第一章


磁学的初等理论


　　371．]人们发现，某些物体，例如被称为磁石的一种铁矿石、地球本 身以及经过某种处理的钢铁，具有下述的性质，并称为“磁体”。
　　如果一个磁体在地球表面附近除地磁极以外的任何地方被悬挂起来， 使得它可以绕一个竖直轴而自由转动，则一般说来它将倾向于使自己沿着 一个确定的方位，而如果从该方位上被扰动，它就将在该方位附近进行振 动。一个没被磁化的物体并不具备这样的倾向，而是在任何方位上都同样 处于平衡。
　　372．]经发现，作用在磁体上的力，倾向于使磁体中叫做“磁体轴线” 的一条确定的线和空间中一条叫做“磁力的方向”的定线相平行。
　　让我们假设，磁体被悬挂得可以绕一个固定点而向一切方向自由转 动。为了消除重力的影响，我们可以假设这个点就是它的重心。设磁体达 到了一个平衡位置。在磁体上标出两个点，并记下它们在空间中的位置。 然后，让磁体达到一个新的平衡位置，并注意磁体上两个标志点在空间中 的位置。
既然在两个位置上磁体的轴线都和磁力的方向相重合，我们就必须找
出在运动前后在空间中占据相同位置的那条线。由不变形物体的运动理论 可知，这样一条线总是存在的，而和实际运动相等价的一种运动可以通过 绕该线的简单转动来实现。为了求得这条线，把每一标志点的起始位置和 终末位置连结起来，并作这些连线的垂直平分面。二平面的交线就将是所 求的线，它指示着磁体轴线的方向和磁力在空间中的方向。上述这种方法 在确定这些方向时是不方便的。当处理磁学测量时，我们还将回到这一课 题上来。
经发现，在地面上的不同部分，磁力的方向是不同的，如果注意磁体
轴线指向北方的一端，就会发现磁轴所沿的方向通常是从真实经线偏开一 个一定的角度的，而二标志端点的整体则在北半球向下倾斜，而在南半球 向上倾斜。
磁力方向从真正北方向西的偏转，叫做“磁偏角”。磁力方向和水平
面之间的夹角，叫做“磁倾角”。这两个角度确定了磁力的方向，而当磁 力强度也为已知时，磁力就是完全确定的了。地面不同部分的这三个要素 之值的测量，它们按照观测地点和观测时间的变化方式的讨论，以及磁力 及其变化的原因的考察，就构成“地磁”科学。
　　373．]现在让我们假设，若干个磁体的轴线已经确定，而每一磁体指 向北方的一端也已标出。这时，如果其中一个磁体是自由悬挂的，而另一 个磁体被带到了它的附近，那就会发现，两个标志端互相推斥，一个标志 端和一个未标志端互相吸引，而两个未标志端也互相推斥。
如果磁体是长棒形或长线形的，而且是沿着纵向而均匀磁化的（参阅
第 284 节），那就会发现，当一个磁体的一端和另一磁体的一端相距很近 时，力就显示得最为强烈；而这种现象就可以通过一种假设来加以说明， 即假设各磁体的相似端互相推斥，其不相似端互相吸引，而各磁体的中间

部分则没有显著的相互作用。 一个细长磁体的两端，通常叫做它的“极”。在沿长度均匀磁化的无
限细磁体的事例中，两个端点就起着力心的作用，而磁体的其余部分则没 有磁作用。在所有实际的磁体中，磁化都不是绝对地均匀，从而没有任何 单个的点可以被看成磁极。然而，通过应用仔细磁化的细长棒，库仑却作 到了两个相似磁极之间的力定律的建立（磁极间的媒质为空气）①。
　　二相同磁极之间的推斥力沿二极之连线，其数值等于二极强度的乘积 除以极间距离的平方。
　　374．]这一定律，当然假设每一磁极的强度是用某种单位来量度的， 该单位的大小可由定律的叙述推知。
　　单位磁极是一个指北的极，而且当在空气中和另一个单位磁极相距为 一个单位时，它就会以单位的力推斥那个磁极，此处单位力的定义和第 6 节中的定义相同。一个指南的磁极被看成负的。
如果 m1 和 m2 是两个磁极的强度，l 是二者之间的距离，而 f 是推斥力，
各量都以数字来表示，则有
m1 m 2
f ?
2
但是，如果[m]、[L]和[F]是磁极、长度和力的具体单位，则有


f[f] = [

由此即得

m m m
]2 1 2 ,
L l 2


ML

[m 2 ] ? [ L2 F] ? [L2 ],
T2
或[ m] ? [L 3 T ?1 M 1 ]．
2 2
因此，单位磁极的量纲就是长度的 3 次方、时间的（ - 1）次方和质量的
2
1 次方。这种量纲是和在第41、42 节中用完全相同的方法确定的电荷静
2
电单位的量纲相同的。
　　375．]这一定律的精确性，可以认为已由库仑的扭秤实验所确立，并 已由高斯和韦伯的实验以及许多磁观测站的所有观测员的实验所证实。那 些观测员们每天都在进行着磁学量的测量，而假如力定律是错的，他们就 会得出互相矛盾的结果。这一定律也通过它和电磁现象的定律的一致性而 得到了更多的支持。
　　376．]我们一直称之为磁极强度的这个量，也可以叫做“磁量”，如 果我们除了在磁极方面观察到的那些性质以外并不给“磁”指定别的性质 的话。
既然“磁量”之间的力定律和数值相同的“电量”之间的力定律具有 相同的数学形式，关于磁的许多数学处理就必然和关于电的处理相类似。 然而也存在磁体的另外一些性质，他们是必须牢记的和可能在物体的电学 性质方面提供某些启示的。


① Coulomb.Mém.del'Acad.1785,p.603,并见 Biot'sTraitédePhysique,tomeiii.

一个磁体的磁极之间的关系
　　377．]磁体一极的磁量，和另一极的磁量等值而导号，或者，说得更 普遍一些就是：
在每一个磁体中，总的磁量（代数地算起来）是零。 因此，在一个在磁体所占之空间中是均匀而平行的力场中，作用在磁
体的标志端上的力，就和作用在未标志端上的力恰好相等、反向而平行， 从而二力之和就是一个静力矩，它倾向于使磁体的轴线转到一个确定的方 向上，但是并不会沿任何方向而推动整个的磁体。
　　这一点，可以很容易地通过把磁体放入一个小容器并把容器浮在水面 上来加以证明。容器将转到某一方向，以便磁体轴线尽可能地和地球磁力 的方向相接近，但是却不存在整个容器沿任何方向的运动，因此就并不存 在北向力对南向力的超额，也不存在相反的超额。根据一个事实也可以证 明，一块钢铁的磁化并不会改变它的重心，并不会在一些纬度上使重心沿 着轴线向北偏侈。由转动现象确定的质心是保持不变的。
　　378．]如果对一个细长磁体的中部进行检验，就会发现那里并不具备 任何磁性。但是如何在该点把磁体打断，则会发现两段物体在断点处各有 一个磁极，而且这个新磁极是和该段原有的另一磁极正好相等而相反的。 不论是通过磁化，或是通过打断磁体，或是通过任何别的办法，都是不可 能得到一个具有不相等的磁极的磁体的。
如果把一个细长磁体打成若干短段，我们就将得到一系列短磁体，其
中每一磁体的各极都和原始长磁体的各极具有接近相同的强度。这种磁极 的增多不一定是能量的增大，因为我们必须记得，由于它们的互相吸引， 我们在打断磁体以后必须作功才能使各段分开。
379．]现在，让我们把磁体的各段像从前那样摆在一起。在每一个接
头处，将有两个正好相等而反号的磁极互相接触着，从而它们对任一其他 磁极的合作用都将为零。因此，这样重新组合起来以后，磁体就将和以前 具有相同的性质，就是说，它在两端各有一极，二者相等而异号，而其二 极之间的部分则不显示任何磁作用。
既然在这一事例中我们知道长磁体是由一些小的短磁体组成的，而且
现象又和在未打断磁体时的情况相同，那么我们就可以认为，甚至在未被 打断以前，磁体也是由一些小的粒子组成的，其中每一粒子都有两个相等 而异号的极。如果我们假设所有的磁体都是由这样的粒子组成的，那就显 而易见，既然每一个粒子中的磁量代数和为零，整个磁体的总磁量也必为 零，或者换句话说，它的磁极将具有相等的强度和相反的种类。
“磁质”学说
　　380．]既然磁作用的定律和电作用的定律具有完全相同的形式，赋予 电现象以单“流体”或二“流体”之作用的那些相同的理由，就可以用来 论证一种或两种“磁质”的存在，它可能是也可能不是“流体”。事实上， 若只在纯数学的意义下来运用，一种磁质学说是不会无法解释现象的，如 果新的规律被自由地引用来说明各个实际事实的话。
　　这些新规律之一必须是，磁流体不能从磁体的一个分子或粒子转移到 它的另一个分子或粒子，而磁化过程则只是每一粒子中两种流体在某种程 度上互相分离，这就使得一种流体在粒子的一端更加集中，而另一种流体 则在粒子的另一端更加集中。这就是泊松的学说。
　　
　　按照这种学说，一种可磁化物体的一个粒子，和一个已绝缘的不带电 荷的小导体相仿佛；按照二流体学说，这种导体含有无限而正好相等的两 种电的数量。当有一个电动势作用在这个导体上时，它就造成两种电的分 离，而使它们在导体的对面两侧显示出来。按照这种学说，磁化力将以相 仿的方式使起初处于中和状态的两种磁质互相分开，并使它们出现在被磁 化粒子的面对面的两侧。
　　在某些物质中，例如在软铁或其他那些不可能被永久磁化的磁性物质 中，当施感力消失时，这种磁状态将像导体的起电那样随之而消失①。在另 一些物质中，例如在硬钢中，这种磁状态不易发生，而一旦发生，它在施 感力被取消时也还会存留下来。
　　这种情况是用下列说法来表达的：在后一事例中，存在一种“顽滞力” (Coercive Force)，它倾向于阻止磁化的改变，而要增强或减弱一个磁体 的性能，必先克服这个顽滞力。在起电物体的事例中，这种顽滞力将对应 于一种电阻，而这种电阻和在金属中观察到的电阻不同，它在低于某值的 电动势下将和完全的绝缘相等价。
　　这种关于磁的学说，正如关于电的对应学说一样，显然对于事实来说 是太宽松的，它需要用一些人为的条件来加以限制。因为它不仅没有给出 任何理由来说明何以一个物体不会因为含有更多的两种流体而不同于另一 物体，而且它还使我们能够说出含有过多的一种流体的一个物体将有什么 样的性质。确实，关于这样的一个物体何以不能存在，倒是提出了一种理 由的，但是这种理由只是作为一种事后的想法而被引用了来解释这一特定 事实的。它并不是从这一学说中自动生长出来的。
381．]因此，我们必须寻求一种表达模式，它不会表达得太多，而且
也将为由新事实发展而成的新想法的引用留下余地。我想，如果我们从认 为一个磁体的粒子是“极化的”来开始，我们就将得到这样的表达模式。 “极化”一词的意义
如果一个物体的粒子具有一些和物体中某一直线或方向有关的性质，
而且当物体保持着这些性质而被转动，以使这一方向反向时，如果粒子的 这些性质相对于其他物体也反向，则按照这些性质来说，粒子就叫做极化 的，而这些性质就叫做构成一种特定的极化。
例如，我们可以说物体绕一条轴线的转动就构成一种极化。因
　　为，如果在转动继续进行中轴线方向被颠倒过来，则物体对空间来说 将是向反方向转动的。
　　通有电流的一个导电粒子可以说是极化的，因为，如果把粒子倒过来， 而粒子中的电流则相对于粒子来说仍沿相同的方向在流动，则电流在空间 中的方向将是反了向的。
　　简短地说，如果任何一个数学量或物理量具有在第 11 节中定义了的那 种矢量的性质，则这种有向量所属于的任何一个物体或粒子就可以被说成 是“极化的”①，因为在有向量的两个方向或两个极上，它是具有相反的 性质的。
例如，地球的两极是和它的转动有关的，从而各极就具有不同的名称。
“磁极化”一词的意义



