两边再平方,得

整理后得

x + y - 7 = -2 x + 1 y + 1.


(x+y)2-14(x+y)+49=4(x+1)(y+1).

(x+y)2-18(x+y)-4xy+45=0. (3)

把(2)和(3)组成方程组,并设 u=x+y,v=xy,得
? u2 - 18u - 4v + 45 = 0, (4)
? v - u + 15 = 0. (5)

从(5)式得

代入(4)式并化简,得

所以

代入(5)式,得

所以
? u = 7,
? v = -8;



v=u-15.

u2-22u+105=0.

u=7,u=15.

v=-8,v=0.


? u = 15,
? v = 0.

就是
?x + y = 7,
? xy = -8;



?x + y = 15,
? xy = 0.

解这两个方程组,得
? x = -1,



?x = 8,



?x = 0,



?x = 15,

? y = 8;

　　?y = -1;

　　?y = 15;

　　 ?y = 0.

检验后可以知道,只有前两组数是原方程组的解.
解法二:
? x + 1 + y + 1 = 3, 　　　　　 　 (1)



(1)式两边平方并化简,得


两边再平方,得

? xy - x - y + 15 = 0. 　　　　　　


x + y - 7 = -2 x + 1 y + 1.

(2)


整理后得

由(2)式得

(x+y)2-14(x+y)+49=4(x+1)(y+1).

x2+y2-2xy-18x-18y+45=0. (3)




代入(3)式并化简,得

y = x - 15 . (4)
x - 1

x4-22x3+97x2+120x=0.

利用综合除法分解因式,得
x(x+1)(x-15)(x-8)=0.

因此 x=0,-1,15,8. 代入(4)式,得

就是




y=15,8,0,-1.

? x = 0,
? y = 15;

　　 ?x = -1,
?

?x = 15,
?y = 0;

　　?x = 8,
?

检验后可以知道,原方程组的解是




解法三:

? x = -1,
? y = 8;

　　　?x = 8,
?

? x + 1 + y + 1 = 3,
? xy - x - y + 15 = 0.
设 x + 1 = u, y + 1 = v, 原方程组可以化为
? u + v = 3,
? u2 v 2 - 2(u2 + v2 ) + 18 = 0.

就是
?? u + v = 3, 　　　　　　　　　
?
?? u2 v 2 - 2(u + v)2 + 4uv + 18 = 0. 　　



(1)
　
(2)

把(1)代入(2)并化简,得

所以


u2v2+4uv=0.

uv=0,uv=-4.

把上式分别与(1)式组成下列两个方程组:

? u + v = 3,
? uv = 0;
解这两个方程组,得

?u + v = 3,
?uv = -4.

? u = 3,
? v = 0;
就是

　　?u = 0,
?

?u = 4,
　　?v = -1;

　　?u = -1,
?

?? x + 1 = 3, ??
? ?
?? y + 1 = 0; 　　 ??

x + 1 = 0,

y + 1 = 3;

??
?
　　 ??

x + 1 = 4,

y + 1 = -1;

　　??
??

x + 1 = -1;
.
y + 1 = 4

所以
? x = 8,
? y = -1;



　　? x = -1,
?



　　?x = 15,
?



　　? x = 0,
?

检验后可以知道,只有前两组数是原方程组的解.
解法四:

? x + 1 + y + 1 = 3, 　　　　　 　　


(1)

? xy - x - y + 15 = 0. 　　　　　　 　　
(1)式两边平方并化简,得

(2)



由(2)式得

比较(3)与(4)得,

x + y = 7 - 2 xy + x + y + 1. (3)


2(x+y)=xy+x+y+15. (4)


xy + x + y + 1 + 4 xy + x + y + 1 = 0.

∴　　

xy + x + y + 1 = 0 或


xy + x + y + 1 = -4.

上面第二个式子不可能成立.因此,
? xy + x + y + 1 = 0
? xy - x - y + 15 = 0.

由此得



解之,得



? xy = -8
? x + y = 7.

? x = -1,
? y = 8,
经检验,这都是原方程组的解.
6.解:

　　　?x = 8
?

(1) 要证明 a 、

b 、 c 为边长可以作成一个三角形, 只要证明

a 、 b 、




c这三个数中, 任意两个数的和大于第三个数.现在来证明
因为 a、b、c 是△ABC 的三边,所以 b+c>a,而
( b + c )2 = b + c + 2 b c > b + c > a = ( a ) 2 .
两边开方,得

b + c > a ，



同样可证明

b + c > a.
c + a > b, a + b > c.因此, 用



a、 b、



c为边长可



以作成一个三角形.

(2) 因为 a 、

b 、 c 是△A' B' C ' 的三边, 由余弦定理, 得
cosA' ＝ b + c - a .
2 b c


(3)不失一般性可以认为 a≥b≥c,并且至少有一个不等号成立.由于

较大的数的算术平方根也较大, 所以 a ≥

b≥ c. 如果△ABC和△A' B' C'

相似,那么,△ ABC 中的大边与△ A ＇B ＇C ＇中的大边必为对应边,小边与小 边必为对应边.根据相似三角形对应边成比例这个性质,得到

a = b
a b

= c ,
c

就是 a = b = c, 也就是a = b = c. 这与△ABC不是等边三角形的假设


相矛盾.因此△ ABC 与△ A ＇B ＇C ＇不相似.

1978 年试题

注意事项:
1.理工科考生要求除作（一）——（四）题和（七）题外,再由（五）、
（六）两题中选作一题.文科考生要求作（一）——（四）题,再由（五）、
（六）两题中选作一题;不要求作第（七）题.
2.考生解题作答时,不必抄题.但须准确地写明题号,例如（一）2、
（五）等.
（一）1.分解因式:x2-4xy+4y2-4z2.
　　2.已知正方形的边长为 a.求侧面积等于这个正方形的面积、高等于这 个正方形边长的直圆柱体的体积.
3. 求函数y = lg(2 + x)的定义域.
4. 不查表求cos80? cos35? + cos10? cos55? 的值.


5.化简: ( 1) -2 ·
4


( 4ab-1 ) 3
1 .

(0.1) -2 (a 3 b-4 ) 2
　　（二）已知方程 kx2+y2=4,其中 k 为实数.对于不同范围的 k 值,分别指 出方程所代表图形的类型,并画出显示其数量特征的草图.
（三）（如图）AB 是半圆的直径,C 是半圆上一点,直线 MN 切半圆于 C
点,AM⊥MN 于 M 点,BN⊥MN 于 N 点,CD⊥AB 于 D 点. 求证:1)CD=CM=CN;
2)CD2=AM·BN.








（四）已知 log189=a(a≠2),18b=5.求 log3645.
（五）（本题和第（六）题选作一题）已知△ABC 的三内角的大小成
等差数列, tgA·tgC = 2 + 3 . 求角A、B、C的大小. 又知顶点C的对边c上的
高等于4 3.求三角形各边a、b、c的长.（提示：必要时可验证
(1 + 3) 2 = 4 + 2 3.)
（六）已知α、β为锐角,且
3sin2α+2sin2β=1,
3sin2α-2sin2β=0.
求证: α + 2β = π
2
（七）（文科考生不要求作此题）
已知函数 y=x2+(2m+1)x+m2-1（m 为实数）. (1)m 是什么数值时,y 的极值是 0?
(2)求证:不论 m 是什么数值,函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条
直线 l1 上.画出 m=-1、0、1 时抛物线的草图,来检验这个结论.

(3)平行于 l1 的直线中,哪些与抛物线相交,哪些不相交?求证:任一条平 行于 l1 而与抛物线相交的直线,被各抛物线截出的线段都相等.


1978 年试题答案

（一）1.解:原式=(x2-4xy+4y2)-4z2
=(x-2y)2-(2z)2
=(x-2y-2z)(x-2y+2z).
2.解:设直圆柱体的底面半径为 r.则底面周长 2πr=a.

∴r = a ,
2π





? ? 3

∴体积 = πr 2 a = π?

a ? a ? a .

? 2 π? 4π
3.解:∵lg(2+x)≥0,∴2+x≥1.


