前 言


　　《小学生数学报》于 1985 年 4 月 5 日创刊，至今已经整整十年了。十年 前，开宗明义，要把她办成“学生的好伙伴，家长的好助手，教师的好参谋”， 现在看来是做到了。十年来，《小学生数学报》始终遵循党的教育方针和“小 学数学教学大纲”精神，坚持“为小学生学好数学、打好基础服务”的办报 宗旨，从小学数学教育和教学实际以及少年儿童的心理特点出发，从激发兴 趣、启迪思维、开拓视野入手，科学地构思版面内容与栏目形式，广泛组织 和开发稿源，精心选稿编稿，不断推出了一系列有新意、品位高、形式活并 深受广大小读者喜爱的佳作，使报纸质量稳步提高，特色日趋鲜明。1994 年，
《小学生数学报》被选送参加了第五届“香港国际书报展”，并在首届江苏 省报纸综合质量评比中荣获了一等奖。现在，《小学生数学报》已成为在全 国颇具影响、拥有近 200 万读者的优秀学生读物。
　　值此《小学生数学报》创办十周年之际，我们从十年来报纸上所发表的 大量思想性、趣味性、可读性强的作品中，精选了若干篇佳作，并进行恰当 的分类、整理，按照一定的顺序串联起来，编辑加工成为自成体系、各有特 色的五本书——《小学生数学报 10 年精选本》（丛书），把它奉献给广大热 心的读者。这五本书中，既有传授基本数学思想方法，启迪思维的《思考方 法篇》，又有紧密配合课堂教学，为小学生排疑解难的《学习辅导篇》，还 有为数学活动课提供教材，旨在激发兴趣、开发智力的《竞赛集训篇》、《数 学童话篇》和《数学故事篇》。这套书中所选的作品，有不少曾在华东地区 教育报刊优秀稿件评选中获过奖。
当这套内容丰富、印刷精美的“精选本”展现在读者面前时，我们由衷
地感谢多年来为《小学生数学报》辛勤笔耕、为广大小读者奉献健康有益的 精神食粮的作者们，特别要感谢那些著名的科普作家和特级教师。我们还要 特别感谢江苏教育出版社的同志对该书及时出版所给予的大力支持！
由于时间匆促、编者水平有限，缺点错误在所难免，敬请广大读者批评
指正。另外，还有许多发表在《小学生数学报》上的优秀作品暂未收集整理， 恳请作者谅解。我们将在适当的时候再次选编出版类似的丛书。

陆明德
1995 年 4 月

学习辅导篇

·三年级第一学期·

“一商”“二乘”“三减”“四移”


　　用竖式计算“除数是一位数的除法”，可以按照“一商”、“二乘”、 “三减”、“四移”的步骤进行。请看下面的例子。
72÷3=24
24
3 72
6
12
12
0
求十位上商的过程：
“一商”：用 3 除被除数十位上的 7，商 2，写在被除数的十位上面。 “二乘”：用商 2 乘以除数 3，得 6，积写在“7”的下面。“三减”：
7-6=1。
　　“四移”：把被除数个位上的 2 移下来，与十位上减得的差 1（表示 1 个 10）合并起来得 12。
求个位上商的过程：
“一商”：用 3 除 12，商 4，写在被除数的个位上面。“二乘”：用商
4 乘以除数 3，得 12。 “三减”：12-12=0。 计算结束。
请小朋友按照上面的四个步骤计算下面各题。
96÷4 69÷3 95÷6（徐礼华）

学好“除数是一位数的除法”

学习“除数是一位数的除法”，应该注意以下几点。
　　1．要正确确定商的位数。小朋友在列竖式计算除法时，首先要通过观察 确定商的最高位，这样就能判断商是几位数。一般来说，被除数的前一位比 除数大（或与除数相同），商的位数就和被除数同样多；被除数的前一位比 除数小，商的位数就比被除数少一位。
　　2．要提高试商的速度。试商的快慢直接影响计算的速度，小朋友们要熟 练掌握乘法口诀以及口诀中各数的互逆关系。还要多练习一些“括号里最大 能填几”的题目，例如：7×（ ）＜36，要能很快地说出括号里最大能填 5。 这种练习有助于我们提高试商能力。
　　3．要防止漏写商中间或末尾的 0。在商的首位确定后，遇到被除数的哪 一位除以除数不够商 1 的，就要在哪一位上用 0 占位。当没有除到被除数的 个位就已经除尽时，商的后几位上应该写 0。
　　4．要时刻注意余数的大小。计算过程中每次除得的余数都要和除数进行 比较，只有在余数比除数小的时候，才能除下一位。如果计算的最后一步仍 有余数，别忘了把余数和商一齐写到横式上。（巢洪政）
　　

怎样正确写出商中间或末尾的 0


　　计算商中间或末尾有零的除法，有的同学常常因漏写或多写商里的 0 而 产生错误。怎样才能正确写出商中间或末尾的 0 呢？
1．要弄清算理。我们知道，计算除法要从高位除起。例如：
104
312÷3＝1043 312
3
12
12
0
　　这道题的算理是：先把 3 个百平均分成 3 份，每份是 1 个百，在被除数 的百位上写商 1；被除数的十位上是 1，1 个十平均分成 3 份，每份不够 1 个 十，就在被除数的十位上写商 0；把这 1 个十化成 10 个一，与被除数个位上
的 2 个一合并成 12 个一，平均分成 3 份，每份是 4 个一，在被除数的个位上 写商 4。所以，求出商的最高位以后，除到被除数的哪一位不够商 1，就在哪 一位上写 0。
又如，计算 240÷2，用 2 除 2 个百 4 个十，得 1 个百 2 个十。除到被除
数的十位刚好除尽，不必再除下去，在被除数的个位上写 0。所以，240÷
2=120。
　　2．会确定商是几位数。除数是一位数的除法有两种情况：（1）当被除 数最高位上的数除以除数够商 1 时，商的位数和被除数的位数相同。例如，
4032÷3 的商是四位数。
　　（2）当被除数最高位上的数除以除数不够商 1 时，商的位数比被除数少 一位。例如 4032÷6 的商是三位数。每次计算前先确定商的位数，计算后检 查所得商的位数与计算前确定的位数是不是相同，这样能防止漏写商中间或 末尾的 0。
3．通过练习，熟练掌握计算方法。
请小朋友想一想：要使下题的商中间有一个 0，方框中可以填哪些数？ 要使商中间有两个 0 呢？
　　


（孙海鹰）

4 4□32



怎样验算有余数的除法


　　小朋友在学习“有余数的除法”时，学习了验算这种除法的方法，就是： 用商与除数相乘的积加上余数，看所得的结果是不是等于被除数，如果等于 被除数，说明除得的商和余数都正确。例如：
81÷6=13??3

13 13


6 81
6
21
18
3

验算： ? 6
78
? 3
81

验算有余数的除法还有其它的方法吗？ 我们仍以上题为例，小朋友只要仔细对照两个竖式，就会发现：用被除
数 81 减去余数 3，所得差 78 是商 13 与除数 6 的乘积。因此，用 78 除以除
数 6，应该等于商 13；用 78 除以商 13，应该等于除数 6。 这样，我们又有了两种验算有余数除法的方法。
1．用被除数减去余数的差除以除数，应该等于商。 如上题可以这样验算：
验算：
81
? 3 13
6 78
78 6
18
18
0
2．用被除数减去余数的差除以商，应该等于除数。 请小朋友用这种方法验算上题。 （袁辉）

找准“中间问题”是关键


　　三年级的小朋友学习的“两步计算应用题”，是在已经学过的一步计算 的应用题的基础上发展而来的。也就是说，两步计算的应用题是由两个有联 系的一步计算的应用题组合而成的。所以，解答两步计算的应用题的关键， 是把原来的题目分解成连续性的两个一步计算的应用题，也就是要根据原来 题目的已知条件和问题提出“中间问题”。
例如：学校原有 16 包水泥，用去 300 千克，还剩下 10 包，每包水泥多
少千克？ 这道题的“中间问题”是什么？我们知道，“用去水泥的千克数÷用去
的包数=每包水泥的千克数”，所以，要求每包水泥多少千克，先要求出用去
水泥的包数。因此，“用去水泥的包数”就是“中间问题”。找到了“中间 问题”，这道题就可以分解成连续性的两个一步计算的应用题：
（1）学校原有水泥 16 包，用去一些后，还剩 10 包，用去多少包？
16-10=6（包）
（2）学校用去水泥 6 包，共重 300 千克，每包水泥重多少千克？
300÷6=50（千克） 我们从这个例子中看到，找准“中间问题”是解答两步计算的应用题的
关键。 （朱丹霞）

