将等式两端各除以 4，得：
④□＋○＋△＝11 将④式与①对照，用①－④得：
○＝2

将②－④，得：

将③－④，得：

把数字代入算式，验证无误。


△＝3

□＝6

　　例 18 下式中“○”和“△”各代表一个什么数字，两个相关联的等式 才能成立？
① ○＋○＋○＋△＋△＝41
② △＋△＋△＋○＋○＝39
　　解：认真观察后发现：①式是三个“○”加二个“△”和为 41，②式是 三个△加二个“○”和为 39，①式的和比②式多 2。为什么会多 2 呢？因为
①式与②式的区别只将“○”换成了“△”，可知“○－△＝2”。①式中含 二个“△”若都换成“○”，必须增加“2＋2＝4”，这样和就是 41＋4＝45。
由此可知：
“○＝（41＋4）÷5＝9” “△＝9－2＝7” 想一想，还可以怎么解？
例 19 下式中梨、苹果、小刀各代表什么数，等式才能同时成立？

解：这是个物品符号谜。实际与文字符号是相似的。 将三个算式相加得：
















例 20 下面三式中“□、☆、△”各代表什么数字，等式能同时成立？
①□＋△＝15
②△－□＝1


解：这是个图形符号谜。

③☆－□＝2

①＋②得：2△＝15＋1＝16


“△＝8”

由“△＝8”，代入②式得：“□＝7” 由“□＝7”，代入③式得：“☆＝9”
例 21 下面的式题中，“□”各代表一个数字，它们各应是什么数，纵 横等式才能成立？











　　解：这样的问题难度较大，因为填数时不仅要考虑横式成立，还要考虑 所填的数使纵式也能成立。可以先从和中较小的数进行尝试，如 5 只能是 1、
1、3 或 2、2、1 两种组合的可能，参照纵式的和，把不合适的舍去，逐步调
整，便可找到答案。


例 22 观察图形变化规律，把最后的图补上：










解：题中画的虽是图形，实则却是数学问题。认真观察后发现，相邻的
1
两个图的图形个数，后边的总是前边的 。它的排列顺序是：8、4、2、
2
1
1、 、 ?
2
我们知道： 1 的 1 是 1 × 1 ＝ 1 。
2 2 2 2 4


例 23 观察图形变化规律，把最后的图补上。
解：题中共有三种图形：圆、六边形、三角形。
①从每一横行都应有三种图形，可以推出方框内应填正六边形。
②圆上的斜线是三条→一条→两条，三角形上的斜线是二条→三条→一 条，由此推知，六边形上的斜线是一条→二条→三条。






妙题巧解

在学习生活中，每天都少不了计算。计算就是与阿拉伯字码打交道。1、
2、3??，＋、－、×、÷??有人感到厌烦，有人觉得有趣。 觉得有趣的是因为“十个数字颠来倒，千变万化藏奥妙。”有些计算看
起来繁难，无从下手，然而一旦发现隐藏的技巧，却又是十分简单便捷。正 如“山穷水复疑无路”时，突然“柳暗花明又一村”，眼前的景况，令人一 阵惊喜。
　　嫌数学枯燥的人，总仿佛走在不见阳光的胡同里，一个个数字都是灰蒙 蒙，死气沉沉的。觉得数学有意思的却如同漫步在春光烂漫的百花园，竟然 发现了新奇的花草。
　　这就是“机遇”。这种机遇，只会拜访那些肯钻研，爱动脑子的人，思 想懒惰的人是永远也碰不到的。
　　其实，1、2、3、4??十个数字，表面上看是枯燥乏味，无生命的，但 当你喜欢它了，一个个都变得活蹦乱跳，有生命了。它们组合起来，更是奇 妙无穷。
德国历史上有位数学家叫做商克斯，他花了 20 年的光阴，把π的值推算
到 707 位，创造了“手算”π的最高记录。要是数字真的枯燥乏味，他能忍 受那么长时间的煎熬吗？
数字有趣，计算更有趣。单纯的数字计算有趣，由数字组合的各类绚丽
多彩的应用问题，就更加趣味无穷。 这里只从茫茫数海中舀取一勺，你将在实际运算中，深刻地体会到：计
算确是很有意思的。

1.“1”字聚会

37＋37＋37＝111
瞧，37 连加三次，和便是 111。全是 1。 你知道，连加后所得的和形成“1”字大聚会，还有哪些数？
将 8547、15873、12345679 分别连加，看看它们的和各是多少？
　　解：8547＋8547＋??＋8547＝111111，需要连加 13 个，便出现六个 “1”聚会。
15873＋15873＋??＋15873＝111111，连加 7 个，便有六个“1”聚会。
　　12345679＋12345679＋??＋12345679＝111111111，连加九个，便有九 次“1”出现在面前。
　　
2.“8”字不来


　　自然数的序列是 1、2、3、4、5、6、7、8、9??它们像列队报到一样， 整齐排列。站在后面的数都比它前面的数多 1。
会算下面的算式吗？
111111111÷9＝？ 千万别粗心，如果商里出现了“8”，那一定错了！因为“8”字藏起来
了。
再算算下面的式子：

① 222222222÷? 4 1
? 2

? 2? ? 1 ＝？
? 2



1
② 333333333× ÷（4.5×2）＝？
3
③ 444444444÷（4.5×2）× 1 ＝？
4
④ 555555555÷9÷5＝？
⑤ 666666666×（ 1 × 1 ）÷9＝？
2 3
1 1 1

⑥ 777777777÷（4

÷ ）× ＝？

2 2 7
1 1
⑦ 888888888÷（10÷1.25）×（ × ）＝？
3 3
⑧ 999999999× 2 × 1 ÷9＝？
3 6
解：111111111÷9＝12345679 下面各式，都是这个算式变化的。因此，它们的结果都是 12345679。只
是“8”字不见了。
你觉得有趣么？

3.想要就来


　　1、2、3、4、5、6、7、8、9??每一个数字都能引起人的丰富想象。有 人说：“1 字像粉笔，2 字像小鸭，3 字像耳朵，4 字像小旗，5 字像秤钩，6 字像豆芽，7 字像镰刀，8 字像花生，9 字像老爷爷的大烟袋。”
真有意思！
　　12345679，这几个数字中，只不见了“8”。而“8”字多么像香喷喷的 花生，你想见到它吗？
可以！只要用 8 的 9 倍数去乘 12345679，便可出现一长串 8：





哇，全是 8！
　　其实，只要你用一个合适的数去乘 12345679，任何一个你喜欢的数字“想 要就来”。
你知道这些乘数吗？
解：因为 12345679×9＝111111111
所以，想要几，就用 9 的几倍作乘便可以了。如，想要 5，便用 45（＝9
×5）作乘数即可。

　　　　　　　　　4.成群结队

看看下面的算式，又一种奇妙的现象出现了！
12345679×12＝148148148
12345679×15＝185185185
12345679×21＝259259259
12345679×24＝296296296
12345679×27＝333333333
12345679×30＝370370370
12345679×33＝407407407
12345679×36＝444444444
12345679×39＝481481481
?? 瞧，结果总是三个数字重复出现，真像结伴而行的几个好朋友。它们总
是互相联手，不肯分离。 你知道，要想得到这样的结果，有什么规律？
　　解：被乘数 12345679 没有变化，乘数分别是 12、15、18、21、24??。 后一个乘数依次比前一个乘数都多 3，得出的结果才能是三个数字循环出 现，纷至沓来。
首到 12345679×78=962962962 仍然符合“成群结队”规律，可是，令人
奇怪的是：当乘数超过“78”时，这种奇妙的现象便销声匿迹，不再出现了。

5.只问 8 数



观察下列各式：


1×9=9
11×99=1089
111×999=110889
1111×9999=11108889
??

