① [正文中给出的结果，除了一点小小的例外，都可以按照下述的手续得出。第 444 节中的修订理论的叙述
如下：一个磁性分子的磁轴，如果偏转了一个小于β0 的角β，则当致偏力被撤消时将返回其原始位置； 但是，当偏转超过了β0 时，倾向于反抗偏转的力就会垮掉而允许分子偏转到和其偏转为β0 的分子相同的 方向，而当致偏力被撤消时，分子就将采取一个方向，平行于其偏转本为β0 的那种分子的方向。这个方 向可以叫做分子的永久取向。在 X＞L＜D 的事例中，磁矩的表示式 I 包括两个部分。第一部分是由锥面 AOP 和 BOQ 中的分子引起的，可以按照和第 443 节中的方法完全相同的方法来求出，只要适当注意到积 分限就行了。参照图 8，我们按照以上的理论叙述就能求得表示式的第二部分 经过化简，这两部分就共同 给出正文中的结果。当 X＞D 时，积分又是包括两部分，其中一部分正如在第 443 节中那样应在圆锥 AOP 上计算。第二部分是（见图 9） 经过化简以后，这一事例中的 I 的值和正文中所给的值在第三项上 给数 值表的影响就是，当 X=6、7、8 时，对应的 I 值将是 887、917、936。这些变化并不会改变图 10 中所给的
暂时磁化曲线的一般特点。图 8 的事例中的 I＇值是 图 9 的事例中的 I＇值可按类似的方式求出。]

2 X L2 ?


L2 2 X2

L2 ???

I ? M?
?? 3 D

? (1 ?

2 )?
X ??

1 ? D2 ? 3

?
D2 D

2 ??
????

当 X 等于 D 时，

? 2
I ? M? ?
? 3

1 L2
(1 ?
3 D 2

3 ?
) 2 ? ?

当 X 大于 D 时，
? 3 ?

?1 X

1 1 D

(D 2 ? L2 ) 2

X2 ? L2

2 2 ?

I ? M?

? ? ?

2 ? 2

(2X

? 3XD ? L )?

? 3 D 2 6 X
?

6X D

6X D ?
?

当 X 为无限大时， I=M。
当 X 小于 L 时，磁化服从以前的规律，而且是和磁化力成正比的。一旦 X 超过了 L，磁化就会有一个更快的增加率，因为这时有些分子开始被从一 个圆锥转送到另一个圆锥。然而，随着形成负圆锥的分子数的减少，这种 迅速的增大很快就会停止，而最后磁化就会达到极限值 M。
假若我们必须假设不同的分子具有不同的 L 值和 D 值，我们就会得到
不同的磁化阶段区别得并非如此明显的一种结果。
　　由磁化力 X 引起而当该力已被撤消时才能观察到的剩磁化 I＇如下所 述：
当 X 小于 L 时，没有剩磁化。
当 X 介于 L 和 D 之间时，


I' ? M(1 ?

L2 L2
)(1 ? )
D2 X 2

当 X 等于 D 时，
L2
I' ? M(1 ? )
D 2
当 X 大于 D 时
2

1 L2

L2 L2

I' ?

M?1 ? ? 1 ?

2 1 ? 2 ?

4 XD D X
当 X 为无限大时
2
1 L2

I' ?

M?1 ?
4 ??

1? 2 ?
D ??

如果令 M=1000，L=3，D=5，
我们就得到下列的暂时磁化和剩磁化的值


磁化力 暂时磁化 剩磁化 X I I ′ 0 0 0 1 133 0 2 267 0 3 400 0 4 729 280 5 837 410 6 864 485 7 882 537 8 897 575


剩磁化曲线在 X=L 时开始，并趋近于一条渐近线．其纵座标=0.81M。
　　必须记得，这样求得的剩磁对应于一种情况，即当外力被撤消时并不 存在任何起源于物体本身之磁性分布的去磁力。因此，这种计算只适用于 很长的纵向磁化的物体。在短粗物体的事例中，剩磁将由于自由磁的反作 用而有所减小，其方式正如有一个反向的外磁化力作用在物体上一样①。
446.]在这种理论中我们作出了如此多的假设和引用了
　　如此多的调节常量；这样一种理论的科学价值，并不能单纯地根据它 和某一组实验的数值符合来加以评估。如果它还有任何价值，那就是因为 它使我们能够对一块铁中在磁化过程中出现的变化得到一种思维形象。为 了检验理论，我们必须把它应用于这样一个事例：一块铁在受到一个磁化
力 X1 的作用以后又受到一个磁化力 X1 的作用。
如果新力X1 是沿着和X0 的作用方向相同的方向（我们将称之为正方向)
而作用的，那么，如果 X1 小于 X0，则它将不会引起分子的任何永久取向，
从而当 X1 被撤消以后，剩磁化将和由 X0 所引起的相同。如果 X1 大于 X0，
则它所引起的效应将和 X0 不曾起过作用时的效应完全相同。
但是，让我们假设 X1 是沿负方向而作用的，并且让我们假设
X0=Lcosecθ0，而 X1=-Lcosecθ1
当 X1 在数值上增大时，θ1 就减小。X1 将引起其永久偏转的第一批分
子，就是形成 A 点周围的锥面之密集带的那些分子①，以及当未受偏转时有


① {试考虑这样一个事例：一块铁沿正方向受到一个磁力的作用，该磁力从零增加到个足以产生永久磁化的
值 X0，然后又减小到零。很显然，按照上述的理论，由于给予某些分子磁体以永久性的取向，对于磁化力 的一个给定值来说，磁化强度在磁化力减小时将比减小时将比在磁化力增加时为大．因此，铁在磁场中的 行为将依赖于他的以前处理．这一效应被厄翁称为“磁滞”，他充分地研究了这种效应（见 Phil．Trans．Part Ⅱ，1885）。然而，第 445 节中给出的理论却不能解释厄翁所发现的现象的全部。因为，如果我们在上一 事例中在减小了磁力之后又增大它，则针对一个值 X1＜X0 来说，磁化强度的值应该和磁力第一次减小到
X1 时相同。然而厄翁的研究却表明情况不是这样。这些研究以及类似的研究的一种简短介绍，将在本书的 补遗卷中给出。}
① {这里假设，在图 8 和图 9 中，P 点是位于 C 点的右方的。}

一个倾角θ0＋β0 的那些分子。
一旦θ1-β0 变到小于θ0+β0，去磁过程就将开始。既然这时θ1=θ0+2
β，去磁开始时所要求的力 X1 就将小于引起磁化的力 X0。
假如 D 值及 L 值对所有的分子来说都是相同的，则 X1 的很小增量就将
把所有磁轴倾角为θ0+β0 的分子都转到一个磁轴对负轴 OB 的倾角为θ1+
β0 的位置上去。
　　虽然去磁并不是按一种如此突然的方式发生的，但是它却发生得相当 迅速，以致给过程的这种解释模式提供了某种支持。现在让我们假设，通 过取一个反向力 X1 的适当值，我们在撤消 X1 后恰好使铁块完全去了磁。 现在，各分子的磁轴将不会像在一块从来未被磁化的铁中那样完全随
便地分布在一切方向上，而是将形成三组。 (1)在一个围绕正极而半顶角为θ1-θ0 的锥面内，分子的磁轴保持在
他们的原始位置上。
(2)在一个围绕负极而半顶角为θ0-β0 的锥面内，情况也如此。
(3)所有其他分子的磁轴方向形成一个围绕负极的锥面，而其倾角为θ
1+β0。
当 X0 大于 D 时，第二组是不存在的。当 X1 大于 D 时，第一组也不存在。
　　因此，尽管在外观上去了磁，铁的状态却是和一块从来未经磁化的铁 的状态不同的。
为了证明这一点，让我们考虑一个沿正方向或负方向而作用的磁化力
X2 的效应。这样一个力的第一种永久效应将发生在磁轴和负方向成角θ1+
β0 的第三组分子上。
如果 X2 是沿负方向作用的，则一旦θ2+β0 变成小于θ1+β0，也就是
说一旦 X2 变成大于 X1，它就将开始产生永久性的效应。但是，如果 X2 是
沿正方向作用的，则一旦θ2-β0 变成小于θ1+β0，也就是说当θ2=θ1+2
β0 即当 X2 还比 X1 小得多时，X2 就将开始再引起铁的磁化。
因此，由我们的假说可以看出：
当一块铁受到一个力 X0 的磁化时，不加上一个大于 X0 的力就不能使它
的剩磁有所增加。一个小于 X0 的反向力就足以使它的剩磁有所减少。
如果铁被一个反向力所完全去磁，不加上一个大于 X1 的力就不能沿反
方向把它磁化，但是一个小于 X1 的正向力却足以开始沿原有的方向而把它
再磁化。 这些结果是和瑞奇①、雅考比②、马瑞安尼尼③以及焦耳④所实际观察到
的结果相一致的。 关于铁及钢的磁化和磁力的及机械胁变的关系的一种很全面的论述，
已由魏德曼在他的《动电》一书中给出。他通过磁化的效应和扭变的效应



① Phil.Mag.3,1833.
② Pogg.,Ann.,31,367,1834.
③ Ann.de.ChimieetdePhysique,16,pp.436and448,1846.
④ phil.Turans.,1856,p.287.

