汉译者前言


　　众所周知，本书是整个科学史中的一部超级名著，是可以和欧几里德 的《几何学原本》或牛顿的《自然哲学之数学原理》相提并论的。一部这 样的经典名著，永远可以给后人以重要的启示和鼓舞。在这种意义上，以 及在任何别的意义上，它的主要价值应被认为是在“历史的”一面。因此， 在准备这份译稿时，我们尽量保持了此书的原始面貌，而绝对不敢也不肯 对它进行任何的“现代化”。本书的体裁并没有构成一个尽可能“公理化” 的理论体系，而是夹叙夹议，如泉涌出。这是和欧几里德或牛顿的书很不 相同的。作者在原序中曾经提到这一点。据说作者原打算对本书进行重大 而全面的修订和扩充，可惜因他过早逝世而未能竟其全功。由于这种原因， 再加上时代的不同，书中许多方面的表达方式就和今天人们所熟悉的方式 有些差异。现在为了读者的方便，举例说明如下：
　　1．本书的“目录”和正文中的章节标题有许多不一致的地方。这种情 况在外国也很常见，即所谓“交叉参照”（cross reference），这可以用 较小的篇幅传达较多的信息，避免简单的重复，其实是很有好处的。
　　2．书中所用的许多符号和名词，也和今天习见的不尽相同。例如用 q 代表电容，用 e 代表电量，用 E 代表电动势，用 R 代表电场强度，等等。 特别是，由于当时矢量运算还没有定型，书中的矢量符号也和今天所用的 符号完全不同。在名词方面，书中的“集电器”、“电动强度”、“比电 阻”等等，对应于我们所说的“电容器”、“电场强度”、“电阻率”等 等。如果只是名词上差几个字，倒也罢了。但是有时可以感觉出来，有些 名词的差异反映了理解上的、概念上的时代差异。这种情况有待于科学史 界和科学哲学界的有心人去认真发掘和细致分析，译者则深感无能为力。 另外还应指出，书中有时用同一个名词代表不同的概念。例如当谈到三维 媒质的导电时，书中所说的“电流”其实是指今天所说的“电流密度”； 当谈到电极化时，书中所说的“电位移”有时对应于今天所说的“电感强 度”（也叫“电位移”），而有时则是指的“电感强度在一个面积上的通 量”。
3．表述方法方面的差异。例如，说导体的“电容就是当?时它的电荷”。
这很容易被误解为“电容就是电荷”，其实二者连量纲都不相同。类似的 说法（电动强度的定义等等），书中所在多有。所有这一切，算不得本书 的什么“毛病”。只要稍加注意，读者应该是不会被引入迷途的。在个别 的地方，为了语气上的明确或完整，我们在译文中增加了几个字，这些增 加的字句都用弯括号（｛ ｝）括出，读者鉴之！
译者谨识
1991 年 4 月 24 日 于北京北郊之史情室


第一版 原序


　　某些物体在被摩擦以后显示吸引其他物体的能力，这一事实早为古人 所知了。在现代，已经观察了各式各样的其他现象，并且已经发现他们是 和这些吸引现象有关系的。这些现象被分类为电（Electric）现象，意为 琥珀，因为这些现象最初是在“琥珀”（ηλεκτρον）中被描述了 的。
　　另一些物体，特别是磁石和经过某种处理的铁块或钢块，也早就被认 识到显示一些超距作用现象。经发现，这些现象以及与他们有关系的另一 现象是和电现象不同的。这些现象被分类为磁（Mag－netic）现象，因为 磁石（μαγνηs）是在塞萨利的玛格尼西亚（Magnesia）被发现的。 后来，人们发现这两类现象是互相有关系的，而迄今已知的两类现象
中那各式各样现象之间的关系，就构成电磁学这门科学。 在本书中，我打算描述这些现象中的若干最重要的现象，指明他们可
以怎样加以测量，并追索所测得的各量的数学联系。既经这样求得了电磁 学的数学理论的数据并证明了这一理论可以怎样应用于现象的计算，我将 尽可能清楚地努力揭明这一理论的数学形式和动力学这一基础科学的数学 形式之间的关系，以便我们可以在某种程度上作好准备，来确定我们可以 从中寻求电磁现象之说明或解释的那些动力学现象。
在描述现象方面，我将选择那些最清楚地例示理论基本概念的现象，
而略去别的现象，或把他们保留到读者了解得更深入一些时再来描述。 从数学观点看来，任一现象的最重要方面就是一个可测量的量的方
面。因此我将主要从他们的测量的角度来考虑电现象，描述测量的方法，
并定义这些方法所依据的标准。 在把数学应用于电学量的计算时，我将首先努力从我们所能运用的数
据导出最普遍的结论，其次则把结果应用到所能选取的最简单的事例上。
只要能作到，我将避开虽然唤起了数学家们的技巧但却不曾扩大我们的科 学知识的那些问题。
我们所必须研究的这门科学之不同分支之间的内部关系，是比迄今发
展起来的任何其他科学之不同分支之间的内部关系更加繁多和更加复杂 的。它的外部关系，一方面是同动力学的关系，另一方面是同热、光、化 学作用以及物体构造的关系，似乎正表明着电科学作为诠释自然的臂助的 那种特殊的重要性。
　　因此，在我看来，从各方面来研究电磁，现在已变得是在作为促进科 学进步的手段方面具有头等重要性的了。
　　不同类别的现象的数学定律，已经在很大程度上令人满意地得出了。 不同类别的现象之间的联系，也已经被考察过了，而且各数学定律之 严格准确性的可能性，也由关于他们彼此之间的关系的一种更广阔的知识
所大大加强了。 最后，通过证明任何电磁现象都不和它依赖于纯动力学作用的那一假
设相矛盾，在把电磁还原为一门动力学科学方面也已经得到了某种进展。 然而，迄今已经作到的一切，绝没有把电学研究这一领域囊括净尽。 相反地，通过指出一些探索课题并给我们提供考察的手段，它倒是开拓了

这一领域。 几乎用不着夸耀磁学研究对航海的有益结果，以及关于罗盘之真正指
向的知识的重要性，以及关于铁在船上的效应的知识的重要性。但是，通 过磁学观测来力图使航海更加安全的那些人的劳动，同时也大大促进了纯 科学的进步。
　　高斯作为德国磁学协会的会员，用他的强大智能来推动了磁学理论， 推动了磁学观测方法。他不仅大大增进了我们关于吸引理论的知识，而且 在所用的仪器、观测的方法和结果的计算方面改造了整个的磁科学，因此， 他的论著《地磁论》可以被一切致力于任何自然力之测量的人们当作物理 研究的典范。
　　电磁学在电报上的重要应用，也通过赋予精密电学测量以一种商业价 值并通过向电学家们提供其规模大大超过任何普通实验室的一些仪器来对 纯科学发生了反作用。对电学知识的这种要求，以及获得此种知识的那些 实验机会，在刺激高级电学家的干劲和在实际工作人员中传播一定程度的 精确知识方面已经得到了很大的后果，而那种精确知识是很可能有助于整 个工程界的普遍科学进步的。
　　有一些著作用一种通俗的方式描述了电现象和磁现象。然而，对于那 些面对面地遇到一些要测量的量而且在思想上并不满足于课堂实验的人们 来说，这些著作却并不是他们所要求的。
也存在一大批在电科学方面具有巨大重要性的数学论文，但是他们全
都禁锢在学术团体的浩如烟海的刊物中；他们并不形成一个连贯的体系； 他们的优劣相差甚大；而且他们大多是除专业数学家以外别人都看不懂 的。
因此我曾经想到，写一部论著将是有用的；那部书应该以一种方法论
的方式把整个课题取作它的主要对象，而且也应该指明课题的每一部分可 以怎样被置于通过精确测量来加以验证的那些方法的作用之下。
这部论著的一般面貌和那些大多是在德国出版的优秀电学著作的面貌
很不相同，而且也可能显得对若干杰出的电学家和数学家的思考有殊多失 敬之处。原因之一就在于，在我开始研究电以前，我决心不读任何有关这 一课题的数学著作，直到我从头到尾读完了法拉第的《电的实验研究》
（Experiment Researches in Electricity）时为止。我很知道，人们认
为在法拉第对现象的想像方式和数学家们对现象的想像方式之间是有一种 差别的，从而无论是法拉第还是数学家们都对彼此的语言很不满意。我也 确信，这种分歧并不是由于任何一方是错的。在这一点上，我最初是被威 廉·汤姆孙爵士所说服了的①；我在本课题上所学到的一切，有很大一部分 都有赖于他的指教和帮助，并有赖于他所发表的那些论文。
当我继续研习法拉第的著作时，我觉察到他对现象的想像方法也是一 种数学的方法，尽管并没有用习见的数学符号的形式表示出来。我也发现， 这些方法可以表示成普通的数学形式，并从而可以和那些专业数学家的方 法进行比较。
例如，在他的心目中，法拉第看到一些力线穿过全部的空间，而数学



