6.无限的作用


　　关于不能够用有限数目的词来定义的对象的推理是可能的吗？甚至表达 它们和了解我们正在谈论的东西以及不说无意义的空话是可能的吗？或者， 相反地，它们必须被看作是不可思议的吗？至于我，我毫不犹豫地回答，它 们只不过是虚无而已。
　　我们在任伺时候遇到的所有对象要未是围有限数目的同来定义的，要未 仅仅是不完全地被确定的，依然与许多其他对象不可区 61 分；只有在我们把
　　
它们和与它们相混的其他对象区分开来后，我们才能够恰当地进行推理；也 就是说，只有当我们成功地目有限数目的词来定义它们时。
　　如果我们考虑一个集，并且我们希望定义其中的不同元素，那么这个定 义能够自然地被分为两部分；该定义的第一部分对该集的所有元素都共同适 用，它将引导我们把它们与这个集不相容的元素区别开来；这将是该集的定 义；第二部分将引导我们把该集的不同元素彼此区别开来。
　　这两部分中的每一个将由有限数目的词构成。如果我们表达其定义是已 知的一个集的所有元素，那么我们希望表达满足该定义第一部分的所有对 象，我们将借助于由我们可以希望的任何有限数目的词组成的语句成功地定 义它们。只有该定义的头半部已知，你然后才能够通过选择你喜欢的下半部 来完成它；但是，你必须完成它。如果我就集的所有对象陈述了一个命题， 那么我意味着，要是一个对象满足该定义的第一部分，那么就这个对象而论， 该命题将依然为真，不管你描述第二部分的方式如何。但是，如果你像你可 以希望地那样能够陈述它，那你陈述它就是必要的；否则，该对象就可能是 不可思议的，该命题就会没有意义。
　　对这种观点提出几点反对意见并不是不可能的，实际上已经这样作了。 由有限数目的词构成的语句总是能够编上号码，因为例如可以按照字母顺序 把它们分类。如果所有可想象的对象必须用这样的语句来定义，那么也可以 给它们编号。因此，没有比现有的整数更可信的对象了；如果我们考虑空间， 例如，如果我们从其中排除不能够用有限数目的词定义的、绝对虚无的点， 那么依然存在的点并不比现有的整数更多些。康托尔证明了对立面。
这仅仅是错觉而已。要通过用来定义空间中的点的语句来描述空间的
点，要按照形成这些语句的字母把这些语句和相应的点进行分类，这就是要 构造一种不是断言的分类方法，这种分类方法要承担我在本章开头所提到的 所有的不便、所有不合逻辑的推论和所有的悖论。康托尔究竟意指什么，他 实际上究竟证明了什么？在整数和能用有限数目的词来定义的空间的点中， 不可能发现满足下述条件的对应规律：
1.这个规律能够用有限数目的词来陈述。
　　2.给定任何整数，可以在空间中找到对应的点，这个点将被完全确定， 毫无歧义；这个点的定义由两部分组成，即整数的定义和对应规律的陈述， 它们能够被归结为有限数目的词，因为这个整数能够用有限数目的词来定 义，而对应规律能够用有限数目的词来陈述。
3.给定空间中的点 P，我假定用有限数目的词定义该点（我自己没有摒
弃使用这个定义与对应规律本身的关联，这在索托尔的证明中是必不可少 的），那么将存在一个整数，该整数将毫无歧义地用对应规律的陈述和点 P 的定义来确定。
　　4.对应规律必须是断言的，也就是说，如果使点 P 对应于一个整数，那 么当在空间中引入新点时，必须仍然使这个点 P 对应于同一个整数。那就是 康托尔所证明的东西，这依然保持为真。我们注意到包含在这个简短命题中 的复杂意义：空间中点的基数比整数的基数大。
　　于是，我们不得不作出什么结论呢？每一个数学定理必须能够加以验 证。当我陈述这个定理时，我宣称，我将试图对它进行的所有验证都会成功； 即使这些证明之一需要超过一个人的能力的艰辛工作，我断言，如果许多代 人——即使需要一百代人——认为着手进行这种验证是恰当的，它将依然会
　　
成功。该定理没有其他意义，如果我们在它的陈述中提到无限的数目，那么 这将仍为真。但是，由于验证仅能够适用于有限的数目，所以由此可得，每 一个关于无限数的定理，或者特别是所谓的无限集，或超限基数，或超限序 数等等，只能是陈述有限数目的命题的简明方式。如果它不是这样，这个定 理将不是可验证的，而且如果它是不可验证的，它将是无意义的。
　　由此可得，不可能存在任何关于无限数的明显的公理；无限数的每一个 特性无非是有限数的特性的翻译。正是后者，它可以是明显的，而且也许有 必要通过把前者与后者进行比较和通过表明翻译是严格的来证明前者。

7.小结


　　导致某些逻辑学家的悖论是由这样的事实引起的：他们不能避免某些循 环论证。当他们考虑有限的集合时，就发生这种情况，但是当他们对处理无 限集合提出要求时，这种情况会更为经常得多地发生。在第一种情况下，他 们能够容易地逃出他们落入的陷阱；或者，更严格地讲，他们自己设置了他 们选好要落入的陷阱，他们甚至被迫十分小心地不错过这个陷阱；简而言之， 在这种情况丁，悖论只不过是游戏而已。由无限概念产生出来的悖论是十分 不同的；逻辑学家在没有故意设置它的情况下落入其中是经常发生的，即使 预先告诫了，他们还是感到不安。
由于不止一个充分的理由，作出解决这些困难的尝试是有趣的，但是这
些尝试并不完全令人满意。策默罗先生想构造一个无缺陷的公理系统；可是， 这些公理仅仅能够被视为任意的规定，因为有必要证明这些规定不是互相矛 盾的，而且进行一次全面大扫除后再没有留下任何作为这样的证明的基础的 东西。因此，必须使这些公理是自明的。现在，它们通过什么机制被构造出 来？这些被采纳的公理对有限的集合为真；它们不能被推广到所有无限的集 合，这种推广只有对它们之中或多或少任意地选择的某个数目才能进行。而 且，在我看来，正如我在上面所说的，没有一个关于无限集合的命题能够在 直觉上是明显的。
罗素先生比较清楚地认识到要克服的困难的本性。无论如何，他没有完
全克服他，因为他的类型谱系假定，序数理论已被阐明。 至于我，我可以提出，我们受下述法则的指导：

1.永远不考虑任何除了能够用有限数目的词定义的对象。
　　2.永远不忽略这样的事实：每一个关于无限的命题必须是关于有限的命 题的翻译和精确陈述。
3.避免非断言的分类和定义。


　　迄今提到的所有研究工作者都有共同的特征。他们打算把数学教给还不 了解在无限和有限之间存在区别的学生；他们没有很快教给学生这一区别由 什么组成；他们在开始不涉及这种区分的情况下教给学生关于无限所能了解 的一切。再者，在他们使学生漫游的遥远领域，他们向学生指明隐藏有限数 的小角落。
　　对我来说，这似乎是心理上的虚伪；人类的心智自然不会以这种方式进 行，尽管我们可以使我们自己摆脱困境而没有过多的自相矛盾的灾难，可是
　　
这种方法却不能不与健全的心理学相对立。 罗素先生无疑将告诉我，它并不是心理学问题，而是逻辑和认识论问题；
而我将被导致回答，不存在独立于心理学的逻辑和认识论；表明这种信念也 许将结束这场讨论，因为它将使不可弥补的观点分歧变得明显起来。

