三、弹 力


　　被拉长或压缩的弹簧对跟它接触的小车发生力的作用，可以使小车运 动起来（图 3－5）。被弯曲的细木棍或细竹竿对跟它接触的圆木发生力的 作用，可以把圆木推开（图 3－6）。上面的例子说明，发生形变的物体， 由于要恢复原状，对跟它接触的物体会产生力的作用，这种力叫弹力。
■
　　地球对物体产生重力，并不需要地球和物体直接接触。弹力则不同， 弹力产生在直接接触并发生形变的物体之间。
　　不仅细木棍、弹簧等能发生形变，任何物体都能发生形变，不能发生 形变的物体是不存在的，不过有的形变比较明显，直接可以看得见；有的 形变极其微小，要用仪器才能显示出来。
　　图 3－7 是一种显示微小形变的装置，它可以把微小形变“放大”到可 以直接看出来。在一张大桌子上放两个平面镜 M 和 N，让一束光线依次被 这两面镜子反射，最后射到一个刻度尺上，形成一个光点。用力压桌面， 镜子要向箭头所示的方向倾斜。由于两面镜子之间的距离较大，光点会在 刻度尺上有明显的移动，而把桌面的形变显示出来。
■


　　放在水平桌面上的书，在重力作用下与桌面互相接触，使书和桌面同 时发生微小的形变。书由于发生微小的形变，而对桌面产生垂直于桌面向 下的弹力，这就是书对桌面的压力（图 3－8 左）。桌面由于发生微小的形 变，而对书产生垂直于书面向上的弹力，这就是桌面对书的支持力（图 3
－8 右）。
■
　　可见，通常所说的压力和支持力都是弹力，压力或支持力的方向总 是垂直于支持面而指向被压或被支持的物体。
■
　　挂在电线下面的电灯，在重力作用下拉紧电线，使电灯和电线同时发 生微小的形变。电灯由于发生微小的形变，而对电线产生向下的弹力，这 就是电灯对电线的拉力（图 3－9 左）。电线由于发生微小的形变，而对电 灯产生向上的弹力，这就是电线对电灯的拉力（3－9 右）。
可见，通常所说的拉力也是弹力，绳的拉力是绳对所拉物体的弹力，
方向总是沿着绳而指向绳收缩的方向。
■
在水平桌面上有两个球，它们靠在一起，但不互相压挤，它们之间有弹力的作用 吗？为什么？

·小实验·

显示微小形变


　　用下面的简单装置也可以显示微小形变：找一个大玻璃瓶，装满水， 塞上中间插有细管的瓶塞，用手按压玻璃瓶，细管中的水面就上升；松开
　　
手，水面又降回原处。这说明玻璃瓶受到按压时发生形变。实际做一下这 个实验。

练习一


　　（l）停放在操场上的篮球，受到几个力的作用？施力物体各是什么物 体？各是哪种性质的力？各力的方向是怎样的？画出物体受力的示意图。
　　（2）有四位同学把斜面对重物的支持力（3 牛），分别画成图 3－10 中的四种样子，哪个图画得对？
■
　　（3）用一根绳子把一个小球挂在天花板上，小球受到几个力的作用？ 各是什么物体对它的作用？各是哪种性质的力？各力的方向是怎样的？画 出小球受力的示意图。
■
　　（4）用两根绳子把物体挂在天花板上（图 3－11），这个物体受到几 个力的作用？各是什么物体对它的作用？各是哪种性质的力？各力的方向 是怎样的？画出物体受力的示意图。
　　
四、胡克定律


　　弹力的大小跟形变的大小有关系，形变越大，弹力也越大，形变消失， 弹力就随着消失。对于拉伸形变（或压缩形变）来说，伸长（或缩短）的 长度越大，产生的弹力就越大。例如弹簧伸长或缩短的长度越大，弹力就 越大。物体发生弯曲时产生的形变叫做弯曲形变。对于弯曲形变来说，弯 曲得越厉害，产生的弹力就越大。把弓拉得越满，箭就射出得越远。还有 一种叫做扭转形变。在金属丝的下面挂一个横杆，用力扭这个横杆，金属 丝就发生扭转形变（图 3－12）。放开手，发生扭转形变的金属丝产生的 弹力会把横杆扭回来。金属丝的扭转角度越大，弹力就越大。
■
　　定量地研究各种形变中弹力和形变的关系比较复杂，我们经常遇到的 是弹簧的拉伸形变（或压缩形变）。实验表明：弹簧弹力的大小 f 和弹 簧伸长（或缩短）的长度 x 成正比。写成公式就是
f＝kx．
其中 k 是比例常数，叫做弹簧的劲度系数，简称为劲度①。劲度是一
个有单位的量。在国际单位制中，f 的单位是牛，x 的单位是米，k 的单位 是牛／米。不同的弹簧，劲度并不相同。劲度在数值上等于弹簧伸长（或 缩短）单位长度时的弹力。对于直杆或线的拉伸形变（或压缩形变），也 有上述正比关系。这个规律是英国科学家胡克发现的，叫做胡克定律。
■
　　胡克定律有它的适用范围。物体的形变过大，超出一定限度，上述正 比关系将不再适用，这时即使撤去外力，物体也不能完全恢复原状。这个 限度叫做弹性限度。胡克定律在弹性限度内适用。弹性限度内的形变叫做 弹性形变。本书中提到的形变，除非特别指明，一般是指弹性形变。

练习二


　　（1）把一个 2 牛重的物体挂在弹簧上，物体受到几个力的作用？各是 哪种性质的力？各力的方向是怎样的？物体静止时受到的弹簧的弹力有多 大？为什么？画出物体受力的图示。
（2）一根弹簧的劲度是 100 牛/米，伸长的长度为 2 厘米时，弹簧的
弹力有多大？另一根弹簧的劲度是 2000 牛/米，缩短的长度为 3 厘米时， 弹簧的弹力有多大？
　　（3）一根弹簧，不挂物体时长 15 厘米，挂上重 0.5 牛的物体时长 18 厘米。这根弹簧的劲度有多大？
　　
五、摩擦力


　　滑动摩擦 摩擦力也是发生在两个互相接触的物体之间。当一个物体 在另一个物体表面上做相对滑动的时候，要受到另一个物体阻碍相对滑动 的力，这种力叫做滑动摩擦力。滑动摩擦力的方向总跟接触面相切，并 且跟物体的相对运动的方向相反（图 3－13）。实验表明：滑动摩擦力 跟压力成正比，也就是跟一个物体对另一个物体表面的垂直作用力成 正比。用 f 表示滑动摩擦力的大小，用 N 表示压力的大小，那么
　　　　　　　　　　　　　　f = ? ? N 其中μ①是比例常数，叫做动摩擦因数，它的数值既跟相互接触的两个物
体的材料有关，又跟接触面的情况（如粗糙程度）有关。在相同的压力下， 动摩擦因数越大，滑动摩擦力就越大。动摩擦因数是两个力的比值，没有 单位。
　　除了滑动摩擦，还有滚动摩擦。滚动摩擦是一个物体在另一个物体表 面上滚动时产生的摩擦。滚动摩擦比滑动摩擦小得多，滚动轴承就是利用 滚动摩擦小的事实制成的。

材 料 动摩擦因数 钢—钢
木—木
木—金属
皮革—铸铁
钢—冰
木头—冰
橡皮轮胎—路面（干） 0.25
0.30
0.20
0.28
0.02
0.03
0.71

静摩擦 滑动摩擦是一个物体在另一个物体表面上有相对运动的时
候发生的。那么，互相接触的两个物体处于相对静止的时候，是不是也可 以发生摩擦呢？我们用不大的水平力来推桌子，虽然桌子应该沿着力的方 向运动，有相对于地板运动的趋势，但并没有把桌子推动，就是因为桌腿 跟地板之间发生摩擦，这个摩擦力和推力都作用在桌子上，它们的大小相 等，方向相反，彼此平衡，因此桌子保持不动。这时发生的摩擦叫静摩擦。 静摩擦力的方向总跟接触面相切，并且跟物体相对运动趋势的方向相 反。
　　逐渐增大对桌子的推力，如果推力还不够大，桌子仍旧保持不动，静 摩擦力跟推力仍旧彼此平衡。可见静摩擦力随着推力的增大而增大。但是 静摩擦力的增大有一个限度，静摩擦力的最大值叫做最大静摩擦力。推力 超过最大静摩擦力，就可以把桌子推动了。最大静摩擦力等于使桌子开始 运动所需的最小推力。最大静摩擦力跟两物体间的压力成正比，压力越大， 最大静摩擦力也越大。
　　静摩擦力是很常见的。拿在手中的瓶子、毛笔不会滑落，就是静摩擦 力作用的结果。能把线织成布，把布缝成衣服，也是靠纱线之间的静摩擦 力的作用。静摩擦力在生产技术中的应用也很多。皮带运输机（图 3－14） 是靠货物和传送皮带之间的静摩擦力，把货物送往别处的。
　　
■
用向右的水平力推桌子，因静摩擦力的存在而没有推动桌子。桌子对地板的相对
运动趋势的方向是怎样的？作用在桌腿上的静摩擦力的方向是怎样的？

