怎样突出教学重点、突破难点

所谓教学重点，就是学生必须掌握的基本技能。如：意义、性质、法则、

计算等等。如何在数学教学中突破重点和难点呢？这就需要我们每一位数学 教师在教学实践中不断地学习、总结、摸索。通过自己十多年来的数学教学 实践，对此问题有如下点滴体会和做法。

一、认真备课，吃透教材，抓住教材的重难点是突破重难点的前提


　　小学数学大纲指出：小学数学教学，要使学生不仅长知识，还要长智 慧??，培养学生肯于思考问题，善于思考问题。做为一个数学教师，要明 确这一目的，把我们的主要精力，放在发展学生智力上，着眼于培养和调动 学生的积极性和主动性，引导学生学会自己走路，首先自己要识途。我感到， 要把数学之路探清认明，唯一的办法就是深钻教材，抓住各章节的重点和难 点，备课时既能根据知识的特点，又能根据学生认识事物的规律，精心设计， 精心安排，取得事半功倍的效果。因此，有课前的充实准备，就为教学时突 破重点和难点提供了有利条件。

二、以旧知识为生长点，突破重点和难点


　　小学数学是系统性很强的学科，每项新知识往往是旧知识的延伸和发 展，又是后续知识的基础。知识的链条节节相连、环环相扣、旧里蕴新，又 不断化新为旧，不仅纵的有这样的联系，还有横的联系，纵横交错，形成知 识网络，学生能认识知识之间的联系，才能深刻理解，融汇贯通。数学教学 就是要借助于数学知识的逻辑结构，引导学生由旧入新，组织积极的迁移， 促成由已知到未知的推理，认识简单与复杂问题的连结，用数学学科本身的 逻辑关系，训练学生的思维。数学教学并没有固定模式，实际教学中还要考 虑到教学内容的一些特点，当新旧知识之间有紧密的逻辑关系或所学知识与 旧知识之间没有实质性的变化，只是认知结构中原有知识的特例时，教学时 就以原有知识为生长点，直接由旧到新，即从学生已有的知识和经验出发。 因为学生获取知识，总是在已有的知识经验的参与下进行的，脱离了已有的 知识经验基础进行教学，其原有的知识经验就无法参与，而新旧知识连结纽 带的断裂，必然会给学生带来理解上的困难，使其难以掌握所学的知识。正 因如此，自己在教学中运用了迁移规律，来实现重、难点的突破。
1.若一个新知识可以看作是由某一个旧知识发展而来的，教学中则要突
出“演变点”，达到突破重点难点的目的： 如“有余数除法的验算”这部分知识，要以前面能整除的除法验算为基
础。两类验算都要用“商和除数相乘”，后者演变的是“还要加上余数”。 教学时，不但复习能整除的验算方法，还以 127÷6 为例要复习有余数的除 法，其中重点追问：“这道题中 127÷6，商 21 是平均分的 127 吗？那么平 均分了多少？验算时只用商和除数相乘行吗？应怎么办？这一系列问题，大 家讨论”。这样就能顺利地掌握新规律和验算方法。
　　2.若一个新知识可以看作是由两个或两个以上旧知识组合而成的，教学 中则通过突出“连接点”这一途径，从而突破重点难点：
　　如“异分母分数加减法”是由同分母加减法的计算方法和通分两个旧知 识组成的，它的关键问题是因为分数单位不同不能直接相加减，教学新知识 前复习同分母分数加减法：
　　
1 1 1 2 2 4
? ? ? ?
2 2 5 5 9 9
这是旧知识，并提问：同分母分数加减法的法则是什么？为什么它们能

1
够直接相加减? 再出示: ?
3

1
这道题与上题有什么不同? 分数单位虽不同, 但
4

是要求 1 与 1 的和, 能不能直接按同分母的计算方法进行计算? 应该怎么办 ?
3 4
为什么？这时又可用旧知识——通分来代替，则成为两个旧知识的连接点， 这就是今天要学习的新内容异分母分数加减法。并请同学们在此基础上讨论 此题的计算步骤，抓住规律“化异为同”，沟通新旧知识，从而突破难点。
　　3.若一个新知识可以看作与某一些旧知识属同类或相似，教学时则要突 出“共同点”，进而突破重点难点：
　　如除数是两、三位数的除法是多位数除法的重点和难点，在这部分知识 教学中，教师的主要任务是以学生为主体，引导学生运用迁移规律，分层次 逐步推进，突破各个难点，学好试商的方法。除数是两、三位数的除法，是 以除数是一位数的除法为基础的，后者是除数由一位变为两位、三位，出现 了从被除数的哪一位除起，先看被除数的前几位的问题。但无论除数是几位 数，试商方法都是一致的，即有共同点，就是教学中应抓住的，教学时，先 以除数是一位数的除法为例，复习一位数除法的计算法则及试商方法，从而 启发学生明白除数是两位数的除法的计算法则及试商方法同一位数除法相 同，进而再研究除数是三位数的除法，通过三个层次的教学，总结归纳出除 数是一、二、三位数的除法都是从最高位除起，除数是几位数，就看被除数 的前几位，除到哪一位够除，就把商写在哪一位的上面，每次除得的余数必 须比除数小。这就抓住了一类知识的共同点，仿旧知识学习新知识，再把新 知归为旧知识。学生容易理解记忆，为学好多位数的试商，达到正确地迅速 地求出商，提高计算能力奠定了基础。因此，在数学教学过程中，要重视揭 示和建立新旧知识的内在联系，从已有的知识和经验出发，找准知识的生长 点，帮助学生建立新旧知识的联系，是教学中突破重点难点的又一途径。

三、依据教材内容的重点和难点选择板书内容，并以板书设计为突破口


　　板书是课堂教学的缩影，是揭示教学重点难点的示意图，也是把握重点、 难点的辐射源，板书起着提纲挈领的作用，它是在吃透教学大纲的基础上， 根据教学的要求、特点和学生的实际情况设计出来的，把提纲性、艺术性、 直观性融为一体，既起到纲举目张的作用，又收到激发兴趣、启迪思维的效 果。自己通过多年来的实践能够根据教学内容的特点，认真选择突出重点的 板书内容，精心设计板书，并力求做到板书的形式新颖、布局合理、有层次、 别具一格，突出重点。例如：在备“正反比例应用题对比练习课”时，为了 突破本节课的重点难点，我把突破口放在板书设计上：如下：
正反比例应用题对比练习课 不同点：
1. 条件: y ? K (一定)商一定(正)x×y ? K (一定)积一定( 反)
x
2.等式：商=商 积=积

240
?
2

480
x


60x ? 50×6

x
?
20 ? 18

500
20

x×(15 ? 3) ? 12×15

相同点：
1.意义：x 变、y 随 x 变
2.步骤：相同 从板书的内容上看体现了这节课的重点和难点，从板书的形式上看，比
较直观，对比性强，学生便于比较，对学生能够起到引导的作用，于是老师 提出问题：通过这节课的学习，谁能总结归纳正反比例应用题的异同点是什 么？通过学生的思考与板书内容的沟通，学生便从正反比例的意义上、解题 思路上、条件方法上总结出正反比例应用题的异同点。因此教师如何根据教 材特点，选择板书内容，合理设计板书格局是突破重点难点的途径之一。

