?0 ? ds

?
ds ds ?

　　如果 X、Y 和 Z 恰足以使 Xdx＋Ydy＋Zdz 是 x、y、z 的一个函数－V 的 全微分，则有
　　
E＝?

P P
(Xdx＋Ydy＋Zdz)＝-? dV＝VA - VP ；

A A
式中的积分是按任意的方式从点 A 算到点 P 的，不论是沿着所给的曲线还 是沿着 A 和 P 之间的任何别的曲线计算都可以。在这种情况下，V 是空间 中一点的位置的一个标量函数；就是说，当我们知道了点的座标时，V 的 值就是确定的，而且这个值不依赖于各座标轴的位置和方向。参阅第 16 节。

论点的位置的函数


　　在以后，当我们把一个量说成点的位置的函数时，我们的意思就是说， 对于点的每一个位置，函数都有一个确定的值。我们并不是意味着这个值 永远可以用相同的公式针对所有的空间点表示出来，因为它可以在一个给 定曲面的一侧用一个公式来表示，而在该曲面的另一侧则用另一个公式来 表示。
　　
论势函数


　　70.]每当力起源于一些吸引力和推斥力，而他们的强度是到任何一些 点的距离的函数时，量 Xdx＋Ydy＋Zdz 就是一个全微分。因为，如果 r1 是从点(x，y，z)到其中一个点的距离，而 R1 是那个推斥力，则有
　　

X1 ＝R 1

x ? x1
r1

＝R dr1 ，
1 dx

Y1 和 Z1 的表示式也相似，于是就有
X1dx＋Y1dy＋Z1dZ＝R1dr1；
而既然 R1 只是 r1 的函数，R1dr1 就是 r1 的某一个函数－V1 的全微分。
同理，对于从一个距离为 r2 的中心作用来的别的力 R2，也有
X2dx＋Y2dy＋Z2dz＝R2dr2＝－dV2.
但是 X＝X1+X2+?，而 Y 和 Z 也按同样方式合成，故有
Xdx＋Ydy＋Zdz＝－dV1－dV2－?＝－dV.
这个量的积分，在它在无限远处为零的条件下，叫做“势函数”。 这一函数在吸引力理论中的应用，是由拉普拉斯在计算地球的引力时
引入的。格林在他的《论数学分析对电学的应用》一文中赋予了它以“势
函数”的名称。独立于格林而工作的高斯也用了“势”这个词。克劳修斯 和另一些人用“势”这个名词来指当使两个物体或体系互相分开到相距无 限远时所将作的功。我们将遵循这个词在一些晚近英文著作中的用法，并 通过采用 W.汤姆孙爵士所给出的下列定义来避免歧义。
势的定义 一点上的势就是电力将对一个单位正电荷所作的功，如果该电荷
被放在该点上而并不扰乱电的分布，并从该点被带到无限远处的话；或者换句话 说，就是为了把单位正电荷从无限远处（或从势为零的任何地方）带到所给之点时 必须由外力所作的功。

用势来表示的合强度及其分量


71.]既然沿任意弧 AB 的总电动势是 EAB＝VA－VB，
如果我们取 ds 作为 AB，就得到分解到 ds 方向上的强度
Rcos ?＝－ dV ；
ds
于是，通过逐次假设 ds 平行于各座标轴，我们就得到
X＝－dV ，Y＝－ dV ，Z ＝－dV ；
dx du dz
1
2 2 2 2

R＝? dV

? dV

? dV ? .

dx dy dz

我们将用德文字母■来代表量值为 R 而分量为 X、Y、Z 的强度本身。

导体内部各点的势是相同的


72.]导体就是当它里边的电受到电动势的作用时就允许那些电从物体
的一个部分运动到任何其他部分的那种物体。当电处于平衡时，不可能有 任何电动强度作用于导体内部。因此在导体所占的全部空间中都有 R＝0。 由此即得
dV ＝0，dV ＝0，dV ＝0；

dx
从而对于导体的每一个点都有

式中 C 是一个常量。

dy dz

V＝C，

　　既然在导体物质内部的一切点上势都是 C，C 这个量就叫做“导体的 势”。C 可以定义成为了把一个单位的电从无限远处带到导体上必须由外 力作的功，这时假设电的分布并不被单位正电的存在所扰乱①。
　　在第 246 节中即将证明，一般说来，当两个不同种类的导体相接触时， 一个电动势就通过接触面而从一个导体作用到另一导体，使得当他们处于 平衡时后一导体的势就高于前一导体的势。因此，在目前，我们将假设我 们的一切导体都是用相同的金属作成的，并假设他们的温度也是相同的。
如果导体 A 和 B 的势分别是 VA 和 VB，沿一条连接 A 和 B 的导线的电动
势将是 VA－VB，其方向为 AB；这就是说，正电将倾向于从势较高的导体过
渡到另一个导体。 在电的科学中，势和电量的关系正如流体静力学中压强和流体的关系
或热力学中温度和热量的关系一样。电、流体和热倾向于从一个地方过渡
到另一个地方，如果第一个地方的势、压强或温度比第二个地方的要高的 话。一种流体肯定是一种实物，热则同样肯定地不是实物，因此，虽然我 们可以从这种的类比在对电学量之间的形式化关系形成一些清楚的概念方 面得到帮助，我们却必须小心，不要让这一或那一类例引导我们设想电是 一种像水一样的实物，或是像热一样的骚动状态。

带电体系所引起的势


　　73.]设有一单独带点质点，带有一个电量 e，设 r 是点(x＇，y＇，z＇) 到该质点的距离，则有
　　
? ?
V＝ Rdr ＝
r r

e e
2 dr ＝ .
r r

设有任意数目的带点质点，其座标为(x1，y1，z1)、(x2，y2，z2）等
等，而其电荷为 e1、e2 等等，并设他们到点(x＇，y＇，z＇)的距离为 r1、
r2 等等，则体系在(x＇，y＇，z＇)上的势将是
V＝?? e? .
? ?
? r ?
设一个带电体内一点(x，y，z)上的电荷密度为ρ，则由此物体所引起



① ｛如果存在势的不连续性，就像当我们从电介质进入导体中时那样，那就必须说明带电质点是被带
到导体内部还是只带到它的表面上。｝

的势是



式中



V＝? ? ? ?dxdydz；


1

r＝{(x－x' )2 ＋(y－Y' )＋(z－z' )2 } 2 ，
积分遍及整个物体。

论平方反比定律的证明


　　74a.]带电体之间的力反比于距离的平方这一事实，可以认为是由库仑 用扭秤作的直接实验所确立的。然而，我们从这种实验导出的结果，必须 被认为有一个误差，这依赖于每一次实验的或然误差，而且，除非操作者 的技巧非常高明，用扭秤作的一次实验的或然误差是相当可观的。
　　力定律的一种准确得多的验证可以从和在第 32 节中描述的实验（实验 Ⅶ）相似的实验推得。
　　开文迪什在他迄未发表的关于电的著作中已使定律的证据依赖于这种 实验。
他把一个球固定到了一个绝缘支柱上，并利用玻璃棒把两个半球固定
到了两个木架上，木架用铰链装在一个轴上，从而把两个木架合在一起时， 两个半球就形成和第一个球同心的一个绝了缘的球壳。
然后，借助于一条短导线，可以把球和球壳接通；导线上结着一条丝
线，从而导线可以被取走而并不引起仪器的放电。 在球和半球接通的情况下，他用一个莱顿瓶给两个半球充了电（莱顿
瓶的势事先用一个静电计来测出），并立即借助于丝线把连接导线拉了出
来；他取走了各半球并使他们放了电，然后用一个通草球静电计检验了内 球的带电情况。
通草球静电计在当时(1773 年)被认为是最精密的验电器，它没有探测
到内球带电的任何迹象。 然后开文迪什就把早先传给各半球的电荷的一个已知部分传给了内
球，并再次用他的静电计检测了内球。于是他发现，内球在最初实验中所
带的电荷必然小于整个仪器的电荷的 1 ，因为假如它更大一些，它就
60
会被静电计所测出。 然后他计算了内球上的电荷和两个半球上的电荷之比，所根据的假说
是推斥力反比于距离的一个乘幂，其幂数稍异于 2；他发现，假如这个差
数是 1 ，内球上就会有一个电荷，等于整个仪器的电荷的 1 ，从而是能
50 57
够被静电计探测出来的。
　　74b.]这种实验近来曾经以一种稍为不同的方式在开文迪什实验室中 被重作。
　　两个半球被固定在一个绝缘的支柱上，而内球则用硬橡胶环固定在两 半球内的适当位置上。利用这种装置，内球的绝缘支架就永远不会受到任 何可觉察的电力的作用，从而就永远不会被充电，因此电沿着绝缘体表面
　　
而爬行的影响就完全被消除了。 两半球不是在检测内球的势之前被取走，而是向地球放了电。内球上
给定电荷对静电计的影响不像两半球被取走时那样大，但是这种缺点却小 于一个优点，那就是导体容器对一切外来的电干扰提供了完美的屏障作 用。
　　用来连接内球和外壳的那条短导线固定在一个小的金属圆片上；这个 圆片形成外壳上的一个小孔的盖子，使得当导线和盖子用一根丝线被拉起 来时，静电计的电极就可以从小孔中伸进去，达到内球上。
　　静电计就是在第 219 节中描述的汤姆孙象限静电计。静电计的外壳和 一个电极的外壳永远是接地的，而检测电极也接地，直到外壳的电已经放 掉时为止。
　　为了估计外壳上的原始电荷，把一个小的黄铜球放在了离外壳相当远 的绝缘支架上。
实验操作如下： 外壳通过和一个莱顿瓶连接而充电。
小球接地，以通过感应使它带一个负电荷，然后使它保持绝缘。 内球和外壳之间的连接导线利用一根丝线被取掉。然后外壳被放电，
并保持接地。
　　检测电极和地断开，并通过外壳上的小孔和内球接触。对静电计的任 何最小的影响都没有被观察到。为了检验仪器的灵敏性，外壳的接地被断 开，而使小球向地球放电。于是静电计｛它的检测电极一直和内球接触着｝ 就显示了一个正的偏转 D。
黄铜球上的负电荷约为外壳原有电荷的 1 ，而当外壳接地时铜球在它
54
上面感应出来的电荷约为铜球电荷的1 。因此，当铜球接地时，静电计所
9