① {参阅第 56 页的脚注。}

　　382．]当把一个物体的各粒子的状态说成磁极化时，我们的意思就是， 一个磁体所能分成的那些最小部分中的每一个部分，都具有某些和通过粒 子的一个确定方向有关的性质，该方向叫做粒子的“磁化轴”，而且，和 这个轴的一端有关的那些性质，是与和另一端有关的那些性质相反的。
　　指定给粒子的那些性质，是和我们在整个磁体中观察到的那些性质同 一种类的，而在假设各粒子具有这些性质时，我们所肯定的只是我们可以 通过把磁体打成小块来证明的情况，因为我们发现其中每一小块都是一个 磁体。
一个磁化粒子的性质
　　383．]设体积元 dxdydz 是磁体的一个粒子。让我们假设，粒子的性质 就是一个磁体的性质，该磁体的正极强度是 m，而它的长度是 ds．于是，
设 P 是空间中的任意点，它离正极的距离是 r 而离负极的距离是 r'，则由
m m
正极在P点引起的磁势将是 ，而由负极在P点引起的磁势将是 ? ' ，


或者写成
m
v ?
rr '

r r


(r'-r) (1)

如果二极之间的距离 ds 很小，我们就可以令
r'-r=dscosc (2)
式中 c 是从磁体画到 P 点的矢量和磁体轴线之间的夹角①，或者，在这种极 限下就有
mds

v ? r 2

cos c

(3)

磁矩

　　384．]均匀纵向磁化的棒形磁体的长度和它的正极强度的乘积，叫做 它的“磁矩”。
磁化强度
　　一个磁性粒子的磁化强度，就是它的磁矩和体积之比。我们将用 I 来 代表它。
磁体任一点处的磁化，可以用磁化强度和磁化方向来定义。该方向可
以用它的方向余弦λ、μ、ν来定义。
磁化分量
　　磁体一点处的磁化（作为一个矢量或有向量），可以用它相对于各座 标轴的三个分量表示出来。把这些分量写成 A、B、C，就有
　　A=Iλ，B=Iμ，C=Iν，(4) 而 I 的数值就由方程
　　I2=A2＋B2＋C2(5) 来给出。
385．]如果我们所考虑的磁体部分是微分体积元 dxdydz，而 I 代表这 一体积元的磁化强度，则它的磁矩是 Idxdydz。将方程(3)中的 mds 代成比 式，并记得
rcosc=λ(ξ-x)+μ(η-y)+v（ζ-z），(6)



① {这一轴线的正方向是从负极指向正极的。}

式中ξ、η、ζ是从点(x，y，z)画起的矢量 r 的端点座标，我们就得到由 点(x，y，z)上的磁化体积元在点(ξ、η、ζ)上引起的势

?A(? ? x) ? B(? ? y) ? C(? ? z)
?

1
dxdydz
r 3


(7)

为了求出由一个有限大小的磁体在点(ξ，η，ζ)上引起的势，我们 必须对包含在磁体所占空间中的各个体积元求这个表示式的积分，或者 说，
　　
V ? ??? ?A(? ? x) ? B(? ? y) ? C(? ? z)?
分部积分，比式就变成

1
dxdydz．
r 3


(8)

1 1 1 1 dA

dB dC

V ? ?? A

r dydz ? ?? B r

dzdx ? ?? C

r dxdy ? ??? r ( dx

? ?
dy dz

)dxdydz,

　　式中前三项的双重积分是在磁体的表面上求的，而第四项的三重积分 则是在表面内的空间中求的。
　　如果 l、m、n 代表从面积元 ds。向外画的法线的方向余弦，我们就可 以像在第 21 节中那样把前三项的和式写成
1

?? (lA ? mB ? mC)

ds,
r

式中的积分遍及于磁体的整个表面。 如果现在我们引用由方程组 σ=lA+mB+nC，
dA dB dC
? ? ?( ? ? )
dx dy dz
来定义的两个新符号σ和ρ，则势的表示式可以写成
? ?

V ? ??

r dS ? ???

dxdydz
r

　　386．]这一表示式和由一个物体所引起的电势的表示式完全相同；在 该物体的表面上，有一个面密度为σ的面电荷，而在它的整个体积中则有 一个体密度为ρ的体电荷。因此，如果我们假设σ和ρ就是我们曾经称之 为“磁质”的那种假想物质分布的面密度和体密度，由这一假想分布所引 起的势就将和由磁体之每一体积元的实际磁化所引起的势完全相同。
面密度σ就是磁化强度 I 在面积的外向法线方向上的分量，而体密度
ρ就是磁体中给定点上的磁化强度的“敛度”（参阅第 25 节）。 这种把一个磁体的作用表示成由一种“磁质”分布所引起的作用的方
法，是很方便的，但是我们必须永远记得，这只是一种表示一组极化粒子 之作用的人为方法。
关于一个磁体性粒子对另一磁性粒子的作用
387．]如果我们像在关于球谐函数的一章的第 129b 节中那样令

d d d
= l + m
dh dx dy

d
+ n , (1)
dz

式中 l、m、n 是轴线 h 的方向余弦，则由原点上磁轴平行于 h1 而磁矩为 m1
的一个磁性分子所引的势应是

d
V1 ? ? dh

m1 m1
r ? r 2


?1 , (2)

式中）λ1 是 h1 和 r 之间的夹角的余弦。
其次，如果在矢径 r 的端点上放上第二个磁性分子，其磁矩为 m2 而其
磁轴平行于 h2，则由一个分子对另一个分子的作用而引起的势能将是


W ? m

dV1


? ? m m

d 2 1
( ), （3）

2 dh
m1 m2

1 2 dh dh r

? (?

? 3? ? ),

（4 ）

r 3 12 1 2
式中μ12 是二轴线所夹之角的余弦，而λ1、λ2 是各轴线和 r 所夹之角的
余弦。
　　其次让我们确定第一个磁体倾向于使第二个磁体绕其中心而转动的那 一力偶的矩。
让我们假设，第二个磁体在垂直于某一第三个轴线 h3 的平面内转过了
dW

一个角度dΨ，则反抗磁力所作的功将是

在这一平面上的力矩将是

d?，而作用在磁体上的各力
d?

dW m m d? d?