的一种仔细比较已经证明，我们通过有关线材之暂时扭变和永久扭变的实 验而导出的关于弹性和塑性的概念，可以同等适当地应用于铁及钢的暂时 磁化和永久磁化。
　　447.]马吐西⑤发现，一个硬铁棒在受到磁化力时的拉伸，会增大其暂 时磁化⑥。这一点曾由外尔泰姆加以证实。在软铁棒的事例中，磁性会因拉 伸而减小。
　　一根铁棒的永久磁性当棒被拉伸时就增大，当它被压缩时就减小。因 此，如果一块铁首先沿着一个方向被磁化然后沿着另一方向被拉伸，则磁 化的方向将倾向于趋近拉伸的方向。如果它被压缩，则磁化的方向将倾向 于变得和压缩方向相垂直。
　　这就解释了魏德曼的一个实验的结果。在一条竖直的导线中由上向下 通一个电流。如果在电流正在通过或在它已经停止以后，把导线按右手螺 旋方向加以扭转，则导线的下端变成一个北极。
　　在这儿，向下的电流对导线的每一部分沿切线方向进行磁化，正如字 母 NS 所指示的那样。
　　沿右手螺旋方向对导线的扭转，使得 ABCD 这一部分沿对角线 AC 而被 拉伸，并沿对角线 BD 而被压缩。因此，磁化方向就倾向于趋近 AC 而背离 BD，于是下端就变成北极而上端就变成南极。
磁化对磁体尺寸的影响
　　448.]焦耳①在 1842 年发现，当一根铁棒被围绕它的一个线圈中的电流 所磁化时，它就会变长。后来他②又通过把铁棒放在一个玻璃管里的水中来 证明了，铁的体积并不会因为磁化而变大，从而他就得出结论说，它的横 向线度缩小了。
最后，他使一个电流通过一根铁管的轴线并由管外返回，这样就使铁
管变成了一条闭合的磁管。经发现，铁管的轴线在这一事例中是缩短了的。 他发现，在纵向压力下，一根铁棒当被磁化时也会伸长。然而，当铁 棒受到相当大的纵向拉力时，磁化的效应却是使它缩短。在一根硬钢丝的 事例中，磁化力的效应却总是使钢丝缩短，不论钢丝是处于拉力还是处于 压力作用之下。长度的改变只有当磁化力还在起作用时才是存在的，没有
观察到由钢的永久磁化而引起的任何长度变化。
焦耳发现，铁导线的伸长近似地正比于实际磁化的平方，从而一个去 磁电流的最初效应就是使导线缩短①。另一方面，他发现，对拉力作用下的 铁导线和对钢来说，缩短效应是正比于磁化强度和磁化电流的乘积而变 的。
魏德曼发现，如果一根竖直导线被磁化得上端成为南极，并且由上向



⑤ Ann.dechimieetdePhysigue,53.p.385,1858.
⑥ {威拉利曾经证明，只有当磁化力小于某一临界值时，这种结论才是对的，但是当磁化力超过临界值时， 拉伸却会引起磁化强度的减小；Pogg.Ann.,126，p.87,1865．正文中关于软铁棒之行为的论述，对于小胁变 和弱磁场是不成立的。}
① Sturgeon’sAnnalsofElectricity,vol.viii．p ．219.
② Phil.Mag.,xxx1847.
① {歇耳福·比德外耳曾经证明，当磁化力很大时，磁体的长度是随磁化力的增大而减小的。

proc.Roy.Soc.xl.P.109.}

下在导线中通一个电流，如果导线的下端是自由的，则从上向下看去时， 导线的下端是按顺时针的方向而扭转的；或者换句话说，导线将像一个右 手螺旋那样地发生扭转，如果纵向电流和磁化电流之间的关系是右手关系 的话。
　　在这一事例中，电流的作用和由早先存在的磁化而造成的合磁化，是 沿着右手螺旋的方向而围绕导线的。因此，这种扭转就似乎表明，当铁受 到磁化时，它就沿着磁化的方向而膨胀并沿着垂直于磁化的方向而收缩。 这是和焦耳的结果相一致的。
关于磁化理论的进一步发展，请参阅第 832—845 节。

第七章

磁学测量


　　449．]主要的磁学测量就是一个磁体的磁轴和磁矩的测定，以及一个 给定位置上的磁力的方向和强度的测定。
　　既然这些测量是在地面附近进行的，磁体就总是既受到地磁的作用又 受到重力的作用的，而且，既然各个磁体是用钢做成的，它们的磁性就部 分地是永久磁性而部分地是感生磁性。永久磁性会被温度的变化、被强烈 感应和被激烈的敲打所改变；感生磁性会随着外磁力的每一次变化而变 化。
　　观察作用在一个磁体上的力的最方便办法就是使磁体可以绕着一条竖 直轴线而自由转动。在普通的罗盘中，这是通过把磁体平衡地支放在一个 支轴上来作到的。支轴的尖端越细，干扰磁力作用的摩擦力矩就越小。为 了更精密的观察，磁体是用无扭转的丝线悬挂起来的；这种悬线是一根单 丝或几根丝合并成的一条线，每根丝互相平行，各自负担尽可能相等的部 分重量。这样一根线的扭力比同样强度的金属线的扭力要小得多，而且可 以借助于磁体的方位而计算出来，而由支轴的摩擦所引起的力则不是这样 的。通过转动装在固定螺母中的螺丝，悬线可以升高或降低。悬线是绕在 螺丝的螺纹上的，因此当螺丝转动时悬线永远沿同一竖直线悬挂着。
悬线下面挂着一个水平的圆圈，上有刻度，叫做“扭转圆”；另外还
挂着一个附有指针的镫形器，可以任意调节，以使指针和扭转圆上的任一 刻度相重合。镫形器的造型使得磁棒可以放在上面，使其轴线水平，其四 个侧面中的任一侧面都可以朝上。
为了保证零扭转，把一个和磁体重量相同的非磁性物体放在镫形器
上，并定出平衡时的扭转圆位置。 磁体本身是一块硬淬火的钢。按照高斯和韦伯的研究，它的长度至少
要是它的最大横向线度的八倍。当磁体内部的磁轴方向之永久性是最首要
的考虑时，这一点是必要的。当所要求的是运动的及时性时，磁体就应该 短一些，而当观察磁力的突然变化时，甚至宜于使用一根横向磁化的棒， 并把它挂得最长的线度位于竖直方向①。
450．]磁体上附有测定其角位置的装置。为了普通的目的，磁体的两
端做成两个尖，而在它的下面装一个刻度图；利用这个刻度圆，就可以用 肉眼读出两个尖端的位置，这时人眼应位于通过悬线和磁针尖端的平面 上。
　　为了更精确的观察，一个平面镜被固定在磁体上，使得镜面的法线尽 可能接近地和磁化轴相重合。这就是高斯和韦伯所采用的方法。
　　另一种方法是在磁体的一端装一个透镜，而在其另一端装一个用玻璃 制成的标尺，透镜和标尺之间的距离等于透镜的主焦距。标尺零点和透镜 光心的连线应该尽可能接近地和磁轴相重合。
因为这些确定悬挂仪器之角位置的光学方法在许多物理研究中是有很 大重要性的，我们将在这里一劳永逸地考虑考虑它们的数学理论。



① Joule,Puoc.Phil．Soc.,Manchester.,Nov.29,1864.

镜尺法的理论
　　我们将假设，要测定其角位置的那件仪器是可以绕着一个竖直轴转动 的。这个轴通常是悬挂仪器的一根悬丝或金属线。镜面必须真正是平面， 这样，一个毫米标尺就可以通过反射而在离镜面数米处被看到。
　　镜面中点上的法线应该通过悬挂轴线，而且应该是严格水平的。我们 将把这一法线称为仪器的准直线(line of collimation)。大致地确定了准 直线在所要进行的实验过程中的平均方向以后，在镜面前面的一个适当距 离上，在略高于镜面的水平面的地方架起一个望远镜来。
　　这个望远镜可以在竖直平面内运动，它指向悬丝上略高于镜面的地 方，另外再在视线上设立一个固定的标记，标记到物镜的距离等于镜面到 物镜的距离的两倍。如果可能的话，仪器应该安装得使这个标记是在一面 墙上或在其他固定物体上。为了同时在望远镜中看到标记和悬丝，可以在 物镜上加一个盖子，盖子上沿着竖直的直径开一细缝。在进行别的观察时 应把这个盖子取掉。然后调节望远镜，使得标记可被清楚地看到和望远镜 焦点上竖丝相重合。然后把一根铅垂线调节得切近地通过物镜光心的前面 并位于望远镜的下方。在望远镜下方恰好在铅垂线之后的位置上装一个具 有相等刻度的标尺，使它被通过标记、悬丝和铅垂线的平面所垂直平分。 标尺和物镜的离地高度之和应该等于镜面的离地高度的两倍。现在，望远 镜既已指向镜面，观察者就将在望远镜中看到标尺的反射像。如果标尺上 被铅垂线穿越的那一部分显得是和望远镜的竖丝相重合的，镜面的准直线 就是和标记及物镜光心的平面相重合的。如果竖丝和标尺上的任何其他刻 度相重合，准直线的角位置就应如下求出：


　　设纸面是水平的，而不同的点就投影在这一平面上。设 O 为望远镜物 镜的中心，P 为固定标记：P 和望远镜竖丝相对于物镜来说是共轭焦点。设
M 是 OP 和镜面的交点。设 MN 是镜面的法线，则 OMN=θ是准直线和固定平
面所夹的角。设 MS 是 OM 和 MN 的平面上的一条满足 NMS=OMN 的直线，则 S 是通过反射将被看到和望远镜竖丝相重合的那一部分标尺。现在，既然 MN 是水平的，投影在图上的角度 OMN 和 NMS 就是相等的，从而 OMS=2θ。由 此即得 OS=OMtan2θ。
因此我们必须按标尺的刻度来量度 OM；然后，如果 s0 是标尺上和铅垂
线相重合的度数，而 s 是观察到的度数，则有
S-S0=OMtan2θ，
由此就可以求出θ。我们在量度 OM 时必须记得，如果镜子是由背面镀银
t
的玻璃构成的，则竖直反射面是在玻璃前表面后边一段距离 处，此
?
处 t 是玻璃的厚度而μ是折射率。 我们也必须记得，如果悬线并不通过反射点，则 M 的位置将随θ而变。
因此，如果可能，最好使镜子的中心和悬线相重合。