·阅读·

力的种类


　　在力学中经常遇到的有重力、弹力和摩擦力，在热学中要遇到分子力， 在电学中要遇到电磁力。我们曾经提到，重力、弹力、分子力、电磁力等 是属于不同性质的力。这种认识只是反映了人们对力的认识的一个阶段。 随着科学的发展，人们对力的认识也进一步深化了，并认识到重力、弹力、 摩擦力、分子力、电磁力等都可以归结为两种基本的相互作用，即万有引 力和电磁力。
　　万有引力是由于物体具有质量而在物体之间产生的一种相互作用。这 种力普遍存在于宇宙万物之间。在宇宙天体之间，在宏观物体之间，在原 子、分子等微观粒子之间，都存在着这种相互作用。重力就是地面附近的 物体由于受到地球的万有引力而产生的。
电磁力是存在于电荷之间的一种相互作用。静止电荷之间有电力，运
动电荷之间除了电力外还有磁力。电力和磁力是有联系的，常常总称为电 磁力。
我们知道，原子是由带正电的原子核和绕核旋转的带负电的电子组成
的，分子是由原子组成的。原子核和电子之间，原子和原子之间，分子和 分子之间，虽然也存在万有引力，但比起电磁力来要小得多，可不予考虑， 起决定作用的是电磁力。这就是说，原子或分子本身能够形成，是由于电 磁力的作用。分子之间的电磁力就构成了我们通常所说的分子力。
当我们使物体发生形变的时候，物体中原子或分子之间的距离发生改
变，原子或分子之间的电磁力要反抗物体发生形变，这就形成了我们通常 所说的弹力。
从原子或分子之间的电磁力来完满地解释摩擦力很复杂，至今还没有
一种很好的理论，但是大家公认摩擦力说到底也还是电磁力的一种表现。 现代科学研究已深入到原子核内部，深入到研究质子、中子等微观粒 子的相互作用。人们在这个领域又发现了两种基本的相互作用，分别叫做
强相互作用和弱相互作用。这两种作用这里不再介绍。 现在，人类认识到在自然界中存在四种基本的相互作用：万有引力，
电磁力，强相互作用，弱相互作用。小到比原子还小的粒子，大到宇宙天 体，其间表现出很不相同的多种多样的相互作用，都可以用少数几种基本 的相互作用来说明，这是物理学的巨大胜利。然而人类的认识是没有止境 的。今天认为基本的相互作用有四种，明天会不会统一成更少的几种甚至 一种相互作用呢？大物理学家、相对论的创立者爱因斯坦（1879～1955）， 晚年致力于这方面的工作，试图把万有引力和电磁力统一起来。现在有不 少物理学家致力于这方面的研究，试图把四种相互作用统一起来，并且取 得了进展，电磁相互作用和弱相互作用已经得到统一。这是物理学研究的 前沿。物理学好象一座正在施工中的大厦，它已经建筑得很壮观了，但还

没有竣工，看来永远也不会竣工，更壮观的还在后面。现在的青年学生， 将来就可能成为修建这座大厦的建筑师。

练习三


　　（1）在东北的冬季伐木工作中，许多伐下的木料被装在雪橇上，用马 拉着在冰道上运出去。一个有钢制滑板的雪橇，上面装着木料，共重 4.9
×104 牛。在水平的冰道上，马要在水平方向用多大的力才能够拉着雪橇匀 速前进？
　　（2）用 20 牛的水平的力拉着一块重 40 牛的砖，可以使砖在水平地面 上匀速滑动。求砖和地面之间的动摩擦因数。
　　（3）要使重 400 牛的桌子从原地移动，必须用至少 120 牛的水平推力。 桌子从原地移动以后，为了使它继续做匀速运动，只要 100 牛的水平推力 就行了。求最大静摩擦力和动摩擦因数。如果用 90 牛的水平推力推桌子， 这时静摩擦力有多大？
　　（4）请你设计一个测量纸跟桌面之间动摩擦因数的方法，并实际测一 测。
　　
六、力的合成


　　力的合成 在大多数实际问题里，物体往往不只受到一个力，而是同 时受到几个力。一个物体受到几个力共同作用的时候，我们常常可以求出 这样一个力，这个力产生的效果跟原来几个力共同产生的效果相同。一个 力，如果它产生的效果跟几个力共同产生的效果相同，这个力就叫做那几 个力的合力。求几个力的合力叫做力的合成。
　　几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于同一 点，这几个力叫做共点力。我们先来研究两个共点力的合成。
■
图 3－15 甲表示橡皮条 GE 在力 F1 和 F2 的共同作用下，沿着直线 GC
伸长了 EO 这样的长度。图 3－15 乙表示撤去 F1 和 F2，用一个力 F 作用在
橡皮条上，使橡皮条沿着相同的直线伸长相同的长度。力 F 对橡皮条产生 的效果跟力 F1 和 F2 共同产生的效果相同，所以力 F 是力 F1 和 F2 的合力。 合力 F 跟力 F1 和 F2 有什么关系呢？在力 F1 和 F2 的方向上各作线段 OA
和 OB，根据选定的标度，使它们的长度分别表示力 F1 和 F2 的大小（图 3
－15 丙）。以 OA 和 OB 为邻边作平行四边形 OACB。量出这个平行四边形的 对角线 OC 的长度，可以看出，根据同样的标度，合力 F 的大小和方向可以 用对角线 OC 表示出来。
改变力 F1 和 F2 的大小和方向，重做上述实验，可以得到同样的结论。
　　可见，求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的线段 为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方 向。这叫做力的平行四边形定则。
如果有两个以上的共点力作用在物体上，我们也可以应用平行四边形
定则求出它们的合力：先求出任意两个力的合力，再求出这个合力跟第三 个力的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的合力就是这些力的 合力。
■
力的平行四边形可以用力的三角形来代替。在图 3－16 甲中 F 是共点
力 F1 和 F2 的合力。如图 3－16 乙所示，从 O 点出发，把代表 F1 和 F2 的线
段 OA、AC 首尾相接地画出来，连接 O 和 C，从 O 指向 C 的线段就表示合
力 F 的大小和方向。上述作图法叫做力的三角形法。作三角形 OBC（图 3
－16 丙）同样可以求出 F1 和 F2 的合力 F。用力的三角形法求合力，有时显
得方便。
■
力的合成的计算 合力的大小和方向，还可以利用公式来计算。图 3
－17 中的 OA 和 OB 分别表示力 F1 和 F2，OC 表示它们的合力 F，力 F1 和 F2
的夹角为θ。
在三角形 OAC 中，根据余弦定理得到
F2 = F2 ＋F2 －2F F cos（180???）
1 2 1 2
2 2

＝ F1

＋ F2 ＋ 2F1 F2 cos?.

所以合力的大小

F ? 2

? F2

? 2F1F1 cos ?. (1)

合力的方向可以用合力跟原来任一个力的夹角表示出来。图中用 F 跟
F1 的夹角φ来表示。利用直角三角形 ODC，可以求出角φ的正切：

CD CD

F2 sin ?

tg? ? OD ? OA ? AD ? F

? F cos ? . ( 2 )

1 2


讨论一下，力 F1 和 F2 的大小一定时，合力的大小跟这两个力的夹角? 的关系。
什么情况下，合力最大？什么情况下合力最小？当? 由 0°增大到 180°的过程中，合 力 F 的变化情况是怎样的？

练习四

（1）两个力的合力总大于原来的每一个力，这话对吗？为什么？
（2）有两个力 F1 和 F2。用作图法求出当它们之间的夹角? =0°，30
°，60°，90°，120°，150°，180°时的合力。研究你所作的图，能不 能得到结论：夹角? 在 0°到 180°之间时，? 越大，合力就越小。
（3）用两根结实的绳子拉一辆陷在泥里的车，两条绳对车的拉力都是
2 000 牛，两绳互成 45°角。用作图法求出合力的大小和方向，然后用公 式来求。
（4）两个力互成 30°角，大小分别是 90 牛和 120 牛。用作图法求出
合力的大小和方向，然后用公式来求。
　　（5）2 牛和 10 牛的两个力，它们的合力能够等于 5 牛、10 牛、15 牛 吗？
（6）有大小分别为 4 牛、9 牛、11 牛的三个力，它们彼此之间的夹角
可以变化，它们的合力的最大值是多少牛？最小值是多少牛？