两头想 找中间

　　解答两步计算的应用题，关键要找出题中的“中间问题”。怎样才能找 准中间问题呢？我们可以用“两头想，找中间”的方法。“两头想”就是先 从问题想，再从条件想。“找中间”就是比较“两头想”的结果，找出中间 问题。请看下面的例子。一个粮食专业户买了 6 袋化肥，每袋 50 千克。用去
250 千克，还剩多少千克化肥？ 先从问题“还剩多少千克化肥”想，找出题中的数量关系：一共买化肥
的千克数-用去的千克数=还剩的千克数 其中，“用去的千克数”是已知的（250 千克），“一共买化肥的千克
数”是未知的。 再从条件想，找出可以先求出哪个数量。
　　根据“买了 6 袋化肥”和“每袋 50 千克”这两个条件，可以求出“一共 买化肥的千克数”。
　　比较上面“两头想”的结果，可以看出，“一共买化肥多少千克”是本 题的“中间问题”。所以，解答时先要求出“一共买化肥的千克数”。
（1）一共买化肥多少千克？
50×6=300（千克）
（2）还剩多少千克化肥？
300-250=50（千克） 答：还剩 50 千克化肥。
[练一练]
　　王庄有 5 公亩鱼塘，去年一共捕鱼 240 千克，今年平均每公亩捕鱼 57 千克。今年比去年多捕鱼多少千克？
从问题想，找出数量之间的关系：
○ =
从条件想，找出可以先求出的数量。 根据（）和（），可以求出（）。 比较“两头想”的结果，找出这道题的中间问题是（）。
（李江）

为什么不写“倍”


　　有的小朋友在学习“小鸡有 8 只，小鸭有 2 只。小鸡的只数是小鸭的几 倍？”这道题时，提出这样的问题：以前我们在解答应用题时，得数的后面 都要写上单位名称，为什么在解答这道题时，“8÷2=4”的后面不写“倍” 呢？
　　这个问题提得好。在解答应用题时，得数后面一般要写上计量单位的名 称。如： 8 只的“只”， 12 千克的“千克”都是计量单位的名称。一个数 只有带上计量单位的名称，才能准确地表示出一个物体的多少，大小，长短， 轻重，快慢等等。但是，“倍”不是计量单位的名称，它表示两个数量之间 的一种关系。例如，上面这道题中的计算结果“4”，表示 8 只里面有 4 个
2 只，就是 8 只小鸡是 2 只小鸭的 4 倍。 所以，在算式里不写“倍”，是为了防止“倍”与计量单位名称发生混
淆。（周浩）

不能忽视应用题答案中的单位名称


　　解答应用题的结果，是用数量来表示的。数量的大小，不仅跟数量中的 数的大小有关系，而且与数量中的量的单位名称有关系。两个数量的单位名 称相同，数字大的数量多。例如，5 个苹果比 3 个苹果多，6 米布比 4 米布多。 两个数量的数相同而单位名称不同，数量的大小也不同。例如，3 筐苹果比 3 个苹果多，5 千克比 5 克重。所以，小朋友在解答应用题时，不仅要认真审 题，正确列式计算，还要注意写清得数的单位名称。既不能漏掉不写，也不 能写错。
例如：一只瓶子重 30 克，比另一只瓶子重 6 克。另一只瓶子有多重？ 列式解答：30-6=24
　　得数 24 的单位名称是什么？有一个小朋友看见题目的问题是“另一只瓶 子有多重？”就答“另一只瓶子有 24 重。”“24 重”到底有多重呀？“重” 不是重量单位，应该在 24 的后面写上重量单位的名称。
　　另一个小朋友写了一个重量单位，“答：另一只瓶子重 24 千克。”啊， 这只瓶子真够重的？！写错了一个单位名称，把实际重量扩大了 1000 倍！
　　其实，要正确写出这道题得数的单位名称并不难，只要看看题目中已知 数量的单位名称是什么，确定得数的单位名称就容易了。
正确的答案是：“另一只瓶子重 24 克。”
小朋友，在解答应用题时，千万不能忽视答案中的单位名称。
（丁兴祖 戴翠红）

他们写的答句错在哪里


小荣和小亮今天的数学家庭作业里有这样一道应用题： 一辆汽车从甲地开往乙地，行驶了 6 小时，一共行了 252 千 米。求这辆汽车的速度。
小荣是这样解答的：
252÷6=42（千米） 答：这辆汽车的速度是 42 千米。 小亮是这样解答的：
252÷6=42（千米）
答：这辆汽车每小时行驶的速度是 42 千米。 小荣和小亮的列式与计算都正确，可是，他俩的答句写得都不对。 小荣写的答句错在哪里呢？我们知道，运动物体在单位时间（每小时、
每分钟或每秒钟）内通过的路程叫做速度。小荣答：“这辆汽车的速度是 42 千米。”这里的“42 千米”是这辆汽车每小时行的路程呢？还是每分钟或每 秒钟行的路程呢？答句中没有说清楚。所以，小荣的答句应该这样写：“这 辆汽车的速度是每小时 42 千米。”
　　小亮写的答句错在哪里呢？因为，“速度”中已包含有单位时间，所以， 说“每小时行驶的速度”是不妥当的。可以把小亮写的答句改为：“这辆汽 车每小时行驶 42 千米”。因为，“每小时行驶 42 千米”就是这辆汽车的速 度。 （孙海鹰）
　　
从商品标价中初步认识小数


　　小数在生产生活中有着广泛的运用，小朋友到附近商店去参观商品的标 价，就会看到商品标价一般用“元”作单位，用“小数”表示。因此，小朋 友认识小数可以从认识商品标价开始。
　　1．知道小数表示的商品标价是几元几角几分。例如：“一副乒乓球拍的 价钱是 2.36 元。”2.36 是小数，小圆点左边的 2 表示“元”，小圆点右边 第一位上的 3 表示“角”，第二位上的 6 表示“分”，所以，2.36 元是 2 元
3 角 6 分。又如：“一只书包的价钱是 3.04 元。”3.04 元是 3 元零 4 分。
　　2．了解小数的组成，初步掌握小数的读法。小数是由整数部分、小数部 分和小数点组成的。例如，2.36 的整数部分是“2”，小数部分是“36”， 中间的小圆点叫做小数点。读小数时，整数部分按照原来的读法（整数的读 法）来读，要特别注意，小数部分的读法是：按照顺序读出每一位上的数字。 例如，2.36 读作：二点三六，不能错误地读作：二点三十六；0.50 读作：零 点五零，不能错误地读作：零点五十。
　　3．对照元、角、分的“数位表”把几元几角几分改写成以“元”作单位 的小数。例如：
元角分
8 元 4 角 3 分=8.43 元
6 分=0.06 元 从上面的例子中我们看到，改写时表示几元的数写在小数点左边第一
位，表示几角的数写在小数点右边第一位，表示几分的数写在小数点右边第
二位。哪一位上一个单位也没有，就写上 0，也就是说，要用 0 占位。 （孙 海鹰）

·三年级第二学期·

一划 二读 三查


　　小朋友们在读多位数时，往往容易出错。有没有读准多位数的好方法呢？ 下面向你介绍一种“三步读数法”。
“三步读数法”，就是按照“一划、二读、三查”的步骤进行读数。 “一划”就是从个位起，每四位一级，划一横线。例如：
240 5006 3800
　　“二读”就是从高位到低位，一级一级地往下读。读亿级、万级时，按 个级的读法去读，只要在后面加上“亿”字或“万”字就可以了，每一级开 头或中间有一个 0 或者有几个 0 的，都只读一个 0；每级末尾的 0 都不读。
例如：240 5006 3800读作二百四十亿五千零六万三千八百
　　“三查”就是读完多位数后，要仔细检查读出的数是不是正确。特别要 注意的是不能多读或漏读 0。如果多位数后面带有单位名称，也要注意把它 读出来。
例如：1030092000 吨 读作十亿三千零九万二千吨 请你按照“三步读数法”正确地读出下面各数：
40059 读作（ ）
65600000 读作（ ）
90306008 读作（ ）
1806050400 元 读作（ ）（周立群）

四位数中有 0 的七种情况及读法


　　有的小朋友在读多位数时，遇到一个数的中间或末尾有 0 时，往往读错。 要想正确地读出这样的多位数，首先要掌握 0 在一个四位数中不同数位上的 七种情况的读法。
这七种情况及读法如下：
　　①四位数中有三个 0。例如 6000，它的个位、十位、百位上都是 0。根 据每级末尾的 0 不必读出来，读作：六千。
②四位数的末两位为 0。例如：6400，它的个位、十位上都是 0。根据每
级末尾的 0 不必读出来，读作：六千四百。
　　③四位数的中间有两个 0。例如：6004，它的十位、百位上都是 0。根据 中间有一个 0 或者有连续几个 0，都只读一个 0，读作：六千零四。
　　④四位数的中间和末尾各有一个 0。例如：6040，它的个位、百位上是 0。 读作：六千零四十。
　　⑤四位数的末尾有一个 0。例如：6240，它的个位上是 0。读作：六千二 百四十。
　　⑥四位数的中间有一个 0。例如：6402。它的十位上是 0。读作：六千四 百零二。
　　⑦四位数的中间有一个 0。例如：6042。它的百位上是 0。读作：六千零 四十二。
掌握了以上七种情况下各数的读法后，你再结合课本上“一个数中间有