第五章 数学和逻辑


　　几年前，我有机会提出了某些关于无限的逻辑的观念，谈论了无限在数 学中的作用和自康托尔以来由它所构成的应用。我解释过，我为什么不认为 某些推理方法是合理的，而许多著名的数学家却相信它们可以使用。①不用 说，我招来了一些尖锐的答辩。这些数学家不相信他们错了；他们坚信他们 有权作他们曾经作过的事情。讨论拖了下去，这并不是因为不断地提出了新 的论据，而是因为我们继续在同一个圈子里团团转，每个人都重复着他刚刚 说过的话，似乎没有听到对手已经说过什么。在每一个场合，我都要就所争 论的原理提出新的证据，可以说是为了不致遭到大家反对；但是，这种证据 总是相同的，几乎未加修改。因此没有得出结论。假如我说我感到意外的话， 那是传达了假象，其实我的心理是亮堂的。
　　在这些条件下，再次重复同样的论据似乎是不可取的，我可以给这些论 据以新的形式，但却基本上不会改变它们，因为在我看来好像是我的对手甚 至没有试图去拒绝它们。寻求造成这种截然不同的观点的智力差别的起源似 乎是可取的。我刚刚说过，这些不能缩小的分歧并不使我感到惊讶，我从一 开始就已经预见到分歧。但是，这并未免除我们寻求解释；在反复经验之后， 预见事实是可能的，还被紧紧催逼着要去解释它。
因此，让我们尝试从纯粹客观的观点来研究一下两个对立学派的心理
学，就好像我们自己不是这两个学派的成员，就好像我们正在讲述两窝蚂蚁 打仗一样。首先，我们将看到，数学家在他们考虑无限的方式方面存在着两 种对立的倾向。在一些数学家看来，66 无限是由有限导出的；无限之所以存 在，是因为有无限多可能的有限事物。对另一些数学家来说，无限在有限之 前就存在着；有限是从无限切下一小段而得到的。
一个定理必须能够证明，但是由于我们自己是有限的，我们只能够处理
有限的对象。这样一来，即使无限的概念在定理的陈述中起作用，但是在证 明中必须不涉及它；否则，这种证明将是不可能的。我将引用下面的定理作 为一个例子：素数集无界；级数∑1/n2 是收敛的等等。这些例子中的每一个 都能够化为只包含有限数的等式和不等式。这些定理带有无限的特征，并不 是因为一种可能的证明本身带有无限的特征，而是因为可能的证明在数目上 是无限的。
在陈述定理时，我断言它的所有证明将为真。这被理解为，并非所有的
证明全部给出了。还有一些我认为是可能的证明，因为它们大概只需要有限 长的时间，但是它们实际上是不可能的，由于它们可能需要多年的工作。我 相信，要是我们能够设想一些富有而愚蠢的人（他们足以雇用充分多的帮手） 企图完成它，那就好了。但是，作为定理证明的真正目的，它又使这种蠢事 变得没有必要。
不能得出任何可验证结论的定理有意义吗？或者，更普遍地讲，任何定 理除了与它有关的证明外还有意义吗？这正是数学家有分歧的地方。第一个 学派的那些数学家说没有，我将称他们为实用主义者（因为有必要给他们取 一个名字）；当一个定理在没有给他们以验证它的方法的情况下而引起他们 的注意时，他们在其中看到的只是不可理解的冗词赘句。他们愿意考虑的只



① 参见第四章。——原注

是能够用有限数目的词定义的对象。在一个论据中，当提到作为满足某些条 件的对象 A 时，他们理解满足这些条件的对象，不管用来完成它的定义的词 汇可能是什么，尽管这些词在数目上是有限的。
　　另一个学派的数学家不想承认这一点，我将把他们简称为康托尔主义 者。一个人不管他多么健谈，他在他的一生中也不能说十亿以上的词汇。因 此，我们将从科学中排除其定义包含十亿零一个词的对象吗？如果我们不排 除它们，我们为什么要排除那些只能够用无限数目的词定义的对象呢，这是 由于第一类定义的表述象第二类定义的表述一样超越了人类的范围吗？
　　不难理解，这个论据使实用主义者大为扫兴；不管一个人多么健谈，人 类还将更为健谈，因为我们不知道人类将延续多么长的时间，我们不能预先 限制人类的研究范围。我们仅仅知道，这个范围将总是有限的；即使我们也 许能够确定人类消亡的日期，但是还有其他天体上的智慧生物，能够继续从 事在地球上留下的未完成的工作。而且，实用主义者在设想比我们更健谈， 而且还保留着某些人性的人类时，他们也许并不疑虑不安；他们不愿就关于 在有限长的时间内能够思考无限多词汇的一些无限健谈的神灵的假说进行争 论。另一方面，其他人认为，客体与能够谈论或思考它们的任何人类或任何 神灵无关地大量存在着；我们能够在这种贮存中自由地选择；我们无疑没有 足够的欲望或充裕的金钱来购买每一样东西；但是库存货物却与买主的资财 毫不相干。在细节上的所有各种分歧就起因于这种最初的误解。
让我们以策默罗定理为例，按照该定理，空间能够变换为良序集。康托
尔主义者将被证明的严格、真实或明显所迷住。实用主义者将回答： “你说你能把空间变换为良序集。好吧，变换它！” “那需要花费很长时间。” “那么，你至少要向我们证明，某个有足够的时间和耐性的人能完成这
种变换。”
　　“不，我不能证明，因为实行变换的操作数目是无限的；它甚至比阿列 夫零（A1eph-zero）还要多。”
“你能够指出容许空间是良序的定律如何甲有限数目的词来描述吗？”
“不能”。 于是实用主义者得出结论：该定理或者没有意义，或者为假，或者至少
未被证明。
　　“实用主义者采用外延的观点，康托尔主义者采用内涵的观点。当涉及 到一个有限的集合时，这种区分只有对形式逻辑理论家来说才是有意义的； 但是，当涉及到无限的集合时，这种区分对我们来说似乎具有更深远的意义。 如果我们采用外延的观点，那么集合可以通过新数的相继添加而形成；我们 能够把旧对象结合起来构造新对象，然后用这些新对象构造更新的对象；如 果集合是无限的，正是因为不存在停下来的理由。
　　另一方面，从内涵的观点来看，我们从其中具有预先存在的对 68 象的集 合开始，这些对象乍看起来似乎是没有区别的，但是我们最终能分辨出它们 中的几个，因为我们标记了它们，并且把它们排列在抽屉里。但是，对象在 标记前就存在着，集合也会存在，即使也许没有把它们进行分类的管理员。 对于康托尔主义者来说，基数的概念没有包含任何秘密。当两个集合能 够排列在相同的抽屉时，它们就具有相同的基数；事情不会更容易了，由于 两个集合预先存在着，同样可以认为与负有排列对象任务的管理员无关的抽
　　
屉内的集合预先存在着。对于实用主义者来说，情况并非如此。集合没有预 先存在；它每天都增长着；新对象不断地变得与它有关，如果不涉及预先已 经分类的对象概念和它们分类的方式，人们也就不能定义这个集合。每逢一 个新的获得物时，管理员都可能被迫打乱抽屉，以便找到一种按适当顺序配 置它的方法；两个集合是否能够排列在相同的抽屉内，这将永远 0 不会为人 所知，因为总是要担心，打乱它们将是必要的。
　　例如，实用主义只承认能够用有限数目的词定义的对象；能够用语句描 述的可能的定义总是能够用从一到无限的寻常数来计数。根据这种推断，也 许只存在可能的单重无限基数，即阿列夫零数。可是，我们为什么说连续统 的幂不是整数幂呢？是的，给出我们能够用有限数目的词定义的空间中所有 点后，我们就能够想象一个定律，该定律本身能够用有限数目的词来描述， 而且能在这些词和整数集之间建立起对应。但是，现在让我们考虑其中包含 着这个对应定律概念的语句。不久前，这些语句没有意义，因为这个定律还 没有被发明出来，它们不能用来定义空间的点。现在，它们已获得了意义； 它们将容许我们定义空间的新点。但是，这些新点将在已经采纳的分类中找 不到任何位置，这将迫使我们打乱它。在实用主义看来，当我们说连续统的 幂不是整数幂时，我们的意思就是这样。我们意味着，在这两个集之间不可 能建立摆脱这类混乱的对应定律；而在涉及直线和平面的例子中，就有可能 作到这一点。
其次，实用主义者没有肯定，是否无论什么集恰当他讲都具有 69 基数；
或者，给定两个集，是否总有可能知道，它们是否具有相同的幂，或者一个 幂是否比另一个幂大。从而他们被导致怀疑阿列夫（Aleph—one）的存在。 分歧的另一个来源起因于构想定义的方式。存在着各类定义；存在着通
过近缘的类和不同的种，或者通过合成能够导出的直接定义。
　　让我们附带注意一下，在不能定义特殊的事物，而只能定义整个种的意 义上，存在着不完全的定义。它们是合理的，它们甚至是最为频繁使用的定 义。但是在实用主义者看来，有必要在其中理解特殊对象的集，这些对象满 足该定义，并且最终能够用有限数目的词来定义。因为康托尔主义者的这种 限制是人为的，而且没有意义。
如果仅存在直接定义，那么纯粹逻辑的重要性就不可能引起争议。于是，
无论在什么命题中，都可能用它的定义代替每一个术语。当完成这种代替时， 要末该命题不能简化为等同，从而不能是纯粹逻辑证明，要末它能简化为等 同，从而只不过是或多或少精巧伪装起来的同义反复。
　　但是，还有另外一类定义，即用公设来定义。一般地，我们总是知道， 被定义的对象属于一个类；但是，当陈述特定的差别成问题时，那就不直接 陈述，而借助于被定义的对象必须满足的“公设”来陈述。就这样，数学家 能够借助于显方程 x=f（y）或隐方程 F（x，y）＝0 来定义量 x。
　　只有当所定义的对象的存在被证明时，用公设定义才有价值。甲数学语 言来说，这意味着该公设没有隐含矛盾；我们没有权利忽略这个条件。要末 必须承认，由于一种信念的作用，无矛盾是直观真理、是公理——可是这样 就必须认清我们正在作的事情，铭记我们已经扩大了不可证明的公理的一览 表——要不然就必须借助于法则或公设或利用递归推理来构造形式证明。尽 管当涉及直接定义时这种证明并非不大必要，但是它一般来说却比较容易。 一些实用主义者可能更为严谨；为了使他们认为定义是合理 70 的，在术
　　
语上不导致矛盾是不充分的；按照我在上面试图定义的他们的特殊观点，他 们要求定义要有意义。
　　不管事情可能怎样，在通过公设引入定义后，逻辑将依然是无结果的吗？ 在给定一个命题后，我们不再能够在其中甲定义代替一个术语。我们能够作 的一切就是在命题和作为它的定义的公设之间消除这个术语。如果这种操作 是按照所谓的逻辑消去法则进行的，那么它就不会导致等同，因为该命题不 能借助于纯粹逻辑来证明。如果它导致等同，那正是因为该命题只不过是同 义反复而已。我们不需要在我们不久前所作的结论中改变任何东西。
　　但是，还有第三类定义，这是实用主义音和康托尔主义者之间新误解的 起源。这些定义也是通过公设来定义，但是公设在这里是被定义的对象和一 个类的所有个别对象之间的关系，被定义的对象本身被假定是这个类中的一 个元（或者人们假定它们本身只能够用要被定义的对象来定义的那些对象是 这个类的元）。如果我们假定下述两个公设，听发生的情况就是这样。