四、强化感知，突破重点、难点


　　几何部分中的概念及有关知识抽象，学生难以理解、难以接受，要突破 这些难点，教学中必须遵循儿童的认知规律，用形象、鲜明的直观教学手段， 强化感知，突破难点。
如圆柱与圆锥底面积、高、体积之间，在一定条件下的内在联系是六年
级学生学习中的一个难点。因此教学时自己采用直观教学与代入求值相结合 的方法进行教学，指导学生动手操作，反复观察分析，做法分为如下三步：
1.将橡皮泥捏成一个底面半径为 2 厘米（即底面积 12.56 平方厘米），
高为 5 厘米的圆柱体。
板书：已知：r=2 h=5 求 S=？（12.56） V=？（62.8）
　　2.再将这个圆柱体捏成一个以 12.56 平方厘米为底的圆锥体（学生先想 象这个圆锥体的形象，再按要求做）
想算结合：什么没变？什么变了？与原来圆柱体有什么关系？
（V 不变、S 不变、形变、H 变）
板书：已知： V=62.8 S=12.56 求 h 锥=？（15）
15÷5=3
3.把圆锥体捏回圆柱体，再捏成以圆柱高 5 厘米为锥高的圆锥体； 想算结合：什么没变？什么变了？（V 没变、H 没变、S 变）与原来圆柱
体又有什么关系？
板书：已知：h=5 V=62.8 求 S 锥=？（37.68）
37.68÷12.56=3 通过直观教学和计算相结合，学生发现圆柱体和圆锥体之间的内在联
系：


　　由于学生自己动手，直观教学，对所学内容，容易接受，记忆深刻，并 通过教具、学具的应用，实际事例引导学生观察思考，使学生能够正确理解 所学知识的含义，在理解的基础上从感知经表象到认识，从而突破教学难点。

五、以形式多样的课堂练习突出重点，突破难点


　　精心设计课堂练习是提高教学质量的重要保证，因为学生是通过练习来 进一步理解和巩固知识的，也必须通过练习，才能把知识转化成技能技巧， 从而提高综合运用知识的能力。所谓精心设计练习，关键在于“精”，精就 是指在新课上设计的练习要突出重点——新知识点。围绕知识重点多层次一 套一套地让学生练习。
例如：“三位数乘多位数”新课知识重点是用乘数百位上的数去乘被乘
数，乘积是多少个百，乘得的积的末位要写在积的百位上。这一个新知识是 在学生掌握一、两位数乘多位数计算法则的基础上来学习的，因此，设计新 课练习，要紧紧围绕新课知识重点，在学生原有的知识基础上设计以下练习 题：
1.完成下列各题计算：
① 314 ② 537

×255
1570

×348
4296

1570 2148 目的：集中时间和注意力放在本节课重点上。
2.计算下列各题：
（1）541×632 （2）712×431 目的：a：乘数个位、十位上数字小，节省时间 b：重点放在本节课上 c：独立完成三位数乘多位数的计算
3.选择教材上练习题： 目的：通过在前两套计算题目的基础上，总结归纳，使中差生能独立计
算。
4.思考题：
（1）5379×8641 （2）735×1324 目的：a：起到知识渗透、迁移的作用 b：培养学生思维的灵活性
因而，要突出教学重点，还应在设计授新课的练习题上下功夫。 综上所述，教师的教服务于学生的学，教师每备一节课，要动一番脑筋，
花一番心血，认真研究教学大纲，深钻教材内容，并结合学生实际，把握教

材内容，弄清重点、难点，深刻理解教材意图，合理安排教学环节，精心设 计课堂设问，方可找出突出重点，突破难点的方法和最佳途径。

怎样在课堂教学中使用数学语言


　　语言是人类特有的用以表达意思，交流思想的工具，也是人们进行思维 的工具。
　　数学语言则是人们用以描述及表达数量关系和空间形式以及相互关系的 特殊语言。数学语言包括口头的数学语言与书面的数学语言，而书面的数学 语言又可以分成文字语言、图象语言和符号语言。就数学的口头语言与文字 语言来讲应有文字简练、含意确切、逻辑严密等特点。数学教师准确使用数 学语言进行教学是帮助学生牢固地掌握数学概念、提高计算能力、逻辑思维 能力和建立准确、清晰的空间想象能力不可缺少的条件，当然也是使学生进 一步学好数学和从事其他科学研究工作的必要条件。
　　在数学教学中，教师不仅自己要用准确、科学的数学语言进行教学；还 应要求学生在正确理解数学语言的基础上，学会用准确、科学的数学语言回 答各种数学问题。

一、数学教师要在课堂教学中正确使用数学语言


　　数学语言是教师向学生传授数学知识的重要工具；也是学生学习数学知 识的必要手段。因此，数学教师在课堂教学使用数学语言时，要注意以下三 点。
（一）正确使用数学语言，准确表述数学概念
　　苏联著名教育家克鲁普斯卡娅曾指出：“数学是许多概念组成的锁链。” 数学概念是进行数学思维的细胞，进行数学判断的依据，进行数学推理的基 础。因此，要求学生正确理解和牢固掌握数学概念是小学数学教学的首要任 务。
根据小学生的思维特点，小学数学教材出现的概念主要通过直观演示，
观察思考，然后由教师运用准确、科学、清晰的数学语言进行概括与表述， 进而形成数学概念。因此，数学教师运用数学语言概括与表述数学概念时要 准确、恰当、合理地使用每个“字”、“词”。因为每个字、词都有确切的 含义，都直接影响学生对数学概念的理解和使用。
　　例如，当学生在学习“约数和倍数”概念时，对于这组概念正确的表述 是：“如果数 a 能被数 b 整除，数 a 就叫数 b 的倍数；数 b 就叫数 a 的约数。” 而有些教师不注意数学语言的科学性与准确性，竟把以上概念说成：“如果
数 a 能被数 b 除尽，那么数 a 就叫倍数；数 b 就叫约数。”这是极端错误的， 首先除尽与整除是两个具有不同内容的数学概念，其次约数、倍数是成组出 现的，具有密切联系的概念。
　　数学概念，语言科学严谨，逻辑性强，概念中的每一个字、词既不能删 减，也不能随意增加，更不能任意调换，而有些教师不明确这一点，在教学 中犯科学性错误。
　　如“分数基本性质”是这样表述的：“分数的分子与分母同时乘以或除 以相同的数（零除外），分数的大小不变。”在叙述时，这个“零除外”不
　　
能丢，丢掉了就犯了科学性错误。
（二）正确使用数学语言，明确算式的意义 数学中的算式都可以用数学语言表达。在数学教学中教师应正确使用这
些数学专门用语，如四则运算中的名称、算式的具体意义、运算顺序的表 达??，这是十分重要的。
　　例如，在学生学习“两步式题”中我们就可以训练学生用准确、科学的 数学语言读出下列算式：
（1）100-15×3 读题：从 100 里减去 3 个 15 的积，差是多少？
（2）276+185÷5 读题：276 加上用 5 去除 185 的商，和是多少？
（3）12×（3+4）读题：12 乘以 3 与 4 的和，积是多少？
（4）（98-33）÷5 读题：98 减去 33 的差再除以 5 的商是多少？ 学生用准确、科学的数学语言读出算式，不仅可以保证四则运算顺序的
正确，而且能帮助学生在弄清数量关系的前提下，为正确解答文字叙述题打 下坚实的基础。
（三）正确使用数学语言，明确数量关系 使学生正确理解数量关系是正确解答应用题的基础。在数学教学中，教
师应引导学生通过对数学语言的理解掌握数量关系。 例如，在学生学完“简单应用题”后，我们可以紧扣以下基本应用题，
概括出基本的数量关系式：
（1）一个练习本 8 分，买 4 个练习本用多少钱？
8×4=32（分） 单价×数量=总价
（2）拖拉机每小时耕地 12 亩，5 小时耕地多少亩？
12×5=60（亩） 工效×工时=工作总量
（3）汽车每小时行 60 千米，7 小时行多少千米？
60×7=420（千米） 速度×时间=路程
当然还可以运用“一乘带两除”的方法再得到 6 个新的数量关系式。这
样，通过对具体应用题解答，用数学语言进行科学抽象的概括，得到一般的 数量关系式，为正确解答复合应用题打下坚实的基础。


二、数学教师要在课堂教学中正确使用三种数学语言，发展学生的思维 能力


　　数学语言一般包括口头语言与书面语言。书面语言又可以分成文字语 言、图画语言和符号语言。我们在数学教学中结合不同的教学内容，充分发 挥三种语言的功能，提高学生的思维能力。
（一）发挥文字语言的功能，培养学生思维能力 文字是书面语言的表达形式，是记录与传达语言的书写符号。在数学教
学中教师应引导学生对应用题进行咬文嚼字的分析，深刻理解题意，正确解 题。
例如：“一桶汽油，倒出 40％，刚好倒出 12 升。这桶汽油有多少升？” 我们抓住“分率句”进行以下咬文嚼字的分析，层层剖析，进而顺利进

