但是，这两个叉式的意义不同。 (1)式的左边为除数的去九数，右边为商的去九数，上边为原被除数
的去九数，下边为左右两数积的去九数。
　　(2)式的左边为除数的去九数与商的去九数积的去九数，右边为余数 的去九数，上边为被除数的去九数，下边为左右两数和的去九数。
应该说，有余数的除法没有完整的简单表达方式。
当然，弃九法对乘除法也不是万灵的。这里就不再赘述了。


巧用恒等变形


　　恒等变形是小学数学中重要的思想方法。恒等变形常常需要利用我 们学过的有关加、减、乘、除的性质。它是一种有目的性的数学变换。 下面几个例题就是用恒等变形的方法进行简算的实例。
例 1 计算：1651+79。
　　分析：在做加法时，常常用这样一种恒等变形：一个加数增加一个 数，另一个加数减少同一个数，它们的和不变。这个题可以从被加数中 取出 21 补在加数上，使加数变为 100，从而达到简算的目的。
解：1651+79
=（1651－21）+（78+21）
=1630+100
=1730。
例 2 计算：59.7－9.9。 分析：在做减法时，常常利用这样一种恒等变形：被减数、减数增
加同一个加数，差不变。这道题可以让减数增加 0.1，变为 10。为了恒 等，必须使被减数也增加同一个 0.1。
解：59.7－9.9

=（59.7+0.1）－（9.9+0.1）
=59.8－10
　　=49.8。 例 3 计算：5.84×1.25。
　　分析：在做乘法时，常常利用这样一种恒等变形：一个因数扩大若 干倍，另一个因数同时缩小相同的倍数，积不变。这个题可让被乘数缩
小 8 倍，乘数同时扩大 8 倍。这不是盲目的，因为我们熟知：1.25×8=10。 解：5.84×1.25
=（5.84÷8）×（1.25×）
=0.73×10
=7.3。
例 4 计算：9.7÷2.5。 分析：在做除法时，常常利用这样一种恒等变形：被除数、除数都
同时扩大相同的倍数，商不变。因为大家熟知：2.5×4=10，所以，我们 很自然地想到，使原除式中被除数和除数都同时扩大 4 倍。
解：9.7÷2.5
=（9.7×4）÷（2.5×4）
=38.8÷10
=3.88。

试一试

计算下列各式：
(1)2582+178 (2)67.86－9.93
(3)6.48×12.5 (4)4.61÷0.25 (5)0.0125×140+12.5×0.25+1.25×6.1

巧用运算规律


　　在整数四则运算中，常常通过巧妙地利用交换律、结合律、分配律， 达到简算的目的。在利用这些算律时，头脑一定要灵活，目的性要非常 明确。
例 1 计算：54×88。
　　分析：这个乘积中，54 能分解出因数 9，88 能分解出因数 11，因而 乘积中可出现因数 99，99=100－1。在求积过程中，尽量凑成 100，这样 利于简算。
解：54×88
=6×9×11×8
=48×99
=48×（100－1）
=4800－48
=4752。
例 2 计算：125×71。
分析：这个乘积中有 125，要是出现 8，就会凑成 1000，这有利于简

算。如何使因数出现 8 呢？由于 71=72－1，而 72=8×9，问题解决了。
解：125×71
=125×（72－1）
=125×8×9－125
=1000×9－125
=9000－125
=8875。
例 3 计算：6666×3333。
分析：这个乘积中有 3333，要是把它扩大 3 倍，就会出现 9999，而
9999=10000－1。这样就凑成了 10000，有利于简算。
解：6666×3333
=（6666÷3）×（3333×3）
=2222×9999
=2222×（10000－1）
=22220000－2222
=22217778。
例 4 计算：1999+999×999。
　　分析：999×999 可以认为 999 个 999，再多 1 个 999，就会凑成 1000 个 999 了。沿着这种思路去想，有利于简算。
解：1999+999×999
=1000+999+999×999
=1000+999×1000
=1000（1+999）
=1000000。
例 5 计算：11.6×23－46×0.8。

　　分析：这个题中，被减数中有因数 23，减数中有 46，而 46=23×2， 因此可考虑提取公因数 23。这样可以使运算简化。
解：11.6×23－46×0.8
=11.6×23－23×2×0.8
=23（11.6－1.6）
=23×10
　　=230。 上述的例子还可以举出不少，事实上，仅举以上几个例子就足够了。
这些做法的共同点：一是应用了算律；二是机敏地创造机会，使算式中 出现 10、100、1000、10000??

试一试

计算下列各式：
(1)63×77 (2)375×55
(3)462×333 (4)5.6×0.125+10.4÷8 (5)0.75×0.125×6×0.8
(6)12.5×32×2.5

(7)2.01×18.5 (8)0.67×2.8+6.2×0.67+0.67

一拆为二



　　在分数加减法运算中，常常要把 1 个分数拆成两个分数的差或和。 这样一来，把隐含的关系明朗了，其中有些分数可以互相抵消，从而大 大简化了运算。

拆成两个分数相减



1 1 1

1 1 1

1 1 1

例1 计算：

? ? ? ? ? ? ? ? 。

2 6 12

20 30

42 56

72 90

分析：这道题光是通分就要做一阵子了。有没有既迅速又正确的计 算方法呢？
　　经过仔细观察，我们发现：每个分数的分母都是由两个连续的自然 数和积所组成的。这样一来，上式可以改写为：
　　
1 1 1

1 1 1 1 1 1



在学习通分时，大家都知道：当两个分数的分母互质时，它们的公
分母就是这两个分数的分母的乘积。有了这个经验，我们不难想到，把 上面每一个分数拆成两个：

1
1×2

1

1
? 1－ ，
2

1 1
? － ，

2 ×3 2 3

1 1 1
? － ，
3×4 3 4
????????

1
?
9×10

1 1
－ 。
9 10

1 1 1 1 1 1 1 1 1
解： ? ? ? ? ? ? ? ?

2 6 12
1 1
? ?

20 30 42
1 1
? ?

56 72 90
1 1 1 1
? ? ? ?

1×2

1

2×3

3×4

4×5

5×6

6×7

7×8

8×9

?
9×10

? 1－ 1 ? 1 － 1 ? 1 － 1 ? 1 － 1 ? 1 － 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1

2 2 3 3 4 4 5 5
1 1 1

6 6 7 7 8 8

? ? ?
9 9 10
1
? 1 ?
10
9
? 。
10
1 1 1 1 1


分析：根据上题的经验，本题的分母也可以变成两个自然数的积，
上式可以变为：
1 1 1 1 1

? ? ? ?

。

1×3

3×5

5×7

7 ×9

9 ×11

　　但是，每个分母中的两个自然数不是连续的，都相差 2。我们仍用上 题的方法尝试一下：
　　
1
1×3

≠1－ 1 ? 2 ，
3 3


1 1
≠
3×5 3
1 1
≠
5×7 5
1 1
≠
7×9 7


1 2
? ? ，
5 15
1 2
? ? ，
7 35
1 2
? ? ，
9 63


1 1 1 2
≠ ? ? 。
9×11 9 11 99
1
不难发现，为了使上面式子成为等式，右边应乘以 ，所以
2

1
?
1×3

1 1
×(1 ? ),
2 3


1
?
3×5


1 1 1
×( ? ),
2 3 5


1
5×7
1
7×9


1 1 1
? ×( － ),
2 5 7
1 1 1
? ×( ? ),
2 7 9


1 1 1 1
? ×( ? ) 。

9×11 2

9 11


1 1 1 1 1
解： ? ? ? ?

3 15
1

35 63 99
1 1 1 1

? ? ? ? ?

1×3

3×5

5×7

7×9

9×11


1 1 1 1 1


1 1 1 1 1

? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? )

2 3 3
1 1
? (1－ )

5 5 7 7

9 9 11

2 11
1 10
? ×
2 11
5
? 。
11


拆成两个分数相加



1 5 7

9 11 13



分析：根据我们上面做题的经验，本题仍从分母上想，不难发现，
原式的分母仍然可以看成两个自然数的积。上式可改为：

3 5 7

9 11 13



但是，这时每个分数不能拆成两个分数的差，只能拆成两个分数的
和，即


(1 ?

1 1
) ? ( ?

1 1
) ? ( ?

1 1
) ? (

1 1
? ) ? ( ?

1 1
) ? ( ?

1) 。

2 2 3 3 4

4 5 5 6 6 7

1 5 7

9 11 13

解：1

? ? ? ? ?

2 6 12
3 5

20 30 42
7 9



11 13

? ? ? ? ? ?

1×2

2×3

3×4

4×5

5×6

6×7


? (1 ?


