力 学


　　在必修课中，我们学习了如何描述直线运动，并且初步学会了如何运 用牛顿运动定律解决有关直线运动的力学问题。
　　在选修课中，我们要在这个基础上扩展和加深，进一步研究直线运动 的力学问题。
　　水平抛出一个物体，这个物体将沿曲线落向地面。怎样描述曲线运动？ 怎样运用牛顿运动定律解决曲线运动的问题？解决曲线运动问题的基本方 法又是什么呢？
　　在万有引力的作用下，地球和行星绕太阳公转，月球和人造地球卫星 绕地球运转，它们的运动都近似地可以看做圆周运动。牛顿运动定律能处 理地面上的各种运动，能不能处理上述天体的运动？地面上的物体与天 体，它们的运动服从相同的力学规律吗？
这些都是我们在选修课中要学习的内容。 在必修课中，我们学习了动量的概念。这个概念有什么重要意义？两
个运动的物体相碰，碰撞后它们将怎样运动？查德威克怎样发现并证实了 原子核内存在中子？这些问题都用到动量概念和动量守恒定律。这也是选 修课中要学习的重要内容。
能量是物理学中的重要概念，在必修课中，我们学习了各种形式的能
量，如机械能、内能、电能、核能等等，学习了机械能守恒定律和普遍的 能的转化和守恒定律。机械能在什么条件下才保持守恒？能量守恒定律有 什么重要意义？用能量守恒定律处理物理学问题有什么方便之处？这又是 选修课中要学习的重要内容。
通过选修课的学习，你将对力学的基本知识得到进一步理解，并逐步
学会运用牛顿运动定律处理力学问题的方法。能量守恒定律和动量守恒定 律是自然界中两个普遍适用的定律，运用守恒的观点为解决力学问题以至 广泛的物理学问题开辟了新的途径，你在选修课的学习中将要熟悉和学会 如何利用守恒定律来处理具体问题。

第一章 牛顿运动定律


　　这一章我们在复习必修课所讲内容的基础上，运用牛顿运动定律进一 步研究直线运动的力学问题。在必修课中，我们运用牛顿运动定律研究了 物体在水平面上的运动，分析了自由落体的竖直运动，那么怎样来处理物 体在斜面上的运动？在必修课中我们分析了单个物体的运动，那么几个物 体连结在一起的运动，例如若干节车厢连成的列车在机车牵引下的运动， 又应该怎样分析？我们常常听到的超重和失重是怎么回事？你在地球上能 体验超重或失重状态吗？物体对水平面的压力是否总等于物体所受的重 力？这些都是本章要分析和研究的问题。
　　处理这些问题与必修课中处理物体在水平面上的运动，基本思路是相 同的，不过问题的情况稍为复杂些罢了。通过分析这些问题，你将进一步 体会和学习卓越的科学家们分析、处理事物的有效的思路和方法。这对你 今后的学习和工作都将是十分有用的。
　　
一、矢量同一直线上的矢量运算


　　运用牛顿运动定律解决直线运动的力学问题，需要处理同一直线上的 矢量。这一节我们要讲述同一直线上矢量的运算，以便为今后的学习作准 备。我们先复习一下什么是矢量和标量，以及矢量运算的法则。
　　矢量和标量 在物理学中，我们可以把物理量分为两类：矢量、标量。 矢量既有大小，又有方向，而且它们的运算服从平行四边形定则①。力、位 移、速度、加速度、动量、电场强度等等都是矢量。标量只有大小，没有 方向。长度、质量、时间、温度、功、能量等等都是标量。
　　认识到矢量和标量的不同，这在人类的认识上是一大进步。有了矢量 的概念以及矢量运算法则，人们就可以方便地处理一些只用标量概念所不 能处理的问题。
　　两个同类的标量，只要单位相同，它们的数值就可以用代数加法来运 算。比如一个质量是 8 千克，另一个质量是 4 千克。总质量就是 12 千克。 矢量则不能这样运算。一个物体受到两个力，一个是 10 牛，一个是 4 牛， 这两个力共同作用产生的效果不仅决定于它们的大小，而且决定于它们的 方向。
我们在必修课中学过的力的合成和分解就充分说明了这一点。力的合
成要按平行四边形定则来进行（图 1－1）。力的分解是力的合成的逆运算， 也要按平行四边形定则来进行。
平行四边形定则不仅适用于力的合成，对于别的矢量（如速度矢量、
电场强度矢量等等）同样适用，是矢量合成（即矢量加法）运算的普遍法 则。
同一直线上的矢量的运算 如果被运算的矢量的方向在同一直线
上，那么，我们就可以用带有正负号的量值把矢量的大小和方向都表示出 来。为此，我们沿着矢量所在的直线选定一个正方向（图 1－2），规定凡 是方向跟正方向相同的矢量都取正值，凡是方向跟正方向相反的矢量都取 负值，例如图中 F1＝5 牛，F2＝—5 牛，F3＝7 牛，F4＝—5 牛。这里，根
据量值的正负号就可以知道力的方向；而力的大小等于它们的绝对值，分 别是 5 牛，5 牛，7 牛，5 牛。
既然同一直线上的矢量可以用带正负号的量值来表示，它们的运算就
可以简化为代数运算。
如果两个矢量大小相等而且方向相同，如图 1－2 中的 F2 和 F4，我们
就说这两个矢量相等，写成代数式就是
F2=F4. （1）
如果两个矢量大小相等而方向相反，如图 1－2 中的 F1 和 F2，那么，
它们只是符号相反，写成代数式就是
F1=-F2. （2）
如图 1－3 所示，设有两个力 F1 和 F2 作用在一个物上，我们可以利用
加法运算求出合力 F：
F＝10 牛＋（—6 牛）