X（被定义的对象）以这样的方式与类 G 的所有元有关。
X 是 G 的元。

要不然，假定下述三个公设：

X 以这样的方式与类 G 的所有元有关。
r 以这样的方式与 X 有关。
r 是 G 的元。


　　在实用主义者看来，这个定义隐含着循环论证。在不知道类 G 所有元的 情况下，从而在不知道这些元之一 X 的情况下，就不可能定义 X。康托尔主 义者不承认这一点：类 G 被给定，从而我们知道它的所有元。作为目的，该 定义仅仅必须从这些元中区分出一个元，它与它的所有同伙元具有所描述的 关系。
“不”，他们的反对者回答说：“类的知识不会导致你认识它的所有元；
它只不过向你提供了构造所有元的可能性，或者更确切地讲，提供了构造你 所希望的那么多的元的可能性。它们将只有在它们被构造之后才存在；也就 是说，在它们被定义之后才存在，X 只有借助于它的定义才存在，只有 G 的 所有元，尤其是 X 预先已知，它才具有意义。”他们附加道：“说下面的这 些话可能是无用的；例如说什么用它对于 X 的关系来定义 X 并不是循环论证； 说什么总之这个关系是能够被甲来定义 X 的公设；因为必须预先确定，这个 公设不隐含矛盾。但是，那不是通常在这种类型的定义中所要作的事情。我 们首先证明，无论类 G 可以是什么，假定所有它的元都已知，它也许由于这 个类而具有所述的关系；也就是说，这个对象的存在并不导致矛盾。在这里， 可能留下来的是要证明，在这个对象的存在和假说之间没有矛盾，这个对象 本身是该类的元。”
　　争论可能会继续一个很长的时间；但是，我乐于强调的观点是，如果容 许这类定义，那么逻辑就不再是无结果的了，而且证明就是用预定证明命题 的方式来系统表述大量论据，这些命题决不是同义反复，因为有些人仍拿不 准它门是否错了。因此，我们为一个词所能具有的能力而惊奇。在这里，有
　　
这样一个对象，在它被命名之前，从它之中连什么东西也不能推导出来；它 所需要的一切就是取个名字，这名字创造了奇迹。这如何能够发生呢？因为 给它取个名字，我们就已隐含地断言，该对象确实存在着（也就是说，摆脱 了所有矛盾），它完全被确定了。但是，在实用主义者看来，我门根本不知 道这一点。事实上，使这个证明变得毫无结果的机制是什么呢？那是很简单 的；我们假定，被证明的命题为假，我们证明这导致与对象 X 存在的事实相 矛盾。只要我们肯定它的存在，而且只要我们知道该对象完全被确定了，这 就是合理的。实际上，要是 X 是通过定义从类 G 推出就行了；其次，要是类
G 是通过包括对象调和能够从类 G 中推导出的所有其他元在内而变得完全就 行了；如果这样而变得完全的类称为 G＇，如果我们把能够通过定义、并且 用与 X 从 G 推导出来的同一方式而从 G 推导出的元称为 X′，那么就必须确
信 X′等同于 X。如果情况并非如此，如果通过假定被证明的命题为假，我们 便被引导到两个矛盾的陈述那么，我们怎样才会知道，在两个陈述中所涉及 的是同一个 X 呢？72 如果 X 包含在一个陈述中，而 X′包含在另一个陈述中， 那么两个命题就可写成一般说来，它们不再是矛盾的。
　　为什么实用主义者因此会提出这种异议呢？因为对于他们来说，类 G 似 乎只是能够无限增加的集合，无论何时新的元都能形成，它们具有适当的特 征。于是，G 从来也不能像廉托尔主义者所作的那样不可改变地被安排，从 而我们无法肯定，借助于新的附加物它将不变为 G′。
我力求尽可能清楚、尽可能公正地解释两个学派数学家的分歧的本质。
对我来说，这似乎是我们已经能够领悟出的真正的原因。两个学派的科学家 具有对立的思想倾向。我称之为实用主义的那些人是观众论者，而康托尔主 义者是实在论者。
存在着一种能够证实这种观点的东西。我们看到，正如我所说的，康托
尔主义者（让我使用这个方便的木语吧，尽管我在这里不希望谈论步康托尔 后尘的数学家，甚至也许不想谈论那些认为他们与康托尔一致的哲学家，而 只想谈谈在独立的形式方面具有同一倾向的人）不断地谈到认识论，即科学 的科学。这种认识论完全与心理学无关，这一点已被充分地理解；也就是说， 它必须告诉我们，假使没有科学家的话，究竟科学是什么；我们必须研究科 学，这当然没有假定不存在科学家，但至少是没有假定存在科学家。于是， 不仅自然是独立于试图研究它的物理学家的实在，而且物理学本身也是一种 实在，即使没有物理学家，它也存在着。事实上，这就是实在论。
实用主义者为什么不肯容许不能用有限数目的词来定义的对象呢？这是
因为他们认为，对象只有在它能用心智构想时才存在，对象不能用独立于有 能力思考的人的心智来构想。实际上，在这里存在着观念论。既然有理性的 主体是入，或者是类似于入的某种生物，因而是有限的存在，所以无限除了 有创造我们所希望的那么多的有限对象的可能性外，它没有别的意义。
　　这样，我们可以作出某种特殊的评论。实在论者通常采取物 73 理学家的 观点。他们断言物质对象、或个体灵魂、或他们所谓的实物的独立存在。在 他们看来，世界在人创生之前就存在着，甚至在生物创生之前就存在着；即 便没有上帝，或没有任何理性生物，世界还会存在。这是常识的观点，只有 通过沉思我们才能抛弃它。物理实在论的支持者一般说来都是有限论者。至 于谈到康德的二律背反问题，他们对该论题亦步亦趋；他们相信世界是有限 的。例如，这是伊夫琳（Evellin）先生的观点。另一方面，观念论者并没有
　　
同样的顾忌，他们已充分准备好赞同对立的观点。 可是，康托尔主义者是实在论者，甚至在涉及到数学实体的地方也是如
此。在他们看来，这些实体似乎具有独立的存在；几何学家并没有创造它们， 他只是发现它们。因此，这些对象可以说在没有现存的情况下就存在着，因 为它们能够归结为纯粹的本质。但是，由于这些对象就其本性而言在数目上 是无限的，因此数学实在论的支持者与观念论者相比，他们是更大程度的无 限论者。在他们看来，无限由于在发现它的心智之前就存在着，因而它不再 是生成（becoming）。不管他们承认还是否认无限，他们必须因此而相信实 无限。
　　我们在这里辨认出柏拉图（P1ato）的理念论；看到把柏拉图归入实在论 者之中可能似乎是奇怪的。不过，没有任何学说比柏拉图主义更强烈地与当 代观念论相对抗了，尽管这种学说也远离物理实在论。
　　我从未见到有比埃尔米特（Hermite）更为实在论的数学家（在柏拉图的 意义上的实在论），我还必须承认，我从来也没有遇见一个比他更反对康托 尔主义的人。在这里，似乎存在着表面上的矛盾，之所以更加如此，是由于 他乐意重复说：“我之所以是一个反康托尔主义者，因为我是实在论者。” 他因创造对象而不是满足于发现它们而责备康托尔。毋庸置疑，由于他的宗 教信念，他认为，希望毫无困难地深入到只有上帝才能够理解的领域，而不 等待上帝向我们一个接一个地揭示它的秘密，这是大逆不敬的行为。他把数 学科学和自然科学加以比较。在他看来，博物学家企图猜测上帝的秘密，而 不通过经验来了解，这对神圣的上帝不仅是放肆的，而且是无礼的。在他看 来，康托尔主义者似乎想要以同样的方式在数学中行动。这就是为什么他在 实践上是观念论者，而在理论上是实在论者。存在着一个已知的实在，它在 我们的外部，不依赖于我们；但是，我们关于它所能知道的一切都依赖于我 们，于是这 74 一切只不过是生成，是一种相继获得的层次。其余的东西是实 在的，却是永远不可知的。
无论如何，埃尔米特的情况是一个孤立的例子，我不希望进一步停留在
它上面。不论何时，在哲学中总是存在着对立的倾向，这些倾向似乎并没有 处于和解的边缘。毫无疑问，这是因为存在着不同的心灵，我们不能改变这 些心灵中的任何东西。因此，没有希望看到在实用主义者和康托尔主义者之 间建立起和谐。人们没有取得一致，因为他们讲的不是同一种语言，有的只 是彼此都不能学会的语言。
然而，在数学中，人们通常可以彼此了解；但是，这恰恰是由于我已经
称之为证明的东西。这些证明在没有上诉的情况下就宣布判决。在它们面前， 整个世界都得屈从。但是，不管在什么地方，如果缺乏这些症明，数学家就 一点也不比头脑简单的哲学家高明。当必须了解一个定理在无法证明的情况 下能否具有意义时，由于根据定义我们不允许我们自己去证明它，谁能够判 断它能否有意义呢？除了因矛盾而使对手走投无路外，不会有其他办法。但 是，人们已经尝试做了实验，却未获成功。
　　许多二律背反都被指出来了，不一致依然存在；没有一个人被说服。总 有可能通过改变论据使自己摆脱矛盾；我指的是通过区别。
　　
第六章 量子论