行解题。
（1）倒出 40％，倒出谁的 40％？
（学生回答：倒出 40％，倒出这桶油的 40％，这桶油重应为整体“1”。）
（2）这桶油重是整体“1”，是所求问题，怎样表示？
（学生回答：这桶油重为整体“1”，用 x 升表示。）
（3）倒出 40％，刚好是 12 升，怎样列出方程？
（学生回答：设：这桶油重 x 升。
x×40％=12 x=12÷40％ x=30
答：这桶油 30 升。）
（4）谁能用语言表达 12÷40％算式的意义？
　　（学生回答：12÷40％的意义是已知一个数的 40％是 12，求这个数是多 少？）
这样，发挥文字语言功能，培养学生思维能力。
（二）发挥图象语言的功能，培养学生思维能力 图象语言是用线条或颜色描绘事物的形象。数学教学中的表格、图画、
线段图都是图象语言。
　　图象语言能直观、具体、形象地记录或表达数量关系，因而在数学教学 中具有重要作用，我们可以借助图象语言培养学生的思维能力。
例如，我们引导学生解答思考题“一块铜和银合金重 330 克，其中铜重
1
量比银的重量的 少10克.这块合金中的银和铜各重多少克 ?" 时, 对于330克加
7
10克, 还是330克减10克才能与(1 ? 1 )对应, 不能准确判断, 这时运用图解这种图
7
象语言进行表述则问题可迎刃而解。
我们可以根据题意画出下列线段图 15：
















设：银的重量为整体“1”。
从图中可以看到, 如果在银铜总重330克上加上10克则与(1 ? 1 )相对应.
7
则可列式解答：

1
(330 ? 10)÷(1 ? )
7
1
? 340÷1
7
=297.5（克）??银的重量
1
297.5× ? 10
7
=42.5-10
=32.5（克）???铜的重量 答：在铜银合金中银重 297.5 克；铜重 32.5 克。
　　这样，运用图解可以使学生深刻理解经过“转化”可以达到“对应”， 正确解题的道理。
（三）发挥符号语言的功能，培养学生思维能力 符号是代表事物的记号或特殊标记。使学生掌握数学符号是学好数学重
要一环，可以毫不夸张地说：不懂数学符号就无法学好数学。 美国著名数学家波利亚曾指出：“数学符号看来是一种语言，一种构造
良好的语言，一种非常适合目的、简练而准确的语言。??，使用符号进行 推理看来是不可少的！”
例如，我们要求学生解答：“甲乙各带一些钱，甲如果加乙的 1/2 共 50
元；而乙加甲的 2/3，也是 50 元。求甲、乙两人各带多少元？”时，我们就 可以引导学生，运用数学的符号语言进行下述一系列思维：
设甲为 A，乙为 B，则可列成下式：
1
A ? B ? 50? ? (1) 式
2
2
A ? B ? 50? ? (2) 式
3
用 2 去乘（1）式中各项可得：
2A+B=100??（3）式
2
A ? B ? 50? ? (2) 式
3
用（3）式减去（2）式各对应数值可得：
1
1 A ? 50
3
1
A ? 50÷1
3
1

A ? 37
2

? 37.5

A=37.5 B=25
答：甲是 37.5 元，乙是 25 元。 这样，我们引导学生正确运用关系符号、运算符号与语言符号组成的一
套数学语言，进行推理，求得结果。这样充分显示示符号语言的极大作用； 运用符号语言进行分析、推理还可以把隐蔽在数学符号中的未知数量挖掘出 来导致新的发现！

三、数学教师在使用数学语言进行

教学时应注意以下几点：
（一）注意语言的准确性 数学语言必须准确——不能似是而非、含混不清、模棱两可。 例如，体积与容积是两个不同的概念。 什么叫体积？体积是指物体所占的空间大小。 什么叫容积？容积是容器所容纳物体的大小。 在解题中，二者在数值上是相同的。但本质上有所不同，在描述这两个
概念时要注意严格区分，否则就会出现“求容积就是求体积”的错误概念。
（二）注意语言的逻辑性 数学语言必须符合逻辑。也就是数学语言要符合同一律、矛盾律、排中
律和充足理由律。 例如，把“整除”与“除尽”混为一谈，就是违背了同一律。 又例如，在教学中有的学生认为“所有的直径都相等”、“所有的半径
也相等”而忽略了“在同圆或等圆”这一前提，而违背了充足理由律。
（三）注意语言的科学性 数学语言要注意科学性就是指数学教师的语言在语法要求上是正确的；
在逻辑上要经得起推敲；在科学上是有定论的。有些教师不注意这一点，只
考虑学生的兴趣而损害数学语言的科学性。 不少老师在叙述分数除法计算法则时说：“颠倒相乘”，这是不科学的，
不如按教材中所说：“甲数除以乙数，（零除外），等于甲数乘以乙数的倒
数。”更为科学。
（四）注意语言的启发性 数学语言要有启发性，就是说数学教师要通过语言启发学生思考问题。 德国著名教育家第斯多惠指出：“一个坏的教师是奉送真理；一个好的
教师是教人发现真理。”这是数学语言启发性的真谛。
例如，我们在教“繁分数”时，教师不必告诉学生繁分数的定义，可以 通过练习使学生自己去发现繁分数的特点，自己总结繁分数的定义。
上课要求学生把以下各式写成分数：
1 3 4 7

2 ÷3、5÷6、7 ÷11、1÷1

、 ÷7 、 ÷1

5 8 7 9
学生对前三个题很快就写好了: 2 、 5 与 7 .

3
但对后三个算式产生了怀疑。

6 11

有的学生说：“过去学的分数，分子、分母都是整数。如果把后三个题 也写成分数，那么分数的分子、分母不是整数而是分数了。那么分数的分子、 分母可不可以写成分数呢？”
3 4

很多学生在练习本上写出: 1

、 8 、 7 .

11 17
5 9
教师向学生提问：“这三个数是什么数呢？” 然后要求学生翻开数学课本自己阅读繁分数定义。这样经过自己观察、

思考、分析，学到的数学概念记忆是牢固的。 综上所述，在数学教学中，我们教师要深钻教材，精心备课，并运用准
确、科学的数学语言进行教学，为数学教学最优化创造良好的条件。

怎样组织学生讨论及动手操作 一、组织学生讨论及动手操作的重要性和必要性

　　在 1995 年 12 月中国教育报上王坦的一篇《合作教学的基本理念》文中 谈到：“合作教学是目前世界上许多国家普遍采用的一种创新的教学理论与 策略”“在教学目标上，合作教学注重突出教学的情意功能，追求教学的认 识情意和技能目标的均衡”“在教学过程上，合作教学强调师师之间、师生 之间和生生之间的多边互助”“在师生角色上，合作教学提倡教师当好‘导 演’学生当好‘演员’更要注重学生的活动，把重点放在学生的‘学’上”。 我们在小学数学教学过程中，运用讨论及动手操作，是不是也是“合作
教学”中的一种教学方法呢！ 在小学数学教学过程中，尤其是教学改革的今天，要求数学课堂教学，
在学生学好双基的同时，要注意培养学生的计算能力逻辑思维能力、空间观
念、解决实际问题的能力。在教学方法上，面向全体学生，重视学生参与教 学过程。在教学过程中，要注意信息的多向交流。所以，在课堂教学过程中， 教师可采用组织学生讨论及动手操作等教学方法。
动手操作、讨论是学生参与教学过程的重要手段和方式。
　　课堂上组织讨论，信息交流是多向的，学生和学生之间、学生和老师之 间的交流，信息交流及时、准确。教师能准确、及时获得教学信息，适时反 馈，达到较好的教学效果。
课堂上组织讨论，可以满足学生“说”的要求。
　　课堂上根据教学内容，适时适当地安排学生动手操作，教师借助操作活 动，引导学生运用多种感官（眼、耳、手、口），动脑、动手、动口，通过 对感性材料的观察、比较、分析、操作，逐步上升到理性认识。这样做，既 符合儿童好奇好动的年龄特点又符合他们思维特点和认知规律。
为了解决学生被动学习的局面，调动学生学习的积极性和主动性，使学
生“想学”“会学”“乐学”，教师要为学生参与教学全过程创造条件，创 造机会。课堂上组织讨论及动手操作，就是为学生参与教学全过程创造了条 件和机会。
　　所以，在小学数学教学中，组织好学生的讨论和动手操作是很重要的、 很有必要。

