滑轮，滑轮是一种简 单机械，在生产、生活中有广泛应用。滑轮本质是一种变形杠杆，如图 1-87
（a），将等臂杠杆中间部分加宽，使之变成一个绕中心轴转动的圆轮，再 把圆轮的外缘加工成槽状，如图 1-87（b），这便是滑轮。
　　根据滑轮在使用时，轴的位置是否移动，可将滑轮分为定滑轮和动滑 轮两种。
　　定滑轮 滑轮在使用时，轴的位置不移动的叫定滑轮。如图 1-87（b） 便是定滑轮，它实际上是一个等臂杠杆。在摩擦力不计的前提下，使用定 滑轮既不省力也不费力，但是能改变力的方向。在不少情况下，改变力的 方向会给工作带来方便。
用例 定滑轮应用举例。
　　题 1 人站在地面上升国旗，如图 1-88，建筑工人站在地面上将建筑 材料向上提，如图 1-89，这些情况尽管不省力，但是却方便多了。
　　题 2 如图 1-90 所示，沿不同方向用弹簧秤拉住钩码，弹簧秤的示数 是否相同？
三种情况中弹簧秤的示数完全相同。因为这三种情况中，砝码重力和
阻力臂完全相同，支点 O（轮的轴心）到动力作用线的垂直距离都等于轮 的半径，因此三种情况下拉力都等于砝码的重力。
动滑轮 滑轮在使用时，轴的位置随着被拉物体一起移动的叫动滑
轮。如图 1-91 所示，动滑轮的实质是动力臂为阻力臂两倍的变形杠杆，使 用动滑轮能省一半力，但力的方向不能变。
动滑轮省力原因还可以用图 1-92 来说明，因为使用动滑轮时，重物由
两段绳子吊着，每段绳子承担物重的一半。
用例 关于使用动滑轮能省一半力的具体讨论。
题 1 用自身重为 10 牛的动滑轮提起 500 牛的重物，拉力 F 是多大？ 由于动滑轮有自身的重力，所以两段绳子要承受重物和动滑轮的总重
力，有
1 1
F拉 ＝ 2 （G 物 ＋G 轮 ）＝ 2 （500 ＋10 ）＝255（牛）。
　　该题计算的拉力要比物重的二分之一略大些，是因为考虑了动滑轮自 重的缘故．所以使用动滑轮省一半力有如下条件：
1．滑轮重和摩擦力必须忽略不计；
2．动滑轮两边的绳子必须平行。
第 2 个条件需学习高中物理知识证明，初中可以用实验验证。
　　滑轮组 由动滑轮和定滑轮组合在一起成滑轮组。因为动滑轮省力， 定滑轮可改变用力方向，组合成滑轮组使用可达到即省力，又方便的目的。 使用滑轮组时，若动滑轮重和摩擦不计，动滑轮被几段绳子吊起，提
起物体所用的力就是物重的几分之一。 关于滑轮组要注意下面两个问题：
　　1．在滑轮组中，承担物重的是吊着动滑轮的那几段绳子，这包括拴在 动滑轮框上的和最后从动滑轮引出去的拉绳。而跨过定滑轮的绳子，包括
　　
最后从定滑轮引出的拉绳，只起改变作用力方向的作用，如图 1-93（a）、
（b）所示的两组滑轮组，尽管都是两个定滑轮和两个动滑轮，但是由于绳 子的绕法不一样，承担物重的绳子的段数 n 就不一样，（a）图中 n＝4，
（b）图中 n＝5。
　　2．使用动滑轮、滑轮组虽然能省力，但是不省距离，如图 1-93（a） 滑轮组中将重物提高 h，人手拉绳的距离是 s＝nh＝4h。
　　用例一 一般的滑轮组的省力情况分析主要是看有几段绳子与动滑 轮连接。
　　有关滑轮组的一般性问题中是用一根绳子连接动滑轮和定滑轮，在这 种情况中认为同一根绳子在滑轮组的不同部位其拉力大小是相等的，如图
1-94（a）所示，用一根绳子从定滑轮下面的挂勾打结后通过几个轮子最后 从上面的定滑轮拉出。由于同一根绳子中的拉力大小相等，分析时可以用 虚线把定滑轮部分和动滑轮部分截开，如图 1-94（b），吊起动滑轮绳
1
子的段数n＝4，如不计动滑轮重，则拉力F＝ G ；如考虑动滑轮重
n
力，则拉力F＝ 1 （G ＋G ）。
n 物 动
题 1 如图 1-95，用滑轮组提起重物，动滑轮重 100 牛，所用的拉力
是 2100 牛，货物多重？
拉力F＝2100 牛，G ＝100牛，由于F＝ 1 （G ＋G ），绳子段
动 n 物 动
数 n＝3，G 物＝nF-G 动。将拉力及动滑轮重代入，得 G 物＝6200 牛。
　　题 2 如图 1-96 所示，物体 A 重为 40 牛，密度为 2×103 千克/米 3， 如果滑轮组、弹簧秤和绳的重力及摩擦力不计，求当物体 A 的一半浸入水 中时，各弹簧秤的读数是多少。
当物体A一半浸在水中时，浮力F ＝ρ gV ＝ 1 ρ gV ，而V
浮 水 排 2 水 物 物