　　也值得建议把标尺作成以悬线为轴的凹圆柱面的形状，特别是当有必 要观察大的角度变化时。这样，角度就立即是按圆周测量的，用不着查正 切表。标尺应该仔细调节，使得柱轴和悬丝相重合。标尺上的数字应该永
　　
远沿同一方向从一端排到另一端，以避免负读数。图 15 代表必须和镜面及 倒向望远镜一起应用的一个标尺的中间部分。
　　当运动较慢时，这种观察方法是最好的。观察者坐在望远镜旁，并看 到标尺的像运动着向右或向左而通过望远镜的竖丝。利用他旁边的一个时 钟，他可以记下标尺上一个给定的刻度通过竖丝的时刻，或是记下在给定 秒数通过竖丝的标尺刻度，而且他也可以记录每一次振动的两端界限。
　　当运动更快时，就将不可能读出标尺刻度，只除了在振动极限的静止 时刻以外。可以在标尺的一个已知的刻度上作一个明显记号，并注意这个 记号的通过时刻。
　　当仪器很轻而力又是变化的时，运动就会如此地灵活而迅速，以致通 过一个望远镜来进行的观察将成为无用的。在这一事例中，观察者可以直 接注视标尺，并观察由一个灯投射到标尺上的竖丝像的运动。
　　很显然，既然经过镜面反射和物镜折射而成的标尺像是和竖丝相重合 的，那么，如果充分照明，竖丝的像就将和标尺相重合。为了观察这一点， 房间必须遮暗，并使一个灯的会聚光线向着物镜而射在竖丝上。在标尺上， 就看到一片光亮上面竖立着竖丝的暗影。它的运动可用眼睛追踪，而它停 在那儿的那个标尺刻度就可以经过注视而定下来，并且被从容不迫地读 出。如果想要注意光点通过标尺上一个给定地点的时刻，可以在那儿放一 根针或一根光亮的金属丝，这样当光点通过时就会看到闪光。
通过用薄膜上的小孔来代替叉丝，像就变成一个在标尺上左右运动的
小光点；而通过把标尺换成一个用时钟装置使之绕水平轴面转动的上面卷 有作图纸的圆筒，光点就在上面描出一条曲线，而这条曲线可以在事后被 弄成可见的。这条曲线的每一个横座标对应于一个特定的时刻，而其纵座 标则指示镜子在该时刻的角位置。按照这种方法，已经在丘市观测站和其 他观测站上建立了连续记录地磁之所有要素的自动系统。
在某些事例中，望远镜被略去，而一根竖丝则被放在它后面的一个灯
所照亮，而镜面则是一个凹面镜，它在标尺上造成竖丝的像，那是一个光 斑上的一道黑线。
451．]在丘市的可携式仪器中，磁体被做成了一个管子，一端装有透
镜，而另一端则装有标尺，经过调节，标尺位于透镜的主焦面上。光由标 尺后面射入，通过透镜以后用一个望远镜来加以观察。
既然标尺是位于透镜的主焦面上的，来自任一标尺刻度处的光就都会
从透镜平行射出，而如果望远镜是聚焦在无限远处的，它就会使标尺的像 和望远镜的叉丝相重合。如果一个给定的标尺刻度和叉丝交点相重合，则 该刻度和透镜光心的连线必然平行于望远镜的准直线。通过固定磁体而移 动望远镜，我们可以确定标尺刻度的角度值；然后，当磁体被挂起而望远 镜的位置为已知时，我们就能通过读出和叉丝相重合的标尺刻度来测定磁 体在任一时刻的位置。
　　望远镜架在一个臂上，这个臂的中心位于悬丝的直线上，而望远镜的 位置则通过仪器方位圆上的游标来读出。
　　这种安排对于一个小的可携式磁强计是合用的；在那种磁强计中，整 个仪器都装在同一个三脚架上，而且由偶然干扰所造成的振动将很快地衰 减掉。
磁体轴线方向的确定和地磁方向的确定

　　452．]设在一个磁体内画一个座标系；假设磁体是一个长方体，座标 系的 z 轴沿磁体长度的方向，而 X 轴和 y 轴垂直于其他侧表面。
　　设 l、m、n 和λ、μ、ν分别是磁轴及准直线和这些座标轴之间的夹 角。
　　设 M 是磁体的磁短，H 是地磁的水平分量，Z 是竖直分量，而δ是 H 的从北向西计算的方位角。
　　设ζ是观察到的准直线的方位角，a 是镫形器的方位角，而β是扭转 圆上的指针读数，于是 a-β就是悬丝下端的方位角。设γ是当没有扭力时 的α—β的值，则倾向于使α减小的扭力矩就将是
　　τ(α-β-γ)， 式中τ是依赖于悬丝本性的扭转系数。
为了确定 x 轴和准直线在 xz 平面上的夹角λx，固定镫形器，使得 y
轴竖直向上，z 轴指北而 x 轴指西，然后观察准直线的方位角ζ。然后取 下磁体，把它绕 z 轴转一个π角再放在这个反了个儿的位置上，然后观察
当 y 轴向下而 x 轴指西时的准直线方位角ζ′，
π

? ? ? ? ? ? ,
2 x
?
?' ? ? ? ? ?

（1）

（2 ）

2 x
由此即得
? 1
? x ? 2 ? 2 (?'??) （3）
其次，把镫形器挂在悬丝上并把磁体放上去，仔细地调节它以作到 y
轴竖向上，于是倾向于使α增大的力矩就是
?
MH sin m sin(? ? ? ? ? l x ) ? ?(? ? ? ? ? ); （4 ）
2
式中 lx 是 x 轴和磁轴在 xz 平面上的投影之间的夹角。
但是，如果ζ是观察到的准直线的方位角，则有
?

? ? ? ? ? ?
2 x

, （5）

于是力[矩]就可以写成
?
MH sin m sin(? ? ? ? l x ? ? x ) ? ? (? ? ? x ? 2 ? ? ? ? ) （6 ）
当仪器处于平衡时，这个量对一个特定的ζ值变为零。 当仪器永不停止而必须在一种振动状态下来加以观察时，对应于平衡
位置的ζ值可以用一种即将在第 735 节中加以描述的方法来进行计算。
当扭力矩远小于磁力矩时，我们可以用δ-ζ+ιx-λx 来代替它的正
弦。
如果我们使扭转圆的读数β取两个值β1 和β2，而ζ1 和ζ2 是对应的
ζ值，则有
MH(ζ2-ζ1)sinm=ι(ζ1-ζ2-β1+β2)，(7)
或者，如果我们令

? 2 ? ? 1 ?
? 1 ? ? 2 ? ?1 ? ? 2
则有
τ=τ′MHsinm，(8)

而方程(6)除以 MHsinm 后就变成
?
? ? ? ? l x ? ? x ?' (? ? ? x ? 2 ? ? ? ? ) ? 0




(9 )

　　如果我们现在把磁体翻过来，使得 y 轴向下，并调节仪器直到 y 轴确 切竖直，而如果这时ζ′是方位角的新值，而σ′是对应的倾角，则
?

?'??' ?l x ? ? x ? ?' (?'? ? x ? 2 ? ? ? ? ) ? 0,
由此即得
? ? ?' 1 1
? (? ? ?' ) ? ?' ? ? ?'?2(? ? ? )

（10 ）



（11）

2 2 2
　　现在必须调节扭转圆，使得τ′的系数尽可能接近于零。为此目的， 我们必须确定当没有扭力时的α—β的值γ此点可以这样作到：放上一个 和磁体等重的非磁性棒，并在平衡状态下测定α—β。既然τ＇很小，测 定时并不要求多大的精确度。另一种方法是利用一个和磁体等重的扭转 棒，
里边含有一个很小的磁体，其磁矩是主磁体之磁矩的 l 倍。既然τ并不
n
改变，τ＇就将变成 nτ＇，而如果ξ1 和ξ1＇是利用扭转棒求得的ξ值，
就有

? ? ?' 1
? (?

? ? ' ) ? n?' ??

? ? '?2(? ? ? )?（12 ）

2 2 1 1 2 1 1
从(11)中减去此式，即得
1 1
2( n ? 1)(? ? ? ) ? (n ? )(? 1 ? ? ' ) ? (1 ? )(? ? ?' )（13）
?' 1 1 ?'
　　既经用这种办法求出了β+γ的值，就应该改变扭转圆的读数，直到在 仪器的普通位置下尽可能近似地作到
ζ+ζ′-2(β+γ)=0，（14)
　　这时，既然τ′是一个很小的数，而且它的系数也很小，τ′值和γ 值的微小误差就不会引起δ表示式中第二项的值的多大变化，而τ′和γ 正是我们知道最不准确的两个量。
磁倾角δ的值可以用这种办法相当精确地求出，如果它在实验过程中 保持不变，从而我们可求假设δ′=δ的话。当要求很大的精确度时，必须 照顾到δ在实验时间内的变化。为此目的，必须在观察ζ值的各个相同时 刻对另一个悬挂着的磁体进行观察。如果η、η′是观察到的对应于ζ和 ζ′的第二个磁体的方位角，而δ和δ′是对应的δ值，则有
δ-δ=η′-η(15) 由此可见，为了求出δ值，我们必须在(11)式中加一个改正量
1
(? ? ?' )
2
因此，第一次观察时的倾角就是

1
? ? (? ? ?'? ? ? ?' ) ?
2

1 ? ' (? ? ? '?2? ? 2? ) （16）
2

为了求出磁体内部的磁轴方向，从(9)减去(10)并加上(15)，即得
1 1
l x = ? x + 2 (? ? ?' ) - 2 (? ? ?'+2? - π) (17)
　　使棒的两面分别朝下来重复进行实验，即令 x 轴竖直向上和竖直向 下，我们就可以求出 m。如果准直线是可以调节的，它就必须被调得尽可 能近似地重合，这样由于磁体并不是正好翻转而引起的误差就可以尽可能 地小①。
关于磁力的测量
　　453．]最重要的磁力测量就是确定一个磁体的磁矩 M 和确定地磁水平 分量强度的那些测量。通常这是通过结合运用两个实验的结果来进行的， 一个实验确定这两个量的比值，而另一个实验则确定它们的乘积。
由一个磁矩为 M 的无限小的磁体在磁轴正方向的延线上离磁体中心为
r 处一点引起的磁力强度是
M

R = 2
r 3

(1)

而且是沿 r 方向的。如果磁体具有有限的大小，但却是球形的，而且是沿 着轴线方向均匀磁化的，则上述的力值仍是准确的。如果磁体是一个长度
为 2L 的圆柱形磁棒，则


R ? 2

M L2
r 3 (1? 2 r 2

L4
? 3 r 4


? ?)


