① 译者注：这里所说的幻立方不考虑各剖面对角线上的三数和．实际上幻立方的严格定义应该是：用 1 至
n3 的自然数，填入 n3 个小立方体，使得立方体的每一个剖面正方形上的每行，每列，每条对角线，以及 立方体的四条对角线上各自的 n 个数的和都等于定数．实际上幻立方的构造是很困难的．已经证明 3 阶，4 阶的幻立方不存在．5 阶，6 阶幻立方是否存在，至今人们尚不清楚．7 阶幻立方已经有人做出．8 阶幻立 方诞生于 1970 年，其作者还是一位中学生哩！

分形——真实还是想象？


　　多少世纪以来，人们总是用欧几里得几何的对象和概念（诸如点、线、 平面、空间、正方形、圆、??）来描述我们这个生存的世界．而非欧几何 的发现，引进了描画宇宙现象的新的对象．分形就是这样一种对象．
　　分形的思想初见于公元 1875 至 1925 年数学家们的著作．这些对象被贴 上畸形怪物的标签，人们深信它没有丝毫的科学价值．它就是今天人们众所 周知的分形．分形一词是曼德勃罗于 1975 年创造的，曼德勃罗在该领域有着 广泛的发现．


　　雪花曲线①是一个分形的例子，它是在现有等边三角形的边上加上等边三 角形而形成的.
　　从严格意义上讲，分形是这样一种对象，将其细微部分放大后，其结构 看起来仍与原先的一样．这与圆形成了鲜明的对比，把圆的一部分放大后便 变得比较平直．分形可分为两类：一是几何分形，它不断地重复同一种花样 图案；另一种是随机分形．计算机和计算机绘图能够把这些“畸形怪物”可 靠地带回到生活中，在计算机的屏幕上，几乎能够立即产生分形，并显示出 它们奇妙的形状、艺术图案或细微的景观．
可能有人感到，只有欧几里得几何的正规形状才能应用在科学中，然而
上述新的形式却从不同的透视角度向我们提供了认识自然的观点．分形是一 个新的数学领域——有时也把它归为自然界的几何，因为这些奇异而混饨的 形状，不仅描绘了诸如地震、树、树枝、生姜根、海岸线等自然现象，而且 在天文、经济、气象、电影制片等方面也有广泛应用．


皮亚诺曲线是又一个分形的例子，还是一条充满空间的曲线．在一个空 间充满曲线是指在给定范围内的每一个点都被曲线经过，随曲线的描绘整个 空间逐渐变黑．图例是一个不完全的痕迹．


























① 原注：更多的信息见“雪花曲线”一节．

十亿分之一秒——在计算机上测量时间


　　一个电脉冲在十亿分之一秒①里行进了 8 英寸．光在十亿分之一秒里掠过 了一英尺．今天的计算机每秒钟能运算百万次．
　　让我们感受一下一台大型计算机能够以多快的速度进行工作，假定我们 考虑的时间为半秒．在半秒时间内计算机能够执行以下任务：

1）将 200 张支票登入 300 个不同的银行帐目中；
2）检查 100 个病人的心电图；
3）对 3000 张试卷 150000 个答案计算得分，并评价每个问题的效度；
4）为一个公司的 1000 名雇员计算工资；
5）还有多余的时间可做其他工作． 这是一个令人吃惊的想法：想象一台计算机如果由光驱动，那不是比由
电驱动更快吗？在想象的光控计算机中，需要采用什么样的数制系统？是否 要基于光谱中颜色的数目？或许光的其他性质？











































① 译者注：十亿分之一秒也叫“纳秒”（ns）．103 纳秒=1 微秒（μs），103 微秒=1 毫秒（ms），103 毫
秒=1 秒（s）．比纳秒更小的时间单位依次为皮（pico）秒，飞（femto）秒和阿（atto）秒．各缩小 103 倍．

达·芬奇的短程式圆顶


达·芬奇对许多研究的领域以及它们之间的相互联系都怀有浓厚的兴 趣．数学就是其中之一，他常把数学的许多概念用于他的艺术、他的建筑设 计和他的创造发明．下图是他草拟的短程式圆顶①的复制件．





























































① 译者注：这里所提到的短程式圆顶是指圆顶建筑的框架呈如图所示的短程线式的结构．

幻 方


　　多少世纪来人们对幻方总是怀着浓厚的兴趣．从古代起幻方就跟某些超 自然和魔术的领域相联系．在古代亚洲的城市，人们在考古挖掘中发现了它 们．有关幻方的最早记录，是约于公元前 2200 年在中国出现的“洛书”．传 说这个幻方最初是大禹①在黄河岸边的一只神龟的背上看到的．
　　在西方世界最早提到幻方的是公元 130 年伊士麦（现称士麦那，土耳其 西部的一个港口城市——译者）的勒恩的著作．公元 9 世纪，幻方在占星学 领域逐渐蔓延，阿拉伯占星家用它们来占星和算命．最后，大约公元 1300 年，通过希腊数学家莫斯切普罗的著作，幻方及其性质被传播到西半球（特 别在文艺复兴时期）．

幻方的一些性质：
幻方的阶数是由幻方的行或列的数目来规定的．例如右图的幻方阶数为
3，因为它有 3 行．

幻方的“幻”在于它具有令人迷惑的性质．其中一些性质如下：
1）每行、每列及对角线上数的和为同一个数，这个数即变幻常数，能够 通过以下方法之一获得：


1，2，3，?，n2 构成的．



　　b）取任意大小的幻方并从左上角开始，沿着每一行依次写下连续的数．则 每条对角线上数的和即为变幻常数．
2）任意两个与中心等距离的数（在同一行，同一列，或同一条对角线）
互补．一个幻方的数互补是指它们的和是同样的，而且都等于该幻方最大数 与最小数的和．
把已有的幻方变换为另一个幻方的方法：


　　3）把一个幻方的每一个数同时加上或乘以任一确定的数，所得的依然是 一个幻方．
4）如果把与中心等距离的两行及两列交换，所得结果还是幻方．
5）a）在一个偶数阶幻方里交换两个象限，所得结果仍为幻方．
b）在一个奇数阶的幻方里交换适当的象限和行，所得结


果仍为幻方． 关于幻方的论述比其他娱乐数学的课题都要多．B·富兰克林（Benjamin
Franklin）花了很多时间用在设计幻方上．构造 5 阶幻方具有相当的挑战性
（即用头 25 个自然数组成 5×5 方阵，使得每行、每列和每条对角线上数的 和是同样的）．行数和列数为奇数的幻方称奇数阶幻方；如果行数和列数是



① 译者注：大禹是我国中古代部落联盟的领袖．据记载，他曾领导人民疏通江河，兴修沟渠，治水有功．

偶数则为偶数阶幻方．偶数阶幻方的一般性构造方法人们仍在探求．但另一 方面，却已有不少的方法可以构造任意大小的奇数阶幻方．其中劳伯尔（La Loubere）发明的楼梯法，在幻方热心者中最为知名．上图说明了如何用这种 方法构造一个 3×3 幻方．
楼梯法：
1）从位于顶行中央的小方格的数字 1 开始．
　　2）下一个数放在位于右上对角的小方格里，除非该格已被占据．如果下 一个数落在幻方所在框架外头想象的小方格里，那就必须在你的幻方中找出 安放它的位置，这个位置在你的幻方中与想象的方格处于对等的部位．
　　3）如果你的幻方中，原拟放下一个数（右上角）的小格已被占据，则可 以直接将此数写在原数下面的小格内．例如图示中的数 4 和 7．
4）继续（2）和（3）的步骤，直到幻方剩下的数都各得其所． 现在我们尝试用楼梯法来构造 5×5 幻方（用头 25 个自然数）．检验一
下方法中那些使得幻方改变的环节，看看它们是怎样运作的．楼梯法
（对于 3×3 幻方）