指示的外壳的势约为原势的

1 。
486



但是，假如推斥力曾经是按 rq-2 而变化的，则由第(94)页上的方程(22)
可知内球的势将为外壳的势的－0.1478q 倍。
　　因此，如果±d 是可能观察不到的静电计偏转的最大限度，而 D 是在 实验的第二部分中观察到的偏转，则 q 不能超过
? 1 d 。


｛因为0.1478qV / 1
486

72 D
V必然小于d / D．｝现在，即使在一次粗略的实验

中 D 也大于 300d，从而 q 不可能超过
± 1 .
21600


关于实验的理论

74c.]设两个单位物质之间的推斥力是距离的一个任意的给定函数，试

求一个均匀球壳在任一点上引起的势。
　　设φ（r）是两个单位之间在距离 r 上的推斥力，而 f（r)满足下列条 件：
dr(r) (＝ f'(r)) ＝r ? ?(r)dr.(1)
dr r
　　设球壳的半径为 a，而其面密度为σ，则如果用α代表球的总电荷， 就有
α＝4πa2σ.(2)
　　设 b 代表一个给定点离球心的距离，而 r 代表它到球壳上任意给定点 的距离。
　　如果我们用球座标来确定球壳上的各点，座标的极点为球壳的中心， 而极轴则为画向给定点的直线，就有
r2＝a2＋b2－2abcosθ.(3)

球壳面积元的质量是


σa2sinθdφdθ，(4)

而由这一面积元在给定点上引起的势就是
σ? 2 sinθ f ?( r) d θd?，(5)
r
此式应该从φ＝0 到φ＝2π按φ求积分，于是就有
2 ?σ? 2 sinθ f ?( r) d θ，(6)
r
此式应该从θ＝0 到θ＝π求积分。 把(3)式微分一下，我们就得到
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　rdr＝absinθdθ。(7)
把 dθ的值代入(6)中，就得到
2 ?? a f ?(r)dr ，(8)
b

此式的积分就是



V ? 2 ?? a {f(r ) - f(r )}，(8)

b 1 2
式中 r1 是 r 的最大值，它永远等于 a＋b，而 r2 是 r 的最小值，它在给定
点位于球壳之外时是 b－a，而在给定点位于球壳之内时是 a－b。
　　如果我们用 a 代表球壳的总电荷，而用 V 代表它在给定点引起的电势， 则对壳外一点来说有
　　
V＝ a
2ab


{f(b + a) - f(b - a)}. (10)

对在球壳本身上的一点来说，有
a
2 f (2a)，



①,(11)

　　　　　　　　　　　　　　　2a
而对壳内一点来说则有




① ｛严格说来是 f(2a)－f(0)，但是如果我们从头到尾都把 f(2a)写成 f(2a)－f(0)而把 f(2b)写成 f(2b)－
f(0)，则在第 74d 节中得到的结论并不会改变。｝

V＝ a
2ab


{f(a + b) - f(a - b)}. (12)

　　其次我们必须确定两个同心球壳的势，外壳的半径是 a 而内壳的半径 是 b，它们的电荷是α和β。
把外壳的势叫做 A 而把内壳的势叫做 B，则由前面的计算得到

A ＝ a
2a 2
?
B＝
2b 2


f(2a) +


f(2b) +

?
2ab
a
2ab


{f(a + b) - f(a - b), (13)


{f(a + b) - f(a - b)}. (14)

　　在实验的第一部分中，两个球壳用短导线相接并全都升高到了相同的 势，譬如说是 V。
今 A＝B＝V 并在方程(13)和(14)中解出β，我们就求得内壳上的电荷

?＝2 Vb bf (2 a) ? a[f (a ? b) ? f (a ? b)
f (2a)f (2 b) ? [f (a ? b) ? f (a ? b)]2


. (15)

　　在开文迪什的实验中，形成外壳的两个半球被拿到了我们可以认为是 无限远的距离处并放了电。这时内壳（或内球）的势就将变成
?

B1 ＝


2b2

f(2b). (16)

　　在后来在开文迪什实验室中重作了的那种实验的形式下，外壳保留了 原有的位置，但却接了地，因此 A＝0。在这种情况下，我们可以把内球的 势用 V 表示出来
? ?
B ＝V?1 - a f (a ? b) ? f (a ? b) ?. (17)

2 ? b

f (2a) ?

　　74d.]现在让我们像开文迪什那样假设力定律是距离的某一负数幂，和 平方反定定律相差不大，从而让我们令
　　


于是就有

?(r) ＝r q ?2 ；

(18)

f(r)＝ 1
1 ? q 2


r q ?1

.(19)

如果我们假设 q 很小，那就可以按指数定理把此展成下式


f(r)＝

1
1 ? q 2

?
r ?1? q log r ?
?

1
1.2


(q log r) 2 ? ??；(20)
?

而如果我们略去含 q2 的项，方程(16)和(17)就变成

1 a ?

4a2

a a ? b ?

B1 ＝2 a ? b Vq ?log a2 ? b2

? log ?，(21)
b a ? b ?


1
B2 ＝ V

?
?log

4a 2
?
2 2


a log

a ? b?
?，(22)

2 ? a ? b

b a ? b?

由此我们就可以利用实验的结果来确定 q。
74e.]拉普拉斯首先演证了，除了平方反比函数以外，没有任何一个距 离的函数能够满足一个均匀球壳对其内部的一个质点并不作用任何力的条
　　
件②。
　　如果我们假设方程(15)中的β永远为零，我们就可以应用拉普拉斯的 方法来确定 f(r)的形式。我们由(15)得到
bf(2a)－af(a＋b)＋af(a－b)＝0. 对 b 微分两次并除以 a，我们就得到
　　　　　　　　　f″(a＋b)＝f″(a－b). 如果这个方程是普遍成立的，就有
f″(r)＝C0，即为一常量。
由此即得



而由(1)即得

f＇(r)＝C0r＋C1；

? f ?(r )
? ?(r )dr ? ? C

C
? 1 ，

r r

?(r ) ?