七、力的分解


　　作用在物体上的一个力往往产生几个效果。拖拉机拉犁耕地，对犁的 拉力 F 是斜向上方的，这个力产生两个效果：使犁克服泥土的阻力前进， 同时把犁上提，这两个效果相当于两个力产生的（图 3－18）：一个水平 的力 F1 使犁前进，一个竖直向上的力 F2 把犁上提。可见力 F 可以用两个力
F1 和 F2 来代替。几个力，如果它们产生的效果跟原来一个力产生的效果相
同，这几个力就叫做原来那个力的分力。求一个已知力的分力叫做力的分 解。
■
　　力的分解是力的合成的逆运算，同样遵守平行四边形定则。把一个已 知力 F 作为平行四边形的对角线，那么，与已知力共点的两个邻边，就表 示已知力的两个分力。在图 3－18 中，F1 和 F2 是 F 的两个分力。
　　我们知道，如果没有其他限制，对于同一条对角线，可以作出无数个 不同的平行四边形（图 3－19），也就是说，同一个力 F 可以分解为无数 对大小、方向不同的分力。一个已知力究竟该怎样分解呢？这要根据实际 情况来决定，下面举两个实例。
■
　　（1）把一个物体放在斜面上，物体受到竖直向下的重力，但它并不能 竖直下落，而要沿着斜面下滑，同时使斜面受到压力。这时重力产生两个 效果：使物体沿斜面下滑以及使物体压紧斜面。因此重力 G 可以分解为这 样两个力：平行于斜面使物体下滑的力 F1，垂直于斜面使物体压紧斜面的
力 F2（图 3－20）。
■
如果已知斜面的倾角? ，就可以求出分力 F1 和 F2 的大小。由于直角三
角形 ABC 和 OQN 相似，所以
F1＝Gsin? ，
F2＝Gcos? 。
可以看出，F1 和 F2 的大小都和斜面的倾角有关。斜面的倾角增大时，
F1 增大，F2 减小。车辆上桥时，力 F1 阻碍车辆前进；车辆下桥时，力 F2
使车辆运动加快。为了行车方便与安全，高大的桥要造很长的引桥，来减 小桥面的坡度。
■
　　（2）放在水平面上的物体受到一个斜向上方的拉力 F 的作用，这个力 与水平方向成? 角（图 3－21）。这个力产生两个效果：水平向前拉物体， 同时竖直向上提物体。因此力 F 可以分解为沿水平方向的分力 F1 和沿竖直 方向的分力 F2。力 F1 和 F2 的大小为
F1＝Fcos? ， F2＝Fsin? 。

练习五

■
（1）在图 3－22 甲中已知力 F 和它的一个分力 F2，在图 3－22 乙中
已知力 F 和两个分力的方向，用作图法求出未知的分力。
　　（2）一个物体的重量是 20 牛，把它放在一个斜面上，斜面长与斜面 高之比是 5∶3。把重力分解，求出平行于斜面使物体下滑的力和垂直于斜 面使物体压紧斜面的力。
■
　　（3）如图 3－23 所示，垂直作用在帆上的风力 F=1.0×104 牛。F 沿着 船身方向的分力 F1 帆船前进，垂直于船身方向的分力 F2 使船身侧倾，设 F 与船身方向成 45°角。求力 F1 是多大。
　　（4）把竖直向下的 180 牛的力分解为两个分力，一个分力在水平方向 上并等于 240 牛，求另一个分力的大小和方向。
　　
八、矢量 同一直线上的矢量运算


　　矢量和标量 我们在初中学过的长度、质量、时间等等物理量，它们 的大小可以用一个带有单位的数值来表示。例如说铅笔长 15 厘米，钢块的 质量 50 千克等等。我们用 15 厘米就能完全描述这支铅笔的长度，用 50 千克就能完全描述这块钢的质量。力这个物理量却和上述物理量不同。力 有大小，也可以用带有单位的数值来表示。例如说这个力是 10 牛，那个力
是 6 牛。可是，这样并没有把一个力完全表达出来。要把一个力完全表达 出来，除了说明它的大小，还要指明它的方向才行。
■
　　在物理学中，我们可以把物理量分为两类。一类叫做标量。标量只有 大小，没有方向。长度、质量、时间、温度、功、能等，都是标量。另一 类叫做矢量。矢量既有大小，又有方向。力是矢量，初中学过的速度也是 矢量，以后还要学到其他矢量。
　　矢量可以用一根带箭头的线段来表示。前面讲的力的图示，其实就是 力矢量的表示。速度矢量以及其他矢量都可以这样来表示。
　　认识到矢量和标量的不同，这是物理学研究中的一大进步。有了矢量 的概念并且运用矢量的运算规则，我们就能很方便地研究和处理一些物理 问题。
两个同类的标量，只要单位相同，它们的数值就可以用代数加法来运
算。比如一个质量是 10 千克，另一个质量是 5 千克的物体，它们的总质量 就是 15 千克。矢量则不能这样运算。一个物体受到两个力，一个是 10 牛， 一个是 5 牛。这两个力共同作用所产生的效果不仅决定于它们的大小，而 且决定于它们的方向。前面讲的力的合成就充分说明了这一点。力的合成 要按照平行四边形定则来进行。平行四边形定则不仅适用于力的合成，对 于别的矢量（如速度矢量）同样适用，它是矢量合成即矢量加法运算的普 遍定则。
同一直线上的矢量运算 这一节以力矢量为例讲一讲同一直线上的
矢量的运算，以备以后的应用。虽然是以力矢量为例来讲的，但对任何矢 量都适用。
矢量既有大小，又有方向。如果被运算的矢量在一条直线上，那么，
我们就可以用一个带有正负号的数值把矢量的大小和方向都表示出来。为 此，我们沿着矢量所在的直线选定一个正方向（图 3－24），规定凡是方 向跟正方向相同的矢量都取正值，凡是方向跟正方向相反的矢量都取负 值，例如图中 F1=5 牛，F2=-5 牛，F3＝7 牛，F4=-5 牛。这里，根据数值的
正负号就可以知道力的方向；而力的大小等于它们的绝对值，分别是 5 牛，
5 牛，7 牛，5 牛。
■
　　既然同一条直线上的矢量可以用带正负号的数值来表示，它们的运算 就可以简化为代数运算。
（1）如果两个矢量大小相等而且方向相同，如图 3—24 中的 F2 和 F4，
我们就说这两个矢量相等，写成代数式就是 F2＝F4。

　　（2）如果两个矢量大小相等而方向相反，如图 3－24 中的 F1 和 F2， 由于它们只是符号相反，写成代数式就是
F1=-F2。
（3）如图 3－25 所示，设有两个力 F1 和 F2 作用在一个物体上，我们
可以利用加法运算求出合力 F： F＝F1＋F2
＝10 牛+（-6 牛）
＝4 牛。
　　这表示合力的大小是 4 牛，结果是正值，表示合力的方向与选定的正 方向相同。即合力的方向跟两个力中较大的那个力的方向相同。
（4）我们也可以利用减法运算求分力。如图 3－26 所示，已知合力 F
和一个分力 F1，那么，另一个分力
F2＝F-F1
＝8 牛-（-3 牛）
＝11 牛。
这表示 F2 的大小是 11 牛，方向与选定的正方向相同。
　　需要强调指出：只有同一直线上的矢量，它们的运算才可以像上述 那样简化成代数运算 。这是平行四边形定则在这种特殊情况下的运 用。不在同一直线上的矢量，它们的运算不能这样简化成代数运算，仍必 须按照平行四边形定则来进行。
■
　　还要指出的是：这里用带有正负号的数值既表示出矢量的大小，又表 示出矢量的方向；如果专指矢量的大小，就要取绝对值，即矢量的大小总 是正值。本章前面各节中的公式，如公式
f＝kx，
f＝? N，

F＝ F2


? F 2


? 2 F1 F2 cos ? ,

等等都是关于力矢量大小的公式。利用这些公式来计算，其中的各力都取 正值。

本章小结


　　本章学习了有关力的基本知识，是学好力学的基础。一定要确切理解 本章的内容，今后才能学好其他力学知识。
　　（1）什么是力？从力的性质看，力学中经常遇到的有哪几种力？力可 以用哪两种方法来分类？
　　（2）重力是怎样产生的？它的大小和方向是怎样的？什么是物体的重 心？有规则形状的均匀物体，重心的位置在什么地方？
　　（3）弹力是在什么条件下产生的？为什么说拉力、压力和支持力都是 弹力？它们的方向是怎样的？
　　（4）胡克定律的内容是什么？在什么条件下适用？写出胡克定律的公 式。
　　
　　（5）滑动摩擦力是在什么情况下产生的？它的方向是怎样的？怎样计 算它的大小？写出计算公式。
　　（6）静摩擦力是在什么情况下产生的？它的方向是怎样的？什么叫最 大静摩擦力？
　　（7）力的合成要按照什么定则来进行？这个定则的内容是什么？写出 计算合力大小和方向的公式。
　　（8）为什么力的分解和合成遵守相同的定则？一个力，如果知道它的 一个分力的大小和方向，或者知道两个分力的方向，这个力的分解有没有 确定的答案？
　　（9）矢量和标量有什么不同？矢量加法要按照什么定则来运算？同一 直线上的矢量是怎样运算的？

习 题 A 组

　　（1）下述物体（箭、足球、木箱）各受哪几个力的作用？各是什么性 质的力？力的方向如何？画出受力示意图。
a．竖直向上射出去的箭。
b．被足球运动员踢出后凌空飞行中的足球。
c.用水平绳拉着在光滑水平面上滑动的木箱。
（2）一弹簧秤用绳 a 挂在天花板上，下端通过绳 b 挂一个砝码（图
3-27）。弹簧秤受几个力的作用？各是哪个物体对它的作用？各是什么性 质的力？力的方向如何？画出物体受力示意图。
■
　　（3）重 100 牛的木箱放在水平地面上，最少用 40 牛的水平推力才能 推动它，当它在水平地面上运动时，用 38 牛的水平推力即可维持木箱做匀 速运动。木箱与地面间的最大静摩擦力为 牛；木箱与地面间的动 摩擦因数为 ；当木箱静止时，用 20 牛的水平推力推它，则木箱
受 摩擦力，大小为 牛；当用 80 牛的水平推力推木箱
时，木箱受 摩擦力，大小为 牛；撤去推力，而木箱仍 在运动时，木箱受 摩擦力，大小为 牛。
（4）画出图 3-28 各图中物体 A 所受摩擦力的方向，并注明是静摩擦
还是滑动摩擦。
■
a．A 在拉力 F 作用下，静止于水平面上。
b．A 向右滑动。
c．A 静止于斜面上。
d．A 在压力作用下静止于竖直墙面上。
（5）一个物体受两个力 F1 和 F2 的作用，F 是 F1 和 F2 的合力，则以下
说法正确的是：
A．力 F 跟 F1 和 F2 的共同作用是等效的。
B．物体受 F1、F2 和 F 三个力的作用。