（2）

如果磁体是任意种类的，只要它的一切线度都远小于 r，则有


R ? 2

M
(1 ? A

1 ? A 1 ? ?)，（3）

r 3 1 r

2 r 2

式中 A1、A2 等等是一些依赖于磁棒之磁化分布的系数。
　　设 H 是任意地方的地磁水平分量的强度。H 是指向磁北方的。设 r 是 向磁西方量度的，则 r 终点上的力将是向北的 H 和向西的 R。合力将和磁 子午面夹一个角度，设向西量度为θ，而且
R＝Htanθ。(4)
因此，为了测定 R ，我们可以进行如下：
H
　　既经确定了磁北的方向，把一个尺寸不应该太大的磁体像在前面的实 验中那样悬挂起来，而致偏磁体 M 则摆在悬挂磁体的正磁东方，在同一水 平面内，从它的中心到悬挂磁体中心的距离为 r。
　　M 的磁轴要仔细地调到水平，并指向 r 的方向。在拿过 M 来以前和在 把它摆好以后，对悬挂磁体进行观察。设θ是观察到的偏角，如果应用近 似公式(1)，我们就有
　　
M r 3
?
H 2


tan ?;


（5）

或者，如果我们应用公式(3)，就有




① 参阅论文‘ImperfectInrersion,’byW.Swan.Trans.R.S.Edin.vol.xxi(1855),p.349

1 H r 3 tan ? ? 1 ? A

1 ? A 1 ? ?


(6)

2 M 1 r

2 r 2

　　这儿我们必须记得，尽管偏角θ可以观察得很精确，磁体中心之间的 距离 r 却是一个不容易准确测定的量，除非两个磁体都是固定的，而且它 们的中心是用记号标明了的。
这种困难可以克服如下：
　　磁体 M 放在一个刻了度的标尺上，标尺沿东西方向伸向悬挂磁体的两 侧。M 两端之间的中点被认为是磁体的中心。这个点可以在磁体上标出， 它的位置可以在标尺上观测，或者也可以观测其两端的位置并取算术平均 值。设这个平均值为 s1，并设悬挂磁体的悬丝延线和标尺相交于 s0，就有
r1=s1-s0，式中 s1 为精确地已知而 s0 为近似地已知。设θ是当 M 在这一位
置上时观察到的偏角。
现在把 M 反向，就是说，把它两端颠倒过来摆在标尺上，这时 r1 将相
同，但是 M 和 A1、A2 等等则将变号，因此；如果 Q2 是向西的偏角，则有
1 H 3 1 1

- 2 M r1 tan?2 = 1 - A1 r + A 2 r 2 - ?

(7)

1 1
取(6)和(7)的算术平均值，即得
1 H 3 1 1

4 M r1 (tan ?1 ? tan ? 2 ) ? 1 ? A 2 r 2

? A 4 4 ? （8）
1

现在把 M 移到悬挂磁体的西边，并把它的中心放在标尺上刻度为
2s0-s1 的地方。设当轴线位于第一位置上时的偏角是θ3，而当位于第二位
置上时的偏角是θ4，则有

r1 ? r ? ?, r2 ? r ? ?
1

`（10）
? n(n - 1) ? 2 ?

以及 (r n + r n ) = r n ?1 +

? ??; (11)

2 1 2

? 2 r 2 ?
2

而且，当测量作得很小心时， ?
r 2

是可以忽略不计的，因此我们确信可

以取 r1n 和 r2n 的算术平均值作为 rn。
因此，取(8)和(9)的算术平均值，即得

1 H


r 3 (tan ?


? tan ?


? tan ?


? tan ?


) ? 1 ? A

1 ? ?, （12）

8 M
或者，利用
1

1 2 3 4 2 r 2

(tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? ) ? D
4 1 2 4 4
即得

1 H
2 M


Dr 3


? 1 ? A

1
2 r 2 ? ?

454．]现在我们可以认为 D 和 r 是能够被准确测定的。量 A2 在任何情
况下都不会超过 2L2，此处 L 是磁体长度的一半，因此，当 r 比 L 大得多 时，我们就可以略去含 A2 的一项并立即定出 H 和 M 之比。然而我们却不能 假设 A2 等于 2L2，因为它可以较小，而且对于其最大线度和磁轴横交的磁 体来说 A2 甚至可以是负的。含 A4 的项和所有更高次的项，可以毫无问题地

忽略不计。
为了消失 A2，利用距离 r1、r2、r3 等等来重作实验，设 D1、D2、D3 等
等是 D 的值，则有

2M 1
? (

A
? 2 )，

2 M 1
? (

A
? 2 )，等等，等等。

D1 H r 3 5

D 2 H r 3 t

　　如果我们假设这些方程的可几误差是相同的（而它们也将是相同的， 只要它们仅仅依赖于 D 的测定），另外，如果不存在关于 r 的不确定性， 那么，根据当每一方程的可几误差被假设为相同时不准测量之组合理论的 普遍规则，用 r-3 乘每一个方程并把结果加起来，我们就得到一个方程； 而用 r-5 乘每一个方程并把结果加起来，我们就得到另一个方程。
　　
对于D1r1

? D 2 r2

? D 3r3

? ?，

让我们写出 Σ(dr-3)
并利用关于其他符号组之和的类似表示式，则两个结果方程可以 写成

?(Dr ? 3 ) ? 2M ??(r ?6 ? A
H

?(r ?8 )?,

?(Dr ?5 ) ? 2M ??(r ?8 ) ? A
H

?( r10 )?,

由此即得
2M ??( r ? 6 ) ?(r ? 10 ) ? [?(r ?8 )]2 ?
H
? ?(Dr ? 3 )?(r ?10 ) ? ? (Dr ?5 )?(r ?8 ),
以及
A ??(Dr ?3 )?(r ?10 ) ? ?(Dr ?5 )?( Dr ?8 )?
? ?(Dr ? 5 ) ?(Dr ? 6 ) ? ?(Dr ? 3 )? (Dr ?8 )
　　由这些方程推得的 A2 应该小于磁体 M 的长度平方的一半。如果它不是 这样的，我们就可以推想观测中有些不对头的地方。这种观测和化简的方
法 ， 是 由 高 斯 在 < 磁 学 协 会 的 第 一 份 报 告 >
（FirstReportoftheMagneticAssociation）中给出的。 当观察者只能在距离 r1 和 r2 处进行两组实验时，由这些实验导出的

2M 值和A
H


2 值就是

5 5 3 3

2M D1 r1

? D2 r2 ,

D 2 r2

? D1r1 2 2

Q ? ?
H


1 ? r2

A 2 ?


D 1r1


5 ? D2 r

5 r1 r2

如果δD1 和δD2 是观察到的偏角 D1 和 D2 的实际误差，则计算
结果 Q 的实际误差将是


?D ?

r 5?D

? r 5?D

1 ? r2
如果我们假设误差δD1 和δD2 是独立的，而且其中每一个的可几误差
是δD，则 Q 的计算值中的误差的可几值将是δQ，此处


(δQ 2 ) ?

10 10
1 2
2 2 2


(δD) 2

(r1

? r2 )

　　如果我们假设，其中一个距离已经给定，譬如说较小的那个距离已经 给定，则较大的那个距离的值可以适当确定以使δQ 取最小值。这一条件
导致一个 r12 的五次方程，它只有一个大于 r22 的实根,由此得到 r1 的值是
r1=1.3189Tr2。
如果只进行一次观测，则最佳条件出现在
?D ?
? 3
D r
时①，式中δD 是一次偏角测量中的可几误差，而δr 是一次距离测量中的 可几误差。
正弦法
　　455.〕我们刚才描述了的方法可以叫做“正切法”，因为偏角的正切 是磁力的一种量度。
如果线段 r1 不是沿东西方向测量而是被调节得垂直于偏转以后的磁
体的轴，则 R 仍和以前相同，但是，为了使悬挂的磁体可以垂直于 r，力 H
在 r 方向上的分量必须和 R 相等而反向。因此，如果θ是偏角，则有 R=Hsin θ。
这种方法叫做“正弦法”。只有当 R 小于 H 时这种方法才是可以应用
的。
　　丘市可携式的仪器就是采用的这种方法。悬挂的磁体挂在仪器的一个 部件上，那个部件和望远镜及装有致偏磁体的臂一起转动，而整体的转动 就在方位圆上被测量。
仪器首先被调节，使得望远镜的轴线和磁体在未受扰状态中的准直线
的平均位置相重合。如果磁体是振动的，则通过观察透明标尺的振动极限 并对方位圆读数进行适当的改正来求出磁北方的真实方位。
然后，致偏磁体就被放在一个直杆上，该直杆通过仪器的转动轴而和
望远镜的轴线相垂直，而且调节得使致偏磁体的轴线位于一条通过悬挂磁 体之中心的直线上。
然后整个的转动仪器被调节，直到悬挂磁体的准直线再次和望远镜的
轴线相重合，而如果有必要，新方位就要借助于振动极限上的刻度读数来 加以改正。
　　改正后的方位角之差就给出偏角。在此以后，我们就像在正切法中那 样地操作，只除了在 D 的表示式中要用 sinθ来代替 tanθ。在这种方法中， 用不着有关悬丝扭力的改正，因为悬丝、望远镜和磁体的相对位置在每一 次观察中都是相同的。
　　在这种方法中，两个磁体的轴永远互相垂直，因此长度的改正可以作 得更正确。
456.〕即已这样测量了致偏磁体的磁矩和地磁水平分量之比，其次我 们就必须通过确定当同一磁体偏离磁子午面时地磁倾向于使它转动的那一