一个 0 或者连续有几个 0，都只读一个零，但每级末尾的 0 不必读出来”的 规定，去读中间或末尾有 0 的多位数，就不会感到困难了。 （周卫东）

有 0 的多位数的读法


　　1．当多位数的某一级末尾有 0 时，这些 0 都不读出来。例如：36002000 读作三千六百万二千。
7050006400 读作七十亿五千万六千四百。
2．当多位数的某一级中间有一个或几个 0 时，只读一个 0。例如：
80088008 读作八千零八万八千零八。
760068059 读作七亿六千零六万八千零五十九。
　　3．当多位数的某一级开头有一个或几个连续的 0 时，也只读一个 0。例 如：
9870006 读作九百八十七万零六。
700060459 读作七亿零六万零四百五十九。
　　4．当多位数的某一级都是 0 时，（1）个级都是 0，或个级、万级都是 0， 这些 0 都不读出来；（2）万级都是 0，但个级不都是 0，只读万级的一个 0。 例如：
450000 读作四十五万。
4500006532 读作四十五亿零六千五百三十二。（刘魁）

如果一个 0 都不读


　　学习多位数的读法时，老师告诉同学们：“一个数中间有一个 0 或者连 续有几个 0，都只读一个零，但每级末尾的 0 不必读出来。”
小强听了，问老师：“如果一个 0 都不读，不是更简便吗？”老师笑了
笑，在黑板上写出一个数：
70003 “请你读这个数。”老师对小强说。 “七万三。”小强一个 0 都没读。
“七万三是多少？”老师说，“让人听起来只会认为是七万三千，只有
读作七万零三，才不会使人产生误解。” “老师，我明白了，”小强说，“我以后一定按照规定去读数。”
（魏茂春）

正确写出多位数中间的“0”


　　我们在写多位数时，要特别注意读法中对“零”的处理，有时一个“零” 只代表一个 0，有时一个“零”代表几个 0，有时读法中没有“零”字，写数 时却要写 0。有的小朋友在写数时经常出现的错误就是漏写数中间的“0”。 现在列举以下几种情况，希望小朋友能正确写出多位数中间的“0”。
　　1．“级头”连续有两个或三个零时，会少写 0。例如：三百五十四万零 八十二，写成 354082。这样写错在个级的级头只写了一个“0”，而正确的 写法应该写两个“0”（但读数时，只读一个零）。正确写法是：3540082。
　　
　　2．“级中”连续有两个零时，少写了一个 0。例如：五亿二千零七万四 千，错写成 52074000。实际上，这个数万级的中间应该有两个零，就是百万 位和十万位应该各用一个 0 占位。但由于读数时只读一个 0，有的小朋友就 只在万级中间写了一个 0，造成了错误。
　　3．当高一级末尾有零，而低一级开头也有零时，会少写 0。例如：四百 亿零九十七万，应该写成 40000970000，但有的小朋友弄不清“4”和“9” 这两个数字中间究竟该写几个 0，结果少写了 0，错写成 4000970000。
　　要防止以上错误发生，小朋友们写完数后要养成检查的习惯。一个数除 最高级外，其余的每级都必须由 4 个数字组成，哪一个数位上一个单位也没 有，一定要写 0 占位。 （王聿松）

“数位”与“位数”


　　“多位数的读法和写法”中的“数位”与“位数”是两个意义不同的概 念。
　　“数位”是指一个数的每一个数字所占的位置。在整数中，从右到左， 数位的名称依次是个位、十位、百位、千位、万位??。在 6543 这个数中，
3 占的数位是个位，6 占的数位是千位，5 和 4 分别在哪个数位上？请小朋友
回答。
同一个数字，由于所在的数位不同，它所表示的数值也不同。例如：在
65430、64305、56430，这三个数中，65430 的“5”在千位上，表示 5 个千，
64305 的“5”在个位上，表示 5 个一，56430 的“5”在万位上，表示 5 个万。 “位数”是指一个自然数中含有数位的个数。 用一个不是零的数字所表示的数叫做一位数（因为它只占了一个数位，
也就是个位）。1、2、3、4、5、6、7、8、9 都是一位数。用两个数字（其
中十位数字不是零）所表示的数叫做两位数。10、21、47、99，等都是两位 数。用两个以上的数字组成的数（最高位上的数字不是零），叫做多位数。 例如：458 是三位数，8710 是四位数，15876 是五位数，等等。
“数位”和“位数”不能混淆。458 这个数由三个数字组成，每个数字
占了一个数位，我们把它叫做三位数。有的小朋友看到这个数的最高位是百 位，就把它叫做百位数。这是错误的。如果是百位数，那么，就必须由一百 个数字组成，占有一百个数位，这个数是很大的。（韩素珍）

较大数的“改写”与“省略”


　　对于一些较大的数，为了读写方便，有时要把它们改写成以“万”或“亿” 为单位的数，有时还要把“万”或“亿”后面的尾数省略。“改写”和“省 略”是有区别的。
　　把一个较大的多位数改写成以“万”或“亿”为单位的数，只改变这个 数的计数单位，不改变这个数的大小。“改写”后得到的数与原数完全相等， 所以要用“=”符号将它们连接起来。例如，把南京市 1990 年钢产量 660000 吨，改写成以“万”作单位的数，先把 660000 吨缩小一万倍，得“66”，然 后在“66”的末尾添上“万吨”，就是：660000 吨=66 万吨。
把一个较大的多位数的“万”或“亿”后面的尾数省略，既改变了这个

多位数的计数单位，又改变了这个多位数的大小，省略尾数后得到的数是原 来多位数的近似数，要用“≈”符号把它们连接起来。例如，南京市 1990 年蔬菜产量 893400 吨，省略这个数“万”后面的尾数。按照“四舍五入” 的方法，千位上的数是“3”，省略后不需要向万位上进 1。所以 893400 吨 省略“万”后面的尾数后是 89 万吨。就是：893400 吨≈89 万吨。再如，把
3092000000“亿”后面的尾数省略，3092000000≈31 亿。 值得注意的是：无论是“改写”还是“省略”，得数的后面都要写上相
应的计数单位“万”或“亿”。如果原数后面还带有计量单位名称，就要在 得数后面写上计量单位名称。 （韩素珍）

怎样学好加减法的一些速算法


　　在计算加、减法的时候，如果加数或减数接近整百、整千的数，可以把 它们看作是整百、整千的数，这样计算起来比较简便。学习加、减法的一些 速算法，要注意以下几点。
1．弄懂速算的道理，掌握速算的方法。
　　例如：计算 1736＋198 这道题，我们这样思考：因为 198 接近 200，可 以先把 198 看作 200 去加，就是 1736＋200。由于加上 200 后，比原来多加 了“2”，因此，必须在上式的后面再减去 2，和才不变，就是 1736＋200-2。 又如，计算 745-397 这道题，我们这样思考：因为 397 接近 400，可以先把
397 看作 400，从 745 里减去 400，就是 745-400。由于减去 400 后，比原来
多减了“3”，因此，要在上式的后面再加上 3，差才不变，就是 745-400＋3。 掌握了速算的思路，你就会懂得“多加的要减去，多减的要加上”的道
理。
　　有些速算的道理，我们要联系生活实际去思考。例如，怎样理解“从一 个数里连续减去几个数，如果先把所有的减数加在一起，再从被减数里减去， 所得的结果是相同的。”这个减法的性质呢？请看下面的例子：
妈妈带 192 元钱去商店买东西，她买了一套衣服，用去 67 元，买一双皮
凉鞋，用去 33 元。还剩多少钱？
　　解法一：先从妈妈带去的 192 元钱里减去买衣服用去的 67 元，再减去买 皮凉鞋用去的 33 元，就得到剩下的钱数。
192-67-33
=125-33
=92（元） 解法二：先算出买一套衣服和一双鞋共用去多少钱，再从妈妈带去的钱
里减去用去的钱，就得到剩下的钱。
192-（67＋33）
=192-100
=92（元） 上面两个算式解答的是同一道题，它们的计算结果相同，因而可以用等
号连接。
192-67-33=192-（67＋33） 这个例子一方面帮助我们理解了前面提到的减法的性质，另一方面使我
们看到，根据本题的数据特点，采用第二种解法计算比较简便。

2．认真审题，根据数据的特点，怎样算简便就怎样算。
　　例如：计算 4728-728-172 这道题时，我们不必把两个减数加起来再从被 减数里减去，而是应该按照原来的运算顺序，从左往右依次计算。
4728-728-172
=4000-172
=3828
　　又如：计算 497＋303 这道题时，我们可以把“303”分成“3+ 300”， 然后把其中的“3”和“497”先加，再加“300”。这样计算十分简便。
497＋303
=497＋3＋300
=500＋300
=800
3．压缩计算过程，直接写出得数。 小朋友通过适量的练习，比较熟练地掌握了速算方法，书写时就可以把
计算过程省略，直接写出得数。例如：