请问：这样的被乘数和乘数各是十位数，积中应含有多少个 8？
　　解：观察已知的算式：一位数相乘时，积没有 8。两位数相乘时，积含 有一个 8。三位数相乘时，积含有两个 8。四位数相乘时，积含有三个 8?? 这表明积含有 8 的个数总比因数的位数少 1。所以，因数若是十位数，积含
有 8 的个数是 10-1=9 个。

6.高峰数字

我们知道 2×5=10。
现在把 2 和 5 的位数同时增多，看它们的积将出现怎样的现象：
22×55=1210
222×555=123210
2222×5555=12343210
22222×55555=1234543210
??
　　现在问你：如果九个 2 与九个 5 相乘，它们的积中“高峰”数字（即最 大的数字）是多少？
　　解：从已知的算式中，可以看到由 2 和 5 组成的两个因数，它们的积是 有规律地出现的，积的数字由小而大，到达一定的高峰时，又由大而小，逐 渐地降落下来。恰似一个坡度对称的小山一般。也像登山，从一侧上去，又 从另一侧下来。
　　再看积中的高峰数字：因数是两位数时，高峰数是 2，因数是三位数时， 高峰数是 3，因数是四位数时，高峰数便是 4??。
明白了，因数是几位数，积中的最大数字便是几。因此，我们不仅可以
知道九个 2 与九个 5 相乘时积中的最大数字，还可以直接写出积的全部数字。 即：

2??2 ???? 2×5?5?5

? 5 = 123456789876543210

九个 2

九个5

九个 2 九个 5
奇怪的是，当 2 和 5 的位数超过九位时，这种现象便不存在了！

7.数字塔群

看看下面这些有趣的计算吧！
1×9+2=11
12×9+3=111
123×9+4=1111
1234×9+5=11111
12345×9+6=111111
123456×9+7=1111111
1234567×9+8=11111111
12345678×9+9=111111111
81+9=90
882+9=891
8883+9=8892
88884+9=88893
888885+9=888894
??
81-9=72
882-9=873
8883-9=8874
88884-9=88875
??
81÷9=9
882÷9=98
8883÷9=987
88884÷9=9876
　　　　　　　　　　　888885÷9=98765 你能找到这些数字的变化规律吗？ 请你再算算下面各个数字塔的结果，说说它们有什么规律？
A.
6×9=
616×9=
61716×9=
　　　　　　　　　　　　6172716×9= B.
7×9=
707×9=
70707×9=
　　　　　　　　　　　　7070707×9= C.
112=121
1l12=12321
11112=
111112=

?? D.
12=1
（1+1）2=1+2+1
（1+1+1）2=1+2+3+2+1
（1+1+1+1）2=
（1+1+1+1+1）2=
（1+1+1+1+1+1）2=
　　解：这些数字塔，它们的数字都呈现一定的规律性，只要解出前面的几 道，后面的就可以依据规律，直接地写出结果了。
A 题的数字出现规律是：54、5544、555444。
B 题的数字出现规律是：63、6363、636363、63636363。
C 题的数字出现规律是：121、12321、1234321、123454321。
D 题的数字出现规律是：1+2+1、1+2+3+2+1、
1+2+3+4+3+2+1、1+2+3+4+5+4+3+2+1。

8.难中见易

有这样一道题：
221221221221÷136136136136=？ 唉！除数多到十二位数。多位数除法中从没见到过。太难了！ 其实，数学中有好多题目，看起来令人望而却步。对类似的问题，先要
冷静分析，看看有没有独特的规律。这样做之后，说不定就可以难中见易了。
　　解：这道题的被除数和除数，数字都是三个数字重复出现组成的。因此， 可以把它们变化后再解。
221221221221÷136136136136
=（221000000000+221000000+221000+221）
÷（136000000000+136000000+136000+136）
=221×（1000000000+1000000+1000+1）÷136
×（1000000000+1000000+1000+1）
=（221×1001001001）÷（136×1001001001）
=221÷136
=（13×17）÷（8×17）
=13÷8
=1.625 想不到竟是这么容易！

9.异中求同

计算： 5436×5438-5435×5439=？
　　解：式中几个数的特点是：四位数的前三位数字相同，只有个位数字不 同，就从个位数上想想办法，使它转化为方便运算的数字。
减号前可变为：
5436×5438=（5435+1）×5438 减号后可变为：
5435×5439=5435×（5438+1） 这样将算式展开便找到了捷径。
5436×5438-5435×5439
=（5435+1）×5438-5435×（5438+1）
=5435×5438+5438-5435×5438-5435
=5438-5435
=3 复杂的计算竟变得如此简单！

　　　　　　　　　　　　　　　　　　10.许多个 9

计算：999×999+1999=？
解：999 可以变化为 1000-1，
1999 可变化为：1000+999，这样：
999×999+1999
=999×（1000-1）+（1000+999）
=999000-999+1000+999
=1000000

　　　　　　　　　　　　　　　　11.加 1 凑整

计算：19999+1999+199+19=？
　　解：把每一加数都先增加 1，使它们变成整千、整百??，再根据“多 加要减去”的原则处理，就得：
19999+1999+199+19
=（19999+1）+（1999+1）+（199+1）
+（19+1）-4
=20000+2000+200+20-4
=22220-4
=22216

12.分子是连续数（一）



计算：

1
1997

2
+
1997

3
+
1997

+ ?? + 1997 = ？
1997

解：分子是连续的自然数，可用求连续数和公式：

1 2 3

1997

? ? ?? ?

1997

1997

1997

1997

(1 ? 1997) ? 1997 ? 2
?
1997
? (1 ? 1997) ? 2
? 999





计算：




1 2
+
31 31

13.分子是连续数（二）


+ 3 + ?? + 30 = ？
31 31

解：这类题目要是把分子逐个相加，就太麻烦了。简算的方法有两种：
①分子 30 是偶数，用求偶数个连续数和的方法解：

1 2 3

30 (1 ? 30) ? (30 ? 2)

31 ? 15

? ? ? ?? ? ?

? ? 15

31 31 31 31 31 31
　　②题中的最高分数若两两结对，也即首尾一对、第二个数与倒数第二个 数一对??它们的和都是 1，因为分子是 30，共可结成 30÷2=15 对。也即：
　　
1 2
+ +
31 31

3 30
+? +
31 31

= 1×（30÷2 ） = 15

14.分母是 10、100??



计算：1 - 9 ?
10

9
100

9
? ?
1000

9
? ?
10000

　　解：把分数先化成小数，再求出所有减数的和，比先通分再计算简便得 多。
9 9 9 9
1 - ? ? ?

10 100

1000

10000

= 1 - (0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009)
= 1 - 0.9999
= 0.0001

　　15.何年出生

董尧问张华是哪年出生的，张华拿起笔在纸上写了一道算式：
1988+1989-1990+1991-1992+??-2000=？ “算式的得数就是我出生的年份。”张华笑着说。 董尧很快就算出来了。 你知道董尧是怎么计算的吗？
解：这类题是连续数加减混合，如果逐个加减便太麻烦了。 董尧运用简便方法很快就算了出来。他把式中凡是加数写一行，凡是减
数另写一行，而后凑整，加减抵销。只运算余下不能抵消的数。即： 加数：


减数：


张华的出生年份是：
（1988+1989+1995）-（1990+2000）
=（6000-12-11-5）-3990
=5972-3990
=1982


16.异中见同



计算：


1 ? 3 ? 24 ? 2 ? 6 ? 48 ? 3 ? 9 ? 72
? ?
1 ? 2 ? 4 ? 2 ? 4 ? 8 ? 3 ? 6 ? 12

　　这道题分子、分母的数字多得使人眼花缭乱，但是不要被它吓住。在复 杂的题目中，往往隐藏着简单的因素，看似不同的式子里也常常有相同的内 容，一旦找到了，问题便容易解决了！
解：仔细观察算式后，便可发现：分子的每一个加数都可以分解出“1
×3×24”，分母的每一个加数都可以分解出“1×2×4”，将它们分别作为 分子、分母的公因数提出来以后，余下的项是相等的，把它当作一个数进行 约分，题目就变得非常简单了！
1? 3 ? 24 ? 2 ? 6 ? 48 ? 3 ? 9 ? 72
1 ? 2 ? 4 ? 2 ? 4 ? 8 ? 3 ? 6 ? 12
1? 3 ? 24 ? (1? 8 ? 27)
=
1 ? 2 ? 4 ? (1 ? 8 ? 27)
= 9




计算：41× 3939 = ？
4141

17.数字巧合

解：变化分子、分母，使之成为：
3939

41 ?