① 即平行四边形法则，现根据全国自然科学名词审定委员会公布的《物理学名词》改为平行四边形定则。

＝4 牛.（3）
这表示合力的大小是 4 牛，结果是正值，表示合力的方向与选定的正方向 相同。
　　位移 s、速度 v、加速度 a 都是矢量。在必修课中我们学过匀变速直线 运动的公式：
s ? v t ? 1 at 2 ,
0 2
v ? v0 ? at.
在直线运动中，式中的 s、v、v0、a 都在同一直线上。因而，这两个
公式处理的是一条直线上的矢量。通常为了方便，选择初速度 v0 的方向作
为正方向；在 v0＝0 时，选择运动方向作为正方向。在这样的选择下，对
匀加速运动来说，a 的方向与 v0 的方向相同，或者与运动方向相同，a 取
正值；对匀减速运动来说，a 的方向与 v0 的方向相反，a 取负值。它们的
运算就化为代数运算。算出的 s 或 v 是正值，表示 s 或 v 的方向与选定的 正方向相同；算出的 s 或 v 是负值，表示 s 或 v 的方向与选定的正方向相 反。
需要强调指出的是：只有同一直线上的矢量，它们的运算才可以像上
述那样简化成代数运算。这是平行四边形定则在这种特殊情况下的运用。 不在同一直线上的矢量，它们的运算不能这样简单地化成代数运算。
还要注意：这里用带有正负号的量值既表示出矢量的大小，又表示出
矢量的方向；如果专指矢量的大小，就要取绝对值，即矢量的大小总是正 值。

练习一


　　（1）对于同一条对角线，如果没有其他限制，可以做出无数个平行四 边形，即同一个力可以分解为无数对分力。如果知道了两个分力的方向， 或者知道了一个分力的大小和方向，能不能把一个力分解为两个确定的分 力？试作图来说明。
（2）一个物体做匀减速运动。加速度的大小等于 6 米／秒 2，初速度
v0 的大小为 12 米／秒，方向向东。用公式 v＝v0＋at 求 1.0 秒末的速度 v，
取 v0 的方向为正方向，试写出下列各量值：v0＝ 米／秒，a＝ 米／秒 2，
求得的 v＝ 米／秒。v 的方向是 。
（3）一个做匀减速直线运动的汽车，初速度 v0 的大小为 18 米／秒，
方向向北。经3.0秒前进了36米，现在，用公式s ? v t ? 1 at 2 求加速度a。
0 2
取 v0 的方向为正方向，试写出下列各量值：v0= 米／秒，s＝ 米，
求得的 a＝ 米／秒 2。a 的方向是 。
（4）如图 1－4 所示，一个质量为 5 千克的物体受到两个力 F1 和 F2 的
作用。F1 的大小为 10 牛顿，F2 的大小为 5 牛顿。我们用牛顿第二定律求加
速度 a。取 F1 的方向为正方向，试写出下列各量值：F1＝ 牛，F2＝ 牛。
牛顿第二定律的公式应写为： ，求得的 a＝ 米／秒 2，a 的方向是 。