? = - 1 2 ( 12 - 3?

2 ) (5)

d? r 3 d?

1 d?

　　因此，作用在第二个磁体上的实际力矩可以看成两个力偶矩之和，其 中一个力偶在在平行于二磁体之轴线的平面内起作用，并以一力偶矩
m1m2
r 3 sin(h1h2 ) (6)
而倾向于使二轴线之间的夹角增大，而第二个力偶则在通过 r 和第二个磁 体的轴线的平面内起作用，并倾向于使这些方向之间的夹角减小，其力偶 矩是

3m1m2
r 3


cos(rh1 )sin(rh2 ), (7)

①

式中(rh1)、(rh2)、(h1h2)表示各线 r、h1、h2 之间的夹角 。
为了确定沿着平行于一条线 h 的方向而作用在第二个磁体上的力，我 们必须计算












① 如果θ1、θ2 是各磁体轴线和 r 之间的夹角，Ψ是分别包含第一个和第二个磁体的轴线及 r 的平面之间 的夹角，则有 于是作用在第二个磁体上的力偶，就和两个力偶相等价，其中一个力偶的轴线是 r，而且倾 向于使ψ，增大的力偶矩-dW/dψ是 另一个力偶位于 r 和第二个磁体之轴线的平面内，其倾向于使θ2 增 大的方偶矩-dW/dθ2 是 这些力偶是和由(6)和(7)给出的力偶相等价的。}

m1m2
? 3 ? ?


? ? ?


? ? ?


? 5? ? ?


?，根据第133节，(9)

r 4 1 23 2 31 3 12 1 2 3


? 3? 3

m1m2
r 4


(?12 ? 5? 1? 2 ) ? 3?13

m1m2
r 4


? 2 ? 3? 23

m1m 2 ?
r 4 1


(10)

如果我们假设实际的力是由三个分别沿 r、h1 和 h2 方向的力 R、H1 和
H2 合成的，则沿 h3 方向的力是

λ3 R + μ13H 1 + μ23 H 2 ．

(11)

既然 h3 的方向是任意的，我们就应该有

R ? 3m1 m2
r 4
3m m

?
(?12 ? 5?1 ? 2 , ?
3m m ?




(12)

H ? 1 2 ? , H

? 1 2 ? ?

1 r 4 2 2

r 4 1

力 R 是一个倾向于使 r 增大的推斥力；H1 和 H2 分别沿着第一个和第二
个磁体的轴线而作用在第二个磁体上。 这种关于两个小磁体之间的作用力的分析，是由泰特教授在 1860 年 1
月份的 QuarterlyMath.Journ.上利用四元数分析而最初给出的。并请参阅 他关于四元数的著作第二版的第 442—443 节。
特殊位置
388．](1)如果λ1 和λ2 各等于 1，也就是说，如果两个磁体的轴线位
于同一直线上而且方向相同，则μ12=1，
而二磁体之间的力是一个推斥力
6m1m 2

x R + H1 + H 2 = - r 4

(13)

负号表示它实际上是一个吸引力。
(2)如果λ1 和λ2 是零，而μ12 是 1，则二磁体的轴线互相平行而垂直
于 r，而力则是一个推斥力
3m1m2 ． （14）
r 4
在这两种事例中，任何力偶都是不存在的。
(3)如果λ1=1 而λ2=0 则μ12=0 (15)
3m1m2

作用在第二个磁体上的力将是
r 4
2m1m2

，沿着它的轴线的方向；力矩

将是 ，并倾向于把它转得和第一个磁体相平行。这就和单独一个
r 4

力 3m1m2
r 3

相等价，该力沿着平行于第二个磁体轴线的方向而起作用，并

①

和 r 相交于从 m2 算起的 2/3 的长度处 。



① {在事例(3)中，第一磁体叫做“正指”第二磁体，而第二磁体则为“侧向”第一磁体。我们很容易利用公
式(6)和(7)证明，假如第一磁体是“侧向”第二磁体的，则作用在第二磁体上的力偶将是 m1m2/r3。因此， 当致偏磁体“正指”时，力偶将是当它为“侧向”时的二倍。高斯曾经证明，假如力定律是和极间距离的
p 次方成反比的，则致偏磁体为“正指”时的力偶将是它为“侧向”时的 p 倍。通过比较这些情况下的力


图 1
例如，在图 1 中，两个磁体被浮在水面上，m2 位于 m1 的轴线方向上，
但是它自己的轴线却垂直于 m2 的轴线。如果把两个分别和 m1 及 m1 刚性连
接着的点 A、B 用一个弹簧 T 连接起来，则体系将处于平衡，如果 T 和直线
m1m2 在从 m1 到 m2 的 1/3 距离处垂直相交的话。
　　(4)如果我们让第二个磁体绕着它的中心而自由转动，直到它达到一个 稳定平衡位置时为止，则 W 对 h2 而言将是一个极小值，从而由 m2 引起的沿
h1 方向的分力将是一个极大值。因此，如果我们希望利用中心位置给定的
一些磁体来在给定点上沿给定方向产生尽可能大的磁力，则为了确定这些 磁体的轴线的适当方向来产生这一效应，我们只须把一个磁体沿着给定的 方向而放在给定点上，并观察当第二个磁体的中心位于另一给定点上时它 的轴线的稳定平衡方向。于是，各磁体就必须摆得使它们的轴线沿着第二 个磁体的轴线所指示的那些方向了。


图 2 设第二个磁体位于一个对它的方向而言为稳定的平衡位置上，那么，
既然作用在它上面的力偶为零，第二个磁体的轴线就必然和第一个磁体的
轴线位于同一平面上。由此就有 (h1h2)=(h1r)+(rh2)，(16)
而既然力偶是
m1m2
r 3 (sin(h1h 2 ) - 3cos(h1r)sin(rh2 ),
(17)
则当此力偶为零时我们就有
tan(h1r)=2tan(rh2)，(18)
'

或者写作

tanH1 m2 R = 2tanRm2 H 2 ．（19）

当这一位置已经被第二个磁体所占据时，W 的值就变成
dV1
m2 dh ,
式中 h2 是由 m2 在 m2 处引起的力线的方向。由此即得


W ? ? m2


dV1 2
dx


dV1 2
? ?
dy


dV1 2
dz



(20)

因此，第二个磁体将倾向于向着合力更大的地方运动。 作用在第二个磁体上的力，可以分解成力 R 和力 H1，在这一事例中，
R 永远是指向第一磁体的一个吸引力；力 H1 是平行第一磁体的轴线的。我
们有

m1m 2

4?2

m m2 ?

R ? 3

1 , H = 3 1 1

(21)

r 3 3? 2 ? 1 1

r 4 3?

2 ? 1




偶，我们可以比利用扭秤更精确地检证平方反比定律。}

　　在本卷后面所附的图版十四中，画出了二维空间中的力线和等势面。 引起这些力线和等势面的磁体被假设为两个长的圆棒，其截面由图中的两 个空白圆面积来代表；这些圆棒是沿着箭头的方向而横向磁化的。
　　如果我们记得沿着力线是有一种张力的，那就很容易看到，每一个磁 体都将倾向于按顺时针的方向而转动。
　　作为一个整体，位于右方的那个磁体也将倾向于向纸面上方运动，而 位于左方的那个磁体则将倾向于向纸面下方运动。
放在磁场中的一个磁体的势能
　　389．]设 V 是由对所考虑的那个磁体起着作用的任一磁体系引起的磁 势。我们将把 V 叫做外磁力的势。如果有一个强度为 m 而长度为 ds 的小磁 体被摆得正极位于势为 V 的一点而负极位于势为 V'的一点，则这个磁体的 势能将是 m(V-V')，或者，如果 ds 是从负极向正极测量的，则势能是
dV
m ds (1)
ds
如果 I 是极化强度，而λ、μ、ν是它的方向余弦，我们就可以写出
mds=Idxdydz，

dV
和 ? ?
ds

dV dV
? ?
dx dy

dV
? v ,
dz

最后，如果 A、B、C 是极化分量，就有 A=λI，B=μI，C=vI，
于是磁体元的势能表示式(1)就变成

dV dV
(A ? B
dx dy

dV
? C )dxdydz
dz


(2)

　　为了求出一个有限大小的磁体的势能，我们必须针对每一个磁体元求 这一表示式的积分。于是我们就得到
　　
dV
W ? ??? (A dx

dV
? B ? C
dy

dV
)dxdydz
dz


(3)

这就是磁体相对于它所在的磁场而言的势能的值。 在这儿，势能是用磁化分量和由外因引起的磁力的分量表示出来的。 通过分部积分，我们可以用磁质的分布和磁势来表示它，于是就有

dA dB
W ? ?? (Al ? Bm ? Cn )VdS ? ??? V( dx ? dy ?