= 41 ?

= 39


4141
39 ? (100 + 1)
41 ? (100 + 1)

18.不必通分


我们知道：
1 1 1 1
? ? ?

2 3 6
1 1 1

2 ? 3
1

? ? ?

3 4 12
1 1 1

3 ? 4
1

? ? ?

4 5 20

4 ? 5



??
　　即：分子是 1、分母是相邻的自然数的两个分数相减，它们的差仍是 1， 而分母是两个分母的积。
根据这个道理，计算：

1 1 1 1

1 1 1

? ? ? ? ? ? ? ?

2 6 12

20 30 42 56

你能不必通分，用简便的方法求出它们的和吗？
解：这道题看起来，也很复杂，因为假如用通分后再计算，公分母很大， 太麻烦了！何不将它变化一个形式呢？
　　
1 1 1 1

1 1 1

? ? ? ? ? ?

2 6 12
1 1
? ?

20 30 42 56
1 1 1 1 1
? ? ? ? ?

1 ? 2

2 ? 3

3 ? 4

4 ? 5

5 ? 6

6 ? 7

7 ? 8

? 1? ? 1

1? ? 1

1? ? 1

1? ? 1

1? ? 1

1? ? 1 1?

? ?1 ?

? ? ?

? ? ? ?

? ? ? ?

? ? ? ?

? ? ? ?

? ? ? ? ? ?

? 2 ? ? 2
1
? 1?
8
7
?
8

3? ? 3

4? ? 4

5? ? 5

6? ? 6

7 ? ? 7 8?

　　看似复杂难解的问题，一旦掌握了它的特征，竟然是这么简单易解，一 目了然！
　　
19.日取其半


　　公元前 300 年左右，中国有位杰出的学者庄子，在他的文章《天下篇》 中写道：
一尺之棰，日取其半，万世不竭。 意思是，一尺长的木棍，每天截掉一半，千年万载也截不完！ 根据这句话，列成算式，可以求出截了若干天后，还剩余多少？
1
1 ? ? ?
2
1 1
1 ? ? ? ?
2 4
1 1 1
1 ? ? ? ? ?
2 4 8
1 1 1 1

1 ? ? ?

?? ? ? ?

2 4 8 64
1 1 1 1

1 ? ? ?

?? ? ? ?

2 4 8

256

通过计算，你从中发现什么规律？
解：从计算中得知：


嘿，差总是和最后一个减数相等！
　　这些式子的特点，都是被减数是 1，没有变化。减数都是分子是 1，分母 后一个都是前一个的 2 倍。
下面各式的差，便可想而知了：
1 1 1 1 1

1 ? ? ?

?? ? ?

2 4 8
1 1 1

64 64
1 1

1 ? ? ? ? ?? ? ?

2 4 8

256

256

假如倒回头来， 1 + 1 + 1 + ?? + 1

你能否预计到最后的和一


定是几？

2 4 8 2 n

　　20.比较大小

把下面四个分数，按由小到大的顺序排列起来，你能做到吗？

1997
1998

1994
1995

1995
1996

1996
1997

　　四个数都是分数，而且分母各不相同。按照常规，异分母比较大小应该 先通分，可是分母都是四位数，它们的最小公倍数更会大得惊人！这样通分 是比较麻烦的。
有没有简便的方法呢？
解：这四个分数的共同特点都是分子比分母小 1，而且：

1997

1 1994 1

比1小 ， 比1小

1998
1995

1998
1

1995
1996

1995
1

比1小 ， 比1小

1996

1996

1997

1997

这样，我们先来比较：

1 ·
1998

1 ·
1995

1 ·
1996

1
1997

，因为它

们的分子都是 1，分子相同的分数，分母小的大。

可知： 1 ?
1995

1
1996

1
?
1997

1
?
1998

差大则原数小。 所以四个分数可以排列为：

1994

1995

1996

1997

? ? ?

1995
瞧，竟是这么容易！

1996

1997

1998

21.先算后比

按下列各式值的大小，将 A、B、C、D、E 填入括号内
1 1 1 1
A ? 1 ? ? ? ?

10 100
1 1

1000
1

10000
1

B ? 1 ? ? ? ?

10 100
1 1

1000
1

10000
1

C ? 1 ? ? ? ?

10 100
1 1

1000
1

10000
1

D ? 1 ? ? ? ?

10 100

1000

10000

E ? 1 ? 10 ? 100 ? 1000 ? 10000 ? 0
（ ）＞（ ）＞（ ）＞（ ）＞（ ）
　　解：应求出各式的值，再比较大小。但计算时应十分细心，否则容易出 错。
　　其中，分数加减法化成小数计算比较简便。E 的因数中有一个 0，一眼看 出其值仍是 0。
其他各题分别是：
A=1-0.1+0.01-0.001+0.0001
=0.9091
B=1×0.1×0.01×0.001×0.0001
=0.0000000001
C=1+0.1-0.01+0.001-0.0001
=1.0909
D=1×10×100×1000+0.0001
=1000000.0001
E=0
∴ D＞C＞A＞B＞E

22.巧妙转化

计算：
1×2÷3×4÷5×??×1996÷1997×1998×1997÷1996×??×5÷4
×3÷2×1=？
解：这种问题，初看纷繁复杂，求解很难。 整个算式是连续自然数乘除相间，从 1 开始至 1998 之后，再由高而低降
至 1，项目多到近四千个。按常规运算显然不妥。 如果将“除以一个数”转化为“乘以这个数的倒数”，便一眼看出通过
约分，原来十分简单！
1 1 1 1
原式 = 1 ? 2 ? ? 4 ? ?? ?1996 ? ? 1998 ? 1997 ?

3 5 1997
1 1

1996

?? ?5 ? ? 3 ? ? 1
4 2
? 1998

23.预知乘积



先观察下列各式：


7×9=63
77×99=7623
777×999=776223
7777×9999=77762223

现在问你：7?7?7

? 7 ×9?9?9

??? 9 = ？

8个7 8个9
你能否不经计算，直接写出积来？
解：分析上述被乘数、乘数和积，它们的共同特点是：
　　①积的末位数总是 3，而且只有一个 3。积的组成数字只有 7、6、2、3。 不论积是多大，6 也只有一个，而且紧挨在 7 的后面。
②积中含 7 的个数与含 2 的个数同样多。
③积中含 7 的个数总比被乘数少 1。
　　由此可知：八个 7 与八个 9 相乘，积中应含有七个 7，一个 6，七个 2， 一个 3，写出来便是：
　　
7?7?7

??? 7×9?9?9

??? 9 = 7777777622222223

8个7 8个9
将这个规律推广开来：

7?7?7

??? 7 ×9?9?9

?9 应为

m个7

m个 9

7?7?7

???76?22??2??????23

(m-1) 个7 (m-1) 个2

24.预知平方数



先观察下列各式：


32=9
332=1089
3332=110889
33332=11108889

现在问你：能不能直接写出下式的平方数？

（3?3?3

? 3）2 = ？

共九个 3
解：3 的平方数中，组成的数字只有 1、0、8、9。0 和 9 都只有一个，1
和 8 的个数随着平方数的增加而增加，增加的个数总比 3 组成的数位数少 1， 而且 0 总是处于 1 和 8 的中间，9 总是在平方数的末尾。
因而，由九个 3 组成的数的平方数，应含有（9-1）个 1 和（9-1）个 8。
0 在 1 与 8 中间，9 在末尾。即：