　　上题中虚线框里的速算过程书写时可以省略不写，直接写出得数“845”。 这样才能真正地提高计算的速度。（韩素珍）

加减法的几种速算法


　　1．两个数相加，当其中一个加数接近整百或整千的数时，可以把这个加 数当成整百或整千的数去加，然后把多加的数减去，少加的数再加上。例如：
574＋398＝574＋400－2＝972
1458＋403=1458＋400＋3=1861
　　2．两个数相减，当减数接近整百或整千的数时，可以把减数当成整百或 整千的数从被减数中减去，然后把多减的数加上，少减的数再减去。例如：
1753-397=1753-400＋3=1356
564-206=564-200-6=358
　　3．一个数减去几个数，可以先算出几个减数的和，再从被减数里减去这 些减数的和。例如：
8732-658-42
=8732-（658＋42）
=8732-700
=8032
　　4．一个数减去几个数的和，可以用这个数连续减去和里的各个加数。例 如：
865-（265＋487）
=865-265-487
=600-487
=113
　　5．一个数减去几个数的差，可以用这个数先减去差里的被减数，再加上 减数。例如：
　　
549-（249-157）
=549-249+157
=300+157=457
6．根据题目中数据的特点，交换加数或减数的位置进行速算。例如：
91+568+709
=91+709+568
=800+568
=1368
2356+187-356
=2356-356+187
=2000+187
=2187
865-494-265
=865-265-494
=600-494
=106（王聿松）

怎样计算“乘数是两、三位数的乘法”

一、掌握计算法则。用竖式计算乘数是两、三位数的乘法要做到：
1．乘的次序正确；
　　2．部分积书写的位置正确。乘的次序是：用乘数的个位、十位、百位分 别去乘被乘数；乘数的哪一位去乘被乘数，得数的末位就要和哪一位对齐； 最后把几次乘得的部分积加起来。乘数中间有 0 时，用 0 乘这一步可以省略。 当被乘数中间有 0 时，可以交换被乘数与乘数的位置后再计算；被乘数、乘 数末尾有 0 时，可以先把末尾 0 前面的数相乘，然后看被乘数和乘数的末尾 一共有几个 0，就在积的末尾添上几个 0。
请小朋友用竖式计算下面各题，算完后看竖式的得数和横式的得数是不
是一样。

　　二、多作口算练习。计算乘数是两、三位数的乘法，每一道题都要经过 多次口算才能完成。在这些口算中，只要有一次出错，就会导致最后计算结 果错误。因此，小朋友对乘法口诀和加法的口算一定要熟练。平时要多进行 口算练习，尤其像下面这样的口算题要能很快地说出得数。
6×9+4 2×3+7
5×8+9 6×6+3
4×7+5 8×4+6 三、养成检查和验算习惯。计算后先要检查题目的数字有没有抄错，计
算的次序对不对，乘得的部分积对位是不是正确。然后进行验算，就是用把

被乘数和乘数交换位置后再算一遍的方法来验算。（徐礼华）

灵活进行乘法的竖式计算


　　乘数是两、三位数的乘法，一般都要列竖式计算。小朋友在计算时，要 根据题目的不同情况，灵活计算。
1．当被乘数中间有 0 时，与乘数交换位置后再计算比较简便。 例如：计算 203×714。
203
? 714
812
203
1421
144942
　　像上面这样列竖式计算，需要乘三次。如果交换被乘数和乘数的位置， 就可以少乘一次，因为 0 乘任何数仍得 0。计算过程如下：
714
× 203
2142
1428
144942
2.当乘数中有相同的数字时，不必重复去乘，可以直接写出后面的积。 例如：计算 426×55。
426
× 55
2130
2130
23430
这道题乘数的个位、十位上的数字都是 5，个位上的 5 乘 426 的积是
2130，十位上的 5 不必再去乘 426，可以直接写出积 2130。但要注意，用乘 数哪一位上的数去乘，积的末位必须同哪一位对齐。
又如：计算 999×723，交换被乘数和乘数的位置后再乘，只要乘一次。
（想一想：为什么？）请小朋友写出计算过程。
　　3．当乘数的十位数是个位数的倍数时，也可以直接写出后面的积。例如： 计算 521×42。
521
× 42
1042
2084
21882
　　这道题乘数十位上的 4 是个位上 2 的 2 倍。计算时先用 2 乘 521 得 1042， 再用 1042 乘以 2，所得的积 2084 就是乘数十位上的 4 乘被乘数 521 的积。
（殷金华）

被乘数中间的 0 不能不乘

课堂上，林老师教小朋友们计算“乘数是两、三位数的乘法。”林老师

说：“乘数中间有 0 的，用 0 乘这一步可以省略。但要注意：用乘数哪一位 上的数去乘，乘得的数的末位就要和哪一位对齐。请小朋友看下面的例子。”
287×304=87248
287
×304
1148
861
87248
　　林老师请小朋友们验算，看这样计算的得数是不是正确。小宁用交换被 乘数和乘数位置的方法进行验算：
304
×287
238
272
68
9758
　　“咦，两次计算的结果不同，究竟是哪一次算错了呢？”小宁楞住了。 “乘数中间的 0 可以省略不乘，但是，被乘数中间的 0 却不能省略不乘。” 林老师说：“小宁用乘法交换律进行验算，原来的乘数 304 就变成了被乘数，
因此，要用现在的乘数 287 的每一位上的数去乘 304，而不是去乘 34。”
“咳，原来是我算错了！”小宁重新写出验算过程：
304
×287
2128
2432
608
87248
（曹金祥）


怎样计算被乘数或乘数中间有 0 的乘法


　　被乘数或乘数中间有 0，而且它们都是三位数，可分下面几种情况进行 计算：
1．被乘数中间没有 0，乘数中间有 0。计算时用 0 乘这一步可以省略。
但要注意用乘数哪一位上的数乘，乘得的数的末位就要和那一位对齐。例如：
287×304=87248
287
×304
1148
861
87248
注意：乘数百位上的 3 和被乘数相乘，得数的末位“1”应写在百位上。
　　2．被乘数中间有 0，乘数中间没有 0。计算时可以根据乘法的交换律， 先交换被乘数和乘数的位置，使它变成第 1 种情况，然后根据上面讲的方法 进行计算。例如：
203×416=84448

416
×203
1248
832
84448
　　3．被乘数和乘数中间都有 0 时，仍可按第 1 种情况的方法进行计算。例 如：
　　








（凌国伟）

205×408=83640
205
×408
1640
820
83640



怎样求简单的平均数


　　求平均数是统计中最常用的一种基本方法。在日常生活、生产建设和科 学研究中，为了对一些数量进行分析比较，常常要用到求平均数。例如，要 看一个乡的群众生活水平改善得怎样，就可以看这个乡去年每人平均收入多 少，和这个乡前年每人平均收入多少来作比较。所以，求某些数量的平均数 并不是真的把这些数量去平均分，而是指通过计算求出这些数量平均数值， 这只是一种统计的方法。
求一组数量的平均数时，先要确定是求哪些数量的平均数，平均分成几
份，然后先求出这一组的总数量及总份数，用这一组数的总数量去除以总份 数，就得到这一组数的平均数。例如：小红上学期期末考试各科的成绩是： 语文 98 分，数学 96 分，自然 90 分，地理 92 分。要求小红上学期期末考试 的平均成绩，就要拿她四门功课的总分去除以 4，就是：
（98+96+90+92）÷4=376÷4=94（分）
像上面这一组数都是九十几，为了方便，也可以这样计算：
（8+6+0+2）÷4+90=16÷4+90=94（分） 在求平均数时，要特别注意平均数与份数的对应关系。例如：
有 2 块小麦地，总共是 5 公顷，一共收小麦 22500 千克。要求每块地的
平均产量，就要用小麦的总产量去除以地的块数，就是：22500÷2=11250（千 克）；要求每公顷地的平均产量，就要用小麦的总产量去除以这两块地的公 顷数，就是：22500÷5=4500（千克）。
小朋友，下面这道题你会解答吗？
　　小红做数学题，第一天做 8 道，第二天做 6 道，第三天上午做 4 道，下 午做 3 道，小红平均每天做几道题。
（盛大启）