dC
)dxdydz, (4)
dz

式中 l、m、n 是面积元 dS 上的法线的方向余弦。如果我们把在第 365 节中 给出的磁质的面密度和体密度的表示式代入这一方程中，则势能表示式变
为
W = ?? VσdS + ??? Vρdxdydz (5)
我们可以把(3)式写成
W = -??? (Aα + Bβ + Cγ)dxdydz, (6)
式中α、β和γ是外磁力的分量。
论一个磁体的磁矩和轴线
　　390．〕如果外磁场在磁体所占据的空间中到处都在方向和大小上是均 匀的，则各分量α、β、γ将是常量，而如果我们写出
??? Adxdydz = lK，??? Bdxdydz = mK，??? Cdxdydz = nK，(7)

式中的积分遍及磁体的全部物质，则 W 的值可以写成 W=-K(lα+mβ+nγ)。 (8)
　　在这一表示式中，l、m、n 是磁体轴线的方向余弦，而 K 是磁体的磁 矩。如果■是磁体轴线和磁力■的方向所夹的角，则 W 的值可以写成
W=-K■cosc。(9) 如果磁体是悬挂着并可以绕着一条竖直轴线而转动的，就如在一个普
通指南针的事例中那样，那就可以用φ来表示磁体轴线的方位角，而用θ 来表示轴线对水平面的倾角。设地磁力的方向有一个方位角δ和一个倾角 ξ，则有
α=■cosζcosδ，β=■cosζsinδ，γ=■sinζ(10)
l=cosθcosφ，m=cosθsinφ，n＝sinθ；(11)
由此即得 W=-K■{cosζcosθcos(φ-δ)+sinζsinθ}。(12) 倾向于使磁体绕竖直轴线转动而增大其φ角的力矩是
dW

- = -K■cosζcosθsin( φ - δ)。
d?

(13)

磁体的势的体谐函数展式
　　391．〕设 V 是由位于点(ξ，η，ζ)上的一个单位磁极所引起的势。 在点(x，y，z)上，V 的值是
　　
V = {（ξ - x） 2 - （η - y）2 + （ζ - z）2 } - 1
2


(1)

　　这一表示式可以按中心位于座标原点上的球谐函数展开。于是找们就 有
V=V0+V1+V2+?。(2)
1

式中 V = r ，r是从原点到点（ξ，η，ζ）的距离。
?x ? ?y ? ?z

(3)

V1 = r 3 ,

(4)


V2 =

3(?x ? ?y ? z?) 2 ? (x2 ? y 2 ? z 2 )(? 2 ? ?2 ? ? 2 )
2r 5


, ?(5)

　　为了确定当磁体位于用这个势来表示的力场中时的势能值，我们必须 在第 389 节方程(3)的 W 表示式中对 x，y，z 求积分而把ξ，η，ζ和 r 看成常量。
如果我们只考虑由 V0、V1 和 V2 所引入的各项，则结果将依赖于下列这
些体积分，
lK = ??? Adxdydz，mK = ??? Bdxdydz，nK＝??? Cdxdydz；(6)
L = ??? Axdxdydz，M = ??? Bydxdydz，N = ??? Czdxdydz；(7)
P = ??? （Bz + Cy）dxdydz，Q = ??? （Cx + Az）dxdydz，
R = ??? （Ay + Bx）dxdydz (8)
　　于是我们就得到一个磁体受到位于点(ξ，η，ζ)上的单位磁极的作 用时的势能的值
　　

W = K

l? + m? + n?
r3

+ ξ 2 （2L - M - N） + η 2 （2M - N - L）
+ ζ 2 （2N - L - M） + 3（Pηζ + Qζξ + Rζn） + ?(9)
　　这一表示式也可以看成一个单位磁极受到一个磁体的作用时的势能， 或者简单地看成磁体在点(ξ，η，ζ)上引起的势。
一个磁体的中心及其主轴线和副轴线
　　392．〕这一表示式可以通过改变座标轴的方向和座标原点的位置来加 以简化。首先，我们将使 x 轴的方向平
行于磁体的轴线。这就等于令
l=1，m=0，n=0。(10) 如果我们保持各轴的方向不变而把座标原点移到点(x'，y'，z')上，
则各体积分 lK、mK 和 nK 将保持不变，而其他的积分则将变化如下： L'=L-lKx'，M'=M-mKy'，N'=N-nKz'；(11)
P'=P-K(mz'+ny')，Q'=Q-K(nx'+lz')，R'=R-K(ly'+mx')。(12) 现在，如果我们令 x 轴平行于磁体轴线，并令


x' =

2 L ? M ? N
2 K

，y' =

R ，z' = Q ，
K K


(13)

则对于新座标轴来说，M和N的值都保持不变在而L' 的值则变成
1
(M ? N)。P保持不变，而Q和R则变为零。因此我们就可以把势写成
2


k ?
r 3

3 ( ?
+ 2


2 ? ? 2


)(M ? N) ? 3P??
r 5 + ?



(14)

　　于是我们就找到了一个相对于磁体为固定的点，而当取这个点作为座 标原点时，势函数的第二项将取最简单的形式。因此我们就把这个点定义 为磁体的中心，而通过中心沿着以前称之为磁体轴线的那个方向画出的 轴，则可以定义为磁体的主轴。
通过使 y 轴和 z 轴绕着 x 轴而转过一个角度，该角度等于其正切为

P
M ? N

的那个角度的二分之一，我们就可以进一步简化结果。这将使P变

为零，而势函数的最后形式就可以写成

? 3 ( ?2 - ? 2 )(M - N)
k + + ?


(15)

r 3 2 r 5
　　这就是一个磁体的势函数中头两项的最简单形式。当 y 轴和 z 轴取这 种位置时，它们就可以叫做磁体的副轴。
　　我们也可以通过找到座标原点的一个位置来确定磁体的中心，对于那 个位置来说，在一个单位半径的球面上求出的势函数第二项的平方的面积 分是一个极小值。
按照第 141 节，必须取极小值的那个量就是
4(L2+M2+N2-MN-NL-LM)+3(P2+Q2+R2)。(16) 由于原点位置的改变而引起的这个量的值的改变，可以由方程(11)和
(12)推出。因此极小值的条件就是

2l(2L ? M ? N ) ? 3nQ ? 3mR ? 0?
?
2m(2M ? N ? L) ? 3lR ? 3nP ? 0 ?
2n(2N ? L ? M) ? 3mP ? 3tQ ? 0?



(17)

如果我们令 l=1，m=0，n=0，这些条件就变成
　　2L-M-N=0，Q=0，R=0，(18) 这就是在前面的探讨中利用了的条件。
　　这种探讨可以和把由一个有重物质体系引起的势展开的那种探讨相对 比。在后一事例中，最适宜取作原点的一点就是体系的重心，而最方便的 座标轴就是通过该点的几个惯量主轴。在磁体的事例中，和重心相对应的 一点位于磁轴上的无限远处，而我们称之为磁体中心的那个点是和重心性 质不同的一个点。量 L、M、N 对应于一个物质体的惯量矩，而 P、Q、R 则 对应于惯量积，只不过 L、M 和 N 不一定是正量。
　　当把磁体的中心取作原点时，第二阶球谐函数具有瓣谐形式，其轴线 和磁体轴线相重合，而这一情况对于任何其他的点都是不成立的。
　　当磁体在这一轴线的所有各侧都为对称时，例如在一个旋成图形的事 例中，包括二阶谐函数的那一项就根本不出现。
393．〕在地球表面的所有各部分，除了两极附近的某些部分以外，一
个磁体的一端总是指向北方，或者说至少是指向偏北的方向的，而其另一 端则总是指向偏南的方向的。在谈到磁体的各端时，我们将采用流行的办 法，即指北的一端叫做磁体的北端，而把指南的一端叫做它的南端。然而， 当我们用磁质学说的语言来叙述问题时，我们将利用“玄武”(Boreal)和 “朱雀”(Austral)二词。玄磁性是一种假想的物质，被假设为在地球的北 半部最为丰富；而朱磁性则是在地球的南半部更丰富的那种假想磁质。一 个磁体的北端的磁性是朱磁性，而其南端的磁性是玄磁性。因此，当我们 谈到一个磁体的北端和南端时，我们并不是把那个磁体和看成一个大磁体 的地球相比拟，而只是表达当磁体可以自由活动时它所力图采取的位置而 已。另一方面，当我们想要比较假想的磁流体在磁体中和在地球中的分布 时，我们就将利用“玄磁性”和“朱磁性”这些更加夸饰的名词。
394．〕在谈到一个磁力场时，我们将用“磁北方”一词来表示当一个
磁针被放在力场中时它的北端所指的方向。 在谈到磁力线时，我们将永远假设它是从磁南方画向磁北方的，而且
我们将把这一方向称为正方向。同样，一个磁体的磁化方向，用从磁体的
南端画向北端的一条线来表示，而磁体指北的一端被算作正端。 我们将把朱磁性即磁体指北的一端上的磁性叫做正磁性。如果我们用
m 来代表它的数值，则磁势是
m
V ? ?( ),
r
而磁力的正方向就是 V 减小的方向。