1 1
)－( ?
2 2


1 1
) ? ( ?
3 3


1 1
) －(
4 4


1 1
? ) ? ( ?
5 5


1 1 1
) ? ( ? )
6 6 7

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2
1
? 1 ?
7
6

2 3 3 4

4 5 5 6 6 7

? 。
7
1 8 12



16 20




1 8 12 16 20

解：1

? ? ? ?

3

? (1 ?

15 35
1 1
) ? ( ?
3 3

63 99
1 1
) ? ( ?
5 5



1 1
) ? ( ?
7 7



1 1 1
) ? ( ? )
9 9 11

1 1 1 1 1

1 1 1 1

? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

3 3
1
? 1 。
11

5 5 7

7 9 9 11





试一试



计算下列各题：
1 1



1 1 1 1

1． ? ? ? ? ?

12×13

1

13×14

1

14 ×15

15×16

16 ×17

17 ×18

? ?
18 ×19


19 ×20

1 1 1 1
2 ． ? ? ? ? ?

2 ×4
1

4 ×6
1

6 ×8
1

98 ×100
1

3． ? ? ? ? ?

1×4
3

4 ×7
5

7 ×10
7

97 ×100
199

4 ． ? ? ? ? ?

1×2

2 ×3

3×4

99 ×100

1
5．
1 ? 2

1
?
1 ? 2 ? 3

1
?
1 ? 2 ? 3 ? 4


? ? ?

1
1 ? 2 ? 3? ? 99 ? 100



奇妙的单位分数

所谓单位分数，就是分子为 1 的分数。上节中例 1、例
2中的加数都是单位分数。在做单位分数加法时，我 们悟出一个道理：当两个单位分数的分母是连续的两个自然数时，它们 的差等于它们的积：

1 1
? ?
n n ? 1

1 1
×
n n ? 1

根据这种特殊的关系，我们可以把有关运算的过程简化。

1
例1 计算：(
7

1 2
? )×1
8 5

1
解：(
7

1 2
? )×1
8 5










1 1 1 1
例2 计算：1 ? × ? ?
5 6 5 6


解：1 ?

1 1 1 1
× ? ?
5 6 5 6

1 1 1 1
? 1 ? ? ? ?
5 6 5 6
? 1。


例3 计算：（ 1


? 1 ） ? 1 1 ?


1 1 1
? ?

12 13
1 1 1 1

12 20 4 5
1 1

解：(

? )÷1

? ? ?

12 13

12 20 4 5

? 1 ×

1 × 12 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1

12 13
1
? 。
169

13 4 5 4 5

如果你想编一道题，让它的最后结果是某个单位分数，那么可以把 上述公式变形：




例如：

1 1
? ?
n n ? 1

1
。
n (n ? 1)

1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2 2
1 1 1

2 3 6
1 1 1

2 4 6 12
1 1 1 1

? ? ? ? ? ? ? ? ?

2 3 6 4

6 12

5 6 12 20

要是你有兴趣，可以一直写下去。

试一试

计算下列各题：

1
1．(
2

1 1 1
? )÷( ? )
3 3 4

1 1
2．( ? ?
12 3
1 1

1
) ×274
4
2 1





1

3．(
17

? )×1 ÷( ? )
18 15 18 19



先借后还

借东西要还，既是做人的基本品德，又是数学中的重要的解题思想。
7 5 17 3

例1 计算：

? ? ?

16 16

32 16

分析：本题的一般做法是先通分，再相加。这样做势必影响做题速 度。如果从凑 1 着眼，那么很快就能找到一种“先借后还”的解题方法。

解： 7
16

5 17 3
? ? ?
16 32 16

7 5 3 1

17 1

? ( ? ? ?

) ? ?

16 16 16 16
17 1

32 16

? 1 ? ?
32 16
15
? 1 。
32
1 1 1 1 1 1

例2 计算：

? ? ? ? ? 。

2 4 8 16

32 64

分析：本题仍然可以采用“先借后还”的办法。我们把原式加上
1
会得多少呢？
64

1 1 1 1 1 1 1

解：∵

? ? ? ? ? ?

2 4 8 16 32
1 1 1 1 1

64 64
1

? ? ? ? ? ?


1 1 1 1 1
? ? ? ? ?

2 4 8
1 1 1

16 16
1

? ? ? ?
2 4 8 8
1 1 1
? ? ?
2 4 4
1 1
? ?
2 2
? 1，
1 1 1 1 1 1
∴ ? ? ? ? ?
2 4 8 16 32 64
1
? 1 ?
64
63
? 。
64
以上单位分数相加得 1 的过程可以心算，解题时可直接写出：
1 63
原式 ? 1 ? ? 。
64 64



试一试


计算下列各题：
1 1 1 1 1 1 1
1． ? ? ? ? ? ?

2 4 8
1 1

16 32
1 1

64 128
1 1

2．1 ? ? ? ? ? ?

2 4 8 16

32 64



“个数折半”法

1．同分母的所有真分数相加
　　求同分母的所有真分数之和，有一种特殊的方法叫个数折半法。具 体法则是：同分母的所有真分数相加，只要用这些分数的个数除以 2 就 能得出结果。
当分数的个数是偶数时，比如

1 2 3 4 4

(1)

? ? ? ? ? 2；

5 5 5 5 2
1 2 3 4 5



6 7 8



9 10 10

(2)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5。

11 11

11 11

11 11 11

11 11 11 2

当分数的个数是奇数时，比如
1 2 3 4 5 5 1

(1)

? ? ? ? ? ? 2 ；

6 6 6 6 6 2 2
1 2 3 4 5 6 7



8 9 9

1



TXT/PGN>
　　以上例子说明，上述法则也可以叙述为：同分母的所有真分数相加， 只要用最后一个分数的分子除以 2 就得出结果。
2．分母为偶数、所有分子为奇数的真分数相加
　　求分母为偶数、所有分子为奇数的真分数之和的方法仍是个数折半 法。具体法则是：分母为偶数、所有分子为奇数的同分母真分数相加， 只要用这些分数的个数除以 2 就能得出结果。
1 3 5 3 1

比如，(1)

? ? ? ? 1 ；

6 6 6 2 2
1 3 5 7 4

(2 )

? ? ? ? ? 2;

8 8 8 8 2
1 3 5 7 9 5 1

(3)

? ? ? ? ? ? 2 。

10 10 10

10 10 2 2

3．同分母的所有最简真分数（既约分数）相加
　　求同分母的所有最简真分数之和的方法还是个数折半法。具体法则 是：同分母的所有最简真分数相加，只要用这些分数个数除以 2 就能得 出结果。
1 5 2

比如，(1)

? ? ? 1;

6
1
(2)
10

6 2
3 7
? ? ?
10 10



9 4
? ? 2；
10 2

1
(3) ?

5 7 11 4
? ? ? ? 2。

12 12

12 12 2



试一试


计算下列各题。

1 2 3

4 5 6 7 8

1． ? ? ? ? ? ? ?

9 9 9 9 9
1 2 3 4

9 9 9
5 6 7 8



9 10 11

2 ． ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

12 12 12 12
1 2 3 4

12 12
5 6

12 12
7 8

12 12
9 10

12
11 12

3． ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

13 13 13 13 13 13
1 2 3 4 5 6

13 13
7 8

13 13
9 10

13 13
11 12

4． ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

16 16
13 14

16 16 16
15

16 16 16

16 16 16 16

? ? ?
16 16 16
1 3 5 7
5． ? ? ?

9 9 9 9
1 3 5 7



9 11

6． ? ? ? ? ?

12 12
1

12 12
3 5

12 12
7 9 11

7．　

? ? ? ? ?

13 13
1 3

13 13
5 7

13 13
9 11 13 15

8． ? ? ? ? ? ? ?

16 16 16 16 16 16
1 2 4 5 7 8

16 16

9． ? ? ? ? ?
9 9 9 9 9 9
1 5 7 11

10．

? ? ?

12 12

12 12



巧算带分数减法

1．减数凑整法
如果把带分数减去带分数转化为带分数减去整数，那么这时的减法 便得到了简化。
为了达到这个目的，我们可以运用“被减数、减数同时增加或减少
相同的数，它们的差不变”的性质。
比如，(1)4 ? 2 2 ; (2)6 1 ? 3 6 。



2
(1)4 ? 2
5

5

? (4 ?