① 我借此机会对 W.汤姆孙爵士和泰特教授表示感谢；在本书的付印过程中，他提出了许多宝贵的建
议。

家们则只在空间中看到一些超距吸引着的力心；法拉第看到一种媒质，而 他们则除距离以外毫无所见；法拉第向在媒质中进行着的真实作用中寻求 现象的依据，而他们则满足于在对电媒质发生超距作用的一种本领中找到 了这种依据。
　　当我已经把我所认为的法拉第的想法翻译成数学形式时，我发现一般 说来这两种方法的结果是彼此相符的，从而同一些现象由两种方法得到了 说明，同样的作用定律由两种方法推导了出来，只不过是，法拉第的方法 类似于我们从整体开始来通过分析而达到部分的那些方法，而普通的数学 方法则是建筑在从部分开始来通过综合而构成全体的那一原则上的。
　　我也发现，由数学家们发现了的若干最有成果的研究方法可以利用由 法拉第得来的那些想法表示出来，比在它们的原始形式下表示得更好得 多。
　　例如，关于势的整个理论，在本质上是属于我称之为法拉第方法的那 种方法的——这里的势被看成满足某一偏微分方程的一个量。按照其他的 方法，如果有任何必要考虑势的话，它就必须被看成将各带点质点除以它 到一给定点的距离然后求和的结果。于是，拉普拉斯、泊松、格林和高斯 的许多数学发现就在这部论著中有其适当的位置，而且，利用主要是从法 拉第得来的一些观念，他们也可以有其适当的表示式。
电科学中的伟大进步，已经由超距作用理论的开拓者们作出（主要是
在德国作出的）。W.韦伯的很有价值的电学测量结果，是由他按照这种理 论来诠释了的，而由高斯所倡始并由韦伯、黎曼、J.诺意曼、C.诺意曼、 洛仑茨等人所继续进行了的那种电磁思索，也是建筑在超距作用理论上 的，但是那种作用却直接依赖于各质点的相对速度，或是直接依赖于某种 东西（势或力）从一个质点到其他质点的逐渐传播。这些杰出人物在把数 学应用于电现象方面所取得的伟大成就，很自然地加强了他们那些理论思 索的地位，因此那些作为电学的学习者并把他们看成数学电学中最伟大的 权威的人们，有可能和他们的数学方法一起吸收了他们的物理假说。
然而，那些物理假说却是和我所采用的看待事物的方式完全不一致
的，而我看到的一个目的就是，在那些愿意研究电的人们中，有些人通过 阅读这部论著将能看到还有另一种处理课题的方式，它同样适于用来解释 现象，而且，尽管它在某些地方可能显得不那么确定，但是我想它却更加 忠实地和我们的实际知识相对应，不论是在它所肯定的东西方面还是在它 姑予存疑的东西方面都是如此。
　　再者，从哲学观点看来，比较两种方法也是极其重要的。这两种方法 在解释主要的电磁现象方面都曾取得成功，而且都曾企图把光的传播解释 成一种电磁现象，而且已经算出了光的速度，但是，与此同时，关于实际 发生的是什么过程的基本观念，以及关于所涉及的量的多数次级观念，却 在两种理论中是大不相同的。
　　因此我就充当了一个倡导者而不是一个裁判者，而且只例示了一种方 法而没有力图对两种方法作出不偏不倚的描述。我毫不怀疑，我所说的德 国方法也将找到它的支持者，而且也将被人用一种和它的巧妙性相适应的 技巧来加以阐述。
　　我没有企图包罗万象地论述一切电现象、电学实验和电学仪器。想要 阅读有关这些课题的一切已知东西的学生可以从里夫教授（A.dela Rive）
　　
的《电学通论》（Jraitéd’Electricité）中得到很大的裨益，也可以从 若干德文论著中得到很大的裨益，例如维德曼（Wiedemann）的《动电学》
（Galvanismus），瑞斯（Riess）的《摩擦电》（Reibungselectricit?t） 和贝尔（Beer）的《静电学引论》（Einleitnng in die Electrostatik）， 等等。
　　我几乎把自己完全限制到了课题的数学处理方面，但是我愿意向学生 建议，在他了解（如果可能就要在实验上了解）了什么是所要观测的现象 以后，就应该仔细地阅读法拉第的《电的实验研究》。他将在那里找到某 些最伟大的电学发现和电学研究的一种严格地符合当时情况的历史论述。 这种历史论述是按照一种几乎不能再改进的顺序作出的，即使有关结果从 一开始就为已知也是不能再改进的了，而且那种论述是用那样一个人的语 言表达出来的，那个人把他的许多注意力献给了精确地描述科学操作及其 结果的方法①。
　　学习任何课题，阅读有关该课题的原始论著总是大有好处的，因为科 学总是当它处于新生状态时得到最完全的消化的。在法拉第的《研究》事 例中，这是比较容易的，因为那些研究是分开发表的，从而可以依次阅读。 如果我通过所写的任何东西可以帮助任一学生理解法拉第的思想模式和表 达模式，我就将认为那是我的主要目的之一的得以完成——那目的就是把 我自己在阅读法拉第的《研究》时所感到的同样的喜悦传播给别人。
现象的描述和每一课题的理论的初等部分，将在本论著所分四编中每
一编的头几章中被看到。学生将在这些章中找到足以给他以有关整个科学 的初步认识的材料。
每一编的较后各章讲述理论的较高深部分，讲述数字计算过程以及实
验研究的仪器和方法。 电磁现象和辐射现象之间的关系、分子电流的理论、以及关于超距作
用之本性的思索结果，是在下卷的最后四章中加以处理的。
杰姆斯·克勒克·麦克斯韦
1873 年 2 月 1 日

























① Life and Letters of Faraday,vol.i,p.395。

第二版 原序


　　当我应约阅读《电磁通论》第二版的校样时，印刷工作已经进行到第 九章了。该章的较大部分曾由作者进行了修订。
　　熟悉第一版的人们，通过和第二版的对比将看到麦克斯韦教授打算在 内容和课题处理方面进行多么重大的改变，以及他的过早逝世给这一版造 成了多大的损失。前面的九章在某些情况下完全重写了，增加了许多新材 料，而原先的内容也进行了重新编排和简化。
　　从第九章开始，这一版几乎只是前一版的重印。我擅自作出的改动只 是在可能有益于读者的地方插入一个数学推理的步骤，并在课题的一些部 分增加少数几条小注；在那些部分，我自己的或正在听我讲课的学生们的 经验证明进一步的阐明是必要的。那些增加的小注都用方括号括了起来。 我知道课题中有两个部分是教授曾经考虑很大地改动它们的处理的， 那就是导线网路中电传导的数学理论和线圈中感应系数的确定。在这些课 题方面，我没有发现自己能够根据教授的笔记对上一版形式下的著作进行 任何实质性的增补，而只增加了一个数字表，印在下卷的〔原〕第 317—
319 页上。这个表将被发现为在计算圆形线圈中的感应系数时甚为有用。 在一部具有如此独创性的著作中，而且它又包含着新结果的那么多细 节，在第一版中是不可能不出现少数几处差错的。我相信，人们将发现这 些差错在这一版中大多已经改正。我在表示这一希望时是有较大信心的， 因为在阅读某些校样时我曾得到某些熟悉这一著作的朋友们的协助，其中 我可以特别提到我的兄弟查尔斯·尼温（Chayles Niven）教授和剑桥三一
学院的院侣 J.J.汤姆孙先生。
W.D.尼温
1881 年 10月1日于剑桥三一学院

第三版 原序


　　我应克拉伦当出版社（Clarendon Press）各委员之邀承担了阅读这一 版的校样的任务；他们告诉我，使我很遗憾的是 W.D.尼温先生由于公务忙 迫，不能再负责照顾本书新版的出版问题了。
　　麦克斯韦著作的读者们应该感谢尼温先生花费在这些著作上的孜孜不 倦的劳动。因此我确信，他们也将像我自己一样遗憾，由于任何事物的干 与而使这一版无法从他的关注中得到裨益。
　　自从本书被撰写以来，到现在已经过了将近二十年了；在此期间，电 和磁的科学曾经得到进展，其进展之快几乎是在这些科学的历史中没有先 例的。这在不小的程度上是由于本书在这些科学中引入的那些概念：书中 的许多章节曾经起了重要研究的出发点的作用。当我开始校阅这一版时， 我的意图就是用小注来对自从第一版问世以来所作出的进展加以某种说 明，不仅由于我认为这将对电学的学生很有好处，而且也因为一切近来的 研究都曾倾向于以最为惊人的方式证实麦克斯韦所提出的观点。然而我很 快就发现，在科学中得到的进步已经是如此巨大，以致已经不可能实现这 一企图而不至用为数太多的小注来把本书弄得面目全非了。因此我决定把 这些小注排成一种稍许连贯的形式而把他们单独发表。这些小注现已整理 就绪，可以付印了，因此我希望他们在几个月之内就将问世。这个注释卷 就是我们所说的“补遗卷”。有关个别论点的少数几条可以简短处理的小 注已插入前两卷中。在这一版中增入的所有材料都用弯括号｛｝括了起来。 在解释某些段落中的论述方面，我曾经努力增补了一些材料；在那些 段落中，我曾经根据教学经验发现几乎所有的学生都会遇到颇大的困难； 要对我知道学生们遇到困难的所有段落增加解释就得增加太多的卷次，那
是我无法作到的。
　　我曾经试图验证麦克斯韦给出而未加证明的那些结果；我并没能作到 在一切事例中都得到他所给出的结果，在这种事例中我都用小注指明了差 别的所在。
我根据麦克斯韦的论文《电磁场的动力理论》重印了他确定一个线圈
的自感的方法。前几版中对这一内容的省略曾使这一方法多次被归功于别 的作者。
在准备这一版时，我曾经得剑桥圣约翰学院的院侣查尔斯·契瑞
（Charles Chree）先生的尽可能大的协助。契瑞先生读了全部的校样，而 且他的建议是无比宝贵的。我也曾经得到圣约翰学院的院侣拉莫尔
（Larmor）先生、卡文迪什实验室的演示员韦耳伯佛斯（Wilberforce）先 生和三一学院的院侣瓦耳克尔（G.T.Walker）先生的协助。
J.J.汤姆孙
1891 年 12 月 5 日 于卡文迪什实验室