二、怎样组织学生讨论及动手操作


（一）怎样组织学生讨论 组织学生讨论绝不是为讨论而讨论，要根据教学内容，根据不同的年级
来安排。有的教师平时很少组织学生运用讨论的方法，但一到作课时，为了 让听课者看，盲目的运用讨论法，这样做，只是走过场，达不到学生讨论的 目的，这样的讨论不如不用。

1.组织学生讨论的目的要明确 例如：六年级概念教学课“百分数的意义”，当教师通过启发引导，研
究了“成分”又过渡到“两个数的倍数关系”以及研究了“谁是谁的百分之 几”等一系列的活动后，需要学生抽象概括出什么是百分数的意义时，学生 不知如何总结。这时有的学生想说又怕说错，有的同学有想法但又不敢说。 教师抓住时机，组织学生四人一组进行讨论“什么是百分数”，这时讨论的 目的是：让学生交流，互相启发，组织语言，概括定义。这样组织讨论后， 让同学把交流得到的信息，反馈到教师和其他同学中，便于教师引导学生逐 步归纳总结出概念定义。
　　又例如，学习圆的面积计算公式，在公式推导过程中，把圆转化割补为 近似的长方形后，教师组织学生讨论，研究面积相等的圆和拼成的近似长方 形之间有什么关系。这时讨论的目的是：让学生清楚地知道，近似长方形的 长相当于圆周长的一半，近似长方形的宽是圆的半径，拼成的近似长方形和 原圆面积相等。研究讨论了后，为圆面积公式推导铺平了道路，打下了基础， 让学生参与了圆面积公式的推导过程。
2.组织学生讨论时要做到
　　（1）选择讨论内容，设计讨论题目，难易适度。在课堂教学安排讨论的 问题的设计要有启发性、思考性。讨论的问题难易要适度。过易没有讨论的 价值，过难的学生不会，讨论不出结果，造成“冷场”。
组织讨论能活跃课堂气氛，但一定根据教学内容的需要来运用讨论教
法，是为教学内容服务的。不要生硬地安排讨论，不需要运用讨论时就不用。
（2）组织讨论要适时 组织讨论的时间要恰到好处。例如：一年级第一册教材里“破十减”这
节课。教师通过“17-9=？”这题来学习减法中的另一种思考方法。“破十减”
学生看到这题后，可以运用以前学过的看减法想加法来做：因为 9+8=17，所
以 17-9=8。教师要引出“破十法”怎么讲呢，就先通过动手，怎样从 17 根 小棒（一捆 10 根小棒和 7 根单根小棒）中取出 9 根小棒，让学生自己想办法， 怎样拿，这时教师组织学生讨论：说说自己拿出 9 根小棒的过程。这时的讨 论是适时的，可以让学生互相启发，开动脑筋。讨论后，教师再结合学生汇 报的讨论结果，边演示边讲解给学生看、听，让学生理解“破十”的道理和 思考的过程。如果不在这时讨论，放在教师讲解演示后，就没有必要，不利 于学生思考，不利于学生思维能力的培养。
（3）组织讨论不同年级，形式方法要不同。组织学生讨论的形式方法，
不同的年级要不同。低年级要注意引导、启发，讨论的题目不宜过多，一般 提示的问题以一个或两个问题为好。在讨论时，启发他们说想法，教师也可 做为其中的一员，参加到某一组中去和他们一起讨论。
　　中年级学生，如果在低年级时已运用了讨论法教学，学生们会积极参与 到教师组织的讨论活动中。但是要引导他们讨论时不走题，讨论时，教师注 意启发他们讨论的深度。
　　高年级学生讨论，教师要启发他们的独创性，鼓励他们敢于谈出自己的 独立见解，敢于提出不同的意见，敢于争论。
　　组织中、高年级学生讨论的提示题目可以比一、二个多些，可以把讨论 题写出来，写在黑板上或投影片上。
例如：六年级复习圆柱体和长方体的体积和表面积时，把圆柱体沿直径