4
3 2
) ? (2 ?
5 5

5
3 3
) ? 4
5 5



3
? 3 ? 1 ;
5

1 5
(2)6 ? 3
4 6

3 10
? 6 ? 3
12 12
5

3
? (6
12
5

2 10 2
? ) ? (3 ? )
12 12 12

? 6 ? 4 ? 2 。
12 12
这里，关键性的一步可以通过心算来进行，上述过程可以简化：

2
(1)4 ? 2
5

3 3
? 4 ? 3 ? 1 ；
5 5






1 5
(2)6 ? 3
4 6

3 10 5
? 6 ? 3 ? 6
12 12 12

5
? 4 ? 2 。
12

　　按照这种思路，倒不一定是做减法，某些加法也可以让一个加数变 为整数来达到简化运算的目的。
　　
14
比如，9
15

1
? 3 ? 8
5

14 1 1
? ? 3
15 15 5
3 1

1 1 1
? ? 9 ? 3 ?
15 5 15
2



2．交换位置法

? 12
15

? ? 12 。
15 15

　　当两个带分数相减时，如果被减数的真分数小于减数的真分数，那 么可用整数部分的差减去分数部分的差。
　　
2
比如，(1)3
9

5 1
? 2 ； (2)4
9 6

2
? 2 。
3

2
(1)3
9

5 2
? 2 ? (3 ? 2) ? (
9 9

5 5
? ) ? (3 ? 2 ) ? (
9 9

2 3 2
? ) ? 1 ? ? ；
9 9 3

1
(2 )4
6

2 1
? 2 ? (4 ? 2) ? ( ?
3 6

2 2
) ? (4 ? 2) ? ( ?
3 3

1 1 1
) ? 2 ? ? 1 。
6 2 2



试一试

计算下列各题：

5
7 ? 4
6
1 11

7
10 ? 3
9
1 5

1
5 ? 3
4
3 1

4 ? 2
3 12

6 ? 4
7 14

8 ? 5
13 2



巧算带分数乘法

有一些特殊的两个带分数相乘，常常有一些特殊的巧算方法。
1．整数部分相同，分数部分的和是 1
　　两个带分数相乘，它们的整数部分相同，分数部分的和是 1，乘积也 是一个带分数，整数部分是一个因数的整数部分乘以比它大 1 的数，分 数部分是两个因数的分数部分的乘积。
　　
例1 计算：(1)6 3 ×6 2 ；(2)8 3 ×8 4 。
5 5 7 7
3 2 3 2

解：(1)6 ×6
5 5

? 6×(6 ? 1) ? ×
5 5
6







3 4
(2 )8 ×8
7 7

? 42 ?
25
6
? 42 ；
25
3
? 8 ×(8 ? 1) ? ×
7
12
? 72 ?
49
12







4

7





这是因为
3

? 72 。
49


2 3 2

6 ×6
5 5

? (6 ?

)(6 ? )
5 5

? 6 2 ? 3 ×6 ? 6 × 2 ? 3 × 2
5 5 5 5
? 6 2 ? 6( 3 ? 2 ) ? 3 × 2
5 5 5 5
? 6 2 ? 6 ? 3 × 2
5 5
3 2
? 6(6 ? 1) ? × ;
5 5



8 3 ×8 4
7 7


? (8 ?

3 4
)(8 ? )
7 7

? 82 ? 3 ×8 ? 8× 4 ? 3 × 4
7 7 7 7
? 82 ? 8( 3 ? 4 ) ? 3 × 4
7 7 7 7


? 82

3 4
? 8 ? ×

7
3
? 8(8 ? 1) ?
7

7
× 4 。
7


2．整数部分相差 1，分数部分的和是 1
　　两个带分数相乘，它们的整数部分相差 1，分数部分的和是 1，乘积 也是一个带分数，用较大的数的整数部分的平方减去它的分数部分的平
　　
方，所得的差就是要求的乘积。

3
例2 计算：(1)2
7

4
×3 ；(2)4
7

1 5
×3 。
6 6

3 4

2 4

16 33

解：(1)2 ×3 ? 3
7 7

? ( )
7

? 9 ? ? 8 ；
49 49

1 5 1
(2)4 ×3 ? 4 ? ( )


? 16 ?

1 35
? 15 。

6 6
这是因为
3 4

6 36 36


4 4

2 ×3
7 7

? (3 ?

)(3 ? )
7 7

? 32 ? 4 ×3 ? 3× 4 ? ( 4) 2



? 32

7 7 7
4
? ( ) ；
7

1 5
4 ×3
6 6


? (4 ?

1 1
)(4 ? )
6 6

? 42 ? 1 ×4 ? 4× 1 ? ( 1) 2



? 42

6 6 6
1
? ( ) 。
6

注：一般地说，(a+b)(a－b)=a2－b2。这个公式到初中一年级才能
学到。
3．整数部分是 1，分子也是 1，分母相差 1
两个带分数相乘，它们的整数部分都是 1，分子也都是 1，分母相差
1，乘积也是一个带分数。这个带分数的整数部分是 1，分子是 2，比较 大的带分数的分母做分母。
例 3 计算：




(1)1

1 1
×1 ; (2)1
2 3
1 1

1 1
×1 ; (3)1
3 4
1 1

1 1
×1 ;
4 5
1 1

(4)1
6

×1 ; (5)1
5 7

×1 ; (6)1
6 7

×1 。
8

1 1
解：(1)1 ×1
2 3
1 1
(2 )1 ×1
3 4

2
? 1 ? 2;
2
2
? 1 ;
3

1 1
(3)1 ×1
4 5

2 1
? 1 ? 1 ；
4 2

1
(4)1
6
1
(5)1
7

1 2
×1 ? 1 ；
5 5
1 2 1
×1 ? 1 ? 1 ；
6 6 3

1 1
(6)1 ×1
7 8

2
? 1 。
7





1 1 2

一般地说，当a为自然数时，1



×1
a a ? 1

? 1 。
a



试一试


1．计算：

1 4
(1)3 ×3
5 5

3 5
(2)2 ×2
8 8

8 3
(3)6 ×6
11 11

2．计算：

1 1
(1)7 ×8
2 2

2 1
(2)6 ×5
3 3

5 4
(3)4 ×3
9 9

3．计算：



1 1
(1)1 ×1
27 26

1 1
(2)1 ×1
79 80


(3)1

1

222

1
×1
223



巧算两分数相除

分子、分母分别相除


分数的除法是用乘法定义的，即除以一个数等于乘以这个数的倒
数。
但是，在个别情况下，分数除法仍可沿用整数除法的做法。这时，
必须具备这样一个条件，被除数的分子、分母分别是除数分子、分母的 倍数。具体做法是：用分子相除的商作分子，用分母相除的商作分母。
例1 计算


16
(1) ÷8
25


27 3
(2) ÷ 。
64 4



16
解：(1)
25


÷8 ?

16 8
÷
25 1

16 ÷8 2
? ? ；
25÷1 25


27 3
(2 ) ÷
64 4

27÷3 9
? ? 。
64 ÷4 16

这是因为



16 ÷8 ?
25



16 × 1
25 8



? 16 × 1
8 25

16

? 8 ?
25

1
27



16÷8 。
25÷1

27 3 27 3 27 4
÷ ? × ? ×

? 3 ? 27÷3 。

64 4 64 4 3

64 4
4

64÷4

例 2 计算：
(1)1 1 ÷4 1 ；(2 )1 3 ÷1 1 。

24 6
1

32 4
1 25 25


25÷25 1





3
(2 )1
32

÷1 1 ?
4

35 ÷ 5
32 4

35÷5 7
? ? 。
32 ÷4 8



这是因为




1 1
1 ÷4 ?
24 6


25 25
÷ ?
24 6


25 6
× ?
24 25


25 × 6
25 24

25

? 25 ?
24

6


25 ÷25
，
24÷6




35

1 1
1 ÷1 ?
32 4

35 5
÷
32 4

35 4
? ×
32 5

? 35 × 4
5 32


? 5 ?
32

4

35÷5
。
32÷4



分母相除一次得商


　　有一种特殊的分数除法，也不用颠倒相乘，只用分母相除，一次可 得除式的商。这种带分数相除的题目中，被除数和除数的整数和分母调 换了位置，而它们的分子相同。当然，把它们化成假分数时，分子仍然 相同。根据分数除法计算法则，只要用原除数的分母除以被除数的分母 就是所求的商。
　　
5
例如，(1)13
7