第二章

磁力和磁感

395．〕我们已经确定了由一个磁体在一个给定点上引起的磁势（第
385 节），该磁体的磁化在它的物质的每一点上都是已给定的。我们已经 指明，数学结果可以用磁体中每一个体积元的实际磁化表示出来，或是用 一种假想的“磁质”分布表示出来；那种磁质的一部分集中在磁体的表面 上，而其另一部分则散布在它的整个体积中。
　　这样定义的磁势，不论所给之点是在磁体之外或之内，都是用相同的 数学过程来求出的。作用在位于磁体之外任一点上的一个单位磁极上的 力，像在对应的电学问题中一样用相同的微分过程来从势函数求出。如果 这个力的分量是α、β、γ，则有
　　
α = ?

dV dV
，β = -
dx dy

dV
，γ = -
dz


(1)

　　为了用实验来测定磁体内部一点上的磁力，我们首先必须把一部分磁 化了的物质弄走，以形成一个空腔，而在这个空腔中我们将放进〔测量用 的〕磁极。一般说来，作用在磁极上的力将依赖于这一空腔的形状，并依 赖于各个腔壁和磁化方向所成的角。因此，在谈到磁体内部的磁力时，为 了避免混淆，就有必要指定测量磁力时所在的空腔的形状和位置。很明显， 当空腔的形状和位置已经指定时，空腔中放上磁极的那个点就必须被认为 不再是位于磁体物质之内的，从而测定力的普通方法也就立刻成为可用的 了。
396．〕现在让我们考虑一个磁体的一部分，假设在磁体内部磁化的方
向和强度都是均匀的。在磁体的这一部分中，设有一个柱状空腔被挖出， 空腔的轴线平行于磁化的方向。另外，设有一个单位强度的磁极被放在了 轴线的中点上。既然这一柱体的母线是沿着磁化方向的，在弯曲的柱面上 就不会有磁质的表面分布，而既然柱体的圆形端面是垂直于磁化方向的， 那里就会有一种均匀的表面分布，其面密度在负端为 I 而在正端为-I。
设柱体轴线的长度为 2b，而柱体的半径为 a，于是由表面分布引起的
作用在位于轴线中点上的一个磁极上的力，就是来自正端圆盘的吸引力和 来自负端圆盘的推斥力。这两个力是相等而同向的，而其合力就是
b

R = 4πI(1 -


a 2 ? b 2

) (2)

　　由这一表示式可以看出，力并不依赖于空腔的绝对尺寸而是依赖于柱 体的长度和直径之比。因此，不论我们把空腔弄得多小，由腔壁上的表面 分布所引起的力一般都将保持为有限。
　　397．〕迄今为止，我们一直假设在挖出空腔的那一磁体部分中磁化是 均匀的和到处方向相同的。当磁化并不是如此限定时，一般说来就有假想 磁质的一种分布存在于整个磁体的物质中。柱体的挖除将带走这种分布的 一个部分。但是，既然相似图形中各对应点上的力正比于图形的线度，由 磁质体密度而来的作用在磁极上的力的改变量〔即由挖出空腔而造成的改 变量〕，就将随着空腔尺寸的减小而无限地减小，而由腔壁上的面密度引 起的效应则一般将会保持有限。
　　
　　因此，如果我们假设柱体的尺寸足够小，以致被挖走的部分的磁化可 以看成到处都平行于柱体轴线并具有常值大小 I，则作用在位于柱状空腔 的轴线中点上的一个磁极上的力将由两个力合成。其中第一个力就是由磁 体外表面上的磁质分布以及除所挖空腔以外整个磁体内部的磁质分布所引 起的力。这个力的分量，就是按照方程(1)而由势函数导出的α、β和γ。 第二个力就是沿着柱体的轴线而作用的力 R，其方向是磁化的方向。这个 力的值依赖于柱状空腔的长度和直径之比。
398．〕事例Ⅰ．设这一比值很大，或者说，设柱体的的直径比它的
长度小得多。把R的表示式按 a 的幂次展开，我们就有
b

? 1 a 2

3 a 4 ?

R = 4πI?

? ? ??,

(3)

? 2 b2

8 b4 ?

　　这是当令 b 和 a 之比趋于无限大时就会变为零的一个量。因此，当空 腔是轴线平行于磁化方向的一个很细的柱体时，空腔中的磁力就不会受到 柱体两端的表面分布的影响，从而这个力的分量就简单地是α、β、γ而 此处
　　
dV
α = -
dx

，β = -

dV
，γ = -
dy

dV
, (4)
dz

　　我们将把这种形状的空腔中的力定义为磁体内部的磁力。威廉·汤姆 孙爵士曾把这种定义称为磁力的“极定义”(Polardefini-tion)。当我们 有机会把这个力看成一个矢量时，我们将用■来代表它。
399．〕事例Ⅱ．设柱体的长度比它的直径小得多，以致柱体变成一
个很薄的圆盘。把R的表示式按 b 的幂次展开，它就变成
a
? b 1 b3 ?

R = 4πI?1 ? ? ? ??

(5)

? a 2 a 3 ?
当把 a 和 b 的比值取为无限大时，这个表示式的最终值就是 4πI。 因此，当空腔的形状是其平面垂直于磁化方向的一个薄圆盘时，放在
轴线中点上的一个单位磁极就受到起源于盘子的圆形表面上的表面磁性的
一个沿磁化方向的力 4πI①。
　　既然 I 的分量是 A、B 和 C，这个力的分量就是 4πA、4πB 和 4πC。 这个力必须和分量为α、β、γ的那个力合成在一起。
　　400．〕设用矢量■代表作用在单位磁极上的实际力，用 a、b 和 c 代 表它的分量，则有
a = ? + 4?A,?
?

b = ? + 4?B, ?
c = y + 4?C, ?

(6)





① 关于其他形状的空腔中的力。1．任意窄缝——起源于表面磁化的力是 4πIcos，并着裂缝平面的法线方
向∈此处∈是该法线和磁化方向之间的夹角。当裂缝平行于磁化方向时，力就是磁力■；当裂缝垂直于磁 化方向时，力就是磁感■。2．在其轴线和磁化方向成一角度∈的一个无限拉长的柱体中，由表面磁性引起 的力是 2πIsin∈，并在包含轴线和磁化方向的平面内垂直于轴线。 向。

　　我们将把其平面垂直于磁化方向的一个中空圆盘中的力定义为磁体中 的“磁感”。威廉·汤姆孙爵士曾把这一定义叫做磁力的“电磁定义”。
磁化?、磁力■和磁感■这三个矢量，是用矢量方程

■ = ■ + 4?■
来互相联系的。 磁力的线积分

(7)

　　401．〕既然在第 398 节中定义的磁力是由磁体的表面上的和整个体积 中的自由磁质引起的，而且是不受空腔之表面磁质的影响的，它就可以由 磁体之势的普遍表示式直接推得，而从点 A 到点 B 沿任意曲线计算的磁力 的线积分就是
　　
B dx dy
? (a ? ? ? ?

dz
)ds = VA - VB , (8)

A ds ds ds
式中 VA 和 VB 分别代表 A 点和 B 点的势。
磁感的面积分
402．〕通过曲面 S 的磁感〔通量〕，定义为下列积分的值：
Q ? ?? ■ coscdS, (9)
式中■代表面积元 dS 上的磁感的量值，c 代表磁感方向和面积元法线之间 的夹角，而积分应遍及整个的曲面，该曲面可以是闭合的，也可以是以一 条闭合曲线为其边界的。
如果 a、b、c 代表磁感的分量，而 l、m、n 代表法线的方向余弦，则
面积分可以写成
Q = ?? （la + mb + nc）dS (10)
　　如果把磁感的各个分量代换成第 400 节中给出的用磁力分量和磁化分 量表示出来的那些值，我们就得到
　　
Q ? ?? (la ? m? ? n? )dS ? 4? ?? (lA ? mB ? nC)dS

(11)

　　现在我们将假设求积分时所在的曲面是一个闭合曲面，并考察等式右 端两项的值。
既然磁力和自由磁质之间的关系与电力和自由电荷之间的关系具有相
同的数学形式，我们就可以把在第 77 节中给出的结果应用于 Q 值中的第一 项。为此，我们用磁力分量α、β、γ来代替在第 77 节中给出的电力分量 X、Y、Z，并用闭合曲面中自由磁质的代数和 M 来代替自由电荷的代数和 e。
于是我们就得到一个方程
?? （lα + mβ + nγ）dS = 4πM (12)
　　既然每一个磁粒子都有两个数值相等而符号相反的极，粒子的磁质的 代数和就是零。因此，完全位于闭合曲面 S 之内的那些粒子就不会对 S 内 的磁质代数和有任何贡献。因此 M 的值就只依赖于被曲面 S 所交截的那些 磁粒子。
　　试考虑磁体的一个体积元，设其长度为 s，截面积为 k2，并沿着它的 长度而被磁化，使得它的磁极强度为 m。这一体积元的磁矩将是 ms，而既 然磁化强度 I 等于磁矩和体积之比，我们就有
m
I ? 2 (13)
k