① 见 Airy’sMagnetism．
① ｛在这一事例中，忽略含 A2 的项，我们就有 而当 时此式即取最小值。｝

力偶矩来求出上述二量的乘积。 进行这种测量的方法有二：动态法和静态法。在动态法中，观察的是
磁体在地磁作用下的振动时间；在静态法中，磁体在一个可测量的静力偶 和磁力[偶]之间保持平衡。
　　动态法要求的仪器比较简单，而且在绝对测量方面也比较精确，但是 却要用颇长的时间。静态法几乎可以进行瞬时的测量，从而在追踪磁力强 度的变化中是有用的，但是它却要求更精密的仪器，而且在绝对测量方面 也不是那么精确。
振动法
　　磁体被适当悬挂，使它的磁轴为水平，并使它沿很小的弧而发生振动。 振动用已经描述的任何方法来进行观察。
　　在标尺上选定一个点，和振动弧的中点相对应。把沿正方向而通过标 尺上这个点的时刻观测出来。如果在磁体回到同一点以前还有足够的时 间，则把沿负方向通过这一点的时刻也观测出来。继续进行这种工作，直 到观测了 n＋l 次正向通过和 n 次负向通过时为止。如果振动太快而无法逐 次观测，则每振动三次或五次观测一次，但要注意使观测到的通过是正负 交替的。
设观测到的时间是 T1、T2、T2n+1，如果我们令
1 1 1
( T ? T ? T ? ? ? T ? T ) ? T ,
n 2 1 3 5 2 n?1 2 2n ?1 n?1
1
(T ? T ? ? ? T ? T ) ? T' ;
n 2 4 2n? 2 2 n n ?1
则正通过的平均时间 Tn+1 应该和负通过的平均时间 T′n+1 相符合，如果点
选得适当的话。这些结果的平均值被取为中点通过的平均时间。 在多次振动已经发生之后，但是在振动不再是清楚而规则的以前，观
测者应进行另一系列的观测，由此他就可以推出第二系列的中点通过的平
均时间。 根据第一或第二观测系列来计算振动周期，观测者应该能够确定在二
系列的中点通过时间之间的时间阶段中已经发生过的振动次数。用这一振
动数去除两个系列的中点通过之平均时间之间的时间阶段，就得到平均振 动时间。
然后，利用和在摆观测中所用的同一种公式，观测到的振动时间可以
折算成无限小振幅的振动时间，而且，如果发现振动的振幅是迅速递减的， 就还要有一种关于阻力的改正，见第 740 节。然而，当磁体是用悬丝挂着 的而振动弧又只有几度时，这些改正都是很小的。
磁体的运动方程是
d2 ?

A dt 2

? MH sin? ? HM?' (? ? y) ? 0,

式中θ是磁轴和力 H 的方向之间的夹角，A 是磁体和悬置装置的惯量矩，M 是磁体的磁矩，H 是水平磁力的强度，MHι′是扭转系数：τ′像在第 452 节中那样地确定，而且是一个很小的量。平衡时的θ值是
? ' ?
θ0 = 1 + ?' ,
这是一个很小的角，对很小的振幅值来说，方程的解是

θ = Ccos（2 π t
T


+ α) ? ?0 ,

式中 T 是周期，α是一个常数，C 是振幅，而且
2
2 4? A
T = ；
MH(1? ?' )
由此我们就得到 MH 的值，
4? 2 A
MH =
T 2 (1 ? ?' )
　　这里的 T 是由观测定出的一次完全振动所需的时间。惯量矩 M 是针对 磁体而一劳永逸地求出的；如果它有一种规则的外形，就可以通过称重和 量度来求出，或是通过和一个惯量矩已知的物体相对应的动力学手续来求 出。
把这种MH值和以前求得的 M 值结合起来，我们就得到
H

M
M2 ? (MH)( ) ?
H
以及
H

2? 2 A
T 2 (1 ? ?' )


8? 2 A


Dr 3 ,

H 2 ? ( MH)( ) ?
M


T 2 (1 ? ?' )Dr 3

　　457.〕我们曾经假设，H 和 M 在两个实验系列中保持恒定，H 的涨落可 以通过即将描述的双线磁强计的同时观察来确定，另外，如果磁体已经使 用颇久，而且在实验过程中并未受到什么温度变化或撞击的影响，则依赖 于永久磁性的那一部分 M 可被假设为常量。然而，所有的钢质磁体都能够 获得依赖于外磁力的感生磁性。
现在，当应用于偏角实验时，磁体是被放成磁轴取东西方向的，因此
地磁是沿横向而作用在磁体上，从而并不倾向于增大或减小 M.当磁体是在 振动中使用时，它的磁轴是南北向的，于是地磁的作用就倾向于在轴的方 向上对它进行磁化，并从而使它的磁矩增加一个量 kH，此处 k 是一个必须 通过对磁体进行实验来求出的系数。
有两种方法可以避免这种误差来源而不必计算 k，即适当安排实验，
使得磁体在用来使另一磁体发生偏转时和在自己摆动时都处于相同的条件 之下。
我们可以把致偏磁体摆得磁轴指北，到悬挂磁体中心的距离为 r，而
1
且直线r和磁子午面之间有一个余弦 为的夹角。于是，致偏磁体对悬
　　　　　　　　　　　　3
挂磁体的作用就将垂直它自己的方向，而且等于
M
R ? 2 3
r
在这儿，M 是当磁轴正如在振动实验中那样指北时的磁矩，因此用不
着关于感应的任何改正。 然而，这种方法是极其困难的,因为致偏磁体的微小位移将引起很大的
误差，而且，由于用翻转致偏磁体的办法来进行改正在这儿是不适用的， 因此这种方法一般不被采用，除非目的在于确定感应系数。

　　在下述方法中，磁体在振动中不会受到地磁的感应；这种方法起源于 J．P．焦耳博士①。
　　制备两个磁体，使它们的磁矩尽可能近似地相等。在偏角实验中，这 些磁体被分别地使用，或者，它们也可以同时摆在悬挂磁体的两侧以引起 较大的偏角。在这些实验中,地磁的感应力是垂直于磁轴的。
　　设把其中一个磁体挂起来，而把另一个磁体摆得和前一磁体相平行， 其中心位于悬挂磁体的中心的正下方，其磁轴指向相同的方向。固定磁体 作用在悬挂磁体上的力是和地磁作用力方向相反的。如果使固定磁体慢慢 向悬挂磁体靠拢，振动时间就会增加，直到在某一点上平衡不再稳定时为 止，而越过了这一点，悬挂磁体将在反向位置附近进行振动。通过按这种 方式进行实验，就能找出固定磁体的一个位置；在该位置上，固定磁体将 恰好中和地磁对悬挂磁体的影响。两个磁体被联成一体，以便互相平行， 它们的磁轴指向相同的方向，二者之间的距离就是刚刚通过实验求得的那 个距离。然后它们就被用通常的方式挂起来，并沿着很小的圆弧一起振动。 下面的磁体恰能中和地磁对上面磁体的影响，而既然二磁体具有相等
的磁矩，上面的磁体也将中和地球对下面磁体的感应作用。
　　因此，M 值在振动实验中和在偏角实验中是相同的，从而任何关于感 应的改正都是不必要的。
458.〕确定水平磁力强度的最精确的方法，就是我们刚刚描述过的方
法。然而，整个系列的实验并不能在比一小时短得多的时间内足够精确地 完成，因此，发生在几分钟的时间之内的强度变化都将观察不到。因此就 需要一种不同的方法来观察磁力在任一时刻的强度。
静态方法就在于用一个在水平面上起作用的静力偶来使磁体发生偏
转。如果 L 是这个力偶的矩，M 是磁体的磁矩，H 是地磁的水平分量，而θ
是偏角，则有 MHsinθ=L．
由此可见，如果 L 作为θ的函数为已知，则 MH 可以求得。
　　力偶 L 可以用两种方法得到，像在普通扭秤中那样利用一条悬线的扭 变弹性来得到，或是像在双线悬置中那样利用被悬挂的仪器的重量来得 到。
在扭秤中，磁体固定在一根竖直金属丝的下端，其上端可以转动，而
它的转动可以利用一个扭转圆来加以量度。 于是我们就有 L=τ(α—α0－θ)=MHsinθ，
此处α0 是当磁体的轴和磁子午线相重合时的扭转圆读数，而α是实际
的读数。如果扭转圆被转动，使得磁体几乎垂直于磁子午面，从而
π
? ? ? ?' ,
2

那就会有
?



1 2

?(? ? ? 0 ? 2 ? ?' ) ? MH(1 ? 2 ? ),
或者写作


① Proc.Phil.S．，Manchester，March19，1867．


MH ? ? (1 ?