5 7
÷7 ；(2)24
13 12

7
÷12 。
24

5 5
(1)13 ÷7
7 13

6
? 13÷7 ? 1 ；
7

7
(2 )24
12

7
÷12
24


? 24 ÷12 ? 2 。

这是因为


7 7
24 ÷12 ?
12 24

295
÷
12

295
?
24

295

12

24 24
× ? 。
295 12



试一试


1．计算：
1 2 5 1

(1)2 ÷3
27 3
1 3

(2)15 ÷6
8 4
1 1 1

(3)100 ÷2
10 5

(4)10
8

÷4 ÷2
2 4

2．计算
5 5 3 3

(1)9 ÷7
7 9
1 1

(2)8 ÷5
5 8
7 7

(3)27

÷3
3 27

(4)11
10

÷10
11



　　巧解应用题

巧用倒推法


　　在分析应用题过程中有顺推法和倒推法。一般地说，从应用题的条 件出发，一步一步向后推，直到解决问题，这种思考途径就是顺推法。 反过来，从应用题的问题出发，一步一步倒着推理，逐步靠拢已知条件， 直到解决问题，这种思考途径就是倒推法。
　　倒推法是一种很重要的数学思 考方法，也是分析应用题时常用的方法。下面我们用这种方法解几
道题。
　　例 1 光明小学六年级成立了三个课外兴趣小组，足球组的人数占参 加总人数的 20%，参加无线电组和气象组人数之比是 3∶2，已知参加气 象组的有 24 人，求参加兴趣小组的共多少人？
　　这道题用顺推法去思考，比较麻烦，很难理出头绪来。如果用逆推 法进行分析，就能像剥笋壳一样，一层一层深入，直到解决问题。
首先，从 24 人出发进行逆向分析，由于无线电组、气象组人数之比
是 3∶2，24 人相当于 2 份，可以求出 1 份的人数，无线电组占 3 份，用
1 份的人数乘以 3，就可得出无线电组的人数。在此基础上，可以找出两 组人数之和，因为足球组人数占参加总人数的 20%，总人数为 1 倍量，所 以无线电组与气象组的人数之和，相对应的必然是总人数的 1－
20%=80%。
(1)1 份是多少人？
　24÷2=12（人）； (2)无线电组有多少人？
　12×3=36（人） (3)无线电组、气象组共多少人？
24+36=60（人） (4)参加兴趣小组的共多少人？

　60÷(1－20%)=75（人） 综合算式：
(24+24÷2×3)÷(1－20%)
=60÷80%
　=75（人）。 有时在使用倒推法分析应用题时，最好能借助图示。
1 3
例2 一瓶油吃去 千克，又吃去余下的 ，瓶中还有油0.2千克，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　5 4
这瓶油原来是多少千克？
解答这类问题，在弄懂题意的前提下，从问题出发，用倒推法进行 分析，这个逆向分析的顺序，可以用下面的线段图来表示：




由上图我们很容易得到下面结果：
(1)最后还剩下余下千克数的几分之几？
3 1
1 ? ? ；
4 4


(2)余下的是多少千克？
1

0.2÷
4

? 0.8（千克）；

(3)这瓶油原来是多少千克？
1
? 0.8 ? 1（千克）。
5
综合算式：
1 3
? 0.2÷(1－ )
5 4
1
? ? 0.8
5
? 1（千克）。
对于用倒推法来解的题目，也可以把分析的顺序倒过来，通过列方 程来求解或验算。对上面例题，可把这瓶油原来的千克数设为 x，第一
1 1 3
次吃去的是 千克，第二次吃去的千克数就是（x ? )× ，剩下的千克
5 5 4


数已知，方程可以列出：

1 1 3
x－ －(x－ ) ×
5 5 4
解得 x=1。


? 0.2。

　　　　例 3 王玲有一批书。他给第一个同学 1 本，又给余下的一半； 接着给第二个同学 1 本，又给余下的一半；再给第三个同学 1 本，又给 余下的一半；最后又给第四个同学 1 本，再加 15 本，手中还剩 8 本。问 王玲原来有书多少本？

分析：这道题如果用顺推法来分析解答，经较麻烦，甚至无从下手， 我们采用倒推的方法，就比较巧妙了。我们可以这样倒过来想：
解：(1)先求没有给第四个同学时，手中有书：

　8+15+1=24（本） (2)再求没有给第三个同学时，手中有书：
1

24÷
2

? 1 ? 49（本）；

(3)然后求没有给第二个同学时，手中有书：
1

49÷
2

? 1 ? 99（本）；

(4)最后求没有给第一个同学时，手中有书：
1

99÷
2

? 1 ? 199（本）。

答：王玲原有书 199 本。

巧用“移多补少”法


　　求平均数应用题是小学数学中常见的一种典型应用题，一般的解答 方法是：先求出总数量，再求出总份数，然后用总数量÷总份数。在一 些求平均数的应用题中，也可以不用这种一般的方法，而根据题目条件 的具体情况，采用“移多补少”的方法，解答起来十分简捷。
　　　　例 1 某工厂一个车间，第一天生产零件 386 个，第二天比第 一天多生产 56 个，第三天比第一天少生产 26 个。在
三天中，平均每天生产多少个？
　　分析：这道题如果用求平均数应用题的一般方法去思考，必须先求 出三天共做多少个零件，而这三天中，每天做的零件数只知道第一天的， 还必须求出第二天、第三天的，这样就比较麻烦了。我们可以用“移多 补少”的办法，把这道题巧妙地解答出来。
　　即，以第一天为标准，把第二天和第三天的差数相互抵消一下，得 到：
　　386+(56－26)÷3=396（个） 答：这三天中，平均每天做零件 396 个。
　　例 2 某小学五年级一班第一组学生的身高分别为 151 厘米、152 厘 米、150 厘米、149 厘米、153 厘米、151 厘米。求这组学生的身高平均 数。
　　分析：因为在这道题中，已知的几个数字都接近 150，所以，我们就 不必去把所有数加起来，可以用 150 为基数，采用“移多补少”法把这 些数量的和写成：
(150+1)+(150+2)+(150+0)+(150－1)+(150+3)+(150+1) 求平均数无需把它们的和除以 6，只需简化一下，变成：
150+(1+2+0－1+3+1)÷6
=150+1=151（厘米）。 答：这组学生平均身高 151 厘米。
　　　　例 3 甲、乙两个工人，每人每天做零件 185 个，甲做了 5 天， 每天做 203 个，乙每天做 170 个，乙做了多少天？
　　分析：这一题乍看起来好像无法下手，其实，我们弄清求平均数问 题的实质——“移多补少”，稍作分析，便能发现解题的窍门。
　　
　　从条件上看，甲每天做的零件数高于两个人的平均数，那么，求两 个人的平均数就是将甲的平均数的一部分移给乙，使他们的平均数就是 两个人的平均工作量。
因为甲每天比乙每天多 203－185=18（个），所以 5 天共移给乙：18
×5=90（个）；
　　又乙每天比平均数少 185－170=15（个），乙每天需补 15 个，乙就 做了 90÷15=6（天）。
解：(203－185)×5÷(185－170)
=90÷15
　=6（天） 答：乙做了 6 天。

巧用转化法


　　说明一个问题，往往有几种表达方式。在解答应用题时，为了更清 楚明白地找到解题思路，我们不妨变换一种表达方式，可以得到意想不 到的效果。
例 1 一条公路由甲、乙两队合修要 12 天可完成，现在由甲队修了

3天后，再接着由乙队修了1天，共修好这条公路的 3
20


，如果这条公路由

甲队单独修要几天可以完成？


　　分析：根据题意，必须把修好这条公路的总长度的工作量看作单位 “1”，还要知道甲队工作效率，即可求出甲队完成这条公路的修建天数。 但是，难求出甲队的工作效率，因此，假设甲队单独修要 x 天完成，用 方程来解答。
　　
1 3
[ －(
12 20

1
－ ×3)]×x ? 1。
x

但是，这个方程对小学生来讲，是无法解答的。我们就采用转化的
方法来考虑：即把原题改为甲队修了 2 天后，与乙队合修 1 天，共修好
3
这条公路的 ，这样可以求出甲队的工作效率，问题就迎刃而解了。
20

3
解：1÷[(
20
3

1
－ ) ÷2]
12

? 1÷[
20
1
? 1÷

÷2]

30
? 30（天）
答：甲单独修这条公路要用 30 天。 有些应用题没有统一的比较对象，就需要已知条件之间的数量关系
转化为同一的标准作比较的量，这就是运用转化的方法来考虑问题。
例 2 某中学共有学生 1450 人，如果新学期男生增加了他们本

身的 30%，女生减少了她们本身的 20%，这时女生人数是男生人数的一半， 求原来这所中学男、女生各有多少人？

　　分析：男生增加了他们本身的 30%，是把原来的男生人数看作单位 “1”，增加后的男生是原来男生人数的 1+30%=130%。女生人数减少了她 们本身的 20%，也就是说，减少后的女生人数是原来女生人数的：
1－20%=80%。经过上面发生的变化，现在女生人数是男生人数的一半。 这时的单位“1”已变为增加后男生人数。
　　从上面分析可以看出，这里有三个不同的单位“1”：男生人数增加 是以原男生人数为单位“1”；女生人数减少是以原女生人数为单位“1”； 新学期女生人数与男生人数比较，又是以新增加后的男生人数为单位 “1”。所以 130%、80%、50%之间不能直接发生联系，需要转化为同一标 准再作比较。
原来女生人数的 80%相当于原来男生人数的几分之几。
130%×50%=65%,
13
65% ÷80% = 。
16
通过转化，把全校男生人数看作单位“1”，那么女生人数相当于

