① ｛П的正负号可以通过考虑一个简单事例来最容易地得出；为此目的，一个垂直于盘面而被磁化的圆盘
的事例是很合用的。｝

? ? xd?dz
? r 3 d?ds

d?
?
d?d?

1 dz
( ) （8）
r ds

如果我们为了简单而写出


F ? ?

1 dx


ds, G ? ?

1 dy


ds, H ? ?

1 dz

ds,（9 ）

r ds

r ds

r ds

式中的积分沿着闭合曲线 s 计算一周，则П的这一项可以写成
d? d 2 H



而? Пds中的对应项则为
d? dH
d? d?

,
d? d?ds

现在，把П的各项归并起来，我们就可以写出
d?
? ? ? ?ds
d?

dH
? ( ?
d?

dG d?
)
d? d?

dF
? ( ?
d?

dH d?
)
d? d?

dG
? ( ?
d?

dF d?
) （10）
d? d?

　　这个量显然就是ω的减少率，即磁势沿曲线σ绕行时的减少率；或者 换句话说，它就是 dσ方向上的磁力。通过逐次假设 dσ和 x、y 及 z 轴方 向一致，我们就得到磁力分量的值
　　
d? dH

dG ?

? ? ? ? ? ,?

d? d?
d? dF

d? ?
dH ?

? ? ? ? ? , ?

（11）

d? d?
d? dG
? ? ? ? ?

d? ?
dF ?
?

d? d?

d? ?

各量 F、G、H 是一个磁壳的矢势分量，该磁壳的强度为 1 而其边界线
是 s．他们并不像标势ω那样是一些有着一系列值的函数，而在空间的每 一点上都完全确定。
由以一条闭合曲线为边界的一个磁壳在一点 P 上引起的矢势，可以用
下述的几何作图方法求得。
　　设一点 Q 沿闭合曲线而运动，其速度在数值上等于该点到 P 的距离； 再设第二个点 R 从一个固定点 A 开始，其运动速度的方向永远平行于 Q 的 速度，但其速度的数值等于 1，当 Q 已经沿闭合曲线运行了一周时，作连
线 AR，于是线段 AR 就在方向上和量值上表示由闭合曲线在 P 点引起的矢 势。
放在磁场中的一个磁壳的势能
　　423．]我们在第 410 节中已经证明，放在势为 V 的磁场中的一个强度 为φ的磁壳的势能是
　　
dV
M ? ??? (l dx

dV
? m ? n
dy

dV
)dS, （12）
dz

式中 l、m、n 是磁壳正侧的外向法线的方向余弦，而积分遍布于磁壳的面 积上。

　　现在，借助于磁场的矢势，可以把这个面积分变换成一个线积分，而 且我们可以写出
　　
dx
M ? ??? (F ds

dy
? G ? H
dx

dz )ds, （13）
ds

式中的积分应沿形成磁壳之边界的闭合曲线 s 计算一周，而从磁壳的正侧 看去 ds 的方向应是逆时针的。
　　如果现在我们假设磁场是由强度为φ′的第二个磁壳引起的，我们就 可以由第 416 节或第 405 节的结果直接定出 F 的值。如果 l′、m′、n′ 是第二个磁壳的面积元 ds′上的外向法线的方向余弦，我们就有
　　
d
F ? ?' ?? (m'

1 d
? n'

1
)dS' ,

dz' r

dy' r

式中γ是面积元 ds′和第一磁壳边界线上一点之间的距离。 现在，这个面积分可以变换成一个沿第二磁壳边界线的线积分，那就

是

?' ?



1 dx'



ds'



（14 ）

r
同样即得

ds'


1 dy'

G ? ?? r


ds'

ds'


H ? ?' ?

1 dz'
r ds'


ds'

把这些值代入 M 的表示式中，我们得到


M ? ???' ??

1 dx dx'
(

dy dy'
? ?

dz dz'


)dsds' ,

（15）

r ds

ds'

ds ds'

ds ds'

式中的积分沿 s 计算一周并沿 s′计算一周。这一表示式给出由两个磁壳 的相互作用而来的势能，而且正如理所当然的那样当把 s 和 s′互换时表 示式是不变的。这在电流理论中是一个很重要的物理量。如果我们用 c 来 代表线段元 ds 和 ds′的方向之间的夹角，则 s 和 s′的势可以写成
cos c

?? r

dsds'

（16）

这显然是一个具有长度量纲的量。



第四章


感生磁化
　　424．]迄今为止，我们一直把磁体中的磁性分布看成一种明确给出的 研究数据。除了在曾经设想磁体被打成小块或是一些小块被从磁体取走而 并不改变任何部分的磁化的那些推理段落以外，我们对磁化是永久的或暂 时的问题并未作出任何假设。
　　现在我们必须参照磁化所能被产生或被改变的方式来考虑物体的磁 化。经发现，保持在平行于地球磁力的方向上的一根铁棒，会变成有磁性， 其二极和地球的各极相反，或者说它是采取罗盘指针处于稳定平衡时的位 置。
　　放在磁场中的任何一块软铁，都被发现为显示磁性。如果它被放在场 中磁力较大的部分，例如放在一个蹄形磁铁的两极之间，则软铁的磁性变 强。如果铁块被从磁场中取出，则它的磁性大大减弱或完全消失。如果铁 的磁性完全依赖于它所在的场中的磁力，而当从场中取出时磁性就消失， 则它叫做“软铁”。在磁的意义上是软的铁，在字面的意义上也是软的。 它很容被弄弯并得到永久的变形，而且很不容易被弄断。
当从磁场中被取出时仍保持其磁性的铁，叫做“硬铁”。这样的铁不
像软铁那样容易达成其磁状态。锤击手续或任何其他种类的振动，能使硬 铁在磁力的影响下更容易达成磁状态，并使它当磁化力被取消时更容易离 开磁状态①。磁性上硬的铁也更难弯曲而更易于折断。
锻造、轧制、拉丝和突然冷却等过程倾向于使铁变硬，而退火过程则
倾向于使铁变软。 硬钢和软钢之间的磁性差别，也像它们的机械差别一样，是比硬铁和
软铁之间的差别大得多的。软钢几乎像铁一样容易被磁化和被去磁，而最
硬的钢则是制造我们希望长久使用的磁体的最好材料。 铸铁虽然比钢含有更多的碳，但是却不像钢那样易于保持磁性。 假如一个磁体可以磁化得使它的磁化分布不会被它能受到的任何磁力
所改变，它就将可以称为一个刚性磁化的物体。唯一已知的满足这种条件
的物体就是里边通有恒定电流的一个传导电路。 这样一个电路显示磁学性质，从而可以叫做一个电磁体，但是它的磁
学性质却不受其他场中的磁力的影响。我们将在第四编中回到这一课题上
来。
　　一切实际的磁体，不论是用硬化的钢做成还是用磁石做成的，都被发 现为会受到外来作用的任何磁力的影响。
为了科学的目的，区分永久磁化和暂时磁化是方便的；这时把永久磁 化定义为不依赖于磁力而存在的磁化，把暂时磁化定义为依赖于磁力而存 在的磁化。然而我们必须注意，这种区分并不是建筑在一种有关可磁化物 质之内在本性的知识上的，它只是一种为了使计算和现象发生关系而引入 的一个假说的表达方法而已。在第五章中，我们将回到物理的磁化理论上



① ｛厄翁（Phil.Trans.Partii.1885）曾经证明，当不受到振动和去磁力的影响时，软铁可以比最硬的钢保持
其更大的磁性。｝

来。
　　425．]在目前，我们将考察暂时磁化，所依据的假设是，物质中任一 粒子的磁化，只依赖于作用在该粒子上的磁力。这个磁力可以部分地起源 于外界的原因，并部分地起源于附近各粒子的暂时磁化。
　　借助于磁力的作用而这样磁化了的一个物体，叫做被感应磁化了，而 其磁化则叫做由磁化力所感生的。
　　由一个给定磁力所感生的磁化，在不同的物质中是不同的。在最纯的 和最软的铁中，感生磁化最大，这时磁化和磁力之比可以达到 32，甚至达
到 45①． 其他的物质，例如金属镍和金属钴，可以达到一种较低的磁化程度，
而且人们发现，当受到足够强的磁力作用时，所有的物质都会显示极性。 当磁化和磁力方向相同，就像在铁、镍、钴等等中那样时，物质就叫 做“顺磁性的”、“铁磁性的”或简称为“磁性的”物质。当感生磁化和 磁力方向相反，就像在铋等等中那样时，物质就被说成是“抗磁性的”。 在所有的这些抗磁性物质中，磁化和产生磁化的磁力之比都是非常小

