当物体处于平动或平动平衡时，可以把它当做质点处理，这时各力 的作用点可集中画到质心上。如图(4)所示，小球与 A、B 物之间无摩擦， 并处于静止状态，则小球受到的力为：重力 G、A 点和 B 点对它的弹力 NA
和 NB，由于弹力方向垂直于接触点的切面，所以这三个力汇交于小球的
质心 O 处。 当物体受力作用有转动效果时，不能把力的作用线横向平行移动，
物体在哪一处受力，就必须把力的作用点画在那里，不能随便把各个力 集中而通过质心，即不能把刚体当做质点处理，如图(5)所示，均匀梯子 靠在光滑墙上，与水平成θ角，而处于静止，梯子受力应如图(5)所示。 而不能画成图(6)所示。
(2)恰当地选择研究对象是十分必要的。
　　对于几个质量都为 m 的物体组成的物体系如果要求物体系的外力， 则当物体系各个物体的加速度相同时，应该用整体法分析物体受力。当 物体系中各物体加速度不相同时，一般用隔离法分析。如图(7)所示，五 个质量相同的木块，并排放在倾角为θ的斜面上，它们与斜面的摩擦系 数相同，用力 F 沿斜面向上推物块时，斜面仍静止。若物块向上匀速运 动，求地面对斜面的摩擦力？电于所求之力是系统的外力，又因为系统 各个物体的加速度相同（为零），所以应该用整体法分析受力情况，如 图(8)所示，F 在水平方向分力为 Fcosθ，由于物体系处于静止状态，根 据平衡条件，可知地面对斜面的摩擦力的大小为 Fcosθ。若物体向上加 速运动，试求物块 2 对物块 3 的推力大小？此时要用隔离法，由于只求
第 2 块对第 3 块的推力，只需把 3、4、5 块作为一个整体隔离即可，其
受力如图(9)所示。由方程： T-3μmgcosθ-3mgsinθ
=3ma
F-5μmgcosθ-5mgsinθ=5ma
可解出T = 3 F
5
　　从解题过程可以体会到分析内力时应恰当选择研究对象，如果把每 个物块都分别隔离求解，就非常复杂。
(3)分析摩擦力的方法。
　　可以根据物体的平衡条件分析摩擦力。如均匀木棒处于静止状态。 在(10)图中，B 端只受地面的支持力 NB，从力的平衡角度分析可知，由
于水平方向合力为零，所以 B 端不受地面的摩擦力。而在图(11)中 B 端 就一定受到一个向右的摩擦力，否则水平方向合力就不能为零。
　　还可以根据牛顿第二定律分析摩擦力，如图(12)所示，放在小车 A 上的铁块 B，随小车由静止开始运动的时候，要确定铁块 B 受到的摩擦力 方向，可考虑 B 随小车由静止开始运动时是加速过程，加速度方向向右， 根据牛顿第二定律，B 受到的摩擦力方向也一定向右，正是靠摩擦力的作 用，B 才有向右的加速度（图 12(a)）。同样可以分析出，若 B 随小车作 匀速运动，则不受摩擦力作用（图(b)）。若 B 随小车减速向右运动，B 的摩擦力方向与加速度方向一致是向左的（图(c)）。此题也可以根据相 对运动确定摩擦力方向，但从加速度角度考虑比较方便。
　　
　　物体受力分析是一个灵活问题，方法也很多，读者应注意在学习中 在理解物理概念和规律基础上多进行总结。
力的合成 求几个已知力的合力。 力的合成遵循平行四边形法则，不能认为“合力总比分力大”，两

个共点力的合力大小为F =

1 ? F2

? 2 F1F2 cos ?。可见，合力F与二分

力 F1 和 F2 的夹角θ有关，即 F1+F2≥F≥|F1-F2|。在矢量合成中，一定要
注意抛弃“1+1=2”的算术运算法则。 在力的合成时，如果已知两个分力的大小、方向四个因素，求合力
的大小、方向两个因素，只有一组解；如果已知一个分力的大小、方向 和另一分力的方向（或大小）三个因素，求合力，则可有无数多解；如 果只已知两个分力的大小（或方向）两个因素，求合力，也是无数多解。 合力是一种“等效力”。在物理学中，运用“等效”概念研究问题 是一种重要方法。但在解力学问题时，要注意利用力的等效合成概念， 使问题便于解决。但在分析物体受力情况时，我们只能分析物体实际所 受的力，不能加上“合力”这样的等效力。例如，当物体沿光滑斜面下 滑时，我们只能说，物体受到重力和斜面弹力的作用，而不能说还受到
一个下滑力，因为下滑力是重力和弹力的合力，是“等效”力。
　　平行四边形法则 求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这 两个力的有向线段为邻边，作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就 表示合力的大小和方向，合力的作用点就是分力的作用点。这叫做力的 平行四边形法则。
平行四边形法是通过实验（例如用两个互成角度的共点力作用于橡
皮条产生的形变效果，跟用一个力作用产生的形变效果相同），用几何 作图法验证得到的，所以它是一条实验规律，是用几何法求矢量合成的 普遍法则，对别的矢量（如位移、速度、加速度、动量等）的合成也同 样适用。
三角形法则 三角形法则是平行四边形法则的简化。根据平行四边
形对边平行且相等，先画好任意一个力，再以此力的末端作为第二个力 的始端，画第二个力，连结第一个力的始端和第二个力的末端的有向线 段，就是它们的合力。这种方法就叫做矢量合成的三角形法则。力的分 解如果一个力作用于物体上，可以按其实际作用的效果，用两个或两个 以上的力去代替，这几个力就叫做原来那个力的分力，这种等效代替的 方法叫做力的分解。
　　力的分解是力的合成的逆运算，遵循平行四边形法则，是已知对角 线求两个邻边的问题。显然，如果没有附加条件，则可有无数个答案。 所以，力的分解关键在于根据具体情况确定某一已知力的实际作用效 果。以下两种情况可以得到确定的分力。第一，根据力的实际效果能够 确定两个分力的方向，则可得到两个分力的大小，第二根据力的实际效 果能够确定一个分力的方向和大小，则可得到另一个分力的方向和大 小。
如在图(1)所示的支架上悬挂一个重力为 G 的灯。支架的重力不计。
已知 AO，BO，AB 的长分别为 L1、L2、L3，求支架两杆所受的力。
解：在支架的 O 端悬挂电灯后，使支架的两根杆受到力的作用。由

于支架的 A、B 两端与墙壁是绞链连结，因此作用在杆上的力是沿杆的方 向。但杆受的是拉力还是压力，需要通过实践来判断。可以设想，若将
杆 AO 换成弹簧，则弹簧会被拉长，表示此杆受的是拉力。若将杆 BO 换 成弹簧，则弹簧会被压缩，说明此杆受的是压力。这就是灯对支架 O 端 拉力的两个分力所产生的实际效果。判断出两个分力的方向，那么根据 平行四
边形法则很容易得出杆AO受到沿杆向外的拉力F = L1 T ? L1 G，杆BO
1
3 3
受到沿杆向内的压力F = L 2 T ? L2 G。
L 3 L3
　　在力的分解中，若已知合力的大小、方向和另一分力的方向，如图 (2)所示，则其解要进行讨论。
当 F2当 F2=Fsinθ时，有一个解；
当 F〉F2〉Fsinθ时，有两组解；
当 F2〉F 时，有一组解。
　　如图(3)所示，一个大人沿与河岸成θ角的方向拉纤，要使平行河岸 的船行方向上得到一个合力力 F，则另一岸的一个小孩如何用力最小。 这道题已知合力 F 的大小方向和另一分力 F1 的方向，要求另一分力
F2 最小，由作图法可知有唯一解：F2 垂直 F1 时，F2 最小。
　　力的正交分解 将一个力沿着互相垂直的方向（x 轴、y 轴）进行 分解的方法，如图所示
Fx=Fcosθ
Fy=Fsinθ
从力的矢量性来看，Fx、Fy 是力 F 的分矢量；从力的计算来看，Fx、
Fy 的方向可以用正负号来表示，分量为正值表示分矢量的方向跟规定的
正方向相同，分量为负值表示分矢量的方向跟规定的正方向相反。这样， 就可以把力的矢量运算转变成代数运算。所以，力的正交分解法是处理 力的合成分解问题的最重要的方法，是一种解析法。特别是多力作用于 同一物体时，计算起来，非常方便。
利用正交分解法求合力可分以下四步：
1．以力的作用点为原点，建立合适的直角坐标系；
2．将各力进行正交分解；
3．分别求出两个坐标轴上各分量的代数和（∑Fx、∑Fy）；
4．正交合成，求出合力的大小和方向。

ΣF ?

tg? ?