　　（5）在上题中，设该物体初速度 v0 的大小为 2 米／秒，方向与 F2 的 方向相同。用公式 v＝v0＋at 求 1 秒末该物体的速度 v。取 v0 的方向为正 方向，试写出下列各量值：v0＝ 米／秒，a＝ 米／秒 2，求得的 v＝
米／秒，v 的方向是 。

二、牛顿运动定律


　　下面几节，我们主要用来复习必修课中学过的有关牛顿运动定律和力 的知识。同学们可以先回忆一下必修课中学过的有关内容，看看你还记得 多少。然后再阅读课本，并与你自己的回忆对照一下。你会发现，有些内 容是原来课本上没有的。用这种方法来学习，比你直接阅读课本，印象要 深刻得多，你不妨试试看。
　　力学所要解决的中心课题是确定力和运动的关系。远在两千多年以 前，人们已经提出了这个问题，直到伽利略和牛顿的时代，才给出了正确 的答案。力是维持运动即维持物体的速度的原因，还是改变物体运动状态 即改变物体速度的原因？
　　这是争论的焦点。伽利略利用斜面的理想实验，把经验事实和抽象思 维结合起来，正确解决了上述中心课题。牛顿在伽利略等人的基础上，系 统地总结了力学知识，提出了三条运动定律，建立起辉煌的牛顿力学。
　　牛顿第一定律 一切物体总保持原来的匀速直线运动状态或静止状 态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。牛顿第一定律告诉我们，一切 物体都有保持原来的匀速直线运动状态或静止状态不变的性质，这种性质 叫做惯性。牛顿第一定律又叫做惯性定律。
牛顿第一定律告诉我们，物体如果没有受到外力，它的速度的大小和
方向都保持不变，即运动状态保持不变。可见，如果物体的运动状态发生 改变，即有了加速度，那一定是受到外力作用的结果。力是使物体产生加 速度的原因。
牛顿第二定律 物体的加速度 a 跟物体所受的合外力 F 成正比，跟物
体的质量 m 成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。写成公式是 F＝ma。
这里 F 指的是物体受到的所有外力的合力。
　　牛顿第二定律告诉我们，只有受到外力的作用，物体才具有加速度。 在恒定的外力持续不断地作用下，物体具有持续不断的恒定加速度。外力 随着时间而改变，加速度也随着时间而改变。在某一时刻，外力停止作用， 加速度随即消失，物体由于具有惯性，就将保持该时刻的运动状态不再改 变。
牛顿第二定律告诉我们，在相同外力的作用下，质量大的物体得到的
加速度小，它的运动状态难改变，惯性大；质量小的物体得到的加速度大， 它的运动状态容易改变，惯性小。因此，质量是物体惯性大小的量度。
　　牛顿第三定律 两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方 向相反，作用在一条直线上。
　　力是物体与物体之间的相互作用。甲物体对乙物体有作用力，乙物体 必对甲物体有反作用力。把力分成作用力和反作用力，并不是绝对的，我 们可以把相互作用中的任一个力叫做作用力，另一个就叫做反作用力。并 不是先有作用力，然后才有反作用力。作用力和反作用力同时出现，同时 消失，分别作用在相互作用的两个物体上。
　　地球吸引地面上的物体，物体也同时吸引地球，在地球与物体之间存 在着作用力和反作用力。两个电荷之间的相互吸引或相互排斥的库仑力， 是作用力和反作用力。两个磁极之间相互吸引或相互排斥的磁力，也是作
　　
用力和反作用力。 力学有两个分科：运动学和动力学。只研究物体怎样运动而不涉及运
动和力的关系的学科，叫做运动学。研究运动和力的关系的学科，叫做动 力学。牛顿的三条运动定律总称为牛顿运动定律，是整个动力学的基础。 运动学能够描述物体怎样运动，但不能说明物体为什么做这种运动，有了 动力学的知识。我们就可以知道物体为什么做这种运动，从而能够创造条 件来控制物体的运动，使物体的运动符合人们的要求。因此，牛顿运动定 律在实际中有极为广泛的应用，是解决力学问题的基础。

