14．从 1 到 100 万


大家对德国大数学家高斯小时候的一个故事可能很熟悉了。 传说他在十岁的时候，老师出了一个题目：1+2＋3+??+99+10O 的和是
多少？
老师刚把题目说完，小高斯就算出了答案：这 100 个数的和是 5050。 原来，小高斯是这样算的：依次把这 100 个数的头和尾都加起来，即 1
＋100，2＋99，3＋98，??，50＋51，共 50 对，每对都是 101，总和就是 101
×50=5050。
　　现在请你算一道题：从 1 到 1000000 这 100 万个数的数字之和是多少？ 注意：这里说的“100 万个数的数字之和”，不是“这 100 万个数之和”。 例如，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12 这 12 个数的数字之和就是
1+2＋3＋4+5＋6＋7＋8＋9＋1＋0＋1+1+1+2=51。
请你先仔细想想小高斯用的方法，会对你算这道题有启发。
分析与解 可以在这 100 万个数前面加一个“0”，再把这些数两两分组：
999999 和 0 999998 和 1
999997 和 2 999996 和 3
依此类推，一共可分为 50 万组，最后剩下 1000000 这个数不成对。 各组数的数字之和都是 9＋9＋9＋9＋9＋9=54，最后的 1000000 数字之
和是 1。
所以这 100 万个数的数字之和为：
（54×500000）+1=27000001

15.求数列的和


　　你能用巧妙的方法，求出下列算式的结果吗？注意，高斯求和的方法在 这里用不上。
　　
1 1 1 1

1 1 1

（1）

? ? ? ? ? ?

2 4 12

24 40

60 84

（2） 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?
3 15 35 63

2 2
?
99 143

　　分析与解 这是两道求数列和的计算题。巧算的方法与第 13 题类似，要 根据每个数列中各个数的特点，进行“拆分”，使拆分成的新数列的中间部 分互相抵消，从而达到“巧”算的目的。
　　

（1）原式 = (1 -

1 1
) + ( -
2 2

1 1
) + (
4 4

1 1
- ) + ( -
6 6

1 1
) + (
8 8

1 1
- ) + ( -
10 10

1 1 1
) + ( - )
12 12 14

1 1 1 1 1
= 1 - + - + - +
2 2 4 4 6

1 1 1 1
- + -
6 8 8 10

1 1 1 1
+ - + -
10 12 12 14

1 13
= 1 - =
14 14
（2）原式 = (1 - 1 ) ? ( 1 ? 1) ? ( 1? 1 ) ? ( 1 ? 1) ? ( 1 ? 1) ? ( 1 ? 1 )

3 3 5
1 1

5 7 7 9 9 1
1 1 1 1 1 1

11 13

?1? 1? 1? 1? ? ? ? ? ? ? ?

3 3 5 5 7
1 12

7 9 9

11 11 13

? 1 ? ?
13


13

16．不必大乘大除



下面这道计算题，按一般运算法则计算是很麻烦的。如果你能发现数字
的特点，采用巧算，则这道题将变得很容易。请你不要用纸和笔，用脑子想 一想，就得出答案，行吗？（限 10 秒钟）
1994
1994 ? 1994 ? 1995 ? 1993


分析与解 根据分母的数字特点，可用如下方法计算：
1994
1994×1994 ? 1995×1003
1994
?
1994 2 ? (1994 ? 1)×(1994 ? 1)
1994
?
1994 2 ? (1994 2 ? 1)
1994

? 1994 2 ? 1994 2 ? 1

? 1994



17．猜猜是几？

一个三位数，写在一张纸上，倒过来看是正着看的 1.5 倍，正着看是倒
过来看的 2 。这个三位数是几？
3
　　分析与解 这个三位数是 666。其实，只要你稍加思索，就可以想出来了。 这道题如果要求找一个一位数，那就是 6；找一个两位数，则是 66；找一个 四位数，则是 6666，??，依此类推。

18．完全数

如果整数 a 能被 b 整除，那么 b 就叫做 a 的一个因数。例如，1、2、3、
4、6 都是 12 的因数。有一种数，它恰好等于除去它本身以外的一切因数的

和，这种数叫做完全数。例如，6 就是最小的一个完全数，因为除 6 以外的 6 的因数是 1、2、3，而 6=1+2＋3。
你能在 20 至 30 之间找出第二个完全数吗？
分析与解 20 至 30 之间的完全数是 28。因为除 28 以外的 28 的因数是 1、
2、4、7、14，而 28=1＋2＋4＋7＋14。 寻找完全数并不是容易的事。经过不少数学家研究，到目前为止，一共
找到了 23 个完全数。第三、四个完全数是：
496=1+2+4+8＋16+31+62＋124+248
8128=1＋2＋4+8＋16＋32+64＋127+254＋508+1016＋2032+4064 奇怪的是，已发现的 23 个完全数是偶数，会不会有奇完全数存在呢？至
今无人能回答。完全数问题还是一个没有解决的问题。

19．有这样的数吗？


　　小明异想天开地提出：“世界上应该存在这样两个数，它们的积与它们 的差相等。”他的话音刚落，就引起了同学们的哄堂大笑，大家都觉得这是 不可能的。但是，世界上有些事情往往产生于一些怪想法。小明的想法，后 来竟被同学们讨论证实了。
你能找到这样的两个数吗？告诉你，这样的数还不止一对呢！
分析与解 下面举出几个两数的积等于两数的差的实例：
1 1 1 1 1
× ? ? ?
2 3 2 3 6
1 × 1 ? 1 ? 1 ? 1
4 5 4 5 20


2 2 2 2 4
? ? ? ?
5 7 5 7 35
3 3 3 3 9
× ? ? ?
4 7 4 7 28
同学们，你可再试着找一些。

20．两数的积与两数的和能相等吗？

数学课上，小明偶然发现 2×2=2＋2。下课后，小明问王老师：“2×2=2
＋2，这样两数的积等于两数的和的情况，还有吗？”王老师听后很高兴地拍 着小明肩膀说：“你能在数学学习中敏锐地发现问题，提出问题，这是很宝 贵的，希望你能保持这个优点。你提的问题在数学中不是偶然的现
象，还可以举出很多实例。例如，3×1 1 = 3＋1 1 ，甚至还有三个数的积
2 2
等于这三个数的和，四个数的积等于这四个数的和，五个数的积等于这五个 数的和。这些现象近似于数学游戏，有兴趣，你回去仔细想想，一定会找到 答案的。明天我们一起交换看法好吗？”小明听后高兴地接受了老师的建议。
同学们，你们能找出这样的数吗？ 分析与解 下面是部分例子。

两数积=两数和：
11×1.1=11+1.1

1
3×1
2
1

1
= 3＋1
2
1

4×1
3

= 4＋1
3

5×1 1
4

1
= 5 + 1
4



??
三数积=三数和：
　　1×2×3=1＋2＋3 四数积=四数和：
　　1×1×2×4=1+1＋2＋4 五数积=五数和：
1×1×1×2×5=1+1+1+2+5
1×1×1×3×3=1+1+1+3+3
　　1×1×2×2×2=1+1+2+2+2 其中，有关两数积=两数和的例子，可以找出无数组，请再找出一些。

