六 深入进行改革实验研究，为编写 90 年代教材做准备


　　现行小学数学通用教材虽然做了一些较大改革，质量比过去的有较大提 高，基本上适合我国的国情，但是限于当时的条件和编辑水平，也还存在一 些缺点。随着我国社会主义现代化建设的逐步发展，国内外数学教学改革的 逐步深入，日益显现出教材有些地方与形势发展的要求不相适应。90 年代在 全国将要实行九年义务教育，对小学数学教材提出了更高的要求。为了探讨 小学数学教材如何进一步改革，以适应提高全民族的素质，为培养社会主义 现代化建设人才切实打好基础的需要，从 1984 年开始新的改革实验研究。这 次改革实验着重研究以下几个问题：1.如何进一步精选小学数学教学内容以 适应我国社会发展和进一步学习的需要；2.如何建立合理的教材结构；采取 哪些具体措施，使学生既能较快地掌握基础知识，智力和能力又得到较好的 发展；3.如何在教材中做到既有统一要求又便于因材施教；4.如何使教法改 革与教材改革相配合。为了把这项实验切实建立在科学研究的基础上，首先 进行了一系列的调查研究，然后确定改革的指导思想，拟订改革实验方案， 编写实验教材。实验选点采取从少到多逐步扩大试点的方法。在实验过程中 深入试点班听课研究，加强实验效果的检测与评价。目前已经完成第一轮两 个班的实验工作，获得比较好的效果。1986 年秋季在全国 100 多所学校 200 个班进行的实验，也取得较好的效果。现在实验的班数还在扩大。这项改革 实验工作的开展，不仅为编写 90 年代实行义务教育用的小学数学教材做了准 备，还为各地培养了一些骨干教师，从而为大面积使用新的数学教材做了较 好的准备。

七 结束语


　　从回顾中可以看出，四十年来小学数学通用教材，从无到有，从质量较 低到质量较高，经历了一个十分曲折的改革和发展的过程。这是因为编写具 有我国社会主义特色的小学数学教材，是前人没有经历过的，需要我们亲自
　　
去探索编写的规律，逐步积累和总结编写的经验。从四十年来正反两方面的 经验中，我们受到的教育和启示，可以归纳为以下几点。
　　（一）坚持从中国的实际出发，走自己的路。这是小学数学教学改革中 最深刻的一条经验教训。追溯到清末民初，小学算术教材先学日本的，20 年 代开始改学美国的，50 年代又改学苏联的，都因忽视结合中国实际，没有收 到好的效果。邓小平同志在党的十二大上说：“无论是革命还是建设，都要 注意学习和借鉴外国经验。但是，照抄照搬别国经验、别国模式，从来不能 得到成功。”60 年代以后，由于端正了学习外国经验的态度，重视从中国的 社会主义建设需要出发，才使得我们的教材改革工作逐步获得较大的发展。
　　（二）必须坚持以唯物辩证法作指导。编写小学数学教材是数学教育科 学的一个重要组成部分，进行数学教育科学研究，必须有正确的研究方法。 和其他科学研究一样，它的一般方法论基础就是唯物辩证法。50 年代初，除 了编写方针方面存在问题以外，编辑人员还不懂得如何运用唯物辩证法来分 析和处理小学数学教材编写中的问题，给小学数学教材改革工作造成一定损 失。60 年代初，开始学习运用唯物辩证法分析和解决小学数学教材中的问 题，如整数内容的分段问题，处理知识间的关系问题，突出重点和揭示规律 问题等，收到了初步的效果。十年动乱以后，逐步提高了运用唯物辩证法分 析和解决问题的自觉性，如处理口算和笔算的关系，简易方程的安排，渗透 集合、函数等数学思想，改进比例的讲法等，经过实践证明，都收到较好的 效果。
（三）明确小学数学教材改革的长期性和分阶段性。小学数学教学是为
一定的社会的政治、经济和科技发展的需要服务的。由于社会总是不断地发 展变化，小学数学教材也就不能一成不变，要随着社会发展需要而变化。50 年代，由于小学数学教材机械地学习外国经验，降低了程度，落后于社会发 展的要求，是个很大的错误。但是，也不能超越社会发展的客观条件和要求。 例如，63 年新编六年制小学算术教材过多地增加内容，试图提高程度，超过 了教师和学生的承受能力，是值得记取的经验教训。另外一个经验教训是， 教材改动过于频繁，使教师无所适从，也给教学带来很大困难。实践表明， 改革是一个长期的不断的过程，但是必须分阶段进行，在一定时期应保持教 材的相对稳定。十年动乱以后，由于正确处理小学数学教材的不断改革和相 对稳定的关系，得到教师们的拥护，便于教师积累教学经验，促进了小学数 学教学质量的提高。
（四）教材改革必须经过实验。实验是进行科学研究不可缺少的方法。
50 年代，一方面受客观条件的限制，另一方面对进行实验的意义认识不足， 编写的教材除了个别内容如农业生产合作社简单簿记外，都没有进行实验。
60 年代进行改革，通过实验不仅解决了教材编写中的一些困难问题，而且编 辑思想有了较大提高。十年动乱以后，坚持把实验工作作为编写新教材的一 个重要环节，解决了编写中把握不大的问题，如 100 以内口算、笔算的安排， 简易方程，分数除法应用题和比例的讲法等，提高了开展科学实验的自觉性。
　　（五）编辑人员必须不断学习，提高自己的水平。这是进行小学数学教 材改革工作的关键。编写小学数学教材是一项科学研究，需要综合运用教育 学、心理学、逻辑学等对数学内容进行教学方法的加工。这就需要编辑人员 具有较高的业务知识水平，如前所述，还必须具有较高的辩证唯物主义思想 水平以及正确掌握党的方针政策的水平。此外，还需要有一定的小学数学教
　　
学经验。要达到上述条件，就必须不断学习，不但要向书本学习，还要向有 实践经验的教师学习。而且随着现代科学技术的发展，对编辑人员的学习不 断提出更新更高的要求。我们虽然参加小学数学教材编辑工作多年，但是同 上述条件和要求还有一定差距。在庆祝新中国成立四十周年之际，我们深愿 继续学习，提高自己，为完成小学数学教材的进一步改革任务而努力奋斗。

（本文原载于《课程·教材·教法》 1989 年第 10 期，与李润泉合写。）

小学数学教材体系问题的探讨


　　小学数学教材体系是小学数学教材研究中的一个重要问题。小学数学教 学内容确定以后，在组织和编排上是否合理，直接关系到能否使学生顺利地 掌握数学基础知识，有效地培养学生的能力。

一 历史上关于小学数学教材体系的变革情况


　　早期的小学算术教学，不研究教学内容的合理组织，基本上是按照成人 学习算术的顺序，采取直线前进的编排方式。17 世纪，J.A.夸美纽斯提出了 教材编排要有系统性，强调教学内容的分配应与年龄阶段相适应。18 世纪， J.H.裴斯特洛齐进一步提出算术的具体教学顺序，如先教一位数，再教两位 数，强调从心算开始。以后一些教育家发展了他的思想，对整数采取圆周式 排列。这样就形成了整数教材编排系统的雏形，而且一直沿用到 20 世纪。
　　20 世纪初，以美国 J.杜威为代表的实验主义教育兴起，强调教育从儿童 的兴趣出发，课程应该心理化。他们提出按生活单元编排教材，把算术内容 分别组织在各个单元之内。由于这种编排方式不能使学生获得系统的算术知 识，结果造成学生的算术成绩下降。以后，人们开始提出，采用论理的组织 教材的方法和心理的组织教材的方法，不可偏废；但是强调低年级宜用心理 的组织方法，高年级宜用论理的组织方法。1949 年以前中国的小学算术课程 标准中规定低年级算术课采取随机教学就是这个道理。
40 年代末 50 年代初，苏联 A.C.普乔柯提出，小学算术教材的编排要反
映算术发展的逻辑性，同时也要照顾到学生年龄的心理特征。他强调把两者 适当结合起来考虑的观点，在建立小学数学教材体系的原则方面前进了一 步。他的这种观点对新中国算术教材的编排体系有很大的影响。
60 年代兴起的数学教育现代化运动，小学算术的教学内容发生很大变
化。从此学科的名称改为“小学数学”，相应地教材体系也有了很大改变。 一方面由于数学本身的发展，趋向于研究数学的结构，把数学各分支组成统 一的整体，从而一些数学家提出，小学也要体现现代数学思想，注意培养学 生用演绎的方法进行逻辑推理的能力；另一方面一些心理学家也提出学习要 注重理解学科的基本结构。在这些思想的影响下，小学数学教材改为主要按 数学的逻辑顺序来编排，结果给教学带来很大困难。70 年代末 80 年代初， 一些按照上述原则编写的课本，都做了修改。在中国，由于注意吸取其他课 本的经验教训，在小学数学教材编排方面避免了走弯路。