绪论

量的测量


　　1.〕一个量的每一种表示式都包括两个因子或成分。其中一个成分就 是作为参照标准来表示该量的某一已知同类量的名称。另一个成分就是形 成所求之量对应该采取的标准量的倍数。标准量在技术上称为该量的单 位，而倍数则称为该量的数值。
　　有多少不同的要测的量，就必须有多少不同的单位，但是在所有的动 力科学中却可能用长度、时间和质量这三个基本单位来定义这许多单位。 例如，面积和体积的单位就分别定义为一个正方形和一个立方体，他们的 边长是一个长度单位。
　　然而，有时我们也见到同一类量的若干种建立在独立的考虑上的不同 单位。例如加仑即十磅水的体积被用作容积的单位，正如立方英尺被用作 这种单位一样。在某些情况下加仑可以是一种方便的单位，但它不是一个 系统的单位，因为它对立方英尺而言的数值不是一个确切的整数。
　　2.〕在构成一个数学体系时，我们假设长度、时间和质量的基本单位 已经给定，并根据这些单位而通过尽可能简单的定义来推出所有的导出单 位。
我们所求得的公式必须是这样的：任何国籍的一个人，通过把式中的
不同符号代成用他自己国家的单位测量的各量的数值，就将得到一个真确 的结果。
因此，在一切的科学研究中，最重要的就是要应用属于一个适当定义
的单位制的单位，并且要知道这些单位和基本单位的关系，以便我们可以 能够立刻把我们的结果从一个单位制换算到另一个单位制。
此事可以通过确定用三个基本单位表示的每一个单位的量纲来最方便
地作到。当一个给定的单位随三个单位中一个单位的 n 次方而变化，它就 叫做相对于该单位有 n 个量纲。
例如，科学上的体积单位总是其边为单位长度的一个立方体。如果长
度单位改变了，体积单位就将按长度的三次方而变化，于是体积单位就叫 做相对于长度单位有三个量纲。
关于单位量纲的知识提供一种检验，它应该应用于由任何冗长的研究
所得到的方程。这样一个方程中的每一项相对于三个基本单位中每一个单 位而言的量纲，必须是相同的。如果不相同，方程就是无意义的，从而它 必然含有某种差错，因为按照我们采用的任意单位制之不同，它的诠释将 是不同的①。

三个基本单位


3.〕(1)长度在我国[指英国]，适用于科学目的的长度标准是一英尺， 它是保存在财政部(Exchequer Chambers)中的标准码的三分之一。
在法国和采用了米制的其他各国，长度单位是米。在理论上，一米就



① 量纲的理论最初是由傅立叶提出的，见 Théorie de Chaleur,§160。

是从一极量到赤道的一条地球子午线的一千万分之一；但是在实用上，它 是保存在巴黎的一个原器的长度，该原器是由鲍尔达制成的，它在溶冰的 温度下对应于戴兰伯所测定的上述长度。米并不曾改变以适应于对地球的 新的和更准确的测量结果，而子午线的弧长却用原始的米来进行了估量。 在天文学中，从太阳到地球的平均距离有时被取作长度的单位。
　　在目前的科学状况下，我们所愿意采取的最普适的长度单位就是某种 特定的光在真空中的波长，那种光是由钠之类的高度分散的物质所发射 的，它在该物质的光谱中有很确定的波长。这样一个标准将和地球尺寸的 任何变化都无关，从而应该被那些指望自己的著作比地球更能持久的人们 所采用。
　　在处理单位的量纲时，我们将把长度的单位叫做[L]。如果ι是一个长 度的数值，它就被理解为是用具体的单位[L]来表示的，于是实际的长度就 将是由ι[L]来充分表示的。
　　4.〕(2)时间 在所有的文明国家中，时间的标准单位都是由地球绕轴 自转的时间得出的。恒星日，或地球的真实自转周期，可以通过天文学家 们的普通观察结果而很精确地定出；而且平均太阳日可以根据我们关于一 年的长度的知识而由恒星日推出。
一切物理研究中所采用的时间单位是平均太阳时的一秒。
　　在天文学中，一年有时被用作时间的单位。一个更加普适的时间单位 可以通过采用某种特定光的振动周期来求得，该种光的波长是长度的单 位。
我们将把具体的时间单位称为[T]，而时间的数值则是 t。
　　5.〕(3)质量在我国，质量的标准单位是保存在财政部中的常衡磅。常 常取作单位的格令定义为这种磅的 7000 分之一。
在米制中，质量单位是克。克在理论上是标准温度和标准压强下一立
方厘米的蒸馏水的质量，而在实用上则是保存在巴黎的一个千克原器的一 千分之一。
通过称量可以比较的物体质量的精确度，远大于迄今在长度的测量中
所达到的精确度，因此，如果可能，一切的质量都应该和标准单位直接比 较，而不是从关于水的实验来推出。
在描述天文学中，太阳的质量或地球的质量有时被取作单位，但是在
天文学的动力学理论中，质量的单位却是结合万有引力的事实而从时间和 长度的单位导出的。天文学的质量单位是那样一个质量，它吸引放在单位 距离处的另一物质而使之得到单位加速度。
在制订一个普适的单位制时，我们可以按这种办法从已经定义的长度 单位和时间单位来导出质量的单位，而在目前的科学状况下，我们可以在 一种粗略的近似下作到这一点。或者，如果我们指望①很快就能确定一种标 准物质的单一分子的质量，我们也可以等待这种确定的结果而暂不规定一 个普适的质量单位。



① 参阅 Prof.J.Loschmidt ，“Zur Gr(sse der Luftmolecule，”Academy of Vienna,Oct.12，1865；
G.J.Stoney.“The Internal Motion of Gases ，”phil.Mag.Aug. ，1868；以及 Sir W.Thomson，“The Size of
Atoms,”Nature,March31，1870.{并参阅 Sir W.Thomson，“The Size of Atoms,”Nature.V.28,pp.203,250，
274。}

　　在处理其他单位的量纲时，我们将用符号[M]来表示具体的质量单位。 质量单位将被看成三个基本单位之一。当像在法国制中那样把一种特定物 质即水取作密度的标准时，质量的单位就不再是独立的而是按体积单位即 按[L3]而变的了。
　　如果像在天文单位制中那样质量的单位是相对于引力本领而定义的， 则[M]的量纲是[L3T－2]。
因为，由一个质量 m 在一个距离 r 处引起的加速度由牛顿定律给出为
m 。假设这种外力在一段小时间t中作用在一个起初为静止的物体上
r 2
并使它移动一个距离 s，则由伽利略公式可得

1 2
s ? ft
2
2 s

? 1 m
2 r 2

t 2 ；

由此即得m = 2 r
t 2

。既然r 和s都是距离而t 是时间，这个方程就不可能

成立，除非 m 的量纲是[L3T2]。针对任何一个在某些项中而不是在一切项 中含有一个物体质量的天文学方程，也可以证明相同的结果①。

导出单位


　　6.〕速度的单位就是在单位时间内走过单位距离的那个速度。它的量 纲是[LT－1]。
如果我们采用从光的振动导出的长度和时间的单位，则速度的单位就
是光速。
　　加速度的单位就是速度在单位时间内增加 1 的那个加速度。它的量纲 是[LT－2]。
密度的单位是在单位体积内含有单位质量的一种物质的密度。它的量
纲是[ML－3]。 动量的单位就是以单位速度运动着的单位质量的动量。它的量纲是
[MLT－1]。
力的单位就是在单位时间内产生单位动量的力。它的量纲是[MLT－

2]。


这是力的绝对单位，而且这一定义是暗含在动力学的每一个方程中

的。不过，在载有这些方程的许多书中，却采用了另一种力的单位，那就 是质量的国家单位的重量。于是，为了满足方程，质量的国家单位本身就 被放弃而改用了一个动力学单位，该单位等于国家单位除以当地的重力强 度的值。按照这种方法，力的单位和质量的单位就都被弄得依赖于随地点 而不同的重力强度的值了，因此，涉及这些量的那些说法就是不完全的， 如果不知道各该说法发现为成立的那些地点的引力强度的话。


① 如果取厘米和秒作为单位，则按照白利重作的卡文迪什实验，质量的天文单位约是 1.537×107 克，
或 15.37 吨。白利按照他的所有实验的平均结果，把地球的平均密度取作了 5.6604，而联系到所用的 地球尺寸和地面上的引力强度，就作为实验的直接结果而得到了上述的值。{科纽重新计算了白利的结 果，得到的地球平均密度是 5.55，从而质量的天文单位是 1.50×107 克；而科纽本人的实验则给出地球 的平均密度 5.50，质量的天文单位为 1.49×107 克。｝