0 r
C1 .

r 2
　　然而我们可以注意，尽管开文迪什关于力随距离某次幂而变的假设可 能显得不如拉普拉斯关于力是距离的任意函数的假设那样普遍，但它却是 和一件事实能够相容的唯一假设，那事实就是，相似的表面可以充电到具 有相似的电性质，｛使得他们的力线相似｝。
因为，假如力不是距离的某次幂而是距离的另一个任意函数，两个不
同距离上的力的比值将不是距离之比的函数而却将依赖于距离的绝对值， 从而就将涉及这些距离和一个绝对固定的距离之比了。
事实上，开文迪什本人就已指出①，按照他那关于电流体的构造的假
说，电的分布不可能在两个几何地相似的导体上是精确相似的，除非电荷 正比于体积。因为他假设了电液体的粒子在物体的表面附近是紧紧地挤在 一起的，而这就等于假设推斥力的定律不再是平方反比关系②，而是当各粒 子一旦挤得非常紧对，他们的推斥力就会开始以大得多的速率随着距离的 进一步减小而增大了。

电感的面积分和通过一个曲面的电位移


　　75.]设 R 是曲面上任一点处的合强度，而?是 R 和向着曲面的正面画 出的法线之间的夹角，则 Rcos?是强度垂直于曲面的法向分量，而如果 ds 是曲面上的面积元，则由第 68 节可知，通过 ds 的电位移将是
1 KR cos ? dS.
4?
既然我们现在暂不考虑除空气以外的任何电介质，就有 K＝1。
然而，如果把 Rcos?dS 称为通过面积元 dS 的“电感”。我们就可以 在这一阶段中避免引用关于电位移的理论。这个量在数学物理学中是众所



② Mec.Cel.I.2.
① ｛Electrical Researches of the Hon.H.Cavendish,pp.27,28.｝
② ｛Idem,Note2,p.370.｝

周知的，但是电感一词却是从法拉第那里借来的。电感的面积积分是
? ? Rcos ?dS，
而由第 21 节可见，如果 X、Y、Z 是 R 的分量，而且这些量在一个被闭合曲
面 S 所包围的域内是连续的，则从内向外计算的电感是


Rcos ds＝

? dX
?

dY dZ ?
?dxdydz，

? ? ?

? ? ? ? ? dx ? dy

?
dz ?

积分遍及于曲面内的全部空间。

由单一力心引起的通过一个闭合曲面的电感


　　76.]设一个电量 e 被认为放在了一点 O 上，设 r 是任意点 P 到 O 的距 离，则该点上的强度是 R＝er-2，并沿 OP 的方向。
　　从 O 开始沿任意方向画一条直线到无限远处。如果 O 点是在闭合曲面 之外的，这条直线就会或是完全不和曲面相交，或是从曲面穿出多少次就 也向曲面进入多少次。如果 O 是在曲面之内的，直线就必须首先从曲面穿 出，然后它可以交替地进入和穿出任意次数，而最后一次则是从曲面穿出。 设?是 OP 和在 OP 与曲面相交处画出的外向法线之间的夹角，则在直
线穿出的地方 cos?将为正，而在直线进入的地方 cos?将为负。
　　现在以 O 为心画一个半径为 1 的球面，并使直线 OP 以 O 为顶点描绘一 个顶角很小的圆锥面。
这个锥面将从球面上切下一个面积元 dω，并从闭合曲面上在和 OP 相
交的各个地方切下面积元 dS1、dS2 等等。
于是，既然其中每一个 dS 都和锥面在 r 处以倾角?相交，就有
dS＝±r2sec?dω； 而且，既然 R＝er-2，我们就有
　　　　　　　　　　　　Rcos?dS＝±edω；
当 r 从曲面穿出时取正号，当进入时取负号。
　　如果点 O 位于闭合曲面之外，则正值的数目和负值的数目相等，从而 对任一方向 r 都有
　　

从而就有


积分遍及整个闭合曲面。

ΣRcos?dS＝0，


? ? Rcos ? dS = 0，

　　如果点 O 位于闭合曲面之内，则矢径 OP 首先从闭合曲面穿出，给出一 个正值 edω，然后就有相等次数的进入和穿出。因此，在这种情况下，就
有
　　　　　　　　　　ΣRcos?dS＝edω. 在整个闭合曲面上计算积分，我们就将把整个的球面包括进来，而该
球面的面积是 4π，于是就有
? ? R cos ?dS ＝e? ? d? ＝4πe.
　　于是我们就得到结论说，由位于一点 O 上的一个力心 e 引起的通过一 个闭合曲面的总的外向电感，如果 O 点位于曲面外面则为零，如果 O 点位
　　
于曲面内部则为 4πe。
　　既然在空气中电位移等于电感除以 4π，向外计算的通过一个闭合曲 面的电位移就等于曲面内的电量。
　　推论，也可以推知，如果曲面不是闭合的而是以一个给定的闭合曲线 为其边界线的，则通过该曲面的总电感是ωe，此处ω是闭合曲线对 O 点所 张的立体角。因此，这个总电感只依赖于闭合曲线，而以该曲线为边的那 个曲面则可以任意变化，如果它不从力心的一侧变到另一侧的话。

论拉普拉斯方程和泊松方程


　　77.]既然由单一力心引起的通过一个闭合曲面的总电感的值只依赖于 该力心是否位于曲面之内而不以任何别的方式依赖于它的位置，那么，如 果有若干个这种力心 e1、e2 等等位于曲面之内，而另一些力心 e1＇、e2＇ 等等位于曲面之外，则我们将有
? ? Rcos ?dS ＝4πe；
　　此处 e 是位于闭合曲面内部的一切力心上的电量的代数和，也就是曲 面内的总电量，而把树胶电算作负电。
如果电在曲面内部的分布使得密度在任何地方都不是无限大，则我们
按照第 64 节将有



而由第 75 节，即得

4πe＝4π? ? ? ρdxdydz，


R cos ?dS ?

? dX ? dY ? dZ ? dxdydz.

?
? dx

?
dy dz ?

　　如果我们取一个体积元 dxdydz 的表面作为我们的闭合曲面，则通过令 这些表示式彼此相等，就得到
dX ? dY ? dZ ? 4??；
dx dy dz
而且，如果势 V 存在，则我们由第 71 节可得

d2 V

d 2 V

d 2 V

? ? ? 4?? ? 0.

dx2

dy2

dz2

　　在密度为零的事例中，这个方程叫做拉普拉斯方程。在更普遍的形式 下，这个方程是由泊松给出的。它使我们当知道了每一点上的势时能够确 定电的分布。
我们将像在第 26 节中一样，把
2 2 2

d V ? d V ? d V 写成

? ?2 V，

dx 2

dy2

dz 2

　　而且我们将用文字来表达泊松方程，就是说，电密度乘以 4π等于势 的浓度。在没有电的地方，势没有浓密，而这就是拉普拉斯方程的诠释。 按照第 72 节，V 在一个导体内部是常量。因此，在一个导体的内部，
体密度为零，而所有的电荷必然都位于表面上。 如果我们假设，在电的面分布或线分布中体密度ρ保持有限，而电是
以薄层或细线的形式存在的，则通过增大ρ而减小层的深度或线的截面，

我们就可以趋近真正面分布或线分布的极限，而在整个过程中都成立的方 程在极限下将仍能成立，如果适应着实际的情况来诠释它的话。

一个带电面上的势的变化


　　78a.]势函数必须在第 7 节的意义上是物理地连续的，除了在两种不同 媒质的分界面上以外；在分界面的事例中，正如我们即将在第 246 节中看 到的那样，两种媒质之间可以有一个势差，使得当电处于平衡时一种物质 中的一点上的势比另一种媒质中一点上的势高出一个常量 C，此量依赖于 两种媒质的种类和他们的温度。
　　但是 V 对 x、y 或 z 的一阶导数可以是不连续的，而由第 8 节可知，出 现这种不连续性的各点必然位于一个曲面上，曲面的方程可以写成
φ＝φ(x，y，z）＝0(1) 这一工面划分了φ为正的区域和φ为负的区域。
设 V1 代表负域中任一给定点上的势，而 V2 代表正域中任一给定点上的
势，则在曲面φ＝0 上的任一给定点（该点可以说属于两个域）上，将有 V1＋C＝V2,(2)
式中 C 是曲面正侧的物质中的常量超额势（如果有这种超额的话）。
设 l、m、n 是在曲面任一给定点上向正域画的法线 v2 的方向余弦。从
同一点向负域画的法线 v1 的方向余弦将是－l、－m、－n。
V 沿各法线的变化率是
dV1 = -l dV1 - m dV1 - n dV1 , (3)

d?1
dV2
d?2

dx
dV
= l 2
dx

dy
dV
+ m 2
dy

dz
dV
+ n 2 . (4)
dz

设在曲面上画出一条任意的线，设从线上一个固定点量起的线的长度是
s，则在曲面的每一点上，从而也在此线的每一点上，都有 V2－V1＝C。把
这一方程对 s 求导数，就得到

? dV2 ? dV1 ? dx

? dV2

dV1 ? dy

? ? ? ? ? ?

? dx

dx ? ds

? dy

dy ? ds

＋? dV2

dV ? dz
? 1 ? ＝0；(5)

? dz

dz ? ds

而且，既然法线垂直于此线，就有
l dx ＋m dy ＋n dz ＝0. (6)
ds ds ds
由(3)，(4)，(5)，(6)，我们得到

dV dV

? dV

dV ?