和高切成若干等份，拼成近似的长方体后，要找一找两个形体之间的关系， 达到复习提高的目的。这时组织学生讨论，可以提出几个思考讨论题，协助 同学们讨论。
　　思考题：a.这两个形体有什么关系？b.它们的体积有没有一个统一的求 法？c.它们的表面积相同吗？谁大？大多少（怎样求的）？
（4）组织讨论可和动手操作结合起来。
（二）怎样组织学生动手操作 动手操作、讨论都是学生参与教学过程的重要手段和方式。所以根据教
材内容，适当地安排学生动手操作，有助学生理解概念、算理、法则、公式、 性质等知识，这种教学方法符合学生的思维特点和认知规律。
1.动手操作的目的要明确 在课堂教学中，根据教材特点，安排动手操作，目的一定要明确。 例如：一年级讲“同样多”，可让学生动手操作，理解概念。教师让学
生拿出 3 个圆形，又拿出 3 个三角形，把 3 个圆片在桌上摆成一排，再把 3 个三角形与 3 个圆形一个对着一个地摆成一排，这样摆好后，体会 3 和 3 同 样多；再拿出 5 个正方形，5 个三角形，每一个正方形和每一个三角形对应 摆好，摆成两排，再次体会 5 和 5 同样多。通过多次动手，体会概念，既满 足了他们好动的特点，又加深了对抽象概念的理解。
例如：一年级在讲 20 以内的加法时，要讲到“凑十法”，可以通过学生
动手操作，把“凑十法”的算理清楚地展示在学生面前，便于学生理解算理， 掌握计算方法。
又如：六年级讲圆面积公式推导，通过学生动手操作，使学生参与推导
公式的全过程，理解圆面积公式 S=πr2 是怎样推导出来的。 四年级平行四边形面积公式的推导，通过学生动手操作，使平行四边形
转化割补成已学过的长方形，找出已割补好的长方形和原平行四边形的关
系，推出平行四边形面积计算公式 S=ah，让学生理解公式的来龙去脉。
2.组织学生动手操作时要做到的几点
　　（1）课前准备好学具。动手操作时运用的学具要准备充分、齐备。教师 可以在开学前，根据教材内容，为学生统一购买好学具袋。（尤其是一、二 年级）。也可以带领学生自己制作学具，如数字卡片、20 个圆形、20 个三角 形等。
例如：六年级学习圆面积公式推导时，就要求每个学生准备好同样大小
的几个圆形、剪子等学具。 复习圆柱长方体时，教师要事先准备好圆柱、长方体，每 6 人一组准备
有一套学具。 上课前，教师要检查学生的学具准备情况，整齐摆放好。
　　（2）动手操作前适当指导，提出具体要求。需要动手操作了，教师要给 予适当的指导，提出具体的要求。
　　如：六年级第十一册学习圆面积公式推导过程，需要学生动手操作。首 先让学生在课前准备好大小相等的 3 个圆。第二步引导学生怎样割补，怎样 剪，沿什么剪；第三步把其中的一个圆分割成 8 等份，另一个圆分割成 16 等份。第四步进行拼，要求把分割好的圆拼成已学过的平面图形。上面是动 手操作过程，要指导按步骤进行。操作后配合讨论题进行讨论，研究推导出 圆面积公式。
　　
　　又例如：低年级进行口算（20 以内加减法口算），学生用举数字卡片表 示得数，这也是低年级动手操作的一种形式。教师在学生动手前，先让学生 把数字卡片在桌上摆放整齐，按从大到小（也可以从小到大）的顺序从左往 右摆好。教师的题目出示后，学生不出声把得数同时举起来，卡片举得不要 过高也不要过低。当老师让放下时，同时放下，动作轻而齐。练习结束后， 迅速将卡片收好。
不同的年级要求不同，教师指导也根据不同年级而定。
　　（3）动手操作时，组织好学生纪律，培养学生良好的习惯。动手操作是 全班学生都参与的一项活动，学生们动起来，如果不组织好纪律，就会很乱。 所以，教师要组织好学生纪律，使操作井井有条。
　　根据操作的目的，不同年级，学具准备情况，操作可以有单独一个人进 行，也可以二人一组、四人一组进行。在操作时，无论是单独操作还是几人 一组操作，要让每位学生都有事做，不能有人闲着无事可做。要求学生不要 大声说话，操作时动作要轻。
　　在操作过程中，要有时间限制。操作前要向全体同学公布操作过程共需 多少时间，在规定时间内大部分学生完成操作程序，就要宣布结束操作，即 使有的同学没有操作完，也必须停止，不能没有时间限制。要求每位学生服 从教师指挥，说停止操作全班学生都要停止。
在操作过程中，随时对操作结果进行必要记录。
操作所用学具，在操作前、操作后都不许学生随便乱动。
　　（4）操作后，把操作完成的成果摆放在桌上，学具收拾整齐要展示操作 结果，并阐述操作收获。
学生动手操作后，要把操作的结果向全班展示，并根据需要叙述操作过
程和通过操作所得到的启示。有时有的同学操作的结果不理想，教师要选择 操作较正确、效果理想的，向全班学生展示，达到操作目的。
例如：一年级讲“20 以内退位减”这部分内容时，讲到“破十减”，学
生动手操作，把“破十减”的算理通过拿小棒的方法展示出来。学生动手后， 教师要把动手操作的过程在全班同学面前展示，帮助学生理解“破十减”的 算理。
又例如：六年级学习圆面积公式，在公式推导时，学生动手操作，把圆
沿直径分割成 16 等份后，可拼成近似长方形、平行四边形、梯形、三角形等。 学生拼好后的图形，教师可以用投影片投影展示给全班学生观察、思考，再 引导同学试推出圆的面积公式，逐步让学生叙述出推导过程，达到通过动手 操作进一步理解公式的推导过程。
3.动手操作要注意的几个问题
　　（1）动手操作要根据不同年级提出不同的要求。一般情况，低年级是简 单操作，教师指导要较细致具体些，中、高年级是稍复杂操作，指导时不要 过细，为学生留有思考的余地。
　　动手操作要随着年级不同、内容的不同，从机械模仿逐步到动脑思考， 教师要重视指导操作，培养学生会操作，培养学生动手能力。
　　例如：在四年级学习“平行四边形面积”时，学生动手操作，运用割补 法，把平行四边形割补成长方形。这时是学生第一次运用割补法来操作推导 出平行四边形的面积公式，教师指导时，可以细致些，具体些。到了六年级 学习圆的面积公式时，又要运用“割补法”，通过动手操作，推导出圆面积
　　
公式。学生已不是第一次运用“割补法”了。这次学生操作，教师要对学生 的要求要高些，不能只局限于按书上照猫画虎的方法去模仿了。而要引导学 生思考：怎样割补，为什么这样割补；怎样拼图，拼成什么样的图形；怎样 推导出圆的面积公式，有多少种方法等等。
　　（2）动手操作要和语言训练结合起来。动手操作是为教学目的服务的。 它是一种教学手段。所以动手操作要和语言训练结合起来。
低年级在动手操作时，可以边操作边说操作过程。例如，“破十减”以
17-9=8 为例。学生动手：打开一捆（ 10 根）小棒，拿走 9 根，还剩 1 根， 把剩下的 1 根和原来的 7 单根合起来。在手做以上动作的同时，口里一边叙 述过程：从 10 根小棒里去掉 9 根，还剩 1 根，把这 1 根和原来的 7 单根加在 一起就是 8 根，所以，17-9=8。这样做，学生不但会用“破十减”的方法进 行计算，还加深了对算理的理解。
　　高年级学生的操作，可以结合讨论法，在操作后，几个人一组，把操作 得到的启示互相说一说或在全班学生面前叙述操作过程和结论。
　　如果学生只动手，没有总结归纳，那么动手的效果并不高。如果通过动 手，又总结归纳，同学之间互相交流，然后向全班汇报。教师根据学生汇报 情况，整理、板书，让学生更深刻地了解掌握概念、公式、算理等，得到事 半功倍的效果。

怎样进行课堂练习与反馈


　　小学数学教学大纲指出：“小学数学教学，要使学生不仅长知识，还要 长智慧。”课堂练习是数学教学的重要组成部分，小学生对知识的真正消化、 理解、掌握往往是通过练习来解决的。具有促使学生动脑思维、动手演算、 动口表达的练习，利于学生进一步理解和巩固科学知识，并将其转化为技能、 技巧、利于学生的智力，特别是思维能力的发展。

一、怎样设计课堂练习


　　课堂练习是使学生掌握知识、形成技能、发展智力的重要手段，因此练 习的设计要注意目的性，要体现阶梯性，应反映多样性，要富有启发性。下 面就这四方面具体讲一下。
（一）课堂练习应有目的性
　　课堂练习的设计应该根据教学内容和目的，根据学生的年龄特征和心理 规律，做到紧密联系教学内容，紧扣教学要求，以教材为主，以基本训练为 主，以练关键为主。因此练习的设计、布置应围绕着教学的重点、难点和教 学目的进行。也就是从①以“双基”训练为主，使学生掌握基本功；②使知 识与技能相结合，加深对所学知识的理解和巩固；③有助于学生归纳所学知 识，系统掌握所学知识；④有助于训练学生思维，开发智力等方面来设计布 置练习。例如讲授新知识后安排直接运用本节课学习的概念、性质、法则、 公式等知识来解决问题的练习题，使学生较好地理解新知识，并初步形成技 能。
　　例如：新授四则混合运算式题（第八册第一页例 1）讲完运算顺序和例 题后，可以让学生练习以下几种习题：
　　
①先审题，再计算
375×15÷375+321×28
493×46+493+493×53
1620-1320÷60+80×25
83148÷676×304-8912÷16 这组题中的前两道小题可以运用乘法的交换律、结合律或乘法分配律进
行简算。这就提醒学生注意计算前的审题，看题目能否简算，能简算的要简 算。后两道小题不能简算要看清题里含有哪些运算符号，确定运算顺序后再 进行计算。
② 计算下面各题，并找出这些题目的相同点与不同点。
100+50-25×8÷40=145
100-50÷25+8×40=418
100÷50×25-8+40=82
100×50÷25+8-40=168