的，在铋中仅为－

1
400000

，而铋是已知的最高度抗磁性的物质。

　　在结晶的、形变的和组织化的物质中，磁化的方向并不总是和引起磁 化的磁力的方向相一致。相对于固定在物体内的座标轴来说，磁化分量和 磁力分量之间的关系，可以用一组三个线性方程来表示。我们即将证明， 在这些方程所包含的九个系数中，只有六个是独立的。有关这一类物体的 现象，叫做“磁晶现象”。
当放在一个磁力场中时，晶体倾向于转入适当的取向，以使最大顺磁
感应或最小抗磁感应的轴线和磁力线相平行。见第 436 节。 在软铁中，磁化的方向和该点磁力的方向相重合，而且对于小值的磁
力来说磁化近似地正比于磁力①。然而，当磁力亡大时，磁化却增加得较慢
一些，而且由第六章中所描述的那些实验将可看出，存在一个磁化的极限 值，而不论磁力的值是什么，磁化都不能超过这个值。
在下面的简略感生磁理论中，我们将从一种假设开始，那就是，磁化
正比于磁力，并且和磁力共线。
感生磁化系数的定义
426．]设■是在物体中任意点上像在第 398 节中那样定义的磁力，而 ?是该点的磁化，则?和■之比叫做“感生磁化系数”。 用к代表这个系数，则感生磁的基本方程是
　　?=k■(1) 系数к对铁磁性和顺磁性物质来说是正的，对铋及其他抗磁性物质来说是 负的。它在铁中可高达｛1600｝，而且在镍和钴的事例中也被说成是大的， 但在所有其他的事例中它都是一个很小的量，不超过 0.00001．
力■部分地起源于被感生磁化的物体外部的那些磁体，部分地起源于 物体本身的感生磁化。这两部分都满足有势条件。427．]设 V 是由物体外



① Thalén,NovaActa,Reg.Soc.Sc.,Upsal,1863｛厄翁（见前引文献）已经证明，这个比值可以高达 279，而且，
如果铁丝在受到磁力作用时经过摇动，则比值甚至可以达到 1600．｝
① ｛瑞利勋爵（Phil．Mag．23,p ．225,1887）曾经证明，当磁 大时二者就不再成正比了。｝

面的磁体所引起的势，而Ω是由感生磁化所引起的势，那么，如果 U 是由 这两种原因所引起的实际的势，则有
U＝V＋Ω(2)
设磁力■沿 x、y、z 方向的分量是α、β、γ，而磁化?的分量是 A、B、C， 则由方程(1)得到
A = ka， ?
?

B = kβ，?
C = kγ，?

（3）

将这些方程分别乘以 dx、dy、dz 并相加，我们就得到 Adx+Bdy+Cdz=k(αdx+βdy+γdz)．
但是，既然α、β和γ是由势 U 推得的，我们就可以把右端写成—kdU． 因此，如果 k 在物质中到处为常量，则上式的左端也必然是 x、y 和 z
的一个函数的全微分。用φ代表这个函数，则上式变成
　　dφ=-kdU(4) 式中
d? d? d?
A＝ ，B＝ ，C＝ ，（5）
dx dy dz
因此，磁化是层状的，正如在第 412 节中定义的那样。在第 385 节中已经 证明，如果ρ是自由磁量的体密度，则有
dA dB dC
ρ＝－( ? ? )，
dx dy dz
由于存在方程(3)，上式变为
d? d? d?
? ? ? x( ? ? )
dx dy dz
但是，由第 77 节就有
d? d? d?
? ? ? ? r??
dx dy dz
因此得到 (1+4πk)ρ=0
由此即得，在整块物质中应有
　　ρ=0，(6) 从而磁化既是层状的，也是管状的。
因此，除了在物体的边界面上以外，不存在任何自由磁量。如果 v 是 表面的内向法线，则磁量的面密度是
d?

? ? ?
dv

（7 ）

　　因此，由这一磁化在任意一点上引起的势Ω，可以由下列的面积分求 得：
　　

? ? ??

?
ds （8）
r

　　Ω的值将到处是有限的和连续的，而且在表面的内外都将满足拉普拉 斯方程。如果我们用一个撇号来区分表面外部的Ω值，而且，如果 v′是 外向法线，则我们在表面上得到
　　
Ω′=Ω；(9)
d? d?'
? ? ?4??, 根据第786节，
dv dv'
k?

? 4?

?, 根据（7），
dv
dU

? ?4?k

, 根据（4），
dv

dV
? ?4?k(
dv

d?
? )，根据(2) ．
dv

因此我们可以写出第二个表面条件式

d?
(1 + 4?k)
dv

d?'
+
dv'


+ 4 ?k

dV
= 0 (10)
dv

　　由此可见，在一个以曲面 S 为边界并受到其势为 V 的磁力的作用的均 匀各向同性的特体中，感性磁量的确定可以归结为下列的数学问题。
　　我们必须求出满足下列条件的两个函数Ω和Ω′：在曲面 S 内部，Ω 必须是有限和连续的，而且必须满足拉普拉斯方程。
　　在曲面 S 的外面，Ω′必须是有限和连续的，它在无限远处必须变为 零，而且它必须满足拉普拉斯方程。
在曲面本身的每一点上，Ω=Ω′，而且Ω、Ω′和 V 沿法线求的方向
导数必须满足方程(10)。 这种处理感生磁量问题的方法，是由泊松提出的。他在自己的论著中
使用的一个量 k 和这里的 k 并不相同，而是和它有下列的关系：
4πk(k-1)+3k=0．(11)
我们在这里采用的 k 这个系数，是由 F.E.诺依曼引入的。
　　428．]感生磁的问题，也可以通过像法拉第那样引入我们称之为“磁 感”的那个量来用另一种办法处理。磁感■、磁力■和磁化?之间的关系， 由方程
■=■+4π?(12)
来表示。 用磁力来表示感生磁化的方程是 ?=k■(13)
因此，消去? ，我们就得到其磁化由磁力感生而成的物质中的磁感和
磁力之间的关系式如下：
■=(1+4πκ)■．(14) 在最普遍的事例中，κ可以不仅是物质中各点位置的函数，而且是矢
量■的方向的函数。但是在我们现在考虑的事例中，κ却是一个数字量。 如果写出
　　μ=1+4πκ，(15) 我们就可以把μ定义成磁感和磁力之比，而且我们可以把这一比值叫做物 质的磁感本领，以别于感生磁化系数κ．
　　如果用 U 来代表由外界原因所引起的势 V 和感生磁化所引起的势Ω合 成的总磁势，我们就可以表示磁感分量 a、b、c 和磁力分量α、β、γ如 下：
　　

a ? ?? ? ? ?

dU ?
,?



b ? ?? ? ??


c ? ?? ? ??

dx ?
dU ?
,?
dy ?
dU ?
, ?
dz ?



（16）

各分量 a、b、c 满足管状条件
da db dc
? ? ? 0 （17）
dx dy dz
由此可见，势 U 必须在μ为常量处的每一点上满足拉普拉斯方程

d2 U
dx 2

d 2 U
?
dy2

d 2 U
?
dz 2


? 0, （18）

也就是必须在均匀物质或真空中的每一点上满足该方程。
在表面本身上，设 v 是指向物质内部的法线而 v′是外向法线，如果 物质外部各量的符号用一个撇号来区分，则磁感的连续性条件是
　　
dx
a ? b
dv

dy dz
? c
dv dv


? a'

dx
dv'


? b'

dy
dv '


? c'

dz
dv'


? 0; (19)

或者，由方程(16)就得，

dU
? ? ?'
dv

dU'
? 0
dv'


(20)

　　磁体外面的磁感系数μ′将是 1，除非周围的媒质是磁性的或抗磁性 的。
如果把 U 的值用 V 和Ω表示出来，并把μ的值用κ表示出来，我们就
得到以前用泊松法求得的同一方程(10)． 当从磁感和磁力的关系方面来看它时，感生磁的问题是和在第 310 节
中给出的那种各向异性媒质中的传导电流的问题确切对应的。
磁力从磁势中导出，恰恰和电力从电势中导出完全一样。 磁感是一个具有流量本性的量，而且像电流一样满足同样的连续性条
件。
　　在各向同性媒质中，磁感依赖于磁力的方式，恰恰和电流依赖于电动 势的方式相对应。
一个问题中的磁比感本领，对应于另一问题中的电导率。因此汤姆孙
在他的 TheoryofInducedMagnetism(Reprint，1872，p.484)[《感生磁理 论》]中曾称这个量为媒质的“磁导率”。
　　现在我们作好准备来从我所认为的法拉第观点考虑感生磁的理论了。 当磁力作用在任何一种媒质上时，不论媒质是磁性的、抗磁性的还是 中性的，它都会在媒质中引起一种叫做“磁感应”的现象。磁感是一种具 有流量本性的有向量，而且像电流及其他流量那样地满足相同的连续性条
件。
　　在各向同性媒质中，磁力和磁感方向相同，而且磁感是磁力和我们曾 用μ来代表之的一个叫做磁感系数的量的乘积。在真空中，磁感系数是 1。 在可以受到感生磁化的物体中，磁感系数是 1+4πκ=μ，式中κ是已经定 义为感生磁化系数的那个量。
　　
429．〕设μ、μ′是两种媒质的分界面两侧的μ值，如果 V、V′
是两种媒质中的势，则两种媒质中指向分界面的磁力是 dV 和 dV' ．
dv dv'
通过面积元 dS 的磁感通量，沿指向 dS 的方向计算，在两种媒质中分
别是? dV dS和?' dV' dS．
dv dv'
既然流向 dS 的总通量为零，就有

dV
? ? ?'
dv

dV'
? 0
dv'

但是，由关于密度为σ的表面附近的势的理论可知，
dV dV
? ? 4 ?? ? 0
dv dv'
由此即得，

dV
(1 ?
dv

?
) ? 4?? ? 0
?'