　　对于一切科学目的来说，这种量度力的方法的被废除主要是由于高斯 引用了一种在重力强度不同的各国进行磁力观测的普遍制度。现在所有这 样的力都是按照一种从我们的定义推得的严格动力学的方法来量度的，从 而其数值不论在什么国家作实验都是相同的。
　　功的单位就是单位力通过沿其本身方向测量的单位距离时所作的功。 它的量纲是[ML2T－2]。
　　作为体系作功本领的体系能量，通过体系耗尽全部能量所能作的功来 量度。
　　其他量的定义，以及他们所涉及的单位，将在我们用到他们时再行给 出。
　　在把用一种单位测定的物理量的值换算成用种类相同的任何其他单位 来表示时，我们只须记得一点，即量的每一个表示式都包含两个因子，即 单位和表示应取多少个单位的那个数字。由此可知，数字部分是反比于单 位的大小而变化的，也就是反比于导出单位之量纲所指示的各基本单位之 不同幂次而变化的。物理的连续性和不连续性
　　7.〕一个量被说成是连续变化的，如果当从一个值变到另一个值时它 将采取一切中间值。
我们可以从一个质点在时间和空间中的连续存在的考虑得到关于连续
性的观念。这样一个质点不能从一个位置过渡到另一个位置而并不在空间 中描绘一条连续的线，从而它的位置的座标必然是时间的连续函数。
在有关水力学的论著中给出的所谓“连续性方程”中，所表示的事实
就是：物质不能在一个体积元中出现或消失而并不通过体积元的各边进入 或逸出。
一个量被说成是它的各变量的连续函数，如果当各变量连续变化时该
量本身也连续地进行变化。
例如，如果 u 是 x 的一个函数，而且当 x 从 x。连续地变到 x1 时 u 从
u0 连续地变到 u1，但是当 x 从 x1 变到 x2 时，u 却从 u1＇变到 u2，而 u1＇
不等于 u1，这时 u 就被说成在 x＝x1 值处对它对 x 而言的变化中有一种不
连续性，因为当 x 连续地通过 x1 时 u 却突然地从 u1 变到 u1＇。
如果我们把 u 在值 x＝x1 处对 x 而言的微分系数看成令 x2 和 x0 都无限
趋近于 x1 时的分数
u2 ? u0
x2 ? x0
的极限,那么,如果 x0 和 x2 永远位于 x1 的两侧，则分子的最终值将是 u1＇
—u1，而分母的最终值将是零。如果 u 是一个物理上连续的量，则不连续
性只能针对变量 x 的个别值而存在。在这种情况下我们必须承认，当 x＝
x1 时 u 有一个无限大的微分系数。如果 u 并不是物理上连续的，则它是完
全不可微的。 在物理问题中，有可能消除不连续性这一概念而不致很显著地改变事
例的条件。如果 x0 只比 x1 小一点点而 x2 只比 x 大一点点，则 u0 将很近似
地等于 u1 而 u2 将很近似地等于 u1＇。现在我们就可以假设 u 在界限 x0 和
x2 之间以一种任意的然而却是连续的方式从 u0 变到 u2。在许多物理问题

中，我们可以从这样的一种假设开始，然后再研究当令 x0 和 x2 的值都趋近
于 x1 的值并终于达到该值时的结果如何。如果结果不依赖于我们所设的 u
在二界限间的任意变化方式，则可以假设当 u 为不连续时结果也是真确 的。

多变数函数的不连续性


　　8.〕如果我们假设除 x 以外所有变数的值都是恒定的，则函数的不连 续性可以相对于 x 的特殊值而出现，而且这些特殊值是通过一个方程来和 其他各变数的值相联系的；我们可以把这个方程写成
φ＝φ（x，y，z，?）＝0.
不连续性将在φ＝0 时出现。当φ为正时，函数将具有 F2(x，y，z，? )
的形式。当φ为负对，函数将具有 F1(x，y，z，?)的形式。形式 F1 和 F2
之间不一定有什么必要的关系。 为了用一种数学形式来表示不连续性，设其中一个变数例如 x 被表示
成φ和其他变数的函数，并设 F1 和 F2 被表示成 x、y、z 等等的函数。现在
我们可以用任何一个公式来表示函数的普遍形式，只要那个公式当φ为正 时明显地等于 F2 而当φ为负时明显地等于 F1。这样一个公式如下：
F ? en? F
F ? 1 2 .
1? en? ?
只要 n 是一个有限的量，不论它多么大，F 都将是一个连续函数。但
是如果我们令 n 变为无限大，则当φ为正时 F 将等于 F2 而当φ为负时 F 将
等于 F1。

连续函数的导数的不连续性


　　一个连续函数的一阶导数可以是不连续的。设出现导数之不连续的各 变数之值由方程
φ＝φ(x，y，z?)＝0
来联系，并设 F1 和 F2 用φ和 n—1 个其他变数例如(x，z，?)表示出
来。
于是，当φ为负时，应取 F1，而当φ为正时，应取 F2；而且，既然 F
本身是连续的，当φ为零时就有 F1＝F2。


因此，当φ为零时，导数

dF1 和
d?

dF2 可能不相同，但是对其他变数的导
d?


数，例如

dF2 和
dy

dF2 却必然相同。因此，不连续性只限制在对φ的导数
d?

上，而所有其他的导数都是连续的。

周期函数和多重函数

9.〕如果 u 是 x 的一个函数，而且它的值在 x、x＋a、x＋na 以及一

切相差为 a 的 x 值处都相同，u 就叫做 x 的一个周期函数，而 a 就叫做它 的周期。
如果 x 被看成 u 的一个函数，则对于一个给定的 u 值，必有彼此相差
为 a 的倍数的一系列无限多个 a 值。在此情况下，x 就叫做 u 的一个多重 函数，而 a 就叫做它的循环常数。
对应于一个给定的u 值，微分系数 dx 只有一系列有限个值。
　　　du

物理量和空间方向的关系


　　10.〕在区分物理量的种类时，很重要的就是要知道各物理量和我们通 常用来定义物体之位置的那些座标轴的方向是如何联系的。笛卡尔在几何 学中引用座标轴，是数学进步中最大的步伐之一，因为这就把几何学的方 法简化成了关于数字量的计算。一个点的位置被弄成了依赖于永远沿确定 方向画出的三条线的长度，而两点之间的连线也类似地被看成了三条线段 的合成量。
　　但是，对于物理推理的许多目的来说，不同于计算，却很有必要避免 明白地引入笛卡尔座标，并把思想一举而固定在一个空间点上而不是它的 三个座标上，固定在一个力的大小和方向上而不是它的三个分量上。这种 考虑几何量和物理量的模式是比另一种模式更加原始和更加自然的，尽管 和它相联系着的那些概念直到哈密顿通过发明他的四元数算法①而在处理 空间方面迈出又一大步时才算得到了充分的发展。
因为笛卡尔方法仍是学习科学的人们所最熟悉的方法，也因为这种方
法对计算的目的来说确实是最有用的，所以我们将在笛卡尔的形式下表述 我们所有的结果。然而我却确信，关于四元数的概念而不是它的运算及方 法的引入，在我们的课题之一切部分的研究中都将是大有用处的；尤其是 在电动力学中，我们在那里将必须对付若干物理量，而他们彼此之间的关 系可以用哈密顿的少数几个表示式来表示，比用普通的方程要简单得多。
11.〕哈密顿方法的最重要特色之一，就在于把各个量区分为标量和矢
量。
　　一个标量可以通过单独一个数字的指定来完全地定义。它的数值并不 以任何方式依赖于我们所取的各座标轴的方向。一个矢量或有向量要求用 三个数字的指定来定义它，而这些数字可以最简单地理解为参照了各座标 轴的方向。标量不涉及方向。一个几何图形的体积、一个物质体的质量和 能量、流体中一点处的流体静力学压强、以及空间中一点处的势，就是一 些标量的例子。
　　一个矢量既有量值又有方向，而且当它的方向反转时它的正负号也反 转。一个点的位移用从初位置到末位置一段直线来代表。这就可以看成典 型的矢量，而事实上矢量一词正是由此得来的。
一个物体的速度、它的动量、作用在它上的力、一个电流、一个铁粒 子的磁化强度，就是矢量的一些例子。



① ｛关于四元数的初等论述，读者可以参阅 Kelland and Tait 的“Introduction to Quater－nians”，Tait
的“Elementary Treatise on Quaternians”，以及 Hamilton 的“Elements of Quater－nians”。｝

　　还有另一种物理量，他们是和空间中的方向有关的，但他们不是矢量。 固体中的胁强和胁变就是这种量的例子，在弹性理论和双折射理论中考虑 到的物体的某些件质也是这种量的例子。这一类量要用九个数字的指定来 定义。他们在四元数的语言中是用一个矢量的线性矢量方程来表示的。
　　一个矢量和另一个同类矢量的相加，按照静力学中所给出的力的合成 法则来进行。事实上，泊松所给出的关于“力的平行四边形”的证明是适 用于任何那种方向的反转就相当于变号的量的。
　　当我们想要用单独一个符号来代表一个矢量并使人们注意到它是一个 矢量从而我们必须既考虑它的量值又考虑它的方向这一事实时，我们将用 一个德文大楷字母来代表它，例如■，■，等等。
　　在四元数算法中，一个点在空间中的位置用一个矢量来定义，该矢量 从一个叫做原点的定点画到该点。如果我们必须考虑其值依赖于点的位置 的任一物理量，那个量就被看成从原点画起的那个矢量的一个函数。函数 本身可以是标量也可以是矢量。一个物体的密度、它的温度、它的流体静 力学压强、一个点上的势，就是标量函数的例子。一个点上的合力、流体 中一点上的速度、流体的一个体积元的转动速度以及引起转动的力偶矩， 就是矢量函数的例子。
12.〕物理矢量可以分成两类。一类矢量是参照一条直线来定义的，而
另一类矢量是参照一个面积来定义的。 例如，一种吸引力在任一方向上的合力通过求得它在一个物体沿该方
向移动一小段距时对物体所作的功并除以该段距离来加以量度。在这里，
吸引力就是参照一条直线来定义的。 另一方面，固体中任一点上沿任一方向的热通量可以通过求得流过垂
直于该方向的一个小面积的热量并除以该面积和时间来加以量度。在这
里，通量就是参照一个面积来定义的。 也有某些情况，一个量既可以参照一个面积又可以参照一条直线来加
以量度。
　　例如，在处理弹性固体的位移时，我们可以把自己的注意力集中到一 个质点的原始位置和实际位置上。在这种情况下，质点的位移就是由从第 一个位置画到第二个位置的直线来量度的。或者，我们也可以考虑固定在 空间中的一个小面积，并确定在位移过程中有多大数量的固体物质通过了 那个面积。
同样，一种流体的速度可以参照着各个质点的实际速度来加以研究，
也可以参照着通过任一固定面积的流体数量来加以研究。 但是，在这些情况下，我们要求分别地既知道位移或速度又知道物体
的密度，以便应用第一种方法，而一旦我们企图形成一种分子理论，我就 必须应用第二种方法了。
　　在电的流动事例中，我们根本不知道有关导体中的电密度或电速度的 任何东西，我们只知道按照流体理论将对应于密度和速度之乘积的那个 值。因此，在所有的这种事例中，我们必须应用测量通过面积之通量的那 种更普遍的方法。
　　在电科学中，电动强度和磁强度属于第一类，他们是参照直线来定义 的。当我们想要指明这一事实时，我们可以把他们叫做“强度”。
另一方面，电感和磁感，以及电流，却属于第二类，他们是参照面积