4. 解法一: 原式

x≥-1 为所求的定义域.
= sin10°cos35° + cos10°sin35°
= sin(10° + 35°)
= sin45°

= 2 .
2

解法二: 原式 = cos80°cos35° + sin80°sin35°
= cos(80° - 35°)
= cos45°
2
= .
2
3
1 ?1 2

?
5.解: 原式 = (2-2 ) 2

(4ab )
1

(10?1 ) ?2 (a3 b? 4 ) 2



2·23

3 ? 3

- 3+2

=
102
4 1

·a 2

2 ·b 2

? b 2 .
25
（二）解:（注意:只要求考生作出全面而正确的分析,不要求写法和本 题解完全一致.）
(1)k > 0时, 方程的图形是椭圆, 中心在坐标原点:
2
(i)k > 1时, 长轴在y轴上, 半长轴 = 2, 半短轴 = ;
k
(ii)k = 1时, 椭圆的特殊情况——圆, 半径r = 2;

(iii)k < 1时, 长轴在x轴上, 半长轴 = 2
k

, 半短轴 = 2.


(2)k = 0时, 方程为y2 = 4,
图形是两条平行于x轴的直线y = ±2;

x 2
(3)k < 0时, 方程为 -
4
│k│

y2
+ = 1,
4

图形是双曲线, 中心在坐标原点, 实轴在y轴上.















（三）证明:
1)连 CA、CB,则∠ACB=90°.
∠ACM=∠ABC（弦切角等于同弧上的圆周角）,
∠ACD=∠ABC（同角的余角相等）,
∴ ∠ACM=∠ACD.
∴ △ACM≌△ADC.
∴ CM=CD. 同理 CN=CD.∴ CD=CM=CN. 2)∵ CD⊥AB,∠ACB=90°,
　∴ CD2=AD·DB（比例中项定理）. 由 1),可知 AM=AD,BN=BD,
∴ CD2=AM·BN.
（四）解法一:∵log189=a,∴18a=9.
又 18b=5,
∴ 45=9×5=18a·18b=18a+b,
设 log3645=x,则 36x=45=18a+b,

∴ log1836x=log1818a+b

x = a + b log18 36

= a + b .
1 + log18 2

但 36=2×18=4×9,
∴ log18(2×18)=log18(22×9).
即 1+log182=2log182+log189=2log182+a.
∴ log182=1-a.

∴ x = a + b
1 + (1 - a)
解法二:log 45 = log18 45

= a + b .
2 - a

log18 36
= log18 9 + log18 5
log1818 + log 18 2
= a + b .
1 + log18 2
以下解法同解法一.
（五）解:A+B+C=180°, 又 2B=A+C.
∴ 3B=180°,B=60°,A+C=120°.
∵ tgAtgC = 2 + 3 (1)
而 tg(A + C) = tgA + tgC ,
1- tgAtgC
∴ tgA + tgC = (1 - tgAtgC)tg(A + C)
= [1- (2 + 3)]tg120°
= (-1 - 3)( -3)
= 3 + 3. (2)
由(1), (2) 知tgA、tgC是x2 - (3 + 3)x + 2 + 3 = 0的二根.
解这方程得(x - 1)[x - (2 + 3) = 0.
∴ x1 = 1, x 2 = 2 + 3.
设A < C, 则得tgA = 1, tgC = 2 + 3.
∴ A = 45°,c = 120° - 45° = 75°.
又知c边上的高等于4 3,

∴ a = 4 3
sin60°


b = 4 3
sin45°

= 4 3 = 8;
3
2
= 4 3 = 4 6 ;
2
2

c = AD + DB
= bcos45° + acos60°

= 4 6·

2 + 8· 1 = 4 3 + 4.

2 2


（六）证法一: 由3sin2 α + 2sin2 β = 1, 得3sin2 α ? cos2 β
由3sin2 α - 2sin2 β = 0, 得
sin2β = 3 sin2α = 3sinαcosα.
2
∴ sin2 2 β ? cos2 2 β ? 9 sin2 a cos2 a ? 9 sin4 a,
1 = 9sin2 α(cos 2 α + sin2 α),
1 = 9sin2 α.
∴ sin2 α = 1 , sinα = 1 （α为锐角）.
9 3
sin(α + 2 β) = sinαcos2β + cosαsin2 β
= sinα(3sin 2 α) + cosα(3sinαcosα)

　　 　　　
　　　　　　 　 　　

= 3sinα(sin 2 α + cos2 α)
= 3sinα = 1.

　　　　 ∴ α + 2β = π .
　　　　　　　　　　　　　2
证法二: 由3sin2 α = 2sin2 β得
3sinαcosα = 2sinβcosβ.
∴ 9sin 2 αcos2 α = 4sin 2 βcos2 β.
9sin 2 α(1 - sin2 α) = 4sin2 β(1 - sin2 β).
∵ sin 2 β = 1 (1 - 3sin2 α),
2
∴ 9sin 2 α(1 - sin2 α) = 4 · 1 (1 - 3sin 2 α)[1 - 1 (1- 3sin2 α)]
2 2
= 2(1- 3sin2 α)· 1 (1 + 3sin2 α)
2


∴ 9sin 2 α = 1,

= 1 - 9sin 4 α.

sinα = 1 （α为锐角）
3
以下同证法一.
（七）解:(1)用配方法得


y = ? x +


2m + 1?
?


4m + 5
-

? 2 ? 4
∴ y的极小值为 - 4m + 5 .
4
所以当极值为0时,4m + 5 = 0, m = - 5 .
4

(2)函数图象抛物线的顶点坐标为?- 2m + 1 ,- ?4m + 5 ?,
? ?
? 2 4 ?
即 x = - 2m + 1 = -m - 1 ,
2 2
y = - 4m + 5 = -m - 5 .


二式相减得

4 4
x - y = 3
4

此即各抛物线顶点坐标所满足的方程.它的图形是一条直线,方程中不
含m. 因此, 不论m是什么数值, 抛物线的顶点都在这条直线l : x - y = 3 上.
1 4
当 m=-1、0、1 时,x,y 之间的函数关系为
2
y + 1 = ? x - 1? ,
? ?
4 ? 2 ?
2
y + 5 = ? x + 1? ,
? ?
4 ? ?
2
y + 9 = ? x + 3? ,
? ?
4 ? 2?
分别作出它们的图象 P1、P2、P3.
它们的顶点都在直线 l1 上.











(3)设 l:x-y=a 为任一条平行于 l1 的直线. 与抛物线 y=x2+(2m-1)x+m2-1 方程联立求解. 消去 y,得 x2+2mx+m2-1+a=0.
∴ (x+m)2=1-a.
　　因而当 1-a≥0 即 a≤1 时,直线 l 与抛物线相交,而 1-a<0 即 a>1 时,直 线 l 与抛物线不相交.
　　
当a≤1时, x = -m±
即直线 l 与抛物线两交点横坐标为

1- a .

- m - 1- a ,-m + 1 - a .
因直线 l 的斜率为 1,它的倾斜角为 45°.
∵ 直线 l 被抛物线截出的线段等于
[(-m + 1- a ) - (-m - 1 - a )] 2 = 2 2(1 - a) .
而这与 m 无关.
因此直线 l 被各抛物线截出的线段都相等.



1979 年试题


理工农医类

1.若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证:x,y,z 成等差数列.
2.化简: 1 .
1? 1
1
1 ?
1 ? csc 4 x
　　3.甲、乙二容器内都盛有酒精.甲有公斤υ1 公斤，乙有υ2 公斤.甲中纯 酒精与水(重量)之比为m1:n1,乙中纯酒精与水之比为m2:n2.问将二者混合后
所得液体中纯酒精与水之比是多少?
4.叙述并且证明勾股定理.
5.外国般只,除特许者外,不得进入离我海岸线 D以内的区城.设 A
及 B 是我们的观测站,A 及 B 间的距离为 S,海岸线是过 A,B 的直线.一
外国船在 P 点.在 A 站测得
∠BAP=α,同时在 B 站测得∠ABP=β.问α及β满足什么简单的三角函数值 不等式,就应当向此未经特许的外国船发出警告,命令退出我海城?
6.设三棱锥 V-ABC 中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=直角.
求证:△ABC 是锐角三角形.