　　人们可能想知道，力学是否处于新动荡的前夜。来自不同国家的大约二 十位物理学家的会议最近在布鲁塞尔召开了，他们时刻都能听到有关那种与 旧力学大相径庭的新力学的谈论。那么，什么是旧力学呢？它是在十九世纪 结束时依然毫无疑义处于统治地位的牛顿力学吗？不，它是洛伦兹
（Lorentz）的力学，这种力学处理的是相对性原理，几乎在五年前，它似乎 是最为大胆的。
　　这意味着这种洛伦兹力学只有一个短暂的命运吗？这意味着它仅仅是异 想天开吗？这意味着我们要恢复我们已经轻率地抛弃了的古老的偶像吗？一 点也不是。昨天的成果没有受到危害。在所有不同于牛顿力学的事例中，洛 伦兹的力学仍然有效。我们依然相信，从来也没有一个运动着的物体能够超 过光速；一个物体的质量不是常数，而取决于它的速度和这个速度与作用在 它上面的力所夹的角度；从来也没有实验能够确定，一个物体相对于绝对空 间、甚或相对于以太是处于静止呢还是处于绝对运动。
　　然而，我们希望愈来愈多的使人仓皇失措的打击加进这些勇敢的打击中 去。我们现在怀疑，是否不仅动力学的微分方程必须被修正，而且运动定律 是否还能够借助于微分方程来描述。自牛顿以来，自然哲学所经历的最引人 注目的革命可能就在其中。牛顿这位杰出的天才已经看到（或者认为他看到 了，我们开始感到惊讶），运动系统中的状态，或者更一般他讲，宇宙的状 态只取决于它紧挨着的前一个状态；自然界中的所有变化必然能够以连续的 方式发生。当然，他不是发明这种观念的人；在古人和经院哲学家的思想中 已有这种观念，他们宣布了这样一个格言：自然界无飞跃；但是，它却在那 里受到妨碍它发展的茂密的野草的压抑，十六世纪的大哲学家最终清除了这 些野草。
好了，正是这种基本的观念今天成为所讨论的问题。现在有人间，是否
有必要把不连续性引入自然定律，不连续性不是表观的定律，而是本质的定 律；我们首先必须说明，这样一个非同寻常的观点可以成立。

1.热力学和概率


　　让我们谈谈气体分子运动论。气体是由分子构成的，分子以很大的速度 在所有方向运动。如果分子没有不时地与其他分子相碰撞，或者分子没有撞 击容器壁，那么它们的轨迹是直线的。这些碰撞的偶然性最终建立了速度的 某种平均分布，不管我们考虑的是速度的方向还是速度的大小。无论何时这 种平均分布被扰动，它仍趋向于重新建立；于是，不管运动的无法解决的复 杂性，只能够辨认平均值的观察者仅仅注意到十分简单的定律，该定律是概 率和大数起作用的结果。他观察到统计平衡。例如，正是如此，速度在每一 个方向上将同样地分布；因为如果它们在某一时刻不这样分布，如果它们倾 向于采取共同的方向，那么在一个十分短暂的时间结束时，碰撞会使它们失 去这个共同的方向。
　　计算导致了另十个结果，每一个分子产生的平均动能正比于它的自由度 的数目。需要说明一个物体能够呈现某一数目的十分微小和不同的运动的理 由。例如，一个质点能够沿三个轴运动：它具有三个自由度。一个球能够平
　　
行于三个轴中的每一个而作平动，或者它还绕这三个轴转动。它具有六个自 由度。但是，分子不是简单的质点；它容易形变；因此它将具有许多自由度。 例如，氩分子有三个自由度，氧分子有五个自由度。于是，按照我们描述的、 被称之为能量均分原理的规律，如果根据统计平衡，那么氩分子在某一温度 下具有三个单位的动能，氧分子必然具有五个单位的动能。换句话说，在体 积不变时，氩和氧的分子比热必然分别是三比五。
　　经过正确的解释，这个规律不仅仅对气体是真实的；事实上，它来自真 正的形式，该形式已被归因于动力学方程，并且是按照哈密顿（Hamilton） 的形式。如果动力学的一般定律能够用于液体和固体，那么在细节上作必要 的修正后，这些物体必然服从能量均分原理。
　　卡诺（Carnot）原理，或热力学第二定律告诉我们，世界正在趋向于最 终的状态，届时它将再也不能偏离这个状态。因此，该原理告诉我们，统计 平衡是可能的。如果不是这样，那么总可以找到某些明智的权宜之计，容许 我们完成所谓的第二类永恒运动，例如用冰去加热蒸汽机，这是利用这样的 事实，即冰尽管可能很冷，实际 77 上也不会处于绝对零度，因此总是包含着 一定的热量。如果当两个物体 A 和 B 或 B 和 C，最后或 C 和 A 相对放置时， 统计平衡规律不同，那么不断地把这些物体中的头两个，接着把其他两个放 得更近一些，便能够很容易地改变这种平衡的条件。从而，这些物体永远也 不会达到完全静止，不存在任何真正的统计平衡。卡诺原理便不正确了。
无论互相对置的物体是什么，根据什么奇异的一致，这种平衡的条件总
是相同的吗？前面的评论使之十分清楚。这正是因为用哈密顿微分方程表示 的动力学的一般规律适用于所有物体。
直到现在，这些观念总是被实验证实，今天的证据多到足以不能把它们
归因于机遇。因此，有必要使该理论更有综合性，以便容许它包括新事实， 即使新实验揭示出例外，那也不是抛弃它，而是修正它。
甚至从第一天起，并非某种异议根本不会出现，分子、原子本身不是质
点，如果它们具有维度，可以容许把它们比之为绝对刚体 78 吗？再者，氩分 子无论多么简单，它也不会是数学点；它是一个球。这个球为什么不能旋转 呢？假使它旋转，这将导致六个自由度，而不是三个自由度① 。除非假定，
能够改变分子平动的碰撞对于它的转动绝对没有影响，碰撞不能使这种分子
受到最小的变形，等等。此外，每一条光谱线对应于一个自由度。没有必要 说，氧的光谱是由五条以上的线组成的。为什么某些自由度似乎不起作用呢？ 只要没有不可思议的情况介入，它们为什么变僵（可以这么说）了呢？