如果κ1 是系数为μ的媒质中表面磁化和法向力之比，我们就有
? ? ?'
4?k1 ? ?'
由此可见，按照μ是大于或小于μ′，κ 1 将是正的或负的。如果我们
令μ=4πκ+1 和 dμ′=4πκ′+1，就有
k ? k'
k 1 ? 4 ?k '?1
在这一表示式中，κ和κ′是由在空气中进行的实验推得的第一种和
第二种媒质的感生磁化系数，而κ1 是当被第二种媒质所包围时第一种媒质
的感生磁化系数。
如果κ′大于κ，则κ1 是负的，或者说第一种媒质的表观磁化是和磁
化力方向相反的。 例如，如果一个充有顺磁性铁盐之稀水溶液的容器被挂在同种盐类的
较浓溶液中并受到一个磁体的作用，则容器将运动，就像是沿着和当一个
磁体被悬在同一地点时所将采取的方向相反的方向而被磁化了那样。 这一点可以用一条假说来加以解释；其假说就是，容器中的溶液确实
是沿着磁力的方向而被磁化的，但是容器周围的溶液却是更强地沿着同一
方向而被磁化的。因此，容器就像是放在两个强磁体之间的一个弱磁体， 三者都沿着相同的方向而被磁化，从而相反的极互相接触。弱磁体的北极 指向强磁体北极所指的同一方向，但是，既然它是和较强磁体的南极接触 着的，在它的北极附近就有一些多余的南磁量，这就使得弱磁体显得像是 沿相反的方向而被磁化了一样。
　　然而，在某些物质中，即使当它们被悬挂在所谓的真空中时，它们的 表观磁化也是负的。
如果我们假设真空的κ=0，则这些物质的κ将是负的。然而却从来不

曾发现任何具有数值上大于 1
4?
是正的。

的负κ的物质，因此一切已知物质的μ都

κ为负从而μ小于 1 的物质，叫做“抗磁性物质”。κ为正而μ大于
1 的物质叫做“顺磁性物质”或“铁磁性物质”，或者简称为“磁性物质”。 当我们在第 832—845 节中讨论到电磁现象时，我们将考虑抗磁性质和
顺磁性质的物理理论。
　　430．〕磁感应的数学理论是由泊松①最初提出的。他的理论所依据的， 是二磁流体假说，这是和二电流体学说有着相同的数学优点和物理困难的 一个假说。然而，为了解释为什么一块软铁可以通过感应来被磁化，而却 不能充以数量不相等的两种磁质，泊松就假设了一般的物质是磁流体的非 导体，而且只有物质的某些小部分才含有处于自由状态从而可以服从所受 作用力而运动的磁流体。物质中的这些小的磁性元，每个都含有数量恰好 相等的两种磁流体，而且在每一磁性元的内部，磁流体是可以完全自由地 运动的，但是磁流体却绝不能从一个磁性元转入另一个磁性元中。
　　因此，问题就和关于若干个小的导电物体的问题属于同一类型，那些 小导体是散布在一种介电绝缘的媒质中的。这些导体可以具有任意的形 状，如果它们是小的并且互不接触的话。
　　如果它们是一些沿着同一公共方向排列的长形物体，或者，如果它们 在一个方向上比在另一个方向上更加密集，则正如泊松本人已经证明的那 样，媒质将不是各向同性的。因此，为了避免无用的复杂性，泊松就考虑 了这样一种事例：每一个磁形元都是球形的，而且它们的分布并不偏向于 任何轴线。他假设了，物质的单位体积中所含各磁性元的总体积是κ．
我们在第 314 节中已经考虑了一种媒质的电导率，在那种媒质中，分
布得有一些另一种媒质的小球。
如果媒质的电导率是μ1 而小球的电导率是μ2，则我们已经求得复合
体系的电导率是
2?1 ? ?2 ? 2k (? 2 ? ?1 )

? ? ?1 2? ? ?


? k (?


? ? )

1 2 2 1
令μ1=1 而μ2=∞，此式就变为
1 ? 2 k
? ?
1 ? k
　　这个量μ就是由一些理想导电的小球分布在一种电导率为 1 的媒质中 而形成的复合媒质的电导率，单位媒质体积中小球的总体积为κ．
μ这个符号也代表一种媒质的磁感系数，该媒质包括一些磁导率为无
限大的小球，分布在一种磁导率为 1 的媒质中。 我们将称之为“泊松磁系数”的κ这个符号，代表的是各磁性元的和
物质的总体积之比。 κ这个符号被称为“诺依曼磁感系数”。它比泊松的系数更适用。 我们将把符号μ叫做“磁感系数”。它的优点在于能使我们很容易地
把磁的问题翻译成有关电和热的问题。 这三个符号的关系如下：







① M émoiresdel’Institut,1824，p.247．

4 ?k
k ?
4?k ? 3
? ? 1


, k ?

? ? 1
,
? ? 2
3k

k ? , k ?
4 ?

,
4? (1 ? k)

1 ? 2 k
? ?
1 ? k


, ? ? 4 ?k ? 1

如果我们按照塔伦①有关软铁的实验令κ=32，就会
得到κ = 134 ．按照泊松的理论，这就是磁分子的总体积和铁的总体积
135
之比。在一个空间中堆满相等的小球，是不可能作到使它们的体积和空间 总体积之比如此接近于 1 的，而且也很难想像铁的这么大一部分体积都被 刚性的分子所占满，不论这些分子是什么形状。这是我们之所以必须放弃 泊松假说的理由之一。其他的理由将在第六章中加以论述。当然，泊松的 数学探讨的价值并不会减小，因为这种探讨不是建筑在他的假说上，而是 建筑在感生磁化的实验事实上的。













































① Recherchessurlesproprietésmagnétiquesdufer，NovaActa，Upsal，1863．

第五章


磁感应的特殊问题 中空球壳

　　431．〕一个磁感问题的完备解的第一个例子，是由泊松针对一个受到 任意磁力作用的中空球壳而给出的。为了简单，我们将假设磁力的源位于 球壳外面的空间中。如果用 V 代表由外部磁体系引起的势，我们就可以把
V 展成体谐函数的级数
V=C0S0+C1S1r+?+CiSiRi+?(1)
式中γ是从球壳中心量起的距离，Si 是 i 阶的面谐函数，而 Ci 是一个系数。
设球壳的外半径为 a2 而内半径为 a1，并设由球壳的感生磁量所引起的
势是Ω。函数Ω的形式，通常在球内空间、球壳物质和球外空间中是不同 的。如果把这些函数展成球谐函数的级数并只注意包含面谐函数 Si 的各 项，我们就会发现，如果Ω1 是对应于球壳内部的空间的函数，则Ω1 的展 式必然是由形如 A1S0γi 的正的谐函数构成的，因为势一定不能在半径为 a1 的球内变为无限大。
在γ介于 a1 和 a2 之间的球壳物质中，级数可以既包含γ的正次幂也包
含γ的负次幂而形如 A2Siri+B2Sir-(i+1)
在球壳外面，γ大于 a2，既然不论γ多大级数也必须收敛，我们就必
将只有γ的负次幂，形如 B3Sir-(i+1)
函数Ω所必须满足的条件是：它必须是 1°有限的，2°连续的，
3°在无限远处变为零，4°到处满足拉普拉斯方程。 由 1°，就有 B1=0.
由 2°，当γ=a1 时应有 (A1-A1)a1-B2i+1=0(2)
而当γ=α2 时应有
(A2-A3)a22i+1+B2-B3=0(3)
由 3°就有 A3=0，而条件 4°是到处满足的，因为各函数是一些谐函
数。
　　但是，除了这些条件以外，由于有第 427 节中的方程(10)，还有另外 一些条件必须在内表面和外表面上得到满足。
在γ=a1 的内表面上，有
d? d? dV

(1 + 4?k) 2 ? 1 ? 4 ?k

? 0, （4 ）

dr dr dr
而在γ=a2 的外表面上则有

d? d? dV
? (1 ? 4 ?k ) 2 ? 3 ? 4 ?k ? 0


（5）

dr dr dr
由这些条件，我们得到两个方程
(1+4πk){iA2a12i+1-(i+1)B2}-iA1a12i+1+4πkiCia12i+1=0，(6)
(1+4πk){iA2a22i+1-(i+1)B2}+(i+1)B3+4πkiCia22i+1=0；(7)
而且，如果令


N i ?