21．老路行不通


五年级的时候，我们在数学课上就学习过计算与三角形有关的阴影部分 面积的方法。但下面这道题却无法用习惯的方法解答，需要另辟蹊径。这条 要走的“新路”所依靠的知识，仍然是最基本的：如果几个三角形的底和高 都相等，那么它们的面积也相等。






图 26
已知：在△ABC 中，BC=5BD，AC=4EC，DG=GS=SE，AF=FG。 求阴影部分的面积占△ABC 面积的几分之几？
　　分析与解 这道题看起来很像一道中学较复杂的几何求解题。其实，只 需要一些小学最基本的数学知识就可以解答了。
根据BC = 5BD，可以知道，△ABD的面积 = 1 △ABC的面积；根据AC
5


= 4EC，可以知道，△DEC的面积 =

1
△ADC的面积 =
4

1 4
× △ABC的
4 5

面积 = 1 △ABC的面积。依此类推，△ADG的面积 = 1 △ADE的面积 =

5
1
△ABC的面积；△FGE的面积 =
5

3
1
△ABC的面积。
5

阴影部分的面积占△FGE面积的 1 ，即占△ABC面积的 1 × 1 = 1 。
2 5 2 10


22．关键在于观察


　　你在数学课上学了不少几何图形的知识，掌握了不少平面图形的求面积 公式。但是有许多组合面积的计算，单靠这些知识是远远不够的，它更需要 对组合图形的观察能力。下面就是一道考查你的观察能力的题目。试试看， 你能很快做出来吗？
已知图内各圆相切，小圆半径为 1，求阴影部分的面积。






图 27
　　分析与解 按一般的解题规律，要求面积，首先得确定所求的是什么图 形，或是由什么图形组合而成。而本题构成阴影部分的图形，却是个不规则 的图形。但仔细观察，就能发现阴影部分是由两部分组成的：下面是一个小
的半圆，上面是大的半圆减去2个小圆和3个小半圆的剩余部分的 1 。由此
3

可得到以下解法：

阴影部分面积 =


π 1
? ×(
2 3


π ? 32
2


π
2π ? 3× )
2

π π
? ?
2 3
5
? π
6


23．一筐苹果

入冬前，妈妈买来了一筐苹果，清理时，发现这筐苹果 2 个、2 个地数，
余 1 个；3 个、3 个地数，余 2 个；4 个、4 个地数，余 3 个；5 个、5 个地数，
余 4 个；6 个、6 个地数，余 5 个。你知道这筐苹果至少有多少个吗？
分析与解 根据题目条件，可以知道，这筐苹果的个数加 1，就恰好是
2、3、4、5、6 的公倍数。而题目要求“至少有多少个”，所以，苹果的个 数应该是 2、3、4、5、6 的最小公倍数减去 1。
[2，3，4，5，6]=60
　　60-1=59 即这筐苹果至少有 59 个。

24．怎样分？

有 44 枚棋子，要分装在 1O 个小盒中，要求每个小盒中的棋子数互不相

同，应该怎样分？
分析与解 无法分。
因为要想使这 10 个小盒中的棋子数互不相同，至少可使这 10 个盒子中 的棋子数分别为 0、 1、2、3、4、5、6、7、8、9；这样共需要 45 枚棋子。 而实际只有 44 枚棋子，因此，必有两盒或两盒以上的棋子数相同。









图 28

25.不要急于动手

左图是一个正方形，被分成 6 横行，6 纵列。在每个方格中，可任意填
入 1、2、3 中的一个数字，但要使每行、每列及两条对角线上的数字之和各 不相同，这可能吗？为什么？
分析与解 不可能。
　　这是因为每行、每列和两条对角线都是由 6 个方格组成的，那么数字之 和最小是 1×6=6，数字之和最大是 3×6=18。要想使各行、各列及对角线上 的数字之和各不相同，只能出现 6、7、8、9、??、17、18 这 13 种数字和， 但实际却需要 6（行）＋6（列）＋2（对角线）=14 种不同的数字和。
由此可知，要达到每行、每列及两条对角线上的数字和各不相同是不可
能的。

26．数字小魔术


　　新年联欢会上，同学们一致要求教数学的王老师出一个节目。王老师微 笑着走到讲台前说：“我给你们表演一个数字魔术吧！”说完，王老师拿出 一叠纸条，发给每人一张，并神秘地说：“由于我教你们数学，所以你们脑 子里的数也听我的话。不信，你们每人独立地在纸条上写上任意 4 个自然数
（不重复写），我保证能从你们写的 4 个数中，找出两个数，它们的差能被
3 整除。” 王老师的话音一落，同学们就活跃起来。有的同学还说：“我写的数最
调皮，就不听王老师的话。”不一会儿，同学们都把数写好了，但是当同学 们一个个念起自己写的 4 个数时，奇怪的事果真发生了。同学们写的数还真 听王老师的话，竟没有一个同学写的数例外，都让王老师找出了差能被 3 整 除的两个数。
同学们，你们知道王老师数字小魔术的秘密吗？
　　分析与解 其实，同学们写在纸条上的数字并不是听王老师的话，而是 听数学规律的话。
　　因为任意一个自然数被 3 除，余数只能有 3 种可能，即余 0、余 1、余 2。 如果把自然数按被 3 除后的余数分类，只能分为 3 类，而王老师让同学们在
　　
纸条上写的却是 4 个数，那么必有两个数的余数相同。余数相同的两个数相 减（以大减小）所得的差，当然能被 3 整除。
　　王老师是根据数学基本性质设计小魔术的。所以，只要我们刻苦学习数 学，掌握规律，也会在数学王国中创造出魔术般的奇迹。

27．应该怎样称？


　　有 9 个外观完全相同的小球，其中只有一个重量轻一点儿。现在要求你 用一架天平去称，问你至少称几次，才能找出较轻的球？
　　如果是 27 个球、81 个球中只有一个较轻的球，你知道至少称几次才能 找出那个较轻的球吗？这里有规律吗？
分析与解 9 个球，至少称两次就可以找到那个较轻的球。 第一次：天平两侧各放 3 个球。
如果天平平衡，说明较轻的球在下面；如果不平衡，那么抬起 一侧的 3 个球中必有轻球。
第二次：从含有轻球的 3 个球中任选两个，分别放在天平两侧。如果平 衡，下面的球是轻的；如果不平衡，抬起一侧的球是轻的。
如果是 27 个球，至少需要称 3 次。
第一次：天平两侧各放 9 个球。
如果平衡，说明轻球在下面 9 个中；如果不平衡，抬起一侧的
　　　　9 个球中含有轻球。 第二次、第三次与前面所说 9 个球的称法相同。
在这种用天平确定轻球（或重球）的智力题中，球的总个数与至少称的
次数之间的关系是：若 3n＜球的总个数≤3n+1，则（n+1）即为至少称的次数。 例如，设有 25 个球，因为 32＜25＜33，所以至少称 3 次；
设有 81 个球，因为 33＜81=34，所以至少称 4 次。