二 建立合理的小学数学教材体系应遵循的基本原则


　　简要地回顾历史可以看出，小学数学教材体系的变革经历了一个曲折的 发展过程。变革的中心问题是如何看待和处理数学的逻辑顺序和儿童的心理 发展顺序之间的关系。即使到现在，在这个问题上也存在着一定的分歧。因 此进一步分析研究这个问题，对于改进小学数学教材的体系和提高小学数学 教材的质量是有益的。
　　首先，分析一下数学的逻辑顺序在小学数学教学中的作用。数学的主要 特点是它具有抽象性和逻辑严密性。小学数学是由算术、代数初步知识和几
　　
何初步知识等综合构建而成的一个学科，必须尽可能反映数学的逻辑系统 性，使前面的内容成为后面的学习基础，使后面的内容在前面的基础上扩展 和提高。这样才便于学生掌握数学的概念和法则，并有助于发展学生的逻辑 思维。
　　其次，分析一下儿童的心理发展顺序在小学数学教学中的作用。小学生 的认知特点是由近及远，由局部到整体，由浅入深，经历多种水平才达到比 较完全的认识；其思维特点是由具体形象思维逐步向抽象逻辑思维过渡。要 使抽象的数学内容容易为小学生所接受，就不能完全按照数学的逻辑顺序来 编排，而要适应小学生的认知发展特点，对数学内容进行教育学、心理学的 加工，使数学教材的编排顺序与学生的年龄特点相符合。也只有这样才能切 实地逐步地发展学生的抽象逻辑思维能力。
　　因此，为要建立合理的小学数学教材体系，必须遵循这样一条基本原则， 即把适当反映数学的逻辑系统性和适应儿童的认知发展规律恰当地结合起 来。具体怎样贯彻这一基本原则呢？根据我们的实践经验有以下几点体会。
　　（一）正确地分析每一数学知识的要素以及各要素之间的联系，清楚地 了解儿童学习每一数学知识的心理特点。这是贯彻好上述原则的重要前提。 这样的分析研究可以为编排教材提供可靠的依据。
（二）要把数学的逻辑系统性与儿童的认知发展规律的恰当结合看作是
一个动态的变化的过程。因为儿童的思维和所形成的认知结构是在不断发展 的，所以小学数学内容的逻辑系统性的水平也要随着逐步改变和提高。一般 地说，在低年级要较多地考虑儿童的认知发展特点，同时适当注意数学内容 的逻辑系统性；在高年级可以较多地注意数学内容的逻辑系统性，但是也要 注意根据内容的抽象程度和儿童的认知特点对数学的教学顺序做适当的调 整。
（三）编排教材的方式是多种多样的，具体如何编排要根据教学内容的
难易和学生的年龄特点而定。例如，低年级或较难的内容多采用螺旋式排列， 高年级或较易的内容多采用直线式排列。
（四）遵循上述基本原则，有些内容可能安排在不同年级或有不同的编
排顺序，这就需要通过对比实验找出安排的最佳期或最佳顺序。

三 建立小学数学教材体系值得研究的几个问题


　　要建立合理的小学数学教材体系，除了贯彻上述基本原则以外，还需要 解决好一些较为具体的问题。本文着重研究以下几个问题。
（一）加强各部分知识间的联系，建立小学数学的整体结构 D.希尔伯特指出过，数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力
正在于各部分之间的联系。小学数学虽然是一个学科，但也必须注意数学知 识间的联系，使各部分知识形成一个有机整体。这样才便于学生理解和掌握， 有利于给学生建立良好的认知结构。为此，要注意分析各部分知识间的联系， 处理好它们之间的关系。
　　在小学数学中，算术知识仍然是核心的内容，是最基础的知识，因此必 须先教学，而且要放在重要的位置。代数初步知识主要包括用字母表示数， 简易方程等，比算术知识抽象，宜于在学生掌握一定的算术知识的基础上进 行教学。在编排时可以使它和算术知识适当配合。计量的初步知识，特别是
　　
单位间的进率和名数的变换，也需要一定的算术知识做基础，因此编排时必 须考虑到学生认数和所学的计算范围。图形知识本来和数有着密切的联系， 因此编排时也要注意与数的计算密切配合。简单统计知识更是离不开数和数 的运算。至于应用题，它反映了各部分知识如何应用于实际，与各部分知识 都有密切联系，但是首先也是与数和数的运算的联系。由上面分析可以看出， 在考虑小学数学教材的整体结构时，要以数和数的运算为主线，其它各部分 知识适当与其联系和配合，同时也要适当注意各部分知识的内在联系和逻辑 系统。
（二）小学数学教学内容的分段问题 从一些教科书的编排情况可以看出，在这个问题上还存在一些分歧。分
歧的实质是采用圆周式编排还是采用直线式编排。对于整数内容，都采用圆 周式编排，即划分几个阶段，意见比较一致。对于其它一些内容，在编排上 则有不同的处理。例如小数或简易方程，有些课本采用了直线式编排。因此 有必要从数学的发展和儿童的认知发展进行一些分析研究。首先，数学概念 的发展是一个不断反映现实世界数量关系的矛盾和不断解决这些矛盾的过 程。这就要求小学数学教学内容尽量反映数学概念的逐步发展的过程。其次， 儿童的认知发展也是一个由浅入深经历多种水平或阶段的渐进过程，不可能 一次完成。因此安排小学数学教学内容时，宜于适当划分阶段。这一原则不 仅适用于整数，也适用于其他的内容。至于每部分内容划分几个阶段合适， 要根据各部分内容的分量、难易程度以及教学对象的年龄而定。当然，在采 用分段教学时，要注意各阶段有不同的重点，并体现循序渐进，逐步提高； 同时注意防止把知识分得过于细碎，或出现一些不必要的重复。
（三）突出数学的基本概念和基本规律
　　现代心理学家认为，无论教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结 构。小学数学要建立良好的教材体系，也要处理好本学科的结构问题。为此， 必须突出数学的基本概念和基本规律。这个问题处理好，既便于学生掌握数 学基础知识，又有利于发展学生的思维能力，还可以节省教学时间。要做到 这一点，有以下几点值得考虑：
1.按照基本概念之间和基本规律之间的内在联系，并根据小学生的可接
受性，建立概念的和规律性知识的系统。例如，教学小数的初步认识宜于放 在分数的初步认识之后，以便建立小数与分数间的联系；教学平面图形的认 识要按照图形之间的内在联系来编排。
2.以基本规律为主线，循序渐进地安排每一部分教学内容。例如，20 以
内的进位加法，为了突出“凑十加”的计算规律，宜于按照 9 加几、8 加几?? 的顺序来编排。
　　3.每一部分数学知识，注意突出基本的、关键性的内容。例如，除数是 两位数的除法，关键是解决商一位数的试商方法，就要根据两位数除的试商 特点来编排。
　　4.注意加强知识的联系对比，以便于学生分清基本概念和基本规律，防 止发生混淆。
（四）小学数学与其它学科的配合 学校中任何一个学科的教学都不能孤立地进行。特别是作为工具性学科
的数学，更要注意与其它学科的联系和配合。一方面小学数学需要其它学科 做基础。如语文课给学生打下初步的识字、阅读基础，才便于安排解答应用

题。另一方面，安排数学教学内容时，要尽量注意适应其它学科的需要。如 语文、常识课需用的一些计量单位，在不给学生增加学习困难的前题下，应 尽量提早安排。

参考资料


曹孚《外国教育史》，人民教育出版社，1962 年版。 Л.B.赞可夫《论小学教学》，教育科学出版社，1982 年版。 J.S.布鲁纳《教育过程》，文化教育出版社，1982 年版。
C.F.Green 《 Elementary School Mathematics 》， D.C.He ath and
Compa-ny，1974。
　　曹飞羽、李润泉《课程·教材·教法》1989 年第 10 期，“四十年来小 学数学通用教材的改革”。


　　（本文是 1990 年向课程发展与进步国际研讨会提交的论文，原载于《课 程发展与社会进步——国际研讨会论文选》，1992 年。）
　　
运用心理规律 改革教材教法


　　课程教材研究所编写的《小学实验课本数学》的实验工作，从 1986 年秋 开始，到 1991 年暑假，已经圆满结束。五年的实验取得了很大成绩，比较普 遍地提高了小学数学教学质量，不仅提高了及格率，而且学生的能力得到较 好的发展，培养了一些数学能力较强的优秀生；提高了学生学习数学的兴趣， 为进一步学习打下了较好的基础。我们当初的一些改革设想，经过实验现在 需要认真地分析和总结，一方面把好的经验加以整理，坚持下去，另一方面 把不很成功的地方加以分析，找出原因，然后加以改进。我们实验获得成功 的原因很多，有各地领导的支持，有教研人员深入实际的工作和指导，有教 师的认真钻研和辛勤的教学实践，也有实验教材的改进。这里着重谈谈怎样 在教材和教学中运用心理规律的问题。教育的基本目的是促进人的身心的全 面发展，而要做到这一点，就必须考虑学生身心发展的特点，遵循学生身心 发展的客观规律。学生身心发展的规律涉及到心理学的许多分支学科，而且 规律是很多的。有些还在进一步探索中。这里只能选择一些对小学数学教学 有重大影响的规律，结合实验教材和教学实践，谈一些体会。

一 建立比较合理的教材结构


　　小学数学教学实验要取得较好的效果，很重要的一点就是要建立比较合 理的教材结构。而这一点与较好地运用现代教学论和心理学规律有密切的联 系。什么是教材结构？目前还没有完满的定义，一般认为，一个学科的教材 结构首先要反映这门学科的知识结构。而一门学科的知识结构，按照心理学 家布鲁纳的说法，就是学科的基本概念、基本原理、基本方法以及它们之间 的相互联系。他强调学生懂得了学科的基本结构，就可以理解和掌握整个学 科的基本内容，并能够促进迁移。要搞好小学数学教学，就要弄清教给学生 哪些基本概念、基本原理，它们之间的联系是怎样的。例如，从较大的范围 说，掌握了整数计算法则就便于学习小数计算法则；掌握了整数运算定律， 就容易推广到小数和分数。从较小的范围说，两位数除法的基本结构是用两 位数除两、三位数商一位数的除法，这部分知识学好了，商多位数就没什么 困难，进一步学习三位数除法也比较容易；解答一步应用题是解答两步应用 题的基础，如果在解答一步应用题时合理地组织教材，重视分析数量关系和 选择运算方法，教学解答两步应用题时注意与一步应用题的联系，并注意突 出两步应用题的结构，学生也是不难掌握的。因此，一个学科的教材结构必 须是能反映这个学科的各要素、各成分（包括知识、技能、智能、思想观点 等）之间合乎规律的组织形式。
　　但是一个学科的教材结构，不是简单地反映这个学科的知识结构就行 了，它还受着学生心理特点的制约。一个学科的基础知识要能为学生所掌握， 它的组织形式必须考虑学生的认知心理特点和认知的方法，便于使学科的知 识结构转化为学生的认知结构。所谓认知结构，概要地说，就是学习者在头 脑中形成的知识经验和组织系统。只有当教材的结构既较好地反映学科的知 识结构，又较好地适应学生的认知心理特点时，才能在学生的头脑中形成有 关一个学科知识的正确的认知结构。
历史上关于小学数学教材的组织有过不同的处理。大致来说，早期的小