7.美国的物价从 1939 年的 100 增加到四十年后 1979 年的 500.如果每 年物价增长率相同,问每年增长百分之几 ?(注意:自然对数 1nx 是以 e=2.718?为底的对数.本题中增长率 x<0.1,可用自然对数的近似公 式:ln(1+x)≈x.取 lg2=0.3,ln10=2.3 来计算).
8.设 CEDF 是一个已知圆的内接矩形，过 D 作该圆的切线与 CE 的延长线
相交于点 A,与 CF 的延长线相交于点 B.
3
求证： BF ? BC .
AE AC 3







9.试问数列
? ? ?
lg100， lg?100 sin ? , lg?100 sin2 ? ，?， lg?100 sin n?1 ? ,
? ? ? ? ? ?
? 4 ? ? 4 ? ? 4 ?
前多少项的和的值是最大?并求出这最大值.(这里取 lg2=0.301)

10.设等腰△OAB 的顶角为 2θ,高为 h.
(1)在△OAB 内有一动点 P,到三边 OA,OB,AB 的距离分别为│PD│,│ PF│,│PE│并且满足关系│PD│·│PF│=│PE│2.求 P 点的轨 迹.
(2)在上述轨迹中定出点 P 的坐标,使得│PD│+│PE│=│PF│.




1979 年试题(理工农医类)答案
1.证法一:(z-x)2-4(x-y)(y-z)
=z2-2zx+x2+4zx-4xy-4yz+4y2
=(x+z)2-2·2y(z+x)+4y2
=(z+x-2y)2
=0,
∴ z+x-2y=0 即 z-y=y-x,
所以,x,y,z 成等差数列,
证法二：令 x-y=a,y-z=b,则
x-z=x-y+y-z=a+b.
(z-x)2-4(x-y)(y-z)=(a+b)2-4ab=(a-b)2=0.
∴ a=b.
即 x-y=y-z,即 y-x=z-y.所以,x,y,z 成等差数列.

2. 解： 1
1 ? 1
1
1?

? 1
1 ? 1
1

csc2 x
? 1

? ctg2 x

1 ? 1
1 ? tg2 x
? 1
1 ? 1
sec2 x




3.解:

? 1 ?
1 ? cos2 x

1
sin 2 x


? csc2 x .



甲乙共含纯酒精



m1v 1
m1 ? n1



? m2 v 2
m2 ? n 2




甲乙共含水

m v ( m ? n ) ? m v ( m ? m )
? 1 1 2 2 2 2 1 2 公斤，
( m1 ? n 1 )( m2 ? n 2 )

n 1v 1
m1 ? n 1

? n 2 v 2
m2 ? n 2

n v (m ? n ) ? n v (m ? n )
? 1 1 2 2 2 2 1 1 公斤，
(m2 ? n 2 )(m1 ? n1 )
混合后,纯酒精与水之比为
〔m1v1(m2+n2)+m2v2(m1+n1)〕:〔n1v1(m2+n2)+n2v2(m1+n1)〕.
4.解:略.(参考一般教科书)
5.解:
自 P 向直线 AB 作垂线 PC,垂足为 C.设 PC=d. 在直角三角形 PAC 中,AC=d·ctgα. 在直角三角形 PBC 中,BC=d·ctgβ.
∴ S=AC+BC=d(ctgα+ctgβ).
当 d≤D,即

ctg? ? ctg? ? S D
时,应向外国船发出警告.

6.证法一:设 VA=a,VB=b,VC=c, AB=p,BC=q,CA=r.
于是 p2=a2+b2,q2=b2+c2,r2=c2+a2. 由余弦定理,
cos CAB = a + b + c + a - (b + c )

∠
2 a + b ·


c + a

2 2 2 2
2
? ? 0.

a2 ? b 2 ?
所以∠CAB 为锐角.

c 2 ? a 2

同理,∠ABC,∠BCA 也是锐角.


证法二:作 VD⊥BC,D 为垂足,因 VA 垂直于平面 VBC,所以 VA⊥BC
又 BC⊥VD,所以 BC 垂直于平面 VAD,从而 BC⊥AD
即在△ABC 中,A 在 BC 边上的垂足 D 介于 B 和 C 之间, 因此,∠B 和∠C 都是锐角.
同理可证∠A 也是锐角.








7.解:年增长率 x 应满足
100(1+x)40=500, 即 (1+x)40=5, 取自然对数有 40ln(1+x)=ln5.

已知 lg2 = 0.3, 所以



利用 ln(1 + x) ≈x, 则有

lg5 = lg 10 = 1 - 0.3 = o.7,
2
ln5 = ln10lg5 = 2.3×0.7 = 1.61.

x = ln5 = 1.61 = 0.04025≈4%.
　　　　　　　　　　　　　40 40
答：每年约增长百分之四.
8.证法一:连结 CD.因∠CFD=90°, 所以 CD 为圆 O 的直径.
由于 AB 切圆 O 于 D,
∴ CD⊥AB.
又在直角三角形 ABC 中,∠ACB=90°,
∴ AC2=AD·AB,BC2=BD·BA.

∴ BD = BC


. (1)

AD AC 2
又因BD 2 = BC·BF, AD2 = AC·AE.
BD2 BC·BF
∴ = . (2)

AD2
由(1) 与(2)得

AC·AE

BC·BF


= BC .

AC·AE
3

AC4

∴ BF = BC .
AE AC3
证法二:由△BDF∽△ABC,得
BF = BC . (1)


由△BDF∽△DFC, 得 DF
CF
又由△ADE∽△ABC, 得

DF AC
= BF , 因而 DF =
DF CF


BC
. (2)
AC

DE = BC . (3)


由(1), (2), (3)得

AE AC


3

BF · DF · DE = BC


但因为 CF = DE,

DF CF AF


3

AC 3

∴ BF = BC .


证毕.

AE AC 3

9.解法一:这个数列的第 k 项(任意项)为
a = lg?100sin k-1 ? ?
? ?
k ? 4 ?
= 2 - 1 (k - 1)lg2.
2
所以这个数列是递减等差列,且其首项为 2.要前 k 项的和最大,必须前 k 项
都是正数或 0,而从第 k+1 项起以后都是负数.因此,k 应适合下列条件:
1

?2 -
? 2
?

(k - 1)lg2≥0, (1)




解此不等式组:

?2 - 1 [(k + 1) - 1]lg2 < 0. (2)
?? 2

由(1)得 k≤14.2 由(2)得 k>13.2
因 k 是自然数,所以 k=14,即数列前 14 项的和最大. 取 k=14. 前 14 项的和



S = a 1 + a14 ×14 =
2

2 + 2 - 1 ×13×lg2
2
2



× 14

= 28 - 91 × 0.3010
2
≈14.30
解法二:这数列的第 k 项(任意项)为
a = lg(100sin k-1 π)
k 4
= 2 - 1 (k - 1)lg2
2
所以这数列是递减的等差数列, 首项为2, 公差是 ? 1 lg2.
2
设前k项的和为S, 则
　　[2 + 2 - 1 (k - 1)lg2]k
S = 2
2
= (- 1 lg2)k2 + (2 + 1 lg2)k.
4 4
因k2 的系数为 ? 1 lg2 < 0, 所以S(把k看成自变量)有最大值, 所以, 当
4
2 + 1 lg2
k = 4 ≈ 13.78
1



时,S 有最大值.

2(-
4

lg2)

因 k 表示项数,是自然数,在此,
当k = 14 时, 有a = 2 - 1 (14 - 1)lg2
14 2
=2-1.9565>0,
而 a = 2 - 1 (15 - 1)lg2
15 2
= 2 - 7×0.3010 < 0.
由此可知这数列的前 14 项都是正数,从第 15 项起以后各项都是负数. 所以应取 k=14,即数列前 14 项的和为最大,其值为
(2 + 2 + 1 ×13×lg2) ×14
S = 2 ? 14.30.
2
10.解法一:(1)设坐标系如图，点 P 的坐标为(x,y).由题设 x>0. 直线 OA 的方程为
　　　y=xtgθ, 直线 OB 的方程为 y=-xtgθ,
　　　
直线 AB 的方程为 x=h. 又因为 P 点在∠AOB 内,于是

PD = xtgθ - y
1 + tg2 θ

PE = h - x,
PF = xtgθ - y
1 + tg2 θ

= xsinθ - ycosθ.




= xsinθ + ycosθ.

由条件│PD│·│PF│=│PE│2 得
x2sin2θ-y2cos2θ=(h-x)2, (1) 即 x2cos2θ-2hx+y2cos2θ+h2=0.
除以 cos2θ(0≠)得

x 2 - 2h

x + y 2 + h


= 0.

cos2 θ
即

cos2 θ


2

(x - h

) 2 + y 2 = h 2 · 1 - cos θ ,

cos2 θ

cos4 θ


(x - h cos2 θ


) 2 + y 2 = (h·

sinθ
cos2 θ


)2 .