三、力


　　力学中经常遇到的力有重力、弹力、摩擦力。在力学中分析物体所受 的力，离不开这三种力。电学中要遇到电磁力，如带电物体在电场中受到 的电场力，通电导线在磁场中受到的磁场力等。
　　重力 由于万有引力的作用，地球上一切物体都要受到地球的吸引， 这种因地球吸引而使物体受到的力，叫做重力重力的方向总是竖直向下的
（图 1－5）。我们可以认为物体各部分受到的重力作用都集中到一点，这 一点叫做重心。有规则形状的均匀物体，它的重心就在几何中心上。
　　重力是使物体产生重力加速度 g 的原因。在地球上不同的地方，g 的数 值略有不同，通常取 9.8 米／秒 2。
　　弹力 发生形变的物体，由于要恢复原状，对跟它接触的物体会产生 力的作用，这种力叫做弹力。
　　把一个物体放在支持面上（图 1－6），物体由于受到地球的吸引，而 对支持面产生压力 N。物体对支持面的压力 N，支持面对物体的支持力 N’， 都是弹力。压力和支持力分别是因物体和支持面发生压缩形变而产生的。 压力和支持力的方向都垂直于支持面，压力 N 指向支持面，支持力 N’指向 被支持的物体。N 和 N’是一对作用力和反作用力。
把一个物体挂在绳子上（图 1－7），物体由于受到地球的吸引而对绳
产生拉力。物体对绳的拉力 F，绳对物体的拉力 F’，也都是弹力。拉力 F 和拉力 F’，分别是因物体和绳发生拉伸形变而产生的。这两个力的方向都 是在拉紧的绳的方向上，拉力 F 指向拉伸绳的方向，F’指向绳收缩的方向， 它们是一对作用力和反作用力。
摩擦力 与弹力一样，摩擦力也发生在两个互相接触的物体之间。当
一个物体在另一个物体表面上做相对滑动时，要受到另一个物体阻碍相对 滑动的力，这种力叫做滑动摩擦力。滑动摩擦力的方向总跟接触面相切， 并且跟物体的相对滑动的方向相反。滑动摩擦力的大小 f 跟压力 N 的大小 成正比，即
f＝μN，
其中μ是滑动摩擦系数。μ只跟接触面的状况有关，相互摩擦的两个物体 的材料不同，接触面的粗糙程度不同，μ的数值也不同。
当一个物体在另一个物体的表面上静止但有相对运动趋势时，要受到
另一个物体阻碍发生相对运动的力，这种力叫做静摩擦力。静摩擦力的方 向总是跟接触面相切，并且跟相对运动趋势的方向相反。所谓相对运动趋 势的方向，就是设想如果不存在静摩擦力时，物体要发生的相对运动的方 向。
　　两物体之间的静摩擦力，大小不是固定不变的，但在一定的压力下存 在一个最大值 fm，叫做最大静摩擦力。实际存在的静摩擦力 f 的大小，根 据具体情况的不同，取值范围在零和最大静摩擦力之间，即 0＜f≤fm。
　　
自然界的四种相互作用