（3?3?3

? 3） 2 = 1111111108 88888889

九个3
若由 n 个 3 组成的数，它的平方数就是：

（3?3?3

??? 3） = 1?11??? ?? ?108?88??? ?? ?89

n个 3

(n-1) 个1

( n? 1) 个8

n 个 3 （n-1）个 1 （n-1）个 8

　　　　　　　　　　　　　　　　　25.判断末位

有两道乘法算式，它们是：
　　　　　　　　78925×63825 74576×82376 你能说出它们积的末两位数是多少吗？ 也许你会说：“将它们的积求出来就知道了。”可是这不算本事，能否
不计算就知道呢？
　　解：不必计算，因为任何两个数的积的末两位数，仅与这两个数的末两 位有关，而他们的末两位数积是：
25×25=625，所以 38925×63825 积的末两位数也是“25”。
76×76=5776，所以 74576×82376 积的末两位数是 76。 正巧都是它们本身。

26.积中奇数

仔细观察下列算式：
1×9=9??积中有一个奇数
11×99=1089??积中有二个奇数
111×999=110889??积中有三个奇数
1111×9999=11108889??积中有四个奇数 你能不用计算就判断：111111111×999999999 的积中有多少个奇数吗？ 解：分析上述的算式特点是：
①被乘数和乘数位数相同。分别是 1 与 9 位数逐渐增多。
　　②积的数字总是 1、0、8、9 几个数字组成。其中奇数个数与被乘数位数 相等。
　　由此可断定：111111111×999999999 被乘数共有九位数，它们的积也应 该有 9 个奇数。
计算也很容易：
111111111×999999999
=111111111×（1000000000-1）
=111111111000000000-111111111
=111111110888888889

　　　　　　　　　　27.选择代表

计算：19995+19996+19997+19998+20014=？
　　解：因为五个加数都接近 20000，就以 20000“作代表”，先把它们都 当作 20000 计算，而后根据“多加要减去”、“少加要补上”的原则，求得 结果。
19995+19996+19997+19998+20014
=20000×5-（5+4+3+2-14）
=100000

　　　　　　　　　28.积中含 0

你能知道下式的积中，一共含有多少个 0 吗？

9?9?9

??? 9×9?9?9

???9

88个

88 个

这么巨大的数相乘，求出积来再数 0，难啦！ 但是不必求积，能不能推测出来呢？ 解：这类问题，必须先寻找规律。我们可以试算一部分，看看从中能不
能有所发现。







先观察一下吧：

9×9=81
99×99=9801
999×999=998001
9999×9999=99980001

一位数相乘，积中无 0。 两位数相乘，积中含一个 0。 三位数相乘，积中含二个 0。 四位数相乘，积中含三个 0。
当然，还可以试试五位数、六位数相乘积中含 0 的个数。
结果发现：积中含 0 的个数总比因数的位数少 1，也即：

9?9?9

?? ??? 9×9?9?9
m个

?? ??? 9 ==> 积含有（m—1）个0
m个

由此可知，前式积中含 0 的个数是（88—1）=87 个

29.积的个位


　　8×8×8×8??×8，总共四十个 8 相乘，你能判断积的个位数字是几 吗？
　　解：解答这类问题可不能死拼硬算，必须寻找乘积个位数字的变化规 律。
可以先计算一部分再观察：
8
8×8=6 4
8×8×8=51 2
8×8×8×8=409 6
8×8×8×8×8=3276 8
8×8×8×8×8×8=26214 4
8×8×8×8×8×8×8=209715 2
8×8×8×8×8×8×8×8=167721 6 到这里发现积的个位数重复出现了，它的周期是每四个数便循环出现 8
－4－2－6。
　　四十个 8 相乘，共有 40÷4=10 个周期，个位必是 6。若不是整周期，便 依余数向后数。
　　
30. 0 的个数

不进行实际计算，你能说出
　　　　　　　　1×2×3×4??×98×99×100 算式的积中，末尾有多少个连续的 0？ 解：认真的分析一下算式的特点，便可知道：
　　①式中含有整十相乘的是：10、20、30、40、50、60、70、80、90、100， 这些数相乘积的末尾都带 0，合计 11 个 0。
②5 和 5 的倍数与偶数相乘，末尾也都带 0，这些数是：5、15、35、45、
55、65、85、95，共有 8 个 0。
③25 和 75 乘以 4 的倍数末尾都至少有两个 0，这样便有 4 个 0。 所以上式积的末尾有（11+8+4）共 23 个 0。

　31.哪个积大

下面的两道算式，能不能不必计算就断定它们的积谁大？谁小？
①1234×4321=？
②1233×4322=？
　　解：两道乘式都含有 1233×4321。如果把这个乘式从两道题中去掉，那 么第 1 题还剩下 1 个 4321，第二题里还剩下 1 个 1233，4321＞1233，所以第
1 题的积比较大。 用乘法分配律也能比较出来：
1234×4321=（1233+1）×4321
=1233×4321+4321（1）
1233×4322=1233×（4321+1）
　　　　　=1233×4321+1233（2） 将最后算式相减：（1）式-（2）式=3088。 可知（1）式的积比（2）式的积多 3088。
　　　　　
32.速算诀窍


　　一次，爱因斯坦卧病在床，寂寞难耐。恰有一位朋友前来探望，便要求 朋友出道算术题让他想想。朋友随口说：2976×2924=？
岂料爱因斯坦迅即回答：8701824。 朋友十分惊讶。爱因斯坦有速算诀窍吗？ 解：爱因斯坦确有速算诀窍。
　　朋友说的两个数正符合“首同尾补”的特点。在两位数相乘时，遇到这 种特殊情况，可按如下速算口诀处理：
首加 1 与首乘，再乘 100 要记心。 再加两个数尾积，所求之数便分明。 如：
43×47
=（4+1）×4×100+3×7
=2021 朋友出的题目是四位数相乘，也可以类此办理，即，把前两位当作“数
首”，后两位当作“数尾”：
2976×2924
=（29+1）×29×10000+76×24
=8700000+76×24 其中：
76×24
=（50+26）×（50-26）
=502-262
=1824 所以：
8700000+1824=8701824

　　　　　　　　　　33.有错没错

四个小朋友做同一道题，但结果各不相同：
①4500÷（15×125）=4500÷1875
=2??750
②4500÷（15×125）=4500÷15÷125
=300÷125=2??50
③4500÷（15×125）=4500÷125÷15
=36÷15=2??6
④4500÷（15×125）=4500÷15÷（25×5）
=300÷25÷5=2??2 后三位同学运用了乘除混合运算的性质：a÷（b×c）=a÷b÷c，检查运
算过程没有失误，然而尽管商相同，余数却各有千秋，这是为什么？究竟有 错没错？
解：应该说，计算的结果都是正确的。 各题的余数不同，并不表明运算结果不同，因为余数与除数有关。 根据“商不变性质”：“在除法里，被除数和除数都扩大或者都缩小相
同的倍数（0 除外），商不变”，若在有余数的除法里，当被除数和除数都
扩大或缩小相同倍数时，尽管不完全商不变，余数却也相应地扩大或缩小了 相同的倍数。
其实，余数是针对除数而言的，各题的除数不一样，因而余数各异。若
以分数来表示它们的结果，则四道题的商都是相等的：
①除数是1875，商是 2750 = 22