ΣF 2 ? ΣF 2
y
ΣFy
ΣFx

牛顿第一定律 一切物体（质点）总是保持匀速直线运动状态或静 止状态，直到有外力作用迫使它改变这种状态为止。 牛顿第一定律包含着如下一些重要内容。

　　(1)无论是匀速直线运动状态还是静止态，都是速度矢量不变（速度 大小和方向都不变）的状态。速度矢量不变的运动也就是没有加速度的 运动，因此，如果物体不受到其它物体的力的作用，将保持没有加速度 的运动。物体这种保持速度（矢量）不变的性质，称为惯性。第一定律 指出，任何物体都具是惯性，故常称为惯性定律。有的同学认为，“只 有运动的物体才具有惯性，”或“只有静止的物体才具有惯性，”这些 看法都是不正确的。惯性是物体的固有属性，它和物体的运动状态无关， 当物体不受外力作用时，一切物体都毫无差别地表现出惯性，所以，牛 顿第一定律只是指出了惯性的存在，当物体受到外力作用时，物体的运 动状态发生改变，但是外力作用不能改变物体的惯性，外力作用下，物 体运动状态改变的快慢程度却与惯性有着直接的关系。这是牛顿第二定 律将要研究的内容。
　　(2)如果物体的运动状态改变了，也就是有了加速度，那么，物体必 定受到其它物体施予这一物体的力的作用。因此，第一定律可以说是对 力下了定义，认为力是产生加速度的原因，而不是所谓“维持速度的原 因。”例如，一物体某时刻的速度为 v，如果从这一时刻开始物体不受任 何力的作用，根据牛顿第一定律可知，该物体从这个时刻开始，就以这 个时刻的速度 v 作匀速直线运动。可见维持速度不需要力的作用。
(3)一个物体的位置和它的运动情况，只能相对于被选作标准的另一
个物体来确定，这个被选作标准的物体叫做参照物，或叫参考系统。那 么，第一定律所指出，任何物体都保持静止状态或匀速直线运动状态的 这种惯性又是相对于什么参照物而言的呢？实践告诉我们，牛顿第一定 律并不是对任何参照物都成立的，我们把牛顿第一定律成立的参照物称 为惯性参照物，牛顿第一定律不成立的参照物叫做非惯性参照物。这一 点与运动学不同，在运动学里，为描述质点的运动，原则上我们可以选 用任何物体为参照物。例如，行驶在公路上的汽车，当它急刹车时，在 车中的乘客向前倾倒。若用地面为参照物来解释此现象就很自然：随车 运动的乘客具有惯性，保持自己的速度不变，而汽车却是减速，这样乘 客相对汽车就发生了向前倾倒的现象，这是符合牛顿第一定律的。但是， 若以汽车为参照物，乘客未受到其它物体的力的作用而不能维护静止（相 对汽车）状态，这就证明物体不具有牛顿第一定律所说的那种惯性，也 就是无法用牛顿第一定律来解释这种现象。所以，对于急刹车的汽车（对 地面有加速度）这个参照物，牛顿第一定律是不成立的。因此，我们说 地面是一个惯性参照物，而对地面有加速度的汽车为非惯性参照物。至 于什么样的物体为惯性参照物？什么样的物体为非惯性参照物？这只能 根据观察和实验来判断。
　　我们知道地球绕太阳有公转，同时本身还自转，所以地球相对于太 阳是有加速度的，因此严格说来地球不能视为惯性参照物，而太阳可作 为一个较精确的惯性参照物。不过地球的加速度很小，在一般的精确范 围内，仍不失为一个相当好的惯性参照物，除了专门研究地球自转所引 起的力学现象外，研究地面上物体的运动，一般都取地面作为惯性参照 物，实践证明静止于地面或相对地面作匀速直线运动的任何物体也可看 做是惯性参照物，而相对地面作加速运动的任何物体都不是惯性参照物 而是非惯性参照物。在应用牛顿定律解决力学问题时，必须选用惯性参
　　
照物，这是需要特别注意的。
　　牛顿第二定律 物体在外力作用下，将获得加速度。加速度 a 的大 小跟物体受到的外力 F 成正比，跟物体的质量 m 成反比，加速度的方向 跟外力方向相同，这就是牛顿第二定律，其数学表达式为
F=kma
　　牛顿第二定律公式中的常数 k 是受单位制所制约的。在国际单位制 中（米·千克·秒），k 为 1。在应用牛顿第二定律解决各种动力学问题 时，必须注意如下几个问题。
　　(1)牛顿第二定律是一个瞬时关系，从第二定律公式 F=ma 可知，物 体在外力(F)的作用下，物体在瞬时产生加速度 a，也就是说被研究对象 什么时刻受力，在该时刻就获得加速度；什么时刻力消失，在该时刻加 速度就等于零。对于一定的物体来说，加速度的变化是随着力的变化而 同时变化的。可见加速度和力之间存在着直接的、即时的因果关系。有 些同学常常错误地认为力是产生运动的原因，认为力和速度之间有一种 因果关系，其实牛顿第一定律已经告诉我们，在没有力的作用下，由于 物体的惯性，物体同样是可以运动的。其次，速度是加速度对时间积累 的结果，如果时间间隔△t=0，不管有多大的加速度，物体也不可能获得 速度。所以速度和力之间不存在瞬时的因果关系。平常我们说一个物体 在力的作用下由静止开始运动，这里有一个极短时间的加速度运动过 程，并不是力产生了速度。
(2)质量是物体惯性大小的量度，从牛顿第二定律可知，加速度和
质量之间无因果关系，但是质量既对加速度的大小有影响（即a∝ 1
m
），又对加速度与力之间的因果关系有影响，试设想物体质量无限大的 时候，即使有外力作用物体也不可能获得加速度；如果物体质量为零时， 加速度无限大而力却是个有限的数值。此时，物体的加速度与力之间不 存在成正比的因果关系了。当然，质量既不可能无限大，也不可能是零 值，利用这种外推法使我们更加认识了质量对加速度的深刻影响。
(3)牛顿第二定律是一个矢量关系，牛顿第二定律公式，F=ma，a 和
F 都是矢量，而且加速度 a 的方向和力 F 的方向一致，对于只有一个力作 用在物体上的情况，物体的加速度和力之间的矢量关系比较容易理解。 即加速度大小与力的大小成正比，加速度 a 和力 F 的方向一致。如果物 体上同时作用着几个力，这几个力各自产生着自己的加速度与它们各自 单独作用在物体上时产生的加速度是相同的。根据这个结论，我们可利 用矢量求和的平行四边形法则，分别求出这几个力的合力和合加速度。 很容易证明物体的加速度（合加速度）与合力大小成正比，加速度方向 与合力方向相同。因此，牛顿第二定律公式可以写成
∑F=ma
　　既然力和加速度都是矢量，可以根据平行四边形法则进行合成，当 然也可以进行矢量分解处理。例如，一个物体在一个平面上运动，建立
x-y 直角坐标系后，可以得到牛顿第二定律的分量式为
∑Fx=max
∑Fy=may
如果以法线(n)和切线(t)为正交坐标，则物体在平面上作曲线运动

时，牛顿第二定律的分量式为


∑Ft=mat
2

ΣF = ma = m v
n n R
　　牛顿第二定律和牛顿第一定律一样，只有对惯性参照物才是成立 的。
　　牛顿第三定律 两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相 等，方向相反，作用在一条直线上。其矢量表达式为：F=-F′。
　　牛顿第三定律揭示了力的实质和来源——即力是物体与物体之间的 相互作用。事实上，任何一种力都是由相互作用的双方共同决定的。例
如：万有引力决定于物体双方的质量和相互之间的距离（F = G m1 m2 ）
r 2