　　在力学中经常遇到的有重力、弹力和摩擦力，在热学中要遇到分子力， 在电学中要遇到电磁力。重力、弹力、摩擦力、分子力、电磁力等，可认 为它们是属于不同性质的力。其实，这种认识只是反映了人们对力的认识 的一个阶段。随着科学的发展，人们对力的探索已经从宏观物体进入到原 子、分子的微观领域，因而对力的认识也进一步深化了。现代科学研究告 诉我们，通常见到的重力、弹力、摩擦力、分子力、电磁力等都可以归结 为两种基本的相互作用，即万有引力和电磁力。
　　我们从必修课中已经得知，万有引力是由于物体具有质量而在物体之 间产生的一种相互作用。这种力普遍存在于宇宙万物之间。在宇宙天体之 间，在宏观物体之间，在原子、分子等粒子之间，都存在着这种相互作用。 两个通常的物体之间的万有引力极其微小，我们很难察觉它，可以不予考 虑。但是对于质量很大的天体系统，万有引力就起着决定性的作用。在天 体中质量还算很小的地球对其它物体的万有引力已经具有巨大影响，重力 就是地面附近的物体由于受到地球的万有引力而产生的。
　　电磁力是存在于电荷之间的一种相互作用。静止电荷之间有电力，运 动电荷之间除了电力外还有磁力。电力和磁力是有联系的，常常总称为电 磁力。分子力、弹力、摩擦力都可以归结为电磁力。
我们知道，原子是由带正电的原子核和绕核旋转的带负电的电子组成
的。分子是由原子组成的。原子核和电子之间，原子和原子之间，分子和 分子之间，虽然也存在万有引力，但比起电磁力来要小得多，可以不予考 虑，起决定作用的是电磁力。这就是说，原子或分子本身能够形成，是由 于电磁力的作用。而原子或分子之间的电磁力就构成了我们通常所说的分 子力。
当我们使物体发生形变的时候，物体中原子或分子之间的距离发生改
变，原子或分子之间的电磁力要反抗物体发生形变，这就形成了我们通常 所说的弹力。从原子或分子之间的电磁力来完满地解释摩擦力很为复杂， 至今还没有一种很好的理论，但是大家公认摩擦力说到底也还是电磁力的 一种表现。
我们看到，从宇宙天体到微小的原子，这中间只有两种基本的相互作
用：万有引力和电磁力。现代科学研究已深入到原子核内部，深入到研究 质子、中子等基本粒子的相互作用。人们在这个领域又发现了另外两种基 本的相互作用，分别叫做强相互作用和弱相互作用。这两种相互作用这里 不再介绍了。
　　现在，人类认识到在自然界中存在四种基本的相互作用：万有引力， 电磁力，强相互作用，弱相互作用。小到比原子还小的粒子，大到宇宙天 体，其间表现出很不相同的多种多样的相互作用，都可以用少数几种基本 的相互作用来说明，这是物理学的巨大胜利。然而人类的认识是没有止境 的。今天认为基本的相互作用有四种，明天会不会统一成更少的几种甚至 一种相互作用呢？大物理学家、相对论的创立者爱因斯坦（1879～1955）， 晚年致力于这方面的工作，力图把万有引力和电磁力统一起来。他的努力 虽然并未取得成功，但是他的思想却对物理学界有很大影响。现在有不少 物理学家致力于这方面的研究，力图把四种相互作用统一起来，并且取得
　　
了进展，电磁相互作用和弱相互作用已经得到统一。这是物理学的前沿。 物理学好像一座正在施工中的大厦，它已经建筑得很壮观了，但还没有竣 工，更壮观的还在后面。现在的青年学生，将来就可能成为修建这座大厦 的建筑师。

四、物体受力分析


　　在运用牛顿定律分析问题时，经常要分析物体受力情况，正确分析物 体的受力情况和运动状态是解决力学问题的关键。
　　在分析被研究对象的受力情况时，要把它从周围物体中隔离出来，分 析周围有哪些物体对它施加力的作用，各是什么性质的力，力的大小、方 向怎样，并将它们一一画在受力图上。这种分析的方法叫做隔离法。分析 时，要注意不要漏掉一些确实存在的力，也不要凭空想象出并不存在的力。 对于所分析出的每一个力，都应能找到施力物体。
　　【例题 1】在光滑的水平面上，有一辆小车 A（图 1－8 甲），上面放 着物体 B，用水平向右的力 F 推小车，A、B 相对静止一同向右运动。讨论 一下这时 A 和 B 之间的相互作用力。
　　解：A 和 B 之间有相互作用的弹力，物体 B 对小车 A 的压力 N 和小车 A 对物体 B 的支持力 N’是一对作用力和反作用力（图 1－8 乙）。
　　在力 F 的作用下，小车产生加速度，而 A、B 仍保持相对静止，说明 B 也有与 A 相同的向右的加速度。根据牛顿第二定律，B 也必定受有向右的 合外力。而 B 受到的重力和支持力在竖直方向，并且相互平衡。因而，使
B 产生加速度的力只能是 A 对 B 的静摩擦力 f’，方向向右。
　　为什么小车 A 对 B 有向右的静摩擦力呢？我们可以设想，如果 A 和 B 之间没有静摩擦力，小车 A 在力 F 作用下向右做加速运动，而物体 B 由于 惯性却保持静止或匀速直线运动，它将相对于 A 向左运动。可见，B 相对
于 A 静止时有向左运动的趋势，它要受到与相对运动趋势方向相反的静摩
擦力，即受到方向向右的静摩擦力 f’。这时，小车 A 相对于物体 B 有向右 运动的趋势，A 受到方向向左的静摩擦力 f（图 1－8 丙）。f 和 f’是一对 作用力和反作用力。
【例题 2】一个物体质量为 m，沿倾角为θ的光滑斜面加速下滑，求
此物体受到的合力。
　　分析：沿光滑斜面下滑的物体受到两个力的作用：重力 mg 和斜面的支 持力 N（图 1－9）。物体沿斜面的方向加速运动，从牛顿第二定律知道， 合力的方向应沿斜面的方向。这时，我们可以先把重力沿互相垂直的两个 方向（平行于斜面和垂直于斜面的方向）进行分解，然后再求出合力。
解：将 mg 分解为相互垂直的两个力：
平行于斜面的分力：F1＝mgsinθ，
垂直于斜面的分力：F2＝mgcosθ。
　　在垂直于斜面的方向上，运动状态没有改变，因此，在垂直于斜面方 向上的两个力 N 和 mgcosθ彼此平衡，即 N＝mgcosθ。
　　由此，可以得出：重力 mg 和支持力 N 的合力为 mgsinθ，方向沿斜面 向下。
　　这里，我们先把力沿彼此垂直的两个方向分解，然后求出合力，这种 方法有时很方便，今后我们还会用到。
　　物体的受力情况实际上往往是很复杂的。为了使问题简化，可以略去 某些次要因素。例如物体在光滑平面上运动时，可以略去滑动摩擦力。物 体的横截面积较小而且运动速度不大时，可以不考虑空气阻力。根据所提
　　
问题的情况，略去某些次要因素，这在物理学上是一种常用的研究方法， 应该逐渐熟悉它，掌握它。分析物体受力情况，同学们做过一些练习，有 了一定经验以后，就能够根据具体情况自己判断哪些次要因素可以忽略不 计了。