13 13 13
，全校总人数是1 ? ? 1
16 16 16


。根据题意，全校共有学生1450人，它与

113 是一组相对应的数量。
16
解：全校原有男生人数：
1450÷[(1+30%)×50%÷(1－20%)+1]
13

? 1450÷1
16



=800（人）。
女生人数：
1450－800=650（人）。
答：这所中学原有男生 800 人，原有女生 650 人。
1 2
例3 一根绳子先剪去全长的 ，又用去余下的 ，最后还剩下9米。
4 3
这根绳子原有多少长？
1
分析：第一次剪去全长的 ，是用全长作单位“1”；第二次剪去余下的
4


2
，用余下的长度作单位“1”。解这道题的关键是先要把单位“1”统一
3
好。这样，必须把“又用去余下的 2 “转化成“又用去全长的几分之几”。
3
1 1 3
因为第一次剪去 ，余下1－ ? 。
4 4 4

2 3 2

3 2 1

第二次剪去余下的 ，也相当于全长的 的 ， × ? 。
3 4 3 4 3 2
1
通过转化，应用题变化成“第一次剪去全长的 ，第二次剪去全长
4
1
的 ”。这样就可以找对量率的对应关系了。
2
　　　　　1 1 2
解：9÷[1－ －(1－ )× ]
4 4 3
1 3 2
? 9÷[1－ － × ]

4 4 3
1
? 9÷
4



? 36（米）
答：这根绳子全长 36 米。

巧用整体“1”


　　在解答分数、百分数应用题的时候，往往要正确分析出题目中的整 体“1”（也叫单位“1”），根据已知数或所求数与整体“1”的关系去 解答有关问题。在分数、百分数应用题中，如果已知整体“1”的数量， 要求与整体“1”有关的对应数量，就要用乘法去解；如果在分数应用题 中，看作整体“1”的某个数量作为未知数，需要求出，就必须用除法。 正确而巧妙地找出整体“1”、运用整体“1”，可以使某些应用题解答 得巧妙简捷。
　　例 1 光明村计划修一条长 120 米的水渠，前 3 天修了 20%，照这样 的速度，修完这条水渠还需要几天？
　　分析：这道题，如果按一般思路，我们要求出剩下多少米和每天修 多少米，再求还需要几天，这里是把全水渠的长看作整体“1”。但是， 如果我们把完成全水渠的天数看作整体“1”，先求出完成全水渠的天数， 再求修完这条水渠还要几天，问题的解决就容易得多。即：
解：3÷20%－3=12（天）。
答：修完这条水渠还要 12 天。
例 2 前进自行车厂原计划 14 天生产自行车 1680 辆，实行生产责任
2
制后，每天比原计划多生产 ，这样实际只要几天就能完成任务？
5
分析：解答这道题时，一般地都是把原计划生产的自行车辆数看作
整体“1”，求出每天实际生产多少辆，再求实际要多少天能完成。但是， 我们如果把工作效率看作整体“1”，解答就巧妙了。
解：(1)把原工作效率看作整体“1”，现在的工作效率就是：
2 2
1 ? ? 1 ；
5 5
(2)总工作量：1×14=14
(3)现在实际要几天？

2
1×14÷(1 ? )
5
2
? 14÷1
5
? 10（天）。
答：这样实际只要 10 天就能完成任务。
　　例 3 有一批水果，用 80 只大筐可以装完，如果改用 120 只小筐也 可装完，已知每只大筐比每只小筐多装运 20 千克。这批水果共有多少千 克？
分析：这道题并不是一般的分数应用题，但是，如果我们把这批水
1
果总量作为整体“1”，则每只大筐可以装运这批水果总量的 ，每只小
80


筐可以装运这批水果总量的

1
120


。根据题意，可知这批水果总量的

1 1
( －
80 120


)是20千克，这样，就可以求出这批水果的总量。

1
解：20÷( －
80
1
? 20÷

1
)
120

240
? 4800（千克）。
答：这批水果总量共有 4800 千克。
2
例4 某车间加工一批零件，4天完成了应加工的总零件量的 ，如果
5
再加工 54 只，刚好完成这批零件的一半，按前 4 天的工作效率，加工这
批零件需要几天可完成？ 分析：我们如果把这批零件数看作整体“1”，根据题意可以这样解
答。

2
解：1÷(
5
1
? 1÷


÷4)


? 10（天）。

10
如果我们把完成这批零件需要的天数看作整体“1”，解答就更巧妙
简捷了。
2
解：4÷
5
=10（天）。
答：加工这批零件需要 10 天可以完成。


巧用假设法


由于一些应用题已知条件的数量关系不明显，为了使这些数量关系
明朗化，可以对某些数量作些假设，从而找到解题途径。下面例子就是 通过假设具体数来比较大小。
　　例 1 有编号分别为 1、2、3 的三只桶。1 号桶里的水比 3 号桶里的 水多 20%，2 号桶里的水比 1 号桶里的水少 20%，问几号桶里的水最少？ 因为条件中没有统一的比较对象，不能直接比较各桶里水的多少。
这里，我们不妨假设已知某个桶里的水为具体数量，再进行比较。 根据条件，假设 1 号桶里的水重 30 千克，那么 2 号桶里的水重就是：
30×(1－20%)=24（千克），3 号桶里的水重就是：30÷(1+20%)=25（千 克），因为，30＞25＞24，所以 2 号桶的水最少。
　　这种假设某些量为具体数量的方法，简单、明白。但要注意，任意 假设的数据应该简单，便于计算。
　　在解答应用题时，当遇到题目中要求两个或两个以上的未知数量 时，可以假定其中一个未知数量为已知数量，或者假定两个未知数量相 等，然后按照题里的已知条件进行推算，把假定的内容加以调整，从而 得到正确答案。下面我们通过不同的假设方法来解一道邮票问题。
例 2 买来 4 分和 8 分邮票共 50 张，总值 3 元 4 角。
求 4 分邮票、8 分邮票各多少张？
假设 1 设买来的 8 分邮票为 50 张，那么它的价值应该是：0.08×
50=4（元）。而原来 50 张邮票的价值是 3.4 元，这样，50 张 8 分邮票的 价值比原来 50 张邮票的价值多了(4－3.4)元。多出部分是将 4 分邮票看
成 8 分邮票多算的部分。因为每张 4 分邮票看成 8 分邮票多算了(8－4) 分。根据多付的总价与每一张邮票多付的钱就可以算出 4 分邮票有多少 张了。
综合算式： (0.08×50－3.4)÷(0.08－0.04)
=(4－3.4)÷0.04
=0.6÷0.04
=15（张）??4 分邮票
50－15=35（张）??8 分邮票。
假设 2 设买来的 50 张邮票都是 4 分的，那么 50 张的总价是 0.04
×50=2（元）。它比实际支付的价格少付了(3.4－2)元。因为每张 4 分 邮票要比每张 8 分邮票少付(0.08－0.04)元。根据少付的(3.4－2)元与 每张少付的(0.08－0.04)元，可以算出 8 分邮票的张数。
综合算式： (3.4－0.04×50)÷(0.08－0.04)
=(3.4－2)÷0.04
=1.4÷0.04
=35（张）??8 分邮票的张数。
假设 3 设买来的 4 分邮票和 8 分的张数相等，各 25 张。那么 0.08
×25=2(元)是买 8 分邮票的总价，0.04×25=1（元）是买 4 分邮票的总 价。两种邮票共付了（2+1）元。比原来总值少付了 3.4－3=0.4（元）。 为什么会少 0.4 元呢？因为 4 分邮票设有 25 张，如果把一张 4 分邮票换 成一张 8 分邮票，就要多付 0.04 元。现在少了 0.4 元，算出多少张 4 分 去换成 8 分邮票，0.4÷0.04=10（张）。假设 4 分邮票 25 张，其中 10