，库仑力决定于点电荷双方的电量和相互之间的距离（F = k q 1q 2 ），
r 2
摩擦力则决定于两接触物体双方的表面性质和状态，以及双方的相对运
动情况，等等。不研究相互作用的双方，就无法得到每一种力的作用规 律。由此可见，牛顿第三定律是把相互作用的双方整体作为研究对象， 从而确定它们的相互关系的。第三定律是牛顿总结两个小球碰撞这类相 互接触物体之间的作用力和反作用力的基础上首先提出来的，是他的独 特贡献。
学习牛顿第三定律，应注意以下几点。
　　1．作用力和反作用力分别作用在相互作用的两个物体上，其效果不 能抵消。我们知道甲物体对乙物体有作用力，乙物体必对甲物体有反作 用力。把力分成作用力和反作用力，并不是绝对的，我们可以把相互作 用中的任一个力叫做作用力，另一个就叫做反作用力。并不是先有作用 力，然后才有反作用力。作用力和反作用力总等值、反向、共线、同时 出现、同时消失、分别作用在相互作用的两个物体上，各产生各的效果， 不会互相抵消。“鸡蛋碰石头，鸡蛋破了，石头完好”，不能说石头对 鸡蛋的力大于鸡蛋对石头的力，只能说明大小相等的作用力和反作用力 分别作用在两个不同的物体，由于它们的材料结构不同，产生了各自不 同的效果。而一对平衡力，虽然也是等值、反向、共线，但却是作用在 同一个物体上，所以效果能够抵消，使物体处于平衡状态。而且其中一 个力消失，另一个力不会随之消失。例如：悬挂在细线上的小球由于受 到重力 G 和拉力 F 这一对平衡力的作用而静止，当剪断细线，拉力 F 消 失，而小球仍受重力 G 的作用，作自由落体运动。
　　2．作用力和反作用力是同性质的力。如前所述，牛顿第三定律是以 相互作用的双方作为研究对象的，只涉及两个物体。因此，产生作用力 和反作用力的条件相同，它们必然是成对出现的同性质的力。如前例， 细线对小球的拉力 F 和小球对细线的拉力 F′都是由于二物微小形变产 生的一对弹力。地球对小球的引力 G 和小球对地球的引力 G′，同属万有 引力。而一对平衡力，涉及三个物体，两个施力物所施的力共同作用在 一个物体上，所以力的性质不一定相同。
3．在低速运动范围，不论是静止物体间的相互作用，还是运动物体

间的相互作用；不论是匀速运动物体间的相互作用，还是加速运动物体 间的相互作用；不论是持续的相互作用，还是短暂的相互作用；都遵循 牛顿第三定律，即牛顿第三定律对任何参照系都成立。同时，由牛顿第 三定律可知，当两物体不受外力作用而只有相互作用时，它们的总动量 的变化为零。这个结论对于由任意多个物体组成的封闭系统也成立，这 就是动量守恒定律，它是物理学的基本定律之一。这个定律不仅适用于 宏观物体之间的相互作用，也适用于微观的质点（即原子、原子核和电 子）之间的相互作用。
单位制 由基本单位和导出单位所组成的一个单位系统。 目前，绝大多数国家和我国都在积极推广国际单位制。国际单位制
是一九六○年第十一届国际计量大会通过的，其代号为 SI。 国际单位制的基本单位有 7 个：
1．长度单位——米；
2．质量单位——千克；
3．时间单位——秒；
4．电流单位——安培；
5．热力学温度单位——开尔文；
6．物质的量单位——摩尔；
7．光强度单位——坎德拉。 由上述七个基本单位和以此推出的导出单位就组成了一个完整的单
位系统——国际单位制。在物理学中，特别是在理论物理学中，有时需
要使用厘米克秒制单位及其发展的电磁单位，所以厘米克秒单位制至今 仍作为一种保留使用的单位制。国际计量委员会认为，在使用厘米克秒 制时，一般最好不与国际单位制并用。
单位制在物理计算中的作用 掌据单位制的知识对于物理计算十
分重要。 在国际单位制中，我们选用长度、质量和时间的单位作为力学的基
本单位，为了明确地反映各物理量单位之间的关系，我们可以用 L 来代
表长度，用 M 与 T 代表质量和时间。这样，凡是包含长度、质量和时间 的一切物理量，都可以用 L、M、T 的适当的次幂表示出来。即一个物理
量 Q 与基本量的关系可以表示为
〔Q〕=LpMqTr
　　关系式中的各个指数 p、q、r 称为物理量 Q 在国际单位制中的量纲。 如以力 F 为例：
〔F〕=〔M〕〔a〕=LMT-2
我们可以说，物理量力 F 对长度、质量和时间的量纲分别为 1、1 和
-2。上式的 LMT-2 称为物理量力的量纲式。可见“量纲”和“量纲式”是 两个不同的概念。
　　我们从单位制中引出“量纲”的概念，可以在物理计算中帮助我们 检验所推出的公式是否正确，因为只有量纲相同的量才能互相加减和用 等号相联结。例如，某人在描述物体运动时，推得公式
U2 = U t + 1 at
0 2
这个公式是否正确？我们可以利用量纲进行初步判断。公式中涉及

三项，各项的量纲式分别为 L2T-2、L 和 LT-1。三项的量纲各不相同，而 却互相加减和用等号联结，所以肯定公式是错误的。
　　运用牛顿运动定律解题思路 牛顿运动定律是经典力学的基础定 律。它以牛顿第二定律为核心，解决了运动和力的关系问题。运用牛顿 运动定律解题，重点是研究运用牛顿第二定律解题的思路。
　　由牛顿第二定律公式∑F=ma 可知，式中 m 表示研究对象的质量；等 式左边∑F 表示物体所受到的外力的合力。等式右边 a 表示物体在∑F 作 用下的瞬时效果，∑F 是“因”，a 是“果”；等号表示等式左右两边不 仅数值大小相等，而且∑F 与 a 方向一致，∑F=ma 是矢量等式。运用牛 顿第二定律解题的基本思路是：
1．仔细审题，明确研究对象；
　　2．隔离研究对象，进行受力分析，画好受力图；进行运动分析，画 好运动草图；
3．建立适当的坐标系，进行力的正交分解，根据牛顿第二定律建立
动力学方程（∑Fx=max，∑Fy=may），根据运动学公式建立运动学方程；
4．求解方程组，对结果作必要的讨论和说明。
如图所示。木块 A、B 叠放于水平面上，它们的质量分别为 mA=4.0
千克，mB=6.0 千克。A、B 间的滑动摩擦系数μ1=0.25。其相互作用的静
摩擦力的最大值为 fmax=12 牛，B 与水平面间的滑动摩擦系数μ2=0.20。
现用水平恒力 F 向右拉 B，在下述两种情况下，两木块的加速度及二者间 的摩擦力各是多少？(1)F=40 牛；(2)F=54 牛。（计算中取 g=10 米／秒 2） 解：先求出 A、B 能保持相对静止的最大加速度 a0，由 fmax=ma0 可知：


a 0 =

f max
mA


= 3米 / 秒 2

设此情况下作用于 B 的水平拉力为 F0，以整体为研究对象，根据牛
顿第二定律有：
F0-μ2(mA+mB)g=(mA+mB)a0 ①
所以 F0=μ2(mA+mB)g+(mA+mB)a0
=50 牛
当 F〈F0 时，A、B 相对静止；
当 F〉F0 时，A、B 间有相对滑动。
(1)F=40 牛〈F0，A、B 相对静止，加速度 aA=aB=a1，由①式可得：
a = F1 - ? 2 (mA ? mB )g = 2.0 米 / 秒 2
mA + mB
fBA=mAa1=8.0 牛
(2)F=54 牛〉F0，A、B 相对滑动。此时 A 受到 B 给它的水平向右的
滑动摩擦力 f′的作用，依滑动摩擦力公式有 f′=μ1mAg=10 牛；根
据牛顿第二定律可知：f′ = m a′ ，因此，a = f′ = 2.5米／秒2 。
A A
A
根据牛顿第三定律可知，A 对 B 的滑动摩擦力水平向左，大小也是
10 牛。以 B 为研究对象，根据牛顿第二定律：