1

(1 ? πk)(2i ? 1)2 ? (4 πk ) 2 i(i ? 1)(1 ?



a1 )2 i?1 )


, (8)

a 2
我们就得到
a
A ? ?(4?k ) 2 i(i ? 1)(1 ? ( 1 ) 2i ?1 )N C , (9 )
1 i i
2
a
A ? ?4 πki[2 i ? 1 ? 4 πk (i ? 1)(1 ? ( 1 )2 i?1 ]N C , (10)
2 i i
2
B ? 4 πki(2 i ? 1)a 2 i?1 N C , (11)
2 1 i i

B3 ? ?4 πki{2i ? 1 ? 4 π(i ? 1)}(a2

2 i?1 ? a

2i?1 )N C (12)

　　把这些量代入谐函数展式中，就得到由球壳的磁化所引起的那一部分 磁势。量 Ni 永远是正的，因为 1+4πκ不可能为负。由此可知 A1 永远为负，
或者换句话说，磁化球壳在壳内一点上的作用永远和外磁力的作用相反， 不论球壳是顺磁性的还是抗磁性的。球壳内部的合磁势的实际值是
(Ci+A1)Siγi，
或者写作 (1+4πκ)(2i+1)2NiCiSiri．(13)
　　432．〕当像在软铁的事例中一样κ是一个大数时，球壳内的磁力只是 外磁力的一个很小的分数，除非球壳十分地薄。
用这种办法，W．汤姆孙爵士曾经通过把他的海上电流计封装在一个软
铁管中，来使该电流计不致受外磁力的影响。
433．〕具有最大的实用重要性的事例就是 i=1 的事例。这时就有：
1

N1 ?


9(1 ? 4πk) ? 2(4πk) 2 (1? (


a1 )3 )

, (14)



A ? ?2(4πk) 2 (1? (

a2
a1 )3 )N C ?
a
?
a ?

A 2 ? ?4πk[3 ? 8πk(1 ? ( a

1 ) 3 )]N C ,

(15)


B ? 12πka 3 N C ,
B3 ? ?4πk(3 ? 8πk)(a 2

2


? a1

? ? ?
)N 1C1 ??

在这一事例中，空壳内部的磁力是均匀的，其量值等于
9(1 ? 4πk)

C1 ? A1 ?


9(1 ? 4πk) ? 2(4πk) 2 (1? (

C
a1 )3 )

(16)

a2

　　如果我们希望通过测量一个空壳中的磁力并把它和外磁力相比较而来 确定κ，则球壳厚度的最佳值可由下列方程求得：
　　
3
1 ? 1

91? 4πk
?


(17)

a 3 2(4πk) 2

a d A

(C ? A )

｛这个 1 值使

{1 ? 1 }成为一个最大值，因此，当 1 1 的

a2 dk C1 C1
误差给定时，k 的对应误差是尽可能地小的。｝这时，壳内的磁力是壳外 的磁力的二分之一。
　　既然在铁的事例中κ是一个介于 20 和 30 之间的数，球壳的厚度就应 该大约是它的半径的百分之二。这种方法只有当κ较大时才是可用的。当
它很小时，A1 的值就变得微乎其微了，因为它是依赖于κ的平方的。
对于一个具有很小球形空腔的几乎是实心的球来说，我们有


A 1 ? ?

2(4πk)2
(3 ? 4πk)(3 ? 8πk)

?
C1 ,?



A 2 ? ?


B3 ? ?


4πk
3 ? 4πk
4πk
3 ? 4πk



C1 ,


C 1a2

? ?
? (18)
?
? ?
?

　　全部的这种探索，也可以从第 312 节中所给出的关于球壳导电的探索 直接推得，只要在那儿所给出的表示式中令κ1=(1+4πκ)κ2，并记得导 电问题中的 A1 和 A2 等价于磁感应问题中的 C1+A1 和 C1+A2 就行了。
　　434．〕二维空间中的对应解，图解式地表示在本卷末尾的图版十五上。 在离开中心有一个距离处，磁感线接近水平；图中表示的是磁感线受到一 个圆柱的干扰时的情况，圆柱被横向磁化，并放在它的稳定平衡位置上。 和这组曲线相正交的曲线代表等势面，其中一个是圆柱面。大的虚线圆代 表一个顺磁性物质圆柱的截面，圆内那些作为外部磁感线之延长线的水平 虚线代表物质内部的磁感线。竖直的虚直线代表内部的等势面，它们和外 部的一组等势面也是相接连的。可以看到，磁感线在物质内部被画得较密， 而等势面则被顺磁性圆柱隔开得较远一些，而按照法拉第的说法就是，顺 磁性圆柱能够比周围的媒质更好地传导磁感线。 如果把竖直的直线族看成磁感线而把水平的直线族看成等势面，我们首先 就得到一个在力线中位于其不稳定平衡位置上的横向磁化的圆柱的事例， 这时圆柱会使力线散开。其次，把大的虚线圆看成一个抗磁性圆柱的截面， 圆内的虚直线和外面的曲线一起，就代表一种抗磁性物质把磁感线排开和 把等势面拉近的效应，而这种物质是比周围媒质更差地传导磁感线的。
磁化系数在不同方向上有不同值的一个球的事例
　　435．〕设α、β、γ是任意点上的磁力分量，A、B、C 是磁化分量， 则这些量之间的最普遍的线性关系由下列方程组给出：
A = γ1α + p3 β + q 2 γ ?
?

B = q3 α + γ2 β + p1γ，?
C = P α + q β + γ γ，?

(1)

式中的系数γ、p、q 是九个磁化系数。 现在让我们假设，这就是一个半径为为 a 的球的内部的磁化情况，而
且物质内的每一点上的磁化都是均匀的和同方向的，其分量为 A、B、C． 让我们再假设，外部的磁化力也是均匀的和平行于一个方向的，而且
它的分量是 X、Y、Z． 因此，V 的值就是
V=-(Xx+Yy+Zz)，(2)
而由第 391 节可知，磁化球外面的势Ω′的值就是
V ? ?(X x ? Yy ? Z2 ), (2)
磁化球内部的势Ω的值是
? ? 4π (Ax ? By ? Cz) (4)
3
球内的实际势是 V+Ω，因此，关于球内的磁力分量，我们将有
4 ?
? ? X ? πA



? ? Y ?

3 ,?
?
4 πB, ?
3 ?
4 ?



(5)

? ? Z ? πC
3 ?
由此即得
4 4 4 ?

(1 ?

πr )A ?

πp B ?

πq C ? r X ? p Y ? q Z,

3 1 3
4 4

3 3 2 1 3 2 ?
? ?

πq A ? (1?

πr )B ?

πp C ? q X ? r Y ? p Z,?(6)

3 3 3 2
4 4

3 1 3 2 1 ?
4 ?

3 πp 2A ?

3 πq1 B ? (1 ?

3 πr3 )C ? p2 X ? q 1Y ? r3 Z

求解这些方程，我们得到
A = γ1 ' X + p3 ' Y + q 2 ' Z,?
?
B = q3 ' X + γ2 ' Y + p1 ' Z, ?(7)
C = p ' X + q ' Y + γ ' Z, ?
式中
4











4 2 ?

D' r1 ' ? r1 ? 3 π(r3 r1 ? p 2 q2 ? r1r2 ? p3 q3 ) ? ( 3 π)
4
D' ?p1 ' ? p1 ? 3 π(q 2 q 3 ? p1 r1 ),
4
D' q1 ' ? q1 ? 3 π(p2 p 3 ? q1 r1 ),

D,? ?
?
?（8）
? ?
??

此处 D 是方程组(6)右端的系数行列式，而 D′是其左端的系数行列式。 只有当系数组 p、q、γ是对称的，即当 p 式的系数等于对应的 q 式的
系数时，新的系数组 p′、q′、γ′才是对称的。

　　436．〕倾向于使球体绕着 x 轴从 y 轴转向 z 轴的力偶矩①，通过考虑 由一个元体积引起的力偶并对球体
求力偶矩之和来得出。结果就是
4
L＝ πa 3 (γB - βC)
3

? 4 πa
3


{p1 ' Z


? q1 ' Y


? (r2 '?r3 ' )YZ ? X(q 3 ' Z ? p2 ' Y)}(9)

如果我们令 X=0，Y=Fcosθ，Z=Fsinθ，
这就对应于一个位于 yz 平面上并和 y 轴成一个角度θ的磁力 F．如果在这
2π

个力保持恒定时使球转动，则每转一周力对球作的功将是?
这个功等于

Ld?但是

4 π 2 a 3F 2 ( p '? q ' )
3 1 1
由此可见，为使转动的球不致变成取之不尽的能源，应有 p1'=q1'；同
理应有 p2'=q2'和 p3'=q3'．
　　这些条件表明，在原有的方程组中，第三个方程中 B 的系数等于第二 个方程中 C 的系数，余类推。因此，方程组是对称的，而当相对于磁化主 轴写出时，各方程就变成
?

r1
A ? 4
1 ? πr
3
r2
B ? 4
1 ? πr

?
X,?
? ?
?
Y,?
?