来定义的。当我们想要指明这一事实时，我们将称他们为“通量”。 这些强度中的每一种强度，都可以被认为可以产生或倾向于产生它的
对应通量。例如，电动强度在导体中产生电流，而在电介质中则倾向于产 生电流。它在电介质中产生电感，而且或许在导体中也产生电感。在同样 的意义上，磁强度产生磁感。
　　13.〕在某些事例中，通量简单地正比于强度并和强度同向，但是在另 一些事例中我们只能断定通量的方向和量值是强度的方向和量值的函数。 通量的分量是强度分量的线性函数的事例将在关于传导方程的一章的
第 297 节中加以讨论。一般共有九个系数，确定着强度和通量之间的关系。 在某些事例中，我们有理由相信其中六个系数形成三对相等的量。在这样 的事例中，强度的方向直线和通量的垂直平面之间的关系属于椭球体的半 直径和它的共轭径平面之间的关系那一类。在四元数的语言中，一个矢量 被说成是另一矢量的线性矢量函数，而当存在三对相等的系数时，该函数 就被说成是自轭的。
　　在铁中的磁感事例中，通量（铁的磁化）不是磁强度的线性函数。然 而，在任何情况下，强度和通量在其方向上的分量的乘积都给出一个很有 科学重要性的结果，而且这个乘积永远是一个标量。
14.〕有两种适用于这两类矢量或向量的常常出现的数学运算。
　　在强度的事例中，我们必须沿着一条线计算线元和强度在线元方向上 的分量的乘积的积分。这种运算的结果叫做强度的线积分。它代表沿该线 对物体作的功。在某些事例中，线积分不依赖于线的形状而只依赖于它的 两个端点的位置，这种线积分叫做势。
在通量的事例中，我们必须在一个曲面上计算通过每一面积元的通量
的积分。这种运算的结果叫做通量的面积分。它代表通过曲面的量。 有些曲面上没有通量。如果两个这样的曲面相交，则它们的交线是一
条通量线。在通量和力同向的那些事例中，这样一种线常常被称为力线。
然而，更正确的办法是在静电学和磁学中把他们叫做感应线，而在动电学 中把他们叫做流线。
15.〕还有另一种不同种类的有向量之间的区别；这种区别虽然从物理
观点看来是很重要的，但是对数学方法的目的来说却是不必考虑的。这就 是纵向性质和旋转性质之间的区别。
一个量的方向和量值可以依赖于完全沿着某一条线而出现的某种作用
或效应，或者，它可以依赖于其本性为以该线为轴的转动的某种东西。不 论有向量是纵向的还是旋转的，他们的合成定律都是相同的，因此在这两 类量的数学处理方面并没什么不同，但是却可能有一些物理情况指示着我 们必须把一种特定的现象归入哪一类中。例如，电解就是某些物质沿着一 条线向一个方向传递，而另一些物质则向相反的方向传递。这显然是一种 纵向现象，而且不存在关于绕着力的方向的任何转动效应的证据。因此我 们就推测，引起或伴随着电解现象的电流，是一种纵向的而不是旋转的现 象。
　　另一方面，一个磁体的南极和北极，并不像在电解过程中出现在对面 位置上的氧气和氢气那样地彼此不同，因此我们并没有磁性是一种纵向现 象的证据，而磁性使平面偏振光的偏振面发生转动的效应却清楚地表明磁
　　
性是一种旋转现象①。


关于线积分


　　16.〕一个矢量沿一条线的分量的积分，这种运算在物理科学中是普遍 重要的，从而应该清楚地加以理解。
设 x、y、z 是一条线上一点 P 的座标，而从某点 A 量起的线的长度是
s。这些座标将是单一变数 s 的函数。
　　设 R 是一个矢量在 P 点上的数值，并设 P 点处曲线的切线和 R 的方向 成一个角度?，则 Rcos?就是 R 沿曲线的分量，而积分
s
L = ?0Rcos ?ds
就叫做 R 沿曲线 s 的线积分。 我们可以把这一表示式写成
s dx dy dz
L ? ? (X ? Y ? Z )ds，

0 ds

ds ds

式中 X、Y、Z 分别是 R 平行于 x、y、z 的分量。 一般说来，这个量对于在 A、P 之间画出的不同曲线来说是不 同的。然而，当在某一区域内量
Xdx＋Ydy＋Zdz＝－DΨ
时，也就是说当它在在该区域中是一个全微分时，L 的值就变为 L＝ΨA－ΨP，
　　而且对 A 和 P 之间的路径的任何两种形式来说都是相同的，如果一种 形式可以通过连续的运动来变成另一种形式而不必越出这一区域的话。

关于势


　　量Ψ是点的位置的一个标量函数，从而是不依赖于各参照方向的。它 叫做势函数，而分量为 X、Y、Z 的矢量被说成具有一个势Ψ，如果
X ? ?? d? ? ，Y ? ? ? d? ? ，Z ? ? d? ?
? ? ? ? ? ?

? dx ?

? dy ?

? dz ?

　　当存在一个势时，势为常数的那种曲面就叫做等势面。在这种面上的 任一点上，R 的方向和该面的法线相重合，而如果 n 是 P 点上的一条法线，
则R = - d? 。
dn
把一个矢量的各分量看成某一座标函数对这些座标的一阶导
数的方法，是由拉普拉斯在他关于引力理论的论著中发明的①。势这个



① {一定不要以为这就意味着，在假设电现象和磁现象是由一种媒质的运动所引起的任何一种理论中，
电流就必然起源于平移运动而磁力必然起源于旋转运动。例如，也有一些旋转效应是和电流联系着的， 例如，一个磁极会绕着它转动，而且也很可能的是，如果静电现象在其中有其根源的那种媒质在它的 内部各处有一个分量为 f、g、h 的电位移并且是以速度 u、v、w 而转动的，它就将是一个磁力的根源， 其分量分别是 4π(wg－vh)、4π(uh－wf)、4π(vf－ug)；于是，在这一事例中，一种平移运动就能产 生一个磁场。PhilMag.July ，1889.}

名称是首先由格林赋予这个函数的②，他把这个函数当成了处理电学问题的 基础。格林的著作直到 1846 年都没有受到数学家们的重视，而在 1846 年 以前，大多数它的重要定理都已经被高斯、查斯耳斯、斯图尔姆和汤姆孙③ 所重新发现了。在引力理论中，势和此处所用的函数异号，从而任意方向 上的合力就是由势函数沿该方向的增加率来量度的。在电和磁的研究中， 势被定义得使任意方向上的合力由势在该方向上的减少率来量度。这种使 用表示式的办法使它可以和势能的正负号相适应，因为当物体沿着作用在 它上面的力的方向运动时势能总是减小的。
　　17.〕势和由它如此导出的矢量之间的关系的几何学本性，通过哈密顿 发现算符形式而得到了很大的澄清；利用这种算符，可以由势导出矢量。 正如我们已经看到的那样，矢量沿任何方向的分量，就是势对沿该方
向画出的一个座标的一阶导数并变号。
现在，如果 i、j、k 是互相垂直的三个单位矢量，而 X、Y、Z 是矢量
?平行于这些矢量的分量，就有
?＝iX＋jY＋kZ；(1) 而按照我们以上的说法，如果Ψ是势，就有

? d?
? = -? i
? dx

? j d?
dy

d? ?
? k ? .(2)
dz ?