　　用你所构造的任何一个幻方，将它的每一个数都乘一个你所选择的常 数，所得的结果仍是幻方吗？
对于偶数阶幻方而言，有许多方法是为特殊的偶数而设计的．
例如：对角线方法只用于 4×4 幻方．

作法：
　　由自然方阵（一个按行依次写下连续数的方阵）开始．如果某数位于对 角线上，则必须与它的互补数交换位置．
用一个 4×4 的幻方，通过适当的行或者列的交换，使得结果仍是幻方．如
果适当交换象限，结果也还会是幻方． 如果你能设计出构造其他偶数阶幻方的方法，那么或许你也能发现对所
有偶数阶幻方都适用的一般性方法①．同样你也有望找到或设计出构造任意奇 数阶幻方的其他方法．









① 原注：许多人花了大量的时间和精力去寻找偶数阶幻方的一般性构造法．H·瑟楚克、N·杰西等人声称自
己已经设计出了一种制造偶数阶幻方的方法．

一个特殊的“幻”方


　　斐波那契数列为 1，1，2，3，5，8，13，?，其中的每一项都是前两项 的和（从第三项起）．当用斐波那契数 3，5，8，13，21，34，55，89，144 依次替换三阶幻方中的数 1，2，3，4，5，6，7，8，9 时，会形成一个新的 方阵．这一方阵虽然不具有幻方通常的性质，但它 3 个行的乘积的和（9078
＋9240＋9360＝27678）等于 3 个列的乘积的和（9256＋9072＋9350＝
27678）．

中国三角形


　　数学具有普遍性．历史表明数学的发现和应用并不局限于单一的地区， 帕斯卡三角形的中国图式就是一个例子．虽然帕斯卡对他的数的三角形作过 一些有意义的发现，但同样的三角形却早在帕斯卡诞生前 302 年①（约公元
1303 年）就已出现在中国刊印的书本上！




















































① 原注：见“帕斯卡三角形”一节．

阿基米德的死


　　西那库斯①的阿基米德（Archimedes，公元前 287—公元前 212 年）是亚 历山大大帝之后三百年间在希腊居主导地位的数学家．


在公元前 214 至公元前 212 年的第二次罗马与迦太基的战争期间，西那 库斯为罗马军队所包围．这时阿基米德发明了许多机巧的防卫武器（如石弩、 将罗马战舰提起并撞碎的拖钩、使战舰起火的抛物形镜，等等），有效地抵 挡了罗马军队近三年．虽然西那库斯终因弹尽粮绝而落入罗马人之手，但罗 马统帅马塞拉斯下令不许伤害阿基米德．然而，一个罗马士兵进入了阿基米 德的家，发现他还在为一道数学问题而苦苦思索，完全无视于他的出现．士 兵命令他停止工作，但阿基米德没有予以理会，盛怒之下，士兵用剑刺进了 阿基米德的胸膛．
















































① 译者注：西那库斯是意大利西西里岛东南部的一个海港，公元前 734 年迦太基人建立的一座古城．

一个非欧世界


　　19 世纪是一个在政治上、艺术上和科学上有着革命思想的时代，数学也 一样，这时非欧几何得到了发展．非欧几何的发现标志着现代数学的起始， 如同印象派油画标志着现代艺术的起始一样．
在此期间，双曲几何（非欧几何之一）由俄国数学家罗巴切夫斯基
（Nicolai Lobachevsky，1793—1856）和匈牙利数学家 J·波约伊（Johann
Bolyai，1802—1860）分别独立地发现．


　　可以发现，双曲几何也像其他非欧几何一样，描述着与欧氏几何不相协 调的性质．例如，在双曲几何中线未必暗指是直的，而平行线也不保持等距 离（它们不相交而保持着渐近的关系）．人们在详细研究了非欧几何后发现， 它确实能够对宇宙现象给出更为精确的描述．从而，这些几何能够为描述不 同的世界而存在．
　　法国数学家庞加莱（Henri Poincaré，1854—1912）创造了一个这样的 世界．他想象宇宙被囿限于一个圆内（对于三维模型则可形象化为一个球 体），其中心温度为绝对零度．当人们从中心出发旅行，周围温度上升，但 这个宇宙中的物体和居民并不晓得温度在改变．今设想每件东西的大小也随 着移动而改变，即每个物体和生命在接近中心时变大而在接近边界时依比例 缩小，而且他自身并不晓得，也不可能发觉自己的大小变化．这意味着一个 人的步伐当他向边界移动时，将变得越来越小，从而将出现这样的情形，即 只能逼近于边界而无法到达于它．这种现象使得这个世界显示为无限，而此 间两点间最短的距离是一条弯曲的线，如果我们沿着这条弧状线从 A 到 B 移 动，则所需的步伐最少．


　　上图就是这样一个世界，在这个世界里三角形的边由弧线组成，就像图 中三角形 ABC 那样．平行线也以新的面目出现，线 DCE 与线 AB 平行，因为它 们没有交点．
实际上庞加莱的宇宙能够描述我们生活着的世界．如果我们考虑自身在
宇宙中的位置，而且我们能够进行用光年来度量的距离的旅行，那么也许我 们能够发现自己身体尺寸的改变．事实上根据爱因斯坦的相对论，当速度接 近光速时尺子的长度变短！

庞加莱是一位具有创见性的思想家．在巴黎大学文理学院当教授期间
（1881—1912 年），他所开设学科的多样性说明了这一点．他的著作和思想 覆盖了诸如电学、势论、水力学、热力学、概率、天体力学、发散数列、渐 近展开、积分不变量、轨道的稳定性、天体的形成等等科目．他的著作可以 说在一定程度上激励了 20 世纪的数学思想．

炮弹与金字塔


　　平方数、金字塔数以及它们累加的和数，可以用来确定一个底为正方形 的金字塔内炮弹的数量．





试研究以上各数的图样． 在下图中有多少炮弹呢？

尼科梅德斯蚌线


　　在探索某些数学问题的解答时常常会引发新的概念和发现．古代著名的 三大作图问题——三等分角问题（即把给定角分为相等的三部分），倍立方 问题（即作一个立方体使它的体积两倍于给定立方体的体积）及化圆为方问 题（即作一个正方形使它的面积等于给定圆的面积）——刺激了数学的思考， 结果许多想法在解决这些问题的努力中被发现．虽然最终表明这古代三大作 图问题不可能只用圆规和直尺作出，但却找到了解决它们的其他办法，蚌线 就是其中之一蚌线是一种历史悠久的曲线，它是由尼科梅德斯（约公元前 200 年）首先发现并用于倍立方问题和三等分角问题的．