2 － 1 ＝l? 1 ? 2 ? ，(7)

dx dx

dV dV

? d?1
? dV

d?2 ?
dV ?

2 － 1 ＝ m? 1 ?

2 ? ，(8)

dy dy

? d?1

d?2 ?


dV dV

? dV

dV ?

2 － 1 ＝ n? 1 ? 2 ?


.(9)

dz dz

? d?1

d?2 ?

　　如果我们考虑一点上的电动强度在越过曲面时的变化，则和曲面正交 的那个强度分量可能在曲面上突然变化，但是平行于切面的另外那两个分 量却在越过曲面时保持连续。
　　78b.]为了确定曲面的电荷，让我们考虑一个闭合曲面；它部分地位于 正域中而部分地位于负域中，因此就包围了不连续性曲面的一个部分。
在这一曲面上求的面积分
? ? Rcos ?dS，
等于 4πe，此处 e 是位于闭合曲面中的电量。 仿照第 21 节中的作法，我们就得到
? dX dY dZ ?
? ? R cos ?dS ? ? ? ? ? ? dxdydz,

?
? dx

?
dy dz ?

+ ? ? {l( X2 ? X1 ) ? m(Y2 ? Y1 ) ? n(Z 2 ? Z1 )}dS，(10)
式中的三重积分遍及整个的闭合曲面，而二重积分则遍及不连续性曲面。 按照(7)，(8)，(9)把这一方程中各项的值代进来，就有

? dV

dV ?

4?e ? ? ? ? 4??dxdydz ? ? ? ? 1 ?

2 ? dS. (11)

? d?1

d?2 ?

但是根据体密度ρ和面密度σ的定义，应有
4?e ? 4? ? ? ? ?dxdydz ? 4? ? ? ?dS. (12)
因此，比较这些方程的最后项，就得到
dV1 + dV2 + 4?? = 0. (13)

d?1

d?2

这个方程叫做面密度为σ的带电面上的 V 的特性方程。
78c.]如果 V 是在一个给定的连续域中到处满足拉普拉斯方程

d2 V

d 2 V

d 2 V

? ? ? 0

dx2

dy2

dz2

的一个 x、y、z 的函数，而且在该域的一个有限的部分中，V 到处为常量 并等于 C，则 V 必在拉普拉斯方程得到满足的整个域中到处为常量并等于 C
①。
如果 V 并不是在整个域中到处等于 C，则设 S 是包围着 V＝C 的那一有





① ｛也许可以更清楚地说，在从常量势的域中可以不必越过电荷而达到的任一点上，势都等于 C。｝

限部分的曲面。
在曲面 S 上，V＝C.
　　设 v 是在曲面 S 上画出的外向法线。既然 S 是 V＝C 的那一连续域的边 界面，当我们沿着法线从曲面开始前进时，V 的值就开始异于 C 了。因
此，在刚刚离开曲面的地方， dV 就可以为正或为负，但是不能为零，只
　　d?
除了对从划分正面积和负面积的边界线上画出的法线以外。
但是，如果v' 是在曲面上画出的内向法线，则 V＇＝C而 dV ? ＝0。
dv ?
由此可见，在曲面的每一点上，除了某些边界线以外，
dV ? dV ? (? ?4 ??)
dv dv ?
　　都是一个正的或负的有限量；因此，曲面就在所有各部分都有连续的 电分布，除了把带正电的和带负电的面积划分开来的某些边界线以外。
　　除了在位于曲面 S 上的某些曲线上的那些点上以外，拉普拉斯方程在 该曲面上是并不满足的。因此，在其内部有 V＝C 的曲面 S，就包括了拉普 拉斯方程在其中得到满足的那一整个的连续域。

作用在一个带电面上的力


　　79.]作用在一个带电体上的力的三个座标轴的分量普遍表示式具有下 列的形式
A ＝? ? ? ?Xdxdydz，(14)
而平行于 y 和 z 轴的分量 B 和 C 的表示式与此类似。 但是，在一个带电面上，ρ是无限大，而且 X 可以是不连续的，于是
我们就不能直接按照这种形式的表示式来计算力。然而我们已经证明，不
连续性只影响垂直于带电面的那个强度分量，另外两个分量则是连续的。 因此，让我们假设 x 轴在所给之点是垂直于曲面的，并且让我们也假 设，至少在我们研究的最初部分中，X 并不是真正不连续，而是当 x 从 x1 变到 x2 时 X 从 X1 变到 X2。如果当 x2－x1 无限减小时我们的计算结果得到
力的一个确定的极限值，我们就可以认为它在 x2＝x1 时是对的，并认为带
电面是没有厚度的。用在第 77 节中求得的值来代替ρ，就有

A ＝ 1

? dX ? dY ? dZ ? Xdxdydz，(15)

?
4? ? dx

?
dy dz ?

把此式对 x 从 x＝x1 积分到 x＝x2，就得到
2 ?

A ＝ 1 ? ? ? 1 x2


X 2 )

x ? dY
?

dZ ?
Xdx dydz.


(15)

? ( ? ? ? ? ? ?

4? ? 2

1 x1 ? dy

dz ? ?

这就是平行于 yz 平面的一个厚度为 x2－x1 的层的 A 的值。
既然Y 和Z是连续的，dY ? dZ 就是有限的，而既然X也是有限的，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　dy dz
就有

x2 ? dY dZ ?
? ? Xdx ＜C(x


? x ) ，

?
x1 ? dy

?
dz ?
? dY

2 1

dZ ?

式中C 是x＝x2 和x＝x2 之间?
? dy

? ? X的最大值。
dz ?

因此，当 x2－x1 无限减小时，这一项必为零，从而

A ＝ 1

(X 2 ? X 2 )dydz，(17)



由第 78b 节得到

? ? 8?


dV1


2 1


dV2



因此我们可以写出

X2 - X1 ＝ -
dx dx

= 4πσ，(18)

A ＝ 1 (X


? X )?dydz. (19)

? ? 2 2 1
在这儿，dydz 是曲面的面积元，σ是面密度，而 1 (X



? X )是曲面


两侧的电动强度的算术平均值。

2 2 1

　　因此，一个带电面的面积元是受到一个力的作用的；该力垂直于该元 的分量等于该面积元所带的电荷乘以电动强度在曲面两侧的算术平均值。 既然电动强度的其他两个分量并不是不连续的，在估算作用在带电面 上的力的对应分量时就不会有什么歧义。现在我们可以假设曲面法线的方 向相对于各座标轴有任意的取向，并写出作用在面积元 ds 上的力的各分量
的普遍表示式了：

A ? 1 ( X
2
1


1 ? X2

)?dS，?

? ?

B ? (Y1 ? Y2 )?dS ， ?
?

(20)

A ? 1 ( Z
2


1 ? Z2

)?dS，
?



一个导体的带电表面


　　80.]我们已经证明（第 72 节），在电平衡中，在一个导体的全部物质 中到处都有 X＝Y＝Z＝0，从而 V 是一个常量。
因此就有
dX ? dY ? dZ ? 4?? ? 0，
dx dy dz
从而ρ就必然在导体的物质中到处为零，或者说导体内部不可能有电。 因此，一种表面上的电分布就是在平衡中的导体上的唯一可能的分
布。
只有当物体不是导体时，在物质全体中的一种分布才能可能存在。 既然导体内部的合强度是零，刚好在导体外面的合强度就必然沿法线
方向并等于 4πσ，它沿着从导体向外的方向而发生作用。面密度和靠近 导体表面处的合强度之间的这种关系叫做“库仑定律”，因为库仑曾经用