28．最少拿几次？


　　晚饭后，爸爸、妈妈和小红三个人决定下一盘跳棋。打开装棋子的盒子 前，爸爸忽然用大手捂着盒子对小红说：“小红，爸爸给你出一道跳棋子的 题，看你会不会做？”小红毫不犹豫地说：“行，您出吧？”“好，你听着： 这盒跳棋有红、绿、蓝色棋子各 15 个，你闭着眼睛往外拿，每次只能拿 1 个棋子，问你至少拿几次才能保证拿出的棋子中有 3 个是同一颜色的？”
听完题后，小红陷入了沉思。同学们，你们会做这道题吗？
分析与解 至少拿 7 次，才能保证其中有 3 个棋子同一颜色。 我们可以这样想：按最坏的情况，小红每次拿出的棋子颜色都不一样，
但从第 4 次开始，将有 2 个棋子是同一颜色。到第 6 次，三种颜色的棋子各
有 2 个。当第 7 次取出棋子时，不管是什么颜色，先取出的 6 个棋子中必有
2 个与它同色，即出现 3 个棋子同一颜色的现象。 同学们，你们能从这道题中发现这类问题的规律吗？如果要求有 4 个棋
子同一颜色，至少要拿几次？如果要求 5 个棋子的颜色相同呢？

29．巧手摆花坛


学校门口修了一个正方形花坛，花坛竣工时，大队部在花坛旁挂出一块
小黑板，上面写着： “各中队少先队员：
　　花坛修好了，同学们都希望管理这个花坛。哪个中队的少先队员能做出 下面两道题，就请那个中队的少先队员负责管理这个花坛。
　　① 要在这个花坛的四周摆上 16 盆麦冬，要求每边都是 7 盆，应该怎样 摆？
　　② 还要在这个花坛四周摆上 24 盆串红，要求每边也是 7 盆，应该怎样 摆？”
同学们，你会摆吗？请你试试看。 分析与解 答案如下图：








图 29



30．填数（一）


请你把 1～8 这八个数分别填入下图所示正方体顶点的圆圈里，使每个面 的 4 个角上的数之和都相等。







图 30


　　分析与解 做这种填数游戏，有两种方法，一种是“笨”方法，即凑数 的方法。分别用这 8 个数去试，这种方法可行，但很费事。另一种方法是用 分析、计算的方法。这道题可以分析、计算如下：
　　在计算各个面上 4 个数的和时，顶点上的数总是分属 3 个不同的面，这 样，每个顶点上的数都被重复计算了 3 次。因此，各个面上 4 个数的和为 1～
8 这 8 个数的和的 3 倍，即（1＋2+3+?+8）×3=108。又因为正方体有 6 个 面，也就是每个面上的四个数的和应是 108÷6=18。18 应是我们填数的标准。 如果在前面上填入 1、7、2、8（如图 31），那么右侧面上已有 2、8，
其余两顶点只能填 3、5。以此类推，答案如图 31 所示。




31．算算这笔账


　　小明哥哥的个体商店里，同时放着甲、乙两种收录机，售价都是 990 元。 但是甲种收录机是紧俏商品，赚了 10％；乙种收录机是滞销品，赔了 10％。 假如今天两种收录机各售出一台，小明哥哥的商店是赚钱了还是赔钱了？若 赚了，则赚了多少？若赔了，则赔了多少？你会算这笔账吗？
分析与解 赚了 10％后是 990 元，原价是：
　　990÷（1＋10％）=900（元） 赔了 10%后是 990 元，原价是：
990÷（1-10%）=1100（元）
　　那么两台收录机，原来进价为 900＋1100=2000 元，现在卖了990×2=1980 元。
因此，这个商店卖出甲、乙两种收录机各一台，赔了 2000-1980=20 元。

32．“达标”的人数


3
有一所学校，男生有5% 的人体育“达标”，得了优秀。这所学校的
5
是男生；在全校“达标”获优秀的学生中， 3 是男生。问女生“达标”获
4
优秀的学生占全校学生总数的百分之几？
分析与解
3
根据已知条件，获体育“达标”优秀的男生占全校人数的 ×5%
5
3
= 。
100
3 1
根据获优秀的学生中， 是男生，则女生占 。即男生占3份，女生

4
占1份。所以，女生获优秀的占全校人数的


3
100

4
÷3 = 1
100



= 1%



33．谁得优秀？


　　六年级同学毕业前，凡报考重点中学的同学，都要参加体育加试。加试 后，甲、乙、丙、丁四名同学谈论他们的成绩：
甲说：“如果我得优，那么乙也得优。” 乙说：“如果我得优，那么丙也得优。” 丙说：“如果我得优，那么丁也得优。”

　　以上三名同学说的都是真话，但这四人中得优的却只有两名。问这四人 中谁得优秀？
　　分析与解 我们可以这样想：如果甲得优秀，那么乙、丙、丁都得优秀， 这与实际不符；如果乙得优秀，则丙、丁也得优秀，也与实际不符。因此， 只能丙、丁得优秀，才符合实际情况。
判断结果是：丙、丁得优秀。

34．排名次


　　学校举办排球比赛，进入决赛的是五（1）班、五（2）班、六（1）班、 六（2）班的代表队，到底谁得第一，谁得第二，谁得第三，谁得第四呢？
甲、乙、丙三人做如下的猜测： 甲说：“五（1）班第一，五（2）班第二。” 乙说：“六（1）班第二，六（2）班第四。” 丙说：“六（2）班第三，五（1）班第二。” 比赛结束后，发现甲、乙、丙三人谁也没有完全猜对，但他们都猜对了
一半。你能根据上面情况排出 1～4 名的名次吗？
分析与解 这类题用列表法进行推理比较简捷。

甲说 × √ 乙说 × √ 丙说 √ ×

上表第一行，是假设甲说的“五（1）班第一”是错的，“五（2）班第
二”是对的；由此推向乙、丙，因为“五（2）班第二”是对的，则乙说的“六
（1）班第二”就是错的，丙说的“五（1）班第二”也是错的，那么乙说的 “六（2）班第四”与丙说的“六（2）班第三都是对的，这显然矛盾。因此 可以断定，甲说的“五（2）班第二”是错的，而甲说“五（1）班第一”是 对的。进而我们用下表可推出正确结论来：

甲说 √ × 乙说 √ × 丙说 √ ×

推理过程是：甲说“五（1）班第一”是对的，丙说“五（1）班第二”
是错的；那么，丙说“六（2）班第三”是对的。由此又推出，乙说“六（2） 班第四”是错的，当然乙说“六（1）班第二”是对的。前三名已有了，第四 名只能是五（2）班了。

35． 要赛多少盘？


　　六年级举行中国象棋比赛，共有 12 人报名参加比赛。根据比赛规则，每 个人都要与其他人各赛一盘，那么这次象棋比赛一共要赛多少盘？
分析与解 一共要赛 66 盘。 要想得出正确答案，我们可以从简单的想起，看看有什么规律。

　　假如 2 个人（A、B）参赛，那只赛 1 盘就可以了；假如 3 个人（A、B、C） 参赛，那么 A—B、A—C、B—C 要赛 3 盘；假如 4 个人参赛，要赛 6 盘，??
于是我们可以发现：
2 人参赛，要赛 1 盘，即 1；
3 人参赛，要赛 3 盘，即 1+2；
4 个参赛，要赛 6 盘，即 1+2+3；
5 人参赛，要赛 10 盘，即 1+2+3+4；
??
那么，12 人参赛就要赛 1+2+3+??+11=66 盘。 我们还可以这样想：
　　这 12 个人，每个人都要与另外 11 个人各赛 1 盘，共 11×12=132（盘）， 但计算这总盘数时把每人的参赛盘数都重复算了一次，（如 A—B 赛一盘，B
—A 又算了一盘）,所以实际一共要赛 132÷2=66（盘)。