怎样防止错解求平均数应用题


　　有些小朋友在解答求平均数应用题时，常常产生以下两种错误：一种是 审题错误，搞错总数或总份数；另一种是计算错误。要防止产生这两种错误，
　　
就要做到以下几点。
1．认真审题，正确确定总数和总份数。例如：
气象小组在一天的 2 点、8 点、14 点、20 点测得温度分别是 13 摄氏度、
16 摄氏度、25 摄氏度、18 摄氏度。算出这一天的平均温度。 求这一天的平均温度，应该用 4 次测得的温度的和作为总数，就是
“13+16+25+18”为总数，测量的次数作为总份数，就是“4” 为总份数。如果把“2+8+14+20”作为总份数就错了。
　　2．仔细计算，正确求出平均数。在一般情况下，求平均数应用题所给的 数据较多，计算容易产生错误。所以，计算时要特别仔细，如果能用简便方 法计算，可用简便方法算。例如：
一个小组有 5 个同学，他们的体重分别是 42 千克、41 千克、38 千克、
39 千克、40 千克。求这个小组同学的平均体重。
计算总数时，可以把 40 作为标准进行简算。各数与 40 比：分别要+2、
+1、-2、-1、+0。相差的部分恰好抵消。所以，总数是 40×5=200（千克）， 平均体重是 200÷5=40（千克）
　　3．注意检验，防止和纠正错误。解答求平均数应用题，除了要认真审题， 按解题规律正确列式外，还应注意检验。一方面检查列式是不是符合题意； 另一方面进行验算，看计算是不是正确。还可以根据“平均数一定大于其中 最小的一个数，小于最大的一个数”的规律进行估算。（凌国伟）
　　
·四年级第一学期·

如何确定商是几位数

有的小朋友在计算除数是两、三位数的除法时，常常丢掉商中间或末尾
的 0。为了避免这种错误发生，在计算前，我们可以先判断一下求得的商是 几位数。怎样判断商是几位数呢？
请小朋友先观察下面一组除数是两位数的算式：
（1）7410÷57=130
（2）1976÷19=104
（3）12048÷24=502
（4）1748÷38=46 从（1）、（2）式可以看出：当被除数的前两位比除数大或等于除数时，
商的位数就比被除数的位数少 1；从（3）、（4）式可以看出：当被除数的 前两位小于除数时，商的位数就比被除数的位数少 2。这就是判断两位数除 多位数的商是几位数的规律。
　　同样，在计算除数是三位数的除法时，如果被除数的前三位大于或等于 除数时，商的位数就比被除数的位数少 2；如果被除数的前三位小于除数时， 商的位数就比被除数的位数少 3。例如：7032÷293，商是两位数；2736÷342， 商是一位数。
请小朋友先判断下面各题的商是几位数，然后再计算，看自己的判断是
不是正确。
2835÷27 2575÷25 632400÷68
83904÷138 460800÷512 40500÷450（盛大启）

试商速度慢怎么办


　　有的小朋友在学习除数是两位数的除法时，因试商慢而使计算的速度 慢。怎样才能提高我们的试商速度呢？
1．平时要十分重视多练一些基本口算。如两位数乘以一位数的练习：17
×8、25×6??；两位数除以两位数的口算练习：52÷13、72÷12、88÷
29??。还要多练习一些“括号里最大能填几”的题目。如 16×（）＜120， 括号里最大能填 7。大家别小看这些简单练习，它们对我们熟练地进行口算 试商，提高计算速度大有好处。
　　2．要掌握“四舍五入”的试商方法。事实告诉我们：最基本的东西，往 往是最重要的内容，一定要熟练掌握。当我们用“四舍法”试出的初商偏大 时，应该把初商减去 1。如 430÷62 由于把“62”看成“60”来试商，除数 变小，试出的初商偏大，应该把初商“7”改成 6。用“五入法”试出的初商 偏小时，应该把初商加上 1。如 386÷48 由于把“48”看成“50”来试商， 除数变大，试出的初商偏小，应该把初商“7”改为 8。这个调商的规律可以 小结为“除数变小商大减 1，除数变大商小加 1”。
　　3．除了掌握课本中的两种试商方法外，还可以多读课外书报，学一些特 殊的试商方法。如本书《试商要灵活》（第 30 页）一文中介绍的试商方法。 这样，小朋友在计算时，就可以根据题目的特点，灵活地使用试商方法了。
　　
（巢洪政）


在比较中掌握三位数除多位数的方法


　　小朋友们在理解和掌握除数是两位数除法的计算法则的基础上，开始学 习三位数除多位数的计算方法。用三位数除多位数，计算步骤、试商方法与 两位数除多位数很相似，因此，小朋友们在学习中要善于比较，在比较中掌 握三位数除多位数的方法。
1．从算理上比较
　　计算 80÷20，我们这样想：80 是 8 个十，20 是 2 个十，8 个十里有 4 个 2 个十，所以，80÷20=4。
计算 800÷200，我们这样想：800 是 8 个百，200 是 2 个百，8 个百里有
4 个 2 个百，所以，800÷200=4。 我们看到，计算上面两道题的思考方法是相同的，就是把除数是两、三
位数的除法变为除数是一位数的除法进行计算。
2．从计算法则上比较 两位数除多位数和三位数除多位数的计算法则基本相同：（1）都要从被
除数的高位除起；（2）计算时，除数是几位数，就先看被除数的前几位，如
果这几位比除数小，就要多看一位；（3）除到被除数的哪一位，就把商写在 哪一位的上面；（4）每次除得的余数必须比除数小。
3．从试商方法上比较
　　计算两位数除多位数和三位数除多位数，一般都用“四舍五入法”试商， 也就是把除数看作整十数或整百数来试商。在用“四舍法”试商时，初商常 常偏大，这时要把初商改小；而用“五入法”试商时，初商常常偏小，就要 把初商改大。
想一想：我们还可以从哪些方面比较？（郑鸿康）

试商要灵活


　　计算除数是两、三位数的除法，通常用“四舍五入法”来试商。为了提 高试商的速度和正确率，我们还应多掌握几种特殊的试商方法，在计算中， 根据题目的数据特点，灵活地进行试商。
1．直接写商。如果能直接看出商是几，就不必把除数看作整十数或整百
数去想商，而是直接写出商。
　　例如：计算 615÷606 时，我们可以直接写出商“1”；计算 930÷410 时，我们可以直接写出商“2”。
　　2．推算出商。在商是多位数的情况下，我们可以根据已经求出的某一位 上的商，推算出另一位上的商。例如：
4556÷68=67
67
68 4556
408
476
476
0

　　在计算这道题的过程中，我们先求出“455”除以 68 的商是 6。用“476” 除以 68 时，我们根据“476”比“408”（就是 68 与 6 的积 408）多一个 68
（除数），推算出商是“7”。
　　3．取“中数”试商。这里所说的“中数”是指“几十五”这样的数。当 除数是几十四、几十五、几十六时，我们不必用“四舍五入法”把除数看作 整十数去试商，而是把除数看作几十五去试商。因为，原来的除数与“中数” 相差很少，所以，取“中数”试商一般不需要调商。例如，计算 12546÷74
和 48039÷36 这两道题时，可以分别把除数看作 75 和 35 来试商，请小朋友 试一试。
4．同头无除商 9、8。 “同头”是指被除数和除数的首位数字相同。例如，在 705÷72 这道除
法题中，被除数 705 和除数 72 同头（首位数字都是 7）。 “无除”是指被除数的前两位比除数小，不够除数除。例如，705÷72
这道题被除数的前两位“70”不够除数 72 除。 在这种情况下，我们可以在被除数的第三位上直接商 9，如果商偏大，
再调商 8。例如：705÷72=9??57。 请小朋友计算 259÷29 这道题。
5．无除一半直商 5。
　　“无除”仍指被除数的前两位比除数小，不够除数除。“一半”指被除 数的前两位等于或略大于除数的一半。例如：在 133÷26 这道除法题中，被 除数的前两位“13”刚好等于除数 26 的一半；在 149÷26 中，被除数的前两 位“14”略大于除数 26 的一半。
在这种情况下，可以直接在被除数的第三位上商 5。例如：
133÷26=5??3
请小朋友计算 149÷26 这道题。（韩素珍）

余数是“2”还是“200”

在计算 4400÷600 这道题时，小朋友们列出下面的竖式：

　　这道题的商是 7，余数是几呢？有的小朋友说余数是“2”，有的说余数 是“200”。那么，余数到底是“2”还是“200”呢？
请小朋友看下面一组除法算式：
11÷3=3??2
110÷30=3??20
1100÷300=3??200
11000÷3000=3??2000 仔细观察，我们可以发现这样的规律：被除数和除数同时扩大（或者同
时缩小）相同的倍数，商不变，但余数随着扩大（或者缩小）相同的倍数。 小朋友们在计算 4400÷600 时，根据“商不变的性质”把被除数和除数 同时缩小 100 倍（也就是把被除数和除数的末尾都划去两个 0），使原来的 算式变为 44÷6。这样计算商虽然不变，但余数却随着缩小了 100 倍。所以

“2”是 44÷6 的余数。而要得出 4400÷600 的余数，就要把“2”扩大 100 倍。所以 4400÷600 的余数是 200。
　　我们在利用“商不变的性质”进行有余数的除法的简便计算时，要看清 余数的位置。被除数和除数的末尾同时划去几个 0，就要在所得余数的后面 添上几个 0。（韩素珍）