学算术，基本上是按照成人学习算术的顺序，采取直线前进的编排方式。这 对初学的儿童是比较困难的。17 世纪以后，一些教育家提出教学内容的分配 应与年龄阶段相适应，小学算术教材开始对整数采取圆周式（或称螺旋式） 编排方式。这样就形成了整数教材编排系统的雏形，而且一直沿用到 20 世 纪。本世纪初，以美国教育家杜威为代表提出的儿童中心论，强调教育要从 儿童的兴趣出发，课程应该心理化。随后有人提倡“单元教学”，按生活单 元组织教材，把算术内容分别组织在各个生活单元之内。这样编排虽然比较 适合儿童的年龄特点，但是不能使学生获得系统的算术知识。针对上述编排 的弊病，有的教育家提出，采用论理的组织方法与心理的组织方法不可偏废。 但是强调低年级宜用心理的组织方法，高年级用论理的组织方法。60 年代数 学教育现代化运动，一些教育家、心理学家强调注重理解学科的基本结构， 小学数学教材又改为主要按照数学的逻辑顺序来编，结果给教学带来很大困 难。从历史上可以看出，小学算术（或数学）教材的结构尽管多次改变，有 一点是共同的，即把数学的系统性与儿童的心理特点割裂开来。现代教学论 趋向于把学科的逻辑顺序与儿童的心理发展顺序适当结合起来。这就为我们 编写实验教材考虑建立合理的教材结构指明了方向。但是要贯彻好这一条原 则并不是轻而易举的。安排教材时既要正确地分析每一数学知识的要素以及 各要素之间的联系，又要考虑学习这一知识的儿童的年龄心理特点。例如整 数和整数四则运算，长期以来根据儿童的年龄特点采用螺旋式编排，这是正 确的。但是根据我国的计数制度和学生的学习心理特点，划分几个阶段更为 合适，就需要认真研究。现行五年制三年级认数从万一直扩展到千亿，不仅 教学多位数四则运算，而且教学四则运算的意义和定律，从数学的逻辑系统 看是可以的，但是从儿童的年龄特点，特别是从三年级儿童的抽象逻辑思维 发展水平还较低这一点来看，就不合适了。这也就是导致三年级学生数学成 绩出现“马鞍形”的重要原因之一。为此，实验教材把三年级认数的范围先 扩展到亿，理论知识只限于四则运算各部分之间的关系，而把亿以上数的认 识、四则运算的意义和定律移到四年级，效果就比较好。再举一个例子，现 行五年制二年级出现小数的初步认识，由于结合元、角、分的认识来讲，学 生还是可以接受的。但是从数学逻辑系统性来考虑就不够理想。这样教学， 学生对小数的概念不清楚，对进一步学习小数不能很好地发挥打基础的作 用。实验教材把小数的初步认识后移，放在分数的初步认识之后，加强两者 的联系，并且采取小步子，先教学一位小数，再教学两位小数，这样编排， 既符合数学的逻辑系统性，又适合儿童的年龄特点。实验表明，这样教学， 学生获得比较清楚的小数的初步概念，为进一步学习分数、小数打下较好的 基础。
　　由此可见，建立合理的小学数学教材结构，不仅是一个数学问题，在很 大程度上还是一个心理学问题，是一个如何处理好两者的关系的问题。这个 关系处理得好，不仅使学生容易掌握数学基础知识，而且有助于培养能力。

二 遵循儿童的认知规律


　　按照一些心理学家的看法，学生的学习是认知活动，尤其是思维活动的 概念化或类型化过程。人的认知活动是有它的客观规律的。如布鲁纳把人的 学习分为动作的、映象的和符号的三种表现，或称三个发展阶段。加里培林
　　
则提出人的智力活动形成过程有 5 个阶段：1.活动（动作）的定向阶段；2. 物质的（指操作）或物质化的（指模型、图解、标本等）阶段，并指出这是 “完备的智力活动的源泉”；3.出声的外部言语活动阶段，即用言语表达活 动，实际是形成表象；4.不出声的外部言语阶段，这是向智力水平转化的开 始；5.内部言语阶段，即概括的、简化的表述。尽管这些心理学家所用的术 语和划分的阶段不同，但是在认知或智力活动的顺序上有共同之点。一般可 简单地概括为：动作、感知→表象→概念、规律→符号。其中对动作阶段都 十分重视，特别是对儿童来说非常重要。有些儿童心理学家研究表明，早期 的儿童是在动作中思考的，儿童的心理活动是在实践活动中形成的。皮亚杰 的研究认为，儿童认知发展的第一阶段主要是靠感觉和动作探索周围世界。 柳布林斯卡娅则指出，这种“用手思维”的形式不会随着更高级的形式，即 逻辑思维的发展而消失。由此可见，这一认知规律在整个小学阶段都具有普 遍性。
　　根据这一规律，我们在实验教材中增加了操作，加强了直观。不仅在低 年级，就是在高年级遇到比较抽象难以理解的数学概念或法则，也注意利用 操作。例如，教学约数和倍数这一单元，实验班老师配合教材增加了操作， 收到很好的效果。不仅在教学认数和计算时，充分运用操作，就是在教学简 单应用题时，也通过操作引导学生分析数量关系，确定运算方法的选择。例 如，教学求两数相差多少的应用题时，让学生摆 6 朵红花，4 朵黄花，引导 学生说出红花可以分成哪两部分，理解从 6 朵红花红花中去掉和黄花朵数黄 花同样多的部分，剩下的部分就是红花比黄花多的朵数，因此要用减法计算。 由于通过操作和分析，在学生的头脑中形成关于这种应用题中较大数与较小 数的数量关系的表象，理解为什么要用减法算，而不是死记应用题类型和解 法公式，有效地提高了学生正确解答应用题的能力。实验班教师在实践中创 造和积累了大量的有关操作的经验。例如，设计和制作合适的操作用的学具； 有计划有步骤地引导学生操作，并且注意节省教学时间；根据心理学中智力 活动形成的过程，表象与感知、思维的联系以及思维与语言的联系，把操作、 思维与用言语表达紧密结合起来。有些教研人员和学校领导还把实验班的经 验介绍到其他学校、班级，也收到了较好的效果。

三 按照学习心理学的规律呈现教材


　　这次编写实验教材力求在这方面有所改进，以便于教师基本上按照课本 的顺序进行教学，能收到较好的教学效果。学习心理学的规律很多，实验教 材中着重在以下几点力求有所体现。
（一）激发学习的动机，提高学生学习的兴趣 学习动机是直接推动学生学习的一种内部动力，是提高学习效果的重要
条件。教材中如果在这方面处理得好，就便于教师更好地调动学生学习的积 极性。实验教材中在这方面做了一些努力，根据教学内容的不同情况来引起 学生的学习动机。例如，第三册第 11 页，“除法要算得又对又快，就要学会 用口诀求商。”使学生明确学习的目的性。第八册开头，“我们学过计算长 方形的面积，平行四边形的面积该怎样计算呢？”用提出问题的方式，激发 学生的求知欲。在实验中有不少老师非常重视这一点，往往在一节课内不断 地提出启发性问题，引导学生思考，充分调动学生学习数学的积极性。有的