36．获第三名的得几分？


　　A、B、C、D、E 五名学生参加乒乓球比赛，每两个人都要赛一盘，并且 只赛一盘。规定胜者得 2 分，负者得 0 分。现在知道比赛结果是：A 和 B 并 列第一名，C 是第三名，D 和 E 并列第四名。那么 C 得几分？
分析与解 获第三名的学生 C 得 4 分。
　　因为每盘得分不是 2 分就是 0 分，所以每个人的得分一定是偶数，根据 比赛规则，五个学生一共要赛 10 盘，每盘胜者得 2 分，共得了 20 分。每名 学生只赛 4 盘，最多得 8 分。
我们知道，并列第一名的两个学生不能都得 8 分，因为他们两人之间比
赛的负者最多只能得 6 分，由此可知，并列第一的两个学生每人最多各得 6 分。
同样道理，并列第四的两个学生也不可能都得 0 分，因此他们两人最少
各得 2 分。
这样，我们可得出获第三名的学生 C 不可能得 6 分或 2 分，只能得 4 分。

37．五个好朋友


　　A、B、C、D、E 五个学生是同班的好朋友，其中有四人做课代表工作， 这四科是语文、数学、地理、历史。另一个人是中队长。
请你根据下列条件，判断出这五位同学各做什么工作。
（1）语文课代表不是 C，也不是 D；
（2）历史课代表不是 D，也不是 A；
（3）C 和 E 住在同一楼里，中队长和他们是邻居；
（4）C 问数学课代表问题时，B 也在一旁听着；
（5）A、C、地理课代表、语文课代表常在一起讨论问题；
（6）D、E 常到数学课代表家去玩，而中队长去的次数不多。
　　分析与解 A 是数学课代表，B 是中队长，C 是历史课代表，D 是地理课 代表，E 是语文课代表。
题中（1）、（2）是直接条件，而（3）～（6）就不像（1）、（2）那

样将条件直接写明。只要我们把（3）～（6）转换成直接条件，再把这些条 件填入下表，就会得到正确的判断。
　　条件（3）中，“C 和 E 住在同一楼里，中队长和他们是邻居”，这就是 说，中队长不是 C，也不是 E。条件（4）就是说，数学课代表不是 C 也不是 B。条件（5）就是说，地理课代表、语文课代表不是 A，也不是 C。条件（6） 就是说，数学课代表、中队长不是 D 或 E。
将以上（1）～（6）条件填入下表。

语文课代
表 数学课代
表 地理课代
表 历史课代
表 中队长 A ×(5) √ ×(5) ×(2) × B × ×(4) √ C ×(1)(5) ×(4) ×(5) ×(3) D ×(1) ×(6) ×(2) ×(6) E ×(6) ×(3)(6)

由上表纵着看到数学课代表是 A，画上“√”； A 就不可能是中队长了，
在相应位置上画上“×”；那么中队长一定是 B，画上“√”。既然 B 是中 队长，他就不是语文课代表了，在相应位置上画上“×”。再挨着看，C 是 历史课代表，D 是地理课代表。最后得出 E 是语文课代表。

38．过队日


　　六（1）中队共 43 名队员，他们到龙潭游乐园过中队日。中队长宣布， 大家只能参加“激流勇进”、“观览车”和“单轨火车”三种游乐活动。活 动结束时，中队长说：“根据今天参加游乐活动的情况我编了一道数学题： “全中队至少有多少人参加的活动完全相同？”
你能替六（1）中队的同学找到正确答案吗？
分析与解 全中队至少有 7 人参加的活动相同。 这是一道根据实际活动编得很有趣的数学题。解答这道题首先要弄明白
同学们参加游乐活动共有几种可能情况。我们把各种情况分别列出如下：
（1）只参加“激流勇进”；
（2）只参加“观览车”；
（3）只参加“单轨火车”；
（4）既参加“激流勇进”，又参加“观览车”；
（5）既参加“激流勇进”，又参加“单轨火车”；
（6）既参加“观览车”，又参加“单轨火车”；
（7）三种活动都参加。
由于可能的情况共有 7 种，去游乐场的有 43 名少先队员， 43÷7=6??
1（人），即如果每种可能的情况有 6 名队员参加的话，那么还余 1 名队员， 不管这 1 名队员参加活动属于哪种“情况”，则至少有 7 人参加的活动相同。

39.放硬币游戏

参加人：2 人，也可以有裁判 1 人。 用具：一张纸（方形、圆形都可以），1 分硬币若干枚。
　　游戏规则：①2 人轮流把硬币放在纸上，每人每次只放一枚；②放在桌 上的硬币不能重叠；③最后在纸上无处可放者为负。
　　同学们，要想在这个小游戏中取胜，只需应用几何中一个很简单的原理。 你知道怎样放才能保证在游戏中稳操胜券吗?
　　分析与解 这个游戏对参加的两个人来说是不平等的，如果知道了游戏 的奥妙，那么先放硬币的一方会稳操胜券。
　　游戏的奥妙是利用平面几何中的中心对称原理。先放者，首先抢占“对 称中心”，即纸的中心。然后，不论对方把硬币放在什么位置，你每次都根 据中心对称原理，把硬币放到对方硬币的对称位置上。这样，只要对方有地 方放，你就必定有放的地方，直到你占满最后一处空白，逼得对方无处可放， 你就获胜了。

40．一本书的页数

我们知道印刷厂的排版工人在排版时，一个数字要用一个铅字。例如
15，就要用 2 个铅字；158，就要用 3 个铅字。现在知道有一本书在排版时， 光是排出所有的页数就用了 6869 个铅字，你知道这本书共有多少页吗？（封 面、封底、扉页不算在内）
分析与解 仔细分析一下，页数可分为一位数、两位数、三位数、??。
一位数有 9 个，使用 1×9=9 个铅字； 两位数有（99-9）个，使用 2×90=180 个铅字；
三位数有（999-90-9）个，使用 3×900=2700 个铅字；
依此类推。
我们再判断一下这本书的页数用到了几位数。因为从 1 到 999 共需用 9
＋2×90+3×900=2889 个铅字，从 1 到 9999 共需用 9＋2×90＋3×900＋4×
9000=38889 个铅字，而 2889＜6869＜38889，所以这本书的页数用到四位数。 排满三位数的页数共用了 2889 个铅字，排四位数使用的铅字应有
6869-2889=3980（个），那么四位数的页数共有 3980÷4=995（页）。因此
这本书共有 999+995=1994（页）。

41．重要的是能发现规律


　　学习数学，重要的不是会做几道题，而是通过学习，学会总结规律、使 用规律，最终培养出一种能独立发现和总结规律并应用规律去解决实际问题 的能力。
　　下面有一道题，就是检查你是否具备这方面能力的。不过，在正式做题 前，先复习一下有关的知识。
一个三位数，例如 256，可以表示成：
100×2+10×5+6。
一个任意三位数abc（通常表示几位数时就在这几个字母上面画一条
横线）也可以表示成:
100a＋10b+c