C．力 F 一定比 F1 和 F2 都大。
D．力 F 随 F1 与 F2 之间夹角的增大而增大。
　　（6）两个人共提一桶水，提绳间的夹角大些省力，还是小些省力？说 明理由。用橡皮筋做个简单实验来证明你的结论。
　　（7）如图 3-29 所示，为了防止电线杆倾倒，常在两侧对称地拉上钢 绳。设两条钢绳间的夹角是 60°，每条钢绳的拉力都是 300 牛，求两条钢 绳作用在电线杆上的合力。
■

B 组


（1）下列说法中正确的是： A．两个互相接触的物体之间一定有弹力作用。 B．一个物体静止在另一个物体的表面上，它们之间一定不存在摩擦力
的作用。 C．两物体之间如果有弹力的作用，就一定有摩擦力的作用。 D．两物体之间如果有摩擦力的作用，就一定有弹力的作用。
（2）一根质量为 m、长度为 l 的均匀长方体木料放在水平桌面上。木
料与桌面间的动摩擦因数为μ。现用水平力 f 推木料，当木料经过图 3-30 所示的位置时，桌面对木料的滑动摩擦力等于 。
■
（3）图 3-31 表示用平行四边形法则求三个共点力 F1、F2、F3 的合力
F。先求出 F1 和 F2 的合力，再求出这个合力与 F3 的合力 F。改用三角形法
求出这三个力的合力。改变求和的顺序，再分别用平行四边形法则和三角 形法求出这三个力的合力。
■
　　（4）20 牛、30 牛和 40 牛的三个力作用于物体的一点，它们之间的夹 角都是 120°。求合力的大小和方向。
（5）有一根弹簧，受到 20 牛的拉力时长 10.5 厘米，再增加 60 牛的
拉力，弹簧又伸长 1.5 厘米。求该弹簧的劲度和原长。

第四章 直线运动


　　在我们周围，到处都可以看到物体的运动。河水在奔流，鸟儿在飞翔， 树叶在飘落，车辆在行驶，机器在运转??。自然界的一切物体都在不停 地运动。通常我们认为不动的物体，比如高山、桥梁、房屋等等，也随着 地球一起运动。太阳在银河系中也在不停地运动。放在桌上不动的课本， 不但随着地球一起运动，内部的分子、原子也在不停地运动着。宇宙中的 一切，大到天体，小到分子、原子都处在永恒的运动中。
物体相对于其他物体的位置变化，叫做机械运动，常简称为运动。 物体的运动是千差万别的，我们从哪里开始研究呢？这一章我们从最
基本、最简单的直线运动入手，学会怎样描述运动。在学习过程中，我们 可以体会到物理学研究问题的一些方法，这对今后的学习是十分重要和有 益的。

一、机械运动


　　参考系 既然一切物体都在运动，我们观察和研究一个物体运动的时 候，就必须选定某个另外的物体作为标准，参考这个标准来进行研究。例 如，我们说房屋、树木是静止的，行驶的汽车是运动的，这是以地面作标 准来说的。坐在行驶的火车车厢里的乘客，认为自己是静止的，在车厢里 走动的乘务员是运动的，路旁的树木在向后倒退，这是以车厢作标准来说 的。在描述一个物体的运动时，选来作为标准的另外的物体，叫做参考系。
■
　　同一个运动，如果以不同的物体作为参考系，观察的结果可能不同。 坐在行驶的火车车厢里的乘客，如果以车厢作参考系，他是静止的；如果 以地面作参考系，他是随同车厢一起运动的。从匀速航行的船的桅杆上落 下一个物体，船上的观察者以船作参考系，看到这个物体是竖直下落的（图
4-1 甲）；岸上的观察者以地面作参考系，看到这个物体是沿着曲线下落 的（图 4-1 乙）。
　　原则上说，研究一个物体的运动时，参考系是可以任意选取的。观察 在河里游泳的人的运动，可以选取河岸作参考系，也可以选取在河上航行 的船只作参考系。研究天体的运动，可以选取地球作参考系，也可以选取 太阳作参考系。但是，实际选取参考系的时候，往往要考虑研究问题的方 便，使对运动的描述尽可能简单。比如，研究太阳系中行星的运动，太阳 是理想的参考系，研究地面上物体的运动，一般来说取地面或者其他相对 于地面不动的物体作参考系比较方便。


平常我们说，太阳升起和落下，是用什么作参考系的？


　　质点 研究物体的运动，第一步是确定物体的位置。物体都有一定的 大小和形状，物体的不同部分在空间的位置并不相同。在运动中，物体的 各部分的位置变化一般来说也是各不相同的。所以，要详细描述物体的位 置及其变化，并不是一件简单的事情。但是，在某些情况下，却可以不考 虑物体的大小和形状，而使问题简化。一列火车从北京开往天津，当我们 讨论火车的运行速度或运行时间这类问题时，由于列车的长度比北京一天 津间的距离小得多，就可以不考虑列车的长度。射出的炮弹，落下的雨滴， 当我们讨论它们的运动情况时，由于它们的大小比它们运动的空间范围小 得多，就可以不考虑它们的大小和形状。在这些情况下，我们可以把物体 看作一个有质量的点，或者说，可以用一个有质量的点来代替整个物体。 用来代替物体的有质量的点叫做质点。
　　一个物体可否视为质点，这要看问题的具体情况而定。研究一列火车 在两地间运行，如前所述，可以把列车视为质点。如果研究列车通过某一 标志所用的时间，就必须考虑列车的长度，而不能把列车视为质点。研究 地球的公转时，由于地球的直径（约 1.3×104 千米）比地球和太阳之间的 距离（约 1.5×108 千米）小得多，因而可以忽略地球的大小和形状，把它 当作质点。可是研究地球的自转时，我们却不能忽略地球的大小和形状， 当然不能把地球当作质点了。
运动的质点通过的径迹，叫做质点运动的轨迹。铅笔尖在纸上划过后，

留下的痕迹就是铅笔尖的运动轨迹。质点运动的轨迹是直线的叫做直线运 动，是曲线的叫做曲线运动。这一章研究直线运动。


　　　自然界中任何一种事物及其运动变化，都是比较复杂的。研究问题，要暂时撇开 起作用很小的次要因素，抓住主要因素。例如，如果物体的形状和大小在所研究的问题 中起的作用很小，我们就可以暂时撇开它，而把物体看作是一个有质量的点，即质点。 质点这个概念，以及前面讲过的光线的概念等，都是一种科学的抽象，一种理想化模型。

练习一


　　（1）两辆在公路上直线行驶的汽车，它们的距离保持不变，试说明用 什么物体作参考系，两辆汽车都是静止的，用什么物体作参考系，两辆汽 车都是运动的。此时能否找到这样一个参考系，一辆汽车对它是静止的， 另一辆汽车对它是运动的？为什么？
　　（2）研究自行车轮绕车轴的运动，能不能把自行车当作质点？研究在 马路上行驶的自行车的速度，能不能把自行车当作质点？
　　
二、位置变动的描述 位移


　　研究物体的运动，就是要知道物体的位置怎样随时间而变动。这一节 先介绍时间和时刻的概念，然后学习怎样描述位置的变动。
　　时间和时刻 比如上午 8 时开始上课，到 8 时 45 分下课，这里的 8 时和 8 时 45 分就是这一节课开始和结束的时刻，这两个时刻之间相隔 45 分钟，就是上课所经历的时间。
■
　　用时间轴上的点表示时刻，表示时刻的两点之间的距离就表示所经历 的时间。图 4-2 就是将上午第一节和第二节课的上、下课的时刻标在时间 轴上。时间轴上开始计时的时刻可以根据问题的需要任意确定。
　　时间的法定计量单位是秒、分、时。在实验室中常用停表来测量时间。 在比较精确地研究物体的运动情况时，需要测量和记录很短的时间，在学 校的实验室中常用打点计时器和频闪照相的方法来测量，我们在学生实验 中就要练习使用打点计时器。


我国运动员王军霞在万米比赛中，以 29 分 31．78 秒的成绩打破了该项世界记录。 这个成绩的数据是时间还是时刻？
从北京开往天津的某次列车，每天 15 时 25 分开车，这指的是时间还是时刻？