　　构造一条蚌线要从一条直线 L 和一点 P 开始．过 P 画射线与 L 相交．在 每条这样的射线上，以 L 为界向外截出一段固定的长度 a 并取点．那么这些 点轨迹便形成蚌线．
　　蚌线的弯曲程度依赖于 a 与 b 之间的关系．即 a＝b，a＜b 或 a＞b．蚌 线的极坐标方程是：
r=a+b·secθ．
　　三等分已知角∠P 可采取如下办法：取∠P 为直角三角形△QPR 的一个锐 角．以 P 为极点，QR 为固定线 L 画一条蚌线，使得它由 L 向外截出的固定长 度等于斜边长|PR|的两倍 2h．在 R 点作 RS⊥QR 并交蚌线于 S 点．现∠QPT 即为∠QPR 的三分之一（T 为 PS 与 QR 的交点）．

证明：
　　令 M 为 TS 的中点，则|RM|＝h，这是因为△SRT 为直角三角形，其斜边 中点到各顶点等距离．
现因|MS|＝|MR|＝h，所以∠1＝∠2＝k°．而∠3 是△SMR 的一个外角，
从而∠3＝2k°．又因|MR|＝|PR|＝h，又有∠3＝∠4＝2k°．
∵PQ 与 RS 共面，且同垂直于 QR，
∴PQ∥RS．
∵∠2＝∠5＝k°．



由此，∠QPR 被三等分．

三叶形结


　　系一个结对大多数人来说只是一种常规的过程，从我们能够自由地系结 自己的鞋带开始便是这样．当然，系结也是一种艺术，特别当你看到一名水 手为小船装上索具的时候，尤其会有这种感觉．然而结的题材也是拓扑学领 域中的一种数学观念．结本身也形成了一个相关的新的领地．其中最重要的 思想是证明了下述深远的结论，即一个结不可能在多于三维的情况下存在．

作一个三叶形结
　　下面说明了三叶形结的形成：拿一张长纸条将它扭转 3 个半圈，并用胶 带将其端头连接在一起，再用剪刀沿着纸带的中线剪开，结果你将得到一条 有着三叶形结的带．
　　
富兰克林的幻方


　　变化多端是富兰克林幻方的特色，除具有一般幻方的通常性质①外，它还 另有许多奇异的特性．例如，它的每一行总和为 260，而每半行的和为 130； 向上的阴影线上的四个数与对称的向下的阴影线上的四个数（可接长）的总 和为 260；任何四个与中心等距离且位于各象限对等位置的四个数的和为
130；各象限内四个角与四个中心数的总和为 260；任何构成小的 2×2 方块 的四个数的和为 130；等等．
























































① 原注：见“幻方”一节．

　　无理数与毕达哥拉斯定理

无理数是这样的数，它不能表示为一个有限的或循环的小数．
例如

　　当人们力图把一个无理数写为小数时，得到的将是一个无限不循环的小 数．
例如

几千年来，数学家们设计出许多方法以便获得无理数更为精确的近似 值．用高功率计算机和无穷数列，可以将这些近似小数求到任何精密的程 度．当然，在设计这些方法时要考虑到所耗费的时间及效果．令人惊奇的是， 对于许多无理数，用毕达哥拉斯定理可以将其准确地求出．古希腊数学家不 仅证明了华达哥拉斯定理①，而且还用它作出了一些长度为无理数（与单位长 相比）的精确的线段．

使它以上述数的长度为斜边，并如下图所示用圆规画弧将其定位于数轴上．

































① 原注：见“毕达哥拉斯定理”一节．要注意的是：π和 e 不能只用直尺和圆规作出，因为它们除了是无
理数以外还是超越数．




素 数


　　一个大于 1 的自然数，如果只有 1 和它自身作为因子，这样的数就是素 数．
1978 年 10 月 30 日下午 9 时，上述的数被发现，它成为那时最大的已知
素数．这个素数可写为 221701－1，它是 L·尼克尔和 C·诺尔（两人均系中学 生）在计算机上运作了 1800 小时后发现的．接着 C·诺尔又独自发现了一个 更大的素数 223209-1．1979 年 5 月利物浦实验室的 H·尼尔森发现了一个比诺 尔大得多的素数 244497-1①．


　　虽然今天的计算机已经有了探寻素数的程序，但古希腊数学家埃拉托斯 散（Eratosthenes，公元前 275—公元前 194）却早已发明了求比某给定数小 的素数的筛法技巧．下图圆圈内的数是小于 100 的素数．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　埃拉托斯散筛

程序：
1）划掉 1，因为它不归于素数类．
2）圈起 2，这是最小的正的偶素数．现在划掉所有 2 的倍数．
　　3）圈起 3，即下一个素数．现在划掉所有 3 的倍数．可能其中有些已作 为 2 的倍数被划掉．
4）圈起下一个未被划掉的数，即 5．现在划掉所有 6 的倍数．
5）继续上述过程，直至 100 之内的所有数要么被圈起，要么被划掉．































① 译者注：后来数学家们又发现了许多更大的素数．1983 年为 286243-1，1985 年为 2216091-1，1991 年为
2756839-1．1998 年 1 月，迄今为止最大的素数被发现，它是 23021377-1，共有 909526 位．

黄金矩形


　　黄金矩形是一种非常美丽和令人兴奋的数学对象，其拓展远远超出了数 学的范围，可见于艺术、建筑、自然界，甚至于广告．它的普及性并非偶然， 心理学测试表明，在矩形中黄金矩形最为令人赏心悦目．


　　公元前 5 世纪的古希腊建筑师已经晓得这种协调性的影响．巴特农神殿 就是应用黄金矩形的一个早期建筑的例子．那时的古希腊人已经具有黄金均 值及如何作它的知识，还知道如何近似于它以及如何用它来构造黄金矩形．黄 金均值φ（phi）的读音，与古希腊著名雕塑家菲狄亚斯（Phidias）名字的 头三个字母相同想来并非只是巧合．相信菲狄亚斯在他的作品中用了黄金均 值和黄金矩形．既然毕达哥拉斯所处的那个社会能够选择五角星作为等级的 一种记号，那么用φ表示黄金均值也就很难说与菲狄亚斯没有一点关系．
　　除了影响建筑之外，黄金矩形还出现在艺术中．在公元 1509 年 L·帕西 欧里的《神奇的比例》一书中，达·芬奇为人体结构中的黄金均值作了图解．黄 金均值用在艺术上是以生动的对称技巧为标志．A·丢勒、G·西雷特、P·曼 诸利安、达·芬奇、S·达利、G·贝娄等人，都在他们的一些作品中用黄金 矩形去创造富有生气的对称．
从几何意义上讲，在给定线段 AC 上黄金均值①可以这样构成，在 AC 上取
一点 B，使得





则|AB|为黄金均值，也以黄金分割、黄金比以及黄金比例等著称．
　　一条线段一旦分割出黄金均值，那么黄金矩形也就很容易通过以下步骤 作出：


　　1）给定任一线段 AC，用 B 点将线段 AC 分割出一个黄金均值段，作正方 形 ABED．
2）作 CF⊥AC．
3）延长射线 DE，使得线 DE 与 CF 交于 F 点． 则 ADN 是一个黄金矩形．
黄金矩形也可以不用已有的黄金均值段作出，如下图所示：

1）作任意正方形 ABCD．
2）用线段 MN 将正方形平分为两半．
3）用圆规，以 N 为中心，以|CN|为半径作弧．
4）延长射线 AB 直至与以上的弧相交于 E 点．
5）延长射线 DC．
6）作线段 EF⊥AE，并令射线 DC 与 EF 交于 F 点． 则 ADFE 为一黄金矩形．
黄金矩形还能自我产生：从下面的黄金矩形 ABCD 出发，很容易通过画正