(11)

3 2 ?
r ?
C ? 3 Z ?
1 ? πr ?
3 3
倾向于使球体绕 x 轴而转动的力偶矩是
4 r ? r

L ? πa3 2 3 YZ

(12)

3 4
(1 ? πr

4
)(1 ? πr )

3 2 3 3
在多数事例中，不同方向上的磁化系数之差是很小的，因此，如果γ
代表系数平均值，我们就可以令




① ［系数 p 和 q 的相等可以证明如下：设作用在球上的力使它绕着一个方向余弦为λ、μ、ν的直径转了
一个角δθ，若用 W 代表球的能量，则由第 436 节得到 但是，如果座标轴是固定在球中的，则转动的结 果将导致δX=（Yv-Z μ）δθ，?．因此我们可以令 既然转动的球不能变成一种能源，上式右端的表示 式就必须是一个全微分。于是，既然 A、B、C 是 X、Y、Z 的线性函数，W 就必然是 X、Y、Z 的二次函 数，由此立刻得到所要的结果。并请参阅 Sir W.Thomson，s Reprint of Papers on Electrostatics and Magnetism,pp.480—481.］

2 r ? r

L ? 3

πa 3 2 3 F 2 sin 2 ?
4
(1 ? πr) 2
3

（13）

　　这就是倾向于使一个晶体球绕着 x 轴而从 y 轴转向 z 轴的力[力矩]。 它永远倾向于使最大磁系数轴（或最小抗磁系数轴）转得和磁力线相平行。
二维空间中的对应事例已表示在图版十六上。 如果我们假设该图的上方是向北的，此图就代表受到一个圆柱的干扰
的力线和等势面，该圆柱是横向磁化的，其北极一面向着东方。合力倾向 于使圆柱从东向北转动。大的虚线圆代表一个结晶物质的柱体的截面，该 柱体沿着从东北到西南的一条轴线的磁感系数大于它沿着从西北到东南的 轴线的磁感系数。圆内的虚线代表磁感线和等势面，二者在这一事例中并 不是互相正交的。作用在柱体上的合力显然倾向于使柱体从东向北转动。
　　437．〕放在均匀而平行的磁力场中的一个椭球体的事例，是由泊松用 一种很巧妙的方式求了解的。
如果 V 是一个任意形状的具有均匀密度ρ的物体在点(x，y，z)
上引起的引力势，则 - dV 应是由同一物体的磁量所引起的势，如果物
dx
体被沿着x方向而均匀磁化到强度为I = ρ的话。因为， - dV ?x在任意点
dx
上的值，就是物体的势 V 对另一值 V′的超额，此处 V′就是当物体沿着 x
方向运动了一段距离-δx 时的势的值。
　　如果我们假设物体移动了一个距离-δx，而且它的密度从ρ变成了- ρ（就是说，它不再是由引力物质构成的而是由斥力物质构成的了)，则
dV
? ?x将是由这样两个物体所引起的势。现在考虑物体的任意一个元部
dx
分，设其体积为δν．它的质量是ρδν，而与此对应，就有一个移动后 的物体元，其质量为-ρδν，并位于距离-δx 处。这两个物体元的效应 是和一个强度为ρδν而长度为δx 的磁体的效应相等价的。磁化强度通 过把物体元的磁矩除以它的体积来求得。结果就是ρδx．
因此， - dV ?x就是一个沿x方向而磁化到强度ρδx的物体的磁势，
dx
而 - dV 就是磁化到强度ρ的物体的磁势。
dx
　　这个势也可以从另一角度来加以考虑。物体被移动了一个距离-δx 并 由密度为-ρ的物质所构成。在物体在其两个位置上所共同占据的整个空间 区域中，密度到处为零，因为，就其引力而言，两个相等而异号的密度将 互相抵消。因此，剩下来的只是一个壳，一边是正物质另一边是负物质， 从而我们可以认为合势就是由这物质引起的。在外向法线和 x 轴的夹角为
∈的地方，壳的厚度是δxcos∈而其密度为ρ．因此面密度就是ρδxcos
∈，而在势为 - dV 的事例中则面密度为ρcos∈．
dx
　　用这种办法，我们可以求出沿给定方向而均匀磁化的任意物体的磁 势。现在，如果这种均匀磁化起源于磁感应，则物体内部所有各点上的磁 化力也必须是均匀而平行的。
　　
　　这个力包括两部分，一部分由外界原因引起，另一部分由物体磁化引 起。因此，如果外磁力是均匀而平行的，则由磁化所引起的磁力挖物体内 部的所有各点上也必将是均匀而平行的。因此，为了使这一方法可以导致
磁感问题的一个解， dV 就必须在物体内部是座标x、y、z的一个线性
dx
函数，从而 V 就必须是座标的二次函数。
　　现在，我们所熟知的 V 在物体内部是座标的二次函数的事例，只有那 些物体的边界面是某些完全的二次曲面的事例，而其中这样一个物体为有 限大小的唯一事例就是当物体为一椭球体时的事例。因此我们将对椭球体 的事例应用这一方法。
设椭球的方程是
x2 y2 z 2

? ? ? 1
a 2 b2 c2

(1)

而Φ0 代表定积分
d(?2 )
? （2） ①
0 (a 2 ? 2 )( b2 ? ? 2 )(c2 ? ?2 )
于是，如果我们令
d? d? d?

L ? 4πabc 0 , M ? 4πabc 0 , N ? 4πabc 0 ,

（3）

d(a 2 )
则势在椭球内的值将是

d(b2 )

d(c 2 )

? 2 2 2

V0 ? ? 2 ( Lx

? My

? Nz

) ? 常量。 （4 ）

　　如果椭球是沿着其方向余弦为 l、m、n 的方向而磁化到均匀强度 I 的， 则磁化分量是
A=Il，B=Im，C=In，
而由这一磁化在椭球内部引起的势则是Ω=-1(Llx+Mmg+Nnz)．(5) 如果外磁化力是■而其分量为 X、 Y、 Z ，则它的势将是 V=-
(Xx+Yy+Zz)．(6)
　　因此，物体内部任一点上的实际磁化力的分量就是 X+AL，Y+BM， Z+CN．(7)
磁化和磁化力之间的最普遍的关系，由包含着九个系数的三个线性方
程来给出。然而，为了满足能量守恒的条件，在磁感应的事例中这九个系 数中的三个系数必须等于另外三个系数，从而我们就应该有
A ? k1 ( x ? 4L) ? k'3 (Y ? BM) ? k' 2 (Z ? CN), ?
?

B ? k' 3 ( X ? 4L) ? k 2 (Y ? BM) ? k'1 (Z ? CN), ?
C ? k' (X ? AL) ? k' (Y ? BM) ? k (Z ? CN),?

(8)

　　根据这些方程，我们可以由 X、Y、Z 求出 A、B 和 C，而这就将给出问 题的最普遍的解。
这时，椭球外面的势就将是由椭球的磁化所引起的势再加上由外磁力 所引起的势。
438．〕唯一具有实际重要性的事例就是


① 参阅 ThomsonandTait’sNaturalPhilosophy ，§525,2ndEdition．

　　κ′1＝κ′2=κ′3=0(9) 的事例。
这时我们就有

A ? k 1

?
X,?

1 ? k1 L ?
B ? k 2 , ?
1 ? k 2 M ?
k ?



（10）

C ? 3 Z ?
1 ? k 3L ?
如果椭球有两个轴是相等的，而且它的形状属于扁平型，则有
a

b ? c ?


1 ? e2

; (11)


L ? ?4π(




e 2 ?

1

1 ? e2
e3
1 ? e2


sin?1 e),

?
?
?
?
1 ? e2 ?





(12)

M ? N ? ?2π( sin?1 e ? )
e3 e2 ?
如果它的形状属于细长型，则有

a ? b ?

1 ? e2 c; (13)

1 1 ? e2

1 ? e ?

L ? M ? ?2π( 2 ?

3 log )?

e 2e
1 1 1 ? e

1 ? e ?
?

(14)

N ? ?4?(
e 2

? 1)( log
2e


1 ? e

? 1)

在球的事例中，e=0，故有
4

L = M = N = -
3

π．（15）

在平板式的椭球的事例中，L 的值在极限下等于-4π，而 M 和 N 变
为 ? π 2 a 。
c
　　在细长卵形的椭球的事例中，L 和 M 趋近于一个值-2π，而 N 趋近于 一个形式
　　
a 2 2c
? 4π (log
c2 a


? 1),

并当 e=1 时变为零。 由这些结果可以看出：
　　(1)当磁化系数κ很小时，不论它为正为负，感生磁化将近似地等于磁 化力乘以 k，而几乎和物体的形状无关。
　　(2)当κ是一个很大的量时，磁化主要依赖于物体的形状而几乎和κ的 确切值无关，只除了作用在一个细长椭球上的纵向力的事例以外，该椭球 是如此地细长，以致尽管κ很大而 Nk 却是一个小量。
　　
1
(3) 假如κ的值可以为负而等于 ，我们在垂直作用在一个平盘
　4π
上的磁化力的事例中就将得到无限大的磁化。这一结果的荒谬性，就证实 了我们在第 428 节中给出的结论。
　　由此可见，只要κ很小，就可以利用任意形状的物体来作测定κ值的 实验，例如在一切抗磁性物体以及除铁、镍、钴以外的一切磁性物体的事 例中就是这种情况。
　　然而，如果像在铁的事例中那样κ是一个大数，则利用球形或扁平形 的物体来作实验就是不适于测定κ的；例如，在球体的事例中，如果像在 某些种类的铁中那样κ=30，则磁化和磁化力之比将等于 1 比 4.22，而假 如κ为无限大，则这一比值将等于 1 比 4.19，因此，磁化测定中的很小误 差将导致κ值中的很大误差。
　　但是，如果我们使用一块很长的卵形铁，只要 Nk 和一相比还有中等的 大小，我们就可以由磁化的测定来推知κ的值，而 N 值越小则κ值将越准 确。
　　事实上，如果 Nk 被弄得足够小，则 N 本身方面的一个小误差将不会引 入多大误差，因此我们可以使用任意形状的长物体，例如长丝或长棒，而 不一定使用卵形体①。然而我们必须记得，只有当 Nk 还远小于 1 时这种代 换才是允许的。事实上，平头长柱上的磁量分布是和长卵形体上的分布并 不相像的，因为在柱端附近自由磁是很集中的，而在卵形体的事例中自由 磁的密度却和到赤道的距离成正比。
然而，圆柱上的电的分布，却确实可以和卵形体上的分布相比拟，正
如我们已经在第 152 节中看到的那样。 这些结果也使我们能够理解，当一个永磁体具有细长形状时，为什么
它的磁矩可以达到大得多的值。假若我们必须垂直于盘面的方向来把一个
圆盘磁化到强度 I，然后就把它放置不管，则内部各粒子将受到一个等于 4 πI 的恒定的去磁力，而这个去磁力即使还不足以破坏一部分磁化，它也 会很快地作到这一点，如果受到一些振动或温度变化的促进的话②。
假如我们要横向地磁化一个柱体，则去磁力将只是 2πI．
假如磁体是一个球，则去磁力将是 4 πI
3
在一个横向磁化的圆盘中，去磁力是π 2 a I，而在一个纵向磁化的
c