m 物 G 物
＝ ＝ ，G


＝40牛，ρ ＝2×103 千克 / 米3 ，代入上式，算

?物 g? 物 物 物
出F浮 ＝10牛。
拉动绳子提起重物所需拉力
1
F＝ 2 （G 物 －F浮 ）
＝ 1 ×（40—10）＝15（牛）。
2
由于连接动滑轮和定滑轮的是同一根绳子，所以，三个弹簧秤的读数
相等，都是 15 牛。
日常生活中，也有用滑轮组来拉水平地面上物体的，如图 1-97 所示，
n＝3，则拉力F＝ 1 f（f为物体匀速运动时与地面之间的摩擦力）。
n
题 3 在水平地面上放一个重 1000 牛的物体，物体与地面的摩擦力为
200 牛，用如图 1-98 所示的滑轮组匀速拉动物体，拉力 F 是多大？ 这种情况的处理方法完全类似于用滑轮组克服重力提起重物的思路，

这里用滑轮组的作用是克服物体的摩擦力将物体向前匀速拉动，所以 F
＝ 1 f＝ 1 ×200＝100（牛）。
2 2
用例二 对个别特殊连接的滑轮组要具体情况具体分析。
题 4 用如图 1-99 所示方法连接的滑轮组匀速提起重 G＝100 牛的物
体，下面的滑轮重 G1＝20 牛，上面的滑轮重 G2＝30 牛，拉力 F 需多大？
　　该题中两个滑轮都是动滑轮，没有定滑轮，分析时，一般从连接重物 的滑轮开始逐个分析，即先分析图中的 F1，后分析 F。
1
F1＝ 2 （G＋G 1），
1 1 1
F＝ 2 （F1 ＋G 2 ）＝ 2 ［ 2 （G＋G1）＋G 2 ］，
将数据代入上式中，得 F＝45 牛。
题 5 如图 1-100 所示，放在水平台面上的 m1 重 100 牛，通过滑轮挂
有重为 30 牛的物体 m2，刚好使 m1 在台面上作匀速运动，求物体 m1 与台面
间的摩擦力。
　　从图中可以看出上面的滑轮 A 是定滑轮，下面的滑轮 B 是动滑轮，先 分析滑轮 B 的情况，该滑轮受到向下的两段绳子的拉力，每段绳子的拉力 均为 30 牛，则通过滑轮 A 连接物体 m1 和滑轮 B 轴的绳子中的拉力应为 F 拉＝2G＝60 牛，所以物体 m1 与台面间的摩擦力为 f＝F 拉＝60 牛。
　　【功】 作用在物体上的力，使物体在力的方向上通过了一段距离， 我们就说这个力对物体做了功。
做功的两个必要因素：一是作用在物体上的力，二是物体在力的方向
上通过的距离。判断力对物体是否做功，一定要依据这两个必要因素，只 有当两个因素同时满足时，力才对物体做功。
功的计算 力对物体做的功等于力与物体在力的方向上通过的距离
的乘积，即 W＝Fs，式中 F 表示作用在物体上的力，s 表示物体在力的方向 上通过的距离，W 表示功。
功的单位 在国际单位制中，力 F 的单位为牛，距离 s 的单位为米，
功 W 的单位为焦耳，简称焦，符号为 J。
1 焦＝1 牛·米。 计算功的问题，常按下列程序进行：
　　1．对物体进行受力分析，画出力的示意图；2．标出物体运动方向；3．观 察哪些力与物体运动方向相同；4．根据做功的力和物体在这个力的方向上 通过的距离，代入公式 W＝Fs 算出功的大小。
　　在计算人通过机械对物体做功的问题时，人对机械所做的功等于人的 动力乘以动力作用点通过的距离，而机械克服阻力所做的功等于机械对物 体的力跟物体在这个力的方向上通过的距离的乘积。