老师还总结了这方面的经验。
（二）加强算理的教学 教育心理学十分强调理解在学习知识中的作用，“只有通过理解才能迅
速地占有前人的认识成果”。有的心理学家提倡有意义学习，避免机械学习， 并用实验结果说明前者优于后者。实验教材比现行教材在这方面有所加强， 特别是通过操作、直观加强算理的教学，比较符合儿童的年龄特点。例如， 教学乘法口诀，注意通过操作使学生理解口诀的来源，而且教给学生当忘记 某一句口诀时如何利用其他口诀推导出来。教学一位数除两、三位数，一方 面从已学的口算引入，帮助理解笔算除法的过程，另一方面加强直观，说明 每次除的是几个百或几个十，商是几个百或几个十，余下的是几个百或几个 十，怎样和低级单位的数合并再除。学生明白算理就比较容易掌握除的顺序 和商的位置。
（三）加强学习的反馈 反馈原理是控制论的一条重要原理，现在广泛应用到心理学。心理学家
认为，加强学习的反馈是有效的教学原则之一。教育心理学上的所谓反馈， 是使学生知道自己的学习结果，当然与此同时教师也获得学生学习情况的信 息，以便及时采取措施，调整教学。心理学家通过实验证明，学习结果的反 馈对学生的学习动机有很大的激励作用，有利于学习成绩的提高。根据这一 原理，实验教材中每教学一部分新知识，都安排“做一做”练习，藉以使师 生都能及时看到对新知识的理解和掌握的情况。此外还注意通过多种练习形 式来加强反馈的效应。不少实验教师根据这一原理，在课堂教学中运用适当 的手段，及时收集反馈信息，特别注意了解后进生掌握新知识的情况，并及 时采取措施，予以补救。这样做，不仅激发了学生学习数学的积极性，而且 提高了课堂教学效率。
（四）重视学习结果的保持
　　学习结果的保持是学习过程中的重要一环，如果边学边忘，那就一无所 得。因此它是心理学家研究的重要课题之一。心理学家研究的遗忘和保持的 一般规律，增进记忆与保持的效果的重要条件，对于小学数学教学有重大的 指导意义。在实验教材中力求根据学习心理学的研究成果，改进编写方式。 主要有以下几点：
1.重视有意义学习，加强算理教学，以便好记，记得牢。
　　2.加强知识的联系和对比，既促进联想，又防止混淆。实验班老师根据 教材精神，也加强这方面的教学，反映效果很好，并且积累了很多好的经验。
　　3.每部分知识都注意按照心理学关于练习的效应的研究来安排练习，一 方面适当分散练习，另一方面加强混合练习，防止单打一；并且经常带着复 习已学的，而且随着学习时间的延长，复习重现的间隔也适当加大。
　　4.每单元最后加强整理和复习，通过整理复习使学科的知识结构更便于 转化为学生的认知结构。教育心理学强调复习的合理组织，特别是把新的信 息“嵌入”业已形成的认知结构之中，是保持学习效果的一个重要条件。
　　由于采取以上一些措施，实验班教师反映，使用实验教材，不需要过多 的集中复习，只要注意平时的复习整理，即使遇到事先无准备的检测，也能 取得较好的成绩。
（五）重视学习结果的评价 教育心理学十分重视学习结果的评价。按照信息论的观点，评定成绩具

有反馈的功能：1.促进学生学习的进步，巩固所学的知识技能，更明确努力 学习的目标；2.促进教师的教学改革，调整教师的教学工作；3.促进课程、 教材的改进，这一点对我们编写实验教材来说非常重要；4.向家长、学校、 行政反映情况，作为采取措施的重要依据。五年来我们坚持有计划、有目的 的评价，每学年除了定期的成绩测试外，还请教师和教研员填写教材意见表， 还有数学能力测试以及其他必要的专项测试，最后还请学生、教师、教研员、 学校领导填写教材评价表。这些都是进行实验不可缺少的工作。我们收到评 价结果的材料后，及时进行统计，并把结果反馈给各实验点，以便充分发挥 其反馈功能。
　　关于学生成绩的评定方法，教育心理学一般都是介绍非标准化测验和标 准化测验，分析其各自的优、缺点。另外就是介绍布卢姆的目标分类检测。 近年来国外对标准化测验提出较多的批评，指出标准化的选择题不能充分反 映考试者的水平，应选用多种形式的考试去测量教育的效果。至于布卢姆的 目标分类检测，国内外也有一些评论。有的认为对提高教学效果有一定作用， 但是也有人（如美国的格罗夫）认为，把目标分成几个细小的目标，是把教 学目标这一复杂的行为简单化。在目标的分类中各种行为是有联系的，特别 是把记忆信息或知识作为第一水平，容易导致机械的记忆。此外布卢姆的检 测方法基本上是与标准化测验联系着的。而美国近来对这种标准化测验批评 很强烈。根据近年来数学成绩评定方法的改革趋势，我们采取了另一种试验， 吸收各种评定方法的优点。对每单元或课题除了提出教学目标外，还就小学 数学几个主要部分提出单元末的、期末的量化指标。这种指标是一般学生经 过努力大都可以达到的，经过试验发现指标不合适再适当加以调整。在测试 时加强了分项测试，以便全面考查学生的知识能力。例如口算，每学期都有 一定量的测试题，以利于逐步提高学生的口算能力。每学期的测试题还混有 少量已学的，以利于巩固和提高已掌握的知识和技能。另外，加强基础知识 和基础技能的考查，同时避免出死记硬背的题目，而注意适当灵活，以考查 学生的能力发展情况。经过几年来的试验，效果是比较好的。一方面及格率 比较高，而另一方面满分率不高。这反映出大面积学生达到了基本要求，同 时又比较容易区分出学生在能力上的差异。这样，通过成绩的考查和评定， 促进了全体学生学习数学的积极性。许多地区在总结性测验和本地统一考试 时，把实验班与普通班进行了对比，大多数实验班成绩优于普通班。

四 重视培养能力


　　这次实验强调紧密结合数学基础知识的教学，注意培养学生能力。我们 根据教育心理学和能力心理学，着重研究结合数学的特点，在小学数学教学 中主要培养哪些能力，以及如何有效地加以培养。我们认为，主要有以下三 个方面。
（一）计算能力 在这个问题上一些心理学家是有不同看法的。例如，前苏联的克鲁捷茨
基认为，计算不能说是能力，只能说是技能。但美国的施莱辛格和格特曼认 为，计算能力是三种基本能力之一（另外两种是言语能力，形状和空间能力）。 我们倾向于后一种看法。根据心理学的研究，技能有两种。一种是操作技能， 它是由一系列外部动作构成的，主要是通过骨骼肌肉的动作来实现的，如打

字、骑自行车等。另一种是智力技能，是在头脑中借助于内部言语进行活动 的，如默读、计算等。它们是智力发展和能力形成的重要因素。另外，能力 心理学也承认，能力除了一般能力（也可统称智力）外，还有符合某种专业 活动要求的一些特殊能力。从小学数学教学要求来看，计算不只是简单地机 械地按照一定规则进行操作，得到正确结果就行了，还要求迅速、合理、灵 活，而这些同思维的敏捷性、逻辑性、灵活性有密切的联系。学生要善于根 据不同的情况采用简便的算法，善于简缩思维过程。根据以上分析，计算应 该看作是一种特殊能力。
　　为了较好地培养计算能力，实验教材加强了口算和简便算法，增加了估 算；加强算理的教学；一道式题有多种算法的，鼓励学生想出不同的算法， 并且找出简便的算法，提出正确、迅速的试行量化指标；并且根据教育心理 学关于运算技能的形成安排练习。初步实验效果是比较好的，很多实验班教 师积累了不少好的经验。
（二）初步的空间观念 很多心理学家认为，空间能力是基本能力之一。这一点在前边也提到了。
空间能力是什么？据心理学家研究，儿童的空间能力是逐步发展的，大体有 三个层次。首先是空间知觉，是反映物体的主体状态及其在三维空间的关系 的知觉，其中包括物体的形状、大小、距离、深度、方位等的知觉。它们是 形成空间观念和空间想象力的基础。学前儿童主要是发展空间知觉。到 6、7 岁时儿童开始理解图形的特征，在头脑中逐步形成几何形体的形状、大小、 相互位置关系等的表象，通常称为空间观念。小学阶段主要是发展初步空间 观念，初中还要继续发展。空间想象力是空间能力发展的高级阶段，是中学 几何教学的一项重要任务。所谓空间想象力主要是指：1.根据所给图形的名 称能画出图形，在头脑中能分析图形的基本元素之间的度量和位置关系（如 平行、相交、垂直等）；2.借助图形想象出客观物体的空间形状及位置关系， 并用言语或式子表达；3.能从复杂的图形中区分出基本图形，并分析它们之 间的关系。可以明显地看出，小学几何初步知识的教学也包含上述的某些因 素，当然还是比较初步的。根据上面的研究，我们认为，在小学虽以发展空 间观念为主，但其中也渗透一些发展初步空间想象力的因素，它是发展空间 能力的一个重要组成部分。
为了达到上述目的，实验教材从一年级起就有计划地安排几何初步知识
的教学，适当减少求积计算的难度，加强操作、观察、制作、测量、画图等 活动，结合一些内容还适当渗透一些变换几何的思想。这些措施不仅促进了 学生空间观念的发展，而且提高了求积计算的正确率，还增加了学生学习几 何初步知识的兴趣。
（三）初步的逻辑思维能力 这个问题在现行小学数学教学大纲中提得很明确。但是过去有一个时期
在某些报刊上出现了一些不同的提法，这就使我们在进行实验时不得不再加 以研究。我们根据数学学科特点和小学生思维特点，考虑在小学主要是发展 学生的初步逻辑思维能力，它符合能力心理学关于能力发展的关键期的原 则。我们根据思维心理学的一些研究，考虑在实验教材中除了着重发展学生 的分析、综合、比较、抽象、概括、判断、推理等能力外，在可能的条件下 结合某些内容也适当渗透辩证思维因素，并重视思维品质的发展。结合数学 特点看思维品质的发展主要是培养学生思维的敏捷性、灵活性和初步的创造

性。
　　关于逻辑思维能力的培养，我们在各册实验课本中都采取了一些措施， 并且在各册教学参考书中作了介绍，还在实验工作会议和实验简报上对某些 问题根据心理学的原理进一步做了说明。这里再概要地阐述几点：
　　1.培养学生思维能力要贯穿在小学数学教学过程的始终，每一部分内 容、每节课、每个环节都要考虑如何发展学生思维能力。
　　2.紧密结合数学知识的教学，有意识、有目的地发展思维能力。不能为 了发展思维，教学超过大纲范围的知识，或者出一些难题。
　　3.加强基本概念和基本规律的教学，注意培养学生迁移类推的能力。例 如教学 9 加几、8 加几，通过操作、直观逐步引导学生总结规律，以后 7 加 几、6 加几等引导学生迁移类推。
　　4.根据学生年龄特点，提出不同的教学要求和不同的教学方法。例如低 年级多利用操作、直观，并且教师多加引导学生思考；随着年级的增高，适 当减少对操作、直观的依赖，以利于培养学生抽象思维；并且要更多的放手， 鼓励学生质疑问难，以利于培养学生思维的独立性。此外，还要结合一些内 容适当教学生分析推理的方法以及某些数学方法，并加强练习，以提高学生 思维的能力。
5.在教学中重视思维过程，同时也不忽视思维的结果。
　　6.重视思维品质的培养，注意引导学生简缩思维，适当进行发散思维。 对于一些有多种解法的题目，鼓励学生想出不同的解法，但是同时注意找出 简便的解法。
7.强调教师的示范作用和引导作用，注意纠正学生思维过程中的逻辑错
误。
　　在实验中经过教师的努力，初步取得一些效果。一些实验班进行数学能 力对比测试的结果表明，大多数好于普通班。