长卵形体中，去磁力是最小的，它等于4π a

2c
I log 。

c2 a
因此，一个细长的磁体，比一个粗短的磁体更不容易失去其磁性。 作用在沿三个轴线具有不同磁系数的一个椭球上并倾向于使它绕 x 轴
转动的力矩是
4 4 k ? k ? k k (M ? N)
πabc(BZ ? CY) ? πabcYZ 2 3 2 3
3 3 (1 ? k 2 M)(1 ? k 3 N)




① {如果使用长丝，它们的长度至少应为直径的 300 倍。}
② 磁感所将有的值。}

　　因此，如果κ2 和κ3 很小，这个力就将主要依赖于物体的结晶品质而 不依赖于它的形状，如果它的各方线度相差并不悬殊的话；但是，如果κ2 和κ3 相当大，就像在铁的事例中那样，力就会显著地依赖于物体的形状， 而物体就会转动得使自己的长轴平行于力线。假如可以得到一个足够强的 然而却是均匀的磁力场，则一个细长的各向同性的抗磁性物体也会转动， 以使自己的最长的线度和磁力线相平行①。
　　439．]一个旋转型椭球在任意磁力作用下的磁化分布问题，曾由 J．诺 依曼②研究过。基尔霍夫③把这种方法推广到了任意力作用下的无限长圆柱 的事例。
　　在他的著作的第 17 节中，格林曾对受到平行于柱轴的均匀外力 X 作用 的一个有限长圆柱中的磁量分布作出了探讨。尽管这种探讨中的某些步骤 并不是很严格，所得结果却很可能大致代表了这一最重要事例中的实际磁 化。它肯定很好地表示了从κ很大的柱体事例到κ很小的柱体事例的过 渡，但是它在抗磁性物质那样的κ为负数的事例中却是完全失效的。
格林发现，在一个半径为α而长度为 2l 的圆柱上，距柱体中点为 x
距离处的自由磁量线密度是

px
e a
? ? πkXpa pl
e a

px
? e? a
pl
? e? a

式中 p 是应由下列方程中求出的一个数字：
1
0.231863 ? 2 log e p ? 2p ? πkp 2
下面是 p 和κ的一些对应值。


k p k p ∞ 0 ? 11.802 0.07 336.4 0.01 9.137 0.08 62.02 0.02 7.517 0.09 48.416 0.03 6.319 0.10 29.475 0.04 0.1427 1.00 20.185 0.05 0.0002 10.00 14.794 0.06 0.0000 ∞ 负数 虚数


当圆柱的长度远大于它的半径时，柱体中点每一侧的总的自由磁量就
理所当然地是 M=πa2kX。



① {这种效应依赖于κ的平方，将在第 440 节中研究的力依赖于κ的一次方；因此，既然抗磁性物体的κ是
很小的，后一种力就将胜过本节所讨论的这种倾向，只有特例除外。}
② Crelle，bd.xxxvii(1848).
③ Crelle,bd.xlviii(1854).

在这些磁量中，一个量 1 pM是位于柱体的端平面上的
2
①，
　　　　　　　　　　　　　　a
而从总量M的重心到柱端的距离是 。
p
　　当κ很小时 p 就很大，从而几乎所有的自由磁都位于柱体的两端。当 κ增大时 p 就减小，而自由磁就分散在离柱端较大的距离处。当κ是无限 大时，柱体任意点上的自由磁将简单地正比于从该点到中点的距离，这种 分布和均匀力场中的一个导体柱上的电荷分布相仿。
　　440．]在除了铁、镍、钴以外的所有物质中，磁化系数都很小，以致 物体的感生磁化只引起磁场中的力的很小变化。因此，作为初级近似，我 们可以假设物体内部的实际磁力和物体不存在时的磁力相同。因此，作为
初级近似，物体的表面磁化就是k dV ，此处 dV 是由外部磁体引起的磁
dv dv
势在表面的内向法线方向上的增加率。现在如果算出由这一表面磁化所引 起的势，我们就可以用它来得到第二级近似。
　　为了在这种初级近似下求出由磁量分布所引起的机械能量，我们必须 求出在物体的整个表面上计算的面积分
1 dV
E ? 2 ?? kV dv dS
现在，我们在第 100 节中已经证明，这一积分等于在物体所占的整个 空间中计算的体积分




或者，如果 R 是合磁力，则有
1 2
E ? ? ??? kR dxdydz
现在，既然在一个位移δx 上磁力对物体所作的功是 Xδx，此处 X 是
x 方向上的机械力，而且，既然
? X?x ? E ?常量，
就有

dE 1
X ? ? ?

d 1
??? kR 2 dxdydz ? ??? k

d．R 2


dxdydz,

dx 2 dx

2 dx

而这就表明，作用在物体上的力，就仿佛使物体的每一部分都从 R2 较小的 地方运动到 R2 较大的地方一样，而作用在单位体积上的力则是
1 d．R 2
k ．
2 dx
如果像在抗磁性物体中那样κ是负的，则正如法拉第所首次证明的那 样，这个力是从磁场的较强部分指向它的较弱部分的。在抗磁性物体的事 例中观察到的多数作用，都取决于这一性质。


① ｛柱体正端的圆柱面上的自由磁量 假设端平面上的密度和 x=l 时的圆柱面上的密度相同，则端平面上的
磁量是 于是总的自由磁量就是 当 plα很大时，这个量就等于

船舶的磁学
　　441．]差不多磁科学的每一个部分，都在航海中有其用处。地磁对罗 盘指针的定向作用，是在太阳和星星都隐没时确定船舶航程的唯一方法。 指针对直实子午线的偏角，起初似乎是罗盘在航海方面的应用的一种障 碍，但是，当这一困难通过磁力海图的绘制而被克服以后，看来磁偏角本 身就很可能会帮助海员确定他的船的位置了。
　　航海中的最大困难，一直是经度的确定；但是，既然磁偏角在同一经 度平行线的不同点上是不同的，一种磁偏角的观测和有关纬度的知识一 起，就将使海员能够在磁力海图上定出自己的位置了。
　　但是，近年以来，人们在造船中大量地使用了钢铁，以致不照顾到船 舶本身作为一个磁性物体而对指针发生的作用，罗盘的使用就是不可能的 了。
　　正如我们已经看到的那样，确定一块任意形状的铁在地球磁力的影响 下的磁量分布，即使铁块没有受到机械胁变或其他干扰的影响也是一个很 困难的问题。
然而，在现在这一事例中，部题却通过下面的考虑而得到了简化。 罗盘被假设为放在船上，其中心位于船上的一个固定点，而且离任何
的铁质都很远，以致指针的磁性并不在船上感生任何可觉察的磁性。罗盘
指针的体积被假设为很小，以致我们可以认为指针每一点上的磁力都是相 同的。
船上的铁被假设为只有两种。
(1)按恒定方式被磁化了的硬铁。 (2)其磁化由地球或其他磁体所感生的软铁。 严格说来我们必须承认，最硬的铁也不仅能够受到感应而且会以各种
方式损失其一部分所谓的永久磁化。
　　最软的铁也能够保持其所谓的剩磁化。铁的实际性质并不能通过它由 以上定义的硬铁和软铁所合成来准确地加以表示。但是已经发现，当一只 船受到地球磁力的作用而没有受到气候的任何反常作用的影响时，可以假 设船的磁性部分地起源于永久磁化而部分地起源于感应，而当把这种假设 应用于罗盘的改正时是可以得出足够准确的结果的。
作为罗盘变化理论之基础的那些方程，是由泊松在第五卷 Mémoires de
l’Institut，p.533(1824)上给出的。 包含在这些方程中的唯一和感生磁性有关的假设就是，如果起源于外
界磁性的一个磁力 X 在船舶的铁中引起一种感生磁化，而这种感生磁化对 罗盘指针作用一个其分量为 X＇、Y＇、Z＇的干扰力，那么，如果外磁力 按一个给定的比例而发生了变化，则干扰力的分量将按相同的比例而发生 变化。
　　确实，当作用在铁上的磁力很大时，感生磁化就不再和外磁力成正比 了，但是对于由地球所引起的那样大小的磁力来说，这种比例性的欠缺却 是不可觉察的。
　　因此在实践中我们就可以假设，如果一个其值为 1 的磁力通过船上铁 器的媒介而对罗盘指针作用一个 x 分量为α、其 y 分量为 d 而其 z 分量为
g 的干扰力，则由一个沿 x 方向的力 X 所引起的干扰力的分量将是αX、dX 和 gX。

　　因此，如果我们假设把座标轴固定在船上，使得 x 轴指向船头，y 轴 指向右舷，而 z 轴指向龙骨，如果 X、Y、Z 代表地球磁力在这些方向上的 分量，而 X＇、Y＇、Z＇代表地球和船作用在罗盘指针上的合磁力的分量，
则有
X＇ = X十aX＋by十cZ＋P， ?
?