用例一 判断力对物体是否做功。
题 1 判断下列各种情况，力对物体是否做功。
　　（1）人用 100 牛的力推车，车没有推动；（2）重 1000 牛的物体沿光 滑水平面匀速前进了 5 米；（3）起重机用 1000 牛的拉力把吊起的货物平 移了 5 米；（4）小孩用 4 牛的水平拉力使重为 10 牛的木块沿水平地面匀
　　
速前进了 1.2 米。 对物体进行受力分析，画出有关力的示意图，标出运动方向，如图
1-101。
　　（1）中，虽有力作用在物体上，但物体在力的方向上没有移动距离， s＝0，所以 W＝0，力对物体没有做功；（2）中，物体沿光滑水平面匀速 前进了 5 米是由于惯性，它在水平方向并没有受到力的作用，因为 F＝0， 所以 W＝0，没有力对物体做功；（3）中，虽有力，也有距离，但不是在 力的方向上通过的距离，拉力仍然没有做功；（4）中，显然符合物理学中 做功的条件，F＝4 牛，s＝1.2 米，W＝Fs＝4 牛×1.2 米＝4.8 焦，拉力对 物体做了功。
用例二 用公式 W＝Fs 计算功的大小。
题 2 一个物体重 200 牛，求在下列各种情况下力对物体所做的功。
　　（1）人把重物匀速提高 1.5 米；（2）人用 250 牛的力把物体由静止 很快地举高 1.5 米；（3）物体在粗糙水平地面上，在拉力的作用下匀速前
进 1.5 米，已知物体受到摩擦阻力，大小为 30 牛。
（1）因为匀速，所以拉力 F＝G＝200 牛，s＝1.5 米， 则 W＝Fs＝200 牛×1.5 米＝300 焦。
这种情况即常称的克服重力做功，计算时也常直接用公式 W＝Gh，G
为物重，h 为提升高度。
　　（2）因物体由静止开始运动，故不是匀速提升，人举物体用的力不等 于物重。根据功的定义，应取 F＝250 牛，人对物体做的功为 W＝Fs＝250 牛×1.5 米＝375 焦。
（3）由于物体匀速前进，人的拉力 F＝f＝30 牛，所以，W＝Fs＝30
牛×1.5 米＝45 焦。
这种情况也常称为克服摩擦做功，可直接用公式 W＝fs 计算。
　　题 3 用图 1-102 所示滑轮组匀速提升重 G＝480 牛的物体，所用拉力 F＝300 牛，绳子的自由端被拉下了 2 米，求拉力所做的功和滑轮组提升重 物所做的功。
题中拉力所做的功为：
W＝Fs＝300 牛×2 米＝600 焦。 因为是匀速，滑轮组对物体的拉力即等于物重，即 F＝G＝480 牛，绳
的自由端被拉下 2 米，由图可知重物上升的距离为 1 米，所以滑轮组提升
重物所做的功：
W＝Gh＝480 牛×1 米＝480 焦。
　　题 4 图 1-103 中，物重 G＝100 牛，人拉绳子自由端的手距离定滑轮 的竖直高度为 3 米，人拉绳子沿水平方向向右前进 4 米，并保持重物匀速 上升，求人拉绳子所做的功（摩擦不计）。
　　由于人拉绳子的力的方向不断改变，且动力作用点移动的方向跟拉力 的方向不在同一条直线上，所以不能用公式 W＝Fs 计算人拉绳子所做的 功，但考虑到不计摩擦的情况下，人拉绳子所做的功就是定滑轮提升重物
G 所做的功，所以只要求出定滑轮提升重物做的功，就得到了人拉绳子所 做的功。
拉力 F＝G＝100 牛，重物上升的高度