②除数是125，商是

1875 5
250 22
=
125 5

③除数是15，商是 26 = 22
15 5
22
④除数是5，商是
5
因而，各题的结果仍是一致的，只是形式不同罢了。

34.欲加先减


　　人们习惯于看到“＋”号，就用加法算，看到“－”号，就用减法算。 但是遇到适宜的题目用反向思维，即欲加先减，欲减先加，却更简便快捷。
下列各题你能直接写出结果吗？
A.45+79 546+274 874+697 5222+3778 B.63-37 416-287 769-307 8564-5476 　　解：如果加数或减数中有一个接近整百、整千??，可以用先减去或先 加上这个数，再加上整百、整千??。
A.45+79=45-21+100=124
546+274=546-26+300=820
874+697=874-3+700=1571
5222+3778=5222-222+4000=9000
B.63-37=63-40+3=26
416-287=416-300+13=129
769-307=769-300-7=462
8564-5476=8564-5500+24=3088

　　　　35.连续数的和

下列各式中，加数有什么特点？你能很快地算出结果吗？
①1+2+3+4+??+199=？
②1+3+5+7+??+37=？
③2+4+6+8+??+28=？
④211+212+213+??+248=？ 解：这些算式中，加数的特点是： 第一，各式中的加数都是连续数。
第二，有的算式只是奇数连续数，如②；有的算式只是偶数连续数，如
③；有的是从头开始的连续数，如①；有的不是从头开始的连续数，如④。 我们知道：
连续数的和=（首项+尾项）×（项数÷2） 奇数项连续数和=中间项×项数。
其中①是求奇数项连续数的和，共有 199 项，怎样求它的中间项呢？ 中间项=（尾项+1）÷2
因此，这题的和是：
1+2+3+4+??+199
=（1+199）÷2×199
=19900 其中②只有奇数连续数相加，总项数减少了一半。所以它的总和也减少
一半。尾项是奇数，算式的实有项数是：（尾项+1）÷2。
②1+3+5+??+37
=[（1+37）×（37+1）÷2]÷2
=[38×38÷2]÷2
=722÷2
=361
③2+4+6+8+??+28
=[（2+28）×28÷2]÷2
=[30×28÷2]÷2
=420÷2
=210
　　其中④，可当作从 1 开始的连续数相加，得出结果后，再去掉首项前的 连续数的和。
④211+212+213+??+248
=（1+248）×（248÷2）-（1+210）×（210÷2）
=249×124-211×105
=30876-22155
=8721 这样的题，也可以先求项数。 项数=[尾项-（首项-1）]÷2
211+212+213+??+248
=（211+248）×[248-（211-1）]÷2
=459×38÷2

=8721

　　36.逆序数和


一个数的各位数字的倒序所组成的数，叫做这个数的逆序数。 先观察下式：
①13+31=（1+3）×11=44
②26+62=88=（2+6）×11
③57+75=132=（5+7）×11
④82+28=110=（8+2）×11 再看加数是三位数：
⑤234+432=666=（2+4）×111
⑥357+753=1110=（3+7）×111
⑦741+147=888=（7+1）×111
⑧369+963=1332=（3+9）×111 想想看，逆序数求和有什么规律？
　　解：从①～④可知：任何一个个位数不为 0 的两位数与它的逆序数的和， 是这个数数字和的 11 倍。
　　从⑤～⑧组成算式的各数看，它们都不是任意数字，而是相邻数字间差 是相等的。具备这种特点的数，与它的逆序数的和，等于它百位数字与个位 数字和的 111 倍。
自己编几道题做做看，说不定你还能有新的发现呢！

　　　　　　　　　　　　　37.同分子

观察下列各式，它们怎样算才简便？
5 5 7 7
? ?

9 11
1 1

8 15
3 3

? ?
5 8 4 8
　　解：这些算式都是两个加数，每道算式都是同分子异分母。按常规算法 要先通分再相加，往往很繁。简便的方法是：用两个分母的积作分母，用两 个分母的和与分子的积作分子即可。
　　
5 5
? ?
9 11
7 7
? ?
8 15

(9 ? 11) ? 5
9 ? 11
(8 ? 15) ? 7
8 ? 15

100
? ? 1
99
161
? ? 1
120

1
99
41
120

1 1 5 ? 8 13
? ? ?
5 8 5 ? 8 40

3 3 (4 ? 8) ? 3
? ?
4 8 4 ? 8

36 1
? ? 1
32 8

38.真分数和


　　下面各式是求以某数作分母的全部真分数的和，有没有比较简便的方 法？
1 2
?
3 3
1 2 3 4
? ? ?
5 5 5 5
1 2 3 6
? ? ?? ?
7 7 7 7
1 2 3 7
? ? ?? ?
8 8 8 8
1 1 3 19
? ? ?? ?
20 10 20 20


解：这种求全部真分数的和，从分母上看，有的是奇数，有的是偶数。
以任意一个奇数作分母的所有真分数的和都等于“（分母-1）÷2”。如：
1 2
? ? (3 ? 1) ? 2 ? 1
3 3
1 2 4
? ?? ? ? (5 ? 1) ? 2 ? 2
5 5 5
1 2 3 6
? ? ?? ? ? (7 ? 1) ? 2 ? 3
7 7 7 7
以任意一个偶数作分母的全部真分数的和，都是“分母÷2 - 1 ”。
2
如：
1 1 3 7
? ? ?? ?
8 4 8 8
1
? 8 ? 2 ?
2
1
? 4 ?
2
1
? 3
2
1 1 3 19
? ? ?? ?
20 10 20 20
1
? 20 ? 2 ?
2
1
? 10 ?
2
1
? 9
2

39.分子是 1

下列各式，分子都是 1，分母是相邻的自然数。请先算算：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
? ? ? ? ?


再计算：

2 3 3


1

4 4 5 5 6


1 1 1 1

9 10

? ? ? ?


你发现了什么？

6 12

20 30 42

　　解：分子是 1，分母是相邻的两个自然数，它们的差，分子仍是 1，分 母是两自然数的积。
即：
1 1 1 1
? ? ?
2 3 2 ? 3 6
1 1 1 1
? ? ?
3 4 3 ? 4 12
1 1 1 1
? ? ?
4 5 4 ? 5 20
1 1 1 1
? ? ?
5 6 5 ? 6 30
1 1 1 1

? ?
9 10

?
9 ? 10 90

通过上述各题的计算，我们发现用这种方法可以使某些运算简化。 如：
1 1 1 1 1
? ? ? ?

6 12
1
? ?

20 30 42
1 1 1 1
? ? ?

2 ? 3

3 ? 4

4 ? 5

5 ? 6

6 ? 7

? 1 1 ? ? 1

1 ? ? 1

1? ? 1

1 ? ? 1 1 ?

? ? ?

? ? ? ?

? ? ?

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

? 2 3? ? 3
1 1 1 1

4 ? ? 4 5? ? 5 6 ? ? 6 7 ?
1 1 1 1 1 1

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2 3 3 4
1 1
? ?
2 7

4 5 5 6 6 7

7 ? 2
?
2 ? 7
5
?
14

40.100 多几


　　两个因数，如果都比 100 多几，通过运算，可以推导出简便运算方法。 如：
115×102
=（100+15）×（100+2）
=（100+15）×100+（100+15）×2
=100×100+15×100+100×2+15×2
=（100+15+2）×100+15×2
=（115+2）×100+15×2
=11730 根据推导你能找到简便运算的方法吗？
为了便于总结法则，可以给两个因数规定名称：





而后，请计算：112×104 107×103 114×105 106×107
　　解：根据 115×102=（115+2）×100+15×2，可知：积的百位以前数是 “首数加上尾数尾”，积的十位、个位上的数是两个因数的尾数积。即：
首数加上尾数尾，紧挨再写两尾积。
所以：
112×104=（112+4）×100+12×4=11648
107×103=（107+3）×100+7×3=11021
114×105=（114+5）×100+14×5=11970
106×107=（106+7）×100+6×7=11342