这是以( h cos2 θ

, o)为中心, 以h sinθ
cos2 θ


为半径的圆, 所求轨迹是此圆在所给等

腰三角内的那一部分.

注意: 在A作直线AE′⊥OA, 则OE′ =



h cos2 θ




. E′是圆的中心, AE′ =

hsinθ 是圆的半径. A是圆上一个点, 而且圆在A的切线是OA.
cos2 θ










(2)由条件│PD│+│PE│=│PF│得
xsinθ-ycosθ+h-x=xsinθ+ycosθ,
即 x+2ycosθ=h. (Ⅱ)

此直线通过(h, o) 即C点及(0, h
2cosθ

) 点.

由(1),(Ⅱ)得
x2sin2θ-y2cos2θ=4y2cos2θ
∴ 5y2cos2θ=x2sin2θ,

y = 1
5


tgθ·x.

由│ PD│+│PE││PF│可知 y>0,所以这里右端取正号.代入(Ⅱ)得
2

x(1 +

sinθ) = h.
5


∴ x = h


= 5h .

1 ? 2 sinθ
5
y = 1 · 5h

5 ? 2sinθ


·tgθ

5
= htg?

5 ? sinθ

.

5 ? 2sinθ
所求点P的坐标为

( 5h
5 + 2sinθ




, htgθ ).
5 + 2sinθ


解法二:设 OP 与正 x 轴的夹角为α,则
y
tgα = ,
x

cosα = x
x2 + y2

, sinα = y .
x2 + y2

│OP│ = x2 + y2 ,
│PD│=│OP│sin(θ-α)=│OP│(sinθcosαθ-cosθsinα)
=xsinθ-ycosθ,
│PF│=│OP│sin(θ+α)=│OP│sinθcosαθ+cosθsinα
=xsinθ+ycosθ. 以下与上面的解法一相同。

1979 年试题
（文史类）
1.求函数 y=2x2-2x+1 的极小值.
2.化简 [(1+sin2θ)2-cos4θ][(1+cos2θ)2-sin4θ].
3.甲、乙二容器内都盛有酒精.甲有 v1 公斤,乙有 v2 公斤.甲中纯酒精
与水（重量）之比为 m1:n1,乙中纯酒精与水之比为 m2:n2.问将二者混合后
所得液体中纯酒精与水之比是多少?
4.叙述并且证明勾股定理.
5.外国船只,除特许者外,不得进入离我海岸线 D以内的区域.设 A 及
B 是我们的观测站,A 及 B 间的距离为 S,海岸线是过 A、B 的直线.一外国 船在 P 点.在 A 站测得∠BAP=α,同时在 B 站测得∠ABP=β.问α及β满足什 么简单的三角函数值不等式,就应当向此未经特许的外国船发出警告,命令 退出我海域?
　　6.美国的物价从 1939 年的 100 增加到四十年后 1979 年的 500.如果每 年物价增长率相同,问每年增长百分之几?（注意:自然对数 lnx 是以 e=2.718?为底的对数.本题中增长率 x<0.1,可用自然对数的近似公 式:ln(1+x)≈x.取 lg2=0.3,ln10=2.3 来计算.）
7.设 CEDF 是已知圆的一个内接矩形,过 D 作该圆的切线与 CE 的延长线
相交于点 A,与 CF 的延长线相交于点 B.求证
BF = BC .
AE AC3







8.过原点 O 作圆 x2+y2-2x-4y+4=0 的任意割线交圆于P1,P2 两点.求P1P2
的中点 P 的轨迹.






1.解:

因为

1979 年试题（文史类）答案


y = 2x2 - 2x + 1 = 2 ? x 2 - x + 1 ?




?? 1 ?
= 2 ?? X - ?
? ?
?
2

? ?
? 2 ?
1 1 ?
+ - ?
2 ??

= 2? x - 1 ?

+ 1 .

? ?
? 2 ? 2
2

当? x ? 1 ?

? 0, 即x = 1 时, 上式之值最小, 所以,

? ?
? 2 ?


2
当x = 1 时, y取极小值 1 .

2 2

2.解:
[(1+sin2θ)2-cos4θ][(1+cos2 θ)2-sin4θ]
=(1+sin2θ+cos2θ)(1+sin2θ-cos2θ)·(1+cos2θ+sin2θ)(1+cos2θ
-sin2θ)
=4(1-cos2θ)(1+cos2θ)
=4(1-cos22θ.)=4sin22θ
3.解:

甲中含纯酒精


乙中含纯酒精

甲、乙共含纯酒精

m1v1
m1 + n1
m2 v2
m2 + n2

（公斤）,


（公斤）,

含水 n1v1
m1 + n1
含水 n2v2
m2 + n2

（公斤）


（公斤）


m1v1
m1 + n1


+ m2 v2
m2 + n2


= m1v (m2 + n2 ) + m2 v2 (m1 + n1 ) (公斤）.
(m1 + n1 )(m2 + n2 )

甲、乙共含水


n1v1
n1 + n1


+ n2 v2
n2 + n2


= n1v (m2 + n2 ) + n2 v2 (m1 + n1 ) (公斤）.
(m1 + n1 )(m2 + n2 )

混合后,纯酒精与水之比为
[m1v1(m2+n2)+m2v2 (m1+n1)]:[n1v1(m2+n2)+n2v2(m1+n1)].
4.解: 略.（参考一般考科书）.
5.解:
自 P 向直线 AB 作垂线 PC,垂足为 C.设 PC=d. 在直角三角形 PAC 中, AC=d·ctgα. 在直角三角形 PAC 中, BC=d·ctgβ.
∴ S=AC+BC=d(ctgα+ctgβ).
当 d≤D,即
ctgα + ctgβ≥ S .
D
时,应向外国船发出警告.


6.解:年增长率 x 应满足方程


100(1+x)40=500.

即 (1+x)40=5. 取自然对数,得
　　　40ln(1+x)=ln5. (1) 已知 lg2=0.3,所以
lg5 = lg 10 = lg10 - lg2 = 1 - 0.3 = 0.7,
2
ln5=ln10·lg5=2.3×0.7=1.61.

利用 ln(1+x)≈x,则由(1)有
x≈ln(1 + x) = ln5 = 1.61
40 40
=0.04025≈4%.
答:每年约增长百分之四.
7.证明:
联接 C,D.
∵∠CFD=90°,
∵ CD 为⊙O 的直径.
∵ AB 切⊙O 于 D,
∴ CD⊥AB.
又在直角三角形 ABC 中,∠ACB=90°,
∴ AC2=AD·AB,BC2=BD·BA,
2

∴ BD = BC


. (1)

AD AC2
又 BD2 = BC·BF, AD2 = AC·AE,
BD2 BC·BF
∴ = . (2)


由(1)与(2) 得

AD2

AC·AE


4

BC·BF
AC·AE
BF BC
∴ =

= BC ,
AC4
3
.

AE AC 3

8.解法一:
设割线 OP1P2 的参数方程为
?x = tcosα,
?y = tsinα.
（t 为参数）.代入圆方程,得
　　t2cos2α+t2sin2α-2tcosα-4tsinα+4=0. 即 t2-2t(cosα+2sinα)+4=0.
这方程的两个根,就是 OP1 及 OP2,
∴ OP1+OP2=2(cosα+2sinα).
P 是 P1P2 的中点.
∴ OP = F OP1 + OP2
2
=cosα+2sinα,
OP2=OP(cosα+2sinα)

=OPcosα+2·OPsinα. 设 P 的直角坐标为(x,y),于是
x=OPcosα,y=OPsinα,x2+y2=OP2.
∴ x2+y2=x+2y.
或 (x - 1 )2 + (y - 1) 2 = 5 .
2 4
这是以( 1 ,1)为中心, 5 为半径的圆. 所求轨迹是这个圆在所给圆内的一段弧.
2 2




解法二:
设割线 OP1P2 的直线方程为

代入圆的方程,得




y=kx.

x2+k2x2-2x-4kx+4=0
即 (1+k2)x2-2(1+2k)x+4=0
设这个方程的两个根是 x1 及 x2·x1,x2 就是直线与圆的两个交点的横坐
标；由根与系数的关系,得
x + x = 2(1 + 2k)
.
1 2 1 + k 2
又设 P 点的坐标是（x,y）.因 P 是 P1P2 的中点,所以

x = x1 + x 2
2

= 1 + 2k
1 + k 2


又P点在直线y = kx上,


∴k =

y
. 代入上式得
x
y

1 + 2
x = x ,
y



y
两端乘以1 + (
x




) 2 , 得

1 + ( ) 2
x




y 2 y



乘以x, 得

x + = 1 + 2 .
x x


x 2 + y 2
1


= x + 2y.
5

或 (x -

1 5

) 2 + (y - 1) 2 =
2 4

这是一个以点 (
2
的一段弧 .