① 原注：确定黄金比值，人们必须解方程： 这里|AB|＝x，|AC|＝1，而|BC|＝1－x．黄金比|AC|/|AB|或|AB|/|BC|

方形 ABEF 的方法得到黄金矩形 ECDF．再通过画正方形 ECGH，容易构成黄金 矩形 DGHF．这样的过程可以无限地继续下去．


　　用最后得到的无穷多个紧挨着的黄金矩形，可以作出另一种类型的等角 螺线（也称对数螺线）．如下图用圆规在一系列黄金矩形中的各个正方形里， 画四分之一圆弧．这些弧便形成等角螺线的轮廓．
注释
　　由黄金矩形陆续产生其他的黄金矩形，这样便画出了等角螺线的轮廓．图 中的对角线交点为该螺线的极点或中心．

令 O 为螺线的中心．
螺线的极半径是指以中心 O 和螺线上任意点为端点的线段． 注意螺线上的每一个点的切线与该点的极半径都形成一个角∠T1P1O．如
果对于每一个这样的角都相等，则该螺线为等角螺线。


　　等角螺线也称对数螺线，因为它以几何比率（也就是某数的方幂）增长， 而方幂的指数则是对数的另一种名称。
等角螺线是仅有的这样一种类型的螺线，这种螺线当它增大时不改变自
己的形状． 在实际生活中有许多装点的形式——正方形、六角形、圆、三角形等等．黄
金矩形和等角螺线是其中最令人心旷神怡的两种．两者的形迹可见于海星、
贝壳、菊石、鹦鹉螺、序状种子的排列、松果、菠萝、甚至于一个蛋的形状． 同样令人感兴趣的是黄金比与斐波那契数列的联系．斐波那契数列——
（1，1，2，3，5，8，13，?，[Fn-1+Fn-2]，?）——相继项比的极限，即为
黄金均值φ．
1, 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 ,? , Fn ?1 ? ?

1 1 2 3 5

8 13 21 Fn

1,2,1,5,1,6,1,6,1,6,1,625,1,615384,1, 619047,?


1 ? 5
? ?
2


? ≈1.6

　　除了出现在艺术、建筑和自然界外，今天黄金矩形还在广告和商业等方 面派上用场．许多包装采用黄金矩形的形状，能够更加迎合公众的审美观 点．例如标准的信用卡就近似于一个黄金矩形．
　　黄金矩形还跟许多其他的数学观念相联系．诸如无穷数列、代数、圆内 接正十边形、柏拉图体、等角螺线、极限、黄金三角形和五角星形等等．
　　
做一个 3－4 折变体


　　从广义上讲折变体可以看成拓扑谜题的一种类型．它是由一张纸制作而 成的形体，随着一系列的翻折，面上能看到各种不同的图样．
　　以下物体称为 3－4 折变体．3 是面上能看到图样的数月，4 则是物体面 的数目．



现在前面显示出的都是 2，而后面显示出的都是 1． 沿着垂直的中线翻折可使显示出的都是 3．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　在小的地方寻找无穷


你能想象什么是无穷吗？ 无穷是一个永远没有终结的数量．无穷的概念是难于掌握的． 我们很容易掌握数 7，因为它能描述 7 个苹果；我们也容易掌握十亿（写
为 1000 000 000），因为它能描述一罐沙粒的数．但无穷的数量是没有穷尽 的．有一种非常精确的方法可以使人感觉到无穷：取一面镜子放在另一个大 一点镜子的前面，那么会发生什么事呢？你能看到一面镜子里有一面镜子， 里面又有一面镜子，又有一面镜子，??永无终结．


　　有人可能会想，一个无穷的数量必然会占据很大的空间．这也未必，比 如在一个小小的线段 AB 上，A 到 B 之间就有无穷数量的点．
今证如下： 我们应用这样的概念，即任意两点之间必能找到另一个点．于是，如果
点 A 和点 B 位于一条线段上，那么它们之间必能找到点 C．而在 A 和 C 之间 又能找到另外的点，同样在 C 和 B 之间也能找到另外的点．这种在任意两点 之间找另外点的过程可以永远继续下去，这样在线段 AB 上便有无穷数量的 点．
另一种描述无穷数量的方法是用类似于“跳蚤的故事”所用的方法．
一只叫“一半”的跳蚤想跳过房间．他的朋友告诉他，他不可能到达另
另外一边，如果他每次跤时都留下距离的 1 的话，“一半”说他对到达房
2
间的另一边并不发愁．第一次跳“一半”便跳了全程的 1 ，剩下的也只
2
有 1 的路．接着第二次跳，“一半”又跳过剩下路程的 1 ，如此一直 继续
2 2
下去．尽管他已非常接近房间的另一边，但他仍须遵循以下的规律：即每一
次跳跃只能跳留下距离的 1 ．“一半”终于无法跳完那总是剩下的 1 的路，
2 2
于是他只能永不休止地跳下去．


然而，虽说无穷是一个永无终结的数量，它不可能等同于一个数，但我
们发现，它既适于一个非常小的空间，也适于一个非常大的空间．

五种柏拉图体


　　柏拉图体是凸多面体，其边界由全等的正多边形构成．这样的立体只存 在五个．
　　体这个词意味着任何三维的对象，诸如一块岩石，一颗豆，一座金字塔， 一只盒子，一个立方体，等等．有一组非常特殊的立体称为正多面体，它是 由古希腊哲学家柏拉图发现的．一个多面体称为正规的，如果它的每一个面 具有同样的大小和形状．于是立方体是一个正规多面体，因为它的所有的面 都是同样大小的正方形，而右边的盒子就不是正规多面体，因为它的面不全 是同样大小的矩形．柏拉图证明了只有五种可能的正规凸多面体．它们是四 面体，立方体或六面体，八面体，十二面体和二十面体．









　　这里给出的是制作五种正规多面体的图样．你不想把它们复制下来，剪 下并尝试把它们折成三维的样子吗？
　　
制作幻方的金字塔法

金字塔法是用于构造奇数阶幻方的方法之一．下例说明了如何制作一个
5×5 幻方．
程序：
1）如图，沿着对角线方向的框格依次写下幻方的从 1 到 25 的数；
　　2）重新安置在幻方边框外的所有的数，将其从想象的方阵移到幻方框架 中与之对应的位置上来（图中空心的数字是重新安置的）．
　　
开普勒—波因索特体


　　虽然柏拉图发现了五种归属于他的柏拉图体（四面体，六面体或立方体， 八面体，十二面体和二十面体），而阿基米德也有阿基米德体归属于他，但 以下四种非凸面体却是古人所不知道的．开普勒于 17 世纪初发现了其中的两 种，而后波因索特（Louis Poinsot，1777—1859）重新发现了它，并于公元
1809 年又发现了另外两种．这些形状的立体，今天常用来作灯罩和灯的装 饰．

假螺线——视幻觉


　　下图看起来好像是一条螺线，但仔细检验之后就会发现，它是由一些同 心圆构成．这种“方向的组合”是由 J·弗莱塞博士发现并首次披露在英国 心理学杂志上的（1908 年 1 月）．这种现象也称为“扭转索”效应．将两股 颜色明显差异的绳索拧成一股，然后将它们置于不同的背景上．这样创造出 来的幻觉是如此的逼真，以致于无论发现同心圆的痕迹，还是消除螺线或螺 旋的错觉，都是一件难事．
　　
二十面体与黄金矩形