41.100 少几


求比 100 少几的两个数相乘的简便方法是： 首数减去尾数补，紧挨再写补数积。
便如：


请你运用这个简便方法计算下列各题：
98×94 89×98 96×92 996×998 990×996
解：98×94=（98-6）×100+2×6=9212
89×98=（89-2）×100+11×2=8722
96×92=（96-8）×100+4×8=8832
996×998=（996-2）×1000+4×2=994008
990×996=（990-4）×1000+10×4=986040

42.一多一少


　　两数相乘，其中一个因数大于 100，另一个因数小于 100，但与 100 都比 较接近。这样的两个数相乘，有没有简便方法呢？
举个例子，通过运算，推导一下再看吧：
104×98
=（100+4）×（100-2）
=（100+4）×100-（100＋4）×2
=100×100+4×100-100×2-4×2
=（100+4-2）×100-4×2
=（104-2）×100-4×2
=10200-8
=10192 观察：






即：首数减去尾数补，紧挨再写首数的尾数与尾数的补数积。 据此，请快速求出下式各题的结果：
112×89 116×94 107×93
994×1008 1002×998
解：112×89=（112-11）×100-12×11
=10100-132
=9968
116×94=（116-6）×100-16×6
=11000-96
=10904
107×93=（107-7）×100-7×7
=10000-49
=9951
994×1008=1008×994
=（1008-6）×1000-8×6
=1002000-48
=1001952
1002×998=（1002-2）×1000-2×2
=1000000-4
=999996

43.50 多几


两个因数都比 50 多几，有三种情况。计算它们的积，也有简便方法。 两个因数都是奇数或都是偶数：
　　用这两个数与 50 的差的乘积，作积的右段数。积若是一位数，要在数前 补个 0；用较大的一个因数加上较小的一个因数与 50 的差的一半，作积的左 段数，而后两段相接，即得。
如：54×52=28 08
积的右段数：（54-50）×（52-50）
=4×2
　　　　　　=8 补 0 为：08 积的左段数：（54+2）÷2
=56÷2
　　　　　　=28 两段相接，得积：2808 两个因数一奇一偶，算法稍有不同： 如：57×52=2964
积的右段：（57-50）×（52-50）
=7×2
=14
14+50=64 积的左段：（57+2）÷2
=59÷2
= 29.5 ==> 29（只取整数）
两段相接，得积：2964 按照上面介绍的方法，下列各题，你能迅速写出结果吗？
56×52 54×55 58×54 56×53 59×59
解：56×52=（56+2）÷2×100+（56-50）×（52-50）
=2912
54×55=2970 58×54=3132
56×53=2968 59×59=3481

44.500 多几


两个因数都比 500 多几，它们的类型和算法与因数是 50 多几的很相似。 如：521×511=266231
积的右段：（521-500）×（511-500）
=21×11
　　　　　=231 积的左段：（521+11）÷2
=532÷2
　　　　　=266 两段相接：266231
如果因数是一奇一偶两个数，如：
　　　　　　　　　　　512×507=259584 积的右段：（512-500）×（507-500）
=12×7
　　　　　=84 用 0 补足为三位=084， 再加 500：500+084=584 积的左段：（512+7）÷2
=519÷2
　　　　= 259.5 ==> 259（只取整数） 两段相接：259584 按照上述方法，直接写出下式结果：
515×517 512×510 514×513 518×516 514×511 503×504 解：515×517=（515+17）÷2×1000
+（515-500）×（517-500）
=266255
512×510=261120 514×513=263682
518×516=267288 514×511=262654
503×504=253512

45.500 少几


两个因数都比 500 稍小，快算方法略有变化。 例如：496×492=244032
积的右段：（500-496）×（500-492）
=4×8
=32
不足三位在数前补 0，即：032。式中的 500 作被减数了！

两段相接得积：244032 如果是一奇一偶两个因数，例如：
493×496=244528
积的右段：（500-493）×（500-496）
=4×7
=28??需再加 500，即：
28+500=528
积的左段：（493-4）÷2
=489÷2
= 244.5 ==> 244（只取整数）
或（496-7）÷2
= 244.5 ==> 244
两段相接得积：244528
按照上面的方法，你能直接写出下式结果吗？
496×498 497×495 493×498 497×499
解： 496×498=（496-2）÷2×1000+（500-496）×（500-498）
=247008
497×495=246015 493×498=245514
497×499=248003

46.与 667 乘



先观察下列各式：


667×3=2001
667×6=4002=2001×2
667×9= 6003=2001× 3
667 × 12= 8004= 2001× 4
??

你能不用计算，直接写出下式结果吗？
667× 24 667 × 36 667 × 4
667×7 667×81 667×132
　　解：根据 667×3= 2001 这个乘式，只要因数 667 不变，则乘数 3 扩 大几倍，它们的积也扩大相同的倍数。因此，只要看乘数是 3 的多少倍，直 接将 2001 也扩大相同的倍数，便是乘积了。
乘数不是 3 的倍数，可以把它转化为 3 的倍数加上零头数。
667× 24=2001× 8=16008
667 × 36=2001× 12=24012
667 × 4= 667×（3+1）= 2001＋ 667=2668
667 × 7＝667×（6＋1）＝4002＋667＝4669
667 × 81= 2001× 27= 54027
667×132=2001×44=88044

47.欲乘先除（一）


　　遇到因数是 5、25、125、375、625??根据积的变化规律，先除再乘较 为简便。
如：乘数是 5：
38× 5＝38 ×（10÷2）＝38÷2×10＝190
48 ×5＝48÷2×10＝240 乘数是 25：
77×25=77÷4×100=1925 乘数是 125：
56×125=56÷8×1000=7000 乘数是 625：
4.8×625＝4.8÷16×10000＝3000 按照这种方法，请你直接写出下式结果：
76× 5 84×5 442×5 37.6× 5
36×25 8.4×25 16×26 72×125
40.88×125
解：76×5=380（76÷2×100）
84×5=420（84÷2×10）
442×5=2210（442÷2×10）
37.6×5=188（37.6÷2×10）
36×25=900（36÷4×100）
8.4×25=210（8.4÷4×100）
16×26=416[16×（25+1）=16×25＋16]
72×125＝9000（72÷8×1000）
40.88×125=5110（40.88÷8×1000）

48.欲乘先除（二）

例：56× 75=56÷4 × 3× 100
= 56× 3 × 100
4
=4200
3
152× 375 = 152× × 1000 = 57000
8
48× 875 = 48× 7 × 1000 = 42000
　　　　　　8
想一想，算式的根据是什么？
下面各题，你能一眼看出结果吗？
24×75 36×75 6.4×75 4.8×7.5
64×375 40×375 0.88×3750 2.48×375 16×875 4.8×875 解：24× 75=1800（24÷4×3×100）
36×75＝2700（36÷4×3×100）
6.4×75＝480（6.4÷4×3×100）
4.8×7.5＝36（4.8×7.5＝48×75÷100）
64 ×375＝24000（64÷8×3×1000）
40 × 375＝15000（40÷8×3×1000）
0.88×3750=3300（0.88×3750=8.8×375）
2.48×375＝930（2.48×375＝248×375÷100）
16×875=14000（16÷8×7×1000）
4.8×875=4200（4.8×875=48×875÷10）

　49.欲除先乘（一）


遇到有些除法，根据商不变性质，先乘后除倒显得简便、快捷。 如：除数为 5：
230÷5＝230×2÷10＝46
除数为 25：
23400÷25＝23400×4 ÷100＝936
除数为 125：
1270÷125＝1270×8÷1000＝10.16
除数为 625：
50÷625＝50×16÷10000＝0.08
按照这样的方法，快速计算：
130÷5 2.6÷5 42÷0.05 2100÷25
12÷25 8÷0.25 30000÷625 500÷625
1100÷625
解：130÷5=130×2÷10=26
2.6÷5＝0.26×2＝0.52
42÷0.05＝420÷0.5＝420×2＝840
2100÷25＝2100×4÷100=84
12÷25＝12×4÷100＝0.48
8÷0.25＝8×4＝32
30000÷625＝30000×16÷10000＝48
500÷625=500×16÷10000=0.8
1100÷625=1100×16÷10000=1.76