,1) 为中心, 以 为半径的圆. 所求轨迹是这个圆在所给圆内
2

1980 年试题
(理工农医类)


一、将多项式 x5y-9xy5 分别在下列范围内分解因式: (1)有理数范围; (2)实数范围 (3)复数范围.
　　二、半径为 1、2、3 的三个圆两两外切.证明:以这三个圆的圆心为顶 点的三角形是直角三角形.
三、用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点.
四、证明对数换底公式:log N = log a N .
log a b
(a、b、N 都是正数,a≠1,b≠1)
　　五、直升飞机上一点 P 在地平面 M 上的正射影是 A.从 P 看地平面上一 物体 B(不同于 A),直线 PB 垂直于飞机窗玻璃所在的平面 N(如图).证明:平
面 N 必与平面 M 相交,且交线 l 垂直于 AB.


六、设三角函数f(x) = sin( kx
5

π
+ ), 其中k≠0.
3



(1)写出 f(x)的极大值 M、极小值 m 与最小正周期 T;
　　(2)试求最小的正整数 k,使得当自变量 x 在任意两个整数间(包括整数 本身)变化时,函数 f(x)至少有一个值是 M 与一个值是 m.
七、CD 为直角三角形 ABC 中斜边 AB 上的高,已知△ACD、△CBD、△ABC
的面积成等比数列,求∠B(用反三角函数表示).
α

八、已知0 < α < π.证明:2sin2α≤ctg

; 并讨论a为何值时等号成立.
2




　　九、抛物线的方程是 y2=2x,有一个半径为 1 的圆,圆心在 x 轴上运动. 问这个圆运动到什么位置时,圆与抛物线在交点处的切线互相垂直.
　　
(注: 设P(x , y )是抛物线y 2 = 2px上一点, 则抛物线在P点处的切线斜率是

P . )
y

0



附加题
设直线(L)的参数方程是?



x = t,



(t是参数)



椭圆(E)的参数方程是???
??

?y = b + mt;
x = 1 + acosθ, (a≠0)
y = sinθ




(θ是参数)

　　问 a、b 应满足什么条件,使得对于任意 m 值来说,直线(L)与椭圆(E)总 有公共点.




1980 年试题(理工农医类)答案
一、解: (1)x5 y - 9xy 5 = xy(x 4 - 9y 4 ) = xy(x2 + 3y2 (x2 - 3y2 );

(2)x 5 y - 9xy 5 = xy(x2 + 3y2 )(x + 3y)(x - 3y);

(3)x 5 y - 9xy 5 = xy(x + 3yi)(x - 3yi)(x + 3y)(x - 3y);
二、证明:设⊙O1、⊙O2、⊙O3 的半径分别为 1、2、3.
因这三个圆两两外切,故有 O1O2=1+2=3,
O2O3=2+3=5, O1O3=1+3=4,
2 2 2 2 2 2
则有 O1O 2 + O1O 3 = 3 + 4 = 5 = O 2O 3 .
根据勾股弦定理的逆定理,或余弦定理,△O1O2O3 为直角三角形.









三、证明:取△ABC 最长的一边 BC 所在的直线为 x 轴,经过 A 的高线为 y
轴,设 A、B、C 的坐标分别为 A(0,a)、B(b,0)、C(c,0), 根据所选坐标系,如图,有 a>0,b<0,c>0.

AB的方程为 x + y = 1, 其斜率为 - a ;

b
AC的方程为 x
c

a b
+ y = 1, 其斜率为 - a .
a c

高线CE的方程为y = b (x - c); (1)
a
c

高线BD的方程为y =

(x - b).(2)
a

解(1)、(2),得:(b-c)x=0.
∵b-c≠0,∴x=0.
这就是说,高线 CE、BD 的交点的横坐标为 0,即交点在高线 AO 上. 因此,三条高线交于一点.









　　四、证法一:令 logbN=x,根据对数定义, bx=N.
两端取以 a 为底的对数,
logabx=logaN,
xlogab=logaN.
∵ b≠1,∴logab≠0,
∴ x = log a N ,
log a b
即 log N = log a N .
log a b
证法二:令 logbN=x,根据对数定义,
N=bx
=(alogab)x=axlogab,
∴ xlogab=logaN.
∵ b≠1,logab≠0,
∴ x = log a N ,
log a b
log N
即 log N = a .
log a b
五、证明:用反证法.假如平面 N 与平面 M 平行,则 PA 也垂直于 N,因此
PA 与 PB 重合,B 点与 A 点重合,但这与题设矛盾,所以平面 N 与平面 M 相交. 设平面 N 与平面 M 的交线为 l.
∵PA⊥平面 M,∴PA⊥l. 又∵PB⊥平面 N,∴PB⊥l.

∴l⊥平面 PAB,∴l⊥AB.







六、解:(1)M=1,m=-1,

5×2 π
T =
│k│

10π
= .
│k│

(2)f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是 M 与一个值是 m. 而任意两个整数间的距离都≥1.因此要使任意两个整数间函数 f(x)至
少有一个值是 M 与一个值是 m,必须且只须使 f(x)的周期≤1.
10π

即
│k│

≤1, │k│≥10π = 31.4 ?.

可见,k=32 就是这样的最小正整数.
七、解法一:设 CD=h,AB=c,BD=x, 则 AD=c-x.
因此, △ACD的面积为 1 h(c - x),
2
△CBD的面积为 1 hx,
2
△ABC的面积为 1 hc.
2
依题意, ( 1 hx) 2 = 1 h(c - x)· 1 hc,
2 2 2
即 x2=c(c-x), 即 x2+cx-c2=0,

x = -c±

c2 + 4c2
.
2

∵取负号不合题意,


∴取正号, 得

x = 5 - 1 c.
2

　　又依直角三角形的性质,有 AC2=AD·AB=c(c-x).
但 x2=c(c-x),∴AC2=x2,
∴AC = x = DB = 5 - 1 c.
　　　　　　　　2
在直角三角形ABC中,

5 -1 c
sinB = AC = 2 = 5 - 1 ,
AB c 2
故∠B = arcsin 5 - 1
2


解法二:由题设有(CD·BD)2=(CD·AD)·(CD·AB),
∴BD2=AD·AB.
但 AC2=AD·AB,
∴BD=AC.
由tgB = CD , cosB = sinA = CD = CD ,

BD
∴tgB = CD = cosB,
BD

AC BD

因而sinB = cos2 B, 或sin2 B + sinB - 1 = 0,
解得sinB = -1± 5 .
2
∵B为锐角, sinB > 0, ∴sinB≠ -1- 5 ,
2
∴B = arcsin -1 + 5 .
2
八、证法一: 原不等式2sin2?≤ctg ? ,
2

可写成

2sin2?≤ 1 + cos? .
sin?

两端乘以正数 sin? ,问题化为证明
2sin? sin2? ≤1+cos? .
而 2sin? sin2? =4sin2 ? cos? =4(1-cos2 ? )cos?
=4(1-cos? )(1+cos? )cos? . 所以问题又化为证明不等式
(1+cos? )[4(1-cos? )cos? -1]≤0.
即(1 + cos?)[-4(cos? - 1)]2 ≤0.
2
∴不等式得证.
∵0 < ? < π, ∴等号成立当且仅当cos? - 1 = 0,
2
即 ? = 60°.
证法二: 令tg ? = t > 0, (∵0 < ? < π)
2 2 2
原不等式变为

2

2·2·

2t
1 + t 2

· 1 - t
1 + t 2

≤1 .
t

以t(1 + t 2 ) 2 > 0乘不等式两端, 问题变为证明

8t2(1-t2)≤(1+t2)2,
即 -9t4+6t2-1≤0,
-(3t2-1)2≤0.
∴不等式成立.
当且仅当t 2 = 1 或tg ? = 1








时, 即? = 60°时, 原不等式变为等式.