张去换 8 分邮票，实际 4 分邮票是 25－10=15（张）。假设 8 分邮票 25 张，又有 10 张 4 分邮票换成 8 分，所以 8 分邮票实际有 25+10=35 张。
综合算式
25－[3.4－（0.08×25+0.04×25）]÷（0.08－0.04）
=25－[3.4－3]÷0.04
=25－0.4÷0.04
=25－10
=15（张）??4 分邮票张数。
　　假设 4 设邮票数为某一具体数，如设 8 分邮票有 30 张，那么 4 分 邮票就有 20 张，30 张邮票的价值是 0.08×30=2.4（元），20 张 4 分邮 票的价值是 0.04×20=0.8（元），50 张邮票的价值是 2.4+0.8=3.2（元）， 比实际少付 3.4－3.2=0.2（元），这些钱是因为多算了 4 分邮票而造成 的，所以用它去换 8 分邮票。0.2÷0.04=5（张），30+5=35（张）是 8 分邮票，20－5=15（张）是 4 分邮票。
以上我们对一道题使用了四种假设方法，目的是让读者
了解假设法是很灵活的。在一般情况下，前两种 方法比较简便。
最后，我们要提到的是，假设法如果能同单位“1”法结合起来，往
往可以找到简便有趣的解答方法。不妨举下例试一试。
　　例 3 某厂生产 12500 件刀具，原计划 25 天完成，工作 5 天后，改 进了技术，工作效率为原来的 4 倍。这批刀具可以提前几天完成？
此题若按一般解法列式计算，需要五步算式。如果采用假设法和单
位“1”法合用，可设原计划每天的工效为“1”，那么，先工作 5 天的 工作量就是 5。
工作 5 天后剩余的工作量就是 25－5=20。
改进技术后每天的工作量就是 4。 改进技术后完成剩余工作量的时间是
（25－5）÷4=5（天）。
根据以上假设，这道题可以列成很简单的式子：
25－（25－5）÷4－5
=25－5－5
=15（天）。

巧用对应法


　　在解分数应用题的时候，要善于寻找数量和分率（几分之几）的对 应关系。找对应关系的思考方法，就叫对应法。 这种方法对解决结构复杂、条件变化大的分数、百分数应用题十分有效。
　　例 1 学校买了一批图书，放在两个书柜中，其中第一柜的本数占 这批图书的 58%，如果从第一柜中取出 16 本，放入第二柜内，这时两个 书柜的书各占这批图书的 50%，这批图书共多少本？
我们可以这样来分析：
　　第一柜中的图书从原来占这批图书的 58%变成 50%，是由于取出了 16 本的缘故。两个百分数之差正好与 16 本相对应，利用这个“量”、“率”
　　
之间的对应关系，可以比较简便地求出这批图书的本数。 解：(1)第一柜比原来减少了这批图书的百分之几？
　　58%－50%=8%； (2)这批图书共多少本？
　16÷8%=200（本）。 综合算式：
16÷（58%－50%）
=16÷8%
　=200（本）。 答：这批图书共 200 本。
　　在解分数、百分数应用题时，如果能够把思路集中在“量”与“率” 的对应关系上，可以寻求出最简捷的解法，请看下面一例。
例 2 煤矿 6 月份 （按 30 天计算）计划采煤 36000 吨，
前 4 天完成
计划的 1 ，照这样计算，可以提前几天完成任务？
6
　　按照常规的思路，求提前几天完成任务，就是计划的天数减去实际 的天数。由于题目中的条件已经给了计划的天数，思考的焦点就集中在 寻求实际用了多少天。用这种方法解题要用四个步骤。此外，如果我们 不使用 36000 吨这个具体数量，直接从“率”上也可以求出实际用了多 少天。也就是说，如果把采煤总量看成 1 倍量，那么前 4 天完成了采煤 总量的几分之几呢？用这种思路，解题可简化为三个步骤。
如果我们能注意题目中“量”与“率”的对应关系，就可以得到更
为巧妙简捷的解法。
已知前4天完成计划的 1 ，这实际的 4天与计划的 1 直接对应，用
6 6
4÷ 1 就可以求出实际需用的天数。只须两个步骤即可完成。
6
解：(1)完成计划实际用了多少天？
4 ÷ 1 ? 24 （天）；
6
(2)提前几天完成任务？
　30－24=6（天） 综合算式：
30 ? 4÷ 1
6
? 30 ? 24
? 6（天）。
　 答：提前 6 天完成任务。
　　在分数、百分数的应用题里，数量和分率的对应关系明显，解题就 容易；数量和分率的对应关系隐蔽，解题就比较困难。下面举两道较难 一点的题目。
例 3 胜利电扇厂一年内生产电扇 18000 台。实际头两个月就生产

了 1 。照这样计算，可以提前几个月完成生产任务？
5
　　分析：我们按照一般的思考方法，要先求出还剩多少台和实际每月 生产多少台，再求实际需要几个月，等等。如果我们把实际完成计
划生产的台数所用的时间看作单位“1”，那么2个月所对应的分率是 1
5
，用对应的方法来考虑，可以先求出实际用多少月，再求提前几个月。
解：12 ? 2÷ 1
5
=12－10
=2（个）。
答：可以提前 2 个月完成任务。
例4 某车间要加工一批零件，第一天做了全部零件数的 1 还多16
8
个，第二天做了全部零件数的 1 少2个，还剩88个。这批零件一共有多
6
少个？
分析：要解答这道题，我们用对应的方法去思考，把零

件总数看作单位“1”，我们必须找出 16 个、2 个、88 个与零件总 数的对应分率。我们可以先画一个图来看一下，找一找它们的对应关系：














从图中可以看出，当零件总数是单位“1”时，（16－2+88）个
零件对应的分率就是（1 ? 1 ? 1 ）
8 6
那么，根据这个对应关系，问题就好解了。
解：（16 ? 2 ? 88 ）÷(1 ? 1 ? 1 )
8 6
? 102÷ 17
24
? 144（个）。
答：这批零件一共有 144 个。

巧换角度解题

在解答一般复合应用题的时候，我们如果能从不同的角


　　度去思考，不仅可以找到多种解答方法，而且还能从中找到一种比 较简便或巧妙的解答方法。
　　　　　例 1 光明电影院放映两部国情教育资料影片。第一部长 1050 米， 放映了 35 分钟，第二部长 1350 米，要比第一部多放映多少分钟？ 分析：解答这道题，我们可以从几个不同的角度去思考：
(1)从每分钟能放映几米影片去思考：
1350÷(1050÷35)－35，
　（1350－1050）÷（1050÷35）； (2)从每米影片需要放映的时间去思考：
（35÷1050）×1350－35，
　（35÷1050）×（1350－1050）； (3)从两部影片长度的倍数去思考：
35×（1350÷1050）－35，
35×[（1350÷1050）－1]，
35×[（1350－1050）÷1050]，
　??????????????? 我们根据以上几种不同角度的思考中，可以选择你认为最简便最巧
妙的解法。
当然，经过思考后，可以选择第一种思考角度去解答。即 先求出每分钟能放映多少米：
1050÷35=30（米）；

再求第二部要用多少分钟：
　1350÷30=45（分）； 然后求第二部要比第一部多放多少分钟：
45－35=10（分）
答：第二部比第一部多 10 分钟。
　　例 2 小王要做 56 个零件，他每天做 7 个，已经做了 5 天。照这样 计算，剩下的零件还要做几天？
分析：按照一般的思考角度，我们可以先求剩下的零件，再求还要
做的天数。如果我们换一个角度，先求一共需要做的天数，再求还要做 的天数，解答起来既简便又很巧妙。
即
先求一共要做多少天：
　56÷7=8（天）； 再求还要做的天数：
　8－5=3（天）。 综合算式：56÷7－5=3 天。 答：剩下的还要 3 天完成。
　
例3 某车间有职工240人，其中女职工人数占 7
12

，后来又调来几名女

职工，这样女职工人数占总数的 3 ，问调来几名女职工？
5
分析：这道题，用一般的方法去思考，抓住“女职工人数”这个

方面去想，这在小学数学知识范围内求解是有困难的，似乎无法可解。 我们只要换一个角度去思考，从“男职工人
数”这个方面去想。因为男职

工人数没有变，根据男职工人数原来占总数的（1 ?