F2-f′-μ2（mA+mB）g＝mBaB
a = F2 ? f′ ? ? 2 ( mA ? mB )g
B
B
= 4.0米 / 秒2 。
　　超重、失重、完全 失重当物体存在向上的加速度时它对支持物的 压力（或对悬挂物的拉力）大于物体所受到的重力的现象，叫做超重； 当物体存在向下的加速度时，它对支持物的压力（或对悬挂物的拉力） 小于物体所受到的重力的现象，叫做失重；当物体向下的加速度等于重 力加速度时，它对支持物的压力（或对悬挂物的拉力）等于零的现象， 叫做完全失重。
　　弄清超重和失重现象，应注意区别“重力”和“视重”这两个不同 的概念。对同一物体而言，重力是由于地球对这个物体的吸引而产生的 力，它作用在这个物体上；而“视重”是这个物体对支持物（或悬挂物） 的作用力，它作用在支持物（或悬挂物）上。所以，重力是物体所受的 力，视重是物体对支持物（或悬挂物）所施的力。如图所示，货物放在 支持板上，地球对货物的吸引而产生的力 G 称为重力，货物对支持板所 施的压力 N'称为视重。在一般情况下（如货物静止在支持板上，或随支 持板一起作匀速直线运动），重力的大小和视重是相等的。但是，如果 让支持板和货物一起作自由落体运动，货物将处在“完全失重”状态。 显然，“失重”中的“重”，指的不是“重力”而是“视重”。
“超重”和“失重”的现象在宇宙航行中是不难遇到的。人坐在火
箭中，当火箭发射而加速上升时，人有体重增大的感觉，这就是超重现 象；当火箭降落时，人有漂浮的感觉，这就是失重现象。乘过电梯的人， 也有类似的体验。
平衡 若物体保持静止状态或保持匀速直线运动状态或绕固定转动
轴做匀速转动，这时我们说物体处于平衡状态，简称平衡。在力学中， 平衡有两种情况，一种是在共点力作用下物体的平衡（即平动平衡）； 另一种是在几个力矩作用下物体的平衡（即转动平衡）。
平衡状态和平衡条件是不相同的。平衡状态指物体的运动状态；而
平衡条件是指要使物体保持平衡状态时，作用在物体上的力和力矩要满 足的条件。如物体在共点力作用下的平衡条件是所有外力的合力为零， 即ΣF=0；使物体转动平衡的平衡条件是作用在物体上所有力矩之和为 零，即ΣM=0。
　　平衡状态和平衡位置是不同的，处于平衡状态的物体，可以有无数 位置坐标，但这些位置坐标不叫平衡位置，平衡位置是指做往复运动的 物体，当该物体静止不动时的位置或物体回复力为零的位置。如单摆摆 球在 AB 之间振动，摆球静止时的位置 O 点叫做单摆的平衡位置，此时摆 球的回复力为零。当摆球运动时，它是以平衡位置为中心往复运动。在 研究振动物体时，都是以平衡位置为坐标原点的。
　　共点力的平衡 在共点力作用下物体处于静止或匀速直线运动的 状态。物体同时受几个共面力的作用，如果这几个力都作用在物体的同 一点，或这几个力的作用线都相交于同一点，这几个力就叫做共点力。 在共点力作用下物体的平衡条件是物体所受的合外力为零，即ΣF=0，如 果把这些力分解到直角坐标系 xoy 中，则可得平衡条件的分量式为Σ
　　
Fx=0，ΣFy=0。在相互平衡的几个共点力中，其中任何一个力一定与其它 几个力的合力大小相等，方向相反，即共点力的平衡可归结为二力平衡。 用共点力平衡条件解题时，关键是要正确分析受力，画出力图，然
后再确定具体解法，在认真分析的基础上，采取最简方法。
　　三力平衡原理 物体在三个力的作用下，处于平衡状态，叫做三力 平衡。三力平衡有一条重要而简单的法则：如果它们不平行，它们的作 用线必交于一点（只讨论共面力系），在图(1)中，杆 AB 在 F1、F2、F3 作用下静止，若三个力不交于一点，而是交于 O1 和 O2，则杆对以 O1 或 O2
任一点为轴的合力矩都不为零。所以，O1 和 O2 必重合。因此，对于这类
问题，既可用力矩平衡条件求解，也可以用共点力平衡求解。如图(2)所 示，不均匀细杆 AB 长 1 米，用两根细绳悬挂起来，当 AB 在水平方向平 衡时，二绳与 AB 夹角分别为 30°和 60°，求 AB 的重心位置？
因杆处于平衡，受到的三个力 T1、T2 和 G 必交于点 O，只要过 O 点
作一条 AB 的垂线，它与 AB 的交点 C 就是 AB 的杆的重心。由三角函数关 系可知重心 C 到 A 的距离为 0．25 米。
　　物体在共点力作用下，其合力的作用点就是各分力的作用点，如果 物体是在同向平行力作用下，则合力的大小等于各分力之和，方向跟分 力方向相同。但合力的作用点则需通过计算才能求得。如图(3)所示，三
个平行力 F1=10 牛，F2=20 牛，F3=30 牛，它们的作用点距物体端点 O 的
距离分别为 20cm、30cm、70cm，则合力为：
F 合=F1+F2+F3=60 牛
设合力作用点在 P，如选 O 点为转轴，则合力 F 合对 O 点的力矩必须
等于各分力对 O 点的力矩之和，即
F合 x = F1·OA + F2 OB + F3 OC
解后可得 x=0．48 米 即合力的作用点距 O 点为 48 厘米。
力矩 力(F)和力臂(L)的乘积(M)。即：M=F·L。力矩是描述物体转
动效果的物理量，物体转动转态发生变化。才肯定受有力矩的作用。 当物体绕固定轴转动时，力矩只有两种可能的方向，所以可用正负
号来表示。一般规定：使物体沿逆时针方向转动的力矩为正；使物体沿
顺时针方向转动的力矩为负。因此作用于有固定轴的转动物体上的几个 力矩的合力矩就等于它们的代数和。这个代数和将决定物体是处于平衡 状态，还是非平衡状态。
　　在国际单位制中，力矩的单位是牛顿·米，注意不能写成焦耳。焦 耳是能量单位，力矩和能量是两个不同的概念。
　　在计算力矩问题时，要注意力臂是在垂直转动轴的平面内，从转动 轴到力的作用线的垂直距离。
　　力偶、力偶矩 两个大小相等、方向相反的力，并且力的作用线互 相平行而不重合，这样的一对力称为力偶。力偶中两力的垂直距离称力 偶臂，力偶所在的平面称力偶作用面。如用手指旋钥匙、水龙头时，所 施加的作用常是力偶。指南针的北极和南极受到地磁场的作用，如图(1) 所示，两磁场力大小相等，一个力指向南，一个力指向北，只要这两个
　　
力不在同一条作用线上，就形成了一个力偶。 图(2)所示，表示由两个力组成的力偶，每个力的大小均为 F，相距
为 l，从整体上看，其合力为零：F 合=F-F=0。因为合力为零，所以力偶
不能改变物体平动状态，力偶的作用效果仅仅是使物体转动状态发生改 变。力偶的转动效应决定于力偶的力矩，简称为偶矩。力偶矩是力偶对 某一转动轴的合力矩，如图(2)中，绕任意点 O 的力偶合力矩为：
ΣM=Fx2-Fx1=（x1+l）F-Fx1=Fl 由上式可知，由于 O 点是任意选取的，
所以一个力偶矩的大小跟所选取的转轴无关，它仅由力偶中的任意一个 力和力偶臂的乘积决定。
　　如果有几个力偶同时作用在物体上，则物体的转动效果将由力偶矩 的代数和决定。力偶矩代数和为零时，物体将保持角速度不变或保持静 止。
　　有固定转动轴的物体平衡 在几个力矩作用下，有固定转动轴的物 体平衡状态是指该物体处于静止和匀速转动的状态。
　　有固定转动轴的物体的平衡条件是作用于物体的所有外力矩的代数 和等于零，即ΣM=0。
　　运用有固定转动轴的物体的平衡条件分析问题时如，果恰当地选择 研究对象和正确地分析力，常常可使问题的解决大为简化。
杆秤 根据有固定转动轴物体的平衡条件为原理制成的称量物体质
量的工具。如图(1)所示。O 处是提纽，为杆秤的固定转动轴；B 处固定 秤钩，用以吊挂被测重物；C 点为杆秤的重心；当秤钩上没有挂被称物体 时，移动秤锤于 A 处，提起提纽，使秤杆平衡，则秤锤的位置 A 点就是 杆秤的零刻度，也叫做定盘星。
把质量为 50 克(1 市两）的物体挂在秤钩上，调整秤锤的位置，使杆
秤平衡，这时秤锤的位置就是秤的 50 克的刻度。再把秤钩上挂的质量换
为 100 克、200 克等物体，使杆秤平衡就能找出 100 克、200 克等刻度的 位置等等。一旦杆秤上刻度确定后，提纽、挂钩的位置和秤锤的质量就 不能再改变，否则原刻度线就得重新修定。
实用中的杆秤，定盘星也可以在提纽的右侧，但此杆秤的重心在左
侧，总之定盘星和杆秤的重心，一定在提纽的两侧。 杆秤问题的计算，实质上是有固定转动轴物体平衡条件的应用。例
如，我们证明杆秤的刻度是均匀的，即称重物时，秤锤的位置到定盘星 A
点的距离和被称重物的质量成正比时，可列出两个方程，其一为不挂重 物时的力短平衡方程，另一个是挂上重物后的力矩平衡方程，就可求解。 即不称重物时（图(1)所示）：
m1g OC = m2 gOA ①
其中 m1 为杆的质量，m2 为秤锤的质量。
秤钩上挂上重物 mg 后：
mgOB = m1gOC + m2 g OD ②
由①②式得：
mgOB = m 2 gOA + m2 g OD = m2 g·l ③