实验确定了靠近导体表面的一点上的电动强度是垂直于表面并正比于该点 的面密度的。数值关系式


是由泊松确立的。

R＝4πσ

　　由第 79 节可知，作用在导体带电表面的一个面积元 ds 上的力是（因 为表面内侧的强度为零）
　　
1 R?dS ? 2 ?? 2 dS ?
2

1 R 2dS.
8?

　　这个力是沿着导体的外向法线而作用的，不论表面上的电荷是正的还 是负的。
以每平方厘米达因计，它的值是

1 R? ? 2 ?? 2 ?
2

1 R 2 ，
8?

它是作为从导体表面向外的一种张力而起作用的。
　　81.]如果我们现在假设有一个细长的物体被充了电，则通过减小它的 横向线度，我们可以达到带电线的概念。
　　设 dS 是细长物体的一小段的长度，C 是它的周长，而σ是它表面上的 面密度，则如果λ是单位长度上的电荷，就有λ＝cσ，而靠近表面处的合 电强度将是
4 πσ＝4π ? .
c
如果当λ保持有限时 c 无限减小，则表面上的强度将无限增大。喏，
在每一种电介质中，都存在一个限度，强度不可能超过那个限度而不引起 破毁性的放电。因此，有限的电量位于有限长的线段上，就是和自然界中 存在的条件不能相容的一种分布。
即使可以找到一种甚至无限大的力也不能在里边促成放电的绝缘体，
也还是不能使一个线状的导体带上有限的电量，因为｛既然一个有限的电 荷可以使势成为无限大｝那将要求一个无限大的电动势来把电弄到线状导 体上去。
同样可以证明，电量为有限的一个点电荷不能存在于自然界中。然而，
在某些事例中，谈论带电的线和点却是方便的，而且我们将假设这些是用 带电的导线或小物体来代表，而他们的线度和所关心的主要距离比起来是 可以忽略不计的。
　　既然在给定的势下当导线直径无限减小时存在于给定导线部分上的电 量也无限减小，线度相当大的物体上的电分布，当在场内引入很细的金属 线时就不会受到显著的影响，例如用来物体之间、物体和地、电机或静电 计之间形成电连接的那种金属线就是如此。

论力线


　　82.]如果画一条线，使它在沿途任意点上的方向都和该点合强度的方 向相重合，则这条线叫做“力线”。在力线沿途的每一部分上，它都是从 一个势较高的地方通往势较低的地方的。
因此，一条力线不可能回到自己身上来，而是必须有一个起点和一个

终点。由第 80 节可知，一条力线的起点必然是在一个带正电的面上，而一 条力线的终点必然是在一个带负电的面上。
力线的起点和终点叫做分别位于带正电和带负电的面上的对应点。 如果力线运动而使其起点在带正电的面上描绘出一条闭合的曲线，则
其终点将在带负电的面上描绘出一条对应的曲线，而力线本身则生成一个 管状的曲面，叫做电感管。这样的一个曲面叫做一个“管”①。
　　既然管状面的任一点上的力都是沿着切面的，那就没有电感通过曲 面。因此，如果管内没有包含任何带电的物质，则由第 77 节可知，通过由 管状
面和两个端面形成的闭合曲面的总电感为零，而? ? Rcos ? dS在两个端面
上的值必然量值相等而符号相反。 如果这些端面是导体的表面，则
?＝0 而 R＝－4πσ，
从而? ? Rcos ? dS变成－4π? ? σdS，即变成表面上的电荷乘以4π
②。因此，在管的起点处被闭合曲线所包围的表面上的正电荷，等 于管的终点处被对应的闭合曲线所包围的表面上的负电荷。 电力线的性质可以推出若干重要结果。 一个闭合导电容器的内表面是完全没有电荷的，而且它里边每一点的
势都是和导体的势相同的，如果容器内不存在孤立的带电体的话。
　　因为，既然一条力线必然起于带正电的面而终于带负电的面，而且容 器内又没有任何带电体，假若在容器里面存在一条力线，它就必然起于和 终于容器本身的内表面上。
但是一条力线的起点上的势必然高于终点上的势，而我们已经证明导
体所有各点上的势都是相同的。 因此任何力线都不可能存在于一个中空导电容器内部的空间中，如果
容器内放有任何带电体的话。
　　如果位于闭合中空导电容器中的一个导体被和容器接通，则它的势将 变成和容器的势相同，而它的表面则和容器的内表面变成同一个面。因此 这个导体就不再有电荷。
如果我们假设任一带电面被分成了基元部分，使得每一部分上的电荷
为 1，而且，如果以这些面积元为底在力场中画出一些管，则任何其他曲 面上的面积分将由该曲面所交截的管数来表示。正是在这种意义上，法拉 第用了他的力线观念来不但指示场中任何地方的力的方向而且指示该力的 大小。
　　我们使用了“力线”一词，因为它曾被法拉第和别的人们所使用。然 而，严格说来，这些线应该叫做“电感线”。
在普通的事例中，电感线指示每一点上的电动强度的方向和量值，因 为强度和电感是方向相同而比值恒定的。然而也存在另外一些事例，那时 必须记得这些线主要是表示的电感，而强度则是由等势面来直接表示的，


① Solenoid，起源于σωληυ，意为“管子”。法拉第(3271)用“Sphondyloid”一词来代表了相同的
概念。
② ｛此处的 R 是从管内向外画的。｝

它的方向垂直于等势面，而它的量值反比于相邻等势面的距离。

论比感本领


　　83a.]在以上关于面积分的研究中，我们曾经采用了普通的直接超距作 用的观念，而没有照顾到依赖于观察力时所在的电介媒质性质的任何影 响。
　　但是法拉第曾经观察到，由一个给定电动势在以一种电介质为界的导 体表面上感应出来的电量，并不是对一切电介质来说都相同。对于多数的 固体和液体电介质来说，电量要比对空气和气体来说更大一些。因此这些 物体就被说成比他取作标准媒质的空气具有较大的比感本领。
　　我们可以通过一种说法来把法拉第的学说用一种数学的语言表达出 来，就是说，在一种电介媒质中，通过任一曲面的电感就是法向电强度和 该媒质之比感本领系数的乘积。如果用 K 来代表这个系数，则我们在有关 面积分的每一部分研究中都必须将 X、Y 和 Z 乘以 K，于是泊松方程就变成
　　
d ·K dV ＋ d

·K dV ＋ d ·K dV ＋4πρ＝0 ①.(1)

dx dx dy

dy dz dz

在感应本领为 K1 和 K2 的而其中的势为 V1 和 V2 的两种媒质的分界面
上，特征方程可以写成

K dV1 ＋K
1 dv

dV2 ＋4πσ＝0；(2)
2 dv

式中 v1、v2 是在两种媒质中画出的法线，而σ是分界面上的真实面密度， 也就是以电荷的形式实际地出现在分界面上的电量，它只能通过向该处送 电或从该处取电来加以改变。

电的表观分布


　　83b.〕如果我们从实际的势分布开始，并根据 K 到处等于 1 的假说来 从这种分布推出体密度ρ＇和面密度σ＇，我们就可以把ρ＇叫做表观体 密度而把σ＇叫做表观面密度，因为这样定义的一种电分布将能够根据一 条假说来说明实际的势分布，其假说就是，在第 66 节中给出的那种电力定 律不需要由于电介质的不同性质而作任何的变动。
　　一个给定域内的表观电荷可以在没有电通过域的边界面的情况下增多 或减少。因此我们必须把它和满足连续性方程的真实电荷区分开来。
在 K 在其中连续变化的不均匀电介质中，如果ρ＇是表观体密度，就

有
d2 V



d 2 V



d 2 V

＋ ＋ ＋4πρ'＝0. (3)

dx2

dy2

dz2

把此式和上面的(1)式相比较，我们就得到
4π(ρ－Kρ' )＋dK dV ＋dK dV ＋dK dV ＝0. (4)

dx dx

dy dy

dz dz




① ｛参阅本章末尾的附录。｝

在变化的感应本领用 K 来表示的电介质中，真实电分布将在每一点产生 势，和用ρ＇来代表的表观电分布在感应本领到处等于 1 的电介质中产生 的势相同。
表观面电荷σ＇是利用特征方程
dV1 ＋dV2 ＋4πσ'＝0 (5)

dv1
由表面附近的电力推出的。

dv2

　　如果一种任意形状的固体电介质是一种完全的绝缘质，而且它的表面 没有接受任何电荷，则不论有什么电力作用在它上面，它的真实电分布也 保持为零。
由此可见

K dV1 ＋K
1 dv

dV2 ＝0，
2 dv

dV1 ＝ 4?? ?K 2 ，dV2 ＝ 4?? ?K 1 .

dv1

K1 ? K 2

dv2

K 2 ? K2

面密度σ＇就是在固体电介质表面上由感应所引起的表观电分布。当 感应力被取消时它就完全消失。但是如果在感应力的作用过程中表观电荷 通过使一个火焰掠过表面而被从表面上放掉，则当感应力被取消时就将出 现和σ＇相反的真实电荷①。





































① 见 Faraday's‘Remarks on Static Induction,’Proceedings of the Royal Institution,Feb.12.1858.

第二章附录



方程
?d ? K ?dV ? ＋ d


? K d ? ＋ d



? K dV ? ＋4πρ＝0，

? ? ? ? ? ?

dx ?

dx ?

dy ?

dy ?

dz ?

dz ?