　　位移 由北京去上海，你可以选择不同的交通路线，可以乘火车，也 可以乘飞机，还可以先乘火车或汽车再换乘轮船，这些公路、铁路及空中 或海上航线的长度都不相同，但是就位置的变动来说，你总是由初位置北 京到达东南方向直线距离约 1080 千米的上海（图 4-3）。
在物理学中用一个叫做位移的物理量来表示质点的位置变动。设质点
由初位置 A，经过一段时间运动到末位置 B，从初位置 A 指向末位置 B 的有 向线段 AB，就可以用来表示质点在这段时间内发生的位移。有向线段的长 度表示位移的大小，有向线段的方向表示位移的方向。位移既有大小，也 有方向，所以它和力一样，也是矢量，通常用 s 表示位移。
位移和路程不同，路程是质点实际运动轨迹的长度。在图 4-3 中，质
点的位移是有向线段 AB，而路程是曲线 ACB 或 ADB 的长度。路程只有大小 没有方向，是标量。


城市内的出租汽车，司机是按位移还是按路程收费的？ 在什么样的运动中位移的大小和路程总相等？

练习二


　　（1）火车站服务处都有《旅客列车时刻表》出售，它为什么不叫做《时 间表》？
　　（2）田径场跑道周长是 400 米。一位运动员在进行 100 米短跑时，选 用跑道的直道部分，他跑完全程的路程是多大？位移是多大？在进行 800 米跑时，他跑完全程的路程是多大？位移是多大？
（3）一位同学沿着东西方向的马路向西走了 400 米，买了信封、信纸，

又向东走了 100 米来到邮局。他总共走了多少路程？位移是多大？位移的 方向如何？
　　（4）一辆汽车向东行驶了 40 千米，又向南行驶了 30 千米，求汽车位 移的大小和方向。
　　
三、位移和时间的关系


　　匀速直线运动 质点在运动过程中，它的位置随时间而不断变动，位 移也随时间而不断改变。例如，我们研究一辆汽车在一段笔直公路上运动 的情况，可以在公路旁每隔 100 米站一名拿着秒表的观测者，记下汽车到 达每个观测者的时间（图 4-4）。测量的结果如下表所示。
■

时间（秒） 0 4.9 10.0 15.1 19.9 位移（米） 0 100 200 300 400

从这些数据我们看出，在误差允许的范围内，在相等的时间里汽车的
位移是相等的。在每 5 秒的时间里位移都是 100 米，在每 10 秒的时间里位 移都是 200 米，等等。
　　物体在一条直线上运动，如果在相等的时间里位移相等，这种运 动就叫做匀速直线运动。
　　在匀速直线运动中，既然在相等的时间里位移相等，如果在时间 t 内 的位移是 s，在时间 2t 内的位移就是 2s，在时间 3t 内的位移就是 3s 等等， 即位移 s 跟发生这段位移所用的时间 t 成正比，位移 s 是时间 t 的正比函 数。
我们还可以用图象来表示位移和时间的关系。在平面直角坐标系中，
用纵轴表示位移 s，用横轴表示时间 t，根据上述汽车运动的数据，在坐标 平面上标出表示（4.9，100）、（10.0，200）、（15.1，300）、（19.9，
400）的点，可以看出各个点几乎都在一条通过原点的直线上（图 4-5）。
画出这条直线，从学过的数学知识我们知道，这正是正比函数的图象。
■
这种图象叫做位移-时间图象（s-t 图象），有时简称位移图象。
　　变速直线运动 我们日常看到的直线运动，往往不是匀速直线运动。 飞机起飞的时候，运动越来越快，在相等的时间里位移不相等。火车进站 的时候，运动越来越慢，在相等的时间里位移也不相等。
物体在一条直线上运动，如果在相等的时间里位移不相等，这种
运动就叫做变速直线运动。变速直线运动的位移图象不是直线，而是曲 线。这一章我们着重研究变速直线运动。


在物理学中，物理量之间的关系可以用公式来表示，也可以用图象来表示。s-t
图就是一种图象表示。 图象可以一目了然地表示出物理量之间的变化情况，便于从总体上认识过程的特
点。比如，由描述物体运动的 s-t 图是不是一条直线，就可以判断该物体是不是做匀速 直线运动。利用图象可以比较方便地处理实验（或观测）结果，找出事物的变化规律。
图 4-5 就是由观测汽车运动的数据，找出汽车运动的规律的。

练习三

（1）根据课文中给出的汽车运动的数据表，请你判断：汽车在每秒内

发生的位移是多大？这辆汽车继续匀速行驶，从计时开始经过 60 秒行驶的 距离是多长？
　　（2）图 4-6 是一架民航飞机的位移图象。从这个图象求出飞机在 30 分钟内的位移，以及飞行 700 千米所用的时间。
■
　　（3）图 4-7 是一辆火车运动的位移图象。线段 OA 和 BC 表示火车做什 么运动？线段 AB 与横轴平行，表示火车做什么运动？火车在 3 小时内的位 移是多少？通过 80 千米用多长时间？
　　
四、运动快慢的描述 速度


　　速度 不同的运动，快慢程度并不相同，有时相差很大。要比较物体 运动的快慢，可以有两种办法。一种是在位移相同的情况下，比较所用时 间的长短，时间短的，运动得快。比如在百米竞赛中，运动员甲用 10 秒跑 完全程，运动员乙用 11 秒跑完全程，甲用的时间短，跑得快。另一种是在 时间相同的情况下，比较位移的大小，位移大的，运动得快。汽车 A 在 2 小时内行驶 80 千米，汽车 B 在 2 小时内行驶 170 千米，汽车 B 运动得快。 那么，运动员甲和汽车 A，哪个快呢？这就要找出统一的比较标准。如果 我们算出它们各自在单位时间内（如每秒内）的位移，就便于比较了。运 动员甲每秒内位移等于 100 米/10 秒=10 米/秒。汽车 A 每秒内位移等于 80
×103 米/2×3600 秒=11 米/秒。可见，汽车 A 运动得快。这样，为了比较 运动的快慢，我们引入速度的概念。
　　速度是表示运动快慢的物理量，它等于位移 s 跟发生这段位移所 用时间 t 的比值。用? 表示速度，则有
s
? ? .
t
　　在国际单位制中，速度的单位是米/秒，读作“米每秒”，符号是 m/s。 常用的单位还有千米/时、厘米/秒等等。
速度不但有大小，而且有方向，是矢量。速度的大小在数值上等于单
位时间内位移的大小，在直线运动中，速度的方向跟运动的方向相同。 在匀速直线运动中，位移 s 跟发生这段位移所用的时间 t 成正比，比
值? = s 是恒定的。从学过的数学知识知道，? = s = tgθ，其中θ为位移
t t
图象中直线的倾角（见图 4-5），tg? 为直线的斜率。这就是说，在匀速 直线运动中，速度的大小在数值上等于位移图象中直线的斜率。在同一 坐标平面上，直线的斜率越大，表示速度越大。
在变速直线运动中，比值 s 不再是恒定的，而跟在哪一段时间内计
t
算这个比值有关。图 4-8 是根据测量结果作出的某一变速直线运动的位移
图象。在这个运动中，由时刻 t5=5 秒到时刻 t10＝10 秒这段时间 t＝
s
t 10 - t 5 = 5秒内，发生的位移s = （10.0 - 2.5）米 = 7.5米，比值 t = 1.5
米／秒。它在数值上等于图 4-8 中割线 AB 的斜率。设想在这 5 秒时间内物 体是匀速地通过这 7.5 米，这个匀速直线运动的速度就等于 1.5 米／秒。
比值 s 这时表示的是这5秒内平均的快慢程度，叫做平均速度，通常用?
t
来表示。
同样，我们可以算出上述运动中，由时刻 t5＝5 秒到时刻 t8=8 秒这 3
秒时间内物体的平均速度?＝1.2米 / 秒，由时刻t 5 = 5秒到时刻t 6 = 6
秒这1秒时间内的平均速度? = 1.1米／秒。它们在数值上分别等于相应割
线的斜率。
　　瞬时速度 用设想的匀速直线运动代替实际的变速直线运动，这样求 得的平均速度只能粗略地描述这段时间内物体做变速直线运动的快慢。但
　　
是，时间取得越短，割线越靠近曲线，设想的匀速运动就越接近实际的变 速运动，求得的平均速度就能越精确地描述变速运动的快慢。
图 4-9 是图 4-8 中一部分的放大图。我们看到，在由时刻 t5=5.0 秒到
t5.1=5.1 秒这段短时间内，设想的匀速运动已经相当接近实际的变速运
动，
这段时间内的平均速度?＝（2.6 - 2.5）米 / 0.1秒 = 1.0米 / 秒。这个平均
速度已经可以相当精确地描述物体经过 t＝5 秒这一时刻的快慢。实际上， 当时间足够短时，测量仪器就分辨不出变速运动和匀速运动的差别，即使 再缩短时间，测得的平均速度也不会有什么变化，这个平均速度就可以用 来表示物体经过某一时刻的速度。
物体经过某一时刻（或某一位置）的速度，叫做瞬时速度。 随着所取时间的缩短，图 4-9 中过 A 点的割线越来越接近过 A 点的切
线（你自己用直尺在图上比比看）。物体经过 t＝5.0 秒这一时刻的瞬时速 度的大小在数值上等于过 A 点的切线的斜率。瞬时速度的大小叫做瞬时速 率，有时简称速率。
　　技术上通常用速度计来测瞬时速度，图 4-10 表示汽车中的速度计。指 针所指的数值，就是某时刻汽车的瞬时速率。乘汽车的时候，注意一下司 机面前的速度计就会看到，指针所指的数值随着行驶快慢的变化而改变。