h＝ (3米) 2 ? (4米)2 －3米＝2米，
即 W＝Gh＝100 ×2 米＝200 焦。
　　题 5 图 1-104 所示的装置中，重 30 牛的物体 A 在力 F＝2 牛的作用 下，以 10 厘米／秒的速度在水平平面上作匀速直线运动。问弹簧秤的示数 为多大？A 物体与水平平面之间的滑动摩擦力 f 多大？在 2 秒钟内拉力 F 所做的功为多大？
弹簧秤示数就是拉力 F，大小为 2 牛，物体 A 与水平面之间的摩擦力 f
＝2F＝4 牛，要求拉力 F 在 2 秒钟内所做的功，还必须求出绳子自由端在 2 秒钟内移动的距离 s：
s＝2sA＝2vAt＝2×0.1 米/秒×2 秒＝0.4 米，
所以拉力做功 W＝Fs＝2 牛×0.4 米＝0.8 焦。
题 6 一人体重 G＝600 牛，每层楼的高度是 3 米，问这个人匀速登上
3 楼克服重力做了多少功？ 错误方法：h＝3 米×3＝9 米，
　　　　　W＝Gh＝600 牛×9 米＝5400 焦。 错误原因：人从地面登上 3 楼，实际只需要爬两层楼的高度。 正确方法：h＝3 米×2＝6 米，
W＝Gh＝600 牛×6 米＝3600 焦。
　　题 7 质量为 60 千克的人牵着质量为 100 千克的马上山，若登高 30 米，问人做的功为多少？马做了多少功？若人骑在马上登上同样高度，则 人和马做的功各为多少？
人牵马上山，人和马都要克服重力做功。
人做功：W 人＝G 人 h
＝60 千克×9.8 牛/千克×30 米
　　　　　　=1.764×104 焦， 马做功：W 马＝G 马 h
＝100 千克×9.8 牛/千克×30 米
　　　　＝2.94×104 焦。 人骑马上山，人做的功为零，马则要克服人和自身的重力做功。
W 马＝（G 人＋G 马）h
＝（100 千克＋60 千克）×9.8 牛/千克×30 米
＝4.704×104 焦。
用例三 比较功的大小。
题 8 图示 1-105 中，A、B、C 三个物体的质量分别为 mA、mB、mC，且
mA＞mB＞mC 它们在同样大的力 F 的作用下都沿着力的方向移过距离 s，比
较力 F 对三个物体做功的多少，结论是 （ ） A．一样多 B．对 A 做的功最多
C．对 B 做的功最多 D．对 C 做的功最多
　　根据 W＝Fs，A、B、C 三个物体受到的拉力 F 和它们在力的方向上通过 的距离 s 均相同，因此所做功相等，答案应选 A。
题 9 在相同的水平推力 F 的作用下，A、B 两物体分别以 vA 和 vB 的
速度在水平平面上运动，且 vA＞vB，如推力使两物体移动相同的距离 s，

推力所做的功分别为 WA 和 WB，则 （ ） A．WA＞WA B．WA＜WA
C．WA＝WA D．无法确定
题 9 与题 8 一样，F 和 s 均相同，做的功相等，故答案为 C。 从这两道题的解答可以看出，功的大小只与 F 和 s 的大小有关，与物
体的质量、重力、速度大小等因素没有直接关系。
　　【功率】 单位时间里完成的功叫功率，它是表示做功快慢的物理 量。
功率的计算 1.P＝ W ，式中 W 表示功，t 表示完成功所用时间，P
t
为功率；2．P＝Fv，F 为作用在物体上的力，v 为物体移动的速度。
功率的单位 功率的国际单位是瓦特（W），简称瓦。
1 瓦＝1 焦/秒。 实用单位有千瓦（kW）和马力（HP），换算关系：
1 千瓦＝103 瓦，
1 马力＝0.735 千瓦＝735 瓦。
用例一 比较功率大小。
题 1 比较下列各种情况中功率的大小：
　　（1）甲、乙两人同在 2 分钟内分别把 50 牛的重物搬到 9 米和 12 米的 楼层；（2）甲、乙两人都将 50 牛的重物搬到 9 米高处的楼上，甲用了 2 分钟，乙用了 3 分钟；（3）甲起重机在 1 分钟内把 40 吨重物举高 10 米， 乙起重机在 2 分钟内把 50 吨重物举高 20 米；（4）甲、乙两人体重之比为
3∶2，登上相同的楼层所用时间之比为 4∶3。
（1）时间 2 分钟相同，甲乙做的功分别为：
W 甲＝Gh 甲＝50 牛×9 米＝450 焦；
W 乙＝Gh 乙＝50 牛×12 米＝600 焦。
因为 W 甲＜W 乙，所以 P 甲＜P 乙。
（2）甲、乙两人都把 50 牛的重物搬到 9 米高处，
W 甲＝W 乙＝Gh＝50 牛×9 米＝450 焦。
由于 t 甲＜t 乙，所以 P 甲＞P 乙。
（3）甲起重机做的功为：
W 甲＝G 甲 h 甲＝4×104 千克×9.8 牛/千克×10 米
＝3.92×106 焦，