Y＇ = Y＋dX＋eY＋fZ＋Q，?
?

（1）

Z＇ = Z＋gX＋hY＋kZ＋R ?
　　在这些方程中，a、b、c、d、e、f、g、h、k 是依赖于船上软铁的数 量、布置及其感应性能的九个常系数。
P、Q、R 是依赖于船只的永久磁化的常量。 很显然，如果磁感是磁力的线性函数，则这些方程是充分普遍的，因
为它们不多不少，恰恰是一个矢量作为另一矢量之线性函数的最普遍的表 示式。
　　也可以证明，它们并不是太普遍的，因为，通过铁的一种适当布置， 任何一个系数都可以被弄得独立于其他系数而变。例如，一根细长的铁棒 在纵向磁力的作用下会获得磁极，其中每一磁极的强度在数值上等于棒的 截面乘以磁化力再乘以感生磁化系数。一个对棒为横向的磁力会产生弱得 多的磁化，其效应在几倍直径的距离处就几乎是觉察不到的。
如果在罗盘指针的前方在向船头方向量去的 x 距离处放一根长铁棒，
那么，设棒的截面是 A 而它的磁化系数是κ，则磁极强度将是 AκX，
2

而如果A = ax k

，则这个磁极对罗盘指针作用的力将是aX。可以假设

棒很长，以致另一个磁极对罗盘的效应可以忽略不计。 这样，我们就得到了使系数α具有任何需要的值的办法。如果我们把
截面为 B 的另一根棒放得有一个端点位于同一点上，即位于向船头量去的
x 距离处，而棒的长度则伸向右舷，且其远处的一极对罗盘并不发生可觉 察的效应，则由这个棒引起的干扰力将是沿着 x 方向的，而且是等于

BkY
x2


的，或者，如果B =

bx2
k


，则力将是bY。

因此这个棒就将引入系数 b。
　　从同一点伸向下方的第三根棒将引入系数 C。系数 d、e、f 可以用从 罗盘右侧的一点伸向船头、右舷和下方的三根棒来引入，而 g、h、κ则由 从罗盘下面的一点沿上述三个方向摆放的三根棒来引入。
　　由此可见，九个系数中的每一个系数，都可以通过适当摆放的铁棒来 分别地加以改变。
　　各量 P、Q、R 不过是作用在罗盘上的力的分量，该力起源于船的永久 磁化以及由这种永久磁化所引起的那一部分感生磁化。方程组(1)的一种全 面讨论，以及船的真实磁学航向和罗盘所示航向之间的关系的全面讨论， 已由阿乞巴耳德·斯密茨先生在海军部的《罗盘偏差手册》(Manual of the Deviation of the Compass)中给出。
　　那里给出了一种研究问题的很有价值的图解方法。取一个固定点作为 原点，从该点开始作一直线，其方向和大小代表着作用在罗盘指针上的实 际磁力的水平部分。在船只转来转去而使它的船头逐次采取不同的方位
　　
时，这条直线的端点就描绘出一条曲线，曲线上的每一点都对应于一个特 定的方位。
　　这样一条曲线叫做“磁迹图”(Dygogram)，利用这种图，可以按照船 只的磁学航向来给出作用在罗盘上的力的方向和大小。
　　磁迹图有两种型式。在第一种型式中，曲线画在一个平面上，而该平 面在船只转动时是固定在空间中的。在第二种型式中，曲线是画在相对于 船为固定的平面上的。
　　第一种磁迹图是帕斯卡蚶线，第二种磁迹图是椭圆。关于这些曲线的 作图和使用，以及许多在数学家看来很有兴趣而在航海家看来也很重要的 定理，请读者参阅海军部的《罗盘偏差手册》。
　　
第六章

感生磁的韦伯理论


　　442．]我们已经看到，泊松假设了铁的磁化就在于每一磁分子内部的 两种磁流体的分离。如果我们希望避免关于存在磁流体的假设，我们也可 以用另一种形式来叙述同一理论；我们可以说，当磁化力作用在铁的分子 上时，每一个分子都会变成一个磁体。
　　韦伯的理论与此不同。他假设，即使在加上磁化力以前，铁分子也永 远是一些磁体，但是，在普通的铁中，各分子的磁轴是不偏不倚地指向各 个方向的，从而整块的铁就不会显示任何磁性。
　　当一个磁力作用在铁上时，它就倾向于把分子的轴都转到同一个方 向，这样就会使整块的铁变成一个磁体。
　　假如所有分子的磁轴都已摆得互相平行，铁就会显示它所能获得的最 大磁化强度。因此，韦伯的理论就蕴涵了一个极限磁化强度的存在，从而 关于存在这样一个极限的实验证据就是这种理论所必需的。显示着对一个 磁化极限值的趋近的实验，曾由焦耳①J．密勒②以及厄翁和娄③作出。
比兹④关于在磁力的作用下沉积出来的电解铁(electrotypeiron)的实
验，提供了有关这一极限的最全面的证据。 一条银导线涂了漆，在漆层上划开一条很细的纵向开口，以露出很细
的一条金属。然后把这条导线浸入一种铁盐的溶液中，并放入磁场中，使
开口沿着一条磁力线的方向。用这根导线作为通过溶液的一个电流的阴 极，铁就会一个分子一个分子地沉积在导线的很窄地暴露部分上。然后就 对这样形成的一个铁的细丝进行磁的检验。经发现，对于如此小的一部分 铁来说，它的磁矩是很大的，而当使一个强大的磁力沿相同方向作用上去 时，却发现暂时磁化的增量很小，而永久磁化则并不改变。沿相反方向而 作用的一个磁力将立刻使细丝回到按普通方式而被磁化的铁的状况。
韦伯理论认为，在这一事例中，磁化力在每一分子的沉积时刻就把它
的磁轴摆到了相同的方向上；这种理论是和观察到的现象符合得很好的。 比兹发现，当电解在磁化力的作用下继续进行时，后来沉积下来的铁 的磁化强度就将较小。当各个分子肩并肩地被排在早先已经沉积下来的那 些分子旁边时，它们的磁轴或许会偏离磁力线的方向，因此只有在很细的
铁条纹的事例中才能得到近似的平行性。
　　如果像韦伯所假设的那样，铁分子本来就已经是一些磁体，则在它们 的电沉积过程中足以使它们的磁轴平行排列的任何磁力，都将足以在沉积 丝中产生最高的磁化强度。
另一方面，如果铁分子并不是磁体而只是能够受到磁化，则沉积丝的 磁化将依赖于磁化力，其方式和一般软铁依赖于磁化力的方式相同。比兹 的实验没有为后一假说留下任何余地。



① AnnalsofElectricity,iv.p.131,1839;Phil.Mag.[4]iii.p.32.
② Pogg.Ann.lxxix.p.337,1850.
③ Phil.Trans.1889.A.p.221.
④ Pogg.cxi.1860.