3 2 3
?

证法三: 将原不等式两端同乘以sin <
2
2sin2?sin < ? ≤cos < ? .

> 0，则问题化为证明不等式

2
?
而 2sin2?sin
2

2
?
= 2·(2sin?cos?)·sin
2

= 4·(2sin ? cos < ? )(1- 2sin2 ? )sin ?
2 2 2 2
? ? ?
= 8cos (sin2 - 2sin4 )
2 2 2
= 8cos ? [ 1 - 2(sin 2 ? ? 1 )2 ]
2 8 2 4
= cos ? - 16cos ? (sin2 ? - 1 )2 ≤cos ? .
2 2 2 4 2
其中“≤”符号是由于cos ? > 0, (sin2 ? - 1 )2 ≥0.
2 2 4
上式中的等号当且仅当sin2 ? - 1 = 0时成立, 即sin2 ? ? 1
2 4 2 4
∴sin ? = 1 (- 1 舍去), ∴? = π .
2 2 2 3
九、解:设圆的方程为 (x-k)2+y2=1.
再设圆与抛物线的一个交点为 P(x0y0).


在P点圆半径的斜率 =

y0 .
x 0 - k

在P点抛物线的切线斜率 = 1 .
y0
在 P 点抛物线的切线与圆的切线垂直,必须且只须圆的半径与抛物线在
P 点相切.

1 y
∴ = 0
y0 x0 - k


.(1)

因P(x0 , y0 ) 是圆与抛物线的交点,
∴y2 = 2x ,(2)

2 2
(x0 - k) + y0 = 1. (3)
由(1)、(2)式消去 y0,得 x0=-k,
将(2)代入(3),得(x0-k)2+2x0-1=0,

将 x0=-k 代入,得 4k2-2k-1=0,
∴k = 1± 5 .
4
由于抛物线在y轴的右方, 所以k = -x0 ≤0.故根号前所应取负号, 即

k = 1- 5 .
4
故所求圆的方程为(x - 1 - 5 ) 2 + y2 = 1.
4
由于对称性,圆与抛物线的另一交点 (x0,-y0)处的切线也互相垂直.


附加题 解法一:消去参数,得
(L): y = mx + b; (E): (x - 1)
a 2





+ y2 = 1.

消去 y,整理得
(1+a2m2)x2+2(a2mb-1)x+a2b2-a2+1=0.
(L)、(E)有交点的条件是上式的判别式≥0, 即
(a2mb-1)2-(1+a2m2)(a2b2-a2+1)≥0. 化简并约去 a2 得
(a2-1)m2-2bm+(1-b2)≥0.
对任何 m 的值,要使这个式子永远成立,条件是

(Ⅰ)???
??
解得

a 2 - 1 > 0,
或
b 2 - (a 2 - 1)(1- b2 )≤0;


?│a│ > 1,
?

?a 2 - 1 = 0,
(Ⅱ)?
? b = 0.



? │a│ = 1,

(Ⅰ)?

2 2 或

( Ⅱ)?

a - 1
?- ≤b≤

a - 1

? b = 0.

? │a│

│a│

或( Ⅰ) 、( Ⅱ) 合写成:
?│a│≥1,
?
? 2 2

?- a - 1 ≤b≤

a - 1 ,

? │a│

│a│

即为所求的条件.
解法二:

椭圆(E)即 (x - 1)
a2


+ y 2 = 1, 它的中心为(1,0), 它在x轴方向的半轴长为│a│.



直线(L)即 y=mx+b;它通过 P(0,b)点,斜率为 m.
如果 P(0,b)落在(E)内或(E)上,如 P1,则过 P1 点作任意直线(L)显然与
椭圆(E)总有公共点.
如果 P(0,b)落在(E)外,如 P2,那么由 P2 向椭圆作两切线,则(E)上所有
的点都在两切线的一个夹角内,所以可以选择斜率m的值,使直线(L)落在这 个夹角的补角内,(L)与(E)就没有公共点了.
　　因此,(L)与(E)总有公共点的充要条件是 p(0,b)点落在(E)内或(E)上. 要使(E)与 y 轴有公共点,其充要条件是│a│≥1;这时,(E)与 y 轴的
2

交点的纵坐标为y0 = ±

a - 1 , 要使P落在(E)内或(E)上, 其充要条件是
│a│


2 2

a - 1
- ≤b≤
│a│
? │a│≥1,
?

a - 1
.由此可见, 直线(L)与椭圆(E)总有公共点的条件为:
│a│

- a - 1 ≤b≤

a - 1 .

2 2
?

? │a│

│a│






一、化简






1 - 3i .
3 - 2i

1980 年试题
（文史类）



二、解方程组:

? 2x - 3y - z = 5,
?
? 4x + 2y + 3z = 9,
? 3x + 2y = -1

三、用解析几何方法证明直径所对的圆周角是直角.
四、某地区 1979 年的轻工业产值占工业总产值的 20%,要使 1980 年的 工业总产值比上一年增长 10%,且使 1980 年的轻工业产值占工业总产值的
24%,问 1980 年的轻工业产值应比上一年增长百分之几.
五、设 3 π ? θ ? 5 π, 化简
4 4
π 3 π
cos sin( π - θ)[sin(π - θ) - sin( θ - )]
4 4 2 .
sin(θ + π )
4
六、(1)若四边形 ABCD 的对角线 AC 将四边形分成面积相等的两个三形,
证明直线 AC 必平分对角线 BD. (2)写出(1)的逆命题,这个逆命题是否正确?为什么?
七、如图，长方形框架 ABCD—A?B?C?D?.三边 AB、AD、A?A?的长分别为 6、
8、3.6,AE 与底面的对角线 B?D?垂直于 E. (1)证明 A?E⊥B?D?;
(2)求 AE 的长.










八、(1)把参数方程(t 为参数)
?x = sect,
　　　　　　　　　　?y = 2tgt
化为直角坐标方程,并画出方程的曲线的略图.


(2)当0 ? t＜

π
及π ? t＜

3π 时,各得到曲线的 哪一部分?

2 2






一、解:




1 - 3i
3 - 2i

1980 年试题（文史类）答案


(1 - 3i)(3 + 2i)
=
(3 - 2i)(3 + 2i)
= 3 + 6 + (2 - 9)i
9 + 4
= 9 - 7i
13




二、解：

= 9 - 7 i.
13 13






(1)×3+(2),

?2x - 3y - z = 5, (1)
?
?4x + 2y + 3z = 9, (2)
?3x + 2y = -1. (3)

10x-7y=24. (4)

(3)×7+(4)×2,



41x=41, x=1.

将 x=1 代入(3)式,得
y=-2 将 x=1,y=-2 代入(1),得 z=3.
? x = 1,
?

∴ 方程组的解为

? y = -2,
? z = 3.

三、证法一:将圆的直径 AB 所在的直线取为 x 轴,圆心作为原点,不妨 假定圆的半径是 1.于是圆的方程是
　　　　　　　　　x2+y2=1. A、B 的坐标是 A(-1,0),B(1,0). 设 P(x,y)是圆上任意一点,则有
x2+y2=1,即 y2=1-x2.

∵ PA的斜率为k = y ,
1 x + 1
PB的斜率为k = y ,
2 x - 1
2 2

∴ k k = y

= 1 - x


= -1,

1 2 x2 - 1

x2 - 1

∴ PA⊥PB, ∠APB为直角..
证法二: 取坐标并得圆的方程x 2 + y2 = 1，如上．

PA = (x + 1)2 + y2 , PB = (x - 1) 2 + y2 ,

∴ PA 2 + PB2


= (x + 1) 2 + y2 + (x - 1) 2 + y2
= 2(x2 + y2 ) + 2 = 2×1 + 2

= 4 = AB2 .

由勾股定理的逆定理,得 PA⊥PB,∠APB 为直角.










四、解:
设 1979 的的工业总产值为 a,又设 1980 年的轻工业产值比上一年增长 x%, 则按题意,1980 年的轻工业产值为

a·( 20 )·(1 + x

) = a·(1 + 10 )·( 24 ).