　　　　　　　　　　　　　　50.欲除先乘（二）

例： 18÷75=18×4÷3÷100=0.24
120÷375=120×8÷3÷1000=0.32
想一想，这样算的根据是什么？ 按照这样方法计算：
21÷75 30÷75 345÷75 1200÷75
240÷375 360÷375 48÷0.375 5400÷3750
解：21÷75=21×4÷3÷100=0.28
30÷75＝30÷3×4÷100=0.4
345÷75=345÷3×4÷100=4.6
1200÷75=1200÷3×4÷100=16
240÷375=240÷3×8÷1000=0.64
360÷375=360÷3×8÷1000=0.96
48÷0.375=48÷3×8＝128
5400÷3750=540÷375=540÷3×8÷1000=1.44

51.除数是 9

1÷9＝0.111??＝0.1?
2÷9＝0.222??＝0.2?＝0.1?×2
3÷9＝0.333??＝0.3?＝0.1?×3
4÷9 = 0. 444?? = 0. 4?= 0.1?×4
??
8÷9 = 0. 888?? = 0. 8?= 0.1?×8
根据上面的规律，你能很快地求得下列各题的商来吗？
13÷9 35÷9 16÷36
88÷72 640÷720 17÷0.9
解：13÷9 = （9 + 4）÷9 = 1.4?

35÷9＝（27＋8）÷9＝3.8?
16÷36 = （16÷4）÷（36÷4） = 4÷9 = 0.4?
88÷72 = （88÷8）÷（72÷8） = 11÷9 = 1.2?
640÷720＝64÷72＝8÷9＝0.8?
17÷0.9 = 170÷9 = （17÷9）×10 = 1.88??×10 = 18.8?

52.除数是 99

1÷99＝0.010101??＝0.0?1?
2÷99＝0.020202??＝0.0?2?＝0.0?1?×2
3÷99＝0.030303??＝0.0?3?＝0.0?1?×3
4÷99 = 0. 040404?? = 0. 0?4?= 0. 0?1?×4
??
9÷99＝0.090909??＝0.0?9?＝0.0?1?×9
根据上面的规律，你能很快求出下列各题的商吗？
17÷99 92÷99 123÷99 80÷99
500÷99 6÷9.9 6.3÷99 5.24÷0.99
解：17÷99 = 0.01?×17 = 0.1?7?
92÷99＝0.01?×92＝0.9?2?
123÷99＝（99＋24）÷99＝1.2?4?
80÷99＝0.0?1?×80＝0.8?0?
500÷99 = （5÷99）×100＝0.0?5?×100＝5.0?5?


6÷9.9＝60÷99＝（6÷99）× 10 = 0.0?6?×10＝0.6?0?
6.3÷99 = （63÷99）÷10 = 0.06?3?
5.24÷0.99＝524÷99＝（495＋29）÷99 = 5＋0.2?9?= 5.2?9?

53.除数是 11

1÷11＝0.090909 ??＝0.0?9?
2 ÷11＝0.181818??＝0. 1?8?＝0. 0?9?×2
3÷11＝0.272727??＝0.2?7?= 0.0?9?×3

4 ÷11＝0.363636??＝0.
??

6?＝0.0?9?×4

9 ÷11＝0.818181??＝0.8?1?＝0.0?9?×9
10÷11＝0.909090??＝0.9?＝0.0?9?×10
根据上面的规律，你能很快求出下列各题的商来吗？
30÷11 18÷11 57÷11 67÷22 81÷55 2.4÷11 91÷77 2001÷11 100÷88
解：30÷11 = （3÷11）×10 = 2.7?2?
18÷11 = （11＋7）÷11 = 1.6?3?
57÷11＝（55＋2）÷11＝5.1?8?
67÷22＝67÷11÷2＝6.0?9?÷2＝3.04?5?
81÷55＝81÷（11×5）＝（81÷11）÷5 = 7.3?6?÷5 = 1.47?2?


2.4 ÷11 = （24 ÷11）÷10 = 2.1?8?÷10 = 0.21?8?
91÷77 ＝13÷11＝1.1?8?
2001÷11＝（2000＋1）÷11＝181.81?8?+ 0.0?9?= 181.9?0?
100÷88 = 100÷11÷8 = 9.0?9?÷8 = 1.1 6?

54.除数是 111

1÷111＝0.009009009??＝0.0?09?
2÷111＝0.018018018??＝0.0?18?＝0.0?09?×2
3÷111＝0.027027027??＝0.0?27?＝0.0?09?×3
4÷111 = 0.036036036??＝0.0?36?＝0.0?09?×4
9÷111＝0.081081081??＝0.0?81?＝0.0?09?×9
10÷111＝0.090090090??＝0.0?90?＝0.0?09?×10
11÷111＝0.099099099??＝0.0?99?＝0.0?09?×11
根据上面的规律，你能很快算出下列各题的商吗？
17÷111 25÷111 37÷111
72÷111 138÷111
解：17÷111＝0.0?09?×17＝0.1?53?
25÷111＝0.0?09?×25＝0.2?25?
37÷111＝0.0?09?×37＝0.3?
72÷111 = 0.0?09?×72 = 0.6?48?


138÷111 = （111 + 27）÷111 = 1.2?43?

55.求平方数（一）


　　在面积计算中，经常需要求平方数。有些数的平方数，可用简便方法直 接求出。
　　40～50 间各数的平方数，可以用 25 减去这个数的补数，作积的左段， 用这个补数的平方（不足两位的要在数前补 0），作积的右段数，两段相接， 就是这个数的平方数。
如： 482=2304 积的左段：25-2=23
↑
（48 中 8 的补数）
积的右段：22=4→04 数前加 0 补足两位 两段相接得：2304
50～60 间各数的平方数，求法略有不同。 如：572=3249
积的左段数：25＋7=32
↑
(57 的个位)
积的右段数：72=49
↑
(57 的个位)
两段相接得：3249
　　比较 40～50 间和 50～60 间各数平方数求法有哪些不同，并计算下列各 题：
442 452 472 492 522 532 562 582

56.求平方数（二）

求 90～100 间各数的平方数，有个最简便的方法，可以脱口报出结果。

两段连接得出结果：9409 你能用这个方法，直接写出下式结果吗？
912 932 952 962 982 992
解： 912=8281 932=8649 952=9025
962=9216 982=9604 992=9801

57.找规律（一）

先观察下列各式：
11×99=1089 22×99= 2178
33×99= 3267 44× 99= 4356
55×99=5445 66×99= 6534
　　你能从各式中得到启示，直接写出 77×99、88×99、99×99 三式的积来 吗？
解：观察六道算式，可发现它们的共同规律是：
①积都是四位数
②积的千位数字与被乘数的数字相同
③积的百位数比千位数字小 1
　　④积的末两位数恰是被乘数与 100 间的补数。根据这个规律，我们便写 出三式的积了：
77×99=7623
88×99＝8712
99× 99=9801

58.找规律（二）

先观察下列算式：
①75× 99=7425
75× 999=74925
75×9999=749925
②47×99=4653
47× 999=46953
47× 9999=469953
③28×99=2772
28×999=27972
　28×9999=279972 你能否从上列各式得到启示，直接写出下列各式的积：
38×99 29×999 68×9999 81×99999
解：从上式发现，它们的共同规律是：
　　①一个两位数与 99 相乘，积的前两位数比被乘数少 1，积的后两位数是 被乘数的补数。
②乘数比 99 位数增加几个 9，则在原积中间增写几个 9。
所以上列各式的积可直接写出：
38×99=3762
29×99 9＝28971
68 × 9999＝679932
81× 99999＝8099919