1 ? 2 )(? ? ?
2 0

?
? ? ?' )
2

通过观察磁体在平衡时的偏角θ′，我们可以在τ为已知时算出 MH． 如果我们只想知道 H 在不同时刻的相对值，那就既不必知道 M 也不必
知道τ。 通过在同一金属丝上挂一个非磁性物体并观察其振动时间，我们就很
容易用绝对单位来测量τ。这时，如果 A 是物体的惯量矩而 T 是一次完整 振动的时间，则有
4? 2 A
? ? T 2 ,
对应用扭秤的主要反对意见就在于，零读数α0 肯定是要变化的。在由
磁体转向指北的倾向所引起的恒定扭力作用之下，金属丝将逐渐获得一种 永久性的扭变，因此就有必要每过一段时间就重新测定扭转圆的零读数。 双线悬置
　　459.]用两根金属丝或纤维来悬挂磁体的方法，是由高斯和韦伯引入 的。由于双线悬置在许多电学仪器中都会被用到，我们将比较仔细地考察 考察它。这种悬置的一般外貌如图 16 所示，而图 17 则代表各悬丝在一个 水平面上的投影。
AB 和 A′B′是两条悬丝的投影。
AA′和 BB′是两条悬丝的上端连线的和下端连线。
a 和 b 是线段 AA′和 BB′的长度。
α和β是它们的方位角。
W 和 W′是悬丝张力的竖直分量。
Q 和 Q′是它们的水平分量。
h 是 AA′和 BB′之间的竖直距离。 作用在磁体上的力是：它的重量，由地磁引起的力偶，悬丝的扭力（如
果有的话）和它们的张力。在这些力中，地磁和张力的效应具有力偶的性
质。由此可见，张力的合力必然包括一个等于磁体重量的竖直力和一个力 偶。因此，张力的竖直分量之和是沿着其投影为 O 点的那条直线的；该点 就是 AA′和 BB′的交点，而其中每一条线段都是按照 W′和 W 之比在 O 点 被分割的。
张力的水平分量形成一个力偶，从而它们是量值相等而方向[反]平行
的。用 Q 代表其中一个力，它们所形成的力偶的矩就是 L=Q．PP′，(1)
式中 PP′是平行线 AB 和 A′B′之间的距离。 为了求得 L 的值，我们有力矩方程 Qh=W．AB=W′.A′B′,(2)
和几何方程



　　(AB＋A′B′)PP′=absin(α－β)，(3) 由此即得
　　
L ? Q．pp' ?

ab WW'
h W ? W'


sin( ? ? ?)

（4 ）

如果 m 是悬挂着的仪器的质量，g 是重力强度，则有 W+W′=mg．(5)
如果也写出
　　W-W′=nmg，(6) 我们就有
　　
L ? 1 (1 ? n 2 )mg
4

ab sin( ? ? ?) （7 ）
h

因此，当 n 为零时，也就是当所悬物体的重量由两条悬丝平均负担时，
L 的值就相对于 n 来说是一个最大值。 为了把悬丝的张力调成相等,我们可以观察振动时间并把它调到最小
值，或者，我们也可以像在图 16 中那样把悬丝的上端接在一个滑轮上，滑 轮绕轴旋转直到张力相等时为止，这样我们就得到一种自动调节的装置。 两根悬丝的上端之间的距离用另外两个滑轮来控制。悬丝下端之间的
距离也是可以调节的。 通过这种张力调节，由悬丝张力所引起的力偶就变成
1 ab
L ? mg sin( ? ? ?)
4 h
由悬丝张力引起的力偶矩具有如下形式：
τ(γ－β)，
式中 r 是二悬丝的扭转系数之和。 当α=β时各悬丝应该没有扭转，因此我们可以取γ=α．由水平磁力
引起的力偶矩具有形式
　　MHsin(δ－θ)， 式巾δ是磁偏角，而θ是磁体轴线的方位角。如果我们假设磁体轴线平行
于 BB′，或者说假设β=θ，我们就可以既避免引用不必要的符号而又不
会牺牲普遍性。 于是，运动方程就变成

d2 ?
A


? MH sin( ? ? ?) ?

1 ab


mg sin( ? ? ?) ? ?(a ? ?) (8)

dt 2 4 h
这种仪器的主要位置有三。
(1)当α近似地等于δ时。如果 T1 是这一位置上一次完整振
动的时间，则有

4? 2 A
2

1 ab
?


mg ? ? ? MH


(9)

T1 4 h
(2)当α近似地等于δ＋π时。如果 T2 是这一位置上一次完整振动的
时间，现在磁体的北端转得指向南方了，于是就有

4? 2 A
2

1 ab
?


mg ? ? ? MH


(10)

T2 4 h
　　这一方程右端的量，可以通过减小 a 或 b 而弄得要多小就有多小，但 是它不能被弄成负值，不然磁体的平衡就会变成非稳定的了。在这一位置 上，磁体就形成一种仪器，可以用来使磁力方向的微小变化成为可觉察的。 因为，当θ－δ非常近似地等于π时，sin(δ－θ)就近似地等于θ－
δ－π，从而我们就得到


? ? ? ? 1 ab

MH

mg ? ? ? MH


(? ? ? ? ?) (11)

4 h
　　通过减小最后一个分式中的分母，我们可以把θ的改变量弄得远远大 于δ的改变量。必须注意，这一表示式中的δ的系数是负的，因此，当磁 力向一边转动时，磁体就向另一边转动。
　　(3)在第三种位置上，悬置装置的上部被转动，直到磁体的轴线近似垂 直于磁子午面时为止。
如果我们令
?
? ? ? ? ? ?' ，和α - θ = β - θ′，（12）
2
则运动方程可以写成

d2 ?'
A


? ? MH cos?'?

1 ab


mg sin(? ? ?' ) ? ?(? ? ?) （13）

dt 2 4 h
如果当 H=H0 而θ′=0 时达到平衡，则有
1 ab

? MH 0 ? 4

mg sin? ? ?? ? 0, (14 )
h

而如果 H 是和一个小角θ′相对应的水平力的值，则有
1 ab
mg cos? ? ?
H = H (1- 4 h ?' ) (15)

0 1 ab


mg sin? ? ??

4 h
　　为了使磁体能够处于稳定平衡，第二项中分式的分子必须为正，但是， 它越接近于零，仪器在指示地球水平分量的强度值变化方面将越灵敏。
估计力之强度的静态方法依赖于一种仪器的作用，该仪器本身对不同
的力值将有不同的平衡位置。因此，在磁体上加一个小镜子，使它把一个 光点投射在用时钟装置带动的一个感光表面上，就可以画出一条曲线，而 由这条曲线，就可以按照我们暂时假设其为任意的一种标度来确定力在任 意时刻的强度。
460.]在一个观测站中，人们利用肉眼观察或利用自动摄影法来保持一
种偏角和强度的连续记录制度。在这种观测站中，偏角和强度的绝对值， 以及一个磁体之磁轴的位置和磁矩，都可以在很大的精确度下被测定。
因为，磁偏计在每一时刻给出受到一个恒定误差影响的偏角，而双线
磁强计则给出乘以一个恒定系数的每一时刻的强度。在实验中，我们用δ
′+δ0 来代替δ，式中δ′是磁偏计在所给时刻的读数而δ0 是未知然而恒
定的误差，从而δ′+δ0 就是该时刻的真实偏角。
同样，我们用 CH′来代替 H．此处 H′是磁强计按任意标度的读数，
而 C 是把这种读数换算到绝对单位的一个未知而恒定的因子，从而 CH′就 是该时刻的水平力。
　　测定各量之绝对值的那些实验，必须在离磁偏计和磁强计足够远的地 方进行，以便不同的磁体不会明显地互相影响。必须记下每一次观测的时 刻，并把对应的δ′值和 H′代进去。然后处理各方程，以求得磁偏计的
恒定误差δ0 和必须乘在磁强计读数上的系数 C．求得了这些量，两种仪器
上的读数就都可以用绝对单位表示出来了。然而，绝对测量必须时常重作，

以照顾到可能发生在各磁体之磁轴和磁矩方面的那些变化。
　　461．]测定地磁竖直分量的方法不曾发展到同样的准确程度。竖直力 必须作用在一个绕水平轴而转动的磁体上。喏，一个绕水平轴而转动的物 体的不能被弄得和一个用悬丝挂起并绕竖直轴而转动的物体一样对小力的 作用十分敏感。此外，磁体的重量比作用在它上面的磁力要大得多，以致 由于不对称的膨胀等等所造成的一个微小的质心位移将比磁力的颇大变化 对磁体的位置发生更大的影响。
　　因此，竖直力的测量，或者说竖直力和水平力的比较，就是磁测制度 中最不完善的部分。
磁力的竖直部分通常是通过总力方向的测定而从水平力导出的。
　　如果 i 是总力和它的水平分量之间的夹角，它就叫做磁倾角；另外， 如果 H 是已经求得的水平力，则竖直力是 Htani 而总力是 Hseci.
磁倾角用一个“倾角针”来求得。 理论的磁倾针是一个磁体，它有一个通过其质心并垂直于其磁轴的转
轴。转轴的两端作成很细的圆柱状，圆柱的中轴和通过质心的直线相重合。 这两个柱状的轴端放在两个水平的平面上，可以在上面自由滚动。
　　当转轴取磁的东西向时，指针就可以在磁子午面内自由转动，而如果 仪器调节得很完善，磁轴就将使自己沿着总磁力的方向。
然而，实际上并不能把一个倾角针调节得使它的重量不会影响它的平
衡位置，因为，即使它的质心起初是位于转轴之柱状端的中心线上的，当 针被稍稍弯曲或发生不对称的膨胀时，质心也会不再位于这一直线上的。 另外，由于磁力和重力之间的互相干扰，一个磁体的质心的测定也是一种 很困难的手续。
让我们假设针的一端和支轴的一端都被标记了出来。设在针上画了一
条实在的或假想的线，我们将称之为准直线。这条线的位置在一个竖直的 圆上读出。设θ是这条线和零刻度半径之间的夹角，在此我们将假设零刻 度半径是水平的。设λ是磁轴和准直线之间的夹角，因此，当针在它的位 置上时，磁轴和水平面之间的夹角就是θ＋λ．
设 p 是从质心到转轴在上面滚动的那个平面的垂线，则不论
　　滚动表面的形状如何，p 都将是θ的一个函数。如果转轴两端的滚动 部分都是圆的，我们就有一个形如
p=c-asin(θ＋α)，(1)
的方程，式中α是质心到滚动部分之中心连线的距离，而α是这一连线和 准直线之间的夹角。
如果 M 是磁体的磁矩，m 是它的质量，g 是重力[强度]，I 是总磁力，
而 i 是倾角，则由能量的守恒可知，当存在一种稳定平衡时，量 MIcos(θ＋λ-i)-mgp(2)
必须对θ来说有一个极大值，或者说，
dp
MI sin(? ? ? ? i) ? ?mg ,
d?