　　黄金矩形出现在我们生活的方方面面——建筑、艺术、自然界、科学和 数学．帕西欧里的《神奇的比例》一书（由达·芬奇于公元 1509 年作图解）， 介绍了许多令人叹为观止的平面几何和立体几何的黄金分割的例子．下面画 的就是其中一例．这里三个黄金矩形彼此对称并与其他两个垂直相交．这些 矩形的角顶与一个正二十面体的十二个角顶相吻合．
　　
芝诺悸论——阿墓里斯与乌龟


　　悖论是有趣的，而且是数学的一个非常重要的部分．它突出地表明，在 陈述或证明某种想法时小心地使它不出现漏洞是多么地重要．在数学中，我 们常常试图使数学思想覆盖尽可能多的方面，例如我们试图概括一个概念以 使它能够用于更多的对象．概括无疑是重要的，但它也可能导致危险．我们 务必谨慎从事．一些悖论就说明了这种危险的存在．


　　公元前 5 世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下 著名的悖论：他提出让阿基里斯①和乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基 里斯前头 1000 米开始．假定阿基里斯能够跑得比乌龟快 10 倍．当比赛开始 的时候，阿基里斯跑了 1000 米，此时乌龟仍然前于他 100 米．当阿基里斯跑 了下一个 100 米时，乌龟依然前于他 10 米．
　　芝诺辩解说，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但他决不可能追上它．那么 芝诺的理由正确吗？如果阿基里斯追上了乌龟，那么他是在赛程的哪一点追 上呢？
（见附录“阿基里斯与乌龟”的解答）

欧布利德悖论与芝诺悖论
　　希腊哲学家欧布利德断言，一个人绝不可能有一堆沙．他的见解是：一 粒沙不能构成一堆沙，如果在一粒沙上加上一粒沙它们也不能构成一堆．如 果你没有一堆沙，那么即使给你加上一粒沙，也同样没有一堆，从而你永远 不会有一堆沙．
依着同样的思路，芝诺把眼光瞄在线段上．他断言，如果点是没有大小
的，那么加上另一个点依然不会有大小．这样人们就绝不可能得到一个有大 小的物体，因为这些物体是由点结合而成的．接着他进一步推断说，如果一 个点有大小，那么一条线段就必然有无限的长度，因为它是由无穷数量的点 所构成，

























① 译者注：阿基里斯（Achilles ）是荷马史诗中的希腊英雄，神话传说中善跑的神．

神奇的六线形


　　数学是一笔激发人们好奇和兴趣的无尽财富．下面这一特殊的定理是法 国数学家 B·帕斯卡（ Blaise Pascal，1623—1662）在 16 岁时证明的．他 把它取名为神奇的六线形．



如果一个六边形内接于一条圆锥曲线，则它的三组对边的交点共线．

便士谜题


　　每次滚动一枚便士①到新的位置，使其依然接触着两个其他的便士．请将 上方图的便士三角形，转为下方图的倒置三角形．
所需的最少移动数为三





























































① 译者注：在美国和加拿大，一分钱的铜币称为便士，也叫一仙；在 英镑．

镶 嵌


　　简单地讲，平面镶嵌就是用同样形状的平板砖，无缝隙而又不重叠地铺 满整个平面．给定平板砖的形状，在实际铺设之前我们能够通过数学的方法 预先确定它们是否能够形成镶嵌．演算前要先知道一个数学事实，即圆周角
为 360°．


　　让我们研究一下用正五边形来覆盖地板，这只要用一些器具和几何知识 就可以了．一个正五边形有五条相等的边和五个相等的角．为了计算正五边 形角的大小，我们把正五边形如右图分为五个全等三角形．由于对任意的三 角形而言，其内角和为 180°．由此我们可以确定正五边形的一个内角为 108
°．这样一来，当我们试图将同样的正五边形边对边放在一起时，我们发现 其间必有缝隙，因为正五边形只能铺出 108°＋108°＋108°＝324°，而无 法铺满一圈或 360°的周角．

现在让我们尝试用等边三角形来镶嵌地板．一个等边三角形的内角为 60
°．我们看到六个相等的等边三角形摆在一起，是能够铺满一圈的．


　　那么用正方形、正六边形、正八边形、或者它们的结合体来镶嵌又怎么 样呢？下面我们给出一些平面镶嵌的实例．









　　类似地，空间也能进行镶嵌，只是平板砖要用三维立体来替代．下图是 切掉角的正八面体．它们是仅有的能够填满空间的阿基米德多面体．


　　享有盛誉的荷兰艺术家埃舍尔（M．C．Escher）在他的作品中运用了许 多数学概念，诸如莫比乌斯带、短程线、投影几何、视幻觉、三叶形、镶嵌 等等．在他著名的作品中有不少采用他自己创造的动人的镶嵌，例如，《变 态》、《马术师》、《小而又小》、《正方形的界限》、《圆的界限》等等．除 艺术外，他对空间镶嵌的研究和应用，对建筑的内部装饰以及商品包装等领 域也怀有特殊的兴趣．
　　
丢番图之谜


　　丢番图常被人称为代数学之父．但人们除知道他生活于公元 100 至 400 年间之外，对其生平知之甚少．然而，他死时的年岁却是知道的。因为他的 仰慕者之一在一则代数谜语中描述了他的一生．


　　丢番图生命的六分之一是他的童年，再过了生命的十二分之一他长出了 胡须．又过了生命的七分之一丢番图结了婚．五年后他得到了一个儿子．但 儿子只活了他父亲所活年岁的一半，而在他儿子死后四年丢番图也离开了人 世．
试问，丢番图总共活了多少岁？
（见附录“丢番图之谜”的解答）

哥尼斯堡七桥问题


　　拓扑学起源于公元 1736 年一个著名问题——哥尼斯堡七桥问题——的 解决．
　　哥尼斯堡①是位于普累格河上的一座城市，它包含两个岛屿及连接它们的 七座桥．该河流经城区的这两个岛．岛与河岸之间架有六座桥，另一座桥则 连接着两个岛．星期天散步已成为当地居民的一种习惯，但试图走过这样的 七座桥，而且每桥只走过一次却从来没有成功过．但直至引起瑞士数学家欧 拉（Leonhard Euler，1707—1783）注意之前，没有人能够解决这个问题．


　　那时，欧拉正在圣彼得堡为俄国女皇凯瑟琳服务．在解决该问题的过程 中，欧拉创立了一个数学分支，即后来人们所熟知的拓扑学．他在解哥尼斯 堡七桥问题时，采用了今天人们称之为网络的拓扑学知识．运用网络，欧拉 证明了要走过哥尼斯堡的七座桥且每桥只通过一次是不可能的．
这一问题及欧拉的解答，开创了拓扑学研究的先河．拓扑学是一个相对 较新的领域．19 世纪，数学家们才开始对它以及其他的非欧几何开展研究．论 述拓扑学的第一篇论文，写于 1847 年．










