“商不变”不等于“余数不变”

学习“商不变的性质”要注意三点：
1．弄清“扩大”和“缩小”的意义。 把一个数扩大几倍，就是用这个数乘以几。例如，把 6 扩大 100 倍，得
多少？列式计算：6×100=600。把一个数缩小几倍，就是用这个数除以几。 例如，把 600 缩小 100 倍，得多少？列式计算：600÷100=6。
2．理解“同时”和“相同”这两个词的意思。 如果被除数和除数不是同时扩大或缩小，而是一个数扩大，另一个数缩
小，那么，商就要发生变化。例如：
8÷2=4
（8×2）÷（2÷2）=16 如果被除数和除数同时扩大或缩小的倍数不相同，那么，商也要发生变
化。例如：
8÷2=4
（8×3）÷（2×2）=6
3．“商不变”不等于“余数不变”。 在有余数的除法里，运用商不变的性质进行计算，商不变，但余数却发
生了变化。例如：
700÷300=2??100
70÷30=2??10
7÷3=2??1 仔细观察上式中余数变化的情况，我们发现：被除数和除数同时扩大（或
同时缩小）几倍，余数也随着扩大（或缩小）相同的倍数。
（华应龙）

判断平年、闰年的简便方法


　　小朋友们在学习《年、月、日》时，知道：“公历年份是 4 的倍数的， 一般都是闰年。但公历年份是整百数的，必须是 400 的倍数才是闰年。”要 判断某一年是不是闰年，一般方法是用 4 或 400 去除这一年的年份数，如果 除得的商是整数而没有余数，那么这一年是闰年；如果有余数，那么这一年 是平年。
　　这里向大家介绍一种判断平年、闰年的简便方法：当公历年份不是整百 数时，只看年份数的末两位数，是不是 4 的倍数，如果年份数末两位是 4 的 倍数，这一年就是闰年。当公历年份是整百数时，只看年份数的千位与百位 这两位数，如果这两位数是 4 的倍数，这一年就是闰年，反之，就是平年。 用这种方法，只需口算就能很快作出判断。
　　
例下列年份，哪些是平年？哪些是闰年？
1936 年 1958 年 1984 年 1997 年 2000 年 2600 年
　　因为 1936 年、1984 年的年份数的末两位 36、84 是 4 的倍数，所以 1936 年、1984 年是闰年。而 1958 年、1997 年的年份数的末两位 58、97 不是 4 的倍数，所以 1958 年、1997 年是平年。因为 2000 年年份数的前两位 20 是 4 的倍数，而 2600 年的年份数的前两位 26 不是 4 的倍数。所以，2000 年是闰 年，2600 年是平年。
请小朋友判断：下列各年份，哪些是平年？哪些是闰年？
1600 年 1840 年 1914 年 1966 年 2302 年 2400 年 1988 年 2100 年（王聿松）

为什么“四年一闰、百年不闰、四百年又闰”


　　我们知道，一年是地球绕太阳旋转一周所需的时间，地球绕太阳运行一 周的实际时间是 365 天 5 小时 48 分 46 秒。为了方便，平年按 365 天计算， 这样每四年就少算 5 小时 48 分 46 秒×4=23 小时 15 分 4 秒，接近一天。因 此在第四年的二月里增加一天，这一年叫做闰年（366 天）。因为，每四年 多的一天一般放在公元年份数能被 4 整除的那一年，所以，像 1988 年、1992 年、??都是闰年。这就是“四年一闰”的道理。
由于一天是地球自转一周所需的时间，而一天实际是 24 小时，24 小时
-23 小时 15 分 4 秒=44 分 56 秒，这样每四年又多算了 44 分 56 秒。每 400 年就多算了：44 分 56 秒×100=3 天 2 小时 53 分 20 秒，所以，每 400 年又要 去掉三个闰年。因此，规定“百年不闰，四百年又闰”也就是公元年份数是 整百数时，虽然能被 4 整除，但不能被 400 整除，就不算作闰年。如 1900 年就不是闰年，而 1600 年、2000 年是闰年。
请小朋友判断下面的年份，哪些是平年？哪些是闰年？
1840 年、1895 年、1800 年、1904 年、1989 年、2400 年（徐礼华）

“时”与“小时”


小军：张老师，“时”与“小时”是两个不同的单位名称，对吗？ 张老师：对，“几时”就是钟面上的“几点”，表示到了什么时刻；而
“几小时”表示经过的时间。经过的时间和到达的时刻是不同的。
　　小军：可是，数学课本（六年制第七册）第 44 页例 2 中求“每天营业时 间是多少？”算式后面的单位名称写的是“时”，就是：19-8=11（时）。还 有第 58 页例 4 求“多少小时才能修完？”算式后面的单位名称写的也是“时”， 就是：900÷（360÷8）=900÷45=20（时）。我认为这两处的单位名称都应 该用“小时”。
　　张老师：这个问题提得好！这不是课本上搞错了。根据有关规定，如果 把“小时”的“小”字省去，不会与时刻相混淆，可以把时间单位“小时” 简写成“时”；如果省去“小时”的“小”字后，容易与时刻相混淆，那么， 时间单位应该仍用“小时”表示。所以，在文字叙述中，包括叙述应用题， 以及书写应用题的答句时，一般用“小时”；而在算式中，得数后面的单位 名称可以将“小”字省略，只写“时”。
　　
　　小军：老师，我懂了，例 2 求这个商店每天营业时间是多少，列式为 “19-8”，这里的“19”和“8”我们已经不再把它们看作时刻，而是看作时 间，“19”是指从 0 时开始到 19 时，经过了 19 个小时；“8”是指从 0 时开 始到 8 时，经过了 8 小时。因此，两数相减得到的差也是指时间，而不是时 刻，所以，计算结果后面所注的单位名称可以把“小”字省略，写成：19-8=11
（时）。
张老师：你真聪明！如果我们不省略“小”字，而把这个算式写成：19-8=11
（小时），也是正确的。（庞德均 华应龙）

分段计算 巧求时间


　　计算一天内两个时刻之间的时间，可以先将两个时刻分别用 24 时记时法 表示，再求出它们的差。这个差就是要求的时间。可是实际生活中，长途旅 行或做有些工作往往不能在一天内完成。怎样求不在一天内的两个时刻之间 的时间呢？
　　例如：轮船 7 日晚上 11 点从南京港出发，到达南通港是 8 日上午 8 点。 从南京到南通坐轮船要多少小时？
我们先把题中两个时刻分别用 24 时记时法表示。晚上 11 点是 23 点，上
午 8 点是 8 点。 再把轮船航行所用时间分成两部分：
（1）7 日轮船航行时间：24-23=1（小时）。
（2）8 日轮船航行时间：8-0=8（小时）。
1+8=9（小时） 答：南京到南通坐轮船要用 9 小时。
又如：王师傅 10 月 2 日下午 5 点从上海乘火车去云南昆明办事，10 月 5
日早晨 7 点到达。从上海到昆明，火车要行驶多少小时？
先把题中“下午 5 点”和“早晨 7 点”用 24 时记时法表示，下午 5 点是
17 点，早晨 7 点是 7 点。再分段计算：
（1）10 月 2 日火车行驶时间：24-17=7（小时）。
（2）10 月 3 日火车行驶时间：24 小时。
（3）10 月 4 日火车行驶时间：24 小时。
（4）10 月 5 日火车行驶时间：7-0=7（小时）。
7+24+24+7=62（小时）
答：从上海到昆明，火车要行驶 62 小时。（蔡宏圣）

为什么要规定运算顺序


　　在加、减、乘、除和四则混合运算中，规定计算的先后次序，叫做运算 顺序。小朋友们已经知道，“在一个没有括号的算式里，如果既有加、减法， 又有乘、除法，要先算乘、除法，后算加、减法”。为什么要规定这样的运 算顺序呢？请小朋友看下面两道算式：
（1）58-14+35（2）84÷4×7 按规定，这两道题都要“从左往右依次演算”，如果没有对运算顺序作
出规定，运算就会发生混乱，就会产生不同的计算结果。（请小朋友按不同

的运算顺序计算上面两道题，看看计算结果是不是相同。）同样，对于既有 加、减法，又有乘、除法的算式，如“800-23×8”，运算顺序也要加以规定， 才不致发生混乱。所以，根据实际运算的需要，有必要规定四则混合运算的 先后次序，使运算得到一个确定的结果。
规定的运算顺序是与生活实际中体验到的数量关系相一致的。例如：“从
20 支铅笔中拿出一些分给 4 个小朋友，每人 3 支，还剩多少支？”列成算式 是：
20－3×4 我们结合实际分的情况，要先算“分了多少支”，也就是先算“3×4”，
再算“还剩多少支”，也就是用 20 减去“3×4”的积。这不就是“先乘除后 加减”吗？生活中这样的事例很多，这说明运算顺序的规定是以生活生产的 实际为基础的，因而是合理的。（孙海鹰）