2.辐射定律


　　起初，这些困难并没有引起物理学家的注意，但是两个新事实改变了事 情的面貌。其一是所谓的黑体辐射定律。完全的黑体是其吸收系数等于 1 的 黑体；类似的物体加热到白炽发出各种波长的光，这种光的强度作为温度和 彼长的函数依照某种规律变化。直接观察是不可能的，因为没有什么物体是 理想黑体，但是却存在着克服这种困难的方法。我们可以把白炽体放到一个 完全密封的空腔中；白炽体发出的光不能逃逸，而经历一系列的反射，直到 完全被空腔吸收。当达到平衡状态时，空腔的温度变得均匀，空腔被服从黑 体辐射定律的辐射充满。
　　
　　很清楚，这是统计平衡的例子，能量交换发生着，直到在一个短暂的时 间间隔内，系统的每一部分平均得到的能量严格地等于它失去了的能量。但 是，这正是困难开始的地方。在空腔内包含的物质分子尽管为数众多，但在 数目上毕竟还是有限的，而且它们只有有限的自由度数。另一方面，以太具 有无限的数目，因为它能够以对应于不同波长的无限数目的方式振动，空腔 以这样的波长处于共振。假使能量均分原理能够应用，那么以太因而应当吸 收所有的能量，一点也不留给物质。
　　通过把关系强加于以太，例如可以使以太不具有传播太短的波长的能力 来限制它的自由度，也许是可能的。于是，刚才指出的矛盾可以避免，但是 为了不使之荒谬，还应当得出一个定律，该定律却再次与实验相矛盾。这就 是瑞利（Ray1eigh）定律，根据瑞利定律，对于给定的波长，辐射能量应正 比于绝对温度，对于给定的温度，辐射能量应与波长的四次方成反比。
　　被实验证明了的真实定律是普朗克定律。按照能量均分原理，对于短波 长或低温度，辐射远比瑞利定律要求的要小。
　　第二个事实来源于在液态空气或液态氢的极低温度下固体比热的测量。 可以觉察到，这些比热远不是常数，它们在接近绝对零度时急剧地减小，犹 如相互抵销一样。所发生的一切就好像分子在冷却的过程中丧失了自由度一 样，就好像它们的几个化学键因冷冻而消灭了。

3.能量子


　　解释这种现象必须设法不抛弃热力学原理。首先必须容许统计平衡的可 能性，没有这种平衡，就不会给卡诺原理留下什么。在热力学中，在一切没 有崩溃的情况下，不容许有什么缺口。金斯（Jeans）先生曾经设想，通过假 定我们观察到的东西不是确定的统计平衡，而是一种暂时的平衡，来使有关 的一切一致起来。接受这种观点是困难的。他的没有预期什么东西的理论虽 然未与实验发生矛盾，但也没有解释所有已知的规律，它避免了矛盾，它似 乎只不过是交了好运而已。
普朗克（Planck）先生寻求对他已经发现的规律进行另外的解释。在他
看来，这是真实平衡的问题，如果它不符合能量均分原理，那是因为哈密顿 方程不是严格的。为了得到经验定律，有必要把十分惊人的修正引入这些方 程。我们必须怎样想象辐射体呢？我们知道，赫兹（Hertz）谐振子向以太发 出赫兹波，这种波不外是光波；因此，白炽物体被认为是包含着大量的小谐 振子。当该物体变热后，这些谐振子获得了能量，开始振动并从而辐射热。 普朗克先生的假说在于假定，这些谐振子的每一个只能够通过突然的跳 跃获得或失去能量，以致振子具有的能量必须总是称之为“量子”的同一常 量的整倍数，它必须由整数个量子组成。对于所有的谐振子而言，这个不可 分的单位、这个量子不是相同的；它与波长成反比，以致短周期的谐振子只 能大块地吞吐能量，而长周期的谐振子只能小口地吸收或发射能量。可是， 结果如何呢？要扰动一个短周期的谐振子需要费许多力气，由于至少需要等 于它的量子的能量，而它的量子是很大的。因此，这些谐振子依然处于静止 的机会很多，尤其是温度低时，正是由于这个缘由，在黑体辐射中，短波长
的光将相对地少得多。 这个假说完满地解释了事实，只要我们容许谐振子能量和它的辐射之间

的关系与在旧理论中的相同就可以了。其中存在着一个主要的困难。当其他 一切都被摧毁了的时候，我们为什么要拯救这个关系呢？可是，我们必须拯 救某种东西，否则我们就不会有可供建筑的基础了。比热的减小能够用同样 的方式来解释：当温度下降时，极大量的振子低于它们的量子，它们不是在 轻微地振动，而是根本不再振动，以致于总能量下降得比前面理论中的还要 快。这仅仅是定性的观点，但是，为了获得充分的定量一致，没有必要作过 多的变化。

4.前述假说的讨论


　　只有在谐振子之间存在能量交换，统计平衡才能够建立起来，没有这种 交换，每一个谐振子都会无限期地保持它的初始能量；这个能量是任意的， 因而最终的分布也不会服从任何定律。如果谐振子是定立的、被封闭在一个 静止的空腔，那么这种交换便不能通过辐射发生。实事上，每一个谐振子只 能够发射或吸收一定波长的光，因此它只能够向同一周期的谐振子放出能 量。
　　倘若我们假定，空腔能够变形或者包含运动着的物体，那么上 81 述情况 就不再正确了。事实上，当光在运动着的镜面上反射时，由于众所周知的多 普勒（Dǒppler）-斐索（Fizeau）原理，光改变了它的波长。这里是通过辐 射而进行交换的第一种方法。
还存在着第二种方法；谐振子能够以力学方式相互作用，它们或者是直
接作用，甚或是通过运动的原子和从一个原子转移到另一个原子并与原子碰 撞的电子为媒介而作用。这就是通过碰撞进行交换。正是这种我最近已经研 究过的交换，重新发现和确证了普朗克先生的结果。
正如我上面已经解释过的，所有的能量交换方法必然导致相同的统计平
衡条件，没有这些条件，卡诺原理便是贫乏的。为了解释经验，这是必要的， 但是下述事情也是必要的：我们能够给这种惊人的一致以满意的解释，我们 不必强使把它归因于某种幸运的机遇。在旧力学中，这种解释是尽人皆知的： 它是哈密顿方程的普适性。我们在这里将会发现某些类似的东西吗？
我还没有充分研究通过辐射而引起的交换，我也不知道，这类交换所产
生的所有平衡条件是否都是已知的。如果新平衡被发现，给我们造成某些困 难，我也不会感到惊讶。
现在，存在着维恩（wien）先生所揭示出的平衡。这就是所谓的维恩定
律，按照这个定律，辐射能量与波长五次方之积仅仅依赖于温度乘以波长。 可以立即看到，为了使这个维恩定律与碰撞交换引起的统计平衡一致， 在这种碰撞交换中，必须使能量只能够以与波长成反比的量子来变化。这就 是谐振子的力学性质，这种性质显然与多普勒一斐索原理毫不相干，它不能 通过赋予这些谐振子以唯一的、能够是合适的力学性质这种神秘而先定的和 谐来充分地加以理解。如果统计平衡是不可变的，它就不再作为唯一的、普
遍的理由；它是由于一些多重的和独立的情况的组合。 在普朗克先生的说明方法中，交换方法的这种两重性没有显示出来，而
只不过是隐蔽的而已；我认为唤起对这一事实的注意是必要的。 这并不是唯一的困难。谐振子只能以它的量子的整倍数把能量传递给另
一个谐振子；后者只能以它自己的量子的整倍数接受能量。由于这两个量子

一般是不可通约的，这就足以排除直接交换的可能性。但是，交换能够通过 原子介质发生，如果我们假定这些原子的能量能够以连续的方式变化的话。 这并不是最严重的困难。谐振子必须突然地失去或获得每一个量子，或 者确切他讲，它们必须得到它们的整个量子或根本什么也得不到。不管是获 得量子还是失去量子，它们还需要一定的时间；根据干涉现象，情况必然如 此。同一谐振子在不同时刻发出的两个量子不能够相互干涉。事实上，两次 发射应该被看作是两个独立的现象，不存在它们分开的时间间隔是常数的理 由。这甚至是不可能的；这个间隔在光弱的情况下比在光强的情况下大；除 非假定间隔是常数，每次发射能够由几种量子组成，并且强度取决于同时发 射的量子数。可是，这种情况也不会发生。为了与干涉的观察资料一致，该 间隔相对于周期而言必然很小；量子的数值来源于普朗克公式本身。因此，
存在着一个极小的可能光强度，小于这个极小值的光发射被观察到了。 因此，每一个量子实际上都与其自身干涉；从而，量子一旦取以大的发
光振动面貌，就必须把它本身分成几部分；在几种波长的情况下，某些部分 应该滞后于其他部分，从而它们不应该同时发射。
　　在这里似乎有一个矛盾：可是，它并非不可解决。让我们设想一个由一 定数目的、完全等同的赫兹激磁机构成的系统。它们中的每一个都通过电源 使之充电，只要它的电荷达到一定值，就产生电火花，并开始发射，此后没 有什么东西能使它停止，直到激磁机放完电为止。因此，它必须失去它的整 个量子或者什么也不失去 83（在这种情况下，量子是相应于爆发势的能量）。 但是，这种量子并非突然地失去；每次发射都持续一定的时间，发射出的波 易受正常干涉的影响。
普朗克先生假定，谐振子的能量和它的辐射之间的关系与在麦克斯韦电
动力学中的相同。我们应当抛弃这个假说，并且假定机械碰撞按照前面的规 律发生。于是，谐振子间的能量分布会按照能量均分原理出现，但是短周期 的谐振子几乎不以相等的能量辐射。这时，解释辐射定律是可以的，但是这 却不能解释低温下比热的反常，除非我们承认，碰撞交换对于极冷的固体不 再可能，除了以十分近似的辐射进行交换而外，它们的分子不再交换热量。 假定从未有任何碰撞，一切所谓的机械力都来源于电磁，这有可能使我 们向前迈出一步。于是，有必要仅仅保持辐射交换的方法，把它作为多普勒 一斐索原理的结果。这样一来，我们也许要导致出与量子假说大相径庭的假
说。