现在，如果我们用?代表下列算符：

i d ? j d
dx dy
就有

+ k d ，
dz


(3)

　　　　　　　　　　　　　?＝－?ψ.(4) 算符可以诠释为指示我们，沿着三个正交的方向测量Ψ的增加率，然后把 这样求得的各量看成矢量，并把他们合成起来成为一个量。这就是表示式 (3)指示我们所要作的。但是我们也可以认为它是指示我们首先找出Ψ在哪 个方向上增加得最快，然后沿着那个方向画出一个矢量来表示这一增加 率。
拉梅先生在他的《论反函数》(Traité des Fonction Inverses)一书
中用了微分参数一词来代表这个最大增加率的量值，但是不论这一名词还 是拉梅应用它的方式都不曾指示这个量既有大小又有方向。在少数情况下 我将必须把这一关系说成纯几何的关系，那时我将把矢量?叫做标量函数 Ψ的空间改变量，用这种说法来既指示Ψ的最快增加率的大小，又指示其 最快增加的方向。
18.〕然而，在某些事例中， Xdx＋Ydy＋Zdz 是一个全微分的条件
dZ ? dY ? 0，dX ? dZ ? 0，以及dY ? dX ? 0

dY dz

dz dz

dx dy

在某一个空间域中到处都能满足，但是在两条线上从 A 到 P 的线积分却可



① M éc.Céleste,liv.iii。
② Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electrioitv and Magnetism，
Nottingham，1828.重印于 Crelle’s Journal，并重印于 Mr.Ferrers’edition of Green’s Works.
③ Thomson and Tait ，Natural Philosophy,§483.

以不同，而其中每一条线又完全位于该域之内。如果域呈环形，而从 A 到
P 的两条线通过了环的对面段，那就会是这种情况。在这种情况下，一条 路径并不能通过不越出域外的连续运动而转变成另一条路径。
　　在这儿，我们被引导到了属于“位置几何学”的考虑；这一课题的重 要性虽已由莱布尼兹指出并由高斯例示，但是该课题还几乎没被研究过。 这一课题的最完全的处理已由 J.B.李斯廷给出①。
　　设空间中有 p 个点，并设画了ι条任意形状的连接着这些点的线，使 得没有任何两条线相交，而且没有一个点被孤立地留下来。我们将由一些 线这样构成的图形叫做一个“图式”（Diagram）。在这些线中，p—1 条 线已经足以把 p 个点连成一个连接体系了。每一条新线都完成一条圈线或 闭合路径，或者，我们将把它叫作回路。因此，图式中的回路数目就是 k
＝ι—p＋1。 沿着图式中的那些线画出的任何闭合路径，都是由这些独立的回路构
成的，其中每一回路都可以被走过任何多次，而且是沿任何方向。 回路的存在叫做“环流性”，而图式中的回路的数目则叫做“接圆数”。

曲面上和空间域中的环流性


　　曲面或完全或有界。完全曲面或无限或闭合。有界曲面是以一个或多 个闭合曲线为边界的，而闭合曲线在极限情况下可以变成有限的双线或变 成点。
一个有限的空间域是以一个或多个闭合曲面为边界的。其中一个是外
表面，其余各曲面都被表面所包围而且互不相交，他们被称为内表面。 如果域只有一个边界面，我们就可以假设那个表面向内收缩而不打破
其连续性或和自己相交。如果域是一个简单连续域，例如一个球，这一过
程就可以继续进行直到域收缩成一个点。但是，如果域是多连通的，则收 缩的结果将是一个曲线图式，而图式的接环数也就是域的接环数。域外的 空间和域本身具有相同的接环数。因此，如果域是既由外表面又由内表面 所限定的，则它的接环数就是所有各表面的接环数之和。
当一个域的本身中包括了其他的域时，它就叫做一个“回绕域”
（Periphractic region）。 一个域的内表面的数目，叫做它的回绕数。一个闭合曲面也是回绕的，
它的回绕数为 1。
　　一个闭合曲面的接环数是它所包含的各域中的任一域的接环数的二 倍。为了求得一个有界曲面的接环数，设想一切边界线都向内收缩而不打 破其连续性，直到收缩得相遇为止。这时，在非循环曲面的事例中曲面收 缩成一个点，而在循环曲面的事例中则它将变成一个曲线图式。
图式的接环数就是曲面的接环数。
19.〕定理一 如果在一个非循环域中到处都有 Xdx＋Ydy＋Zdz＝－DΨ，
则沿着域内任一路径所取的从点 A 到点 P 的线积分之值都相同



① Der Census Raümlicher Complere，G(tt,Abh.，Bd.x.S.97(1861).｛关于对物理目的来说是必要的那些多
连通空间的性质的一种初等论述，见 Lamb，TreatiseontheMotionofFluids，p.47｝


我们首先将证明，沿着域内任一闭合路径所求的线积分为零。设各等
势面已被画出。他们全都不是闭合曲面就是完全被域的表面所限定的，因 此，如果域内的一条闭合曲线在它的行程的任何部分和任何等势面相交， 则它必将在行程的某一其他部分沿相反的方向和同一等势面相交，而既然 线积分的对应部分相等而异号，总的值就是零。
　　于是，如果 AQP 和 AQ＇P 是从 A 到 P 的两条路径，则沿 AQ＇P 的线积 分就是沿 AQP 的和沿闭合路径 AQ＇PQA 的线积分之和。但是沿闭合路径的 线积分是零，从而沿两条路径的线积分就是相等的。
20.〕定理二 如果在一个循环域中方程 Xdx＋Ydy＋Zdz＝－DΨ
到处得到满足，则沿着在域内画出一条曲线从 A 到 P 的线积分一般并不是确定 的，除非 A 和 P 之间的交通渠道已经指定。
　　设 N 是域的接环数，则我们可以用一些称之为屏障的曲面将域分成 N 部分，以封住 N 条交通渠道并把域简化到非循环的情况而并不破坏它的连 续性。
　　根据上述定理，沿着一条并不和任何这些屏障相交的曲线计算的从 A 到任一点 P 的线积分将有定值。
现在设 A 和 P 被取得彼此无限靠近但却位于一个屏障的两侧，并设 K
是从 A 到 P 的线积分。
　　设 A＇和 P＇是位于同一屏障两侧的彼此无限靠近的另外两个点，并设 K＇是从 A＇到 P＇的线积分。于是就有 K＇＝K。因此，如果我们画出接近 重合的然而却位于屏障两侧的 AA＇和 PP＇，则沿着这两条线的线积分将相 等①。设每一线积分等于 L，则沿 A＇P＇的线积分 K＇等于沿 A＇A＋AP＋ PP＇的线积分，即等于－L＋K＋L＝K＝沿 AP 的线积分。
因此，沿着一条按给定方向通过体系的一个屏障的闭合曲线的线积分
是一个常量 K。这个量叫做对应于所给回路的循环常量。 设在域内画一条任意的闭合曲线，设它沿着正方向通过 p 次第一回路
的屏障，并沿着负方向通过 p＇次。设 p－p＇＝n1。于是沿这条闭合曲线
的线积分就将是 n1p1。
同理，任意闭合曲线上的线积分将是
n1K1＋n2K2＋?＋nsKs,
式中 ns 代表曲线沿正方向通过回路 S的屏障的次数减去它沿负方向通过该
屏障的次数而得的余额。 设有两条曲线。若其中一条可以通过连续的运动且在任何时候都不通
过势的存在条件不成立的任何空间部分而转换成另一条，则这两曲线叫做 “可调和的”曲线。不能实现这样的转换的曲线叫做“不可调和的”曲线②。 Xdx＋Ydy＋Zdz 在某一域的所有各点上都是某一函数Ψ的全微分的条 件，在若干物理研究中是出现的。在那些研究中，有向量和势具有各种不
同的物理诠释。



① {因为 X、Y、Z 是连续的。}
② 见 Sir W. Thomson,“On Vortex Motion”,Trans.R.S.Edin.,1867－8

　　在纯运动学中，我们可以假设 X、Y、Z 是一个连续物体中某一点的位 移分量，该点的原始座标为 x、y、z。于是，上述条件就表明这些位移构 成一种非转动的胁变③。
　　如果 X、Y、Z 代表一种流体在点 x、y、z 上的速度分量，则上述条件 表明流体的运动是非转动性的。
　　如果 X、Y、Z 代表点 x、y、z 上的分力，则上述条件表示：当一个质 点从一点运动到另一点时，力对该质点作的功是这两点上的势差，而且这 一势差的值对两点之间一切可调和的路径来说都是相同的。

关于面积分

21.〕设 dS 是一个曲面上的面积元，而 e 是向曲面的正方向画出的一
条法线和矢量R 之间的夹角，则? ? Rcos ?dS
叫做 R 在曲面 S 上的面积分①。
　　定理三 通量指向一个闭合曲面内部的面积分，可以表示成在曲面内 部所求敛度的体积分。（见第 25 节。）设 X、Y、Z 是 R 的分量，并设 l、 m、n 是 S 的外向法线的方向余弦，则 R 在 S 上的面积分是
? ? R cos ?dS ? ? ? XldS ? ? ? YmdS ? ? ? ZndS，(1)
式中 X、Y、Z 的值是在曲面上一个点上的值，而积分则遍及整个曲面。 如果曲面是闭合的，则当 y 和 z 为给定时座标 x 必有偶数个值，因为
平行于 x 的一条线必将以相等的次数进入和离开所包围的空间，如果它和
曲面相交的话。 在每一个进入点上，有
　　　　　　　　　　　　　　　　ldS＝－dydz,
而在每一个离开点上，则有
ldS＝dydz
设有一点从 x＝－∞运动到 x＝＋∞，第一次当 x＝x1 时进入此空间，
而当 x＝x2 时离开此空间，余类推。再设 x 在这些点上的值是 X1、X2 等等，
则有
? ? XldS ? ?? ? {(X1 ? X 2 ) ? (X 3 ? X 4 ) ? ?? ( X2 n?1 ? X 2 n )}dydz.(2)
如果 X 是一个连续的量，而且在 x1 和 x2 之间没有无限大的值，则有
x2 dX
X - X = ? dx ；(3)
2 1 1 dx
式中的积分从第一个交点算到第二个交点，也就是沿着位于闭合曲面内部 的那一段 x 计算。把所有位于闭合曲面内部的线段都考虑在内,我们就得到
dX
? ? XldS ? ? ? ? dx dxdydz，(4)
这里的双重积分限制在闭合曲面上，但是三重积分则遍及整个被包围
的空间。因此，如果 X、Y、Z 在一个闭合曲面 S 的内部是连续的和有限的，



③ 见 Thomson and Tait ，“Natural Philosophy”,§190(i)
① {在以下的研究中，法线的正方向指向曲面的外面。}

则 R 在该曲面上的总的面积分将是


R cos ?dS ?