① 原注：在 18 世纪哥尼斯堡是一座德国的城市，今天它属于俄罗斯．

网 络


　　一个网络基本上可以看成是一个问题的图样．哥尼斯堡七桥问题的网络 可以图解如下．


　　一个网络由顶点和弧线组成．一个可以遍历的网络是指它可以准确一次 地穿经所有的弧线，但顶点却可以通过任意次数．哥尼斯堡七桥问题的网络 顶点，有如上图所示的 A，B，C，D．注意每个顶点发出的弧线数——A 为 3，
B 为 5，C 为 3，D 为 3．由于这些数全是奇数，这类顶点我们称之为奇顶点或 奇点．如果一个顶点发出的弧线数为偶数，我们则称之为偶顶点或偶点．欧 拉发现，对于一个可以遍历的网络，其奇、偶点具有许多性质．特别地，欧 拉注意到：一个奇顶点在这种遍历式的旅行中，要么是起点，要么是终点．由 于一个遍历的网络只能有一个起点和一个终点，因而这种网络的奇点数不能 多于两个①．然而在哥尼斯堡七桥问题的网络中却有四个奇点，因而它是不可 能被遍历的．








以上网络中哪一个是可以遍历的（即一笔而不重复地画成）？ 你能找到穿经每个门各一次且笔不离纸的通道吗？试证明你的结论．





























① 译者注：原书说这种网络的奇点数为两个是不够完整的．其实还要考虑起点与终点合一的情形．一个网
络可以被遍历，其奇点数要么为 2，要么为 0．所以这里改为“这种网络的奇点数不能多于两个”．

阿兹特克历法


　　最早和最重要的计算设计是日历——一种测度和记录时间进程的系 统．现实的自然界提供了一种有规律的季节顺序，而这些季节则控制着作物 的生长．
　　早期的人类试图揭示太阳日、太阳年以及月亮月之间的相互关系．由于 一个月亮月约有 29．5 天，而一个太阳年却有 365 天又 5 小时 48 分 46 秒， 从而太阳年不可能是月亮月的整数倍．在探求相互一致的日历中，这始终是 一个主要的问题．即使我们现在的日历也不是相一致的，因为每个不被 400 整除的世纪年（例如公元 1700 年，1800 年，1900 年）必须失去它外加的闰 日，虽然它依然还是一个闰年．
　　阿兹特克人①有两种日历，第一种日历是宗教日历，这种日历与月亮月和 太阳年没有什么关系，但它对于决定宗教仪式有着重要意义，而阿兹特克人 还把这种日历中出生的日期作为自己名字的一部分．这种日历含有 20 个记号
和 13 个数，并依此形成 260 天固定的循环．阿兹特克人的第二种日历一年包
含 365 天②，且与农作相适应．天体的循环运行使阿兹特克人得以校正他们的 日历，并准确地预测诸如日食、月食这类事件．
公元 1790 年，阿兹特克人的“太阳石”或“石头日历”在整修墨西哥城
的一个大教堂时被发现．该教堂建于一个古代金字塔的遗址上．该石呈圆盘 状，直径 12 英尺，重 26 吨，它记录了阿兹特克人宇宙观下的世界的历史．
太阳神的浮雕位于中心，四个太阳或宇宙开创时的四样东
西（虎、水、风和火）围绕在太阳神的四周，显示了阿兹特克人所认为 的史前世界．这里还出现了一些乐章的符号．另有二十个浮雕形成一个环状 的带，它们是：短鼻鳄鱼、风、房子、蜥蜴、蛇、死神、鹿、兔、水、狗、 猴、鹅、芦苇、虎、鹰、兀鹰、地震、石器、雨和花，分别表示阿兹特克人 宗教日中的二十天．


























① 译者注：阿兹特克人是西班牙入侵前墨西哥中部的土族印地安人．
② 原注：阿兹特克人从玛雅等文化中借鉴了许多基本的东西，也包含了他们的日历部分．

三大不可能的作图问题


　　数学的美不在于它的答案，而在于它的方法．存在着这样的问题，它的 解答就是最终被判定为不可解．
　　不知什么缘故，“不可解”似乎像是一个令人失望的答案，然而用以抵 达这一结论的思维过程却是极具魅力的，而且在这一进程中还能激发出新的 思路．古代著名的三大作图问题便是一个例子．三大作图问题是：
三等分角问题——把一个给定的角分为三个相等的角． 倍立方问题——作一个立方体使其具有给定立方体两倍的体积． 化圆为方问题——作一个正方形使其具有给定圆的面积． 这些问题在两千多年的时间里，一直激励着数学的思维和发现，直至 19
世纪，这三个作图问题才被最终证实为不可能只用圆规和直尺作出．


　　上述结论可以这样推知：一根直尺可用于作直线，其方程为线性的（一 次方程），例如 y＝3x－4 等等．
　　另一方面，一只圆规能作出圆和弧，其方程为一次的，例如 x2＋y2=25 等等．而这些方程的联立不会产生高于二次的方程．然而从代数上看，解上 述三个作图问题所获得的方程并非是一次或二次的，而是三次或者是带有超 越数的，而这样方程的解或数只用圆规和直尺是无法得到的．
三等分角问题：
　　像 135°或 90°这样的特殊角只用圆规和直尺是能够三等分的．但对于 任意给定的角，只用圆规和直尺要三等分则不可能，因为用来解这个问题的 方程显示为三次的形式：
a3-3a-2b＝0．





倍立方问题：
　　在试图将一个立方体体积加倍的努力中，曾有人尝试将其长度加倍①，然 而这样实际上作出了一个八倍于原立方体体积的立方体．
需要加倍的那个立方体体积=a3． 将该立方体的体积加倍，即要求作出一个体积为 2a3 的立方
体． x3 ＝2a 3 ，亦即x = 3 2a．
我们再次得到一个只用圆规和直尺无法作出的结局．

化圆为方问题：
给出一个半径为 r 的圆，其面积为πr2．




① 译者注：作者这里暗指的是一则有关倍立方问题的有趣的神话．传说公元前 5 世纪古希腊的雅典流行着
一场瘟疫．人们为了消除这一灾难向神祈祷．神说：“要使病疫不流行，除非把神殿前的立方体香案的体 积扩大一倍”．开始人们以为十分容易，只须把香案的各棱放大一倍就行．不料神灵大怒，疫势愈发不可 收拾．人们只好再次向神灵顶礼膜拜，才知道新香案体积不等于原香案体积的两倍．这个传说的结局如何， 今天已无从推知，但这个古老的问题却从此流传了下来．

我们要求的是作出一个面积为πr2 的正方形．

x2 ＝πr 2 ，亦即x =

πr．



由于π是一个超越数，它不可能通过有限步骤的有理运算和求方根的办
法表示出来，从而只用圆规和直尺也不可能将一个圆化为等积的正方形． 虽然我们看到以上三个作图问题只用圆规和直尺是不可能作出的，然而
人们却创造了不少解决它们的精巧方法和设计．后者对于激发数学思想的发 展，同样起着重要的作用．尼科梅德斯蚌线、阿基米德螺线、希庇亚斯割圆 曲线、圆锥曲线、三次曲线、四次曲线以及一些超越曲线，都发端于这古代 三大作图问题的某些思考．

古代西藏的幻方


　　一个 3×3 的幻方，出现在古代西藏人印玺的中央．这是数学思想没有国 家和地区疆界的又一例证．幻方上的数是这样的：
4 9 2
3 5 7
8 1 6

周长、面积和无穷数列


　　下图描画了无穷多个的三角形，其中每一个三角形都是由外接于它的三 角形边的中点所构成．为了确定这些三角形周长的总和，我们先观察以下数 列：
1 1 1 1 1 1 1
? ? ? ? ? ? ?