　　443．]现在我们将像韦伯那样假设，在铁的每单位体积中共有 n 个磁 性分子，而每个磁性分子的磁矩是 m。假如所有分子的磁轴都已摆得相互 平行，则单位体积的磁矩将是
　　M＝nm， 而且这就将是铁所能得到的最大磁化强度。
　　韦伯假设，在普通铁的非磁化状态中，各分子的磁轴是杂乱无章地沿 各个方向摆放的。
　　为了表示这一点，我们可以假设画出了一个球，而且从球心画一些半 径，分别和 n 个分子中的每一个分子的磁轴方向相平行。这些半径的端点 的分布，将代表各分子的磁轴的分布。在普通铁的事例中，这 n 个点是均 匀地分布在球面的各个部分上的，因此，其磁轴和 x 轴的夹角小于α的分 子的数目就是
n
(10 cos?),
2
而其磁轴和 x 轴的夹角介于α和α+dα之间的分子的数目就是
n
sin?da
2
这就是一块从来未被磁化的铁中的分子分布。
　　现在让我们假设，使一个磁力 X 沿着 x 轴的方向而作用在铁上，并考 虑其磁轴起先和 x 轴成α角的一个分子。
如果这个分子是可以完全自由地转动的，它就会把自己转到磁轴平行
于 x 轴的位置，而假如所有的分子都是这样的，则我们将发现最小的磁化 力都将足以引发最高的极化程度。然而事实却不是这样的。
各分子并不把他们的磁轴转得平行于 x 轴，而这不是因为每一个分子
都受到一个倾向于保持其原始方向的力的作用，就是因为整个分子体系的 相互作用引起了一种与此等价的效应。
韦伯作为最简单的假设而采用了前一种假设。它假设，当受到偏转时，
每一个分子都倾向于以一个力而返回其原始位置；这个力和一个沿原始磁 轴方向作用的磁力 D 所将产生的力相同。
因此，磁轴所实际采取的位置，就是沿着 X 和 D 的合力方向的。
设 APB 代表一个球的截面，球的半径以一定的比例代表着力 D。 设半径 OP 平行于某一特定分子在其原始位置上的磁轴。


　　设 SO 按相同的比例代表被假设为从 S 向 O 而起作用的磁化力 X。这样， 如果分子受到一个沿 SO 方向的力 X 和一个平行于分子磁轴之原始方向 OP 的力 D 的作用，则其磁轴将转到 SP 的方向，也就是 X 和 D 的合力的方向。 既然各分子的磁轴起初是沿着一切方向的，P 就可以是球面上随便哪 一个点。在 X 小于 D 的图 5 中，磁轴的末位置 SP 可以取任意方向，但却不 是完全随便的，因为磁轴转向 A 的分子将比磁轴转向 B 的分子更多。在 X
大于 D 的图 6 中，分子的磁轴将全都包括在和球面相切的锥面 TST＇中。 因此，按照 X 是小于还是大于 D，就有两种不同的事例。 设α=AOP，即分子磁轴对 x 轴的初倾角。
θ=ASP，即磁轴在受到力 X 的倾转时的倾角。
β=SPO，即偏转角。

SO=X，即磁化力①。 OP=D，即倾向于回返初位置的力。 SP=R，即 X 和 D 的合力。 m=分子的磁矩。
于是，倾向于使角θ减小的由 X 引起的力偶矩就是
mL=mXsinθ，
而倾向于使θ增大的由 D 引起的力偶矩就是
mL=mDsinβ。
令这些值相等并记得β=α-θ，我们就得到
D sin ?

tan ? ?


X ? D cos ?

(1)

以确定偏转后的磁轴方向。
　　其次我们应该求出力 X 在物体中引起的磁化的强度，而为此目的，我 们必须把每一个分子的磁矩投影到 x 轴上，然后把所有这些分量加起来。
分子磁矩沿 x 轴方向的分量是
mcosθ。 其磁矩之初倾角介于α和α+dα之间的分子数是
n
sin ?d?
2
因此我们必须记得θ是α的函数并计算积分
π mn

I ? ?0

cos? sin ?d?
2

(2)

我们可以把θ和α都用 R 表示出来，于是被积分式就变成

mn


2 2 2

? 4 x 2 D (R

? X ? D

)dR, (3)

它的不定积分是

mnR


2 2 2

? 12 X2 D (R

? 3X

? 3D

) ? C

(4)

　　在第一种事例中，即当 X 小于 D 时，积分限是从 R=D+X 到 R=D-X。在 第二种事例中，即当 X 大于 D 时，积分限是从 R=X+D 到 R=X-D。
当 X 小于 D 时，有
2 mn
I = X (5)
3 D
当 X 等于 D 时，有
2

I ? mn
3

(6)

当 X 大于 D 时，有



① {作用在磁体内部一个磁极上的力是不确定的，它依赖于磁极所在的空腔的形状。例如力 X 是不确定的，
因为，既然我们关于分子磁体的形状及布置一无所知，那也就没有任何理由假设力是一种形状的空腔中的 那个力而不是另一种形状的空腔中的那个力。于是，看样子，除非作出别的假设，我们似乎应该令 X=X0+pI，式中 X0 是外磁力而 p 是我们只知道它介于 0 和 4π之间的一个常数。在铁中，I 比 X0 大得多； 由于有这种事实，这里的不确定性就更加讨厌，因为包含不确定性的那一项可以是两项之中更加重要得多 的一项。｝


I ? mn(1 ?

1 D 2
3 X 2


); (7)

而当 X 变为无限大时则有 I=mn(8)
按照韦伯①所采用的这种理论的形式，当磁化力从 0 增大到 D 时，磁
化就按相同的比例而增大。当磁化力达到 D 这个值时，磁化是极限值的三 分之二。当磁化力进一步增大时，磁化不是无限地增大而是趋于一个有限 的极限。

图 7
　　磁化的规律如图 7 所示。图中的磁化力是从 0 向右算起的，而磁化则 用纵座标来代表。韦伯自己的实验给出了和这一规律符合得令人满意的结 果。然而，也可能 D 值并不是对同一块铁中的所有分子都相同，从而从由
0 至 E 的直线到 E 以后的曲线的过渡也可能并不像图中所示的那样突然。
　　444．]这种形式的理论并不能对剩磁化作出任何说明，而人们发现， 当磁化力被取消以后，剩磁化是存在的。因此我曾经想到，有必要检查再 作出一条假设的后果，这条假设牵涉到分子的平衡位置可以永久性地改变 的条件。
让我们假设，如果被偏转了任意一个小于β0 的角度β，磁性分子的轴
线在致偏力被取消时将返回其原始位置，但是，如果偏转角β超过β0，则
当致偏力被取消时磁轴并不会回返到原始位置，而是将永久性地偏转一个
①
角度β-β0，这个角度可以叫做分子的永久取向 。
　　这条关于分子偏转规律的假设，并不能认为是建筑在任何有关物体之 内部结构的确切知识上的，这只不过是我们由于对事情的真实情况全无所 知而采取的一种追随韦伯所提示的猜想的想像方式而已。
设 L=Dsinβ0，(9)
那么，如果作用在一个分子上的力偶矩小于 mL，就不会有任何永久偏转； 但是，如果力偶矩超过了 L，那就会出现平衡位置的永久改变了。 为了追索这一假设的后果，设作中心在 O 点而半径为 OL=L 的一个球。
只要 X 还小于 L，一切情况就将和以前考虑过的事例中的情况相同；
但是，一旦 X 超过了 L，它就将开始引起某些分子的永久偏转。 让我们考虑图 8 中的事例，这时 X 大于 L 而小于 D。以 S 为顶 点作一个双锥面和球 L 相切。设这个锥面和球 D 交于 P 及 Q。那么，
如果一个分子的磁轴在它的初位置上是位于 OA 和 OP 之间或 OB 和 OQ 之间
的，则它将偏过一个小于β0 的角度，从而就不会有永久偏转。但是，如果
分子的磁轴起初位于 OP 和 OQ 之间，则将有一个力矩大于 L 的力偶作用在 分子上并使它偏转到位置 SP 上，而当力 X 停止作用时，分子并不会回返原 来的取向而是采取永久偏转的方向 OP。
让我们令
L=Xsinθ0 式中θ0=PSA 或 QSB，
于是，按照以前的假说其磁轴将具有介于θ0 和π-θ0 之间的θ值



① {麦克斯韦所真正作出的，似乎并不是本节叙述的这条假设，而是在第 445 节的脚注中论述的那种假设。}


图 8 图 9
的所有那些分子，在力 X 的作用过程中都将被弄得具有θ0 这个值。
因此，在力 X 的作用过程中，那些在偏转以后磁轴位于半顶角为θ0
的双锥面的任一片内的分子，都将像在以前的事例中一样地排列，但是， 那些按照以前的理论其磁轴将位于两片锥面之外的分子却将永久性地受到 偏转，使得它们的磁轴将在锥面指向 A 的那一片附近形成一种密集带。
　　随着 X 的增大，属于 B 点周围那一锥面的分子数就持续减小，而当 X 变为等于 D 时，所有的分子就都已被迫离开了它们从前的平衡位置，而转
到 A 点周围的锥面一带了；因此，当 X 变得大于 D 时，所有的分子就将形 成锥面的一部分或密集在锥面附近了。
　　当力 X 被撤消时，在 X 小于 L 的事例中一切情况就都会返回原始的状 态。当 X 介于 L 和 D 之间时，将有一个围绕 A 点的而其半顶角为
AOP=θ0+β0
的锥面，和一个围绕 B 点的而其半顶角为 BOQ=θ0-β0
的锥面。在这些锥面内部，分子的磁轴是均匀分布的。但是，其磁轴的原 始方向位于这两个锥面之外的所有分子，却都已经被驱离了它们的原始位 置而在 A 点周围的锥面附近形成了密集带。
如果 X 大于 D，则 B 点周围的圆锥将完全分散，而起先形成这一圆锥
的所有分子将被转化成 A 点周围的密集带，而其倾角则是θW+β0。
　　445．]用和以前相同的办法处理这一事例①，我们就能求得在力 X 作用 期间的暂时磁化强度，此处的 X 是 被假设为作用在以前从示被磁化过的铁上的。
当 X 小于 L 时，
2 X
I ? M
3 D
当 X 等于 L 时，
2 L
I ? M
3 D
当 X 介于 L 和 D 之间时，