K dV ＋K dV ＋4πσ＝0，

2 dv

1 dv

就是通过任一闭合曲面的电位移等于曲面内的电荷的 4π倍这一条件的表 示。如果我们把这一原理应用在各面垂直于座标轴的一个长方体上，第一 个方程就可立即得出，而如果我们把它用在包围着一部分带电表面的一个 柱面上，第二个方程也可立即得出。
　　如果提前应用一次下一章中的结果，我们也可以直接从法拉第的比感 本领定义得出这些方程。让我们考虑由两个无限大平行平板构成的电容器
这一事例。设 V1、V2 分别是两个平板的势，d 是他们之间的距离，于是，
如果 K 是分隔二板的电介质的比感本领，就有
V1 ? V2

E＝KA

.
4?d

由第 84 节可知，体系的能量 Q 等于
2

1 E (V

? V ) ? 1 KA ( V1 ? V2 ) ，

2 1 2

2 4 ?d

或者，如果 F 是二板之间任一点上的电动强度，就有

Q＝ 1
8?


KAdF2 .

　　如果我们认为能量是存在于电介质中的，则单位体积中将有 Q/Ad 个单 位的能量，于是单位体积的能量就等于 KF2/8π。当场是均匀的时这一结 果将是对的，因此，如果 Q 代表任意电场中的能量，就有
1 2
Q ? ? ? ? KF dxdydz

2 2 2

? 1 K

? dV ?

? dV ?
?

? ? dV ?


F 2 dxdydz

? ? ? ?? ?

? ? ? ? ?

8 ? ? dx ?

? dy ?

? dz ?

让我们假设，场中任意点上的势增加了一个小量δV，此处δB 是 x、y、
z 的任意函数，这时能量的改变量δQ 就由下式给出

1 ? ? dV d·?V

dV d ·?V

dV d·?V ??

δQ ＝

? ? ? K? ? ?

?? ；

4?
由格林定理，此式

? ? dx dx

dy dy

dz dz ??

＝? 1

? dV dV ?
? ? K ? K ?

?
4? ?

1 dv

2 dv ?

VdS


? 1 ? d ?


dV ?


d ? dV ?


d dV ?
? ? ，

? ? ? ? K ? ? ? K

? ? ? K

?
??Vdxdydz

4? ? dx ?

dx ?

dy ?

dy ?

dz ?

dz ? ?

式中 dv1 和 dv2 分别代表从第一种画到第二种和从第二种画到第一种
媒质中的曲面法线的线段元。

但是由（第 85，86 节），就有
δQ ＝Σ(eδV)＝? ? ρVδdS＋? ? ? ρδVdxdydz，
而既然δV 是任意的，我们就必然得到
1 ? dV dV ?
－ K ? K ＝σ，

?
4? ?

dv1

2 ?
dv2 ?

－ 1 ? d


? K dV ?


d ? dV ?
K

d ? K dV ?? ＝ρ，

? ? ? ? ?

? ? ? ??

4? ? dx ?

dx ?

dy ?

dy ?

dz ?

dz ??

这就是正文中那些方程。 在法拉第的实验中，火焰可以看成一个接地的导体，电介质的效应可
以用它表面上的一种表观电分布来代表；这种作用在导电火焰上的表观电 分布将吸引异号的电，而这些异号的电将分布在电介质的表面上，并把同 号的电通过火焰送到地上去。于是在电介质的表面上就会出现真实的电分 布并把表观电分布的效应掩盖起来；当感应力被取消时，表观电荷就将消 失，但是真实电荷将留下来，而且将不再受到表观电荷的掩蔽。

第三章 论导体组中的电功和电能


　　84.〕论为了按给定方式向一个带电体系充电而必须由外界作用力 所作的功。
　　按照势的定义（第 70 节），把一个电量δe 从无限远处（或任何势为 零处）带到体系内势为 V 的任一给定部分上时所作的功是 Vδe。
　　这种操作的效应就在于把体系中给定部分上的电荷增大δe，因此，如 果起初电荷是 e，则操作以后电荷将变为 e＋δe。因此，我们可以把使一 个体系的电荷发生一种改变时所作的功表示成一个积分
W＝Σ(? vδe) ； (1)
　　式中的求和(Σ)遍及于带电体系的所有各部分。由第 73 节中势的表示 式可见，一个给定点上的势可以看成若干部分之和，其中每一部分都是由 体系电荷的对应部分所引起的势。
　　因此，如果 V 是由我们可以称之为Σ(e)的一个电荷系在一个给定点上 引起的势，而 V＇是由我们可以称之为Σ(e＇)的另一个电荷系在同一点上 引起的势，则由同时存在的两个电荷系在同一点上引起的势将是 V＋V＇。 因此，如果电荷系中的每一个电荷都按 n 比 1 的比例发生了变化，则
体系中任一给定点上的势也将按 n 比 1 的比例发生变化。
　　因此，让我们假设使体系带电的操作是按下述方式进行的。设体系在 起初并不带电，且其势为零，并设体系的不同部分同时被充电，每一部分 的充电速率都正比于它的末电荷。
于是，如果 e 是体系的任一部分的末电荷，而 V 是末势，那么，如果
在操作的任一阶段上龟荷是 ne，则势将是 nV，从而我们可以通过假设 n
从 0 连续地增大到 1 来表示这一充电过程。
　　当 n 从 n 增大为 n＋δn 时，体系中任何一个末电荷为 e 而末势为 V 的部分都将接受一个电荷的增量 eδn；这时它的势是 nV，因此在这一操作 中所作的功就是 eVnδn。
由此可见，使体系带电时所作的总功就是
1 1

Σ(eV)?0ndn＝ 2 Σ(eV)，

(2)

或者说是体系不同部分的电荷和他们各自的势的乘积的一半。 这就是按上述方式使一个体系带电时必须由外界作用力所作的功，但
是，既然体系是一个保守系，用任何其他手续把体系纳入相同的状态时所
要求的功必然是相同的。 因此我们可以把
W ＝ 1 Σ(eV) (3)
2
叫做体系的电能，它是用体系不同部分的电荷和势表示出来的。
　　85a.〕 其次让我们假设，体系通过一个过程从状态(e，V)过渡到状态 (e＇，v＇)，而在该过程中，不同的电荷都按各自正比于其总增量 e＇－e 的速率而同时增大。
　　如果在任一时刻体系的一个给定部分的电荷是 e＋n(e＇－e），其势 就将是是 V＋e(V＇－V)，从而在使电荷改变这样一个部分时所作的功就将
　　
是
1 1
(e＇－e)[V＋ n(V＇－V)]dn ＝



(e＇－e)(V＇＋ V)，

?0 2
因此，如果我们用 W＇来代表体系在状态(e＇，V＇)中的能量，就有
W ＇－W＝ 1 Σ(e＇－e)(V ＇＋V) (4)
2
但是
W＝1 Σ(eV)，
2
W＇＝1 Σ(e＇V＇).
2
把这些值代入方程(4)中，我们就得到 Σ（eV＇）＝ Σ(e＇V).(5)
　　因此，如果我们在同一个固定的带电导体组中考虑两个不同的带电状 态，则第一状态中的各电荷和第二状态中各导体对应部分的势的乘积之 和，等于第二状态中各电荷和第一状态中各导体的势的乘积之和。
　　在电的初等理论中，这一结果对应于解析理论中的格林定理。通过适 当选择体系的初状态和末状态，我们可以推出一些有用的结果。
85b.〕由(4)和(5)，我们可以求出能量增量的另一个表示式，即用势
的增量来表示它，
W ＇－W＝ 1 Σ(e＇＋e)(V＇－ V). (6)
2
如果各增量为无限小，我们就可以把(4)和(6)写成
dW＝Σ(Vδe)＝Σ(eδV)；(7)
而如果我们用 We 和Wv 来分别代表用导体组的电荷和势表出的W的表示
式，并用 Ar、er 和 Vr 来代表组中一个特定的导体、它的电荷和它的势，就
有

V ＝dWe
r der
e ＝dWV
r dV


，(8)


. (9)

　　86.〕在任意一个固定的导体组中，如果有我们可以用 Ai 来代表它的 任何一个导体是在初状态和末状态中都没有电荷的，则这个导体的 ei＝0
而 e＇i＝0，于是依赖于 Ai 的项就在方程(5)的两端都不出现。 如果另一个导体，例如 Ak，在导体组的的两个状态中都有零势，则 Vk
＝0 而 Vk＇＝0，于是依赖于 Ak 的项也在方程(5)的两端都不出现。 因此，如果除了两个导体 Ar 和 As 以外所有的导体都或是绝了缘的并没
有电荷的，或是接了地的，则方程(5)将简化为下式
erVr＇＋esVs＇＝er＇Vr＇＋es＇Vs＇ (10)
如果在初状态中有