练习二


　　（1）一个物体放在水平面上，它受到几个力的作用？各是什么性质的 力？施力物体各是什么？它们的反作用力分别作用在什么物体上？
　　（2）物体以某一初速度沿着光滑斜面滑上去的时候，受到几个力的作 用？如果物体和斜面之间有滑动摩擦，受力情况又怎样？分别画出物体的 受力图。
　　（3）用垂直于墙面的力把物体紧压在墙上保持不动（图 1－10），这 时，物体受到几个力的作用？
　　（4）本节例题 1 中的小车 A 和物体 B 如果相对静止以速度 v 一起向右 匀速运动，它们之间的相互作用是怎样的？如果后来小车 A 受到向左的推
力 F 而减速运动，并且 A、B 仍保持相对静止，它们之间的相互作用又是怎 样的？
（5）图 1－11 是一架天平的示意图，用外力 F 推游码 P 向右匀速运动
时，游码受到哪几个力作用？天平横梁受游码对它的什么力的作用？

五、牛顿运动定律的应用（一）


　　关于力和运动的关系，有两类基本问题需要处理，一类是已知物体的 受力情况，要求确定物体的运动情况；另一类是已知物体的运动情况，要 求确定物体的受力情况。请同学们回忆一下必修课中对这两类问题的分析 思路，这一节和下一节我们将按照这种基本思路分析一些问题。
　　【例题 1】一个滑雪的人以 1 米／秒的初速度沿山坡滑下，山坡的倾 角是 30°，滑雪板和雪地的滑动摩擦系数是 0.04，求 5.0 秒内滑下的路程。
分析：这是一个已知受力情况求运动情况的问题。 研究对象显然是滑雪的人，我们把滑雪的人从周围物体中隔离出来，
分析他受到哪些力。滑雪的人受到三个力（图 1—12）：重力 G，山坡的支 持力 N，滑动摩擦力 f。把重力 G＝mg 沿着平行于山坡方向和垂直于山坡方
向分解成两个力 F1 和 F2。滑雪人在垂直于山坡方向没有加速度，力 N 和 F2
相互平衡。滑雪人受到的合外力就是平行于山坡方向的力 F1 和 f 的合力，
滑雪的人在这个合外力的作用下沿山坡向下做匀变速运动。

用公式F

＝ma 求出a ，再用公式s＝v t ＋ 1 at 2 即可求出位移s，即滑

合 0 2
下的路程。
解：滑雪人受力如图 1－12 所示。把重力分解： 在平行于山坡的方向：F1＝mgsinθ， 在垂直于山坡的方向：F2＝mgcosθ。
N 和 F2 相互平衡，所以滑动摩擦力的大小：
f＝μN＝μmgcosθ。 取与山坡平行而向下的方向作为正方向，根据牛顿第二定律 F 合＝F1
－f＝ma 得
a＝ F1 ? f m
= mgsin? ? ?mg cos?


＝g（ sin?－?cosm?）。
s = v t ? 1 at 2
0 2
1
＝v0 t ＋ （sin?－?cos?）
2
＝1.0×5.0米＋ 1×9.8×5.02 ×? 1 ? 0.04 ? 3 ?