　　设这个小磁体被曲面 S 所交截，而其磁化方向和曲面之外向法线的夹 角为，则有
k2 = dScosc' (14)
此处 dS 代表交截面积。这一磁体的负极-m 位于曲面 S 内部。因此，如果 我们用 dM 来代表这一小磁体对 S 内部自由磁质的那一部分贡献，就有
dM=-m=-Ik2，
=-Icosc’dS。(15)
　　为了求出闭合曲面 S 内部自由磁质的代数和 M，我们必须在该闭合曲 面上求这一表示式的积分，于是就有
M = -?? Icosc ' dS，
或者，用 A、B、C 代表磁化分量，用 l、m、n 代表外向法线的方向余弦， 就得到
M = -?? （lA + mB + nC）dS (16)
这就给出了方程(11)右端第二项中的积分的值。因此，该方程中的 Q 的值 就可以由方程(12)和(16)求出，
　　Q=4πM-4πM=0，(17) 或者说，通过任一闭合曲面的磁感的面积分都是零。
403．〕如果把微分体积元 dxdydz 的表面取成所涉及的闭合曲面，我
们就得到一个方程

da db
+
dx dy

dc
+ = 0 (18)
dz

这就是磁感分量永远满足的管状条件。 既然磁感的分布是管状的，通过以一条闭合曲线为边的任意曲面的磁
感就只依赖于曲线的形状和位置，而不依赖于曲面本身的形状和位置。
404．〕每一点都满足条件
　　la+mb+nc=0(19) 的曲面，叫做无磁感面，而两个这种曲面的交线叫做无磁感曲线。因此， 一条曲线 s 可以是无磁感曲线的条件就是
　　
1 dx
=

1 dy
=

1 = dz


(20)

a ds

b ds

c ds

通过一条闭合曲线上每一点的一族磁感线，形成一个管状的曲面，叫做一 个“磁感管”。
　　通过一个管子的任一截面的磁感都是相同的。如果磁感为 1，则此管 叫做“单位磁感管”。
　　如果按照磁感线和磁感管来理解，则法拉第①关于磁力线和磁力管的一 切议论都是数学地正确的。
　　磁力和磁感在磁体外面是等同的，但是在磁体物质的内部，他们却必 须仔细地加以区分。
在一个均匀磁化的直棒磁体中，由磁体本身引起的磁力在磁体内部和 外面的空间中都是从我们称之为正极的指北极到负极即指南极的。
另一方面，磁感却在磁体外面从正极到负极，而在磁体内部从负极到


① Exp.Res.seriesxxviii.

正极，从而磁感线和磁感管都是一些回头的或循环的图形。磁感作为一个 物理量的重要性，我们当学到电磁现象时就会更清楚地看出。当磁场是用 一条运动导线来加以探测，就如在法拉第的 Exp．Res．3076 中那样时，直 接被测的就是磁感而不是磁力。
磁感的矢势
　　405．〕既然正如我们已经在第 403 节中指明了的那样，通过以一条闭 合曲线为边的曲面的磁感是依赖于该闭合曲线而不依赖于闭合曲线所限定 的曲面的，那就必然能够利用一种只依赖于该曲线而不涉及形成曲线之罩 膜的一个曲面之画法的过程，来确定通过闭合曲线的磁感。
　　这一点可以通过求出和磁感■相联系着的一个矢量■来达成，这时■ 沿闭合曲线的线积分应该等于■在以闭合曲线为边的一个曲面上的面积 分。
　　如果在第 24 节中把 F、G、H 看成■的分量而把 a、b、c 看成■的分量， 我们就得到这些分量之间的关系式
　　
dh dG
a ? -
dy dz


, b =

dF dH
-
dz dx

dG dF
, c = -
dx dy


(21)

其分量为 F、G、H 的矢量■，叫做磁感的矢势。
　　如果有一个磁矩为 m 而其磁化轴线的方向为(λ，μ，ν)的磁分子位 于座标原点上，则由第 387 节可知，距原点为 r 的一个点(x，y，z)上的势
是

d
? m(?

d d 1
? ? ? v ) ;

dx

∴c ? m(?

dy
d 2
? ?
dxdz

z r
d 2
dydz



d 2 1
? v dz2 ) r ,

利用拉普拉斯方程，此式可以写成

d d
m (?

d 1 d d
? v ) ? m (v

d 1
? ? )

dx dz

dx r

dy dy

dz r

　　a、b 各量也可以按同样方式来处理。 由此即得
　　
d
F ? m( v

d 1
? ? ) ,

dy
m(?z?)
? r 3

dz r

　　利用对称性，由此式也可求出 G 和 H。于是我们就看到，由一个位于 原点上的磁化粒子在一个给定点上引起的矢势，在数值上等于粒子的磁矩 除以矢径的平方并乘以磁化轴线和矢径之夹角的正弦，而矢势的方向则垂 直于磁化轴线和矢径的平面，而且对于一个沿磁化轴线的正方向看过去的 眼睛来说，矢径是沿着顺时针的方向画出的。
　　由此可见，对于任意形状的磁体来说，若在点(x，y，z)处的磁化分量 是 A、B、C，则点(ξ，η，ζ)上的矢势分量是
　　
dp
F ? ??? ( B dz

dp ?
? C dy )dxdydz, ?
?

dp dp ?

G ? ??? (C dx ? A dz )dxdydz, ?

(22)

dp
H ? ??? (A dy

? C dp )dxdydz,?
dx ?

式中为了方便，用 p 代表了点(ξ，η，ζ)和点(x，y，z)之间的距离的倒 数，而积分则遍及于磁体所占的空间。
　　406．〕第 385 节中磁力的标势或普通的势，当用同样的符号表示出来 时就是
　　
V ? ??? (A

dp dp
? B
dx dy

dp
? C )dxdydz
dz


(23)

dp
记得 ? ?
dx

dp
并记得积分
d?


???

d 2 p
A( dx 2

d2 p
? dy2 ?

d 2 p dz 2


)dxdxdydz

当点(ξ，η，ζ)位于积分域内时的值是-4π(A)，而当它不位于积分域内 时的值是零，此处(A)是 A 在点(ξ，η，ζ)上的值，我们就得到磁感之 x 分量的表示式如下：
dH dG
a ? -
d? d?


?
= ??? ?A(
?


d 2 p dyd?


d2 p
+
dzd?


) - B


d 2 p dxd?


d 2 p ?
? C dxd? ?dxdydz

d ? dp
= - ??? ?A
?


dp
? B ? C
dy

dp?
dz ?dxdydz


? ??? A(

d 2 p dx2

d 2 p
? dy2

d 2 p
? dz2 )dxdydz


(24)


比式的第一项，显然就是 -

dV
，或者说是磁力的分量α。
d?

　　第二项中的被积分式对每一体积元都为零，只有包含点(ξ，η，ζ) 的体积元例外。如果 A 在点(ξ，η，ζ)上的值是(A)，则很容易证明第二 项的值是 4π(A)，此处(A)在磁体外面的所有各点上显然都是零
现在我们可以把磁感的 x 分量写成
α=α+4π(A)，(25)
这是和第 400 节中给出的那些方程的第一个方程相等同的一个方程。关于
b 和 c 的方程也将和第 400 节中的方程相一致。我们已经看到，磁力■是 通过哈密顿算符的应用而从标量磁势 V 推出的，从而我们可以像在第 17 节中一样地写出
■ ? ??V, (26)
而且这个方程是在磁体之外或之内都成立的。 由现在的考察可以看出，磁感■是通过同一算符的应用而从矢势■导

出的，而且结果是在磁体之内和之外都能成立的。 这一算符对一个矢量函数的应用，通常将给出一个标量和一个矢量。
然而，我们曾称之为矢量函数之敛度的那个标量部分，当矢量函数满足管 状条件

dF dG dH
+ +
d? d? d?


= 0 (27)

时将等于零。通过求方程组(22)中 F、G、H 的表示式的导数，我们发现各 该量是满足这一条件的。
因此我们可以写出磁感和它的矢势之间的关系式
　　■=■, 这可以用文字表示出来，即磁感等于矢势的旋度。参阅第 25 节。
　　
第三章


磁管和磁壳 论特殊形式的磁体


　　407．〕如果形如导线的一种磁性物质的细长丝到处沿纵向而被磁化， 则细丝的任一截面和该截面上平均磁化强度的乘积，叫做磁体在该截面上 的强度。如果细丝在截面处被切成两段而不改变其磁化，则两个表面在分 开以后将被发现具有相等而异号的表面磁量，其中每一磁量都在数值上等 于磁体在该截面处的强度。
　　一条磁性物质细丝，如果磁化得在每一截面上都具有相同强度而不论 截面取在沿轴线的何处，就叫做一条“磁管”。如果 m 是磁管的强度，ds 是它的一个长度元，而 s 是从磁体的负极向正极测量的，设 r 是这一长度 元到一个给定点的距离，而 c 是 r 和长度元的磁化轴线之间的夹角，则由 这一长度元在所给点上引起的势是
　　
mdscos c
r 2

mdr
? ? r 2 ds ds

把这一表示式对 s 求积分，以照顾到磁管的所有各长度元，就得到磁 管的势函数
1 1

V = m(
1

? 2 )，
r

式中 r1 是磁管的正极到测量磁势所在之点的距离，而 r2 是磁管的负极到该
点的距离。 因此，由一条磁管引起的势，从而还有它的一切磁效应，都只依赖于
磁管的强度及其两个端点的位置，而完全不依赖于它在二点之间的形状，
不依赖于它是直的还是弯的。 因此，一条磁管的两个端点，就可以在一种直接的意义下被称为它的
两个极。
　　如果磁管形成一条闭合的曲线，则由它引起的势在每一点上都为零， 因此这样一条磁管不能产生任何的磁作用，而且，不在某一点上把它切断 并将断点分开，它的磁化也就不可能被发现。如果一个磁体可以划分为若 干磁管，而且各磁管不是形成闭合曲线就是在磁体的外表面上有其端点， 则磁体的磁化叫做管状的，而且，既然磁体的作用完全取决于各磁管端点 的作用，假想磁质的分布就将是完全的面分布。
因此，磁化为管状的条件就是
dA dB dC
? ? ? 0,
dx dy dz
式中 A、B、C 是磁体任一点上的磁化分量。
408．〕一条纵向磁化的、其强度沿长度而变化的细丝，可以设想为由 一束不同长度的磁管构成，所有通过一个给定截面的磁管的强度之和，就 是细丝在该截面上的磁性强度。因此，任何一条纵向磁化的丝，可以叫做


① 见 SirW.Thnomson's‘MathematicalTheoryofMagnetism,’Phil.Trans.,June1849 和 June1850,或

ReprintofPapersonElectrostaticsandMagnetism,p.340.