如果要“先加减，后乘除”


　　小朋友们已经知道，为了防止四则混合运算发生混乱，使运算得到一个 确定的结果，人们结合生活和生产实际的需要，规定了“先乘除，后加减” 的四则混合运算顺序。例如：
12÷4+2
=3+2
=5
然而，生活中也有“先加减，后乘除”的事例。例如： 同学们去春游，李英小组的 4 个同学共带了 12 块烧饼。中午，她们正准
备吃午餐，李英发现班里有两个同学没带干粮，就请这两位同学和小组的同
学们一起平均分吃 12 块烧饼。请问：平均每个同学吃几块烧饼？ 显然，我们解决这个问题，要先算出一共有几个同学吃烧饼：4+2=6（个），
再用烧饼的总块数 12 除以 6，就能算出平均每个同学吃几块烧饼。也就是说，
在“12÷4+2”这个算式里，我们要先算加法，后算除法。这不是和规定的运 算顺序矛盾了吗？
有的小朋友已经知道，用“小括号”可以解决这个矛盾。括号是用来改
变运算顺序的符号。 有了括号，人们对四则混合运算的顺序又作了这样的规定：“在有括号
的算式里，要先算括号里面的。”这样一来，我们只要把前面那道算式加上
小括号，问题就解决了。
12÷（4+2）
=12÷6
=2（块）
答：平均每个同学吃 2 块烧饼。（孙海鹰）

计算四则混合运算式题要先审题


1．认真审题，确定运算顺序 四则混合运算的运算顺序是：
在一个没有括号的算式里，如果只有加、减法，或者只有乘、除法，要

从左往右依次演算；如果既有加、减法，又有乘、除法，要先算乘、除法， 再算加、减法。
　　在有括号的算式里，要先算括号里面的，如果有小括号又有中括号，要 先算小括号里面的，再算中括号里面的。
2．认真审题，选择合理、灵活的计算方法 对于每一道四则混合运算式题，我们都要从数字特点和运算符号两个方
面进行全面观察，并联系四则运算的定律和性质，以及 1 与 0 在四则计算时 的特殊作用，灵活地选择算法，凡是能简便计算的，要用简便方法算，能口 算的，应当直接写出得数。这样就能算得既正确又迅速。
3．认真验算，确保计算结果正确 正确运用加、减法和乘、除法各部分之间的关系进行验算，计算时要做
到一步一验算，验算时要按验算方法，在草稿本上认真书写验算的竖式或过 程。这样做，才能确保计算结果正确。（顾松涛）

怎样计算不带括号的四则混合运算式题


　　加、减、乘、除这四种运算，统称为四则运算。其中，加法和减法叫第 一级运算，乘法和除法叫第二级运算。
不带括号的四则混合运算式题主要有以下两种：
1．式题中只含有同一级运算。 例如：285-196+1234 这道题只含有第一级运算。 又如：38×126÷19
这道题只含有第二级运算。如果一个算式里只含有同一级运算，那么，
要从左往右依次计算。上面的第一题应该这样计算：
285-196+1234
=89+1234
=1323 请小朋友自己计算上面的第二题。
2．式题中含有两级运算。
例如：1000-126×5 这道题中既含有第一级运算（减法），又含有第二级运算（乘法）。如
果一个算式里含有两级运算，那么，要先做第二级运算，后做第一级运算。
也就是先算乘、除法，后算加、减法。
1000-126×5
=1000-630
=370 这里要注意的是：“先算乘、除法，后算加、减法”不能错误地理解成
“先乘后除、先加后减”。（凌国伟）

遇到带括号的混合运算式题怎么办


　　在一道四则混合运算式题里，如果有小括号，要先算小括号里面的。例 如：
　　
325÷13×（266-250）
=325÷13×16
=25×16
=400 如果小括号里含有两级运算，要先做第二级运算，后做第一级运算。例
如：
（300-225÷5）+145
=（300-45）+145
=255+145
=400 如果式题中有两个小括号，那么，这两个括号里面可以同时计算。例如：
（100-54）×（325-300）+54×5
=46×25+54×5
=1150+270
=1420 如果式题中既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括
号里面的。例如：
8400÷[（407-395）×4]+1065
=8400÷[12×4]+1065
=8400÷48+1065
=175+1065
=1240（凌国伟）

怎样解答“归一问题”


　　“归一问题”的特点是：已知两个相关联的数量，其中一个数量改变了， 另一个数量也随着改变，而且变化有相同规律（这个规律我们将在高年级学 习）。由于解答这类应用题先要求出一个单位的数量，因此我们就把这类应 用题叫做“归一问题”。
例 1 高年级同学在校办工厂糊纸盒。5 个同学糊了 35 个纸盒，照这样计
算，12 个同学一共可以糊多少个纸盒？
　　解答这道题时，我们这样思考：要求 12 个同学一共可以糊多少个纸盒， 先要求出平均每个同学糊多少个纸盒。
35÷5=7（个）
照每个同学糊 7 个计算，12 个同学一共可以糊多少个纸盒呢？
7×12=84（个） 像这样先求出一个单位的数量之后，再用乘法算出若干个单位的数量是
多少的“归一问题”，我们把它叫做“正归一问题”。
　　例 2 修路队修一段公路。6 小时修了 360 米，照这样计算，要修 900 米 需要多少小时才能修完？
　　解答这道题时，我们这样思考：要求修路队修 900 米公路需要多少小时 才能修完，先要求出这个修路队每小时能修多少米。
360÷6=60（米）
照 1 小时修 60 米计算，修 900 米需要多少小时才能修完呢？

900÷60=15（小时） 像这样先求出了一个单位的数量之后，再用除法算出总数里包含着几个
一个单位的数量的“归一问题”，我们把它叫做“反归一问题”。
例 3 张叔叔劳动 3 天，得工资 20 元。照这样计算，他劳动一个月（按
30 天计算），可得工资多少元？ 我们在解答这道题时，如果和解答前面两道例题一样，先求出一个单位
的数量，也就是先求出张叔叔平均每天得工资多少，就要计算“20÷3”，“20
÷3”等于多少呢？我们目前还无法算出它的结果。那么，这道题应该怎样解 答呢？
我们换一个角度去思考：因为 30 天是 3 天的 30÷3=10 倍，所以，张叔
叔 30 天的工资就应该是他 3 天工资（20 元）的 10 倍，就是 20×10=200（元）。 列综合算式解答:
20×（30÷3）
=20×10
=200（元） 答：可得工资 200 元。
　　例 3 的解法是归一问题的另一种解法，与前一种解法比较，只不过是在 计算中改变了运算顺序，就是把“20÷3×30”改变成“20×（30÷3）”， 计算结果不变。（葛德生）

这样列式算理也说得通


六年制小学数学课本第七册第 62 页有这样一道例题： 学校给三好学生买奖品，买了 3 盒钢笔，每盒 10 支，一共用去 60 元。
每支钢笔的价钱是多少元？
课本上介绍了两种解法。
第一种解法：先求 1 盒钢笔的价钱，再求每支钢笔的价钱。
60÷3÷10
=20÷10
=2（元） 答：每支钢笔的价钱是 2 元。
第二种解法：先求出 3 盒钢笔一共有多少支，再求每支钢笔的价钱。
60÷(10×3）
=60÷30
=2（元） 答：每支钢笔的价钱是 2 元。
王小荣小朋友列出了第三种算式：
60÷10÷3
=6÷3
=2（元） 答：每支钢笔的价钱是 2 元。
　　他是这样想的：如果每次从 3 个盒子中各取 1 支钢笔，那么，每次可以 取出 3 支钢笔。因为每个盒中都是 10 支钢笔，所以，取 10 次，就能取完所 有的钢笔。因此“60÷10”表示每次取出的 3 支钢笔的价钱，再除以 3（这
　　
个“3”表示每次取出的“3 支钢笔”），就得到每支钢笔的价钱。 所以，王小荣小朋友这样列式算理也说得通。（孙海鹰）

从不同的角度进行验算


　　小朋友在解答应用题以后，应该从不同的角度进行验算。这样既能检验 原题的答案是不是正确，又能进一步熟悉应用题的数量关系。
　　例如：一个装订小组要装订 2640 本书，3 小时装订了 240 本，照这样计 算，剩下的书还需要多少小时才能装订完？（五年制小学数学课本第六册第
74 页第 15 题） 根据题意，我们这样列式解答：
（2640-240）÷（240÷3）
=2400÷80
=30（小时）
答：剩下的书还需要 30 小时才能装订完。 怎样验算这道题呢？有下面三种方法：
　　1．变换条件与问题进行验算。我们把求得的 30 小时作为已知条件，把 题中另一个条件“要装订 2640 本书”作为问题，把原题改编成这样的题目： 一个装订小组装订一批书，3 小时装订了 240 本，照这样计算，剩下的
书还需要 30 小时才能装订完，这个小组共要装订多少本书？
这道题应该这样列式解答：
240÷3×30+240
=2400+240
=2640（本） 验算的结果与原题的一个已知条件相符合，说明原来的解答是正确的。
2．用不同的解法进行验算。因为 2640 本书是 240 本书的 2640÷240=11
倍，所以，共要装订的小时数，就是 3 小时的 11 倍，也就是 3×11=33（小 时）。因此，装订剩下的书需要的时间是：33-3=30（小时）。
两种解法结果相同，说明原来的解答正确。
想一想：这道题还可以怎样解答？
　　3．用比较的方法进行验算。比较前后每小时装订的本数是不是相同，来 验证解答是不是正确。
前 3 小时每小时装订的本数是:
240÷3=80（本）
后 30 小时每小时装订的本数是：
（2640-240）÷30
=2400÷30
=80（本） 我们从验算中看出，这个小组前后每小时装订的本数相同，所以原来的
解答正确。（王聿松）