2
＝5米＋57米
＝62米。

? 2 2 ?

　　【例题 2】在汽车中的悬线上挂一个小球。实验表明，当汽车做匀变 速运动时，悬线将不在竖直方向，而与竖直方向成某一固定角度（图 1—
13）。已知小球的质量是 30 克，汽车的加速度为 5.0 米／秒 1，求悬线对

小球的拉力。
　　分析：这个问题要求我们以小球为研究对象。小球随着汽车一起做匀 变速运动，小球与汽车有共同的加速度 a。这是一个已知运动情况求力的 问题。
　　小球的受力情况是：受重力 G 和绳的拉力 T 的作用（图 1-14）。小球 除了受到这两个力以外，周围再也没有别的物体对小球施加什么力了。小 球的加速度 a 正是由于 G 和 T 这两个力的合力 F 引起的，根据牛顿第二律 知道，这个合力的大小 F＝ma，合力的方向与小球加速度的方向相同。已 知合力 F，又知道一个分力 G，利用平行四边形定则不难求出另一个分力 T。
解：小球受力情况如图 1－14 所示。
　　已知小球的质量 m 和加速度 a，根据牛顿第二定律，可知小球所受外力 的合力 F＝ma，而重力 G＝mg。根据平行四边形定则即可求出 T：
T 2 ＝F2 ＋G 2 ＝（ ma）2 ＋（ mg）2
T＝m a2 ? g2

＝0．030×
＝0.33牛。

5.02 ? 9.82 牛

拉力 T 的方向可以用悬线与竖直方向的角度表示出来，角θ可以用
tg?＝ ma ＝a 求出，请同学们自己算出这个角度。
mg g
　　根据牛顿定律从物体的受力情况确定运动情况，在实际中有重要作 用。例如，指挥宇宙飞船飞行的科学工作者，他们知道飞船的受力情况， 也知道飞船的初速度和初位置，因而，他们能够确定飞船在任意时刻的位 置和速度。他们解决问题的思路跟我们这里讲的是一样的，只是计算相当 复杂，要用电子计算机进行。
在一些实际问题中，也常常需要根据牛顿运动定律从物体的运动情况
来确定力。例如，知道了列车的运动情况，根据牛顿运动定律就可以确定 机车对列车的牵引力。又如，根据天文观测知道了月球的运动情况。就可 以知道地球对月球的引力的情况，牛顿当初就探讨过这个问题，并进而发 现了万有引力定律。
在动力学问题中，如果知道物体的受力情况和加速度，也可以测出物
体的质量。这就是说，质量可以用动力学的方法来测定，本章习题中的第
10 题，就是用动力学的方法测定质量的一个有趣的题目，希望同学们好好 研究一下那个题目。

练习三


　　（1）一个质量是 10 克的物体沿着光滑的斜面从静止开始滑下（不计 摩擦），开始滑下时的竖直高度是 10 厘米，斜面的倾角是 30°，这个物 体滑到斜面末端时的速度是多大？
　　另一个质量是 20 克的物体也沿着光滑的斜面从静止开始滑下，开始滑 下时的竖直高度相同，斜面的倾角是 45°，这个物体滑到斜面末端时的速 度是多大？
　　
　　写出速度 v 的表达式，并说明物体滑到斜面末端时的速度 v 只跟开始 滑下时竖直高度 h、重力加速度 g 有关，跟物体的质量 m、斜面的倾角θ无 关。
　　（2）质量是 10 千克的物体沿着长 5 米、高 2.5 米的斜面由静止开始 下滑，物体和斜面间的滑动摩擦系数为 0.3。这个物体下滑的加速度是多 大？从斜面顶端滑到底端需要多长时间？
　　（3）一个物体在两个彼此平衡的力作用下处于静止状态。现在把其中 某一个力逐渐减小到零，而保持另一个力不变，这个物体的加速度和速度 的绝对值怎样变化？如果再逐渐把这个力恢复，这个物体的加速度和速度 的绝对值又将怎样变化？
　　（4）质量是 2.75 吨的载重汽车，在 2900 牛的牵引力作用下开上一个 山坡，沿山坡每前进 1 米升高 0.05 米。卡车由静止开始前进 100 米时速度 达到 36 千米／小时。求卡车在前进中所受的摩擦阻力。
　　
六、牛顿运动定律的应用（二）