一个任意四位数abcd也可以表示成：
1000a＋100b＋10c＋d
好了，现在请做下面的题。
　　有一个四位数，减掉它各位数字的和得到 19※2，你能准确地判断出※ 表示的数字是几吗？
　　解答这道题，当然可以用分析、推理等方法，但希望你能发现规律，并 利用规律来巧解这道题。
分析与解 ※表示 6。 在解答这道题的过程中，不知你是否发现这样一个规律：不管是一个两
位数、三位数或四位数??，减去它的各个数位上数字之和所得的差，必定
是 9 个的倍数。这个规律的证明，简述如下：
一个四位数abcd，可以表示成：1000a＋100b + 1Oc＋d。它
与它的数字之和的差为
1000a+100b+10c+d-（a+b+c+d）
=（1000a-a）+（100-b）+（10c- c）+（d-d）
=999a+99b+9c
=9（111a+11b+c） 因为这个差是“9”与一个算式（其计算结果是整数）的乘积，所以这个
差必定能被 9 整除。（其他位数的数的证明与此相同，从略）。
解答上面这道题，我们可以根据条件这样想：1+9+2=12，12 比 9 的 2 倍
少 6，比 9 的 3 倍少 15，因为※表示的是一个数字，所以※表示的只能是 6。

42．填数（二）

右图中的大三角形被分成 9 个小三角形。试将 1、2、3、4、5、6、7、8、
9 分别填入 9 个小三角形中，每个小三角形内只填一个数。要求靠近大三角 形每条边的 5 个小三角形内的数相加的和相等，并且使五个数的和尽可能 大，请问该怎样填？如果使五个数的和尽可能小，又该怎样填？




图 32
　　分析与解 靠近大三角形三条边的 5 个数的和尽可能大的填法如图 33 中 的左图；使 5 个数的和尽量小的填法如图 33 中的右图。
把靠近大三角形三条边的 5 个数都加起来，就会发现，除每边靠中间的
那 三 个 数 外 ， 其 余 的 数 都 重 复 相 加 了 两 次 。 要 想





图 33
使靠近大三角形每条边的 5 个数的和相等，并且使和尽可能大，那么靠近各 边中间的这三个数就应该尽量小，当然应该填 1、2、3。这时每条边的 5 个 数之和为
［2×（1+2+3+ ??+9）-1-2-3]÷3=28

　　同理，要使靠近大三角形三条边的 5 个数的和相等，并且使和尽可能小， 则靠近各边中间的这三个数就应该尽量大，即这三个数应是 7、8、9。这时 每条边的 5 个数之和为
［2×（1+2+3+ ??+ 9）-7-8-9]÷3=22

43．换个角度想

在所有的三位数中，有很多数能同时被 2、5、3 整除，那么不能同时被
2、5、3 整除的三位数的和是多少？ 要解答这个问题，最好换个角度想。
　　分析与解 解答这道题时，要是把不能同时被 2、5、3 整除的三位数都 挑出来，再进行计算，那就太费时间了。
　　因为在三位数中，能同时被 2、5、3 整除的数的个数是不多的，这样我 们只要从所有的三位数的总和中减去能同时被 2、5、3 整除的数的和，得到 的就是不能同时被 2、5、3 整除的数的总和。
能同时被 2、5、3 整除的三位数是：120、150、180、210、??、960、
990。


以上是一个公差为30的等差数列，共有

(120 ? 990)×30

990 ? 120
30


+ 1 = 30(项），这些

数的总和是
2

= 16650。

所有的三位数共有999 - 100 + 1 = 900（个），它们的总和是 (100 ? 999)
2
= 494550。
因此，不能同时被 2、5、3 整除的三位数的总和是 494550-16650=477900。

44．从后往前想


　　明明和华华各有铅笔若干支，两个人的铅笔合起来共 72 支。现在华华从 自己所有的铅笔中，取出明明所有的支数送给明明，然后明明又从自己现在 所有的铅笔中，取出华华现有的支数送给华华，接着华华又从自己现在所有 的铅笔中，取出明明现在所有的支数送给明明。这时，明明手中的铅笔支数 正好是华华手中铅笔支数的 8 倍，那么明明和华华最初各有铅笔多少支？
　　分析与解 有些数学题，如果顺着思考不易找到答案，往往从后往前想 比较方便，即从已知条件倒推回去，找出答案来。
　　根据这道题的已知条件可知，无论明明取多少支铅笔给华华，还是华华 取多少支铅笔给明明，两人所有的铅笔总支数（72 支）是不变的；又知道最 后明明手中铅笔的支数是华华手中铅笔支数的 8 倍。这样我们可以求出最后 两人手中铅笔的支数。
华华最后手中铅笔的支数是：
　72÷（8＋1）=8（支） 明明最后手中铅笔的支数是：
　8×8=64（支） 接着倒推回去，就可以求出两人最初各有铅笔多少支了。
　
答案是：明明最初有铅笔 26 支，华华最初有铅笔 46 支。

45．缺少条件吗？

红光小学六年级共有学生 210 多人。期末考试成绩得优的占全年级人数

的 1 ，得良的占全年级人数的 2 ，得中的占全年级人数的

7 ，其余的不及

2 9 27
格。问不及格的有几人？
　　分析与解 题中没有给出六年级学生到底有多少人，缺少这一条件，还 能解答这道题吗？
我们知道，由于各档次成绩的人数一定是整数，所以全年级的人数一定

是 1 、 2 、

7 这几个分数分母的公倍数。2、9 、27的公倍数有54、108 、

2 9 27
162、216、270、??，题中告诉我们六年级共有学生 210 多人，在上面这些 公倍数中，靠近 210 的是 216，显然全年级共有 216 人。于是不及格的人数 是：

216×（1 - 1 - 2
2 9

- 7 ） = 4 （人）
27



46．丢番图的墓志铭



古希腊的大数学家丢番图，大约生活于公元前 246 年到公元 330 年之间，
距现在有二千年左右了。他对代数学的发展做出过巨大贡献。 丢番图著有《算术》一书，共十三卷。这些书收集了许多有趣的问题，
每道题都有出人意料的巧妙解法，这些解法开动人的脑筋，启迪人的智慧，
以致后人把这类题目叫做丢番图问题。 但是，对于丢番图的生平知道得非常少。他唯一的简历是从《希腊诗文
集》中找到的。这是由麦特罗尔写的丢番图的“墓志铭”。“墓志铭”是用
诗歌形式写成的： “过路的人！ 这儿埋葬着丢番图。 请计算下列数目，
便可知他一生经过了多少寒暑。 他一生的六分之一是幸福的童年， 十二分之一是无忧无虑的少年。 再过去七分之一的年程， 他建立了幸福的家庭。 五年后儿子出生， 不料儿子竟先其父四年而终， 只活到父亲岁数的一半。 晚年丧子老人真可怜， 悲痛之中度过了风烛残年。 请你算一算，丢番图活到多大，

才和死神见面？” 请你算一算，丢番图到底活到多少岁？ 分析与解

丢番图的墓志铭中出现的分数 1 、

1 、 1 、 1 都是以丢番图的年龄

6 12 7 2
作为单位“1”的，因此，他的年龄一定是这几个分数分母的公倍数。6、12、
7、2 的公倍数有 84、168、252、??。丢番图不可能活到 168 岁或更大的年 龄，因此得出丢番图活到 84 岁。