而在末状态中有

er＝1 和 es＝0，



则方程(10)变为

er＇＝0 和 es＇＝1，

Vr＇＝VS；(11)

或者说，如果传到 Ar 上的单位电荷把绝了缘的 As 升高到一个势 V，则
传给 As 的单位电荷将把绝了缘的 Ar 升高到相同的势 V，如果组中每一个其
他导体都或是绝了缘且没有电荷的，或是接了地从而其势为零的话。 这是我们在电学中遇到的第一个倒易关系式的例子。这样的倒易关系
式出现在科学的每一分支中，而且常常使我们能够从已经解出的较简单问 题的解推出新问题的解。
　　例如，电荷为 l 的一个导体球外面一点上的势是 r-1，此处 r 是从球心 量起的距离，而根据这一事实，我们就可以得出结论说，如果电荷为 1 的 一个小物体被放在离一个不带电导体球的中心为 r 的地方，它就将把该球 升高到一个势 r-1。
其次让我们假设，在初状态，有
Vr＝1 和 Vs＝0，

而在末状态，有


则方程(10)变成


Vr＇＝0 和 Vs＇＝1，

es＝er＇；(12)

或者说，如果当 Ar 升高到单位势时将在接了地的 As 上感应出一个电荷
e，则当把 As 升高到单位势时将在接了地的 Ar 上感应出相同的电荷 e。
第三，让我们假设，在初状态，有
Vr＝1 和 es＝0，

而在末状态，有


则在这种情况下方程变为


Vr＇＝0 和 es＇＝1，

er＇＋Vs＝0.(13)

由此可见，如果当 As 不带电荷时把 Ar 充电到单位势的操作将把 Ar 升
高到势 V，那么，如果使 Ar 保持零势，则传给 As 的一个单位电荷将在 Ar
上感应出一个数值等于 V 的负电荷。 在所有的这些事例中，我们都可以假设另外的导体中有一些导体是绝
了缘的和不带电荷的，而其余的导体则是接了地的。 第三个事例是格林定理的一种简单形式。作为它的应用的一个例子，
让我们假设已经确定了由传给导体组中一个给定导体 As 的一个单位电荷
在势为零的导体中不同元部分上感应出来的电荷分布。
设ηr 是这种情况下的 Ar 上的电荷。于是，如果我们假设 As 不带电荷，
而其他各导体则各自升高到不同的势，则 As 的势将是
Vs＝－Σ(ηrVr).(14)
　　于是，如果我们确定了由放在一个中空导电容器中任一给定点上的单 位电荷在势为零的该容器任意给定点上感应出来的面密度，如果我们也知 道形状和大小都和容器内表面相同的一个曲面上每一点的势值，我们就可
　　
以推出曲面内部其位置和该单位电荷相对应的一点的势。 因此，如果在一个闭合曲面的所有各点上势为已知，则曲面内部任一
点的势也可以是确定的，如果内部并无带电体的话；曲面外部任一点的势 也可以是确定的，如果外部并无带电体的话。

导体组的理论

　　87.〕设 A1、A2?An 是形状任意的 n 个导体，设 e1、e2?en 是他们的电 荷，而 V1、V2?Vn 是他们的势。让我们假设，把各导体隔开的电介质保持 相同，而且它在所要考虑的操作中并不变为带电。
　　我们在第 84 节中已经证明，各一导体的势是 n 个电荷的线性齐次函 数。
　　由此可见，既然体系的电能是每一导体的势和电荷的乘积之和的一 半，电能就必然是 n 个电荷的二次齐次函数，其形式是
　　
We＝ 1
2

2 1
11 1 12 1 2 2
1


2
22 2



(15)

＋p e e ＋ p e e ＋ p e ＋?，
13 1 3 23 2 3 2 33 32
下标 e 表明 W 要表示成各电荷的一个函数。当 W 不带下标时，它就代
表的是表示式(3)，式中既出现电荷也出现势。 由这一表示式，我们可以推出组中每一导体的势。因为，既然势被定
义为把单位电荷从零势处带到给定势处时所必须作的功，而且这个功是用
于增加 W 的，我们只要把 We 对所给导体的电荷求导数，就能得出它的势了。
于是我们就得到
V1 ＝p11e1 ?＋pr1e r ?＋p n1e n ， ?
?

Vs ＝p1se1 ?＋p rse r ?＋p ns en ， ?
?

(16)

Vn ＝p1n e1 ?＋p rn er ?＋pnn en ，?
这是一组 n 个线性方程，他们用 n 个电荷表示了 n 个势。系数 prs 等
等叫做势系数。每一个系数有两个下标，其中第一个对应于电荷的下标， 而第二个则对应于势的下标。
两个下标相同的系数 prr 代表当 Ar 的电荷为 l 而所有其他导体的电荷
都为零时 Ar 的势。这种系数共有 n 个，每个导体有一个。
两个下标不相同的系数 prs 代表当 Ar 接受到单位电荷而除 Ar 以外其他
导体的电荷都为零时 As 的势。
我们在第 86 节中已经证明 prs＝psr，但是我们可以通过考虑到

dV1

d dWe

d dWe

dVr

prs = de = de
来更加简短地证明它。

=
des des

=
de r

= p .(17)
de sr

因此，具有两个不同下标的不同系数的数目就是 1 (n－1)，每一对
2
导体有一个。
通过把方程组对 e1、e2 等等求解，我们就得用各个势来表示各电荷的 n 个

e1 ＝q11 V1 ?＋q lsVs ?＋q ln Vn ， ?
?
方程e r ＝q rl V1 ?＋q rs Vs ?＋q rn Vn ， ?
?



(18)

e n ＝ q n1V1 ?＋q ns Vn ?＋q n Vnn ，?
在这一事例中，我们也有 qrs＝qsr，因为

der

d dWV

d dWV

des

q rs ? ? ? ? ? qsr

(19)

dVs

dVs

dVr

dVr

dVs

dVr

把各电荷的值代入电能的表示式
1

W ＝ [e1V1 ＋?＋er Vr ?＋en Vn ]，
2

(20)

中，我们就得到一个用势来发示的能量表示式

1
WV ＝
2

1
q11V 2 ＋q12 V1B 2 ＋
2
1


q22 V 2

＋q 13 V1 V3 ＋q 23V2 V3 ＋2

q33 V 2 ＋?. (21)

两个下标相同的一个系数叫做它所属于的那个导体的“电容”。
　　定义 一个导体的电容就是当它自己的势是 1 而所有其他导体的势都是零时 的它的电荷。
当没有进一步的限定时，这就是导体电容的确切定义。但是，有时用
一种不同的方式来指定某些或所有其他导体的条件是方便的，例如可以假 设其中某些导体的电荷为零，而我们在这种条件下就可以把导体的电容定 义为当它的势为 1 时的它的电荷。
其他的系数叫做感应系数。其中任何一个，例如 qrs 就表示当 As 升高
到单位势而除 As 以外其他导体的势都为零时的 Ar 的电荷。
　　势系数和电容系数的数学计算通常是困难的。我们在以后即将证明他 们永远具有确定的值，而且在某些事例中我们将计算这些值。我们也将说 明他们可以怎样用实验来测定。
当谈到一个导体的电容而不提及同一导体组中任何其他导体的形状和
位置时，就应该把电容诠释为当没有任何其他导体或带电体位于离所考虑 的导体为有限距离时的该导体的电容。
当我们只是在处理电容和感应系数时，有时把他们写成[A.P]的形式是
方便的；这一符号被理解为代表当 P 被升高到单位势{而所有别的导体都处 于零势}时 A 上的电荷。同理，[(A＋B).(P＋Q)]将代表当 P 和 Q 都升高到
势 1 时 A＋B 上的电荷，而且显而易见，既然
[(A＋B).(P＋Q)]＝[A.P]＋[A.Q]＋[B.P]＋[B.Q]
＝[(P＋Q).(A＋B)]， 各个组合符号就可以通过相加和相乘来互相结合，就好像他们是一些
数量的符号一样。
符号[A.A]表示当 A 的势为 1 时的 A 上的电荷，也就是说，它代表的是
A 的电容。
　　同样， [(A＋B).(P＋Q)]代表当 A 和 Q 被升高到势 1 而除 A 和 Q 外所 有导体的势都为零时 A 和 B 上的电荷之和。它可以分解成
[A.A]＋[A.B]＋[A.Q]＋[B.Q].