5.作用量子


　　新观念在某一方面是迷人的。现在一段时间，潮流有利于原子论。物质 似乎是由不可分的原子构成的；电不再是连续的；它不再无限可分；它是由 具有同一电荷、全部类似的电子构成的。现在一段时间，我们已有磁子或磁 原子。根据这一估计，量子似乎是能量原子（atoms of energy）。不幸的是， 不能把比较推向最终的结论。例如，氢原子确实是不变的；它总是保持相同 的质量，不管它可能是什么化合物的成分。同样地，电子经过多种多样的变 化，依然保持它们的个性。这种所谓的能量原子是同样真实的吗？例如，在 一个谐振子上有三个能量量子，其波长是 3；这个能量传到 84 第二个谐振子， 其波长是 5。因此，它不再表示三个量子，而是五个量子，这是由于新谐振
　　
子的量子较小；并且由于在转移中原子的数目和每一个原子的大小变化了。 这就是为什么该理论还不能满足我们愿望的理由。而且，有必要解释， 为什么谐振子的量子与波长成反比。这就是引起普朗克先生修正提出他的观 念的方法的原因。但是，在这方面，我却有点困惑。我既不想过分扩张普朗 克先生的观念、走得比他想走的更远，从而背叛普朗克先生，也不忘记表明， 对我来说，他在那里似乎是引导着我们前进。因此，我将首先尽可能正确他 说明他的题目，同时在某些方面加以节略。我首先回想起，热力学平衡的研 究已被归结为统计学问题和概率问题。“连续变量的概率可通过考虑等概率 的独立的基元域而获得，??在经典动力学中，为了找到这些基元域，要利 用肯定两个物理状态（在这两个物理状态中，一个状态是另一个状态的必然 结果）同样是可几的定理。在一个物理系统中，如果一个广义坐标用 q 来表 示，而相应的动量用 p 来表示，根据刘维尔（Liouvil1e）定理，在无论任何 时刻，所取的域■dpdq 是一个对时间而言的不变量，如果 q 和 p 依照哈密顿 方程变化的话。而且，在一个给定的时刻，p 和 q 能够取彼此独立的所有可 能的值。由此可得，概率的基元域 dpdq 的大小是无限小。新假说必须把限制
p 和 q 的可变性作为它的目标，限制的方式是这样的：除跳跃外，这些变量 不再变化，或者它们被认为相互之间部分地联系在一起。这样一来，我们成 功地简化了概率的基元域的数目，以致于它们每一个的范围增大了，作用量 子的假说在于假定，这些彼此相等的域不再是无限小，而是有限的，并且对 于它们的每一个来说，


h 是常数。”

■dpdq=h

　　我认为，用几个解释结束这段引文是必要的。在这里，我不能解释作用 是什么，不能解释广义坐标和广义动量，也不能解释普朗克先生使用的各种 积分。我将仅限于说，能量元等于频率与作用 85 元之积；正如我们已经说过 的，如果能量子正比于频率，那正是因为作用量子是普适常数，是真实的原 子。
但是我必须试图阐明，概率的基元域意味着什么。这些域是不可分的；
也就是说，只要我们认识到我们处于这些域的某一个中，从而便能够确定一 切；另一方面，如果接着要来的事件并未作为这个事实的结果而被充分认识， 如果它们要按照我们碰巧所在的域的那一部分而有所差异，那么从概率的观 点来看，这个域是不可分的，因为某些未来事件的几率在它的各个部分不会 相同。
　　这相当于说，对应于同一个域的系统的所有事件在它门自身之间不能区 分；它们构成了同一个状态，从而我们得出下述陈述，这个陈述比普朗克先 生的陈述更为精确，而且我相信，并不违背他的观念。
　　一个物理系统只能够有有限数目的独特状态，它从这些状态中的一个跃 迁到另一个时，无须通过中间状态的连续系列。
　　为了简化这个问题，让我们假定，该系统的状态仅仅取决于三个参数， 这样我们在几何学上就可能用空间的点来描述它。因此，表象各种可能的状 态的点集将不像我们通常假定的那样，不是整个空间，或者这个空间的区域。 它将是为数极多的散布在空间中的孤立的点。确实，这些点十分密集，以致 于给我们以连续的假象。
所有这些状态必须被视为有同样的概率。事实上，如果我们接受决定论

的概念，那么这些状态中的每一个必然被另一个状态紧随着，严格他讲是可 几地紧随着，因为可以肯定，第一个状态传给了第二个状态。从而我们会逐 渐地看到，如果我们从某一初始状态出发，我们在某一天所达到的全部状态 都同样是可几的；其他状态不必被看作是可能的状态。
　　但是，我们表象的孤立的点一定不以任何方式分布在空间。它们必须这 样分布，以致当用我们未经训练的感官去观察它们时，我们可以相信通常的 动力学定律，例如哈密顿的那些原理。比较也许有助于使我本人变得清楚一 些，这种比较比表面看来的情况更接近于实在。我们观察一种液体，我们的 感觉起初使我们相信，这是连续的物质。更精密的实验告诉我们，这种液体 不易压缩，以 86 致物质任何部分的体积总是不变的。于是，各种各样的理由 使我们认为，这种液体是由很小、很多、但却是分立的分子组成的。无论如 何，在没有对我们的想象加上某些限制的情况下，我们将不再能够想象这些 分子的分布。因为不可压缩性的缘故，所以有必要假定，两个小的相等的体 积包括着相同数目的分子。至于可能状态的分布，普朗克先生发现他本人处 于类似的限制下，这就是他用方程所表示的东西，我在上面已经引用了这个 方程，在这一点上我不能作进一步的解释。
　　确实，设想混合的假说也许是可能的。让我们再次假定，物理系统仅依 赖于三个参数，它的状态能够用空间的点来描述。表象可能状态的点集既不 能是空间的一个区域，也不能是一组孤立的点。它能够由相互隔开的大量的 小曲面或小曲线构成。例如，要么该系统的一个质点只能描绘出某些轨道； 可是，除了它在邻近点的影响下从一个轨道跃迁到另一个轨道而外，却是以 连续的方式描绘轨道的——在我们上面所讲的谐振子的例子中，情况可能就 是如此；要么有质物质（ponderab1e matter）的状态以不连续的方式变化， 它只具有有限数目的可能态，相反地，以大的状态却以连续的方式变化。在 所有这些当中，没有东西是与普朗克先生的观念不相容的。
但是，毋庸置疑，第一种解决办法将更受欢迎，这种解决办法摆脱了所
有这些离奇古怪的假说；可是，必须考虑这种作法留下的后果。我们所说的 东西应当适合于任何孤立的系统，甚至适合于宇宙。因此，宇宙会突然地从 一个状态跃迁到另一个状态；但是在间歇期间，它依然是不动的。宇宙保持 同一状态的各个瞬时不再能够相互区分开来。因此，这将导致时间的不连续 变化，即时间原子（atom of time）。

6.普朗克的新理论


　　让我们再次涉及一下不怎么普遍但却比较精确的问题，例如涉及一下辐 射理论。普朗克先生想要修正他最初的理论，我乐于就此说几句话。按照他 的新设想，光发射以量子形式突然地发生，但吸收却是连续的。他希望由此 摆脱随之而来的困难，我不知道 87 这到底是为什么，在涉及吸收的范围内， 似乎更令他感到困惑。光以连续的形式撞击每一个谐振子。如果谐振子每次 只能吸收一个量子，那么能量必须积累在类似于谐振子的接待室内，直到足 够时才进入。在第二种理论中，这种困难消失了，但是对于失去的能量而言， 总是需要一个接待室，因为以太只能以无限小的部分传播能量。
　　在新理论中，谐振子即使在绝对零度依然保持残余的能量。如果我们采 纳普朗克先生的新观点，那就必然要修正辐射体能量和它的辐射强度之间的
　　
关系。这种辐射不再正比于能量，而仅仅正比于这个能量超过在绝对零度时 还保留的残余的额外部分。
　　我必须承认我完全不满意这个新假说吗？普朗克先生只谈到发射和吸 收，并把它们说成好像谐振子是定立的一样；他没有提及碰撞引起的能量交 换，也没有提到多普勒一斐索效应。在这些条件下，因而不可能存在趋向于 最终状态的趋势。这就是我上面说过的东西。因此，试图使我们了解最终状 态的证据只不过是错觉而已。这位作者没有说，碰撞引起的交换像吸收一样 是连续的呢，还是像发射一样是不连续的呢。当我们希望应用碰撞交换的普 遍理论时，已不再能得到普朗克先生的结果了。因此，坚持他最初的观点是 比较合适的。