100

100
解得 x=32

100

100

答:1980 年的轻工业产值应比上一年增长 32%.
五、解法一:

2 π
sin(


+ θ)(sinθ + cosθ)

原式 = 2 4
sin( θ + π )
4
π π
sin( + θ)sin（θ + )
= 4 4
π
sin(θ + )
4
sin2 （θ + π )
= 4
sin( θ + π )
4
│sin( θ + π )│
= 4
sin( θ + π )
4

∵ 3 π＜θ＜
4

5 π,
4

∴ π＜θ ? π ＜ 3π ,
4 2

∴ sin( θ + π )＜0,
4
│sin(θ + π)│
∴ 原式 = 4
sin( θ + π)
4
-sin(θ + π)
= 4 = -1.
π



解法二:

sin(θ + )
4

π
　　　　　由于　sin(
4


+ θ) =

1
(sinθ + cosθ),
2


原式 =

3 5
? π＜θ＜ π,

│sinθ + cosθ│
sinθ + cosθ
π
∴ π＜θ ?





3
＜ π.

4 4 4 2
π

∴ sinθ + cosθ = 2sin(θ +

)＜0.(或直接讨论得到sinθ + cosθ＜0.)
4


∴ 原式 =

- (sinθ + cosθ)
sinθ + cosθ


= -1



六、证明:

(1)S△ABC=S△ADC,并且△ABC 与△ADC 有同底 AC,
∴ 两高线相等:BE=DF
设 AC 与 BD 交于点 0,则 Rt△BOE≌Rt△DOF.
∴ OB=OD.
即 AC 平分 BD.
(以上假定了 E、O、F 不重合,如果 E、O、F 重合,则已有 BO=BE=DF=DO)

(2)逆命题:若四边形 ABCD 的对角线 AC 平分对角线 BD,则 AC 必将四边 形分成两个面积相等的三角形.
这个逆命题是正确的. 证明如下:
在上图中,由于 OB=OD,∠BOE=∠DOF(对顶角),
∠BEO = ∠DFO = π , ∴△BOE≌△DOF
2
∴ BE = DF, 即两高线相等.
1 1
∴ S = AC·BE = AC·DF = S .

△ABC 2 2

△ADC



七、解:
(1)AA?⊥平面 A?B?C?D?,∴AA?⊥B?D?
又 AE⊥B?D?, ∴B?D?⊥平面 AA?E,
因此 B?D?⊥A?E,(也可由三垂线定理得到 B?D?⊥A?E), (2)A?B?·A?D?=A?E·B?D?(都是△A?B?D?面积的 2 倍).

∴ 6×8 = A' E×
∴ A' E = 48 = 4.8
10

62 + 82 ,

AE = 3.62 + 4.82










八、解:
(1) sect = x, tgt = y ,
2


= 6.

利用公式 sec2t=1+tg2t,
2
得 x2 = 1 + y .
4
∴ 曲线的直角坐标普通方程为
y2



略图如下.

x2 -
4

= 1.



1981 年试题
(理工农医类)


　　一、设 A 表示有理数的集合,B 表示无理数的集合,即设 A={有理 数},B={无理数},试写出:(1)A∪B,(2)A∩B.
　　二、在 A、B、C、D 四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共 有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人,共有几种选 法?写出所有可能的选举结果.
　　三、下表所列各小题中,指出 A 是 B 的充分条件,还是必要条件,还是充 要条件,或者都不是.











四、写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明.
五、解不等式(x 为未知数):
x ? a b ? c

a x ? b c
? a b x ? c

? 0．

六、用数学归纳法证明等式

cos x ·cos x

·cos x

·??·cos x

= sinx

2 2 2

2 2 n sin x

2 3 n

2 n
对一切自然数 n 都成立.
七、设 1980 年底我国人口以 10 亿计算.
　　(1)如果我国人口每年比上年平均递增 2%,那么到 2000 年底将达到多 少?
(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最

高是多少?


下列对数值可供选用:

lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417 lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720 lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060


八、在 120°的二面角 P-a-Q 的两个面 P 和 Q 内,分别有点 A 和点 B.已
知点 A 和点 B 到棱 a 的距离分别为 2 和 4,且线段 AB=10. (1)求直线 AB 和棱 a 所成的角;
(2)求直线 AB 和平面 Q 所成的角.



九、给定双曲线x2 - y


= 1．

2
(1)过点 A(2,1)的直线 l 与所给双曲线交于两点 P1 及 P2,求线段 P1P2
的中点 P 的轨迹方程.
(2)过点 B(1,1)能否作直线 m,使 m 与所给双曲线交于两点 Q1 及Q2,且点
B 是线段 Q1Q2 的中点?这样的直线 m 如果存在,求出它的方程;如果不存在,
说明理由.











十、附加题:计入总分.
已知以 AB 为直径的半圆有一个内接正方形 CDEF,其边长为 1(如图). 设 AC=a,BC=b,作数列
u1=a-b,
u2=a2-ab+b2,
u3=a3-a2b+ab2-b3,
??,
uk=ak-ak-1b+ak-2b2-??+(-1)kbk;
求证:un=un-1+un-2(n≥3).



1981 年试题(理工农医类)答案 一、解:(1)A∪B={实数}.(或 A∪B=R,或 A∪B=实数集合.)
(2)A∩B=?.(或 A∩B={ },或 A∩B=空集.)
二、解:

(1) 选法种数 P 2

= 4×3 = 12(种)．

所有可能的选举结果:(把正班长、副班长按次序来写)

AB,AC,AD,BC,BD,CD, BA,CA,DA,CB,DB,DC.
3 1
(2) 选法种数C 4 = C 4 = 4( 种).
所有可能的选举结果: ABC,ABD,ACD,BCD.
三、解: (1)必要条件 (2)充分条件 (3)充分条件 (4)充要条件
四、公式:设△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,则有余弦定 理 a2=b2+c2-2bccosA.
证法一:平面几何证法.
如果∠A 是锐角,从 C 作 AB 的垂线交 AB 于 D,于是由勾股定理得
a2=CD2+DB2
=(bsinA)2+(c-bcosA)2
=b2+c2-2bccosA.

　　如果∠A 是钝角,从 C 作 AB 的垂线交 BA 的延长线于 D,于是由勾股定理 得
a2=CD2+BD2
=[bsin(180°-A)]2+[c+bcos(180°-A)]2
=b2+c2-2bccosA.

如果∠A 是直角,cosA=0,
∴ a2=b2+c2=b2+c2-2bccosA.
证法二:解析几何证法
以 A 为原点,射线 AB 为 x 轴正向,建立直角坐标系,则得 A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).
由两点间的距离公式得
a2=│BC│2 =(c-bcosA)2+(-bsinA)2
=b2+c2-2bccosA.







五、解:原行列式可逐步简化如下:

x x 0
第二行加到第一行

1 1 0

? 0 x x
第三行加到第二行

? x 2

0 1 1








故原不等式为





? x 2



x2(x-a-b-c)>0.

? a b x ? c

1 0 0
0 1 1
? a b ? a x ? c

? a b x ? c


? x 2 (x ? a ? b ? c)

原不等式的解是
x≠0,x>a+b+c.
六、证明：(i)当n = 1时, 左边 = cos x , 而
2
2sin x cos x

右边 = sinx
x
2sin
2

= 2 2
2sin x
2

= cos x ,
2

所以当 n=1 时等式成立.
(ii)假设当 n=k 时等式成立,即

cos x ·cos x

·cos x

·??·cos x

= sinx ,

2 2 2

2 2 k sin x

2 3 k
2 k
两边同乘以cos x , 得
2 k +1

cos x ·cos x

·cos x

·??·cos x

·cos x

2 2 2 2 3

2 k 2 k +1

sinx·cos x
= 2
2 k sin x
2 k
sinx·cos x
= 2 = sinx ,

2 k ·2sin x
2 k +1

·cos x
2 k +1

2 k +1 sin x
2 k+1

所以当 n=k+1 时等式也成立. 根据(i)和(ii),就证明了对于一切自然数 n 等式都成立.
　　七、解:(1)所求人口数 x(亿)是等比数列 10, 10×1.02, 10× (1.02)2,??的第 21 项,即
x=10×(1.02)20,