所以l = OB ·m
m2
即l ? m
　　市场上所谓不准秤，是不法商人将杆秤的秤锤换成小质量的，由③ 式可知，在同一刻线上（l-定）只需要较小的质量 m，就能使杆秤平衡， 这样消费者利益就受到损害。或者加大秤钩（盘）的重量，或者将杆秤 内部掏空，并在其中注入流动性好的水银，称重时，抬高秤尾，使水银 流到有挂钩（盘）的一端，这样③式就成为
（m′g + mg）OB = m2 gl
其中 m′表示水银或秤钩（盘）所增加的质量，可以看到，当 m2、l
一定时，所要称的质量 m 自然要减小。起重机的平衡有各式各样的起重 机，图所示是一种塔式起重机，机身为一塔架，有一个可回转的长臂架， 臂架装在高耸塔架的上部，主要用吊钩吊运重物。
设起重机自身重力为 G0，重心在中心线 OO′上，它的额定起重的重
力为 G，吊货物的钢索与中心线相距为 a，平衡箱 P 的重心离中心线为 b， 起重机底座的宽度为 l，那么起重机的平衡箱的重力应取多少？
当起重机空载时，平衡箱和塔身的公共重心在 OA 之间，若平衡箱重
力过大，整体重力的作用线就可能超出支持面右侧 A 点，以致使起重机 向右倾倒，因此，平衡箱的重力有个允许的最大值，为了保证空载时起 重机不向右倾倒，平衡箱的重力 G0 对 A 点的力矩不能大于起重机自身重
力 G0 对 A 点的力矩，所以
G 1 AP≤G 0 OA
所以

G l
G ≤ G 0 OA = 2


G 0 l

1 l ?

AP b ?

2b ? l
2

当塔吊满载时，为了不使公共重心超出支承面的 B 点，平衡箱的重
力 G′1 不能小于某个值，这个最小值计算如下：以 B 为转动轴，由力矩
平衡条件ΣMB=0 可以得到

G ? (b ? l ) ? G
2

· l ≥·(a ? l )
0 2 2

所以G ?≥ 2 aG ? Gl ? G 0l ? G(2a ? l) ? G 0l

2b ? l

2 b ? 1

以上计算结果表明，平衡箱的重心不能大于
G(2a ? l) ? lG 0 。
2 b ? 1

lG 0
2 b ? l

，也不能小于

　　平衡的种类 一个物体，如果是在重力场（或电场或其他有势场） 中满足ΣF=0 和ΣM=0 条件，则可处于平衡状态，而这种平衡状态又可以 分为稳定平衡状态，不稳平衡状态和随遇平衡状态三种情况。
　　①稳定平衡在重力场中的物体都有向势能较小的位置运动的趋势， 相对势能越小，物体就越稳定，所谓稳定平衡是指物体处于势能最小位
　　
置时的平衡。它的特点是：如果给它一个微小的扰动，使它离开平衡位 置，外界必须对它做功，这样势能就增加，扰动后，物体又能自动回到 原来势能最小的位置。
　　②不稳定平衡在重力场中，物体处于势能最大的平衡，叫做不稳定 平衡。它的特点是，如果任何微小扰动，使它离开平衡位置，外界不必 对它做功，而自身的重力对它做正功，使其势能减小，因此，再也不可 能自动回到原来那个势能最大的位置了。这种平衡状态是极不稳定的， 很难以实现的。如走钢丝的杂技演员，就是在重力和支持力作用下平衡， 是属于不稳平衡。杂技演员就是凭借他掌握不稳平衡的高超技巧，以惊 险而优美的动作，牵动观众们的心。
　　③随遇平衡是指处于平衡状态的物体，在受到微小扰动后，势能始 终不变，即重心高度总保持不变；物体所受到的合外力和合力矩总为零。 因此它可以在任意位置保持平衡。如小球在水平面上滚动到任何位置 时，重力和支持力能平衡，所以小球在水平面上是处于随遇平衡状态。
　　稳度 是指物体稳定平衡状态的稳定程度，稳度的大小由物体重心 的高度和支持面的大小决定。重心低，支持面大的物体稳度大，反之则 稳度小。所谓支持面是指物体各部分所围成的面积。如站在行驶车厢里 的人，为了增大稳度，往往把两腿叉开，这样两脚所围成的面积就增加 了，支持面增加了（同时重心也降低了），稳度增大了。又如一块砖平 放和竖放相比较，平放时重心低，支持面积大，所以稳度就大。如图所 示，一物块，如果受到某外力矩的作用，使其重力作用线通过 B 点时（如 图(b)和图(c)，物块将翻倒。只要重力作用线没有通过 B 点或重力作用 线转过的角度小于θ角（如图(a)和图(c)），物体就会在自身重力作用 下回到初始位置，稳定平衡就不会被破坏。当底面积越大，θ角越大（图 (a)），重力矩越大（如以 B 点为轴），同样大小的外力矩，就越不易破 坏它的稳定平衡状态。当物体重心升高，重力作用线转过较小的θ角（图 (c)）就将通过 B 点，即稳度降低，可以设想，当重心无限高时，θ角趋 近于零，则物体的稳度为零。增大物体的稳度有重要的实际意义，为了 增大物体的稳度，既可以增大底面积，也可以降低重心的高度，还可以 同时增大底面积和降低重心高度。精密的天平一定安置在一个底面积较 大，又较重的底座上；高压线的铁塔都有一个很大的支持面；越野汽车 和山区的拖拉机轮间宽度都较大，都是为了增大物体的稳度。
曲线运动 质点运动的轨迹是曲线的运动。做曲线运动的质点其速
度、加速度及受力情况均有别于直线运动。曲线运动中，即时速度的方 向沿曲线的切线方向。对此，可结合图(1)来理解。图中的曲线表示质点 运动的轨迹，若质点从 A 到 B 历时为△t，与△t 相对应的位移可用△s 表示，从 A 到 B 的平均速度为
△s
v ?
△t
　　平均速度的方向就是△s 的方向，显然它由曲线的弦的方位决定。若 将△t 的取值减小为△t′，其对应的位移为△s′，则有
△s′
v ?
△r′
若将△t 继续减小，平均速度大小和方向也不断变化，可见平均速度

的大小和方向与时间间隔的选取有关。但是当△t→0 时，平均速度将趋 于一个定值——极限值，该极限就是质点在 A 处的即时速度 vA，它的方 向沿 A 点的切线方向。
曲线运动中，速度矢量的方向不断改变，图(2)中 vA，vB，分别表示
A、B 两点的即时速度，vA 为初速度，vB 为末速度，其速度的变化量如图
中△v 所示。显然，如果 vA，vB 的大小相等，△v 也不会等于零。所以曲
线运动是变速运动。