? mga cos( ? ? ?),

（3）

如果转轴的两端呈圆柱状的话。
另外，如果 T 是在平衡位置附近振动的周期，则有


MI ? mga sin( ? ? ?) ?

4? 2 A T2


（4）

式中 A 是针对转轴而言的惯量矩，而θ由(3)来确定。
　　在测定倾角时，用一个位于磁子午面内和向西刻度的倾角圆取一个读 数。
设θ1 是这个读数，于是我们就有
MIsin(θ1+λ-i)=mgacos(θ1+α)．(5)
　　现在把仪器绕竖直轴转过 180°，使得刻度变成向东，而如果现在读 数为θ2，则有
MIsin(θ2+λ-π+i)=mgacos(θ2＋α)．(6) 从(5)中减去(6)，并记得θ1 近似地等于 i，θ2 近似地等于π-i，而
λ是一个小角，从而和 MI 相比 mgaλ可以忽略不计，于是就有 MI(θ1-θ2+π-2i)=2mgacosicosα.(7)
　　现在把磁体从它的支架上取下并把它放在第 453 节中的磁偏角仪器 上，以利用一个悬挂磁体的偏角来指示它自己的磁矩，于是就有
1
M ? r 3 HD, (8)
2
式中 D 是偏角的正切。
　　其次把针的磁性颠倒过来并通过观察其正切为 D′的一个新偏角来测 定其新磁矩 M′，而距离则和以前相同，于是
1

M' ?

r 3 HD' ,
2

（9）

式中 MD′=M′D(10)
然后再把它放在支架上并取两个读数θ3 和θ4,其中θ3 近似于π+i而
θ4 近似于-i，于是
M' I sin(?3 ? ?'? ? ? i) ? mga cos(? 3 ? ?)（11）
M' I sin(?4 ? ? ? i) ? mga cos( ?4 ? ?) (12)
由此就像以前一样得到
M’I(θ3-θ4-π-2i)=-2mgacosicosa(13)
和(7)相加，就得到

MI(?1 ? ? 2 ? ? ? 2i) ? M' I(? 3 ? ? 4 ? ? ? 2i) ? 0,
或者写成
D(θ1-θ2+π-2i)+D’(θ3-θ4-π-2i)=0(15)
由此我们就得到倾角，
D(?1 ? ? 2 ? ?) ? D' (?3 ? ?4 ? ?)

（14）

i ?
2 D ? 2 D'

, （16）

式中 D 和 D′是由磁针分别在第一磁化和第二磁化中所引起的偏角的正 切。
　　在利用倾角针来进行观测时，竖直轴应调节得使磁体转轴所在的那个 平面在每一方位角上都为水平。磁体被磁化得 A 端下倾。把磁体放好，其 转轴位于支撑平面上，而当圆的平面位于磁子午面内和圆的刻度面向东时 取观测值。磁体的每一端都借助于读数显微镜来进行观察；显微镜装在一
　　
个臂杆上，并沿着倾角圆的同心圆而运动。使显微镜的叉丝和磁体上一个 记号的像相重合，然后臂杆的位置就借助于一个游标来在倾角圆上读出。 于是我们就在刻度向东时得到 A 端的一个观测值和 B 端的一个观测 值。必须观测两端，为的是消除由于磁体的转轴和倾角圆并不同心而引起
的任何误差。 然后把刻度转成向西，并进行更多的两次观测。
　　然后把磁体翻转，使它的转轴反向，并注视着磁体的另一面来再进行 四次观测。
　　然后把磁体的磁化倒转，使得 B 端下倾，测定其磁矩并在这一状态下 取八个观测值，而这十六个观测值结合起来，就给出真实的倾角。
　　462．]曾经发现，尽管作得极其细心，由用一个倾角圆求得的观测值 导出倾角，仍和由用另一个倾角圆在同一地点求得的观测值导出倾角颇不 相同。布劳恩先生曾经指出了由于转轴的椭圆性而引起的效应，并指出了 怎样通过用磁化到不同强度的磁体取得观测值来进行改正。
　　这种方法的原理可以叙述如下。我们将假设，任何一次观测的误差都 是一个不超过一度的小量。我们也将假设，有一未知的然而却是规则的力 作用在磁体上，把它干扰得离开其正确位置。
如果 L 是这个力的力矩，θ０是真实倾角，而θ是观测到的倾角，则
有
L=MIsin(θ-θ０)，(17)
=MI(θ-θ０)，(18)
式中θ-θ０是小量。
　　显然，M 变得越大，磁针就越接近于它的正确位置。现在，设测定倾 角的手续进行两次，第一次使磁化等于磁针可能达到的最大磁化 M1，第二 次使磁化等于 M2，这是一个小得多的值，但仍能使读数清晰可辨而误差也 还不致很大。设θ1 和θ2 是从这两组观测值推得的倾角，而 L 是对每次测 定中的八个位置而言的未知干扰力〔矩〕的平均值——我们将假设这个平 均值在两次测定中是相同的。于是就有
L=M１I(θ1-θ0)=MI(θ2-θ0)，(19)
由此即得

M1?1 ? M 2? 2

?1 ? ? 2

?0 ?


M1 ? M2

, L ? M1 M 2 I M


2 ? M1

（20）

如果我们发现若干次实验给出近似相等的 L 值，我们就可以认为θ0
必然是和倾角的真实值很相近的。
　　463．]焦耳博士近来制造了一个倾角圆。在这种倾角圆中，磁针的转 轴不是在水平的玛瑙平面上滚动而是套在两根丝线或蛛丝上。悬丝的两端 固定在一个灵敏天平的两臂上。于是磁针的转轴就在悬丝的两个套儿上滚 动，而焦耳博士发现，它的运动自由性是比在玛瑙平面上滚动时大得多的。 在图 18 中，NS 是磁针；CC′是转轴，这是一条直的柱状金属丝；而
PCQ 和 P′C′Q′是转轴在上面滚动的悬丝。PCQ 是天平，由支持在一根金 属丝 O′O′上的一个双重的弯杠杆构成；O′O′架在一个叉状架的尖齿 上，成水平方向；另外天平还有一个用螺丝上下调节的平衡器，以使天平

位于 O′O′周围的一个随遇平衡的位置上。 为了使磁针当在悬丝上滚动时处于随遇平衡，重心必须既不升高也不
降低。因此，在磁针的滚动中，距离 OC 必须保持不变。这一条件将得到满 足，如果天平的两臂 OP 和 OQ 是相等的，而且悬丝是垂直于两臂的。


　　焦耳博士发现，磁针不应该长过五英寸。当它长达八英寸时，针的弯 曲就倾向于使表观倾角减小一分的一个分数。磁针的转轴起初是一段钢 丝，通过在一个砝码的拉伸下烧到赤热而被拉直，但是焦耳博士却发现， 有了新的悬置，就不必再用钢丝了，因为铂乃至标准金就是够硬的了。
　　天平连接在一根金属丝 O′O′上；O′O′长约一英尺，水平地张在一 个叉子的两齿之间。这个叉子通过支撑整个仪器的三脚架上的一个圆来转 动其方位。一小时可以进行六次完整的倾角观测，而单独一次观测的平均 误差是一分角度的一个分数。
　　曾经建议，剑桥物理实验室中的倾角针应该借助于一个双像仪器来进 行观察。这种仪器包括两个全反射棱镜，像在图 19 中那样装在一个竖直的 刻度圆上，从而反射面可以绕着一个水平轴而转动．该水平轴近似地和悬 挂着的倾角针的转轴延线相重合。磁针借助于放在棱镜后面的一个望远镜 来观察，从而针的两端就可以同时被看到，如图 20 所示。通过绕着竖直圆 的中轴转动棱镜，可以使画在针上的两条直线的像互相重合。于是针的倾 角就可以根据竖直圆的读数来确定。

沿着倾角直线的磁力的总强度 I 可以根据在已经描述过的四个位置上 的振动时间 T1、T2、T3、T4 来推出如下：
　　
4? 2 A

? 1 1 1 1 ?

I = 2M ? 2M' ? T 2

? 2 ? 2
2 3

? 2 ?
T4 ?