五 适应学生心理的个别差异


　　无论儿童心理学或教育心理学都重视研究学生心理的个别差异问题，认 为由于先天、教育和社会生活条件等的影响，个人具有不同的心理特点。主 要反映在以下几方面：
1.性格差异 如有的学生守纪律、学习主动、有毅力，而另外一些学生意
志薄弱，也有的自制力差，易冲动。
　　2.兴趣差异 如有的学生对各学科都感兴趣，有的对某种学科有特殊兴 趣；有的学生对事物的兴趣发生很快，但容易转换，另外一些学生则较稳定 持久。
　　3.能力差异 一般能力，如注意、记忆、观察等，都有强弱不同；思维、 想象能力的差异就更大。在思维的品质方面也都存在差异。
　　为此，教育心理学特别强调教学要注意适应个别差异，以便有针对性地 加以指导，使学生都得到较好的发展。
　　一般地说，很多教师比较注意适应学生的个别差异。但是数学教材过去 没有重视，教学参考书有时谈到一点，也比较少。这次编写实验教材，开始 重视这个问题，并根据心理学的研究，初步提出几项措施：
1.提出的教学要求，尽量使后进生经过努力也能够达到。强调对后进生

的辅导，针对他们的具体情况做好转化工作，力争使他们达到教学的基本要 求。
　　2.强调允许后进生在理解和掌握数学基础知识方面有一个比其他学生更 长的过程。教师在教学中要心中有数，力求缩短这个过程。
　　3.在实验教材中加强操作，多提供直观经验，适当增加有趣的练习和数 学游戏，以利于后进生理解和掌握数学基础知识和培养能力，并提高他们学 习数学的兴趣。
　　4.在实验教材中安排不同层次的练习题，有“*”号的题只供学有余力的 学生做，还在思考题中适当扩充知识面，给较好的学生开阔视野，开拓思路， 更好地发挥他们的数学才能。
　　经过实验，初步看到一些效果。很多实验班消灭了不及格，另一方面培 养出一些数学能力强的学生，在多项数学比赛中获奖。不少实验班教师在辅 导后进生培养优生方面总结出好的经验。
　　综上所述，我们在实验中运用心理学规律编写教材，改革教法已收到一 些好的效果，取得一些经验，但是还很不够，还有不少问题需要进一步探索 或加以完善。欢迎大家共同来研究，把我国的小学数学教材和教法的水平再 提高一步，为更好地实施九年义务教育做出更大贡献。


　　（本文是 1991 年在课程教材研究所小学数学实验工作总结会议上的发 言，原载于《小学数学教师》1992 年第 4、 5 期。）
　　
从现代教学论观点看小学数学教学方法的改革


　　近年来，国内外为了提高小学数学教学质量，越来越重视教学方法的改 革。不仅出现了很多新的教学方法，而且进一步从教学理论上加以探讨。因 此就提出一系列的问题：哪些教学方法是好的？如何从现代教学论的观点去 判别它们？从现代教学论的发展趋势看，小学数学教学方法的改革方向如 何？本文想围绕这几个问题介绍一点情况，并谈一些粗浅的看法。

一 改革小学数学教学方法的指导思想


　　我们研究小学数学教学方法的改革，不能孤立地进行。教学方法是教学 论的一个重要组成部分。小学数学教学方法是一般教学方法在小学数学教学 中的具体运用，因此它要服从于一般教学论的原则指导；但是它又必须体现 数学学科的特点。
　　教学理论不是一成不变的。特别是近二十多年来，科学技术迅猛发展， 社会不断变化，一方面不断向教育和教学提出新的要求，另一方面人们对教 学客观规律的认识日益深化，教学理论其中包括教学方法的研究有了很大发 展，这对小学数学教学方法的改革产生着积极的影响。因此小学数学教学方 法必须随着现代教学理论的发展不断地改革。
按照教学论的观点，教学方法是同教学目的、教学内容、教学对象的心
理特点、教学手段和教学组织形式密切联系着的。研究小学数学教学方法的 改革，必须紧密结合小学数学的教学目的和教学内容，适应小学生的年龄特 点，并且联系小学数学教学手段和教学组织形式的改革，才能取得良好的效 果。

二 现代教学论的发展趋势及其对小学数学教学方法改革的影响


　　（一）在教学目的任务上，改变了传统的单纯传授知识，而更注意发展 智力，培养能力。
例如，美国布鲁纳在谈到教育的一般目标时指出，“不仅要教育成绩优
良的学生，而且也要帮助每个学生获得最好的智力发展。”苏联伏尔科夫指 出，以前，教育系统供应的是“执行者”，现在“要求教育系统供应创造者，?? 教育系统应当成为生产具有独特思想的聪明人的‘工场’。”赞科夫更明确 地提出，教学不是单纯地传授知识，教学论的核心是：教学过程要使学生的 一般发展取得成效。他批评过去的教学理论，把发展学生智力和逻辑思维作 为“副产品”，如学习算术自然而然地变成逻辑练习。西德根舍因也强调不 仅使学生掌握科学知识，还要训练学生的独立思考和判断力。我国近几年来 为实现四个现代化培养人才的需要，也强调在教学中发展智力培养能力的重 要性。
　　由于教学目的的改变，以传授知识为主的传统的教学方法显然不能适应 新的要求。为此陆续出现了一些新的教学方法，如发现法、探索问题法、研 讨法、独立作业法等。有些教育心理学家还同传统的教学方法做了对比实验， 结果表明，探索发现式的学习对启发思维、促进学习的迁移很有好处。由于 这些方法更多地发挥学生的学习主动性，在获得知识的同时不同程度地学到
　　
获得知识的方法，就有利于发展学生的智力，培养学生独立获取知识的能力， 从而受到教育工作者的重视。
　　新教学方法出现以后，是不是要废弃传统的教学方法呢？在国外，有一 段时间曾经有过对传统的教学方法采取完全否定的态度，但是近年来发生了 一些变化。一方面，人们看到新的教学方法并不是完美无缺的，也不是到处 都可以用的。如发现法，连布鲁纳自己也说“消耗的时间可能太多”，“有 些人却轻易地采纳这种‘发现法’思想，好象一个人甚至应能发现一群星星 的名称！”另一方面，传统的教学方法也不是一无长处。美国肯尼斯·汉森 谈到讲授法时说，“尽管它受到当代教育家们的许多批评，但仍幸存了这么 多年，这足以证明讲授法具有某些独特的长处。”他认为采用这种方法“能 够有效地介绍和总结课堂上所提到的主要概念”，但对激发兴趣、提高创造 能力很难奏效。因此要少用，特别是学习能力较差的班级或低年级，讲的时 间要短，并建议同讨论相结合，以获得更好的效果。可以看出，对传统的教 学方法，趋向于有条件地保留使用。
　　目前国外小学数学教学法也有同样的趋势，即在提倡重视使用新教学方 法的同时，有条件地保留传统的教学方法。例如，美国恩德希尔在《小学数 学教学》中提倡使用有引导的发现法之后也指出，概念的名称，如何列方程， 如何用竖式解问题等还需要教师讲给学生，在学生发现概念和作出一般概括 之后，还要适当使用讲解法指出其特点，探讨其细节。苏联莫罗等著《小学 数学教学法》中也强调，“对那些能够促进调动学生认识活动积极性的教学 方法要给以更大的注意，同时也应当合理地评价那些跟教师以现成的形式传 授知识有关的方法（口头讲解等）在数学教学中的作用。”作者还把讲解法 加以改进，使它更富于激发学生思维的积极性。
几年来，我国有不少教师明确地认识到小学数学的教学目的，在教学方
法上做了相应的改革，注意采用富启发性的有助于发展学生智力的教学方 法，取得了较好的效果。但是也有些教师对小学数学教学的目的缺乏明确的 认识，还不善于运用促进智力发展的教学方法，在一定程度上还采用着注入 式，教学生死记硬背一些术语、公式。这种情况亟待改变。但另一方面，在 小学数学教学中，为要发展学生智力，对讲解法也不能一概排斥，可以少用 单纯的讲解法，多与其他方法如演示、问答、练习等方法配合着使用，讲解 时注意提启发性问题，引导学生思考，以便使小学生既获得明确的数学概念， 又发展了智力。
（二）强调学生是学习的主体，教师的主导作用必须与学生的主体作用
相结合。 传统的教学论，强调教师的主导作用，忽视学生在学习中的主体作用。
与此相适应，提倡教学时采用讲授法。如凯洛夫主编的《教育学》中明确地 说，“在教学过程中，讲授起主导的作用。”而现代的教学论有了很大的改 变，强调学生是学习的主体。例如，布鲁纳把儿童看作“主动参加知识获得 过程的人”，教师是“主要辅导者”。苏联教育学中也明确提出，“儿童是 教育的主体”，“孩子永远是教育过程的积极参加者；”“学生的认识活动 是主要的”，“教师的任务在于为提高学生的一般认识积极性创造条件，形 成积极的学习态度，培养独立性和工作能力”。看教师的主导作用，不再是 只看教师的讲授水平如何，更重要的是看他在教学过程中是否充分发挥学生 的主体作用，调动学生学习的积极性，引导学生思考，指导学生逐步学会独