7.索末菲先生的观点


　　索未菲（Sommerfeld）先生提出了一种理论，他希望把这种理论与普朗 克先生的理论联系起来，尽管它们之间的唯一联系是两人的公式中都有字母 h，而同一名称“作用量子”却给予了这个字母所表示的两个截然不同的对象。 我们已经知道复杂物体的碰撞规律，并把它们用于实验，而电子的碰撞 根本不遵循这些规律。当电子碰到障碍物时，它的速度越大，就越能更为迅 速地停顿下来。（如果这个规律可用于列车，那么制动问题会显示出新的优 越性。）这适用于 X 射线的产生。阴极射线是运动着的电子，这些电子由于 和阳极碰撞而停顿下来。88 这种突然的停顿扰动了以太，以太的振动产生出
X 射线。索未菲先生的理论解释了 X 射线为什么具有更大的贯穿性，更“强
有力”，比阴极射线的速度大。事实上，这种速度愈大，停顿得愈迅速，其 结果以太的扰动就愈强烈，持续时间愈短。

8.结论


　　我们看到，该问题的状况是：以前的理论迄今似乎解释了所有已知的现 象，当前却遇到了未曾料到的障碍。它看来有修正的必要。普朗克先生首先 构想出一种假说，但是它好像太离奇了，以致于我们试图寻求各种摆脱它的 方法。到现在，人们徒劳地寻求这些方法。由于我们思想的隋性抗拒改变它 的习惯，这并未阻止来源于这种新理论的困难，许多困难都是真实的，而不 是简单的假象。
　　暂时还不可能预见最终的结果将是什么。我们将会发现另外的、完全不 同的解释吗？或者相反，新理论的坚决支持者将会成功地撇开那些阻碍我们 毫无保留地采纳它的障碍吗？间断性将支配物理世界吗？它的成功确定无疑 了吗？否则，我们将要承认这种间断性只不过是表观的，而一系列的连续过 程却被掩盖起来了吗？看到碰撞的第一个人认为，他观察到了不连续的现 象，我们今天知道，他只不过是看到了速度极大的、但却是连续变化的效应。 为了寻求对这些问题作出评价的那一天，还需要耗费人们的笔墨。
　　
第七章 物质和以太之间的关系①


　　当亚伯拉罕（Abraham）先生请求我为结束法国物理学会所组织的一系列 讲演讲几句话时，我起初想加以谢绝；在我看来，似乎每一个课题都充分讨 论了，我不能对已经很好讲述过的东西再添加些什么了。我只能尝试概括一 下似乎是从这些研究的集合中流露出的印象，这种印象是如此明晰，以致于 你们中的每一个人以及我都必然已经体验到了，我无法用几句话把它描述得 更为清晰。但是，亚伯拉罕先生彬彬有礼地坚持要我讲话，我尽管感到为难， 最后还是顺从了他的请求，最大的不便之处是要重复你们每个人长期思考过 的东西，至于要涉及大量我没有时间详细地从事的不同课题，还是微不足道 的困难。
　　所有的听众必然想到过一个重要的观念。原先的力学假说和原子理论近 来已被认为具有充分的可靠性，它们不再作为假说出现在我们面前了。原子 不再是一种方便的虚构了；似乎可以说，我们能够看到原子，因为我们知道 如何去计算原子。当假说解释新事实时，它就成形了，变得更可信了。但这 会以多种方式出现。它往往会变得范围更大一些，以便说明新事实；但是， 当它变得更广泛时，它有时也要在精确性方面有所丧失；有时，必须把似乎 与它一致的辅助假说嫁接在它之上，这个辅助假说与被嫁接的砧木不会过多 地出现不协调，不过还与砧木有某些不相容之处，还是某种用关于要达到的 目标的明确观点构想出来的东西——一句话，是 附加的点缀。在这种情况下， 我们不能说经验已经证实了原米的假说，最多只能说经验与它不矛盾。或者 还可以说，在新事实和原来力之构想出该假说的旧事实之间存在着密切的联 系，存在着这 90 样一种性质：任何解释新事实的假说必须在实际上能解释旧 事实，以致于所证实的事实只不过在表面上看来是新的。
当经验揭示出能够预期的和由于偶然性而不能预期的一致时，大其是当
涉及着数量上的一致时，同一问题就不是这样的情况了。现在，这类一致最 近已证实了原子论概念。
可以说，气体分子运动论已经得到意想不到的支持。新来者严格地以它
为模型；这些新来者一方面是溶液理论，另一方面是金属电子论。溶质分子 以及使金属具有导电性的自由电子，其行为犹如包含在封闭空间中的气体分 子。这种对应是完善的，甚至能够追踪到数量上的一致。在这方面，可疑的 东西变成或然的；如果这三种理论中的每一个是孤立的，那么它似乎只可能 是一个有天才的假说，为此它可以代替其他几乎是合理的解释。然而，在这 三种情况的每一个中，尽管不同的解释似乎是必要的，但是观察到[三者]的 一致不能再归因于不能允许的偶然性，因为三种分子运动论使这些一致成为 必然的了。此外，溶液理论十分自然地把我们引向布朗运动理论，在这种理 论中，不能认为热扰动是想象的虚构，因为能够在显微镜下直接看到它。
佩兰（Perrin）先生出色地测定了计算出来的原子的数目，使原子论大 获全胜。使它变得更为可信的是通过完全不同的方法所得到的结果之间的多 方面的一致。不久前，只要由此推出的数目包含着相同的位数，我们就认为 我们自己是幸运的了。我们甚至不要求第一位有效数字是相同的；第一位数 字现在已被确定了；最突出的是已经考察了原子的多种多样的性质。在从布



① 1912 年 4 月 11 日在法国物理学会所作的讲演。——原注

朗运动所推出的方法中，或者在引起辐射定律的方法中，直接计算的不是原 子，而是自由度。在我们研究天空的蓝色这一工作中，原子的力学性质不再 起作用了；它们被认为是光学不连续性的结果。最后，当研究射气时，它是 所计算的抛射粒子的发射。我们已经达到这样一 91 点：如果有任何的不一 致，我们不会为如何解释它们而感到困惑；然而，幸运的是，不存在任何不 一致。
　　化学家的原子现在是一种实在了；但是，这并不意味着，我们正在达到 物质的终极要素。当德漠克利特（Democritus）发明原子时，他认为原子是 绝对不可分的元素，超过这一界限，就什么也找不到了。这是希腊人的意思； 正由于这个缘由，他毕竟发明了原子。在原子背面，他没有想到更多的奥秘。 因此，化学家的原子并不会使他满意；因为这种原子决不是不可分的；它实 际上不是一种[不可分的]元素；它隐藏着奥秘；这种原子是一个世界。德漠 克利特也许想尽力去发现它，我们却没有比当初更进一步。这些哲学家从未 得到满意的结果。
　　由于物理学中的每一个新发现都揭示出原子的新的复杂性，这就是坚持 原子复杂性的第二点考虑。首先，被认为是简单的物体，而且其行为在许多 方面与简单物体完全一样的物体，还能够分裂成更简单的物体。原子分裂为 更小的原子。所谓放射性，只不过是原子持续不断的分裂。这时常被称之为 元素嬗变，这种说法不十分严格，因为一种元素实际上没有转化为另一种元 素，而是分裂为几种其他元素。这种分解的产物还是化学原子，它们在许多 方面类似于复杂原子，它们是复杂原子在分裂过程中产生出来的，因此这种 现象恰恰可以像最普通的化学反应那样用化学方程式来表示，大多数保守的 化学家都能接受它，而不会有过多的犹豫。
这并非问题的全部。在原子中，我们发现了许多其他东西：首先，我们
在原子中发现了电子。因此，每一个原子似乎都是某种类似于太阳系的东西， 在这种太阳系中，起行星作用的小负电子被吸引到起太阳作用的大正电子的 周围。正是带有相反电荷的这些电子的相互吸引维持该系统的结合并使它成 为一个整体。正是这种引力，使行星的周期具有规则性，正是这些周期，决 定原子发出的光的波长。正是由于这些电子运动所产生的运流的自感，才使 由电子构成的原子具有它的表观惯性，我们称其为它的质量。除了这些被束 缚的电子以外，还有自由电子，这些自由电子服从与气体分子相同的运动学 规律，它们使金属成为导体。这些自由电子可以和彗星相比，彗星从一个恒 星系统运动到另一个恒星系统，并在这些遥远的恒星系统之间自由进行能量 交换。
　　然而，我们并没有走到尽头。在电子或电的原子之后，磁子或磁原子也 接踵而来，它今天是沿着两条不同的途径向我们走来的，一条是通过磁体的 研究，一条是通过简单物体的光谱的研究，我不需要在这里提醒你们注意外 斯（Weiss）先生出色的讲演和这些实验以未曾料到的方式揭示出来的、使人 惊讶的可通约关系。其中也有不能归因于偶然性的数量关系，为此必须寻求 一种解释。
同时，还必须解释光谱中谱线分布的十分奇特的规律。根据巴耳未
（Balmer）、龙格（Runge）、凯泽（Kaiser）和里德伯（Rydberg）的研究， 这些谱线是按系列分布的，在每一个系列中都服从简单的规律。所出现的第 一个想法是把这些规律和谐音的规律进行比较。正如振动弦有无数的自由度