　　M 和 M′的值必须用以上描述的偏转和振动的方法来求出，而 A 是磁针 绕其转轴的惯量矩。
利用悬挂磁体来进行的观测是更加精确得多的，因此通常是借助于方
程
I=Hsecθ
来根据水平力推求总力，式中 I 是总力，H 是水平力，而θ是倾角。
　　464．〕测定倾角的手续是很麻烦的，它不适于用来确定磁力的连续变 化。用于连续观测的最方便的仪器是竖直力磁强计。这简单的就是平衡在 刀口上而其磁轴近似水平地处于稳定平衡的一个磁体。
　　如果 z 是磁力的竖直分量，M 是磁矩，而θ是磁矩和水平面之间的小 夹角，则有
MZcosθ=mgacos(a－θ)，
式中 m 是磁体的质量，g 是重力[强度]，a 是从重心到悬置轴线的距离，而
α是通过轴及重心的平面和磁轴之间的夹角。 由此可见，对于竖直力的微小改变量δZ 来说，既然θ很小，将有磁
体之角位置的一个改变量δθ，使得 MδZ=mgasin(a—θ)δθ．
在实践中，这种仪器并不是用来测定竖直力的绝对值，而是用来记录

其微小的变化。
为此目的，只要知道当θ = 0 时的Z的绝对值以及 dZ 的值就够了。
d?
当水平力和倾角为已知时，Z 的值由方程 Z=Htanθ0 求得，式中θ是倾
角而 H 是水平力。
　　为了求出由 Z 的一个给定改变量所引起的偏转，取一个磁体把它放在 轴线为东西向的位置上，并使它的中心在磁偏计之东或之西的 r1 距置处， 正如在偏角实验中那样。设偏角的正切为 D1．然后把它放得轴线沿竖直方 向，而其中心在竖直力磁强计之上或之下的 r2 距离处，并设在磁强计中引
起的偏角的正切为 D2．那么，如果致偏磁体的磁矩是 M′，则有
3 dZ 3
2 M ? Hr1 D1 ? d? r2 D 2
由此即得
dZ r 3 D
? H 3
d? r2 D 2
竖直力在任意时刻的实际值是
dZ
Z ? Z 0 ? ? d? ,
式中 Z0 是当θ=0 时的 Z 值。
　　为了在一个固定观测站上对磁力的变化进行连续的观测，单线磁偏 计、双线水平力磁强计和天平竖直力磁强计是最方便的仪器。
在一些观测站上，现在已在用钟表装置带动的专用纸上描绘摄影曲
线，以便在任何时刻都对三种仪器上的指示形成一种连续的纪录。这些曲 线表示着力的三个垂直分量对他们的标准值的改变量。磁偏计给出指向平 均磁西方的力，双线磁强计给出指向磁北方的力的改变量，而天平磁强计 则给出竖直力的改变量。这些力的标准值，或者说这些力在各仪器示数为 零时的值，是通过对绝对偏角、水平力和倾角的频繁观测来推得的。

第八章

关于地磁


　　465．〕我们关于地磁的知识，是由对于磁力在任一时刻在地面上的分 布的研究以及对于这一分布在不同时刻的变化的研究导出的。
　　任一地点和任一时刻的磁力，当它的三个座标为已知时，就是已知的。 这三个座标可以在力的偏角或方位角、对水平面的倾角和总强度的形式下 被给出。
　　然而，考察磁力在地面上的普遍分布的最方便的方法，就在于考虑力 的三个分量的量值，即
X = Hcosδ，指向西北，?
?

Y = Hsinδ，指向正西， ?
Z = Htanθ，竖直向下， ?

（1）

式中 H 代表水平力，δ代表偏角，而θ代表倾角。
如果 V 是地面上的磁势而我们把地球看成一个半径为 a 的球，则有


X = -

1 dV
,

1 dV
Y ? ? ,

dV
Z ? , (2)

a dl

a cos l d? dr

式中 l 是纬度，λ是经度，而 r 是从地心算起的距离。
　　关于地面上的 V 的一种知识，可以只依赖于有关水平力的观测而得出 如下。
设 V0 是真实北极上的 V 值，那么，沿任一子午线求线积分，我们就得

到
v ? ? a ? ? Xdl ? V0
2



(3)

这就是该子午线上纬度为 l 处的势的值。 于是，如果我们知道每一点上的指北分量 X 的值，又知道北极上的 V
值 V0，就可以求出地面上每一点的势。既然力并不依赖于 V 的绝对值而是
依赖于 V 的导数，那也就没有必要指定任何特定的 V0 了。
　　任意点上的 V 值可被定出，如果我们知道沿任意子午线的 X 值和整个 地面上的 Y 值的话。
令
V2 ? ?a ?? Xdl ? V0 , (4)
2
式中的积分沿所给的子午线从极点计算到纬度 l，于是就有
?

V = Vl - a ?0 Ycosld?

(5)

式中的积分沿 l 纬度线从已给的经度λ0 计算到所要考虑的点。这种方
法意味着，必须在地面上进行完备的磁勘测，以便在给定的时期知道地面 上每一点的 X 值、Y 值或 X 和 Y 的值。我们实际上知道的是若干观测站上 的磁力分量。在地球上的各个开化部分，这样的观测站是比较多的；在其 他的部分，却有大片的地面是我们并不掌握其数据的。

磁勘测①
　　466．〕让我们假设，在最大线度为几百英里的一个中等大小的国家中， 在适当分布在全国各地的相当多的观测站上已经作出了关于偏角和水平力 的观测。
在这一区域内，我们可以假设 V 的值能够足够精确地用公式

V ? 常量 ? a(A l ? A ? ? 1 B l2
1 2 2 1
来表示，由此即得
X=A1+B1l+B2λ，(7)
Ycosl=A2+B2l+B3λ(8)

? B l? ? 1 B ?2
2 2 3

? ?), (6)

设共有 n 个站，它们的纬度是 l1、l2 等等而它们的经度是λ1、λ2 等
等，并设每一个站上的 X 和 Y 都已测出。 令
1 1

l 0 ?

?(l),?
n 0

? ?(?),
n

（9 ）

l0 和λ0 可以叫做中心站的纬度和经度。令
1 1

X0 ?

n ?(X),Y0 cos l 0 ?

?(Y cosl), （10）
n

于是 X0 和 Y0 就是假想的中心站上的 X 值和 Y 值，于是就有
X=X0+B1(l-l0)+B2(λ－λ0)(11)
Ycosl=Y0cosl0+B2(l-l0)+B3(λ-λ0)(12)
　　我们有 n 个形如(11)的方程和 n 个形如(12)的方程。如果我们用ζ来 代表测定 X 时的可几误差，而用η来代表测定 Ycosl 时的可几误差，我们 就可以假设二者起源于 H 和δ的观测误差，并根据这一假设来计算ξ和 η。
设 H 的可几误差是 h 而δ的可几误差是△，既然
　　dX＝cosδ．dH—Hsinδ．dδ， 就有
ξ2＝h2cos2δ＋△2H2sin2δ．
同理可得
η2＝h2sin2δ＋△2H2cos2δ．
　　如果 X 和 Y 对由形如(11)和(12)的方程给出的值而言的改变量远远超 过观测的可几误差，我们就可以断定这些改变量是由地域性的吸引力引起 的，而这时我们就没有任何理由不认为ξ和η之比等于 1。
按照最小二乘式法，我们把形如(11)的方程乘以η而把形如(12)的方
程乘以ξ，以便它们的可几误差相同。然后我们把每一个方程乘以 B1、B2
或 B3 中一个未知量的系数并把结果加起来，这样就得到可以求出 B1、B2、
B3 的三个方程，即
P1=B1b1+B2b2,




① {读者应参阅 RückerandThorpe 的论文‘AMagneticSurveyoftheBritishIsles ，’Phil．Trans.，1890，A，
pp ．53—328．}

η2P2+ξ2Q1=B1η2b2+B2(ξ2b1+η2b3)+B3ξ2b2, Q2=B2b2+B3b3;
在这些方程中，我们为了方便使用了下列符号：
b1=Σ(l2)-nl02,b2=Σ(lλ)-nl0λ0,b3=Σ(λ2)-nλ02
P1=Σ(lX)-nl0X0,Q1=Σ(lYcosl)-nl0Y0cosl0,
P2=Σ(λX)-nλ0X0,Q2=Σ(λYcosl)-nl0Y0cosl0,
通过计算 B1、B2 和 B3 并代入方程(11)和(12)中，我们可以求出勘测界
限以内任一点上的 X 值和 Y 值而不受地区性干扰的影响；经发现，当观测 站附近存在像大多数火成岩那样的磁性岩石时，地区性干扰就是存在的。 只有在磁学仪器可以运往各地并在许多观测站上安装起来的那种国 家，这种勘测才可以作到。对于世界上的其他部分来说，我们必须满足于 利用在相距很远的较少观测站的数据之间进行内插的办法来求出地磁要素
的分布。
　　467．〕现在让我们假设，通过这种手续，或是通过等价地绘制各磁性 要素之等值线图的作图手续，X 和 Y 的
　　值，从而还有势 V 的值，在整个的地球表面上都是已知的。下一步就 是要把 V 展成球谐函数的级数了。
假如地球在它的全部体积内都是沿同一方向而均匀磁化的，V 就将是
一个一阶的谐函数，磁子午线将是通过两个对面磁极的大圆，磁赤道将是 一个大圆，磁赤道的所有各点上的水平力将相等，而如果 H0 是这个常量， 则任一其他点上的值将是 H＝H0cosl′，式中 l′是磁纬度。竖直力将是 Z=2H0sinl′，而如果θ是倾角，则 tanθ将等于 2tanl′．
　　在地球的事例中，磁赤道被定义为无倾角的曲线。它并不是球体的大 圆。
磁极被定义为没有水平的点，或者说是倾角为 90°的点。共有两个这
样的点，一个在北半球，一个在南半球，但它们却并不是正好对面，而且 它们的连线并不平行于地球的磁轴。
468．〕磁极就是地面上 V 值为极大值或极小值，或为稳定值的那些点。
　　在势为极小值的任一点上，倾角针的北端将竖直向下，而如果把一个 罗盘指针放在该点附近的任何地方，则其北端将指向该点。在势为极大值 的点上，倾角针的南端将指向下方，而在该点附近，罗盘指针的南端将指 向该点。
　　如果在地球的表面上有 p 个 V 的极小值，那就必然有 p-1 个另外的点， 在那儿，倾角针的北端是指向下方的，但是当使罗盘指针沿圆周绕该点运 动一周时，指针的转动却并不是使北端永远指向该点，而是有时北端指向 该点，而有时南端指向该点。如果我们把势为极小值的各点叫做真北极， 则这些另外的点可以叫做赝北极，因为罗盘指针对它们并不忠实。如果共
有 p 个真北极，那就必有 p—1 个赝北极；同样，如果共有 q 个真南极，那 就必有 q—1 个赝南极。同名磁极的数目必须是奇数，因此曾经流行一时的 认为共有两个北极和两个南极的观念是不对的。按照高斯的意见，地球表 面上事实上只有一个真北极和一个真南北，从而没有任何赝极。这两个极 的连线并不是地球的直径，而且它也并不平行于地球的磁轴。
469．〕大多数关于地磁本性的早期探索，都力图把它表示成一个或多