一条“复杂磁管”。
如果一条复杂磁管在任一截面上的强度是 m，则由它的作用而引起的

势

V ? ? ?



m dr
2 ds



式中m为变量

r ds
m m


1 dm

? 1 ? 2 ? ? ds

r1 r2

r ds

　　这就表明，除了在这一事例中强度可以不相等的二端点的作用以外， 还存在一种由假想磁质沿丝长的分布所引起的作用，而这种分布的线密度
是
dm
? ? ?
ds
磁壳
　　409．〕如果磁性物质的一个薄壳是沿着到处和表面相垂直的方向而被 磁化的，则任一点上的磁化强度乘以
该点的薄壳厚度，就叫做磁壳在该点的“强度”。 如果一个磁壳的强度到处相同，它就叫做一个“简单磁壳”；如果强
度逐点变化，磁壳就可以被设想为由若干个简单磁壳叠加在一起而构成。
因此它就叫做一个“复杂磁壳”。
　　设 dS 是磁壳上一点 Q 处的一个面积元，而Φ是磁壳强度，则由这一磁 壳元在任意点 P 处引起的势是
dV = Φ 1 dScosc,
r 2
式中 c 是矢量 QP 或 r 和磁壳正表面上的外向法线之间的夹角。
但是，如果 dω是 dS 在 P 点所张的立体角，
　　r2dω=dScosc， 则有 dV＝Φdω，
从而在简单磁壳的事例中就有
　　V＝Φω， 或者说，由一个磁壳在任一点上引起的势，等于它的强度和它的边界在所 给点所张立体角的乘积①。
410．] 同样的结果可以用另一种办法求得，那就是假设磁壳被放在任
何一个磁力场中，并确定由于磁壳的放入而引起的势能。
如果 V 是面积元 dS 处的势，则由这一面积元引起的能量是

dV
?(l
dx

dV
? m ? n
dy

dV
)ds,
dz

或者说，能量就是磁壳强度乘以由磁壳元 dS 引起的 dV/dv 的那一部分面积 分。
因此，按所有这样的磁壳元求积分，由磁壳在场中的位置而引起的能 量，就是磁壳强度和磁感在磁壳面积上的积分的乘积。既然这一面积分对 任何两个具有相同的边界线而在二者之间并不包含任何力心的曲面来说是 相同的，磁壳的作用就只依赖于它的边界线。


① 这一定理归功于高斯，GeneralTheoryofTerrestrialMagnetism,§38．

　　现在假设力场是由强度为 m 的一个磁极引起的。我们已经看到(第 76 节的引理），在边界线给定的一个曲面上求的面积分，等于磁极强度和边 界线在磁极那儿所张立体角的乘积。因此，由磁极和磁壳的相互作用而引 起的能量就是
　　φm( 而由格林定理可知，这个量就等于磁极强度和磁壳在磁极那儿引起的势的 乘积。因此磁壳引起的势就是Φω
　　411．]如果一个磁极 m 从一个磁壳的负侧的任一点开始，并沿着空间 中的一条任意路径绕过边界线而运动到磁壳正侧和起始点很靠近的一点， 则立体角将连续变化，并在过程中增大 4π。磁极所作的功将是 4πΦm， 从而磁壳正侧任一点上的势，将比负侧一个邻近点上的势大 4πΦ。
　　如果一个磁壳形成一个闭合曲面，则磁壳外面的势到处为零，而磁壳 内部空间中的势则到处是 4πΦ；它是正的，若磁壳的正面是朝里的。因 此，这样一个磁壳就对放在壳外或壳内的任何磁体都不作用任何力。
　　412．]如果一个磁体可以划分为一些简单磁壳，而各该磁壳不是闭合 的就是其边界线位于磁体的表面上，则磁性的分布叫做“层状”分布。如 果φ是一个点当从一个给定位置沿着磁体内部的一条路线而运动到一个点 (x，y，z)时所穿过的所有各磁壳的强度之和，则层状磁化的条件是
　　
d?
A ? , B ?
dx

d? d?
, C ? ,
dy dz

这样地完全确定着任一点上的磁化的这个量φ，可以叫做“磁化势”。 它必须被认真地和“磁势”区分开来。
413．]一个可以分成复杂磁壳的磁体，叫做具有磁性的一种复杂层状
分布。这样一种分布的条件是，磁化线的分布必须使得有可能画出一组和 他们正交的曲面。这一条件由众所周知的方程

dC
A( ?
dy

dB dA
) ? B(
dz dz

dC dB
? ) ? C( ?
dx dx

dA
) ? 0
dy

来表示。


管状和层状磁体的势函数形式

414．]一个磁体的标势的普遍表示式是


V ? ??? (A

dp dp
? B
dx dy

dp
? C )dxdydz,
dz

式中 p 代表由位于(ξ，η，ζ)处的一个单位磁极在点(x，y，z)上引起的 势，或者换句话说，它代表从测量磁势之点(ξ，η，ζ)到引起磁势的磁 体元所在之点(x，y，z)的距离的倒数。
这个量可以分部求积分，正如在第 96、386 节中那样

dA
V ? ?? p(al ? Bm ? Cn)dS ? ??? p( dx

dB dC
? ?
dy dz


)dxdydz,

式中 l、m、n 代表磁体表面的一个面积元 dS 上的外向法线的方向余弦。 当磁体是管状的时，第二项中的被积函数在磁体内部的每一点上都为 零，从而三重积分为零，从而在磁体之内或之外的任一点上，磁势都由第
一项中的面积分来给出。 因此，当磁体表面的每一点上的磁化法向分量为已知时，一个管状磁

体的标势就是完全确定的，而且它是和磁体内部的磁管形状无关的。
415．]在一个层状磁体的事例中，磁化由磁化势φ来确定，即有

d?
A ? , B ?
dx

d? d?
, C ?
dy dz

因此 V 的表示式就可以写成


V ? ??? (

d? dp
dx dx

d? dp
? ?
dy dy

d? dp
dz dz


)dxdydz

把这一表示式分部求积分，就得到

dp dp
V ? ?? ?(l dx ? m dy

dp
? n dz )dS ? ??? ?(

d 2 p dx2

d 2 p
? dy2

d 2 p
? dz2 )dxdydz

　　第二项为零，除非点(ξ，η，ζ)被包含在磁体内部；在那种事例中， 该项变为 4π(φ)，此处(φ)是φ在点(ξ，η，ζ)上的值。面积分可以 用从(x，y，z)到(ξ，η，ζ)的直线γ以及该直线和 dS 上的外向法线之 间的夹角θ表示出来，于是势函数就可以写成
1

V ? ??

r 2 ? cos ?dS ? 4 ?(?)

式中的第二项，当点(ξ，η，ζ)并不位于磁体物质内时当然等于零。由 这一方程来表示的势 V，甚至在φ突然变为零的磁体表面上也是连续的。 因为，如果我们写出
1
? ? ?? r 2 ? cos?dS,
而且Ω1 是Ω在刚刚位于表面内部的一个点上的值，而Ω2 是它在刚刚位于
表面外面并和前面那个点很靠近的一个点上的值，就有 Ω2＝Ω1＋4π(φ)，
或者说 V2＝V1．
因此Ω这个量在磁体的表面上是连续的。 磁感分量和Ω的联系由方程组


a ? ?