47．丢番图的趣题

下面是丢番图出的一道题：
　　今有四数，取其每三个而相加，则其和分别为 22、24、27 和 20。求这 四个数各是多少？
　　分析与解 如果设其中某个数为 x，则其他三个数很难用 x 的式子表示出 来。丢番图的作法十分巧妙，他设四个数之和为 x，则这四个数分别为 x-22，
x-24，x-27，x-20。列方程
（x-22）+（x-24）+（x-27）+（x-20）=x
解得 x=31
31-22=9，31-24=7，
31-27=4，31-20=11， 即这四个数分别为 9、7、4、11。

48．真是没想到！


出题前，先讲个小故事。 传说在很久以前，印度有个叫塞萨的人，为了能使国王忘掉战争，精心
设计了一种游戏（国际象棋）献给国王。国王对这种游戏非常满意，决定赏
赐塞萨。国王问塞萨需要什么，塞萨指着象棋盘上的小格子说：“就按照棋 盘上的格子数，在第一个小格内赏我 1 粒麦子，在第二个小格内赏我 2 粒麦 子，第三个小格内赏 4 粒，照此下去，每一个小格内的麦子都比前一个小格 内的麦子加一倍。陛下，把这样摆满棋盘所有 64 格的麦粒，都赏给我吧。” 国王听后不加思索就满口答应了塞萨的要求。但是经过大臣们计算发现，就 是把全国一年收获的小麦都给塞萨，也远远不够。国王这才明白，塞萨要的， 是国王放弃战争，发展生产，改善人民生活。
我们来计算一下，塞萨要的小麦到底是多少？原来聪明的塞萨巧妙地利
用了数学中的乘方。棋盘上共有 64 格，按塞萨的要求，应付给他 264-
1=18446744073709551615 粒小麦，约合 5 千多亿吨。这个数字大得惊人，古 代印度那个国王，怎么能付得出来？
下面有一道类似的题：
“把一张厚度仅有 0.05 毫米的纸，对折 30 次后，它的厚度是多少？” 请你算算，看你想到了没有？
分析与解 把一张厚度为 0．05 毫米的纸对折 30 次，厚度为 0．05×230
≈53．69 千米。


49．黑蛇钻洞（印度古题一）

古代印度的许多算术题是很有趣的，比如：
一条长 80 安古拉（古印度长度单位）的强有力的、不可征服的、极好的

黑蛇，以 5

天爬7 1 安古拉的速度爬进一个洞；而蛇尾每 1 天长 11 安古拉

14 2 4 4
。请你算一算，这条大蛇多少天全部进洞？
分析与解 黑蛇不断往洞里爬，蛇尾也不停地向后长，要求出黑蛇全部 爬进洞的时间，可先分别求出黑蛇向洞里爬行的速度和蛇尾生长的速度：
　　
黑蛇爬行的速度7

1 5
÷
2 14


= 21

蛇尾生长的速度11 ÷ 1 = 11
4 4
二者的速度差=21-11=10 全部进洞的时间=80÷10=8（天）

50．芒果总数（印度古题二）


1 1
有一堆芒果，国王取 ，王后取余下的 ，三个王子分别取逐次余下
6 5
的 1 、 1 和 1 ，最年幼的小孩取剩下的三个芒果。请你求出芒果的总
4 3 2

数是多少个。
分析与解




1 1 1 1

设芒果总数为1，那么国王取 ；王后取余下的 ，即(1- ) × =

6
1 1 1 1

5 6 5
2 1 1

；三个王子分别取逐次余下的 、 和 ，即（1- ）×

= ，（1 -

6 4 3 2
3 ）× 1 = 1 ，(1 - 4) × 1 = 1 。

6 4 6

6 3 6

6 2 6
1 5

国王、王后和三个王子都取得了总数的 ，合在一起为 。这样小孩
6 6
1
得到的也是总数的 。因此，芒果总数为
6
3÷ 1 = 18（个）
6


51．托尔斯泰的算题（一）


　　托尔斯泰是 19 世纪末俄国的伟大作家。他对算术也很有兴趣，还写过算 术课本。他特别喜欢表面复杂，但却有简便方法解答的算题。
下面就是托尔斯泰非常喜欢的“割草人”算题： “一队割草人要收割两块草地，其中一块比另一块大 1 倍。全队在大块

草地上收割半天之后，分为两半，一半人继续留在大块草地上，到傍晚时把 草割完；另一半人到小块草地上割草，到傍晚还剩下一小块没割。剩下的一 小块要第二天 1 个人用 1 整天才能割完。
问割草队共有几人？”
　　分析与解 托尔斯泰本人是怎样解算这道题的呢？他认为，既然大块草 地上割草队全体割了半天，接着全队的一半人又割了
半天。很明显，这一半人在半天内收割了大块草地的 1 。另一方面，小块
3
1
草地相当于大块草地的 。以大块草地为1，那么在小块草地上，半队人
2
割了半天后剩下的草地为 1 - 1 = 1 。而这剩下的 1 ，一个人一天割完了
2 3 6 6
1
，这说明一个人割草的效率为一天割大草地的 。
6

1
大、小草地合起来是1＋
2

3 3 1 8
= ，割草队割了一天总共割了 - =
2 2 6 6

1
= ×8，说明割草队共有8人。
6
　　托尔斯泰的解算十分巧妙，说明他算术功底很深。托尔斯泰还很注重算 术题的直观解法。如下图，左边代表大块草地，右边代表小块草地，小块草
地是大块草地的一半。一个人一天割了 1 ，因此，每个正方形都代表两个
6
人一天所割的草。第一天一共割了四个正方形，说明割草队共有 8 个人。








图 34



52．托尔斯泰的算题（二）


托尔斯泰喜欢的另一道算题是： 木桶上方有两个水管。若单独打开其中一个，则 24 分钟可以注满水桶；
若单独打开另一个，则 15 分钟可以注满。木桶底上还有一个小孔，水可以从 孔中往外流，一满桶水用 2 小时流完。如果同时打开两个水管，水从小孔中 也同时流出，那么经过多少时间水桶才能注满？
分析与解 当两个水管打开时，从一个水管 1 分钟注入的水占木桶容积

1 1
的 ，从另一个水管1分钟注入的水占木桶容积的 ；而1分钟从小孔流
24 15
1
出的水为木桶容积的 。因此，
120
1 1 1 1
? ? ?