? dX ? dY ? dZ ? dxdydz，(5)

?
? dx

?
dy dz ?

式中的三重积分遍及 S 内部的整个空间。
其次让我们假设 X、Y、Z 在闭合曲面内部是连续的，然而在某一个曲
面 F(x,y,z)＝0 上，X、Y、Z 的值却从反面的 X、Y、Z 突然变成正面的 X＇、 Y＇、Z＇。
如果这种不连续性出现在例如 x1 和 x2 之间，则 X2－X1 的值将是
x2 dX
? dx ? (X ? ? X) ，(6)
x1 dx
此处在积分号下的表示式中只计及 X 的导数的有限值。 因此，在这一事例中，R 在闭合曲面上的总面积分将是
? dX dY dZ ?
? R cos ?dS ? ? ? ? ? ? dxdydz ? ? ? (X ? ? X)dydz

?
? ? dx

?
dy dz ?

? ? ? (Y ? ? Y)dzdx ? ? ? (Z ? ? Z)dxdy；(7)
或者，如果 l＇、m＇、n＇是不连续性曲面的法线的方向余弦，而 dS＇是 曲面的面积元，则有
? dX dY dZ ?
? ? R cos ?dS ? ? ? ? ? ? dxdydz ? ? ? {l ?(X ? ? X)dydz

?
? dx

?
dy dz ? 式 中

? m?(Y ? ? Y) ? n? (Z? ? Z)}dS? ，(8)
最后一项的积分是在不连续性曲面上计算的。如果在 X、Y、Z 为连续的每 一点上都有
dX ? dY ? dZ ? 0，(9)
dx dy dz
而且在他们为不连续的每一个曲面上都有 l＇X＇＋m＇Y＇＋n＇Z＇＝l＇X＇＋m＇Y＇＋n＇Z＇，(10) 则每一个闭合曲面上的面积分都为零，而矢量的分布就被说成是“管状
的”。
　　我们将把方程(9)叫做“普遍管状条件”，而把方程(10)叫做“表面管 状条件”。
22.〕现在让我们考虑在曲面 S 内部的每一点上方程
dX ? dY ? dZ ? 0，(11)
dx dy dz
　　都得到满足的那种事例。作为这一点的后果，我们有每一个闭合曲面 上的面积分都为零。
现在设闭合曲面 S 由三个部分 S1、S0 和 S2 组成。设 S1 是由一条闭合
曲线 L1 包围着一个任意形状的曲面。设 S0 是通过从 L1 的每一点上画出永
远和 R 方向一致的线而形成的曲面。如果 l、m、n 是曲面 S0 的任一点上的
法线的方向余弦，我们就有 Rcos?＝Xl＋Ym＋Zn＝0，(12)
因此曲面的这一部分对面积分的值并无任何贡献。

设 S2 是由闭合曲线 L2 包围着的另一个任意形状的曲面，而 L2 是 S2 和
S0 的交线。
设 Q1、Q0、Q2 是曲面 S1、S0、S2 上的面积分，而 Q 是闭合曲面 S 上的
面积分。于是



而我们知道


从而就有

Q＝Q1＋Q0＋Q2＝0(13)

Q0＝0;(14)

Q2＝－Q1;(15)

换句话说，曲面 S2 上的面积分和 s1 上的面积分相等而异号，不论 S1
的形状和位置如何，只要中间曲面 S0 是到处和 R 相切的就行。
如果我们假设 L1 是一个面积很小的闭合曲线，S0 就将是一个管状的曲
面，而且它具有这样的性质：管子的每一个完全截面上的面积分都相同。 既然如果
dX ? dY ? dZ ? 0，(16)
dx dy dz
　　则整个空间都可以划分成一些这样的管子，和这一方程相容的一种矢 量分布就叫做“管状分布”。

关于流管和流线


　　如果空间被分成一些管子，而每一个管子的面积分都为 1，则各管称 为“单位管”，而由一条闭合曲线 L 所包围的任一有限曲面 S 上的面积分 就等于沿正方向通过 S 的这种管子的数目，或者换句话说，就等于穿过闭 合曲线 L 的这种管子的数目。因此，S 上的面积分只依赖于 S 的边界 L 的 形状，而不依赖于边界所围成的曲面的形状。

关于回绕域

如果在外面由单独一个闭合曲面 S 所包围的整个域中，管状条件
dX ? dY ? dZ ? 0，
dx dy dz
　　到处都是满足的，则在域内画出的任何闭合曲面上，面积分都将是零， 而一个有界曲面上的面积分则只取决于形成该面积之边界的那条闭合曲线 的形状。
　　然而，如果管状条件在其中为满足的那个域不是由单独一个曲面所包 围的，则通常并不能得到同样的结果。
　　因为，如果它是由多于一个连续曲面包围而成的，则其中一个曲面是 外表面，而其余的都是内表面，从而域就是回绕的，在它内部有另一些域 被它所完全包含在内。
在其中一个这种被包含的域中，例如在由闭合曲面 S1 所包围的域中，
如果管状条件并不满足，则可以令

Q1 ＝? ? RcosedS1
等于包围这个域的曲面上的面积分，并令 Q1、Q2 等等等于其他被包含
域的曲面 S1、S2 等等上的对应量。
　　于是，如果在 S 内部画一个闭合曲面 S＇，则只有当 S＇不包含任何被 包含域 S1、S2 等等时，S＇上的面积分的值才将是零。如果它包含了任何 的这种域，则面积分是位于它内部的不同被包含域上的面积分之和。
　　同理，在以一条闭合曲线为边的曲面上计算的面积分，也只有在那样 一些曲面上才是相同的，那些曲面以该曲线为边，而且通过在域 S 内的连 续运动可以和所给的曲面相调和。
当我们必须处理回绕域时，首先要作的就是通过画一些把内表面 S1 、
S2 等等和外表面 S 连接起来的线 L1、L2 等等来把该域简化为非回绕域。其
中的每一条线，如果并不是连接了本来已经连续接触着的曲面的话，都将 使回绕数减少 1，从而为了消除回绕性而必须画的线数就等于回绕数，或 者说等于内表面的数目。在画这些线时我们必须记得，任何连接着已经连 接起来的曲面的线并不能减少回绕数而却只引入循环性。当这些线已经画 好时我们就可以断定，如果管状条件在域 S 中是满足的，则完全在 S 内部 画出且不和任何一条这种线相交的任一曲面都将有等于零的面积分。如果 它和任何一条线例如 L1 相交一次或任何偶数次，它就包含曲面 S1，从而它 的面积分就是 Q1。
管状条件在其中为满足的最习见的回绕域的例子就是一个物体周围的 域，该物体是反比于距离平方的力吸引或推斥其他物体的。
在斥力的事例中，我们有


X ? m

x ，Y ? m
r 3

y ，Z ? m z ；
r 3 r 3

式中 m 是假设为位于座标原点上的物体质量。 在 r 为有限的任一点上，有
dX ? dY ? dZ ? 0，
dx dy dz
　　但是在原点上这些量却变为无限大。对于不包含原点的任一闭合曲面 来说，面积分是零。如果一个闭合曲面包含了原点，则其面积分是 4πm。 如果由于任何原因，我们愿意把 m 周围的域看得就像它不是一个非回 绕域那样，我们就必须从 m 到无限远画一条线，而当计算面积分时我们就 必须记得，每当这条线从反面向正面通过曲面时，面积分中就必须增加 4
πm。

关于空间中的右手关系和左手关系


23.〕在本论著中，沿任一轴线的前进平动和绕该轴的转动，将被认为 当他们的方向对应于一个常见的或右手的螺旋的前进方向和转动方向时就 具有相同的正负号①。



① 当我们把右手的上沿向外转，而同时把手伸向前方时，手臂肌肉的联合作用将比任何的文字定义更

　　例如，如果地球从西向东的实际转动被取为正的，则从南到北的地轴 将被取为正，从而如果一个人沿正方向前进，则正向转动是合适的，头为 右旋而脚为左旋。
　　如果我们把自己放在一个曲面的正面一边，则它的边界线的正向将和 表面朝向我们的一个表上的指针转动方向相反。
　　这就是在汤姆孙和泰特的《自然哲学》(NaturalPhilosophy)以及泰特 的《四元数》(Quaternians)中采用了的右手制。相反的左手制在哈密顿的
《四元数》中被采用(Lecture,P.76;Elements,P.108 及 P.117 的小注)。 从一种体制到另一种体制的变换被李斯廷称为“反转”(Perversion)。
一个物体在镜中的反射像，是物体的一个反转了的像。 当我们应用笛卡尔座标 x、y、z 时，我们应该把他们画得使有关各符
号之轮换次序的通常惯例导致空间中的一种右手制的方向。例如，如果 x 是向东画而 y 是向北画的，则 z 必须向上画①。当求积分的次序和各符号的 轮换次序一致时，曲面的面积将被认为是正的。例如，xy 平面上的一个闭 合曲线的面积可以写成
? xdy或- ? ydx；
求积分的次序在第一式中是 x、y，而在第二式中则是 y、x。
　　两个乘积 dxdy 和 dydx 之间的这种关系，可以和四元数方法中两个垂 直矢量之积的法则相对比，该矢量积的正负号取决于乘法的次序；而且也 可以和当一个行列式中的两行或两列互换时行列式的变号相对比。
同理，当积分次序是变数 x、y、z 的轮换次序时，一个体积分就被认
为是正的，当轮换次序倒转时则积分被认为是负的。 现在我们来证明一条定理。在建立一个有限曲面上的面积分和沿曲面
边界的线积分之间的联系方面，这条定理是有用的。
　　24.〕定理四 沿一条闭合曲线计算的一个线积分，可以用以该曲线 为边的一个曲面上的面积分表示出来。
设 X、Y、Z 是一个矢量 u 的分量，该矢量的线积分应沿一条闭合曲线
s 来计算。
设 S 是完全由闭合曲线 s 围成的任一连续的有限曲面，并设ξ,η,ζ
是另一矢量?的分量，他们和 X、Y、Z 的关系由下列方程来确定：
? ? dZ ? dY ，? ? dX ? dZ ，? ? dY ? dX 。(1)