一样，这容许它产生无数的声音，这些声音的频率是基频的倍数；正像一个 复杂形状的共鸣体也产生谐音一样，其规律是类似的，虽则更简单一些；正 如赫兹谐振子可以具有无限数目的不同周期一样，由于同一理由，原子难道 不能放出无限数目的不同的光吗？你们知道，这种很简单的想法失败了，因 为按照光谱定律，正是频率，而不是它的平方，其表达式才是简单的，由于 对无限高范围的谐波而言，频率不会变成无限的。这种观念必须修正或抛弃。 直到现在，它还抵制一切尝试；它还拒绝修改它自己。这就是导致里兹（Ritz） 先生抛弃它的原因。因此，里兹把振动的原子设想为是由旋转的电子和一些 头尾相接的磁子构成的。它不再是使波长具有规则性的电子相互之间的静电 引力；而是由这些磁子产生的磁场。
　　这就是接受这种观念的某些困难，因为这种观念包含着某些人为的东 西；但是我们必须服从它，至少必须暂时服从它，由于直到现在，虽然我们 正在积极地进行研究，可是还没有发现什么不同的东西，为什么氢原子能发 出几条谱线呢？这并不是因为每一个氢原子能够发出氢光谱的所有谱线，也 不是因为它们按照运动的 93 初始情况发出这条或那条谱线。这是因为存在着 多种氢原子，它们在磁子（磁子在氢原子中排列成行）数上彼此不同，因为 每一种原子都放出不同的谱线。我们感到奇怪的是，这些不同的原子是否能 够相互转化以及如何相互转化。原子为何能够失去磁子（也就是说，当铁的 一种同素异形体转化为另一种时，似乎发生了什么）？磁子能够离开原子吗？ 或者，一些磁子能够脱离队列不规则地排列它们自己吗？
磁子的这种首尾相接的排列也是里兹假说的奇异特征。无论如何，外斯
先生的想法必然使它似乎不怎么不可思议。就磁子的排列而言，确实必须是， 即使不是首尾相接，至少也是平行的，因为它们能够用算术方法相加，至少 能够用代数方法相加，但是却不能用几何方法相加。
那么，磁于是什么呢？它是某种简单的东西吗？不是这样，如果我们不
希望抛弃安培（Ampere）粒子流假说的话。因此，磁子是电子的涡旋，我们 的原子现在变得越来越复杂了。
无论如何，促使我们对原子的复杂性比其他任何特性更为重视的是德比
尔纳（Debierne）先生在他讲演末尾所阐述的思想。这在于解释放射性变化 的规律；这个规律是很简单的，它是指数式的。但是，如果我们考虑一下它 的形式，我们看到它是统计规律；我们能够在其中辨认出机遇的因素。但是， 机遇因素在这里并不是由于其他原子或其他外部动因的偶然的冲突。它恰恰 在于原子内部，变化的原因就是在原子内部找到的。我指的是决定性原因以 及物质因。另外，我们应当看到外部环境，例如温度施加影响于上升到一给 定的幂的时间系数，这个系数显然是常数，从而居里（Curie）提出利用它来 测量绝对时间。
　　因此，调节这些变化的机遇因素是内部机遇因素；也就是说，放射性物 体的原子是一个世界，是一个隶属于机遇的世界；可是让我们谨防那些谈到 机遇就把它理解为大数的人。由几种元素组成的世界将程度不同地服从复杂 的规律，但却不是统计规律。因此，问题必然是，原子是一个复杂的世界； 它的确是一个封闭的世界（或者至少是几乎封闭的世界）。它避免了我们能 够引起的外部扰 94 动。既然有关于原子的统计学，因而有内部热力学，因此 我们能够谈论原子的内部温度。好了！没有呈现与外部温度平衡的趋势，仿 佛原子被封闭在完全不被辐射热渗透的外壳内。原子之所以是一个个体，这
　　
恰恰是因为原子是封闭的，因为原子的功能被墨守成规的官员明确地谋划和 护卫。
　　乍看起来，原子的这种复杂性并不能引起人们的思想有什么震动；它似 乎不会使我们惊慌失措。但是，梢加思索将立即揭示出我们起初没有想到的 困难。在计量原子时，我们计量的是自由度。我们已经隐含地假定，每一个 原子只有三个自由度。我们以此来解释所观察到的比热。但是，每一个新的 复杂性都应当引入新的自由度，因而我们仍远离目标。这一困难还是引起了 能量均分原理的创始人的注意。他们已经为光谱的谱线数感到惊愕，但是由 于没有找到避免它的办法，他们才敢于忽略它。
　　原子是复杂而封闭的世界，这正是很自然的解释。外部扰动对于在内部 发生的现象没有任何影响，在内部发生的现象对于外部也没有影响。这不会 全部为真；另外，我们从未了解到在内部发生了什么，原子似乎是简单的质 点。真实的东西就是我们只能通过很小的窗户看到内部的东西，实际上，在 外部和内部之间没有能量交换，从而在这样内外两个世界之间没有能量均分 的趋势。正如我不久前说的，内部温度不与外部温度趋于平衡，这就是比热 相同的原因，犹如所有的内部复杂性不存在一样。让我们设想一个由中空的 球构成的复杂的物体，它的内壁是绝对不透热的，在该物体内部有多种多样 不同的物体。所观察到的这个复杂物体的比热将是球的比热，仿佛所有封闭 在它里面的物体不存在一样。
不管怎样，在原子内部世界关闭的门不时地稍稍打开。这就是当原子通
过氦粒子的放射，自身发生衰变，在放射性等级上下降一位时所发生的现象。 接着发生什么呢？如何区分这种分解与通常的化学分解呢？为什么由氦和其 他东西构成的铀原子往往被叫作原子，而不叫作氰——其行为在许多方面像 简单物体的行为，它由碳和氮构成——那样的半分子（semi-mo1ecu1e）呢？ 毫无疑问，这是因为铀的克原子热将服从（我不知道是否已经测量过）杜隆
95（Dulong）和珀替（Petit）的定律，这事实上是单原子所服从的定律。因
此，在放出氦粒子的时刻和原来的原子分裂为两个次级原子时，克原子热应 该加倍。由于这种分解，原子会得到能够影响外部世界的新的自由度，这些 新自由度应当通过比热的增加而显示出它们的存在。在各组分总比热和化合 物比热之间的这种差别的结果应该是什么呢？正是这种分解所释放出的热应 该随温度急剧地变化；以致于在常温下大量吸热的放射性分子的形成将会在 较高的温度下变成放热的。这样，我们将会更好地理解放射性化合物是如何 形成的，其中仍还有某些秘密。
　　不管事情可能怎样，这些小的封闭的或只是稍稍开放的世界这一观念还 不足以解决问题。除了在一扇门稍稍打开的瞬时，能量均分原理毫无疑问应 当在这些封闭世界之外起支配作用，这是必然的；而这并非所发生的事情。 当温度降低时，固体的比热急剧地减小，仿佛它们的某些自由度相继僵 化了一样，也可以说相继冻结了；或者，你如果乐意的话，也可以说与外界
失去了所有接触，陆续退居于某些封闭世界的某些封闭空间之后。 而且，黑体辐射定律并不是能量均分原理所要求的定律。 民适应这个理论的定律是瑞利（Rayleigh）定律，而且由于它会导致无
穷大的总辐射，因此似乎隐含着矛盾的该定律与实验绝对不相容。在黑体发 射中，只存在比能量均分原理所要求的少得多的短波光。
这就是普朗克（Planck）先生为什么构想出他的量子论的原因，按照量