7 ） 5
12 12

，后来由

于调来了几名女职工，男职工占总数的（1 ? 3 ） 2 。这样，可以求出
5 5
后来的总人数，再求女职工调来的人数。

240× 5
12

÷ 2 ? 250( 名) ???后来的职工总数，
5

250 ? 240 ? 10（名）???调来的女职工数。
答：调来女职工 10 名。

巧用消元法


　　在一些稍复杂的应用题中，有时会出现两个并列的未知数，又不能 逐一求出，这样，就给解题带来了困难。根据题目的特点，我们可以采 用先消去一个未知数的方法，然后再把题目变成只有一个未知数，等求 出这个未知数后，再求另一个未知数。这种方法，我们叫“消元法”或 叫“消去法”。它能使复杂的应用题，较巧妙地解答出来。
例 1 王明买 3 支铅笔和 2 本作业本，共付 0.99 元，李文买了同样
的 5 支铅笔和 2 本作业本，共付 1.49 元。问一支铅笔和一本作业本各多 少元？
分析：这道题里，既要求一支铅笔的价钱，又要求一本作业本的
价钱，一下求出来是不可能的。我们根据条件，设法把其中一个未知数 去掉。

3 支铅笔 2 本作业本 共 0.99 元 5 支铅笔 2 本作业本 共 1.49 元 我们把“2 本作业本”消去，就得“2 支铅笔”的价是（1.49－0.99）
=0.5 元，那么一支铅笔的价格就是：0.5÷2=0.25 元。 解：（1.49－0.99）÷（5－3）
=0.5÷2
=0.25（元）???铅笔单价，
（0.99－0.25×3）÷2
=0.24÷2
　=0.12（元）???作业本单价。 答：每支铅笔 0.25 元，每本作业本 0.12 元。
例2 3 1 升油和5.5升奶共重8.99 千克， 7 升油和5升奶共重11 4 千
2 5
克。求一升油和一升奶各重多少千克？
我们可以用消元法，设法消去一个未知数。
　　但是，在这题中，没有一个条件数量相同，因此，我们必须先把一 个条件变化一下，再进行消元。
　　
①3 1 升油
2
②7升油


5.5升奶 共重8.99千克
5升奶 共重11 4 千克
5



先把①组各数乘以 2，得到：
①7 升油 11 升奶 共 17.98 千克

②7 升油 5 升奶 共 11.8 千克


再把①减去②得到对应的数值：
6 升奶 共 6.18 千克
也就是 6 升奶重 6.18 千克，那么 1 升奶重多少千克，就是用 6.18
÷6=1.03（千克）。
把每升奶 1.03 千克代入一组算式，就可以得到每升油多少千克。
（8.99 ? 1.03×5.5）÷3 1 ? 0.95千克。
2
答：每升油 0.95 千克，每升奶 1.03 千克。
例3 饲养场里，鸡的只数的 2 与鸭的只数的 3 之和是10000只，鸡的
5 4
只数的 3 与鸭的只数的 2 之和是10700只。饲养场里的鸡、鸭各多少只？
4 5
分析：这道题，可以用和差问题来解答，但是思路比较复杂，我们
不妨也用消元法来试试。因为 2 ? 3 ? 23 。所以鸡的 23 与鸭的 23 之和

5 4 20

20 20

是10000 ? 10700 ? 20700只。这样，可以知道鸡的

1 与鸭的
20

1 之和是
20

900只。因此，推理可得到鸡的 2 与鸭的 2 之和是7200只。
5 5
又因为鸡的 3 与鸭的 2 之和是10700只，这样鸭的 2 消去后，得鸡
4 5 5
的（ 3 ? 2 ）是3500只。
4 5
然后，用分数应用题来解答：
（10700 ? 7200）÷（ 3 ? 2 ）
4 5
? 3500÷ 7
20
? 1000（只）???（鸡的只数），
（10000 ? 10000× 2 ）÷ 3
5 4
? 6000÷ 3
4
? 8000（只）???（鸭的只数）。
答：鸡有 10000 只，鸭有 8000 只。
例 4 1 条毛巾的价钱等于 4 条肥皂的价钱。招待所买来 36 块肥皂

和 72 条毛巾共用去 226.8 元。求 1 块肥皂和 1 条毛巾的单价。 分析：为了能找出已知条件之间的相依关系，我们将已知条件作些
整理：
1 块肥皂的价钱=1 条毛巾价钱的 1 ，
4
1 条毛巾的价钱=1 块肥皂价钱×4。
已知买 36 块肥皂的价钱+72 条毛巾的价钱=2268 元， 所以上述关系可以写成
36 块肥皂的价钱+（72×4）块肥皂的价钱=226.8 元，或写成

36 条毛巾的价钱+72 条毛巾的价钱=226.8 元。
4
无论选择哪一种数量间关系，都能求 1 条毛巾和 1 块肥皂的价钱。 解：(1)都折合为肥皂：
　　　36+72×4=36+288=324（块）； (2)每块肥皂的价钱：
　　226.8÷324=0.7（元）； (3)每条毛巾的价钱：
0.7×4=2.8（元）。
另解：(1)都折合为毛巾：
36 ? 72 ? 9 ? 72 ? 81（条）；
4
(2)每条毛巾的价钱：
　226.8÷81=2.8（元）； (3)每条肥皂的价钱：
2.8÷4=0.7（元）。
答：每条毛巾价 2.8 元，每块肥皂的价钱是 0.7 元。 以上例子中，每个题都有两个未知数，其实这种方法也可以用于以
上未知数的情况。
　　例 5 10 个李子的重量与 3 个苹果加 2 个梨的重量相等，3 个李子 加半个苹果等于 1 个梨重。问多少个李子等于 1 个梨重？
根据题意，李子、苹果、梨的重量之间有以下的关系：
　　　10 个李子的重量 =3 个苹果的重量 +2 个梨的重量， (1)
3 个李子的重量+半个苹果的重量=1 个梨的重量。(2) 这里，我们用比较法的思路将(2)扩大 2 倍即有：
6 个李子的重量+1 个苹果的重量=2 个梨的重量。(3) 由(1)、(3)消去“梨”，得
　　10 个李子的重量=3 个苹果的重量+6 个李子的重量+1 个苹果的重 量，
即 10 个李子的重量=6 个李子的重量+4 个苹果的重量。 所以（上式两边各减去 6 个李子的重量）
4 个李子的重量=4 个苹果的重量，
即

　1 个李子的重量=1 个苹果的重量。 这样，(3)就变为
7 个李子的重量=2 个梨的重量，
即 3 1 个李子的重量 ? 1个梨的重量。
2
答：3 个半李子的重量等于 1 个梨的重量。 总之，利用各种关系式进行比较，可以把未知数一个一个地减少，
直到只剩下一个未知数。

巧用比例解题


　　　用比例方法解答应用题是一种较特殊的方法。某些一般应用题或 分数、百分数应用题，如果用比例方法去思考，有时也是一种简捷的方 法。
　　当然，运用比例方法解题时，要考虑到具体题目的特殊情况，不简 便的话就不必硬用。
　　用比例方法来解，包括运用按比例分配法、比例法和运用正反比例 法等几种。
例 1 有两筐同样重的桔子，如果从第一筐中取出 15 千克放入第二
筐，这时第一筐桔子的重量是第二筐的 3 ，原来每筐桔子重多少千克？
　　5
　　分析：这是一道较复杂的分数应用题，我们可以用按比例分配的思 路去考虑：第一筐和第二筐总份数为（5+3），从第一筐取出 15 千克给
第二筐后，第一筐为 3 ，第二筐为 5 ，它们的差是（ 5 ? 3 ），因此，可
8 8 8 8
得到解答方法：
15÷（ 5 ? 3 ） ? 60（千克）。
8 8
答：原来每筐桔子为 60 千克。
例2 一袋水泥重25千克，用去 4 ，用去多少千克？
5
分析：这是一道简单的分数应用题，我们也可以用比的方法去思考：
把用去 4 看作，用去数量与总数量的比是4 ∶5，那么设用去数量为x千克
5
，得到：4∶5 ? x∶25。
解：4∶5=x∶25
5x=4×25 x=20。 答：用去 20 千克。
　　
例3 一根绳子的

2 比这根绳子的 2 短3.5米，这根绳子长多少米？
15 5

分析：因为3.5米是全长的 2 与 2


的差，所以3.5米相当于全长的

5 15

（ 2 ?
5

2 ），即
15

4 ，也就是3.5米与全长的比是4∶15，那么，设全长
15

为x米。得到：
解：4∶15=3.5∶x，
4x=15×3.5，
　　x=13.125。 答：这根绳子长 13.125 米。
　　例 4 一批零件，单独一个人加工，甲要 20 小时，乙要 30 小时， 现甲、乙共同加工，完成任务时，甲比乙多加工 180 个零件，这批零件 共有多少只？
　　分析：这是一道较复杂的工程问题，我们也可以用比例的思路去思 考：根据他们加工时间相同，加工效率与加工零件数成正比例来研究其 数量关系，同时用加工零件数的差额为单位“1”。
工作效率之比：

1 ∶ 1
20 30

? 3∶2 ，则

工作总量之比也是 3∶2。
解：180 × 3 ? 2
3 ? 2

　　=900（只）。 答：这批零件共有 900 只。
例 5 一列火车从上海开往天津，行了全程的 60%，距离天津还有
538 千米，这列火车行了多少千米？ 分析：这是一道行程问题，同时也涉及到百分数问题，我们用比例
方法来思考，解答也很巧妙。
行了的路程∶还剩下的路程
=60%∶（1－60%）
=3∶2。
解：设这列火车行了 x 千米，得到
x∶538=3∶2，
2x=538×3，
x=807。
答：这列火车行了 807 千米。