100+50÷25×8-40=76 使学生体会到有些题目虽然数字相同，但由于运算符号不同，运算顺序
也就不一样，结果也不同，加深学生对运算顺序的理解，提高审题能力。
③先填出图 16 图 17 方框里的数，再列出综合算式。 综合算式 综合算式
这些练习，大多是教材练习中的，根据课堂需要重新进行组合，它紧扣
了教学内容和要求，练了基本，练了关键，能收到较好的练习效果。
（二）课堂练习要体现阶梯性 课堂练习既要巩固新知识，沟通新旧知识的内在联系，还要发展学生智
力。简单机械重复的训练，学生容易养成“依样画葫芦”的恶习。因此课堂 练习的编排应遵循由简到繁的循序渐进原则。按教学大纲的要求：“要有一 定数量的基本练习题，也要有一些综合练习题和富有思考性的题目。”当教 学新知识后，则先设置理解新知识的定向性习题，这类题内容单一，主攻一 点，促使新知识内化，而后设置深化新知识的辨疑性习题，有意识地将一些 既有联系又有区别的新旧知识结合起来，引导学生观察、思考、比较和判断， 把那些似是而非、模棱两可的东西分析清楚。最后设置综合性题和引申拓宽 的创造性思考题。使练习题由易到难螺旋上升，具有阶梯性。
　　如引导学生认识乘法分配律后，设计再现性、发现性、创造性三种不同 层次的练习。
　　
第一层次：①应用乘法分配律填空：
（36+78）×5=（ ） ×（ ）+（ ）×（ ）
5×57+87×5=5×（ + ）
②先算（64+26）×15，后算 64×15+26×15，这两个算式有什么关系？
③用两种方法计算：（230+496）×3 第二层次：计算下面各题，看谁算得又对又快。
①（240+260）×18=500×18=9000
②74×362+362×26=（74＋6）×362=100×362=36200
③87×4-62×4=（87-62）×4=25×4=100
④25×44=25×（40+4）=25×40+25×4=1000+100=1100 第三层次：计算 125×96 你能想出几种解法
①125×96=12000
②125×96=125×（100-4）=12500-500=12000
③125×96=125×（90+6）=11250+750=12000
④125×96=125×（80+8×2）=10000+2000=12000
⑤125×96=125×8×12=1000×12=12000 课堂练习从三个层次设计层层递进，步步深入，不同程度的学生都练有
所得。特别是第三层次的练习，由于这题要求用多种解法，学生在解题时就
要进行一系列的思维活动，以选择最合理、最简便的解法，这样的练习利于 培养分析问题和解决问题的能力，学生的思维活动向抽象思维方向发展。
（三）课堂练习应反映多样性
　　小学生的注意力和兴趣特点决定单一形式的练习会感到单调乏味。练习 形式的多样化可以避免练习的枯燥和乏味。从不同的角度培养学生的逻辑思 维能力，可激发学生的学习兴趣。一般地说，属于概念、法则等基础知识， 大多设汁布置一些填空、选择、判断、改错等类型题；属于式题计算方面的 一般设计比较、变换式题数字、判断、改错、填空、说算理、探索等类型题； 属于应用题方面的则设计多解、多变、补充条件（或问题）、自编、比较等 类型题；属于几何初步知识方面的还可设计一些动手操作实践题等。同时， 为使练习形式丰富多样，让学生在练习时动脑、动手、动心，还应注意把口 算、笔算相结合；口答、作图和解趣题相结合；讨论、操作和实地实习相结
合。
　　练习的形式可多变，类型多样，从而激发学生的兴趣，集中学生的注意 力。如同样是四则混合运算，可编拟以下练习：
　　
①计算

3 1 5
5 ? 2 ×1
7 3 7

1 2
? 1 ÷
3 9

②填空

1 3 1
(4 ? 3 )×(4 ? 2 )

2 10 3








③接力跑


④夺红旗

　　⑤下面各题的计算，对的在括号里划“√”，错的划“×”，错在什么 地方，原因是什么，并改正。
　　
4
(1)3
7

÷5×2 7 ? 7
8 8

4
? 3 ÷5×2
7
? 25 ÷10
7
5

? 35
7
3
(2)2
5

( )


? (0.6 ? 4



1 3
÷3 )
2 4

3
? 2 ? (0.6 ? 12)
5
3
? 2 ? 12.6
5
? 15,2 ( )
⑥ 分析下面两题，应如何灵活计算。

1
(1)[30.7 ? (4
2

? 4 ×16)]×(1.47 ? 1
5

47
)
100

(2)8.6-3.9+1.4-1.1 不同类型、不同要求的习题，不但使学生同样达到计算练习的目的，而
且开阔了学生的知识视野，启发学生思维，培养学生灵活运用数学知识的能 力和计算能力。

二、课堂练习要富有启发性


　　学生运用已有的知识技能，进行练习，通过练习，启发学生认识有关数 学知识，完善认识结构。为此，课堂练习要寓算理、规律或知识技能的纵横 联系于题组之中，使学生通过练习不断受到启发。
在讲完分数的意义和性质后，出示这样一组练习题
① 判断下图分数表示的对错。（等腰三角形两腰平均分成三份）


②两图的中间部分是否可以用 1 表示.
3
这组题目学生对第一题都能做出正确判断，因为没有“平均分”而不能
用分数 1 表示, 因而都判定为" ×" .
3
　　第二题有不少同学受第一题的干扰，认为图 18、图 19 都没有对图形作 平均分，因而做否定的答案。进一步引导学生观察思考图 3 中间的 2 厘米是
全长6 厘米的 1 , 图19把整个三角形平均分成9 份变成图20, 中间一份恰为9 份中
3
的3份, 即为 1 . 。
3
　　这组练习，启发学生对分数的意义有更深入的认识，明白看问题要透过 现象看本质，不要为表面现象所迷惑。
又如在应用题练习课中设计了这样一组题：下面的应用题，有的可以解
答，有的无法解答。可以解答的请列出算式，无法解答的先写上“无解”再 说明为什么无解。
（1）一辆客车与一辆货车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，客
车每小时行40 千米, 货车的速度是客车的 4 . 行了2 4 小时, A、B两地相距多少
5 5
千米？（无解）（不知是否相遇）
　　（2）一个油箱，从里面量长 5 分米，宽 3 分米，深 1.6 分米。把一小桶 汽油倒入箱内。按每升汽油重 0.82 千克计算，箱内的汽油重多少千克？（无 解）（倒入的汽油高多少未知）
（3）一辆汽车与一辆货车分别从两地同时相向开出，客车每小时行 36
千米，货车每小时行 27 千米。货车开出 72 千米时因故障停下，修理了
2 小时后与客车相遇. 相遇时客车行驶了多少千米 ?36 ×(72 ÷27 ? 2 )
3 3
　　（4）捕捞队今年第一季度完成全年生产计划的 30％，第二季度完成全 年生产计划的 25％，去年下半年共捕 675 吨。今年计划捕鱼多少吨？（无解） 去年下半年捕鱼量与今年计划产量没有关系。
　　（5）图 21 表示一块周长是 232 米的长方形实验田，它由甲、乙两小块 组成，甲块地长和宽的比是 3∶2，乙块地是正方形。求整块实验田的面积。
1

232 ÷2 ×


3 ? 3 ? 2

? 14.5

（14.5×3）×（14.5×5）


　　这组练习解答时一反往常的惯例。审题之后首先要作出此题“无解”或 是“可解”的判断。而要做出这个判断，必须从整体出发，对题目的条件与 问题进行分析与综合，需要严谨的判断与推理，突出了整体观念和转化思想。 因此，有利于培养学生的逻辑思维能力。
　　在教学中，精心设计课堂练习，做到练有目的，练有层次，形式多样， 练有启发，能使“双基”教学得到加强的同时，利于学生数学能力的培养。

三、布置练习时应注意的问题


（一）正确运用课本练习题和适当补充练习题 练习题的设计，需要教师进行再创造，应根据学生理解—探索—运用知
识的这一过程进行设计，并用直接或间接的教学经验，正确地预见到学生学
习的难点和常见的错误，作为练习设计时的参考，正确运用好课本练习题。 如有的直接运用，以巩固、深化所学知识；有的可拉开档次，以练促进探索； 有的则可强化，以练促学。在使用教材练习题为主的前题下，则根据教学的 需要适当补充练习，设计各种不同的类型，从不同角度来巩固知识。这既有 利于调动学生自学的积极性，又有利于对所学知识的巩固深化，还有利于减 轻学生过重的作业负担。
（二）讲究练习安排的科学性
　　练习题的布置应注意科学性。一要让正确的知识能在学生头脑中先入为 主，注意练习题的转换，引导学生的助长性迁移；二要注意再现性练习与创 造性练习的搭配；三要调节好练习题的笔、口、听、操作并重的关系，把动 笔、动口、动耳、动手的练习合理安排，交错进行，使语言、思维和操作相 互促进，避免单一、呆板的练习，从而激发学生的兴趣；四要做到适时。就 每节课来说，新授课之后要及时进行练习，使学生新学到的知识在遗忘开始 前就得以巩固。就教学的某一阶段或某一单元来说，则根据知识的阶段性和 系统性，适时组织练习，尽早形成知识体系，防止“零散”和“脱节”。
（三）练习形式要适宜，难易要适度 练习题的布置设计，要以教材为依据，以大纲为准则。大纲要求理解和
掌握的内容，要作重点练习，不能打折扣。大纲要求了解或初步认识的内容， 练习时应掌握分寸，不能任意拔高。属于渗透或孕伏的内容，不能提早揭示 其内涵。在练习形式上要适宜，符合儿童心理特点。对每次练习都要讲求“质 量”，不能只求“多”而不讲“质”，不能单靠数量取胜，既要把握住练习 时间的准确性和灵活性，又要在内容上达到教师检验教学效果和了解学生的 目的，以真正发挥每次练习的效用。