59.用眼算


下面的两道题，数字相同，只是排列的顺序相反。请你先用眼估算一下， 哪一道得数大？然后再动笔核对，检验一下你的眼力是否正确？














解：两道题的和是相同的，它们的和都是：1083676269

60.绝妙算式（一）


　　数字 1、2、3??9，可以排列出变化无穷的各种算式，有的算式既稀奇 古怪，又十分有趣。在这些算式中，枯燥的数字变得鲜活亮丽、富有灵性， 一个个如同魔棒，那么可爱，那么迷人，下面的一组算式，便可谓奇绝！妙
绝！ 1 1 2 3 3 2 4 5 6 6 5 4 7 8 9 1 1 9 8 7 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 7 8 9 1 2 3 3 2 1 9 8 7 4 5 6 7 8 9 1 1 9 8 7 6 5 4 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 6 5 4 3 2 1 9 9 1 2 3 4 5 6 3 2 1 9 8 7 7 8 9 1 2 3 8 7 6 5 4 4 5 6 7 8 3 2 1 9 9 1 2 3 6 5 4 4 5 6 8 7 7 8 ＋ 9 + 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ( )
　　瞧，这些数字把它按一定的顺序排列成一道加法算式（见左式），出人 意外的是：它们的和竟然仍是这些数字，仍按照原来的顺序井然有序地排列 起来了！
要是将数字变换一下排列方式，和又会怎样呢？如右式。

61.绝妙算式（二）


假如在 1、2、3??9 中舍弃一部分数字，再排列算式，那将又会出现什 么现象呢？
我们舍弃所有偶数，只用 1、3、5、7、9 来排（见左式）：
1 1 3 5 5 3 7 9 1 1 9 7 3 5 7 9 9 7 5 3 1 3 5 7 9 9 7 5 3 1 1 3 5 7 9 1 1 9 7 5 3 1 3 5 7 9 1 3 5 5 3 1 9 7 5 3 7 9 1 3 5 7 9 1 1 9 7 5 3 1 9 7 3 5 7 9 1 3 5 7 9 9 7 5 3 1 9 7 5 3 7 5 3 1 9 7 5 3 1 1 3 5 7 9 1 3 5 7 3 1 9 7 5 3 1 9 9 1 3 5 7 9 1 3 7 5 3 1 9 7 5 5 7 9 1 3 5 7 9 7 5 3 1 9 9 1 3 5 7 9 9 7 5 3 1 1 3 5 7 9 7 5 3 1 1 3 5 7 3 1 9 9 1 3 7 5 5 7 + 9 + 9
( ) ( )
要是将数字再变换一下排列方式，和又会怎样呢？（见右式）

62.绝妙算式（三）

现在，我们将所有的奇数都舍弃，只用偶数即 2、4、6、8 来排算式：
2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 8 6 4 2 8 6 4 2 8 8 6 4 2 8 6 4 2 6 4 2 8 6 4 2 2 8 6 4 2 8 4 2 8 6 4 4 2 8 6 2 8 6 6 4 ＋ 8 ( ) 　　你再模仿前面的例题，将 2、4、6、8 变个顺序重新再排一个算式，再算 算它们的和是多少？你再参照上面的例题，自己选定几个数排出算式，看看 会不会出现一种奇妙的现象？
解：上述各道算式，它们的和都是 1234567890！
　　如果你想排出更为壮观的算式，可以把数字排得更长些，比如用 1～9 九个数字依序排到最高位是十七位数时，它们的和竟是：
112233445566778890
你甚至可以只选三个数，如 1、4、7 或 2、4、6（舍弃了 2、3、5、6
或 1、3、5、7、9），再在式中稍作些变化，和的数字又从高位向低位顺序 排列了，真是其妙无穷！

63.怪题之谜


　　美国的贝克顿市，有个古怪的石匠，叫托马斯。他生活的时代约在 200 年前。后来，人们发现他在一所房子的墙壁上刻了一道古怪的数学题：世上 竟有这样的题，从数字和为 45 的一个数里，减去另一个数字和也是 45 的数， 只有当差的数字和也是 45 时，这道题才算解对了。
　　这道题使当地的居民伤透了脑筋，许多数学爱好者也苦思不解。后来， 有人发现 1～9 九个自然数的和恰是 45，便恍然大悟，终于解开了这个谜团。
你能知道这是一个什么样的减法式子么？
　　解：人们经过多次反复地研究尝试，发现九个依次排列由大到小的阿拉 伯数字，减去它的逆序数，恰好符合题目要求。
即：



人们又发现，若再加上 0，下式也符合要求，即：



后来又发现，减数中的 0 放在不同的数位所构成的算式也都符合要求。 如：9876543210-1023456789=8853086421
9876543210-1203456789=8673086421
??
移动被减数中的 0，构成的算式，仍然符合要求。 如：9087654321-1023456789=8064197532
9876504321-1203456789=8673047532
??
　　不仅如此，把 0～9 十个数字顺序打乱，分别组成被减数、减数，一些式 子也符合要求。
如：4579036218-2814675039=1764361179
1954328760-1796435208=157893552
??
　　当然，其中有一些仅被减数、减数的数字和是 45，而得出的差数字和却 不是 45，这样的题，就不符合要求了。
　　不论怎样，一个看似古怪难解的问题，经过人们的刻苦钻研，竟然一下 子找到了那么多的解答方法，真是“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”了！
　　
64.二进制


　　二进制的长处是适用于机器。将十进制的数，输入机器后，被转化为二 进制，最后再“翻译”成十进制显示出来。
　　那么十进制和二进制是怎样互相转换的？比如十进制的 85，要转换为二 进制是多少？
　　解：把十进制的整数转化成二进制就显然不同了，如，整数 1，在二进 制中仍是 1，2 在二进制中便是 10，3 便是 11。4 便是 200。因此，将十进制 整数转换为二进制，只要将这个整数逐次用 2 去除，一直除到商等于 0 为止， 然后把每次除得的余数倒排起来，便可以了。
例如把十进制的 85，转化为二进制，方法是：












于是，（85）10=（1010101）2 其中，足码“10”表示十进制，足码“2”表示二进制。上式表示十进制
中的 85 等于二进制中的 1010101。
那么，怎样将二进制再转换成十进制记数呢？ 我们知道，若将十进制转换为二进制，如 23047 可表示为：
2304710＝2 × 104+ 3 × 103＋ 0 × 102＋ 4 × 10＋ 7＝2304710
同样，二进制的 1010101 也可表达为：
10101012＝1×26＋ 0 × 25 ＋1× 24+ 0 × 23+1× 22＋ 0 × 21+ 1

= 64+0＋16+ 0＋4＋ 0＋1
=8510
　　85 只是十进制中的两位数，由二进制转换时便这么繁琐，倘是数千、数 万甚至更大的数，其复杂程度便可想而知了。
怎么办？要是有一种机器来代替人工该多好！
　　是的，电子计算机就是干这种工作的，而且它的工作效率快得惊人，即 便是位数繁多的数，它也能霎时之间得出结果。
　　
65.八卦图


计算机的发明在当时震动了世界整个科学界。计算机的原理是二进制。 据说，在研制计算机过程中，研制者曾碰上一个百思不解的难题，正在
此时，一个中国朋友给他寄去了八卦图。 所谓八卦就是中国一部古代经典《易经》中的八种符号：


个不同卦象。 研制者接到这个八卦图如获至宝，头脑豁然开朗，于是很快攻克难关，
将具有划时代意义的计算机创造了出来。 你知道，这是受了什么启示？
　　解：八卦的基本符号只有两种，古人称为阴“- -”阳“──”。可是 它却能组成八卦，变化出 64 卦。
二进制也只有两个字码：0 和 1。 八卦与二进制竟是那么相像，它们分别可表示为：