曲线运动中的加速度仍然由a =

△v
来确定，加速度的方向就是速
△t

度变化的方向。图(2)中，质点从 A 到 B 的平均加速度的方向就是△v 的
△v

方向。当△t→0时，
△t

的极限就是A点的即时加速度。

　　一般来说，即时加速度的方向既不和曲线相切，也不和曲线的法线 重合。如图(3)中 aA 所示。若将 aB 沿切线和法线方向分解，可得 at，an 两个分量。at 称为切向加速度，它表征速度大小改变的快慢，an 称为法 向加速度，它表征速度方向改变的快慢。法向加速度的存在是曲线运动 有别于直线运动的显著特征。也可称之为曲线运动学特征。
力是产生加速度的原因，图(3)中 aA 的方向也是质点所受合外力的方
向。做曲线运动的质点所受合外力的方向与速度方向不在一条直线上， 这既是曲线运动的动力学特征，也是质点做曲线运动的条件。典型的曲 线运动有：平抛运动、斜抛运动、圆周运动等。
运动的独立性原理一个物体同时参与两个或更多的运动，这些运动
都具有独立性，其中的任一个运动并不因为有另一个运动的存在而有所 改变。合运动就是这些互相独立的运动的叠加，这就是运动的独立性原 理或运动的叠加原理。
此原理可从两方面来理解：其一，分运动各自独立，互不影响。例
如：竖直上抛运动中的二个分运动即竖直向上的匀速直线运动和竖直向 下的自由落体运动同时存在而又互相独立，如图，在公式
1 2
h = v 0 t ? 2 gt 中，
v 2
设t = v0 ，则h = v t = 0 ，
g 1 0 g

v 2 v 2

h = 1 gt 2 = ? 1

0 ，所以H = h ? h = 0 。

2 2 2 g

1 2 2g

　　其二，物体在某一时间间隔的位移以及某时刻的速度、加速度均由 分运动的对应量叠加而成。例如，渡船在河水中相对地的速度，就是由 水流速度和船相对水的速度叠加产生的。这种叠加遵从矢量合成的法 则。描述物体运动过程及状态的物理量位移、速度、加速度等都是运动 时产生的效果。合运动的总效果等于分运动各自所产生的效果的叠加。 运动的合成 已知分运动求合运动。运动的合成包括位移、速度、 加速度的合成，合成的方法是运用平行四边形法则从分矢量求得合矢
　　
量。 运动合成中最简单又最重要的是互成角度的两个直线运动的合成。分运 动虽然都是直线运动，但合运动的轨迹可能是直线，也可能是曲线。例 如从高空竖直落下的雨滴在地面附近做竖直向下的匀速直线运动，当受 风力作用使雨滴具有恒定水平分速度时，雨滴则做斜向下的直线运动。 若风力时大时小，则雨滴下落的轨迹必是曲线。合运动的轨迹在什么条 件下是直线，在什么条件下又是曲线呢？一般地说，互成角度的两个分 运动都是匀速直线运动，其合运动一定是直线运动；若一个分运动是匀 速直线运动，另一个分运动是变速直线运动，合运动是曲线运动。例如： 船在匀速流动的河水中船头正对河岸匀速行驶，其轨迹是偏向下游的直 线；若船加速行驶，则轨迹是曲线。两个分运动都是匀变速直线运动而 且合加速度方向恰好与速度方向在一条直线上，则物体运动的轨迹是直 线。图中，若物体从 t=0 时刻静止开始从坐标原点出发，在 x 方向做加 速度为 ax 的匀加速直线运动，在 y 方向做加速度为-ay 的匀加速直线运 动，则物体运动的轨迹是直线，该直线与 x 正方向的夹角为
a

? ? arctg

y ，合加速度的大小为a ?

a 2 ? a 2 。如果该物体在t ? 0时刻

a x x y
具有水平初速度 vox，则物体运动的轨迹就不是直线，物体将做加速度
a = a 2 + a 2 的匀变速曲线运动。
x y

运动的分解将某一个复杂的运动分解为二个或多个简单的运动。 运动分解的基本依据是运动的独立性原理。具体运用时要按照运动
产生的实际效果和化繁为简的目标灵活处理。如抛出的铅球做曲线运
动。我们可以把它分解为两个直线运动。设想如果没有地球吸引力作用， 铅球脱手后将做斜向上的匀速直线运动，如图中 OA 射线所示。设想如果 有地球吸引力而无初速度铅球将做自由落体运动。所以铅球所做的曲线 运动可以分解为沿初速度方向的匀速直线运动及竖直向下的自由落体运
动这两个直线运动。物体经 7 秒后的位移 st 是 t 秒内二个分运动产生的
位移 s1 和 s2 的矢量和。物体在 t 秒末时的即时速度 vt 是两个分运动的即
时速度 v0 和 gt 的矢量和。图中的二个矢量三角形分别表示分位移与合位
移、分速度与合速度的关系。铅球的运动也可用正交分解的方法，将其 分解为水平匀速直线运动与竖直上抛运动两个分运动（详见“斜抛运 动”）。
　　由于两个分运动中只有自由落体运动具有加速度，所以合运动的加 速度仍为重力加速度 g，可见，铅球的运动是匀变速曲线运动。
　　平抛运动的特点 将物体用一定的初速度沿水平方向抛出，物体所 做的运动就是平抛运动。做平抛运动的物体仅受重力（不计空气阻力） 作用。平抛运动可以分解为水平匀速直线运动和自由落体运动两个分运 动。用平面直角坐标表示这两个分运动可得如下公式：
x=v0t
y = 1 gt 2
2
由此两式中消去 t，可得

y = 1

g x 2

2 v 2
0
此式说明平抛运动的轨迹是抛物线，如图(1)所示。平抛运动的位移 是从坐标原点 O 到轨迹上某一点（如 A 点），所引的有向线段，若用 x，
　　

y表达s，则s = x2 + y2

= v 2 t 2 ? 1 g2 t 4 。所以，平抛运动的位移的大

　　　　　　　　　　　　　　　　　0 4
小和方向都是时间 t 的函数。
　　平抛运动的即时速度沿抛物线的切线方向，如图(2)所示。将即时速 度分解为水平分量 v0 和竖直分量 gt1。图中 v1、v2 分别表示 t1、t2 时刻 的即时速度。由于 v1、v2 的水平分量都是 v0，所以将 v1、v2 的起点平移
到同一点，这两个矢量的末端必然位于同一竖直线上。

平抛运动即时速度的大小为v t =


v 2 ? (gt) 2
0

，即时速度与水平分速


度v 0


的夹角θ = arctg gt 。
v

0
平抛运动的加速度恒为 g，所以平抛运动是匀变速曲线运动。
平抛运动的落地时间与初速度无关，仅由竖直高度决定，即t = 2 h
g


。平抛运动的水平位移由初速度及竖直高度决定，即x = v 0 t = v 0


2 h 。
g

　　斜抛运动的特点 斜抛运动和平抛运动都是物体仅在重力作用下 的运动，但斜抛运动的初速度方向不是水平方向而是沿斜向上的方向， 其轨迹是抛物线，如图(1)所示。
在“运动分解”条目中曾将斜抛运动分解为沿初速度方向的匀速直
线运动和自由落体运动两个运动。 如果用正交分解的方法还可以将斜抛运动分解为水平方向的匀速直
线运动和竖直向上的竖直上抛运动。其初速度分别为
vx=v0cosθ
vy=v0sinθ
水平位移和竖直位移分别为
x = v cosθ·t y = v sinθ·t ? 1 gt 2 。
0 0 2
　　斜抛运动的这两种分解方法各有其优点。例如：用枪瞄准树干上的 一只猴子，在子弹飞出枪口的瞬间，假设猴子恰好沿直立的树杆做自由 落体运动，由第一种分解方法易于得出猴子终难逃 脱被击中的厄运；但 如果要求解斜抛运动中某时间的位置坐标，以及位移、速度、射高、射 程等问题，运用第二种分析方法就比第一种简单一些。如图(2)中，物体
以初速度 v0 射角θ做斜抛运动，并落在斜面上的 P 点，斜面与水平面夹
角为α，则射程 OP 可用正交分解的方法来求解。
设 v0 的水平分量和竖直分量分别为 vx 和 vy，则
vx=v0cosθ

vy=v0sinθ
设物体达 P 点历时为 t，由水平和竖直两个分运动可得
x=scosα=v0cosα·t (1)
1 2
y = ssinα = v 0sinθ·t ? 2 gt (2)
从(1)、(2)中消去 t，可得

s cos?

1 s2 cos2 ?

s sinα = v0 sin?·
0

化简后得

? g
cos? 2


v 2 cos2 ?
0

sgcos2 α = 2v 2 cosθsinθcosα - 2v 2 cos2 θsinα由此式解出s，即
0 0
s = 2 v 0 cos? sin(? ? ?)
g cos2 ?

v 2 sin 2?