立获取知识的方法。这种看法符合唯物辩证法关于内因和外因的关系的观 点。从这一基本观点出发，研 究教学方法，不再是仅仅研究教师讲授的方法， 更重要的是研究激发学生的学习积极性和引导学生学习、探索的方法。讲授 法的缺点就是没有充分发挥学生的积极主动性，也不能有效地使学生掌握学 习的方法，培养起独立获得知识的能力，而某些新的教学方法的优点就在于 比较能够促进学生积极主动地学习，培养学生独立获取知识的能力。当然也 要看到，有些新方法在发挥学生的积极主动性方面体现得比较充分，而在发 挥教师的主导作用方面却显得不够。发现法就是一例。这也正是国外某些教 育家、心理学家提出异议的一个重要原因。如美国心理学家加涅就强调应给 学生最充分的指导，使学生沿着仔细规定的学习程序进行学习；有人还针对 纯发现法的缺点提出有引导的发现法，教师可以作为促进者，适当予以提示 和帮助，以便有效地控制学生的学习活动，保证达到预期的目的。
　　在我国，有些小学数学教师也已经开始试用一些新的教学方法，以调动 学生学习的积极性和主动性，培养学生探索和独立获取知识的能力，并且收 到了一定的效果。但是也仍有一些教师对发挥教师的主导作用同学生的主体 作用相结合认识不够，或者虽然有了一些认识，却缺少办法。为了很好地解 决这个问题，在改革小学数学教学方法时有以下几点值得注意：
1.教师要善于说明学习的意义，创设问题的情境，揭示矛盾，引起学生
的学习动机。使学生感到有学习和探索的需要和兴趣，就会积极地学习。
　　2.教师要努力创造活跃思维的条件，引导学生去思考。只有学生主动地 去思考问题才能算是真正发挥了学生的积极性和主动性。有些提问（如计算 某个算式的结果）可以具有求同思维的性质，有些提问可以具有求异思维的 性质（如一道题要想出不同的解答方法），这样可以更激发学生去积极思维， 并发展他们的思维灵活性和创造性。还要鼓励学生提问质疑，但要让全班同 学来解决，促进每个学生独立思考。
3.教师要适当放手让学生进行实践活动。这在我国小学数学教学中还是
一个薄弱的环节。学生既然是学习的主体，就应当有计划地多组织活动，让 学生进行观察、操作、实验、独立思考和练习等，在多种活动中理解和掌握 数学知识，并逐步掌握学习的方法，培养独立获取知识的能力。这也符合心 理学从动作、感知到表象再到抽象符号的认识规律。学生在实践活动中充分 积累了感性经验，就便于正确地抽象出数学概念的本质特征，概括出完整的 计算法则，并且印象深刻，易于保持。
4.教师要适当变换数学作业的形式。这一方面可以激发学生对数学的兴
趣，不断提高学生的学习积极性，另一方面可以加深对所学数学知识的理解。
　　5.教师在课堂上要善于利用学习的反馈信息，搞好检查与评价，加强反 馈的效应。反馈的信息，无论是对学生或是对教师都很重要。正反馈信息可 以使学生的正确认识和教师的好教法得到加强，负反馈信息可使学生的错误 认识和教师的不适当的教法得到改正。教师如果只重视讲授而忽视学生的反 应，或重视课外批改作业而忽视课内作业的检查，就会使学生不能及时看到 自己的进步，又不能及时改正计算中的错误，不利于发挥学生的学习积极性。 而且由于教师不能当堂发现问题，及时解决问题，还可能造成课内不足课外 补的恶性循环，不利于减轻学生的学习负担。这一点很值得我们重视。当然， 加强课上的信息反馈，也并不意味着把所有的作业都放在课内批改，这两者 还是有区别的，要妥善处理。
　　
　　要做到以上几点，关键是了解学生，弄清学生的年龄特点、学习基础和 学习潜力，使教师组织学生的认知活动建立在可靠的科学依据之上。
（三）在教学方法上，强调多种方法的交叉使用和互相配合。 传统的教学往往采用固定的教学方法，形成一套模式。现代教学论有了
较大的改变。由于教学方法日益增多，对教学方法的本质研究日益深入，教 育家越来越认识到教学方法是多种多样的，没有一种万能的教学方法。如苏 联巴班斯基就指出，不存在“教学法上的‘百宝箱’”。美国教学法工作者 富兰克尔也说，“不存在任何情况下，对任何学生都行之有效的唯一的‘最 佳方法’”。把某种教学方法绝对化，也不符合唯物辩证法关于具体事物具 体分析，用不同的方法解决不同的矛盾这一原则。因此现代教学论趋向于根 据教学目的、内容和学生选用不同的方法，并把几种教学方法配合起来使用。 这一新的教学论观点在小学数学教学法中也得到反映。如苏联《小学数 学教学法》强调，教学方法跟教学目的、内容、手段和组织形式有密切关系， 正是这些关系决定着每一个别情况所用方法的选择；“不可能有据以拟定出 任何课的结构的现成的药方。”美国 C·芮代瑟尔在《小学数学教学》一书 中也强调，教学方法因数学课题、所教的儿童以及教师的风格而有不同；教
学方法也不是“单一的”，可以有不同的组合。 我们对小学数学教学方法的研究有些是符合现代教学论观点的。如有些
同志提出“教学有法但无定法”，强调根据不同情况采用不同的方法。有经
验的教师即使教同一年级不同的班，教法也不完全相同。但是也有的同志与 上述原则相反，想搞一个普遍适用的教学方法，也有的同志想推广某一个教 学方法或某一个课堂教学结构于各个年级，使每一节课都按照同样的模式进 行教学，这种做法不符合唯物辩证法，还容易束缚教师的手脚，限制教师的 创造性，因而不利于更好地提高小学数学教学质量。
（四）在教学组织形式上，灵活运用多种形式，以适应学生的差异。
　　几个世纪以来，广泛使用的教学组织形式一直是班级教学制。它的特点 是拉平取齐、整齐划一，其优点是一个教师同时可以教较多的学生，缺点是 不能适应个别差异。特别是教学目的有了改变，强调使每个学生都得到发展， 班级教学制的缺点愈来愈显得突出。若干年来曾提出不少批评，甚至有人要 取消班级教学制。但是根据各种试验的结果，趋向于把班级教学、分组教学 和个别教学结合起来，这样既能面向全体，也能注意到个别差异。
目前国外小学数学教学中也提倡这样的教学组织形式。如在苏联《小学
数学教学法》中强调集体作业、小组作业和个人作业的各种形式结合。适应 这种形式，印制几套类型相同、难度不同的作业题。美国恩德希尔在《小学 数学教学》中也设计了大组、小组和个人相结合的教学范型，根据理解和掌 握的情况，分别采取充实提高、练习或补授，以便使优等生获得更大的发展 和提高，差等生也能达到基本的教学要求。
　　我国小学数学教学中，有些教师注意到面向全体，因材施教，也采取了 相应的措施；但是也还有很多教师不注意适应不同程度的需要，而采取“一 刀切”，也有些教师在课上注意提问较好的学生，而对较差的学生辅导不够。 我们要提高全体人民的科学文化水平，在小学给每个学生打好数学基础，很 需要尽快改进教学组织形式，总结在这方面做得较好的教师的经验。如何提 供不同的作业，供教师选用，也值得研究。
（五）教学过程实现最优化，提高教学效率。

　　近年来，由于系统论、信息论和控制论引入教学论的研究，有人把教学 过程看作由教师和学生组成的一个信息传输和交换的系统，研究对教学过程 进行最佳控制，以达到良好的教学效果。苏联巴班斯基就是一个代表。他提 出教学过程最优化的基本标准，第一是效果，第二是时间。他强调花费较少 的时间、精力以达到最大的教学效果。为此，在教学任务、教学结构、教学 内容、教学方法、教学形式、教学手段、教学进度、家庭作业都要实行最佳 的、合理的选择。他把这看作对现代课堂教学的最重要要求之一。
　　目前国外小学数学教学也十分强调这一要求。苏联《小学数学教学法》 强调要选择最适合具体教学条件的教学方法，认为在苏联教学法问题当中， 居首位的仍是避免儿童的课业负担过重的方法问题，而提高教学效果的主要 潜力基本上应当在改进每一节课的质量方面来找。美国全国数学教师联合会 关于八十年代《行动计划》，也提出必须把既讲效果又讲效率的严格标准应 用于数学教学。
　　近几年在我国已有一些小学数学教师开始注意提高教学效率问题。如有 的教师提出“向 40 分钟要质量”，“充分利用每一分钟”，并采取了一些措 施。也有少数教师提出要制定最佳教案。但是总的来看，这方面改革的经验 还不多，有待进一步加强。例如，第一，如何确定目的要求，突出重点，把 有限的教学时间用在刀刃上；第二，如何充分估计学生的学习基础和潜力， 尽量在已学的基础上引导学生类推，既调动学生的积极性，培养能力，又节 省时间；第三，如何根据目的要求、知识的难易以及学生的基础恰当地确定 作业的质和量，做到有针对性；第四，如何尽量组织全体学生进行各种活动 和练习；第五，如何加强对学生的了解和检查，充分利用教学过程中教学反 馈信息的作用，及时调控教学过程，以便以最合适的方式和速度进行有效的 教学；第六，如何根据所教的课题和学生从不同教案的比较中选择最佳教案， 避免教学中搬用参考资料上的教案等。这些问题都值得很好研究，总结经验。