四、怎样收集课堂练习中的反馈信息，实现“即时反馈”


（一）课内练习注意巡视
　　课堂练习中的判断题，学生可使用有“√”“×”的反馈牌，对于练习 结果教师可以一目了然；对于选择题，学生可使用标有 1、2、3 数码的选择 牌；遇有需要列式解答的题目，学生可使用纸片小黑板，学生做完后统一举 起来，教师可以找出需要订正的问题举给同学看。遇有需用练习本做题时， 既要采取“采集式”巡视，发现一些普遍性和关键性的问题，及时讲评，又 要“蹲点”巡视，以发现中下等学生练习中的问题并及时给予辅导及解决个 别优等生的质疑问难，做到对练习情况胸中有数。
（二）坚持记载分析 提倡每节课之后附上批改记录（或知识病例卡），如表 1。这样，查漏
补缺就有了依据。
题 次 错题举例 错 题 者 人 数 原因分析


（三）怎样才能实现“即时反馈”呢？ 首先要善于捕捉信息。如在正反比例复习课中，教师出示：甲乙两地相
距 320 千米。汽车从甲地开往乙地，3 小时行了 120 千米，照这样的速度， 还要几小时到达乙地？（用比例方法解答）。学生练习中出现：320÷（x+3）
320 ? 120 120

? 120÷3;
x

? 两块练习板片贴在黑板上, 请同学判断对错, 后者是
3

正确的打上“√”，前者是错的打上“×”号，接着问：“前者错在哪里？ 怎样改就正确了？”使学生明白了，前者是方程式，数量关系是正确的，只 要把“÷”号换成“∶”号就做对了，这样思路就开阔了。又如判断：把一
个直圆柱削成一个最大的圆锥, 削去了圆柱体积的 2 . 学生在回答为什么判对
3
时说: 因为圆锥体积是圆柱体积的 1 , 所以削去的部分是 2 ." 这里, 学生忽视了
3 3
关键的四个字：“等底等高”。老师不可轻易放过，应该及时提出：“这位 同学的回答正确吗？”引发学生探究，肯定正确的，纠正错误的，补充缺漏 的，以形成严密、准确、清晰的概念。
第二，要善于灵活应变。如，异分母分数加减法的练习课中，一位同学

1 1
板演: ? ?
4 7

4 ? 7
4×7

11
? , 反馈时, 多数学生说:" 得数是对的, 过程不对". 老师不
28

急于下结论，而是引导学生再观察两例

1 1 3

2 3 ? 2 5

? ? ? ? ?

2 3 2×3
1 1 5

2×3
3

2×3 6
5 ? 3 8

? ? ? ? ?

3 5 3×5

3×5

3×5 15

　　这时，同学不仅一致肯定上式的正确，而且悟出：分子是 1，分母互质 的两个分数相加，和的分子是两个分母之和，和的分母是两个分母之积。
第三，要善于突出知识重点。如，教学除数是小数的除法例题后，不急
于让学生计算, 而是即时出现1.2 46.8 27.6 0.69 0.035 0.7 等题目, 只要求学生
讲出" 变" 的过程, 如只要说出1.2 46.8 运用商不变的性质变为12 468就可以了.

把被除数与除数的小数位数相同的、不同的各种类型精选出来，让学生在 “变”中触类旁通，举一反三。善于把握契机，扣住重点，精心设计，即时 反馈，能达到省时高效。
即时反馈就要及时讲评，不论何种讲评，一般应注意以下几点： 第一，讲评的目的性。作到每次讲评有一个重点，突出地解决一两个问
题。
　　第二，讲评的启发性。讲评不是单纯错题更正，而应通过老师点拨，启 发学生主动积极思考，错者知其错因，对者受到启示。一般采用自评再讨论， 老师启发诱导，补充练习，强化知识。
　　有目的的针对性的讲评不仅开阔了学生的知识面，发展了学生的思维， 而且使学生学得活，记得牢，并起到对知识的深化提高作用。
　　只要我们重视练习的合理布置，有效的即时反馈，就能事半功倍，提高 教学效率。

怎样设计课堂结构，提高教学效率


　　课堂结构改革是教学改革的一项重要内容，随着教学改革的不断深入， 人们越来越重视优化课堂教学结构的研究。
小学数学教学大纲中指出：“教学要讲求实效，注意提高课堂教学效率。”
课堂教学是以教材为中介的师生双边活动，只有在教师的引导下，优质高效 地完成课堂教学任务，才能全面提高教学质量、减轻学生过重负担。高效率 课堂教学的标准有两条，一是教学效果好，二是时间耗费少。多年来，我坚 持研究教材、教师、学生三者的关系，探讨教学过程的优化，使教学活动目 的明确，教学过程生动有趣，使学生的思维拓宽、能力得到提高。具体做法 是：

一、引


（一）创设情境，引发兴趣 数学教学的成败，很大程度取决于学生对数学知识的兴趣是否保持与发
展。托尔斯泰说过：“成功的教学所需的不是强制，而是激发学生的兴趣。”
实践证明，当学生的兴趣油然而生时，就会产生一种积极向上的内驱力，学 习效果就非同一般。因此，根据数学教材特点和儿童心理，教学中要创设愉 悦的教学情境，设置悬念，寓教于趣，使学生对所学内容真正产生兴趣，才 能促使他们积极思维和探索创新。
　　例如：在讲正反比例应用题之前提出这样的问题：不上树能量出树高吗？ 不上楼顶能测出楼高吗？??，使学生产生悬念，激发他们的学习欲望。在 教学三角形的内角和等于 180°时，老师问：“长方形的内角和是多少度？” 有些学生很快答出 360°，老师问是怎么想的？学生说：“长方形四个角都 是直角，所以是 360°。”老师又画了一个任意四边形，要学生求内角和是 多少，很多学生想不出来了。这时，一个学生把四边形作了一条对角线，分 成两个三角形，一个三角形的内角和是 180°，两个三角形的内角和是 360
°，老师接着问：“五边形，六边形，七边形呢？”学生回答：“都可以连 接对角线，把分成的三角形个数与 180°相乘，就可以求出内角和了。”学

生品尝到探索成功的喜悦，感到获得新知的满足，学习兴趣很高。
（二）做好铺垫，以旧引新 苏霍姆林斯基认为：教给学生能借助已有的知识去获取新知识，是启发
学生思考积极性的教学技巧。根据教材编排特点，老师在引导学生复习旧知 识的过程中发现新问题，抓住新旧知识的连接点是温故而知新的捷径。例如， 在学习“分数基本性质”时，老师以“商不变的性质”做铺垫，根据分数和 除法的关系，很快引出了“分数的基本性质”。在讲“分数除以整数”这节
课时, 老师让学生先做 6 ÷2, 引导学生说出 6 的分数单位是 1 , 6 ÷2, 是把6个
7 7 7 7
1 3 3