　　　子弹以 900 米／秒的速度从枪筒射出，这里指的是平均速度还是瞬时速度？汽车 在北京长安街上行驶，有时快，有时慢，20 分钟行驶了 18 千米，汽车的行驶速度是 54 千米／时，这里指的是什么速度？

·小实验·

模拟打点计时器


　　你左手拿着一块表，右手拿着一支彩色画笔，当你的同伴沿着直线牵 动一条纸带，使纸带在你的笔下向前移动的时候，每隔 1 秒你用彩色画笔 在纸带上点一个点。你还可以练习在每秒内用彩色画笔在纸带上均匀地点 上两个点。这样，就做成了一台“打点计时器”（图 4-11）。
想一想，彩色画笔点出的两个相邻的点表示多长的时间？纸带上两个
点之间的距离跟牵动纸带的快慢有什么关系？牵动纸带的快慢不均匀，对 相邻两点所表示的时间有影响吗？
　　用这台“打点计时器”，测量你的同伴步行时或其他物体运动时的平 均速度。

练习四


　　（1）两根路灯杆相距 50 米，一辆汽车用 4 秒时间驶过这两杆之间， 据此可以算出汽车在这段时间内的 速度为 千米/时。如果离 其中一根灯杆 0.60 米处有一站牌，汽车驶过站牌与这根灯杆之间只用了
0.05 秒，则我们可以认为汽车通过站牌时的 速度为 米/秒。

（2）图 4-12 是两个匀速直线运动的位移图象。哪条直线的斜率 tg?
大？各是多大？哪条直线所表示的运动的速度大？各是多大？
　　（3）一辆汽车，起初以 30 千米/时的速度匀速行驶了 30 千米，然后 又以 60 千米/时的速度匀速行驶了 30 千米。一位同学认为这辆汽车在这
60 千米中的平均速度是 1 （30＋60）千米 / 时＝45千米 / 时。这个结果
2
对不对？
　　（4）骑自行车的人沿着坡路下行，在第 1 秒内通过 1 米，在第 2 秒内 通过 3 米，在第 3 秒内通过 5 米，在第 4 秒内通过 7 米。求最初两秒内、 最后两秒内以及全部运动时间内的平均速度。
（5）用飞机进行航空测量，飞机离地高度保持 500 米，巡航速度为
400 千米时，飞机上测量仪器可在 120°视角范围内测量（图 4-13）。飞 机每小时测量的覆盖面积是多大？
■
（6）雨滴受风的影响斜向东降落，设雨滴运动方向跟竖直方向成 30
°角，速度的大小是 5 米/秒。选择适当标度，作出雨滴的速度矢量的图示。

五、速度和时间的关系


　　匀速直线运动的速度是恒定的，不随时间而改变。如果我们在平面直 角坐标系中用纵轴表示速度，横轴表示时间，做出它的速度-时间图象（v-t 图象，简称速度图象），可以看出它是与横轴平行的直线（图 4-14）。
　　变速直线运动的瞬时速度随着时间而改变。如果坐在汽车驾驶员旁 边，在汽车做变速运动的时候，注视速度计，记下间隔相等的各时刻的速 度值，根据记录的数据就可以做出汽车的速度图象。下面是一次观测的数 据，以及由这些数据作出的速度图象。

时 刻（秒） 速度（千米／时） 0
5
10
15 20
31
40
49

■
从数据可以看出，在误差允许的范围内，汽车每隔 5 秒钟，速度增加
10 千米/时，即在相等的时间内，速度的改变是相等的。它的速度图象是 一条倾斜的直线（图 4-15）。
在变速直线运动中，如果在相等的时间内速度的改变相等，这种
运动就叫做匀变速直线运动。 上述汽车的运动是匀变速直线运动，它的速度随着时间而均匀增加，
通常叫做匀加速直线运动。图 4-16 所示的运动，也是匀变速直线运动，
它的速度随时间而均匀减小，通常叫做匀减速直线运动。 常见的变速直线运动，速度不一定是均匀改变的，是 非匀变速直线运
动，它的速度图线不是直线，而是曲线（图 4-17）。可是，不少变速运动
很接近于匀变速运动，可以当作匀变速运动来处理。例如，发射炮弹时炮 弹在炮筒里的运动，火车、汽车等交通工具在开动后或停止前的一段时间 内的运动，石块从不太高的地方下落的运动，石块被竖直向上抛出后向上 的运动等，都可以看作匀变速直线运动。


　　图 4-17 一般变速直线运动的速度图象。这个图象表示一辆汽车从静 止开始做加速运动。在 0～1 秒的时间之内，曲线与直线非常接近，可以看 作匀加速直线运动。在 1～8 秒的时间内汽车做非匀变速直线运动。8 秒后 汽车做什么运动？

练习五


　　（1）有两个物体，从同一点开始向相同方向做匀速直线运动，速度分 别是 3 米/秒和 5 米/秒，画出它们的位移图象和速度图象，并根据这两种 图象分别求出它们在 5 秒内的位移。
■
（2）图 4-18 所示的几个速度图象分别描述的是什么运动？

　　（3）图 4-19 是一个物体运动的速度图象。请你根据此图说出物体在 这 1 分钟内各阶段的运动情况。
　　（4）图 4-20 是一个物体运动的位移图象，请你根据此图说出物体在 这 1 分钟内各阶段的运动情况。
■

六、速度改变快慢的描述 加速度


　　不同的变速运动，速度改变的快慢是不同的。火车进站时速度减小得 很慢，在较长时间内速度改变不多；汽车在急刹车时速度减小得很快，在 很短时间内，速度改变很大。怎样描述速度改变的快慢呢？运动员投出铅 球时，铅球的速度可以在 0.2 秒内由零增加到 17 米/秒，它每秒速度的增
(17 ? 0) 米 / 秒

加等于

0.2秒

= 85米 / 秒 2 。迫击炮射击时，炮弹在炮筒中的速度

在 0.005 秒内就可以由零增加到 250 米/秒，每秒速度的增加等于
(250 - 0)米 / 秒

0.005秒

= 5×10 4 米 / 秒 2 。可见，炮弹的速度改变比铅球的速度改

变要快得多。为了描述速度改变的快慢，我们引入加速度的概念。 加速度是表示速度改变快慢的物理量，它等于速度的改变跟发生 这一改变所用时间的比值。用? 0 表示物体开始时刻的速度（初速度），
用? t 表示经过一段时间 t 的速度（末速度），速度的改变量△? =? t-
? 0。用 a 表示加速度，那么
? ? ?
a ? t 0 .
t
　　在国际单位制中，加速度的单位是米/秒 2 ，读作“米每二次方秒”， 符号是 m/s2。常用的单位还有厘米/秒 2。
加速度不但有大小，而且有方向，也是矢量。加速度的大小在数值上
等于单位时间内速度的改变量。加速度的方向始终跟速度的改变量的方向 一致（图 4-21）。在变速直线运动中，速度的方向始终在一条直线上，取 初速度? 0 的方向为正方向，如果速度增大，末速度? t 大于初速度? 0，速 度的改变量△? =? t-? 0＞0，加速度是正值，这里加速度的方向跟初速度
? 0 的方向相同（图 4-21 甲）；如果速度减小，△? =? t-? 0＜0，加速度 是负值，这时加速度的方向跟初速度? 0 的方向相反（图 4-21 乙）。
在匀变速直线运动中，速度是均匀变化的，比值 ? t ? ?0 是恒定的，
t
加速度的大小不变，方向也不变，因此，匀变速直线运动是加速度不变的 运动。
物体运动的加速度（米/秒 2 ）
炮弹在炮筒内 5 × 105 竞赛汽车（加速） 4.5 跳伞者着陆 -24.5 汽车（加速）可达 2 喷气式飞机着陆 -5 ～-8 无轨电车（加速）可达 1.8 汽车急刹车 -4 ～-6 旅客列车（加速）可达 0.35


匀变速运动的速度图象是一条倾斜的直线，它的斜率在数值上等于加
速度的大小。图4-15所示的运动，? 0=20千米/时=5.6米/秒，加速度a=0.56
米/秒 2。在图 4-16 所示的运动中，? 0=5 米／秒，加速度 a=-1 米/秒 2。
在同一坐标平面上，直线的斜率越大，表示加速度越大。

加速度为零的运动是什么运动？ 有人说：速度越大，加速度也越大。这话对吗？举几个例子说明你的看法。


对非匀变速直线运动来说，比值 ? t ? ?0 不是恒定的。类似于平均速
　　　　t
度和瞬时速度的概念，需要引入平均加速度和瞬时加速度的概念。对此， 我们就不讨论了。


　　　速度等于位移和时间的比值，因而速度是位置对时间的变化率。加速度等于速 度的变化和时间的比值，因而加速度是速度对时间的变化率。所谓某一个量对时间的 变化率，是指单位时间内该量变化的数值。变化率表示变化的快慢，不表示变化的大 小。
速度大，加速度不一定也大。比如匀速飞行的高空侦察机，尽管它的速度能够接
近 1000 米/秒，但它的加速度为零。相反，速度小，加速度也可以很大。比如枪筒里 的子弹，在扣动扳机火药刚刚爆发的时刻，尽管子弹的速度接近于零，但它的加速度 可以达到 4×105 米/秒 2。