若α = 0，该式简化为s = 0
g
度时的水平射程。

，这就是斜抛运动物体落回原高

匀速圆周运动 做圆周运动的质点，在相等的时间内通过的圆弧长 度都相等的运动，做匀速圆周运动的质点其速度大小（即速率）为
△s
v =
△t
式中△s 为在△t 时间间隔内质点通过的弧长。若质点运动周期为 T
（即旋转一周所用时间）则速率也可用下式计算：
v = 2?r
T
图中，圆周上有一质点做匀速圆周运动，设在△t 时间间隔内质点由
A 运动到 B，AB 弦的方向就是由 A 到 B 平均速度的方向。当△t 不断减小 时，B 点不断向 A 点靠近。当△t→0，则 AB 弦将变为过 A 点的切线。所 以质点在 A 点的即时速度的方向就是 A 点的切线方向。
匀速圆周运动中，圆周上各点的切线方向不断变化，所以做匀速圆
周运动的质点的速度方向也不断变化。因此匀速圆周运动是变速运动。
角速度和线速度 做匀 0 速圆周运动的质点在△t 时间间隔所转过 的弧度数△ψ与该时间间隔△t 比值称为角速度。即
△?
ω =
△t
角速度的单位是弧度/秒。若用周期表达角速度，则有
ω = 2?
T
　　为了与角速度相对应，做圆周运动的质点的即时速度也称线速度。 对匀速圆周运动，线速度的大小为
　　
△s
v ? ?
△t
由以上两式消去 T 可得 v=ωr

2?r
T


例：图中r = 2r

，O A = 1 r ，若传送皮带不打滑，则

1 2 1 2 1 vA∶vB∶vC=1∶2∶2 ωA∶ωB∶ωC=1∶1∶2
　　向心加速度 匀速圆周运动是变速运动，所以必然有加速度。由于 匀速圆周运动速度大小不变，所以无切线方向的加速度，仅有改变速度 方向的法向加速度。对圆周运动，法向加速度必指向圆心，故称向心加 速度。
向心加速度的大小可用多种方法确定。
（一）运动合成分解法。
　　图(1)中，设质点以速率 v 沿顺时针方向做圆周运动，圆周半径为 r， 当从 A 运动到 B 时弦 AB 所表示的位移可看成切向位移 AC 和法向位移 CB 的矢量和。切线方向质点做匀速直线运动，法线方向可视为做初速度为 零的匀加速直线运动，其加速度设为 a。
由几何关系知
AC 2 ＝CB·CD (1)

即( vt) 2 = CB·（CB＋2r）
当△t→0 时，有
CB << 2r，CB + 2r≈2r
(2)式变为

(2)

(vt) 2 = CB·2r (3)
由(3)式得

CB = 1 v t 2

? 1 a·t 2

2 r 2
2

即得a ? v r


= ? 2 r (4)

（二）极限法。图(2)中，做匀速圆周运动的质点在 A 点时即时速度为 vA，
在 B 点时即时速度为 vB，二者大小相等。将 vA、vB 两速度矢量平移于
一起点O＇，做出速度矢量三角形。在矢量三角形中，
180° ? △?
a ? (1)
2
　　当△t→0时，△?→0，α→90°，△v的极限方向垂直vA 并指向 圆心。
比较矢量三角形及△ABO，由相似关系知

△v ? 弦AB


(2)

v r

由(2)式得
△v = 弦AB· v
r
用△t 除(3)式两端，得



(3)

△v = 弦AB · v


(4)

△t △t r


当△t→0时，(4) 式左端即为向心加速度的大小，

度大小，故有

弦AB
△t


即为线速

a ? v


? ? 2 r


(5)

r
需要指出，向心加速度公式a = v



= ω2 r虽然从匀速圆周运动推

r
出，但也适用于非匀速圆周运动。对非匀速圆周运动，公式中的 v 应为 即时线速度的大小，求得的 a 则是即时加速度的大小。
　　向心力 做圆周运动的质点受到指向圆心的作用力。由牛顿第二定 律及向心加速度的公式可得
　　
F = ma = mω2 r =

mv2
r

　　同向心加速度公式的适用范围一样，该公式对做匀速圆周运动和非 匀速圆周运动的质点都适用，公式中的 v 和ω应为即时值。
　　向心力是根据力的作用效果命名的力。它实际上是做圆周运动的质 点受到的径向合力。该合力的方向不断变化但始终指向圆心。在实际问 题中，向心力可以是一个力，如地球绕太阳做圆周运动的向心力是太阳 对地球的吸引力；向心力也可以是某一个力的分力，如地面上的物体随 地球自转而绕地轴做匀速圆周运动的向心力是地球对物体吸引力的一个 分力；图(1)中，质量为 m 的小球在光滑的倒锥形桶壁上做匀速圆周运动， 它所需的向心力就是重力 G 与桶壁支持力 N 的合力。该合力的方向指向 圆心 O＇（不要误认为是 O），若桶壁与竖直方向的夹角为θ，则向心力
为
F = mgctgθ = mω2 r = m v
r
　　由上式知，当小球速率增大时，做圆周运动的半径随之增大，小球 将沿桶壁上升。
向心力公式把做圆周运动质点的运动情况与受力情况联系了起来，
如果知道受力情况当然可以确定运动情况；反之，如果知道运动情况也 可确定受力情况。例如，在图(2)中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴 OO＇ 旋转，现将轻质弹簧的一端固定在圆盘中心，另一端系住一个质量为 m 的物块 A，设弹簧倔强系数为 k，弹簧原长为 l。将物块置于离圆心 R 处， R＞l，圆盘不动，物块保持静止。现使圆盘从静止开始转动，并使转速 ω逐渐增大，物块 A 相对圆盘始终未滑动，当ω增大到ω=
5k( R ? t) 时，物块A是否受到圆盘的静摩擦力，如果受到静摩擦力，
4mR
试确定其方向。
对物块 A，设其所受静摩擦力为零时的临界角度为ω0，此时向心力
仅为弹簧弹力；若ω＞ω0，则需要较大的向心力，故需添加指向圆心的
静摩擦力；若ω＜ω0，则需要较小的向心力，物块受到的静摩擦力必背
离圆心。 依据向心力公式，有

mω 2 R = k（R—l）
0


所以ω0 =

因已知ω =

得ω＞ω0


k(R - l)
mR
5k (R ? l)
4 mR

可见物块 A 所受静摩擦力指向圆心。 从此题可以看出，圆周运动问题仍然是物理基本定律（如牛顿定律）
的运用问题，受力分析仍然是解题的关键。
　　圆锥摆 在长为 l 的细绳下端拴一个质量为 m 的小物体，绳子上端 固定，设法使小物体在水平圆周上以大小恒定的速度旋转，细绳就掠过 圆锥表面，这就是圆锥摆，如图所示。
从图可知，小球做圆周运动的圆心是 O＇，做圆周运动的半径是 lsin
θ，小球所需的向心力实际是绳子拉力 F 与重力 G 的合力。并有 F 合=mgtg
θ=mω2lsinθ。由此式可得

cosθ =

g
? 2 l

　　这说明做圆锥运动的小球的摆线与竖直方向的夹角与摆球质量无 关，与摆线长度及角速度有关。当摆长一定时，角速度越大，θ越大。
　　
由于绳子拉力F = mg / cosθ =

的增加而增大。

mg
g / ? 2 l

= mω 2l。可见绳子拉力随角速度

小物体旋转一周所经历的时间叫做一个周期，若用 T 表示，则

T= 2? 。从该式及cosθ = g / ω 2 l中消去ω可得T = 2?
?


lcos? / g

该式称为圆锥摆的周期公式。在地球表面同一地点，圆锥摆的周期
与 l cos?成正比，而与小球质量无关。若摆线l为定长，则ω越大，θ
越大，周期越小。
　　离心现象 做匀速圆周运动的质点受到指向圆心且大小不变的向心 力作用，其向心力大小为 F=mω2R，当质点受到的向心力减小时，质点将 做逐渐远离圆心的运动，若将向心力突然消失，质点将沿圆周切线方向 飞出并做匀速直线运动，这种现象叫离心现象。
　　离心现象是由于向心力不足或向心力消失引起的。不能说是由于质 点受到背离圆心的所谓“离心力”而引起的。离心力是做圆周运动的物 体对迫使它做圆周运动的另一个（或几个）物体所施加的作用力，它与 向心力大小相等、方向相反，相互对应。由于向心力是根据力的作用效 果命名的力，它常常是几个力的合力或某一个力的分力，所以不能简单 地说离心力就是向心力的反作用力。
　　离心现象在日常生活中随处可见，自行车或汽车转弯时若车速较大 而拐弯又太猛（即圆周运动的半径太小）由于地面给轮胎的摩擦力不足 以提供所需的向心力，就可能造成交通事故。利用离心现象人们制成了 各种离心机械，如离心脱水机、离心水泵、离心转速计等。
开普勒三定律 德国天文学家开普勒在哥白尼地动学说的影响