一题多变好处多

小朋友们在进行解答应用题的练习时，要学会“一题多变”，就是采用

把题目中的某些条件变为间接条件，或者把条件和问题互换位置等方法，将 一道题变换成几道题。这样，既增加了我们练习的机会，又有利于我们进一 步熟悉数量关系，提高分析问题和解决问题的能力。
例 1 某工厂有男工 90 人，女工 30 人。男、女工共有多少人？ 我们可以把“女工 30 人”这个条件隐蔽起来，变为间接条件放入应用题
中。
①女工比男工少 60 人。
②男工比女工多 60 人。
③男工是女工的 3 倍。
④女工比男工的 2 倍少 150 人。
请小朋友把上面四个条件分别代入例 1，组成四道应用题，并解答出来。
　　例 2 一个工程队用 5 辆卡车往工地运水泥，3 次一共运了 1200 袋，平均 每辆卡车每次运多少袋？
根据题意，我们这样列式解答：
1200÷5÷3
=240÷3
=80（袋） 答：平均每辆卡车每次运 80 袋。 也可以这样列式解答：
1200÷3÷5
=400÷5
=80（袋） 我们把求得的答案当作已知条件，把原题的某一个已知条件作为问题，
就可以变成以下三道题：
　　①一个工程队用卡车往工地运水泥，平均每辆卡车每次运 80 袋，5 辆卡 车 3 次一共可以运多少袋？
②一个工程队用 5 辆卡车往工地运水泥，平均每辆卡车每次运 80 袋，现
在要运 1200 袋，需要运几次？
　　③一个工程队用卡车往工地运水泥，平均每辆卡车每次运 80 袋，3 次要 运 1200 袋，需这样的卡车几辆？
请小朋友自己解答上面三道应用题。
　　通过这样的练习，小朋友们要能在分析和比较中掌握变化中不变的规 律，并运用规律举一反三。（王聿松）

选择必要的条件解答应用题


　　小朋友们解答应用题，在一般情况下，题目里的已知条件都要用上，有 的条件还不止用一次。但是，也有一些题目，不是所有的已知条件在解题时 都能用上，而是要选择必要的条件列出解题的算式。例如，六年制小学数学 课本第六册第 39 页有这样一道题：
学校买来 2500 本练习本，卖给 15 个班，每班 164 本。一共卖出多少本？ 根据题意，要求一共卖出多少本，就是求 15 个“164 本”是多少本。解
答过程如下：
164×15=2460（本）

答：一共卖出 2460 本。 可是，有的小朋友不认真审题，认为所有的已知条件都应该用上，列出
了这样的算式：
2500-164×15 这样列式求的是什么呢？细心的小朋友一定会说，这样是求“还剩多少
本”。是的，这样列式与题目要求的问题不符合，是错误的。 下面这道题是五年制小学数学课本第六册第 40 页第 11 题，请小朋友仔
细审题，想一想应该选择哪些条件解题，并写出解答过程。
体育用品商店原有 150 个篮球，昨天运来 16 箱，每箱 5 个，今天又运来
60 个。这个商店这两天一共运来了多少个篮球？ 在解答应用题时，我们通常把题目中所给的不一定用得上的条件叫做“多
余条件”。解答有“多余条件”的应用题，可以帮助我们养成认真审题的习 惯，提高分析问题和解决问题的能力。
　　当应用题的“多余条件”在解题中可以用，也可以不用时，就更需要小 朋友认真理解题意，灵活思考，找出最简便的解法。例如：
一个果园原来有 125 棵苹果树，89 棵桃树。今年又栽了 42 棵苹果树和
42 棵桃树。这个果园的苹果树比桃树多多少棵？ 有的小朋友这样解答：
（1）果园现在有苹果树多少棵？
125+42=167（棵）
（2）果园现在有桃树多少棵？
89+42=131（棵）
（3）苹果树比桃树多多少棵？
167-131=36（棵） 答：这个果园的苹果树比桃树多 36 棵。
这样解答是正确的，题目里所有的条件都用上了，而且“42 棵”这个条
件用了两次。 如果我们这样思考：因为今年栽的苹果树与桃树的棵数相同，都是 42
棵，所以，苹果树与桃树相差的棵数不变。那么，解法就很简便了。
125-89=36（棵） 答：这个果园的苹果树比桃树多 36 棵。 你看，“42 棵”又成了“多余条件”。
小朋友们在解答应用题时，要认真审题，分析数量关系，根据题目要求，
选择必要的条件列式计算。不要被“多余条件”所迷惑，造成解题错误，或 解法繁琐。（韩素珍）

周长和面积有什么不同


　　长方形或正方形的周长和面积是两个不同的概念，我们可以从以下三个 方面来比较：
　　1．周长和面积的意义不同。周长是指平面图形周围各条边长度的总和， 长方形和正方形的周长就是它们四条边长度的总和。面积是指物体表面或平 面图形的大小，长方形和正方形的面积就是它们所占平面的大小。
2．周长和面积计算的方法不同。计算长方形的周长和面积要量出长方形

的长和宽，然后用“（长+宽）×2”求出长方形的周长，用“长×宽”求出 长方形的面积。计算正方形的周长和面积，要量出正方形的边长，然后用“边 长×4”求出正方形的周长，用“边长×边长”求出正方形的面积。
　　3．计算周长和面积使用的单位名称不同。测量或计算周长用的是长度单 位，常用的长度单位有米、分米、厘米。测量或计算面积用的是面积单位， 常用的面积单位有平方米，平方分米，平方厘米。
　　在不同的正方形中，周长比较长的正方形面积也比较大。但在不同的长 方形中，周长比较长的长方形面积不一定大。（巢洪政）

怎样区别面积和周长


　　每一个长方形或正方形都有它的面积和周长，而它们的面积和周长的计 算，又都和它们边的长度有关。有的小朋友在刚刚学习面积知识时，常常把 求面积变成求周长，把求周长变成求面积，甚至写错单位名称。所以，我们 在学习《长方形和正方形的面积》时，必须弄清面积的概念，把面积和周长 区别开来。我们已经知道，用一根绳子把一个长方形或正方形围一周，这一 周的长度就是这个长方形或正方形的周长。现在我们又知道，物体的表面或 围成的平面的大小，叫做它们的面积。这就是说，长方形、正方形的周长是 指它的四条边的长度的和，而长方形、正方形的面积是指它们四条边围成的 平面的大小。也就是说，周长是指图形外框“线”的长短，面积是指图形内 部的“面”的大小。
例如：我们用一根铁丝围成一个长方形，再在这个长方形上糊一张白纸。
周围铁丝的长短（不包括连接处的重复部分），就是这个长方形的周长；中 间白纸的大小（不包括反面粘贴处的重复部分），就是这个长方形的面积。 再如：有一块正方形的耕地，沿耕地四周挖了排水沟。这四周的排水沟
的
总长度就是这块正方形耕地的周长，中间耕地的大小就是这块正方形耕
地的面积。

计算周长，要用长度单位；计算面积，要用面积单位。请小朋友剪 6 个 边长是 1 厘米的正方形，分别拼成像图（1）、图（2）、图（3）的图形。





数一数，这三个图形的面积都是几平方厘米？ 图（1）的周长是几厘米？图（2）的周长是几厘米？图（3）的周长是几
厘米？
　　通过上面的“数一数”，我们更清楚地看出，周长和面积是两个完全不 同的概念。由于它们的意义不同，因而它们的计算方法不同，使用的计量单 位名称也不同。
　　

（盛大启）


　　　　四个“4”不一样

老师给同学们出了一道题：求下图正方形的周长和面积。







同学们很快就算出得数。
4×4=16（米）
4×4=16（平方米）
答：正方形的周长是 16 米，面积是 16 平方米。 小明说：“计算周长和面积的算式都是 4×4，得数都是 16，这个正方形
的周长和面积相等。”
“周长和面积的意义不同，”小亮说：“如果把这个正方形看作一块菜 地，那么周长 16 米就好比菜地四周篱笆的长，面积 16 平方米就是菜园占地 的大小。不能说周长和面积相等。”