W甲
其功率：P甲 ＝ ＝
甲

3.92 ? 10 6 焦
60秒


＝6.5×10 4 瓦；

乙起重机做功为：
W 乙＝G 乙 h 乙＝5×104 千克×9.8 牛/千克×20 米
＝9.8×106 焦，

W乙
其功率：P乙 ＝ ＝
乙

9.8 ? 10 6 焦
2 ? 60秒


＝8.2 ×10 4 瓦。

显然 P 甲＜P 乙。

W Gh
（4）由P＝ ＝ 得


P甲 G 甲

t t
h 甲 t 乙


3 1 3 9

? * *

? ? ? ?

P乙 G 乙 h 乙 t 甲
即P ＞P 。

2 1 4 8

甲 乙
用例二 用公式计算功率大小。
　　题 2 在平直公路上有一辆重 1500 牛的车，某人以 1.2 米/秒的速度 沿水平方向拉车作匀速直线运动，已知车受到的摩擦阻力为 100 牛，问 2 分钟内工人做了多少功？功率多大？
因为匀速，所以 F＝f＝100 牛，s＝vt＝1.2 米/秒×120 秒＝144 米，
W＝Fs＝100 牛×144 米＝1.44×104 焦，

W
P＝ ＝
t

1.44 ? 104 焦
120秒


＝1.2×102 瓦。

或 P＝Fv＝100 牛×1.2 米/秒＝1.2×102 瓦。
　　题 3 在 5 米深的矿井底，每分钟有 3 米 3 的地下水冒出来，为了不使 矿井积水，至少要选用多大功率的水泵来抽水？
据题意，必须每分钟内将冒出的水泵至 5 米高处，所以，水泵每分钟
将积水抽出矿井所做的功：
w=Gh=ρ水 gV 水 h
=1×103 千克/米 3×9.8 牛/千克×3 米 3×5 米
=1.47×105 焦，


水泵的功率P =

W 1.47 ? 105 焦
t = 60秒


= 2.45×103 瓦。

　　题 4 图示 1-106 装置中，滑轮的摩擦不计，水平面上的物体 A 重 100 牛，当物体 B 重 10 牛时，A 物作匀速运动。问（1）A 受到多大的摩擦力？
（2）当对 A 物施加一个水平向左的拉力时，可使 B 物以 0.5 米/秒的速度
匀速上升，求此拉力 5 秒钟所做的功和功率。
　　（1）如图 1-107 所示，A 物水平方向受到向右的拉力和向左的摩擦力， 因为匀速，所以 f= F=2GB=2×10 牛=20 牛。
　　（2）如图 1-108 所示，对 A 物施加水平向左的拉力 F’时，A 物在水平 方向上受到三个力的作用：F’水平向左；B 物对 A 的拉力 F=2GB=20 牛，方 向水平向右；摩擦力 f，由于正压力及接触表面的粗糙程度都不变，所以 仍然等于 20 牛，方向与这时 A 物的运动方向相反，即水平向右。因为匀速，
A 物在水平方向上受力平衡，所以拉力 F’=F+f=20 牛+20 牛=40 牛。
1 1
由于v A = 2 v B = 2 ×0.5米 / 秒 = 0.25米 / 秒，
所以 A 物在 5 秒钟内沿拉力方向通过的距离
sA=vAt=0.25 米/秒×5 秒=1.25 米，
所以，拉力所做的功 W=F’s=4O 牛×1.25 米=50 焦，


拉力的功率P =

W 50焦
t = 5秒


= 10瓦，

或 P=F’vA=40 牛×0.25 米/秒=10 瓦。
　　题 5 图示 1-109 装置中，在拉力 F 的作用下，重 30 牛的物体 A 以 5 厘米/秒的速度在水平面上作匀速运动，此时 A 物受到绳子的拉力为 2 牛，
求 4 秒钟内拉力 F 所做的功和功率。
要求 F 所做的功，必须求出 F 的大小和 4 秒钟内动滑轮移动的距离。 如图 1-110，F=2F 拉=2×2 牛=4 牛，动滑轮移动速度


v 动 =

1
2 v A

= 1 ×5厘米 / 秒 = 2.5厘米 / 秒。
2

4 秒钟内动滑轮移动的距离
s=v 动 t=2.5×10－2 米/秒×4 秒=10 厘米=0.1 米，所以，拉力 F 做的
功
W=Fs=4 牛×0.1 米=0.4 焦，