2 4 8

16 32

64 128




上面这些分数的和，可以通过观察如下这条标有数的线段而确定．

我们注意到，该数列每增添一个后继的分数，都使它们的和越来越接近
于 1，然而决不会超过 1．于是我们可以得出这样的结论，这个数列以 1 作为 它的和．
　　现在你可能很想知道，这些信息将怎样帮助我们确定前面所讲的三角形 周长的和．首先让我们依次列出这些三角形的每一个的周长：
　　
15 15 15

15 15 15 15

30,15, , , , , , , ,? ①

2 4 8

16 32

64 128

将这一数列的和，即所要确定的三角形周长的和

15 15

15 15

15 15 15

30 ? 15 ? ? ? ? ? ? ? ??


化简得：

2 4


1 1 1

8 16


1 1

32 64


1 1

128

45 ? 15(

? ? ? ? ? ? ?? )

2 4 8 16

32 64

128

现在用 1 替代括号内数列和的值得：
45＋15×1＝45＋15=60，
此即所求的周长和． 确定前面那些三角形的面积和则是另一种挑战．你能对这一新的无穷数
列的和作一番探索吗？























① 原注：这些值的确定用到了一个几何定理：连接三角形两边中点的线段等于第三边（对边）长度的一半．

棋盘问题


　　如果把一个棋盘对角的两个方格拿掉，你能用多米诺牌覆盖这样的棋盘 面吗？
　　假定每个多米诺牌的尺寸相当于棋盘上两个邻接着的小方格的大小．多 米诺牌必须平放，而且不能把一个摆在另一个上面．
　　
帕斯卡的计算机


　　帕斯卡（Blaise Pascal，1623—1662）是法国著名的数学家和科学家之 一．他在诸如概率论、流体力学、水压机等理论数学和科学发现方面多有建 树．另外，他在 18 岁时还发明了计算机．用这种机器可以对一长栏的数字实 施加法运算．帕斯卡的发明，有助于人们对现代计算机基本原理的了解．
　　
牛顿与微积分学


　　牛顿（Isaac Newton，1642—1727）是微积分学和引力理论的创始人 之一．尽管牛顿是一位数学天才，但他对神学的研究却情有独钟．公元 1665 年，他所就职的剑桥大学由于当时鼠疫横行而关闭．这期间他留在家中，发 展了他的微积分形式，使引力理论公式化，同时还钻研了其他物理学问题．遗 憾的是，他的前述工作直至 39 岁时才予以公开发表．


　　这是一份牛顿的手稿，它显示了在一个椭圆形的轨道上引力所产生的影 响．
　　
日本的微积分学


　　记住下面一点是很重要的：在世界各区域的不同文化中，数学的发展往 往具有同时性．例如关孝和是一位 17 世纪的日本数学家，他因对日本的微积 分发展而受到称誉．下面是公元 1670 年西吉可瓦在做学生时所画的图，图中 用一系列矩形面积的和来测定圆的面积．
　　
1＝2 的证明


　　推理的艺术触及到我们生活的方方面面，比如决定吃什么，用一张什么 样的地图，买一件什么样的礼物，或者证明一个几何定理，等等．有关推理 的种种技巧，都溶入了问题的解决之中．在推理中一个小小的毛病都可能导 致十分怪异和荒谬的结果．例如，你是一名计算机的程序员，你就会担心由 于某一步骤的忽略而导致了一种无限的循环．我们中间谁能保证在我们的解 释、解答或证明中不会发现一点错误呢？在数学中除以零是一种常见的错 误，它能弓泼像下面“1=2”的证明那样的荒谬的结果．你能发现它错在哪里 吗？
　　




证明：

1=2？
如果 a＝b 且 b，a＞0，则 1＝2．


1 ） a ， b ＞ 0 已知
2 ） a ＝ b 已知
3 ） ab ＝ b2 第 2 步“＝”的两边同“×”
4 ） ab － a2 ＝ b2 － a2 第 3 步“＝”的两边同“－”
5 ） a （ b － a ）=（ b+a ）（ b － a ） 第 4 步的两边同时分解因式
6 ） a ＝（ b ＋ a ） 第 5 步“＝”的两边同“÷”
7 ） a ＝ a ＋ a 第 2 ， 6 步替换
8 ） a=2a 第 7 步同类项相加
9 ） 1 ＝ 2 第 8 步“＝”的两边同“÷”

（“1＝2 的证明”中的毛病见附录）

晶体的对称


　　自然现象中的对称和图案是多姿多彩的．公元 1912 年，物理学家 M·V·劳 厄用 X 射线穿过一个球形的晶体并射在一张照片底版上．结果黑点出现了， 它完全按对称的方式排列，连接后形成了以下的图案．这里点的位置与晶体 的对称结构有关．
　　
音乐的数学


　　自古以来，音乐和数学就有着关联．在中古时期，人们把音乐与算术、 几何和天文同列为教育的课程．就连今天的电子计算机也始终跟音乐联系在 一起．
　　乐谱的书写是数学在音乐上显示其影响的最为明显的地方．在乐曲的稿 中，我们可以找到拍号（4：4，3：4 或 1：4 等）、每个小节的拍子、全音 符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符等等．谱写乐曲要使它适 合于每音节的拍子数，这相似于找公分母的过程——在一个固定的拍子里， 不同长度的音符必须使它凑成一个特定的节拍．然而作曲家创造乐曲时却能 极其美妙而又毫不费力地把它们与乐谱的严格构造有机地融合在一起．对一 部完整的作品进行分析，我们会看到每一个音节都有规定的拍数，而且运用 了各种合适长度的音符．


　　除了上述数学与乐谱的明显联系外，音乐还与比例、指数、曲线、周期 函数以及计算机科学等相关联．毕达哥拉斯的追随者们（公元前 585—400） 最先用比例把音乐和数学结合起来．他们发现在乐声的协调与所认识的整数 之间有着密切的关系，拨动一根弦发出的声音依赖于弦的长度．他们还发现 协和音是由长度与原弦长的比为整数比的绷紧的弦给出．事实上被拨动弦的 每一种和谐的结合，都能表示为整数比．由增大成整数比的弦的长度，能够
产生全部的音阶．例如，从一根产生音C的弦开始，接着C的长度的 16 给出
15
B，C的长度的 6 给出A，C的 4 给。
5 3
出G，C的 3 给出F．C的 8 给出E，C的 16 给出D，C的 2 给出低音 C．
2 5 9 1
　　你可能感到惊奇，为什么平台钢琴有它特有的形状？实际上，许多乐器 的形状和结构都跟不同的数学概念联系着．指数函数和它的曲线就是这样概
念中的一种．一条指数曲线由形如 y=kx 的方程所描述，这里 k＞0．例如 y＝
2x，其图象如下．


　　音乐的器械，无论是弦乐还是管乐，在它们的结构中都反映出指数曲线 的形状．
　　对乐声本质的研究，在 19 世纪法国数学家傅立叶的著作中达到了顶 峰．他证明了所有的乐声——不管是器乐还是声乐——都能用数学表达式来 描述，它们是一些简单的正弦周期函数的和．每种声音都有三种品质：音调、 音量和音色，并以此与其他的乐声相区别．
　　傅立叶的发现，使人们可以将声音的三种品质通过图解加以描述并区 分．音调与曲线的频率有关，音量与曲线的振幅有关，而音色则与周期函数 的形状有关．
　　很少有人既通晓数学又通晓音乐，这使得把计算机用于合成音乐及乐器 设计等方面难于成功．数学的发现，即周期函数，是现代乐器设计和计算机 音响设计的精髓．许多乐器的制造都是把它们产生的声音的图象，与这些乐 器理想声音的图象相比
　　