巧用替换法


　　在解一些应用题时，已给条件中常常出现两种或更多不同属性的 量，同时我们已知不同量之间存在着换算关系。这样，如果暂时用其中 一种量来替换另一种量，那么分析起来就比较容易了。这种应用替换思 路来解题的方法称为替换法。
　　
1
例1 建筑工地用5辆大车和4辆小车一次共运来砂子42
2


吨，每辆

大车比每辆小车多运4吨，求每辆大车和每辆 < /PGN000143.TXT / PGN >
小车各运多少吨？
分析：此题虽然有大、小汽车的辆数和共运来砂子的吨数，但是，由于 大、小汽车每辆运的吨数并不一样，就需要用替换法的思路进行分析。 如果把 4 辆小车替换成大车，那么每辆小车比每辆大车少运 4 吨；如果 每辆小车增加 4 吨，那么小车就和大车运得同样多了，4 辆小车就
增加（4×4 = ）16吨。当共运的吨数增加16吨时，将是（42 1 ? 16 ? ）
2
58 1 吨，这时4辆小车也替换成大车，共是（5 ? 4）9辆大车。至此，可
2
以先求出每辆大车运的吨数，然后再求出每辆小车运的吨数。 解：(1)每辆大车运多少吨？
1

(42
2

? 4×4)÷（5 ? 4）

? 58 1 ÷6
2
? 6 1 （吨）；
2
(2)每辆小车运多少吨？
6 1 ? 4 ? 2 1 （吨）。
2 2
答：每辆大车运6 1 吨；每辆小车运2 1 吨。
2 2
　　我们知道，任何好方法也都有它的局限性，有时，在解一道题的过 程中，往往要用几种方法相互配合。下面，我们用图解法来配合替换法 解一道题。
例2 某车间男工、女工共62人，男工人数的 1 比女工人数的 1 少2
5 4
人，求男、女工各是多少人？
分析：从条件中看到， 1 是以男工人数为1倍量， 1 是以女工人数为
5 4
1倍量，为能找出男、女工人数间的替换关系，我们画出下图：

由上图可以看到，只有把女工人数的 1 用男工人数的 1 和2 人来替换，
4 5

才能统一成一个 1 倍量。替换后，以男工人数做为 1 倍量。由图显示，
女工人数是男工人数的（ 1 ×4 ? ） 4 还多（2×4 ? ）8人。如果从62人
5 5
中减去8人，这时女工人数正好是男工人数的 4 ，用和倍问题解题的条件
5
已经具备。
解：(1)男工是多少人？
[62 ? 2×(1÷ 1)]÷[1 ? 1 ×(1÷ 1)]
4 5 4
? [62 ? 8]÷[1? 4]
5
? 54÷14
5
? 30( 人) 。
(2)女工是多少人？
62－30=32（人）。
答：男工是 30 人，女工是 32 人。 最后，我们再来看一看对两个以上量如何使用替换法。
例3 买1 1 千克奶糖的钱和买2 2 千克水果糖的钱相等，买2千克巧
2 5
克力的钱与买3千克奶糖的钱相等，买4 1 千克巧克力的钱，可买水果
2
糖多少千克？
　　这道题的条件中，没有具体的钱数，只能用替换的方法求解。在替 换时，还应当注意到，巧克力与水果糖并不能直接替换，要通过奶糖这 个中间“媒介”进行。
分析：奶糖的千克数在题目中出现两次：一次与水果糖比，一次与
巧克力比。这样，我们可以通过替换法把巧克力与水果糖进行比较。先
看3千克奶糖是1 1 千克奶糖的几倍，再把3千克奶糖按价格换成水果糖。
2
由于 3 千克奶糖与 2 千克巧克力价钱相等，所以，把它换成的水果糖除
以2就 < /PGN000146.TXT / PGN > 是1千克巧克力换成水果糖的千克数，再乘
1
以4 就是最后问题的答
2
案了。
解：(1)3千克奶糖是1 1 千克奶糖的多少倍？
2
3÷1 1 ? 2（倍）；
2
(2)3 千克奶糖可换水果糖多少千克？
2 2 ×2 ? 4 4 ( 千克) ；
5 2
(3)1 千克巧克力钱可买水果糖多少千克？

4 4 ÷2 ? 2 2 ( 千克) ；
5 5
(4)4 1 千克巧克力钱可买水果糖多少千克？
2
2 2 ×4 1 ? 10 4 （千克）。
5 2 5
综合算式：
2 1

2 ×(3÷1
5

)÷2×4
2

? 10 4 （千克）。
5
答：4 1 千克巧克力可买水果糖10 4 千克。
2 5


巧用等量关系

有一些应用题，已知条件的关系比较复杂。这时，如果
我们能从这些较复杂的关系里找到一种最合适的 等量关系，常可使问题获得简捷的解决。这种力求寻找最佳等量关系的 思路就称为“等量关系法”。
例 1 小明和小华看同一本故事书，小明比小华每天多看 5 页，小
华中途因病休息 3 天，8 天后小明看的页数正好是小华看的页数的 2 倍， 求这时小明和小华各看了多少页？
为了清楚起见，我们将题目中的条件和问题再归纳一下。
条件：(1)小明每天比小华多看 5 页； (2)小华因病休息 3 天；
(3)8 天后小明看的页数是小华的 2 倍。
问题：小明和小华 8 天后各看了多少页？ 由上述条件，我们得到两组等量关系： 小明每天看的页数－小华每天看的页数=5， (1) 小明 8 天看的页数=小华 8 天后看的页数×2。 (2) 设小明每天看书 x 页，则小华每天看书（x－5）页。 设小华每天看书 x 页，则小明每天看书（x+5）页。
在用未知数 x 列方程后，若使用等量关系(1)，显然，方程解起来比
较烦琐，因为分数需要通分。于是我们选等量关系(2)来列方程。 解：设小华每天看书 x 页，则小明每天看书（x+5）页。于是有：
（x+5）×8=2×(8－3)x。
8x+40=10x，
2x=40，
　　x=20。 于是，小明每天看书：20+5=25（页）；
8 天后小华看书：20×（8－3）=100（页）；
　　　8 天后小明看书：25×8=200（页）。 答：8 天后小明看了 200 页，小华看了 100 页。
例 2 电视机厂有甲、乙两个装配车间，其中甲车间占两个车间

总人数的 11 ，因工作需要，从甲车间调出36人到乙车间，这时两个车间
20
人数正好相等，求甲、乙两个车间原来各有多少人？
条件：(1)甲车间占两个车间总人数的 11 ；
20
(2)从甲车间调出 36 人到乙车间； (3)这时两个车间人数正好相等。 问题：甲乙两个车间原来各有多少人？ 由此，我们可以得到下面三组等量关系： 甲车间原来的人数－甲车间后来的人数=36， (1) 甲车间原来人数－36=乙车间原有人数+36， (2)

两个车间总人数 ? 乙车间原有人数÷（1 ? 11 ）。
20


(3)

（设两车间的总人数为单位“1”） 经过比较，显然利用等量关系(1)来列方程较为简捷。 解：设甲乙两车间共有 x 人，于是
11 x ? 1 x ? 36，
20 2
1 x ? 36 ，
20
x=720（人）。
这样，甲车间原有人数：720 × 11 ? 396（人）；
　　　　　　　　　　　20
乙车间原有人数：720－396=324（人）。 答：甲车间原有 396 人，乙车间原有 324 人。
在利用等量关系列方程解题时，有时通过使用单位“1”法可找到最
巧妙的解法。下面我们再看一道工程问题。
　　例 3 有一项工程，由甲独做，需 12 天完成，丙独做，需 20 天完 成，由甲、乙、丙三人合做，需 5 天完成。如果这项工程由乙独做，还 需几天完成？
条件：(1)一项工程，由甲独做 12 天完成；
(2)丙独做 20 天完成； (3)甲乙丙合作 5 天完成。
由条件，我们首先易得到下面两组等量关系： 乙的工作效率=三人工作效率和－（甲+丙）的工作效率
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1) 乙的工作效率×工作时间=总工作量 (2) 然而，若我们通过巧用单位“1”的思路来看这道工程问题，还可以
找到更好的方法。
分析：设乙单独做这项工程 x 天可以完成。如果把全工程看作单位

1
“1”，那么乙每天完成这项工程的 。根据题意， < /PGN000150.TXT / PGN >
x

甲每天完成这项工程的 1
12

，丙每天完成这项工程的 1
20

。甲、乙、丙三人合作

一天完成这项工程的（ 1
12

1 1
? ?
x 20