下，在前人收集的大量关于行星运动的资料的基础上，经过仔细分析、 整理和推算，总结出行星运动的三条运动学规律，即开普勒三定律。
　　第一定律（轨道定律）：一切行星都沿各自的椭圆轨道运行，太阳 在该椭圆的一个焦点上。
　　第二定律（面积定律）：对任何一个行星，它和太阳连线在相等的 时间内总是扫过相等的面积。
第三定律（周期定律）：每个行星的椭圆轨道的半长轴的立方跟公
3

转周期的平方的比值都相等，即 a
T2

= k，比值k是一个与行星无关的

恒量。行星运行的椭圆轨道与圆轨道相近，当把行星轨道近似当做圆时， 公式中的 a 即为圆半径。
　　开普勒确立的三定律为牛顿创立他的天体动力学理论奠定了实验基 础，同时，开普勒也是最早用数学公式表达物理规律并获得成功的人之 一，从他所在的时代开始，数学方程就成为表达物理规律的基本方式。 万有引力定律 任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟两个
物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比，即
F ? G m1 m2
r 2
式中的 G 叫做万有引力恒量，G=6．6732×1011 牛·米 2／千克 2。
对该定律的理解和应用应注意：
　　①定律适用于计算可视为质点的二个物体之间的相互引力，r 指两个 质点间的距离。若两物体是质量均匀分布的球体或各层质量均匀分布的 球体，r 就是两个球心间的距离。
②地球可视为各层质量均匀分布的球体，所以地面上质量为 m 的物
体所受地球的吸引力可表示为F = F Mm ，式中M和R分别表示地球质
R 2
量和半径。
　　③在地球表面，R 可视为定值，物体的质量不同，所受地球引力也不 同，且 F∝m。从这个意义上说，质量可以作为万有引力大小的量度。所 以万有引力定律涉及的质量称为引力质量。而牛顿定律中的质量称为惯 性质量。实验证明，惯性质量与引力质量成正比，若选取适当的单位， 惯性质量与引力质量在数值上相等。
④天体的质量是巨大的，所以天体之间的万有引力很大，因此万有
引力定律是研究天体运动的基本定律，一般质量很小的物体之间的引力 十分微小，特别在研究微观粒子时，万有引力一般忽略不计。
　　万有引力定律的推导 地球及其它行星的公转轨道近似于圆，行星 的运动可看成以太阳为中心的匀速圆周运动。设想行星做圆周运动的向 心力就是太阳对行星的吸引力，若行星质量为 m，公转周期为 T，轨道半 径为 r，由牛顿第二定律可得
　　
F = ma n = mω

3


2 r = m

4? 2 r
T2


(1)

从开普勒第三定律 r
T3

= k求出T并代入(1)式，则有

F ? 4? km


(2)

r 2
令μ=4π2k，(2)式变为
F ? ? m
r 2





(3)

　　此式说明太阳对行星的引力与它们间的距离成反比，与该行星的质 量成正比，式中的μ，各个行星都相等，它是一个与行星无关，只与太 阳性质有关的常量。
　　进一步研究发现，卫星绕行星的运动也遵从同样的规律，这时，(3) 式中的 m 为卫星的质量，r 是卫星的轨道半径，μ则是仅由该行星决定的 常量。这说明，太阳对行星（如地球）的作用力与行星对卫星（如地球 对月球）的作用力属同一性质的力。
　　牛顿设想地球作用于地面上物体的重力也是这一性质的力。他巧妙 地把地面上的重力推广到月球轨道上。月球绕地球的运动可近似看成匀
速圆周运动，设月球运转周期为 T 月，月地距离为 R，则月球的向心加速
度为
a ? 4? R (4)
月 T 2
　　若重力也遵从平方反比规律，则月球轨道处的重力加速度 g 月与地 面重力加速度 g 的比值为
g月 R 月
= (5)
g 2
0
牛顿时代人们已测知 R 月≈60R。地球半径 R0≈6370 公里，T≈2．36
×106 秒。将这些数据代入(4)、(5)两式，可得
a 月≈g 月≈2.7×10－3 米/秒 2
　　这说明，地球对地面物体及月球的作用力均遵从平方反比规律，牛 顿设想，地球对太阳的作用力也应如此，即
　　
F' ? ?' M
r 2

（6 ）

　　式中，M 为太阳质量，μ＇是仅由地球决定的常量。比较(3)、(6) 两式，并运用牛顿第三定律，可知
　　
?' M = ? m


(7)

r 2 r 2

即 ?' ? ?


(8)

m M
　　(8)式说明该比值是一个与地球及太阳质量均无关的恒量，设该比值 为 G，则有μ=GM。将μ=GM 代入(3)式，可得
　　
F ? G Mm r 2


(9)

　　由于太阳对行星、行星对卫星、地球对地面物体的作用力都遵从(9) 式所表达的规律，牛顿将它做了合理的推广，即任何两个物体间都存在 相互作用的吸引力，力的方向沿两物体的联线方向，力的大小与两物体 质量的乘积成正比，与两物体之间的距离的平方成反比，其数学表达式
　　
仍如(9)式所示。
　　天体质量的测定 地球及其它天体的质量很大，牛顿发现的万有引 力定律为计算天体质量提供了可能性。
　　假定某天体的质量为 M，有一质量为 m 的行星（或卫星）绕该天体做 圆周运动，圆周半径为 r，运行周期为 T，由于万有引力就是该星体做圆 周运动的向心力，故有
G Mm ? m 4? r



? 2 3

r 2 T 2

由此式得M = 4 r
GT 2

，若测知T和r则可计算出天体质量M。

　　例如：测知月球到地球平均距离为 r=3.84×108 米，月球绕地球转动 周期 T=27.3 日=2.36×106 秒，万有引力恒量 G=6.67×10-11 牛·米 2/千
克 3，将数据代入上式可求得地球质量约为 5.98×1024 千克。由于地球表 面物体的重力近似等于万有引力，所以地球质量还可用下式粗算
M m
mg＝G 地
R 2
2

由此式可得M

≈ R g ≈6.0×1024 千克
地 G

　　天体密度的测定 应用万有引力定律测出某天体质量又能测知该 天体的半径或直径，就可求出该天体的密度，即
　　
? ? M V

? M
4 ?R 3
3

　　例如某登月密封舱在离月球表面 112 千米的空中沿圆形轨道绕月球 运行，运行周期为 120．5 分钟，月球半径为 1740 千米，应用万有引力 公式算出月球质量为
2 3
M = 4? r
月 GT 2
4×3.142 ×(0.112×106 ? 1.74×106 ) 3
=
6.67×10?11 ×(120.5×60)2
= 7．19×1022 （千克）
月球平均密度为

M
? ? 4 ? 4

7.19×1022

?R 3 ×3.14×(1.74×106 ) 3
3 3
≈3.26×103（千克/米 3） 如果不易测知天体半径，也可用人造飞行器沿该天体的表面匀速率
2 3

绕行，设其绕行周期为T，公式M = 4? r
GT 2

中的r恰为天体半径，由此可

得天体密度为



? ? m ? 4?
v



2 r3 / GT2
4 3
?r
3



? 3?
GT 2

将此式移项后可得?T 2 ? 3? ，所以ρT 2 是一个普通适用的恒量。
G
它对任何行星都相同。 例如：依地球引力为向心力，环绕地球表面运行的飞行器的周期为
84．4 分钟。由此可知地球平均密度为
? ? 3?
GT2
3×3.14
? ?11 2
6.67 10 (84.4 60)
=5．5×103（千克/米 3）
　　人造地球卫星 远在牛顿时代，人们就从平抛物体的初速度越大， 抛出距离越远的现象推想，如果没有空气阻力，初速度超过某一值时， 物体就不会落到地面上，它将绕地球旋转而成为人造地球卫星。
设某物体以速度 v 沿地球表面绕地球中心做圆周运动，它做匀速圆
周运动的半径是地球半径 R0，促使它做圆周运动的向心力即为万有引力
且近似等于重力，故有
2
mg ? mv
R 0
6 3

v ? R 0g ?

6.4 ×10

×9.8 ? 7. 9 ×10

? 8(千米 / 秒)

　　这说明沿地球表面飞行的物体若要不落回地面，必须每秒钟飞行 8 千米。在牛顿时代，使物体达到这样大的速度还不可能，直到 1957 年， 原苏联利用多级火箭发射成功了人类第一颗人造地球卫星。
卫星不可能恰好沿地球表面飞行，设卫星距地面高度为 h，地球半径
为 R，地球质量为 M，卫星飞行速度为 v。