来表示。

d?
, b ? ?
dx

d? d?
, c ? ?
dy dz

416．]在层状磁性分布的事例中，我们也能简化磁感的矢势。 它的 x 分量可以写成

F ? ??? (

d? dp
dy dz

d? dp
?
dz dy


)dxdydz

通过分部求积分，我们可以把这个量写成面积分的形式

dp
F ? ?? ?( m dz
或者写成

dp
? n dS),
dy

d?
F ? ? ?? p(m dz

d?
? n )dS
dy

矢势的其他分量，也可以通过适当的代换而据这一表示式写出。
论立体角
417．]我们已经证明，在任一点上，由一个磁壳引起的势等于由磁壳

边界线所张的立体角乘以磁壳的强度。由于我们在电流理论中将有机会涉 及立体角，现在我们将解释一下立体角是怎样量度的。
　　定义 一条闭合曲线在一个给定点上所张的立体角，由一个球面上的 一块面积来量度；球面的中心位于所给之点，球面的半径为一个单位，而 所取的面积则由当矢径描绘该闭合曲线时它和曲面的交点的运动轨迹来限 定。这一面积的是正是负，按照从所给点看来该面积是位于矢径路径的左 侧或右侧来决定①。
设(ξ，η，ζ)是所给的点，而(x，y，z)是闭合曲线上的一个点。座
标 x，y，z 是 s 的函数，s 即从一个给定点算起的曲线长度。这些座标是 s 的周期函数；每当 s 增加一个等于闭合曲线全长度的量时，正数就重复一 次。
　　我们可以根据这样的定义来直接计算立体角ω。利用以(ξ，η，ζ) 为中心的球座标，并令
　　x-ξ＝rsinθcosφ，y-η=rsinθsinφ，z-ζ=rcosθ，我们通过积 分就能求出球面上任意曲线的面积
ω＝∫(1－cosθ)dφ， 或者，利用直角座标，就有

s z ? ?

dy dx

? ? ? d? ? ? 2 2 [(x ? ?) ? ( y ? ?) ]ds

积分是沿曲线 s 计算的。
　　如果 z 轴穿过闭合曲线一次，则第一项为 2π。如果 z 轴并不穿过闭 合曲线，则此项为零。
418．]这种计算立体角的方法涉及座标轴的在某种程度上带有任意性
的一种选择，从而它并不是只依赖于闭合曲线的。因此，为了几何学上的 适当性，可以谈谈下面这种并不涉及任何曲面画法的方法。
当从一个给定点画起的矢径描绘出一条闭合曲线时，设有一个通过所
给点的平面在闭合曲线上滚动，以致这个平面逐次成为曲线上每一点的切 面。设从所给点开始画一条单位长度的直线使它垂直于这个平面。当平面 沿闭合曲线滚动时，这条垂线的端点将描绘出第二条闭合曲线。设第二条 闭合曲线的长度为σ，则第一条闭合曲线所张的立体角是
ω＝2π-σ．
　　这一结果可以从一条众所周知的定理推出。那定理就是，单位半径的 球面上一条闭合曲线所限定的面积，以及这一极座标曲线的周长，在数值 上等于球面上一个大圆的周长。这种想法有时在求一个直线图形所张的立 体角时是方便的。我们的目的是要形成物理现象的一种清晰的概念。对于 这种目的来说，下述的办法是更合用的，因为它并不会用到问题之物理数 据以外的任何构想。
419．]设在空间中给定了一条闭合曲线 s．而我们必须求出 s 在一个 给定点 P 上所张的立体角。如果我们把这个立体角看成边界线和闭合曲线 相重的一个单位强度的磁壳所引起的势，我们就必须把它定义为一个单位


① ｛当要确定一条已给闭合曲线对它所张立体角的那个点是运动的时，如果我们假设矢径沿曲线的运动方
向永远相同，则球上的面积可以看成正的。若当从球心看过去时该面积是位于球的一侧，即矢径端点的运 动显得是顺时针进行的那一侧；它是负的，如果情况想反的话。｝

磁极在从无限远处运动到点 P 时反抗磁力而作的功。因此，如果σ是磁极
向 P 点运动过来时所沿的路径，则磁势必然是沿这一路径的一个线积分的 结果。它也必将是沿闭合曲线 s 的一个线积分的结果。因此，立体角表示 式的正确形式，必将是按两条曲线 s 和σ来计算的一个二重积分。
　　当 P 位于无限远处时，立体角显然是零。当 P 逐步靠近时，从运动点 看来的闭合曲线就显得是逐渐张开的，从而整个的立体角就可以设想为是 当运动点靠近过来时由闭合曲线上不同线段元的表观运动来生成的。
　　当 P 点径由线段元 dσ从 P 运动到 P′时，我们用 ds 来代表的闭合曲 线之线段元 QQ′将相对于 P 而改变其位置，而单位球上和 QQ′相对应的直 线则将在球面上扫过一个面积，我们可以把这个面积写成
dω＝Пdsdσ．(1)
　　为了求出П，让我们假设 P 为固定而闭合曲线却平行于自身而移动了 一段等于 PP′但方向相反的距离 dσ．P 点的相对运动将和实际事例中相 同。


　　在这种运动过程中，线段元 QQ′将生成一个平行四边形的面积，其二 边分别平行于并等于 QQ′和 PP′．如果我们以这个平行四边形为底而以 P 为顶点来画出一个角锥体，则这个角锥体的立体角就将是我们正在寻求的 增量 dω．
为了确定这一立体角的值，设 Q 和 Q′分别是 ds 及 dσ和 PQ 之间的夹
角，并设φ是这两个角度的平面之间的夹角，于是平行四边形 ds．dσ的 PQ 或γ的垂面上的投射面积就将是
dsdσsinθsinθ′sinφ，
而既然这一面积等于γ2dω，我们就有
1

d? ? ?dsd? ?

由此即得

r 2 sin ? sin ?' sin ?Xsd?, (2 )

1
? ? sin ? sin ?' sin ?, (3)
r 2
420．]我们可以用γ及其对 s 和σ的微分系数来把角θ、θ′和φ表
示出来，因为


cos ? ?

dr
,cos ?' ?
ds

dr , 而sin ? sin ?' cos ? ? r
d?

d 2 r dsd?


(4)

于是我们就求得П2 的值如下：
2

? 2 ? 1 1 ?

dr 2

1 ? dr

2 ? 1

d r 2 5

r 4 [ ( ds ) ][ ( d? ) ]

r 2 ( dsd? ) ( )

　　用直角座标来表示的第三个П表示式可以由下述考虑来得出：立体角 为 dω而边长为γ的那个角锥体的体积是
1 1
r 3d? ? r 3 ?dsd?
3 3
　　但是这个角锥体的体积也可以用 r、ds 和 dσ在 x 轴、y 轴和 z 轴上的 投影来表示成这九个投影的行列式，而我们则必须取这个行列式的第三个
部 分 。 于 是 ， 作 为 П 的 值 ， 我 们 就 得 到


? ? x, ? ? y,? ? z,
1 d? d? d?

? ? ?
r 3

, ,
d? d? d?

（6）

dx dy dz
, ,
ds ds ds
这一表示式给出П的值，而不带方程(5)所引入的正负号方面的含糊性。
421．]现在，闭合曲线在 P 点所张立体角ω的值就可以写成
? ? ?? ?dsd? ? ? 0 , (7)
式中对 s 的积分是沿着整个闭合曲线计算的，而对σ的积分则从曲线上的
一个固定点 A 计算到点 P．常数ω0 就是立体角在点 A 上的值。如果 A 位于
离闭合曲线的无限远处，则ω0 为零。
　　ω在任一点 P 上的值和 A、P 之间的曲线形状无关，如果该曲线并不穿 过磁壳本身的话。如果磁壳是无限薄的，而 P 和 P′是相距很近的两个点， 但是 P 位于磁壳的正表面上而 P′位于它的负表面上，则曲线 AP 和 AP′必 然位于磁壳边界相反的两侧，于是 PAP′就是一条曲线，它和无限短的线
段 P′P 一起形成绕过边界线的一条闭合曲线。ω在 P 点的值比在 P′点的
值大 4π，这也就是一个单位半径的球面的面积。 因此，如果画一条闭合曲线使它穿过磁壳一次，或者换句话说，如果
它和磁壳的边界线互相穿套一次，则在这两条曲线上计算的积分
?? Пdsdσ的值将是4π．
　　因此，当看成只依赖于闭合曲线 s 和任意曲线 AP 时，这个积分就是一 个多值函数的实例。因为，如果我们沿着不同的路径从 A 移动到 P，则积 分将有不同的值，全看曲线 AP 穿过曲线 s 的次数而定。
如果 A 和 P 之间曲线的一种形状可以不经过和曲线 s 相交的连续变动
而变换成另一种形状，则积分在这两条曲线上将有相同的值，但是，如果 它在变动中和闭合曲线相交 n 次，则积分值将相差 4πn．
设 s 和σ是空间中任意两条闭合曲线，如果它们并不互相穿套，则在
两条曲线上各计算一次的积分是零。如果他们沿同一方向互相穿套 n 次， 则积分的值为 4πn．然而，也可能有两条曲线沿相反的方向而交替穿套， 以致他们不可分离地互相扭结在一起，尽管积分的值是零。见图 4．


　　这个积分表示着一个磁极当在一个闭合电流的附近描绘一条闭合曲线 时外界对它作的功，它也指示着两条闭合曲线之间的几何学联系；正是由 于高斯发现了这个积分，才使他因为自从莱布尼兹、欧勒和范德蒙德以来 “位置几何学”的进步之慢而深感遗憾。然而我们现在却有些进步可以报 告，这主要归功于黎曼、亥姆霍兹和李斯廷。
422．]现在让我们考察沿闭合曲线对 s 求积分的结果。方程（7)中П 的一项是