三 结束语


　　越来越多的实践说明，要提高小学数学教学质量，除了改革教材外，还 必须相应地改革教学方法。要做好这项工作，首先必须学习，要以辩证唯物 论作为基本的指导思想，从现代教学论的观点搞清楚改革的方向，联系我们 教学中的主要问题，发挥教师的主动性和创造性，不断试验和总结经验，我 们就能够较快地把小学数学教学方法的改革工作推向前进。

（本文是 1984 年在小学数学、自然课教材教法讨论会上的发言，原载于
《课程·教材·教法》 1984 年第 5 期。）

优化教学过程提高小学数学教学效率


　　提高教学效率问题，近十多年来才被人们重视，并加以研究。长期以来， 无论是国内或国外，教师采用传统的教学方法，对学生缺少合理的学习方法 的指导，结果大都形成死记硬背，浪费时间，课业负担重。这样的教学结果， 不仅不能适应现代科学技术发展的需要，而且造成人力和物力的极大浪费。 随着现代教学论的研究和发展，有些教育家提出优化教学过程，提高课堂教 学效率，要求教师不仅做一个好的教师，而且要做一个有效率的教师。此后， 一些数学教育工作者也针对数学教学中存在的问题提出要求。例如，1980 年 美国全国数学教师协会拟定的《80 年代行动计划》，第四条提出“必须把既 讲效果又讲效率的严格标准应用于数学教学”。前苏联教育部在 80 年代初关 于中学（五至十年级）数学教学的一份文件中也讲到提高课堂教学效率，强 调“不能容许把学生应当在课堂上完成的作业安排为家庭作业，以致造成学 生负担过重。”近年来我国也开始重视提高小学数学教学效率问题。义务教 育小学数学教学大纲中指出，“教学要讲求实效，注意提高课堂教学效率。” 解决好这个问题，不仅对于我国顺利地推行义务教育，全面地提高民族素质， 具有重要的现实意义，而且对于培养 21 世纪人才打好基础具有深远的历史意
义。
　　优化教学过程，提高小学数学教学效率，是一个巨大的复杂的系统工程， 涉及的面很广，其中有理论问题，也有实践问题。教学过程优化和教学效率 高的标准可以概括为两条：一是教学效果好，二是时间消耗少。下面试从小 学数学教学过程的几个基本成份如何优化，以促进小学数学教学整体质量的 提高，谈一些看法。

一 教学目标和要求要全面、适当


　　教学目标和教学要求非常重要。它不仅体现国家和社会对小学数学教学 的要求，而且是备课和上课需要明确的首要问题。它决定着一个学期、一个 单元、一节课的教学内容、结构、教学方法和教学组织形式，起着小学数学 教学的导向作用。
（一）教学目标和要求要全面
　　进行小学数学课堂教学，不仅要考虑数学基础知识方面的目标和要求， 还要考虑结合本节课的数学基础知识培养哪些能力，结合本节的内容进行哪 些思想品德教育和培养哪些良好的学习习惯。此外还要重视情感方面的要 求，如培养学生学习数学的兴趣，对数学学习的积极态度等。这样可以使几 方面的教学任务起到相辅相成的作用。
（二）教学目标和要求要适当 这是优化教学目标和要求的重要方面。教学目标和要求过高或过低，或
者主次分不清楚，都会影响一节课圆满地完成教学任务。
　　1.要根据所教教材的地位、前后编排的顺序以及学生的接受程度提出适 当的目标和要求。
　　从一个单元来说，如 10 以内数的认识和加、减法，主要是使学生对 10 以内数的概念和数的组成有清楚的认识，会写数字，初步知道加、减法的含 义，能比较熟练地计算 10 以内的加、减法。至于应用题教学还处于准备阶段，
　　
只出现一些用图画表示的应用题。要求学生能看图按教师的问话回答：图里 告诉了什么，求什么，怎样计算。如果要求学生能独立口编完整的应用题， 很多学生就会感到困难，势必要占用大量时间，反而削弱了 10 以内加、减法 的基本训练。
　　从一节课来说，如教学 9 加几第一节课，主要要求学生能掌握凑十的方 法，正确地算出 9 加几的得数。不宜要求学生计算迅速，更不宜比赛谁算得 快。这样会使后进生心理紧张，本来能做对的也会做错。应该在后继课中学 生已掌握方法和计算正确的基础上逐步提高计算速度的要求。即使这样，在 速度上也不能要求过高，如第一学期末绝大多数学生达到每分钟做 10 道题
（只写得数）就可以了。
2.教学目标和要求要符合儿童认知的规律和发展水平。 根据心理学家研究，儿童的一个重要的认知规律是从动作、感知→表象
→概念、规律，而且不同年龄的儿童有不同的认知水平。例如，低年级学生 以具体形象思维占优势，抽象概括能力发展的水平还比较低。教学应用题时， 主要是通过操作、直观来理解题意和分析数量关系，不宜教给学生抽象概括 的术语和解题公式。否则，学生不理解，不仅增加学习的困难，浪费时间， 还容易形成死记硬套的不良习惯。又例如，中、高年级教学整数、小数、分 数四则混合运算，不宜过繁。随着现代计算工具的发展，不仅没有必要做笔 算步数过多的混合运算式题，而且实践表明，每增多一步运算，学生的计算 错误增加很多，要达到比较熟练，需要花费很多的时间。义务教育小学数学 教学大纲规定，四则混合运算以二、三步的为主，一般不超过四步，是比较 适当的。
3.教学目标和要求要根据数学内容的特点和教育心理规律适当划分层
次。
据教育心理学研究，知识的学习基本上是按照以下的顺序进行的：理解、 保持和应用。这里的理解，在不同的学习阶段，可以有不同的程度、不同的 水平。一般地说，要经历一个从低水平的简单理解（也可以说初步认识）到 高水平的复杂的理解的过程。然后在理解的基础上，经过一些练习和复习使 学得的知识保持下来。进一步再应用所学的知识去解问题。有的心理学家把 学习的阶段分得更细一些，如美国的加涅分成 8 个阶段，顺序与前述的基本 相同。这一教学规律基本上适合小学数学的学习，但是也有其自己的特点。 这主要是知识的理解和保持都与练习密不可分。美国格林在《小学数学—— 教学活动和材料》一书中就指出，“熟练，特别是牢记，只有在相当多的练 习之后才能达到。”“??认为如果学生充分理解了一种计算方法，熟练就 会自动地产生。现也已证明这是不恰当的观点。”“应当用练习作为加强已 经理解了的概念的手段。”这说明，无论理解或牢记小学数学知识都有一个 逐步发展的过程，而这个过程是同练习紧密联系着的。因此在划分小学数学 教学目标和要求的层次时既要符合教育心理规律，又要考虑小学数学的学习 特点。义务教育小学数学教学大纲中对知识的教学要求分为知道、理解、掌 握、应用四个层次，对技能的教学要求分为会、比较熟练、熟练三个层次是 比较合适的。有些地区对知识的教学目标的第一个层次定为“识记”①，这样



① 美国布鲁姆拟订的认知领域的教学目标的第一个层次为“knowledge”，意思是知道、认识、了解、知识，
远比“识记”的含义广泛。

的提法值得研究。它不符合教育心理的学习阶段的划分，也不符合数学的学 习特点，还容易引导学生死记硬背概念的定义、法则、公式，不利于提高小 学数学教学质量。
4.教学目标和要求注意适应学生的个别差异。 据心理学研究，儿童由于先天、环境、教育等方面条件的不同，在能力、
性格和兴趣等方面都存在着差异。表现在数学的学习上，不仅理解和掌握数 学知识的过程有快有慢，而且在计算和解题的能力上也有高有低。因此在拟 订教学目标和要求时，一方面按照义务教育小学数学教学大纲提出共同的基 本要求；另一方面注意适当有些弹性，以适应学生的个别差异。例如，对较 差的学生，在共同的基本要求不变的情况下，要允许他们比一般学生经过较 多的课时的学习逐步达到教学基本要求。特别是有些较难的知识，要求一节 新授课 100％的学生都能理解和掌握，是比较困难的。教师可以根据知识的 难易以及学生的具体情况，提出不同的要求。同时在教学中注意了解差生的 学习情况，做到心中有数，并适当给以帮助、辅导，力求缩短与一般学生的 差距，逐步达到共同的基本要求。对于学有余力的学生，还可以适当提高一 些要求。例如，教学这样的应用题：“小华有 5 本故事书，小明的故事书的 本数是小华的 3 倍，两人一共有多少本书？”讲了一般解答方法，进行练习 时，可以让学有余力的学生想一想，还有什么不同的解法。这样根据学生的 差异，适当提出不同的要求，有利于调动全体学生学习数学的积极性，从而 可以用较少的时间较好地完成教学任务。