24 15

120 10
1

即1分钟木桶中积有的水为木桶容积的 。
10
1÷ 1 = 10（分）
10
所以，经过 10 分钟水桶才能注满。

53．爱因斯坦编的问题


　　很多科学家都喜欢用一些有趣的数学问题来考察别人的机敏和逻辑推理 能力。这里有一道著名物理学家爱因斯坦编的问题：在你面前有一条长长的 阶梯。如果你每步跨 2 阶，那么最后剩下 1 阶；如果你每步跨 3 阶，那么最 后剩 2 阶；如果你每步跨 5 阶，那么最后剩 4 阶；如果你每步跨 6 阶，那么 最后剩 5 阶；只有当你每步跨 7 阶时，最后才正好走完，一阶也不剩。
请你算一算，这条阶梯到底有多少阶？
分析与解 分析能力较强的同学可以看出，所求的阶梯数应比 2、3、5、
6 的公倍数（即 30 的倍数）小 1，并且是 7 的倍数。因此只需从 29、59、89、
119、??中找 7 的倍数就可以了。很快可以得到答案为 119 阶。

54. 苏步青教授解过的题


　　我国著名数学家苏步青教授，有一次到德国去，遇到一位有名的数学家， 在电车上出了一道题目让苏教授做。这道题目是：
甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是 50 千米。甲每小时走 3
米，乙每小时走 2 千米，甲带着一只狗，狗每小时跑 5 千米，这只狗同甲一 起出发，碰到乙的时候它就掉头往甲这边跑，碰到甲时又往乙这边跑，碰到 乙时再往甲这边跑??，直到甲、乙二人相遇为止。问这只狗一共跑了多少 路？
　　苏步青教授略加思索，未等下电车，就把正确答案告诉了这位德国数学 家。
　　请你也来解答这道数学题，题目虽不太难，但要认真思考，才能找到解 题的“窍门”。
　　分析与解 这个问题看起来很复杂，其实却是出人意料的简便。因为每 小时甲走 3 千米，乙走 2 千米，所以甲乙二人相遇共走了 10 小时，这表明狗 也跑了 10 小时，因此狗一共跑了 50 千米。

55．农妇卖鸡蛋

从前，有一个农妇提了一篮鸡蛋去卖。甲买了全部鸡蛋的一半多半个；

乙买了剩下鸡蛋的一半多半个；丙又买了剩下的一半多半个；丁买了最后剩 下的鸡蛋的一半多半个。这样，鸡蛋刚好卖完。
你知道农妇的一篮鸡蛋共有几个吗？
　　分析与解 由于丁买了最后剩下的一半多“半个”，鸡蛋刚好卖完，这 说明最后剩下鸡蛋的另一半就是那“半个”鸡蛋。可见，
丙买了后，篮子里只剩 1 个鸡蛋
1

乙买后剩下：（1 +

甲买后剩下：（3 +

）×2 = 3（个）
2
1
）×2 = 7（个）
2

农妇的一篮鸡蛋总数为（7 + 1 ）×2 = 15（个）
2


56．各有多少钱？


　　兄弟俩到商店去买东西。妈妈问哥哥：“你带多少钱？”哥哥说：“我 和弟弟一共带 240 元，如果弟弟给我 5 元，那么我的钱数就比弟弟的钱数多 一倍了。”妈妈又问弟弟：“你带了多少钱呢？”弟弟回答说：“如果哥哥 给我 35 元钱，那么我的钱数就和哥哥的一样多了。”妈妈听了以后，还弄不 清哥哥和弟弟到底各带多少钱。你能弄明白吗？
分析与解 哥哥给弟弟 35 元后各有钱：240÷2=120（元）
哥哥带的钱数：120+35=155（元） 弟弟带的钱数：120-35=85（元）

57．河边洗碗


　　有一名妇女在河边洗刷一大摞碗，一个过路人问她：“怎么刷这么多 碗？”她回答：“家里来客人了。”过路人又问：“家里来了多少客人？” 妇女笑着答道：“2 个人给一碗饭，3 个人给一碗鸡蛋羹，4 个人给一碗肉， 一共要用 65 只碗，你算算我们家来了多少客人。”
分析与解 题目给出了碗的总数，以及客人和碗的关系。如果能求出每
人占用多少只碗，那么就可以求出客人的数目了。
2个人给一碗饭，每人占 1 只碗；
2
1
3个人给一碗鸡蛋羹，每人占 只碗；
3
4个人给一碗肉，每人占 1 只碗；
4


合起来，每人占（

因此，客人数为

1 1 1
+ +
2 3 4


）只碗；

65÷（ 1
2

+ 1 + 1 ） = 60(人）)
3 4

58．是谁错了？


小明看见哥哥的练习本上抄着一道加法题，越看越奇怪，题目是这样写 的：



小明认为这道题错了，到底是谁错了呢？
　　分析与解 这道加法题并没有错，原因是我们已经习惯于十进位制，也 就是逢十进一。这里却是八进位制，也就是逢八进一。
　　从右数第一位，5+5 等于十（不是 10），由于满八就进一位，只剩下 2， 所以第一位是 2；第二位数字 0＋7=7，加上刚才进位的 1，又满八，于是进 到第三位，而第二位的得数写 0；第三位等于 2+7+1，满八进一，所以向第四 位进一，第三位得 2；第四位等于 3＋4+1，又向第五位进一，第四位得 0。 所以最后结果是 10202。

59．各放多少发子弹？


　　小张是某部队武器库保管员，他将 1 千发子弹分放在 10 个盒子里，一旦 需要，只需告诉他 1000 以内所需子弹数，他都可以拿出若干个盒子，凑出所 需的子弹数，而不必打开盒子去数子弹。请问小张在 10 个盒子里各放了多少 发子弹？
分析与解 十进制数中的 1、2、4、8、16、32、64、128、256 分别是二
进制数 1、10、100、1000、10000、100000、1000000、10000000、100000000， 这九个二进制数码可以组成 1 到（111111111）2 的任何一个二进制数。于是
用 1、2、4、8、16、32、64、128、256 这九个十进制数中的数相加，可以得
到 1 到 511 中的任何一个十进制的数。所以保管员在九个盒子中分别装入 1、
2、4、8、??、256 发子弹共 511 发，剩下的 489 发装在第十个盒子里。如 果需要的子弹数小于或等于 511 发，那么就可以由前九个盒子中挑选出若干 盒子来满足。如果需要的子弹数大于 511 发，那么可先取第十盒中的 489 发 子弹，其余的由前九盒中的若干盒来满足。

60．逢四进一

通常我们用的数的进位制是十进制，即逢十进一。它有十个数字：0、1、
2、??、9。下面的算式用的不是十进制，而是四进制——即逢四进一。它 有四个数字：0、1、2、3。在这个算式中，字母 A、B、C、D 分别代表 0、1、
2、3 中的某一个数字。



请问按此算式，字母 A、B、C、D 各代表什么数字？
分析与解 在四进制中，加法运算是这样进行的：
0+0=0 0+1=1 0+2=2 0+3=3
1+1=2 1＋2=3 1+3=10
2+2=10 2+3=11

3+3=12 现在我们可以根据上述运算结果来确定算式中的数字。
　　由于和的首位 B 是由进位而得的，而 A＋C 最大只能是 11，因此不管下 一位 B＋B 是否进位，A＋C 只能进位 1，从而得 B=1；将 B=1 填入后，立即可
得 D=0。现在 A 和 C 只能在 2 和 3 中取，但不论 2＋3 还是 3＋2 都会进位 1， 所以 C=B＋B＋1=1＋1＋1=3，于是 A=2。
原算式为