练习六


　　（1）速度为 18 米/秒的火车，制动后 15 秒停止运动。求火车的加速 度。
（2）枪筒内的子弹在某一时刻的速度是 100 米/秒，经过 0.0015 秒速
度增加到 700 米/秒。求子弹的加速度。
（3）汽车的加速性能是反映汽车质量的重要标志。汽车从一 定的初速度? 0 加速到一定的末速度? t，用的时间越少，表明它的 加速性能越好。下表是三种型号汽车的加速性能的实验数据，求
它们的加速度。

汽车型号 初速度 ?t
(千米/时） 末速度 ?0
（千米/时） 时间 t
（秒） 加速度 a
（米/秒 2 ） 某型号高级轿车 20 50 7 某型号 4 吨载重汽车 20 50 38 某型号 8 吨载重汽车 20 50 50

（4）图 4-22 中的直线①和②分别表示两个匀加速直线运动的速度图
象。它们的初速度各是多大？它们哪个的加速度大？经过多长时间它们的 速度相同？

七、匀变速直线运动的规律


　　速度和时间的关系前面我们已经用速度图象表示出速度和时间的关 系，引入了加速度这个物理量，这种关系就可以用公式来表示。匀变速直
?t ? ? 0
线运动的加速度是恒定的，由加速度公式a = 得到
t
? t=? 0+at。 （1）
　　这是匀变速直线运动的速度公式，它表示出了匀变速直线运动的速度 和时间的关系。? t 是 t 的一次函数，从学过的数学知识知道，它的函数图 象是倾斜的直线，这正是前面学过的匀变速运动的速度图象。直线在纵轴 上的截距等于? 0，直线的斜率等于加速度的大小。
　　位移和时间的关系 匀速直线运动的位移可以用位移公式 s＝? t 求 出，也可以利用速度图象求出。设某一匀速运动的速度? ＝3 米/秒，在 t
＝5 秒内发生的位移 s＝? t＝15 米。位移的数值等于图 4-23 中画有斜线 的长方形的“面积”，即等于线段 OB 的“长度”（3 米/秒）乘以线段 OA 的“长度”（5 秒）。
我们也可以利用速度图线来求做匀变速直线运动的物体在时间 t 内的
位移。设想把时间 t 分成许多小的时间间隔，在每一个小的时间间隔内物 体都做匀速运动，而从一个时间间隔到下一个时间间隔，速度跳跃性地增 加。也就是用图 4-24 甲中折线 AA′BB′CC′??所表示的设想的运动， 代替由直线 AP 所表示的真实的匀变速运动。这种设想的运动，每一个小的 时间间隔内的位移，数值上等于相应时间间隔的图线下方的一条矩形的面 积；在时间 t 内的位移，在数值上等于折线下方画有斜线部分的面积。时 间间隔分得越细，设想的运动就越接近真实的运动（图 4-24 乙）。当时间 间隔分割得足够小时，折线趋近于直线 AP，设想的运动就代表了真实的运 动。由此可以求出匀变速运动在时间 t 内的位移，它在数值上等于直线 AP
下方的梯形 OAPQ 的面积（图 4-24 丙）。这个面积 S＝S1＋S2＝OA×OQ

1 1
? 2 AR×RP = ?0 t + 2


at 2


。即位移

s ? ? t ? 1 at 2
0 2





. ( 2 )

　　这就是匀变速直线运动的位移公式，它表示出匀变速直线运动的位移 和时间的关系。


　　　上述推理中，以及前面讲瞬时速度时，都用到无限分割逐渐逼进的方法，这是高 等数学的基本思想之一，我们要注意领会。

位移和速度的关系 由（1）（2）两式消去 t，得到
2 ? ?2 ? 2as. ( 3)
　　在有些问题中，没有给出或者不涉及时间 t，应用（3）式求解比较方 便。
【例题】一个滑雪的人，从 85 米长的山坡上匀变速滑下，初速度是
1.8 米/秒，末速度是 5.0 米/秒，他通过这段山坡需要多长时间？

分析和解答已知三个物理量：? 0＝1.8 米/秒，? t＝5.0 米/秒，s＝
85 米。单独用（1）式或（2）式都不能求得未知量 t，需用（1）（2）两 式联立求解。（1）（2）两式中共有五个量，已知其中三个量，可求得另 外两个未知量 a 和 t。本题不要求解出 a，消去 a，解出 t，即可求得答案。
由（1）式可得 at＝? t－? 0，代入（2）式中得
1
s ? ?0 t ? 2 (? t ? ?0 )t
1
? ( ? ? ? )t. ( 4 )
2 0 t
解出 t，代入数值得到

2s
t =
?0 ? ? t


= 25秒.

设一个做匀变速直线运动的物体在时间 t 内的位移为 s，那么，在这
段时间内的平均速度??＝s / t。将（4）式代入可得
1

? ? (?
2 0

? ?t ).

　　上式表示：在匀变速直线运动中，某段时间内的平均速度等于这段时 间的初速度和末速度的平均值。要注意这个结论只适用于 匀变速直线运 动。


　　　我们要善于应用学过的数学知识处理物理问题，有意识地培养这方面的能力。在 用代数知识求解未知量时，一般可先进行文字运算，得出用已知量表达未知量的关系 式，然后进行数值计算。这样能够清楚地看出未知量与已知量的关系，进行数值计算 也往往比较简便。

练习七


　　（1）机车原来的速度是 36 千米/时，在一段下坡路上加速度为 0.20 米/秒 2。机车行驶到下坡末端，速度增加到 54 千米/时。求机车通过这段 下坡路所用的时间。
（2）一辆做匀变速运动的汽车，初速度是 34 千米/时，4.0 秒末速度
变为 42 千米/时。如果保持加速度不变，6.0 秒末、7.0 秒末的速度是多大？
（3）匀变速运动的加速度是-4.0 米/秒 2。在某一时刻，速度为 20 米
/秒。试求这一时刻后 4.0 秒末和 5.0 秒末的速度。
　　（4）钢球在斜槽上做初速度为零的匀变速运动，开始运动后 0.2 秒内 通过的路程是 3.0 厘米，1 秒内通过的路程是多少？如果斜面长 1.5 米， 钢球由斜面顶端滚到底端需要多长时间？
　　（5）飞机着陆后做匀变速运动，速度逐渐减小。已知初速度是 60 米/ 秒，加速度的大小是 6.0 米/秒 2，求飞机着陆后 5.0 秒内通过的路程。
（6）一辆汽车原来匀速行驶，然后以 1.0 米/秒 2 的加速度加快行驶，
经 12 秒行驶了 180 米。汽车开始加速时的速度是多大？
　　（7）以 18 米/秒的速度行驶的汽车，制动后在 3.0 秒内前进 36 米， 求汽车的加速度。
　　
　　（8）飞机着陆后做匀减速运动，初速度是 60 米/秒，加速度是 6.0 米/秒 2。飞机着陆后要滑行多远才能停下来？
　　（9）一辆卡车，它急刹车时的加速度的大小是 5.0 米/秒 2。如果要 求它在急刹车后 22.5 米内必须停下，它的行驶速度不能超过多少千米/ 时？
　　（10）从长 3.0 米的斜面顶端由静止滚下来的小球，末速度是 2.5 米/ 秒，求小球滚动所用的时间。
　　
八、自由落体运动


　　自由落体运动 物体下落的运动是一种常见的运动。挂在线上的重 物，如果把线剪断，它就在重力的作用下沿着竖直方向下落。从手中释放 的石块，在重力的作用下也沿着竖直方向下落。显然，物体下落的运动是 直线运动。
不同物体下落的快慢是否相同呢？ 在同一高度同时释放面积相等的一金属片和一张纸片，可以看到金属
片比纸片下落得快。从这里似乎可以得到结论：物体下落的快慢是由它们 所受重力的大小决定的，物体越重，下落得越快。16 世纪以前，许多学者 就是这样看的。其实，这个结论是错误的，它没有考虑空气阻力的影响。 纸片比金属片轻，空气阻力对它的影响比较大，所以才下落得慢。把纸片 团成一个小纸团，再让它和金属片同时下落，由于纸团受到的空气阻力要 比纸片受到的空气阻力小得多，纸团和金属片几乎是同时落地的。
　　拿一个长约 1.5 米，一端封闭，另一端有开关的玻璃筒（图 4-25）， 把形状和质量都不同的一些物体，如金属片、小羽毛、小软木塞、小玻璃 球等，放到这个玻璃筒里。如果玻璃筒里有空气，把玻璃筒倒立过来以后， 这些物体下落的快慢不同。如果把玻璃筒里的空气抽出去，再把玻璃筒倒 立过来，这些物体下落的快慢就相同了。
物体只在重力作用下从静止开始下落的运动，叫做自由落体运动。这
种运动只有在没有空气的空间里才能发生。在有空气的空间里，如果空气 阻力的作用比较小，可以忽略不计，物体的下落也可以看做自由落体运动。
图 4-26 是自由落体（小球）的频闪照相的照片，照片上相邻的像是相
隔同样的时间拍摄的。从照片上可以看出，在相等的时间间隔里，小球下 落的位移越来越大，表明小球的速度越来越大，即小球是在做加速运动。 伽利略仔细研究过物体下落的运动以后指出：自由落体运动是初速
度为零的匀加速运动。
　　自由落体加速度 在同一地点，从同一高度同时下落的物体同时到达 地面。这就是说，这些初速度为零的匀加速运动，在相同的时间里发生了 相等的位移，所以它们的加速度必定相同。
■
　　在同一地点，一切物体在自由落体运动中的加速度都相同。这个加 速度叫做自由落体加速度，也叫做重力加速度，通常用 g 来表示。
　　重力加速度 g 的方向总是竖直向下的，它的大小可以用实验的方法来 测定。
　　
重力加速度的数值（米/秒 2 ）
标准值： g ＝ 9.80665 米/秒 2
地 点 纬 度 重力加速度 赤 道
广 州
武 汉
上 海
东 京
北 京
纽 约
莫斯科
北 极 0 °
23 ° 06 ′
30 ° 33 ′
31 ° 12 ′
35 ° 43 ′
39 ° 56 ′
40 ° 40 ′
55 ° 45 ′
90 ° 9.780
9.788
9.794
9.794
9.798
9.801
9.803
9.816
9.832