二 合理地确定和组织教学内容


　　在确定适当的教学目标和要求之后，合理地确定和组织教学内容就成为 优化教学过程的一个重要问题。小学数学教材已经提供了每单元和每节课的 基本教学内容，但是教师教学前需要深入钻研和领会教材是如何体现教学目 标和要求的，明确教学要点有哪些，教学的顺序是怎样安排的等，此外往往 还要根据本班的具体情况进行一些必要的调整或补充，使课堂教学的内容更 符合实际，从而促进教学过程的优化。
（一）合理地确定教学内容的广度和深度
　　所谓教学内容的广度，是指知识的范围或知识的量。从信息论的角度说 就是一节课传输给学生的信息量。一节课的信息量过大，知识点过多，学生 难以接受；而一节课的信息量过少，知识点过少，也会浪费时间，不利于调 动学生学习的积极性。教学内容的广度要确定得合理，与知识的难易和学生 的条件有密切关系，一般来说，难理解的知识要少一点，容易理解的知识可 适当多一些；对低年级学生教学的步子要小一点，对高年级学生教学的步子 要大一点。例如，低年级教学连减的两步应用题，一节课要使学生掌握两种 解法就比较紧，有的学生往往分不清两种解法，如果分成两节课来教学，效 果就好一些。中年级教学分数的初步认识，对学生来说新概念比较难建立， 也可以步子小一点，第一节课教学几分之一，第二节课再教学几分之几，以 利于通过较多的操作、直观给学生形成分数的正确表象。到了高年级再讲分 数概念，学生已经有了一定基础，进行抽象概括时可以适当加快进度。有些 教学内容，从知识点上看并不一定难，但是所选的数目大小往往会影响知识 的难易。例如，在中年级教学四则混合运算，如果数目过大，步数过多，就
　　
会增加知识的难度。高年级教学最大公约数和最小公倍数，如果数目比较大， 也会增加知识的难度。因此，大纲、教材中对上述内容的教学都限定数目的 大小和运算步数的多少，是非常必要的。
　　教学内容的深度一般是指知识的抽象概括的水平。同样的教学内容可以 有不同的深度，选择什么样的深度往往是根据学生的思维发展水平来确定 的。例如，低年级教学加、减法的认识，只要通过操作、直观使学生了解， 把两个数合并在一起求一共是多少，用加法算；从一个数里去掉一部分求剩 下的是多少，用减法算。到高年级教学加、减法就可以采用定义的形式说明 加、减法的意义。又例如，中年级教学简单的同分母分数加、减法，主要通 过操作、直观使学生初步学会同分母分数的加、减法，如
　　
1 2 1

1 1 3

+ ，要想1个 加上2 个 是3个 ，得 。这时还不给学生概括出同分母

5 5 5

5 5 5

母分数加、减法的法则。这样做一方面符合学生的思维发展水平，另一方面 有助于加深学生对分数意义的理解。
（二）明确教学的重点、难点和关键 当一节课的教学内容有几个知识点时，往往需要确定哪些是重点，哪些
是难点，以免在教学时抓不住主要的基本的内容，而在次要的或者学生容易 接受的内容上多花时间，或者面面俱到平均使用力量，影响重点、难点的理 解和掌握，而达不到预定的教学效果。例如，一年级教学 5 的认识，由于学 生入学前一般都能按实物点数，就不宜在主题画上用过多的时间去练习数 数，而应把 5 的组成和写数字 5 作为教学的重点。一般地说，数学的基本概 念、法则、公式、性质都是教学的重点，学生必须掌握好这些基础知识。但 是其中也有主从的关系，而弄清主从关系，教学时可以更好地发挥学习的迁 移作用，从而能节省教学时间，提高教学效率。例如，教过除数是整数的小 数除法，再教学除数是小数的小数除法时，引导学生应用除法商不变的性质 和小数点移动引起小数大小的变化等知识把它转化为除数是整数的小数除 法，就不难解决。这样可以着重做一些把除数的小数点移动位置，使它变成 整数，再把被除数的小数向右移动相同位数的练习。
有时一部分知识或一个知识点需要弄清教学的关键，它对所学的知识能
否掌握好起着决定性的作用。例如，教学用两位数除，关键是使学生掌握用 两位数除两、三位数商一位数的试商方法，至于商多位数的可以依此类推。 又例如，教学长方体的表面积，关键在于通过操作、直观使学生弄清一个长 方体有哪 3 组相对的长方形面，根据长方体的长、宽、高确定每组长方形面 的长、宽各是多少。这是发展学生空间观念的问题。有些教师抓住这个关键， 收到很好的教学效果。如果采取另外的方法，如通过例子给学生总结各种不 同情况的计算表面积的公式，而忽视学生空间观念的发展，教学效果就比较 差，教学时间也用得多。
　　这里还要着重谈一点，教学时要十分重视教学内容的科学性问题，要保 证教给学生的数学概念、法则、规律是正确的，同时使学生对这些数学概念、 法则、规律的理解也是正确的。从信息论的角度来说，在教学过程中，教师 传输给学生的教学信息，往往发生变异和损耗。发生的原因，有时是教师教 漏了或者教错了；有时是教师教对了，而学生没有理解或理解错了；有时可 能两种原因都有。但是一般地说，学生出现错误往往与教师抓不住重点、关 键等有关系。例如，在一个班里，教学用两位数乘两位数，学后测试结果，
　　
全班学生 38 人，全对的占 39.5％，两部分积算对而未加的占 23.7％，两部 分积加错的占 15.8％，两部分积乘错的占 21％。其中大部分错误是由于对乘 的顺序和对位的算理不理解而产生的，而这些错误又是与教师教学时算理不 突出有密切联系。由此可见，教给学生一个概念或计算法则，不仅概念、法 则的叙述是正确的，还要算理清楚，才能保证学生顺利地、正确地理解和掌 握。
（三）合理地安排教学顺序 这一点也很重要。美国心理学家布鲁纳十分强调教学要详细规定所出示
的教材的最有效的序列。他认为这样的序列是由多种因素决定的，学生过去 的学习基础，发展的阶段，教材的性质和个别差异等。前苏联教育家斯卡特 金认为，课程的教学顺序，不仅要以相应的科学的逻辑为根据，而且要以学 生形成概念和一般发展的规律性为根据。就小学数学教学来说，就是要把数 学知识的逻辑顺序与小学生的认知发展顺序恰当地结合起来。
　　关于小学数学的教学顺序，一般在教材中已经有所安排。但是教材中设 计的教学顺序是最基本的，不能太细，教师教学时往往还需要根据教材的内 在联系和学生的具体情况做更细致的安排。例如，一位老师教学面积的概念 时在教材设计的教学顺序的基础上做了以下几点补充：1.教学面积的意义以 后，补充几个图形，让学生识别哪几个是用线段围成的平面图形。2.教学比 较长方形面积大小的时候，先让学生把两个不同的长方形纸重叠起来，当学 生感到不好比时，再让学生用小正方形分别去量两个长方形的面，说明用这 种方法不仅可以找出哪个图形的面积大，而且知道大多少。3.让两个学生用 不是同样大的小正方形量同一个长方形的面积，结果得到不同的数量，说明 必须用统一的正方形去量，从而引出统一的面积单位。由于教师做了以上的 补充，使学生更清楚地理解面积的概念、面积单位的作用和确定统一的面积 单位的必要性。当然在补充讲解的内容时，要考虑是十分必要的，防止步骤 过于细碎，失去应有坡度，结果不能调动学生学习的积极性，反而浪费时间。 有时一部分知识可能有不同的教学顺序，这时要考虑哪种顺序更便于学 生理解和掌握。例如，现行教材讲正、反比例，一般是先出正比例概念，然 后出用正比例解应用题，再出反比例概念和用反比例解应用题。有的教师改 为先教学正、反比例概念，再教学用正、反比例解应用题。这样便于联系对 比，使学生加深对概念的理解，加强解应用题时对数量关系的分析和判断， 不仅教学效果好，而且减少了教学时间，还为教材的改革提供了实践依据。
（四）加强知识间的联系，重视知识的系统化
　　加强知识间的联系对于学生掌握知识的结构具有十分重要的意义。布鲁 纳指出，“学习结构就是学习事物是怎样相互关联的。”他还说，“获得的 知识，如果没有完满的结构把它联在一起，那是一种多半会被遗忘的知识。” 通过知识的联系和系统整理可以使学生所获得的知识在头脑中形成完整的认 知结构。
　　小学数学知识的特点是系统性强，前后联系密切。但是由于学生思维发 展水平和接受能力的限制，有些知识的教学往往分几节课或分几个学期来完 成，这样难免在不同程度上削弱知识间的联系。因此，就更需要有意识地注 意知识间的联系和系统化，以便收到良好的教学效果。
　　1.教学后面的新知识，注意与前面有关的旧知识的联系。美国奥苏贝尔 认为，在教学过程中学习活动是否有效，主要看新的学习内容能否与学习者
　　
认知结构中原有的适当的知识系统建立实质性的联系。因此教学前要及时唤 起与当前新知识有关联的旧知识，特别是要抓住新旧知识的连接点。例如， 教学三位数的乘法，可以在复习用两位数乘的基础上引导学生类推，着重研 究乘数百位上的数怎样去乘被乘数，积的末位应写在什么地方，这样学生很 容易掌握，还可节省教学时间。又例如，教学两步应用题，由复习有关的一 步应用题开始，使学生容易看到两步应用题与一步应用题的结构有什么不 同，在分析数量关系和解答步骤上又有什么联系和不同点，从而较快地掌握 两步应用题的分析和解答方法。
　　2.加强某些概念之间或法则之间的联系和比较，可以使学生加深对概 念、法则的理解，并且防止混淆。如长方形的周长与面积，通过联系、比较， 使学生分别在概念上、计算方法上和使用的计量单位上弄清它们有什么不同
点。
　　3.对一些有联系的概念或法则，到一定阶段进行系统的整理，使学生在 头脑中建立起知识的网络，形成良好的认知结构。例如，有的教师教过 100 以内的加减口算，通过复习整理，不仅使学生对所学的口算（25＋3， 25＋8，
25＋30， 38-3， 38-9， 38-20）的计算方法弄得更清楚，而且探讨怎样算 得快，简缩思维过程，进一步提高了口算能力。又如教学长方形、正方形、 平行四边形、梯形之后，把几种四边形加以整理，使之系统化，可以使学生 加深理解每种图形的特征以及图形之间的关系。