61．交叉公路


　　有两条公路成十字交叉，甲从十字路口南 1350 米处往北直行；乙从十字 路口处向东直行。二人同时出发，10 分钟后，二人离十字路口的距离相等； 二人仍保持原速继续直行，又过了 80 分钟，这时二人离十字路口的距离又相 等。求甲、乙二人的速度。
　　分析与解 甲从十字路口南 1350 米处往北直行，乙从十字路口处向东直 行，同时出发，10 分钟后二人离十字路口距离相等，说明甲、乙二人 10 分 钟共行了 1350 米，于是可以求出二人每分钟的速度和。又知道，二人继续行
走 80 分钟，即从出发各行 90 分钟，二人离十字路口距离又相等，说明甲、
乙二人 90 分钟行走的路程之差是 1350 米。于是又可以求出二人每分钟的速 度差，进而求出甲、乙各自的速度。
1350÷10=135（米）
1350÷（10+80）=15（米） 甲的速度是：（135+15）÷2=75（米） 乙的速度是：（135-15）÷2=60（米）
即甲的速度是每分钟 75 米，乙的速度是每分钟 60 米。

62．何时追上乙？


　　甲、乙二人步行速度比是 13∶11。如果甲、乙二人分别从 A、B 两地同 时出发，相向而行，0．5 小时相遇，那么甲、乙二人分别从 A、B 两地同向 而行，几小时后甲追上乙？
　　分析与解 我们先假设 A、B 两地间的路程为 1，那么甲、乙二人每小时 的速度之和是：1÷0.5=2
13 11
2 × ＝
13 ? 11 12
1 11
2 - 1 -
12 12
1 11
1÷(1 - )
12 12
= 1÷ 1
6
= 6（小时）

即 6 小时后甲追上乙。


63．流水行船


　　一只小船，第一次顺水航行 20 千米，又逆水航行 3 千米，共用了 4 小时； 第二次顺水航行了 17．6 千米，又逆水航行了 3．6 千米，也用了 4 小时。求 船在静水中的速度和水流速度。
分析与解 比较两次航行的航程可知：在相同的时间内，顺水可航行
20-17．6=2．4 千米，逆水可航行 3．6-3=0．6 千米。于是求出在相同时间 内顺水航程是逆水航程的 2．4÷0．6=4 倍。那么顺水行的航速也就是逆水行 的航速的 4 倍，进而求出顺水与逆水的航速。
顺水航速为每小时：（20+3×4）÷4=8（千米） 逆水航速为每小时：（20÷4＋3）÷4=2（千米） 船在静水中的速度为每小时
　（8+2)÷2=5（千米） 水流速度为每小时
（8-2）÷2=3（千米）
即船在静水中的速度为每小时 5 千米，水流速度为每小时 3 千米。

64．粗心的钟表匠


　　小王师傅是钟表店的新职工，由于工作不安心，时常出问题。有一次， 他给学校修理一只大钟，竟然把长短针装配错了。这样一来，短针走的速度 变成了长针的 12 倍。装配的时候是下午 6 点，他把短针指在“6”上，长针 指在“12”上。小王装好后，就回家了。
学校值班老师看到这大钟一会儿 7 点，一会儿 8 点，十分奇怪，立刻派
人去找小王师傅。小王师傅在第二天上午 7 点多钟才来到，他掏出标准表一 看，表和大钟的时间一样，说学校故意找他的麻烦，气乎乎地回家了。小王 走后，老师发觉大钟还是不对头，又通知小王来。下午 8 点多，小王又来到 学校，与标准表一对，仍旧准确无误。
请你想一想，小王第一次来校对表的时刻是上午 7 点几分？第二次对表
的时刻又是下午 8 点几分？
　　分析与解 这个问题的关键是只有两针成为一条直线时，大钟所指的时 间才是准确的。在 6 点，两针成一直线，这是小王装配指针的时间。以后每
　　
增加1小时5 5
11

分，两针再成一直线。我们知道，两指针走动的相对关系

，每隔 12 小时一循环，所以在第二天上午 6 点和下午 6 点，短针和长针也是 分别指在“6”上和“12”上，因此，在第二天上午 7 点以后，两针成一直
线的时间是7 点5 5 分；而在下午8点后，两针成一直线的时间是8点10 10 分
11 11
。这也就是小王两次来校对表的时刻。




65.分针、时针追跑


你注意过钟面上的时、分、秒 3 根针的运动特点吗？这 3 根针，每时每
刻都处在你追我赶之中。秒针追分针、分针追时针??，永不停息。请问从 早晨 8 点开始，当分针第一次与时针重合时，是几点几分？
分析与解 这道题是典型的钟面问题。解答这类题有以下几个关键问题：
1
（1）分针的速度：每分钟走 钟面周长（1格）；
60

（2）时针的速度：每分钟走

1
60 ? 12

钟面周长（ 1
12

格）；

（3）分针与时针由不重合到重合，表示分针追及时针，它们之间的速

度差为 1 ?
60

1
720

或1 ? 1
12

11
? （格）；
12

　　（4）计算开始时的距离即两针相差多少格，本题的距离为 40 格（按分 针顺时针方向到时针的距离）。
弄清以上问题，根据追及问题的数量关系：
距离 40 7

追及时间 ? ? ? 43

( 分)

速度差

11 11
12

所以，从早晨8点开始，分针与时针第一次重合的时刻是8 点43 7 分。
11

66．弄通情境


　　骑车人以每分钟 300 米的速度，从 102 路电车始发站出发，沿 102 路电 车线前进。骑车人离开出发地 2100 米时，一辆 102 路电车开出了始发站。这 辆电车每分钟行 500 米，行 5 分钟到达一站并停 1 分钟，那么要用多少分钟， 电车追上骑车人？
分析与解 电车行驶 5 分钟到达一站，停车 1 分钟，电车可行驶
500×5=2500（米）而骑车人可行
300×（5＋1）=1800（米）
根据题意，电车要追赶骑车人 2100 米，这时可不能误认为追赶 2100÷
（2500-1800）=3 个（5＋1）分钟即 18 分钟追上骑车人。因为求得的 18 分 钟，恰是电车停车的那 1 分钟时间里，所以是不可能追上的。
电车开离第二个站时，已追赶了骑车人
　[500×5-300×（5＋1）]×2=1400（米） 这时电车离骑车人还有：
　2100-1400=700（米） 那么再行
　　　700÷（500-300）=3．5（分钟） 即可追上骑车人。
这样电车前后共用了
　　　（5＋1）×2＋3．5=15．5（分钟） 即要用 15．5 分钟电车追上骑车人。
说明：这是一道复杂的追及问题，题中要求追及时间，同学们计算时往

往认为是 18 分钟追上。这种思考方法错了，忽视了最后追及的“6 分钟”路 程实际电车只行了 5 分钟，最后一分钟是停下来的；如果不停这一分钟，电 车又可向前走 500 米，即电车超前骑车人 500 米，超前这 500 米要用 500÷
（500-300）=2．5（分钟）。这样从 18 分钟内减去 2．5 分钟，也能得出正 确答案是 15．5 分钟。

67．预定时间

某人从甲地到乙地按预定的时间和速度行了甲、乙两地
2 1
路程的 ，在余下的路程上，他行走的速度增加 ，行走的时间每天减少
3 9
1 ，结果他从甲地到乙地共行了16天。那么原定从甲地到乙地要行多少天
4
？
分析与解
某人行走余下的路程，速度增加 1 ，行走时间减少 1 ，那么他1天行
9 4
1 1 5