W
拉力的功率P =
t

0.4 焦
= 4 秒


= 0.1瓦。

　　题 6 图 1-111 中粗细均匀的水管的横截面积 S=10 厘米 2，管的 AB 部 分长 2 米，管内装满水，在推力 F 的作用下，活塞在 5 秒钟内匀速推进了
0.5 米，求推力所做的功和功率。
一种方法，先求出水的压强，从而求出推力 F 的大小，再求功和功率。
水的深度 h = 2米×sin30° = 2米× 1 = 1米，
2
水对活塞的压强
p=ρ水 gh=1.0×103 千克/米 3×9.8 牛/千克×1 米
=9.8×103 帕， 水对活塞的压力
F’=PS=9.8×103 帕×10－3 米 3=9.8 牛， 推力 F=F’=9.8 牛，
所以推力所做的功 W=F’s=9.8 牛×0.5 米=4.9 焦，

W
推力的功率P = =
t

4.9焦
5秒


= 0.98 瓦。

　　另一种方法，因为活塞推进 0.5 米，相当于把从管口排出的水，从水 平提高到 A 点。而从管口排出的水重
G 水=ρ水 gV=1.0×103 千克/米 3×9.8 牛/千克×0.5 米×10-3 米 2
=4.9 牛。
因为活塞推进 0.5 米把水提高的高度：
h=2 米×sin30°=1 米，
所以推力 F 做的功 W=Gh=4.9 牛×1 米=4.9 焦，

W
推力的功率P = =
t

4.9焦
5秒


= 0.98 瓦

　　题 7 用图 1-112 所示的滑轮组把 500 牛的重物 A 匀速提高 2 米，拉 力所做的功为 1.2×103 焦。如用该滑轮组把重为 1100 牛的重物 B 在 20 秒 钟内匀速提升 3 米，则拉力的功率为多大（摩擦不计）？
为了要求提升重物 B 时拉力的功率，首先要求出动滑轮的重，再考虑

拉力 F’的大小，最后方可求出功率。
G A ? G B

因为 W = Fs =

所以动滑轮重
W

n ×nh = （G A + G 动

）h，

G 动 =

- GA
h

1.2×10 3 焦
= 2 米


- 500牛

　　= 100牛。 提升重物B时的拉力
G B ? G 动

F =
n
1100牛 + 100牛
=
3




= 400牛。

B 物上升了 3 米，绳子自由端移动的距离
s’=nh’=3×3 米=9 米， 所以拉力所做的功 W’=F’s
=400 牛×9 米=3.6×103 焦， 拉力的功率
W'

P =
t
3.6 ? 103 焦
= 20秒




= 180瓦。

　　注意：同一滑轮组提升不同重力的物体时，滑轮组的机械效率不同， 所以在求拉力 F’时，不能根据机械效率相等来解答。
用例三 利用 P＝Fv 求牵引力和速度。
　　题 8 解放牌汽车的功率是 90 马力，若牵引力为 6750 牛，求汽车的 速度是多大？3 分钟通过的距离为多少米？做的功为多少焦？
因为 P＝90 马力=735 瓦×90＝66150 瓦，t＝180 秒，又因 P＝Fv，得
汽车的速度

P
v＝ ＝
F

66150瓦
＝9.8米 / 秒。
6750牛

所以 3 分钟通过的距离
s＝vt＝9.8 米/秒×180 秒＝1764 米。
做的功 W＝Fs＝6750 牛×1764 米＝1.1907×107 焦。 或 W＝Pt＝66150 瓦×180 秒＝1.1907×107 焦。
题 9 为什么汽车起动和上坡时，司机常挂低速挡，而起动后，在平
整路面特别是空载时可以挂高速挡？ 机动运输工具（汽车、火车、拖拉机等）工作时，其发动机功率是一
定的，根据P＝Fv得到v＝ P ，即速度与牵引力成反比。起动时受到较大
F
的静摩擦力作用；上坡时除了克服摩擦阻力外，还要克服重力做功；满载