两边取对数,得


lgx=1+20lg1.02=1.17200,

∴ x=14.859(亿).
答:到 2000 年底我国人口将达到 14.859 亿. (2)设人口每年比上年平均递增率最高是 y%,按题意得

　　　　　　　10×(1+y%)20≤12, 即 (1+y%)20≤1.2.
根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得
　　　　　　　20lg(1+y%)≤lg1.2. 即 lg(1+y%)≤0.00396.
∴ 1+y%≤1.0092,y%≤0.0092. 答:每年比上年人口平均递增率最高是 0.92%.
八、解 :(1)在平面 P 内作直线 AD⊥a 于点 D;在平面 Q 内,作直线 BE⊥a
于点 E,从点 D 作 a 的垂线与从点 B 作 a 的平行线相交于点 C.∴∠ABC 等于 AB 和 a 所成的角.
∠ADC 为二面角 P-a-Q 的平面角,
∴ ∠ADC=120°.又 AD=2,BCDE 为矩形,
∴ CD=BE=4.
连结 AC,由余弦定理得
AC2 = AD 2 + CD2 - 2AD·CD·cos120°
1
= 4 + 16 - 2×2×4×(- )
2
= 28,
∴ AC = 2 7 ．
　　又因 AD⊥a,CD⊥a,所以 a 垂直于△ACD 所在的平面.再由 BC∥a 得知 BC 垂直于△ACD 所在的平面,∴BC⊥AC.
在直角△ABC中, sin∠ABC = AC = 2 7 = 7 , ∴∠ABC = arcsin 7
AB 10 5 5
答:直线 AB 和棱 a 所成的角等于
arcsin 7 ．　
5

　　(2)在△ACD 所在的平面内,作 AF⊥CD 交 CD 的延长线于 F 点.因为△ACD 所在的平面⊥平面 Q,∴AF⊥平面 Q.在△ADF 中,∠ADF=60°,AD=2,
∴ AF = 2sin60 ° = 3．
　　连结 BF,于是∠ABF 是 AB 和平面 Q 所成的角,而△ABF 为直角三角形,所 以
sin∠ABF = AF = 3 , ∠ABF = arcsin 3 ．
AB 10 10
答:直线 AB 和平面 Q 所成的角为
arcsin 3 ．
　　　　　　10
九、解法一:(1)设直线 l 的方程为
y=k(x-2)+1, (i)

将(i)式代入双曲线方程,得
(2-k2)x2+(4k2-2k)x-4k2+4k-3=0, (ii)
又设P1 (x1 , y1 )，P2 (x2 ，y2 )，P (x，y)，则x1，x2 必须是(ii)的两实根， 所以有


x + x = 4k - 2k


(k2 - 2≠0)．

1 2 k 2 - 2

按题意, x = 1 (x + x ), ∴x = 2k - k ．

2 1 2

k2 - 2

因为(x， y)在直线(i)上，所以

y = k(x - 2) + 1 = k( 2k - k - 2) + 1 = 2(2k - 1) ．

k2 - 2
到此,若指出所求轨迹的参数方程是
? 2k 2 - k
x = ,

k 2 - 2

? k 2 - 2
?

(其中k是参数)

? y = 4k - 2 ,
?? k2 - 2
再由x，y的表达式相除后消去k而得所求轨迹的普通方程为
4(y - 1) 2

y2 - y + 2x(2 - x) = 0，或 8(x - 1)
7

- 2 = 1，
7

这就是所要求的轨迹方程.
(2)设所求直线方程为 y=k(x-1)+1,代入双曲线方程,整理得
(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0, (iii)
设Q1 (x1 , y2 ),Q 2 (x2 , y2 ), 则x1 , x2 必须是(iii)的两个实根,
2k2 - 2k

即 x1 + x2 =

．
k 2 - 2


如果B是Q1Q 2

的中点, 就有 x1 + x2
2


= 1,

即 x1 + x2 = 2,
2
所以有 2k - 2k = 2.综合起来, k应满足
k 2 - 2



(I)

?(2k 2 - 2k) 2 - 4(2 - k 2 )(-k 2 + 2k - 3)≥0,
?
? 2k 2 ? 2k

? k 2 ? 2

? 2．

由第二式解出 k=2,但 k=2 不满足第一式,所以(Ⅰ)无解. 答:满足题中条件的直线 m 不存在.
解法二:(1)设 l 的参数方程为

?? x = 2 + tcosθ,
?
?? y = 1 + tsinθ,


0≤θ < 2π, (iv)

其中 t 是参数,θ为 AP 的倾斜角.代入所给双曲线方程,整理得: (2cos2θ-sin2θ)t2+2(4cosθ-sinθ)t+5=0.(v)

设P1 (x1 , y1 ) , P2 (x2 , y2 )P(x, y), 它们对应的参数值分别为t 1 , t 2 , t,
则t1 , t 2 必须是( v)的，两个实根，所以有


t1 + t 2 =

2(sinθ - 4cosθ)
2 2


(2cos


2 θ - sin2


θ≠0)．　　

2cos
1

θ - sin θ


sinθ - 4cosθ

按题意, t =

(t1 + t 2 ),
2

所以t =

．
2cos2 θ - sin2 θ

将t代入(iv), 即得所求轨迹的参数(θ)方程
x = sinθcos θ - 2sin θ ,
? 2cos2 θ - sin2 θ
?

? y = 2cos

θ - 4sinθcosθ .

2cos2 θ - sin2 θ
．
　　(2)也可用设m的参数方程的方法讨论此问,得出满足条件的直线m不存 在的结论.
十、证法一:通项公式可写为
uk=ak-ak-1b+ak-2b2-?+(-1)kbk
k+1 k +1 k +1
= a - (-1) b .
a + b
因 a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1, ab=AC·BC=CD2=1.
n-1 n-1 n-1 n-1 n-1 n-1

故得 u = a - (-1) b

= ab· a - (-1) b

n -2

a + b
= a b - (-1) ab ,
a + b

a + b

n n n n n n

u = a - (-1) b

= (a - b)· a - (-1) b

n-1

a + b

a + b




于是有

= a - a b - (-1) ab - (-1) b ,
a + b


n +1 n +1 n +1

u + u = a - (-1) b


= u .

n-1 n-2

a + b n

证法二:由平面几何知识算出
a = 5 + 1 , b = 5 - 1 .


通项公式可写为

2 2


k +1 k+1 k+1

u = a k - a k -1b + a k-2 b2 - ? + (-1) k bk

要证 un=un-1+un-2 成立,只要证明

= a - (-1) b .
a + b

　　　　an+1-(-1)n+1bn+1=an-(-1)nbn+an-1-(-1)n-1bn-1, 即
an-1·a2-(-1)n-1bn-1·b2=an-1·a+(-1)n-1bn-1·b+an-1-(-1)n-1bn-1,

或
a n-1 ( 5 + 1)2 - (-1) n-1 b n-1 ( 5 - 1) 2
2 2
= a n-1 ( 5 + 1) + (-1) n -1 b n-1 ( 5 - 1) + a n -1 - (-1) n-1 b n-1 ,
2 2
或
a n-1 ( 3 + 5 ) - (-1) n-1 b n-1 ( 3 - 5 )
2 2

= a n-1 ( 5 + 1 + 1) - (-1) n-1 b n ?1 (1 ?
　　　　　　　　　2
上式确是等式,故证得
un=un-1+un-2.

5 ? 1).
2



1981 年试题 (文史类)


　　一、设 A 表示有理数的集合,B 表示无理数的集合,即设 A={有理 数},B={无理数},试写出:(1)A∪B,(2)A∩B.
二、化简:

[- a b

]2 ×[ a - b

]4 ÷[ a (b - a) ]3 .

3(a + b) 2

a 2 b 2

　　三、在 A、B、C、D 四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共 有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人,共有几种选 法?写出所有可能的选举结果.
四、求函数 f(x)=sinx+cosx 在区间[-π,π)上的最大值.
五、写出正弦定理,并对钝角三角形的情况加以证明.

六、已知正方形 ABCD 的相对顶点 A(0,-1)和 C(2,5),求顶点 B 和 D 的坐 标.
七、设 1980 年底我国人口以 10 亿计算.
(1)如果我国人口每年比上年平均递增 2%,那么到 2000 年底将达到多 少?
(2)要使 2000 年底我国人口不超过 12 亿,那么每年比上年平均递增率最
高是多少?
下列对数值提供选用:
lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417 lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720 lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060 八、ABCD-A1B1C1D1 为一正四棱柱,过 A、C、B1 三点作一截面,求证:截
面 ACB1⊥对角面 DBB1D1.