　　势系数不能用这种办法来处理。感应系数代表电荷，而这些电荷是可 以相加的；但是势系数代表势，而如果 A 的势是 V1，B 的势是 V2，则二势 之和 V1＋V2 并没有和现象有关的任何物理意义，尽管 V1－V2 代表从 A 到 B 的电动势。
　　两个导体之间的感应系数可以用各导体的电容和两个导体共同的电容 表出来，例如：
[A. B]＝ 1 [(A ＋B). (A ＋B)]－ 1 [A.A]－ 1 [B. B].
2 2 2


各系数的量纲


88.〕既然一个甩何 e距离r 处的势是 e ，一个电荷的量纲就是势的
r
量纲乘上一个长度。 因此，电容系数和感应系数就和长度具有相同的量纲，从而其中每一
个系数就都可以用一段直线来代表，该直线的长度并不依赖于我们所用的 单位制。
同理，任一势系数都可以表示为一段直线的倒数。

论各系数所必须满足的某些条件


　　89a.〕首先，既然一个体系的电能在本质上是一个正量，它作为电荷 的二次函数或势的二次函数的那种表示式必须是正的，不论给予电荷或势 的是什么值，是正值还是负值。现在，n 个变数的二次齐次式将永远为正 的条件共有 n 个，而且可以写成
P11 ＞0，?
?
p11 ，p12 ＞0，?
?

p21 ，p22
???? ?

p11?p1n＞0. ? ?
?? ?
?
pn1 ?pnn ??



(22)






①

这 n 个条件是保证 We 为必正的必要和充分的条件 。
　　但是，既然在方程(16)中我们可以按任何次序来排列导体，用属于 n 个导体之任何组合的那些系数对称地排成的每一个行列式也必须是正的， 而这些组合的数目是 2n－1。
然而，这样求得的条件中只有 n 个条件可能是独立的。电容系数和感 应系数也满足同样形式的条件。
89b.〕所有的势系数都是正的，但是任一系数 Prs 都不大于 Prr 或




① 见 Williamson's Differdntial Calculus,3rd edition,p.407.

Pss



因为，设把一个单位电荷传给 Ar，而其他各导体都不带电。一组等势

面将会形成。其中一个等势面将是 Ar 的表面，其势为 prr。如果 As 被放入
在 Ar 中挖出的一个空腔中从而完全被 Ar 所包围，则 Ar 的势也将是 prr。
然而，如果 As 是在 Ar 外面的，则它的势将介于 prr 和零之间。
因为，试考虑从带电导体 Ar 出发的力线。电荷是用从导体出发的和终
止在导体上的力线数之差来量度的。因此，如果导体不带电荷，则到达导 体的力线数必然等于从它出发的力线数。到达导体的那些力线来自势较大 的地方，而从导体出发的那些力线则通往势较小的地方。因此，一个不带 电荷的导体的势必然介于场中的最高势和最低势之间，从而最高势和最低 势就不能属于任何一个不带电荷的导体。
因此，最高势必然是 prr，即带电导体 Ar 的势；最低势必然是无限远
处的空间的势，那就是零；而所有其他的势，例如 prs，则必然介于 prr 和
零之间。
如果 As 完全包围了 At，则 prs＝prt。
　　89c.〕任何感应系数都不是正的，而属于单独一个导体的各感应 系数之和在数值上不大于该导体的永远为正的电容系数。
因为，设 Ar 被保持于单位势，而所有别的导体都被保持于零势，则 Ar
上的电荷是 qrr，而任一其他导体 As 上的电荷是 qrs。
从 Ar 出发的力线数是 qrr。在这些力线中，有的终止在别的导体上，
有的可能通往无限远，但是没有任何力线可以经过任何别的导体之间或是 从那些别的导出发而通往无限远，因为他们的势都是零。
任何力线都不可能从任何别的导体例如 As 出发，因为场的任何部分都
不会比 As 具有更低的势。如果 As 是由某一个导体的闭合表面和 Ar 隔开的，
则 qrs 为零。如果 As 不是这样被隔开的，则 qrs 是一个负量。
如果其中一个导体 At 完全包围了 Ar，则从 Ar 出发的所有力线都落在
At 上和 At 里面的导体上，从而这些导体对 Ar 而言的感应系数之和就和 qrr
相等而异号。但是，如果 Ar 并没有被一个导体所包围，则这些感应系数 qrs
等等之和将小于 qrr。
　　我们已经借助于电学的考虑而独立地证明了这两条定理。我们让学数 学的人们去考虑其中一条是不是另一条的数学推论。
　　89d.〕当场中只有一个导体时，它对自己而言的势系数就是它的 电容的倒数。
　　没有外力时的电的质心，叫做导体的电心。如果导体对一个几何中心 是对称的，这个中心就是电心。如果导体的线度和所考虑的距离相比是很 小的，则电心的位置可以通过猜测来足够近似地加以估计。
离电心的距离为 c 处的势，必然介于

e ?
?1 ?
c ?

a 2 ?
? 和
c2 ?

e ?
?1 ?
c ?

1 a 2 ?
?
2 c 2 ?

之间①，式中 e 是电荷，而 a 是物体表面的任何部分到电心的最大距离。 因为，如果电荷被集中在电心两侧相距为 a 的两个点上，第一个表示 式就是二点连线上的一点处的势，而第二个表示式就是垂直于该连线的直 线上一点处的势。对半径为 a 的球中的一切别的分布来说，势都介于这两
个值之间。

如果场中有两个导体，他们的相互势系数就是

2 2

1 ；此处c＇和电心
c＇

间距c的差值不能 超过 a

? b ，而a和b是各导体表面上任一部分到各
c

该导体的电心的最大距离。
　　89e.〕如果一个新导体被带入场中，则其他各导体中任一导体对自己 而言的势系数都会减小。
因为，设新导体 B 被假设为一个非导体{和空气具有相同的比感本
领}，而且它的任何部分都不带电，则当其中一个导体 A1 接受到一个电荷
e1 时，组中各导体上的电分布都将受到 B 的干扰；既然 B 的任何部分都还
没有带电，体系的电能就简单地是
1 e V ＝ 1 e p .

2 1 1

2 12 11

现在让 B 变成一个导体。电将从势高的地方流向势低的地方，而在这

样作时将使体系的电能减小，从而 1 e 2 p
2 11

这个量将减小。

但是 e1 是保持不变的，因此 p11 必须减小。
同理，如果由于把另一个物体 b 放在和 B 接触处而使 B 增大，p11 就将
进一步减小。
　　因为，让我们首先假设在 B 和 b 之间没有电的交通，新物体 b 的引入 就将减小 p11。现在设在 B 和 b 之间开放交通。如果有任何的电在他们之
间流过，那就是从高势的地方流向低势的地方的，从而正如我们已经证明 的那样，p11 就会进一步减小。
由此可见，由物体 B 引起的 p11 的减量，大于其表面可以包入 B 中的
任何导体所将引起的减量，而小于其表面可以包围 B 的任何导体所将引起 的减量。
我们在第十一章中即将证明，直径为 b 的一个球放在远大于 b 的距离




① {因为，设ρ为任一点上的体密度；如果我们取电心和 P 点的连线作为 z 轴，则点的势是 式中 c 是
从电心到 P 的距离。第一项等于 e/c；第二项为零，因为原点就是电心；当括号中的第三项有最大值即
a2/c3 时，积分中的第三项有最大值，因此这个最大值就是 ea2/c3;当括号中的第三项有最大的负值即－
第 89 节末尾处的结果可以推导下。假设电荷是在第一个导体上的，则由上述结果可知，由这一导 体上的电荷引起的势小于 式中 R 是从第一个导体的电心到该电荷的距离。在第二项中，如果我们只 计及 C-3 的量的话，就可以对第二个导体的任一点都令 R＝C，第一项代表第一个导体电心上的一个 电荷 e 将使第二个导体升到的势。但是，由第 86 节可知，这是和第二个导体上的电荷 e 在第一个导体 的电心上引起的势相同的。但是我们刚刚已经看到，这个势必然小于 因此由第一个导体上的电荷 e 在第二个导体上引起的势必然小于 然而一般说来这并不是对二导体之相互势的一种很密切的逼近。}

1 b 3
r处，将使 p 减小一个近似等于 的量 ①。
11 8 r 4
由此可见，如果 B 具有任意的形状，而 b 是它的最大直径，则 p11 值
3
的减量必小于1 b 。
8 r 4
因此，如果 B 的最大直径小得在和 B 离 A1 的距离相比之下可以略去数
3