平均分成两份, 用6÷2, 一份就是
7

.接着再出一题 ÷2, 能用刚才的方法很
7 7

快算出得数吗? 引导学生推导出 3 ÷2, 就是求 3 的 1 是多少, 用 3 × 1 可以算
7 7 2 7 2
3 3 1 3

出得数, 从而推出 ÷2 ?
7

× ?
7 2 14

这种计算方法. 通过学生自己发现问题产

产生疑惑，又通过思考自己推出分数除以整数的计算方法。同时，也使学生 感到他们所学的新知识不是独立的，不是高深莫测的，而是旧知识的发展和 延续，从而使他们对学习产生兴趣。

二、探


（一）动手操作，引发思维 如何引导学生主动去探求新知识，是课堂教学中发挥学生主体作用的一
个重要标志。抓住了“探索”就突出了“主动”，即教师主导与学生主体的
结合，把教与学融合在一起。要认真研究学生的认识过程，让学生主动获取 知识。例如，“圆锥的体积”这部分知识，老师先拿出等底等高的圆柱体、 圆锥体各一个问同学：“这两个形体是等底等高的，用“底面积×高”这种 求圆柱体体积的方法来求圆锥体的体积行不行？”学生说：“不行，因为圆 锥体体积小。”老师接着提问：“既然圆锥体体积小，那么你估计出两个体
积大小是什么样的倍数关系 ?" 学生有说 1 的, 有说 1 的, 老师说:" 请你们用准备
2 3
的米、水和等底等高的圆柱体、圆锥体做实验。”学生分成小组，经过操作 实验，仔细观察，分析思考，得出了圆锥体体积是与它等底等高的圆柱体体
积的 1 相等, 反之, 圆柱体的体积等于与它等底等高的圆锥体体积的3倍, 从而
3
推导出求圆锥体体积的公式。在整个学习活动中，学生积极动脑、动手、动 口进行观察、分析、比较，既掌握了知识，又发展了智能。
（二）抽象概括，探索规律 小学生学习抽象的数学知识是一个由感性认识到理性认识的过程。因
此，数学概念或法则的教学，要从具体到抽象，运用现代化教学手段和教具， 从实例中，抽象出概念的本质特征，使学生感到所有数学知识的出现都是有 科学依据的。
　　例如：“圆的认识”这一节课，在研究圆的特征时，老师请同学们用准 备好的学具，画一个圆并画出半径、直径，上面再用透明胶片做一个与硬纸
　　
板上的圆同样大小的活动的圆，然后分小组动手演示，动口讨论，转动活动 的圆形，学生发现：同样大小的圆中，半径和直径有无数条，所有的半径都 相等，所有的直径都相等，直径是半径的 2 倍，半径是
直径的 1 , 学生通过从具体到抽象, 探索出在同一圆中, 半径和直径的特征, 概
2
括出了圆的特征。所以，重视由特殊到一般，由具体到抽象的原则，有利于 小学生智力的开发与能力的培养。

三、练


　　在数学教学中，教师可以及时根据学生反馈信息，调节控制教学过程， 学生也可以及时了解学习结果。
　　在讲授新课前，通过检查家庭作业、提问、板演等多种方式了解与新课 有关的旧知识，为调节控制所授新课提供依据。在讲授新课后，通过提问， 让学生概述新课要点，指名中差学生板演练习，师生共同评议，激励学生提 出疑问等方式，引发全班学生反馈，了解当堂消化新知识，掌握新技能的程 度，进行当堂巩固消化。有些练习题，老师要求每个学生把答案写在小黑板 上，学生举起小黑板，老师可以对全班学生的做题情况一目了然，及时得到 每个学生的反馈信息。对于一些判断题，老师让学生用“√”“×”两种卡 片，对的举起“√”，错的举起“×”，实践证明，学生了解自己的学习结 果比不了解学习结果时积极性高，通过反馈信息看到自己的缺点和不足，促 使自我激励，自我检查，自我矫正，产生胜利感，体验到依靠自己力量取得 成功的快乐，督促他们在知识的阶梯上更上一层楼。



怎样进行课后教学小结


　　数学教学中的课后小结，是整个课堂教学的重要组成部分，画龙点睛， 概括教学重点，承上启下的教学小结，帮助学生理清思路，加深对所学知识 的理解和掌握，对巩固知识，活跃思维，提高学生学习兴趣起着不可估量的 作用。

一、课后小结的特点


（一）课后小结要有计划性 每节课的教学内容，都要精心设计复习，导入新课，选择最佳的教学方
法，突出重点，突破难点，用恰当的练习得到反馈的信息，并加深学生对新 知识的理解，每节课教师要精心设计，周密安排，对于课后小结也不例外， 要设计好小结的内容、采用的方法，教学时总结什么、如何总结，要有一个 明确的计划。
　　如教学“除数是小数的除法”后，从数学思想，思维方法上加以小结。 指出“除数是小数的除法”，是由除数是整数的小数除法转化而来的，转化 发展的根本就在除数上，关键是将除数是小数的除法转化成除数是整数的除 法，转化的根据是“商不变的性质”，然后再按照除数是整数的计算法则进
　　
行计算。这样的小结把新知识与相关的旧知识加以沟通，使学生认识到事物 之间是有联系的，在一定条件下可以“转化”，不但突破了教学的难点，而 且培养了学生的观察能力。
（二）课后小结要有引导性 课后小结要立足于引导。按照知识的内在联系和学生的认知规律，充分
发挥教师的主导作用，学生积极参与，运用已有的知识和能力自己主动创造 性地来解决问题，掌握知识。
如学习完“工程问题”后进行看算式编题的小结，取得较好的效果。老

1
师在黑板上出示算式: ?
10

1
, 学生编题: 一件工程, 甲队独做10天完成, 乙队独做
8

8天完成, 甲乙合做一天完成全工程的几分之几 ? 老师在算式 1
10

1
? 的左边添上
8

1
"1" 和" ÷" , 成为1÷(
10

1
? ); 学生编出一道应用题, 教师再添上条件, 使算式成为
8

1
1 ? ( ?
10

1 1
) ×2, 学生纷纷举手要求编题, 再将算式改成:[1 ? ( ?
8 10

1 1
) ×2]÷ ,
8 8


(1 ?

1 ×2) ÷( 1

1
? )等等, 无论算式如何变化学生争先恐后发言, 通过这样引

10 10 8
引导出的小结，学生看清工程问题的本来面目，掌握它的本质及其解题关键。 又如学习了“圆的认识”后利用板书引导学生进行课后小结：我们学习 了圆的有关知识，知道日常生活中存在许多大小不等的圆以及圆是怎样形成 的，掌握了圆的画法，认识圆各部分的名称，知道圆心决定圆的位置，半径 决定圆的大小，在同圆里半径相等，直径相等，直径等于半径的 2 倍，也就 是半径是直径的一半，圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的 对称轴。引导学生将一节课所学的知识进行整理、总结，使学生逐步形成了
自己的认知结构，培养了逻辑思维能力。
（三）课后小结要有针对性 课堂小结要针对课堂教学实际，针对不同内容的教材，对例题的重点、
难点和教材的编排意图及知识间的内在联系，做全面分析，然后再设计教学
目标、选择教法及小结方法。 如讲解完没有括号的四则混合运算后，进行这样的小结：
1.本节课学习了什么内容？
（没有括号的四则混合运算）
2.你有什么收获？
（1）掌握了没有括号的四则混合运算的运算顺序；
（2）学会了脱式过程中的书写格式及如何写草式；
　　（3）计算前要认真审题。一个算式里有加、减法，又有乘、除法，要按 照先乘、除后加、减的顺序来计算，如果只有加、减法或乘、除法，要按照 从左到右的顺序进行计算；
（4）掌握了式题的验算方法。 教师总结：四则混合计算是小学数学计算的基础，今后要在“正确”、
“迅速”上下功夫。 围绕学习目标，有针对性的进行小结，对易错、易混的法则、概念有针
对性的进行区别，这样不但突出重点，层次清楚，而且将一节课所学知识进