精确的实验发现，在地球上不同的地方，g 的大小是不同的。在赤道 g
＝9.780 米/秒 2，在北京 g＝9.801 米/秒 2。在通常的计算中，可以把 g
取做 9.8 米/秒 2。在粗略的计算中，还可以把 g 取做 10 米/秒 2。 由于自由落体运动是初速度为零的匀加速运动，所以匀变速运动的基
本公式以及它们的推论都适用于自由落体运动，只要把这些公式中的? 0
取作零，并且用 g 来代替加速度 a 就行了。

·小实验·

测定反应时间


　　战士、司机、飞行员、运动员都需要反应灵敏，当发现某种情况时， 能及时采取相应行动，战胜对手，或避免危险。人从发现情况到采取相应 行动经过的时间叫反应时间。这里向你介绍一种测定反应时间的方法。
请一位同学用两个手指捏住木尺顶端（图 4-27），你用一只手在木尺
下部作握住木尺的准备，但手的任何部位都不要碰到木尺。当看到那位同 学放开手时，你立即握住木尺。测出木尺降落的高度，根据自由落体运动 的知识，可以算出你的反应时间。

练习八

（1）为了测出井口到井里水面的深度，让一个小石块从井口落下，经
过 2.0 秒后听到石块落到水面的声音。求井口到水面的大约深度（不考虑 声音传播所用的时间）。
　　（2）一个自由下落的物体，到达地面的速度是 39.2 米/秒。这个物体 是从多高落下的？落到地面用了多长时间？
　　（3）一个物体从 22.5 米高的地方下落，到达地面时的速度是多大？ 下落最后 1 秒内的位移是多大？
　　（4）上页右侧这则剪报（1991 年 5 月 11 日《北京晚报》），报导了 一位青年奋勇接住一个从 15 层高楼窗口跌出的孩子的动人事迹。设每层楼
　　
高度是 2.8 米，这位青年从他所在的地方冲到楼窗下需要的时间是 1.3 秒， 请你估算一下他要接住孩子，至多允许他有多长的反应时间？

九、专题 研究自由落体运动

一、伽利略的研究


　　巧妙的推理 古代的学者们认为，物体下落的快慢是由它们所受重力 的大小决定的，物体越重，下落得越快。生活在公元前四世纪的希腊哲学 家亚里士多德最早阐述了这种看法。亚里士多德的论断影响深远，在其后 两千多年的时间里，人们一直信奉他的学说。
　　但是这种从表面上的观察得出的结论实际上是错误的。伟大的物理学 家伽利略（图 4-28）用简单明了的科学推理，巧妙地揭示了亚里士多德的 理论内部包含的矛盾。他在 1638 年写的《两种新科学的对话》一书中指出： 根据亚里士多德的论断，一块大石头的下落速度要比一块小石头的下落速 度大。假定大石头的下落速度为 8，小石头的下落速度为 4，当我们把两块 石头拴在一起时，下落快的会被下落慢的拖着而减慢，下落慢的会被下落 快的拖着而加快，结果整个系统的下落速度应该小于 8。但是两块石头拴 在一起，加起来比大石头还要重，因此重物体比轻物体的下落速度要小。 这样，就从重物体比轻物体下落得快的假设，推出了重物体比轻物体下落 得慢的结论。亚里士多德的理论陷入了自相矛盾的境地。伽利略由此推断 重物体不会比轻物体下落得快。
提出假说 伽利略认为，自由落体是一种最简单的变速运动。他设
想，最简单的变速运动的速度应该是均匀变化的。但是，速度的变化怎样 才算均匀呢？他考虑了两种可能：一种是速度的变化对时间来说是均匀 的，即经过相等的时间，速度的变化相等；另一种是速度的变化对位移来 说是均匀的，即经过相等的位移，速度的变化相等。伽利略假设第一种方 式最简单，并把这种运动叫做匀变速运动。
数学推理 在伽利略的时代，技术不够发达，通过直接测定瞬时速度
来验证一个物体是否做匀变速运动，是不可能的。但是，伽利略应用数学 推理得出结论：做初速度为零的匀变速运动的物体通过的位移与所用时间 的平方成正比，即 s∝t2。这样，只要测出做变速运动的物体通过不同位 移所用的时间，就可以验证这个物体是否在做匀变速运动。
伽利略是怎样推出 s∝t2 的呢？他的思路大致如下：先由平均速度
s
?＝ 得出s＝??t。他推断初速度为零、末速度为?的匀变速运动的平均速
t

1
度?＝
2

1
?，然后应用这个关系得出s＝
2

?
?t。再应用a＝ 从上式消去?，
t

就导出s＝ 1 at 2 ，即s∝t 2 。
2
　　实验验证 自由落体下落的时间太短，当时用实验直接验证自由落体 是匀加速运动仍有困难，伽利略采用了间接验证的方法。他让一个铜球从 阻力很小的斜面上滚下，做了上百次的实验。小球在斜面上运动的加速度 要比它竖直下落时的加速度小得多，所以时间容易测量些。
■
实验结果表明，光滑斜面的倾角保持不变，从不同位置让小球滚下（图
4-29），小球通过的位移跟所用时间的平方之比是不变的，即

1 s2 s3
2 2 ? 2
1 2 3


? ??。由此证明了小球沿光滑斜面向下的运动是匀变速直

线运动。换用不同质量的小球重复上述实验，位移跟所用时间平方的比值 仍不变，这说明不同质量的小球沿同一倾角的斜面所做的匀变速直线运动 的情况是相同的。
　　不断增大斜面的倾角，重复上述实验，得出 s/t2 的值随斜面倾角的增 加而增大。这说明小球做匀变速运动的加速度随斜面倾角的增大而变大。 合理外推 伽利略将上述结果做了合理的外推，把结论外推到斜面倾 角增大到 90°的情况，这时小球将自由下落，成为自由落体。伽利略认为， 这时小球仍然会保持匀变速运动的性质。这种从斜面运动到落体运动的外 推，是很巧妙的。不过，用外推法得出的结论，并不一定都是正确的。现 代物理研究中也常用外推法，但用这种方法得到的结论都要经过实验的验
证才能得到承认。 伽利略对自由落体的研究，开创了研究自然规律的科学方法，这就是
抽象思维、数学推导和科学实验相结合的方法。这种方法对于后来的科学 研究具有重大的启蒙作用，至今仍不失为重要的科学方法之一。
　　有可能的话，你不妨重复一下伽利略做过的斜面实验。这里的关键是 准确测量时间，你有什么好方法吗？
今天，距离伽利略的时代已有三百多年了。伽利略无法直接用实验来
证实的结论，我们已经可以直接用实验来证实了。
二、用频闪照相研究 在介绍这种方法之前，我们要运用已经学过的匀变速运动的规律推出
一个结论：
　　以加速度 a 做匀变速运动的物体，在各个连续相等的时间 t 内的位移 分别是 s1、s2、s3、s4??sn，则
△s＝s2—s1＝s3－s2＝??＝sn－sn-1＝at2。
请你自己推证一下。
　　证明过后，请看图 4-26，它是每隔相等的时间拍摄一次而得到的自由 落体的照片。由这张照片可以测出小球在各个连续相等时间里的位移，小 球最初几个位置比较密集，测量起来误差比较大，可以从某个稍大些的位 置间隔开始测量（想一想怎样才能测得更准确一些）。自由落体的速度是 连续变化的，根据测量结果，在误差范围之内，如果各相邻的位移之差都 相等，就可以验证自由落体运动是匀加速运动了。
　　如果再记下每次拍摄的时间间隔，根据上面推出的结论，还可以从测 量的结果算出重力加速度的大小。当然，这并不十分精确。
　　
间隔编号 间隔的长度 s （厘米） 后一间隔的长度减去前
一间隔的长度△ s （厘米） 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 7.70
8.75
9.80
10.85
11.99
13.09
14.18
15.22
16.31
17.45
18.52