dy dz

dz dx

dx dy

于是在曲面 S 上求的?的面积分就等于沿曲线 s 求的 u 的线积分。很
显然，ξ、η、ζ本身是满足管状条件的：





加牢固的在我们的记忆中留下印象。W.H.密勒教授曾向我指出，长春藤的卷须是右旋的，而啤酒花的
卷须是左旋的，从而空间中的两种关系体制可以分别称为常春藤制和啤酒花制。我们所采用的常春藤 制是林诺乌斯的体制，也是除日本以外一切文明国家中螺旋制造者们的体制。德·堪道里是把啤酒花 卷须说成“右旋”的第一个人，李斯廷学了他的样，而且论述光的圆偏振的多数作者也学了他的样。 啤酒花式的螺旋是被作出来用以联接铁路车辆的，也用于把普通车辆的轮子安装在左侧，但是这种螺 旋被他们的使用者叫做左手螺旋。
① {就像在这个图中那样：

d? ? d? ? d? ? 0。
dx dy dz
　　设 l、m、n 是曲面的一个面积元 dS 上法线的方向余弦，dS 按正方向 计算。于是，?的面积分的值就可以写成
? ? (lξ＋mη＋nζ)dS。(2)
　　为了对面积元 dS 的意义形成一个确切的概念，我们将假设曲面上每一 点的座标 x、y、z 是作为两个独立变数α和β的函数而被给出的。如果β 不变而α变化，则点(x,y,z）将在曲面上描出一条曲线，而如果赋予β以 一系列值，则将有一系列这样的曲线被画出，它们全都位于曲面 S 上。同 样，通过赋予α以一系列恒定的值，第二系列曲线就可以被画出；他们和 第一系列曲线相交，而把整个曲面分成元部分，其中每一个部分都可以被 看成面积元 dS。
按照常用的公式，这一面积元在 yz 平面上的投影是

? dy
ldS ? ?

dz dy
?

dz ?
? d?d?.(3)

? d? d?

d? d? ?

适用于 mdS 和 ndS 的表示式通过按轮换次序将 x、y、z 代入上式来得出。 我们所要求的面积分是
? ? (lξ＋mη＋nζ)dS；（4）
或者，将ξ、η、ζ按照 X、Y、Z 表示出来，就得到
? dX dX dY dY dZ dZ ?
m ? n ? n ? l ? l ? m dS ；（5）

? ? ? dz

dy dx

dz dy

?
dx ?

此式中依赖于 X 的部分可以写成

? dX ? dz dx

dz dx ?

dX ? dx dy

dx dy ? ?

? ?
? dz ? d? d?


d? d? ?


dy ? d? d?


d? d? ? ?

? ? ?

? ? ?

? ? ?d?d?；（5）

加上并减去 dX dx

dx ，就变成

dx d? d?

? dx ? dX dx ? dX dy ? dX dz ?



dx ? dX dx



dX dy



dX dz ? ?

? ? ? ?

? ? ?

? ? ? ?

? d? ? dx d?

dy d?

dz d? ?

d? ? dx d?

dy d?

dz d? ? ?

d?d?； (7)

? dX dx dX dx ?
? ? ? ? d?d?. (8)

?
? d? d?

d? d??

　　现在让我们假设α为恒定的那些曲线形成一系列闭合曲线，包围着曲 面上一个α具有极小值α0 的点，并设最后一条曲线，α＝α1 的那条曲线， 和闭合曲线 s 相重合。
让我们再假设β为恒定的那些曲线形成一系列从α＝α0 的点画到闭
合曲线 s 的线，而且第一条β0 和最后一条β1 相重合。
　　对(8)分部求积分，第一项对α而第二项对β求积分，各双重积分就互 相消除，而表示式就变成
　　
?1 ? dx?
? X

? 1 ? dx ?
d? ? ? X d?

?
?0 ?

?
d?? ? ? ?1

?
? 0 ?

?
d? ? ?? ? 01


?1 ? ?dx ? ?1 ? ?dx ?
? ? X d? ? ? X d? . (9)

?
? 0 ?

?
d? ? ? ?? 1

?
?0 ?

?
d?? ? ?? 0

既然点(α,β1)和点(α,β0)完全相同，第三项就和第四项相消；而
且，既然在α＝α0 的点上只有一个 x 值，第二项就等于零，而表示式就简
化成了第一项。
既然曲线α＝α1 和闭合曲线 s 相重合，我们就可以把表示式写成下
式：
dx
? X ds ds， (10)
式中的积分是沿着曲线 s 求的。我们可以用同样的办法处理面积分中
依赖于 Y 和依赖于 Z 的部分，因此我们最后就得到


(lξ＋mη＋n ζ )dS =

? dx ? Y dy ? Z dz ? ds； （4 ）

?
? ds

?
ds ds?

式中的第一个积分是在曲面 S 上计算的，而第二个积分是沿边界线 s
计算的①。 关于算符?对一个矢量函数的作用
25.〕我们已经看到，用?来代表的算符就是用来从矢量的势求出该矢
量的那个算符。然而，同一个算符，当应用到一个矢量函数上时就得到包 括在我们刚刚证明了的两条定理（定理三和定理四）中的一些结果。这一 算符在一个矢量位移上的推广应用，以及大部分进一步的发展，都是由泰 特教授作出的②。
设σ是变点矢径ρ的一个矢量函数。让我们像通常一样假设
ρ＝ix＋jy＋kz
而σ＝iX＋jY＋kZ； 式中 X、Y、Z 是σ沿各轴的分量。
我们必须把算符

? ? i d dx

? j d dy

? k d dz

作用在σ上。完成这一运算并记得 i、j、k 的乘法规则，我们就发现?σ
包括两个部分，一个部分是标量而另一个部分是矢量。 标量部分是
? dX dY dZ ?
S? ? ? ? ?


而矢量部分是

? ?
? dx dy

? ，见定理三，
dz ?






① 这一定理是由斯托克斯教授给出的，见 Smith＇sprize Examination,1854,问题 8。在 Thomson and Tait
的 Natural Philosophy ，§190(j)中，对定理进行了证明。
② 见 Proc.R.S.Edin,APril28,1862.‘On Green＇gand other siliea Theorems ，Trans.R.S.Edin.,1869－70，这是 一篇很有价值的论文；并见‘On some Quaternion Integrals,’Proc.R.S.Edin,1870－71.


?
? dy


? ?
dz ?

?
? dz


? ? ?
dx ?

?
? ?
? dx

?
? .
dy ?

　　如果 X、Y、Z 和ξ、η、ζ之间的关系是由上一定理中的方程(1)给出 的，我们就可以写出
V?σ＝iξ＋jη＋kζ。见定理四。
　　由此可见，出现在两条定理中的那些 X、Y、Z 的函数都可以通过对分 量为 X、Y、Z 的矢量进行?运算来得到。定理本身可以写成
? ? ? S??ds ? ? ? S.?U?ds，(三)

? S?d? = -? ? S???ds；

(四)

　　式中 ds 是体积元，ds 是面积元，dρ是线元，而 Uv 是一个沿着法线 方向的单位矢量。
为了理解一个矢量的这些函数的意义，让我们假设σ0 是σ在点 P 上的
值，并让我们在 P 点的邻域中考查σ－σ0 的值。如果我们围绕着 P 点画一
个闭合曲面，那么，如果σ在这曲面上的面积分是指向内部的，则 S?σ。
将为正，而 P 点附近矢量在总的看来将是指向 P 的，如图(1)所示。 因此我建议把?σ的标量部分称为σ在 P 点的敛度。为了诠释矢量部
分，设其分量为ξ、η、ζ的那个矢量是从纸面垂直向上的，并且让我们
在 P 点附近考查矢量σ－σ0。它将显现得如图(2)所示，这个矢量在总的
看来是按照反时针的方向而和纸面相切的。 我（很无把握地）建议把?σ的矢量部分称为σ在 P 点的旋度。 在图 3 中，我们有一个旋度和敛度相结合的图示。 现在让我们考虑
V?σ＝0
这一个方程的意义。它意味着?σ是一个标量，或者说矢量σ是某一标
量函数的空间变化率。
26.〕算符?的最引人注目的性质之一就是，当运用两次时，它就变成