较然后加以改进的．电子音乐的忠实再生也是跟周期图象紧密联系着
的．音乐家和数学家们将在音乐的产生和再生方面，继续担任着同等重要的 角色．

数字的回文


　　回文可以是一个词、一句句子、一个数，等等，只要倒着写与顺着写是 一样的．
例如：
（1）madam， I’m Adam·
（中译：女士，我是“亚当”．①）
（2）dad
（中译：（口语）爸爸）
（3）10233201
（4）“Able was I ere I saw Elba．
　　（中译：“在我见到厄尔巴岛之前我无所不能．”②）下面是一种数的有 趣的特性：
　　由任一整数开始．加上由它数字倒着写所形成的数．将所得的和加上由 和的数字倒着写所形成的数．继续这样的过程，直至出现一个数字的回文时 结束．
你永远会以一个数字的回文结束吗？





































① 译者注：此典故来自 M ·加德纳在《科学美国人》上的一篇专文．乃亚当初见夏娃时的自我介绍。
② 译者注：相传这句话出自法兰西皇帝拿破仑一世之口．1813 年，英、俄、普、奥等国组成第六次反法同 盟，使法军遭受了莱比锡的失败．1814 年 4 月 6 日，无力再战的拿破仑宣布退位．他被放逐到地中海上的 厄尔巴岛．

预料不到的考试的悖论


　　一位老师宣布说，在下一星期的五天内（星期一至星期五）的某一天将 进行一场考试，但他又告诉班上同学：“你们无法知道是哪一天，只有到了 考试那天的早上八点钟才通知你们下午一点钟考．”
你能说出为什么这场考试无法进行吗？

巴比伦的楔形文本


　　巴比伦人大概采用粘土板作为书写美索不达米亚人楔形文字的材料，因 为美索不达米亚人用来书写的材料纸草不太近便．他们所使用的数制是 60 进制的位置系统，这个系统使用两个符号，代表 1，<0152_2T>代表 10．=60
×10=600．巴比伦人的粘土板上的记录，是他们能够应用他们的数的系统进 行复杂计算的证据．以下粘土板上的巴比伦人的问题和解答写于汉漠拉比统 治期间（约公元前 1700 年），该问题所论的是长度、宽度和面积．

阿基米德螺线


　　螺线的形状出现在自然界的许多方面，诸如藤蔓、贝壳、旋风、飓风、 松果、银河系、漩涡，等等．
<0153_1T> 阿基米德螺线是一种二维螺线．想象一只臭虫沿着过螺线中心（极点）
的直线以一定的速率爬行，而同时这条直线又按均匀的速率绕极点旋转．那 么这只臭虫所经历的轨迹将是一条阿基米德螺线．

数学思想的演化


　　“对于天体（一般而言）和大彗星（特殊而言）来说，三千年算不了什 么：在永恒的时间表上，那还不到一秒钟．但是，数学家读者们，你们跟我 一样清楚，三千年实在是很长很长的！”
——[法] 弗拉马利翁，1892①


　　数学是一种思想的演化，它始于史前人类最早的发现，那时人们由于分 食物而发明了数的概念．每一种贡献，不管它多么小，对数学思想的发展都 是重要的．有些数学家甚至为某种单一的想法而耗费了自己的一生，而这种 想法有时也仅仅是有别于他人的研究而已．例如，我们来看一看欧几里得几 何发展的概略．几何思想是由古代许多不同的人发现的．台利斯（Thales， 公元前 640—546）最早用逻辑的方法对几何的概念加以研究．大约在公元前
300 年，欧几里得把前人创造的几何思想加以收集、整理．这是一项艰巨的 工作．他把所有有关的知识编辑成一个数学体系，这就是后来众所周知的欧 几里得几何．在欧几里得的书《几何原本》中，内容的编排遵循着逻辑发展 的顺序．《几何原本》写于两千多年前，虽然今天的数学家们经过仔细推敲， 发现它离一个完整的数学体系相距尚远，但它依然作为非凡的一页而永载史
册！
　　阿波罗尼斯从欧几里得的著作中获得了灵感，对数学的许多领域，诸如 圆锥理论、天文学和弹道学等，作出了具有历史性的贡献．上图所画的是他 感兴趣的一个问题：
给出三个定圆，试求一个圆使它与三个定圆都相切．
图解表明该问题有八种解答．




























① 译者注：弗拉马利翁（FlammarionCie，1842—1925）是法国天文学家和诗人．他的名著《大众天文学》
（三卷），曾经激励着一代代天文爱好者．该书自 1879 年出版以来，已译成几十种文字，受到世界各地广 大读者的称赞和欢迎．中文译本于 1965 年由科学出版社翻译出版．

四色地图问题


　　对地图制作者来说，一个画在平面或球面上的地图，只要用四种不同的 颜色便能把不同的国家区分开，这是一条未经证明的永恒法则．1976 年，著 名的四色地图问题由美国伊利诺斯大学的 K·阿佩尔和 W·哈肯用计算机给予 了证明，但他们的计算机证明依然面临着挑战．


　　为了增添一些花样，我们考虑在不同的拓扑模型上的地图着色．拓扑学 研究了许多非同寻常的形状的表面——油煎圈饼、油条式脆饼、莫比乌斯状 的表面等等．一个球面能够通过戳一个洞，然后将它张开、摊平而成为一个 平面．因而从本质上讲，一个球面的着色跟一个平面的着色，所需求的颜色 数是一样的．拓扑学研究的是物体在如同橡皮膜那样伸张和皱缩的变形下保 持不变的性质．究竟有哪些性质在这些变形下保持不变呢？由于扭曲是允许 的，所似我们推知拓扑学不考虑对象的大小、长短、形状和刚性．拓扑学所 要找的是位置的特征，诸如点在一曲线的内部或外部，一个表面是单面还是 双面，一个对象是否是一条简单的闭曲线，或它所具有的内部或外部的区域 数等等．对于前面所提的那些拓扑学对象，地图着色是一个完全新的问题， 因而四色问题的解对它们也不适用．


　　试对一张纸条上的各种不同的地图着色．然后把它扭转半圈并将端头粘 接在一起，做成一条莫比乌斯带．此时四色总是够吗？未必！那么对于任意 的这种地图最少需要多少颜色呢？试在一个环面上（具有油煎卷圈饼的形 状）对地图着色．最容易的方法是用纸张做一个想象的油煎圈饼，然后在上 面做试验．可先在纸的一面上对地图着色，然后卷成圆筒状，再把圆筒弄弯 并像油煎圈饼那样把两头接在一起．你能确定在这样一个环面上的地图着色 问题，最少需要多少种颜色吗？
　　
艺术与动态的对称


　　在自然界里有许多的形状是对称的——树叶、蝴蝶、人体、雪花，等等．当 然，也有许多自然界的形状是不对称的，像蛋的形状，蝴蝶的翅膀，鹦鹉螺 和花斑鲈鱼的形状等等．这些非对称的形式同样具有一种美丽的均衡，而这 种均衡就是人们所熟悉的动态的对称．在所有动态对称的形状中，我们总能 找到黄金矩
形①、黄金比例或黄金分割． 把黄金矩形和黄金分割用于艺术是动态对称的技巧．A·丢勒、P·曼诸
利安、达·芬奇、S·达利和 G·贝娄等人都在他们的作品中用黄金矩形去创 造动态的对称．