　　在实际问题中，还常常碰到几个物体连在一起，在外力作用下的运动， 称为连接体的运动。若干节车厢连成的列车在机车牵引下的运动，就是连 接体的运动。
【例题 1】 一辆汽车拉着一辆拖车在平直道路上行驶，汽车的牵引力
是 F＝8970 牛顿。汽车和拖车的质量分别是 m1＝5000 千克和 m2＝2500 千
克，所受的阻力分别是 f1＝980 牛顿和 f2＝490 牛顿，求它们的加速度和
汽车与拖车之间的拉力。 分析：汽车和拖车一起前进，因此它们有相同的加速度 a。为了求出这
个加速度，可以把汽车和拖车看成一个整体来分析。这个整体所受重力和 支持力平衡，可不予考虑。这个整体可以认为受到三个力的作用：牵引力
F，阻力 f1 和 f2（图 1－15 甲）。根据牛顿第二定律，就可以求出汽车和
拖车整体的加速度。 为了求出汽车和拖车之间的拉力，则需要把汽车和拖车隔离开来，分
别研究它们的受力情况，再根据牛顿定律求出拉力。 解：先将汽车和拖车看成整体。它们的受力情况如图 1－15 甲所示。
取汽车前进的方向为正方向。根据牛顿第二定律得
F－f1－f2＝（m1＋m2）a。

由此得
F ? f
a ?



1 ? f2

m1 ? m2
? 8970 ? 980 ? 490 米/ 秒2
5000 ? 2500
? 1.0米/ 秒2
再将汽车和拖车隔离开来分析。汽车受牵引力 F，阻力 f1 和拖车对它
的拉力 T（图 1—15 乙）。拖车受汽车对它的拉力 T’和阻力 f2（图 1－15
丙）。 根据牛顿第二定律分别对汽车和拖车列出方程
汽车 F－T－f1＝m1a； （1）
拖车 T’－f2＝m2a。
T 和 T’是一对作用力和反作用力，大小相等，则对拖车可以写成 T－f2＝m2a。 （2）
把 a 的数值代入（1）式或者（2）式，都可以求出 T。代入（2）式求
T 比较简便些，现将 a 代入（2）式，得 T＝f2＋m2a
＝490 牛＋2500×1.0 牛
　　　　　　　　　　　　＝2990 牛。 把（1）式和（2）式联立求解，也可以分别解出 T 和 a。同学们可以自
己解一解。 从这个例题我们可以知道，在连接体的问题中，如果不要求知道各个
运动物体之间的相互作用力，并且它们具有大小和方向都相同的加速度，

就可以将它们看成一个整体进行分析；如果需要知道各个运动物体之间的 相互作用力，就需要把各个物体从连接体的整体中隔离出来，单独考虑它 们各自的受力情况和运动情况，并分别应用牛顿第二定律及适当的运动学 公式列出方程，求出未知量。


　　自从人造地球卫星和宇宙飞船发射成功以来，人们经常谈到超重和失 重，究竟什么是超重和失重呢？我们先看一个例子：
　　【例题 2】升降机以 0.5 米／秒 1 的加速度匀加速上升，站在升降机 里的人质量是 60 千克，人对升降机地板的压力是多大？如果照图 1－16 那样，人站在升降机里的弹簧体重计上，体重计示数是多少？
　　分析：人和升降机以共同的加速度上升，因而人的加速度是已知的， 题中又给出了人的质量，为了能够应用牛顿第二定律，应该把人隔离开来 单独研究。
　　人在升降机中受到两个力：重力 G 和地板的支持力 N。升降机地板对人 的支持力和人对升降机地板的压力是一对作用力和反作用力，根据牛顿第 三定律，只要求出前者就可以知道后者。
　　解：人在 G 和 N 的合力作用下，以 0.5 米／秒 2 的加速度竖直向上运 动。取竖直向上的方向为正方向，根据牛顿第二定律得
　　　　　　　　　　　　　　　N－G＝ma.
由此可得 N＝G＋ma
＝m（g＋a）
＝60（9.8＋O.5）牛
　　　　　　　　　　　　　　＝618 牛。 根据牛顿第三定律，人对地板的压力的大小也是 618 牛。方向与地板对人 的支持力的方向相反，即竖直向下。
体重计的示数，表示的是体重计受到的压力。所以，体重计的示数就
是 618 牛。 可见，升降机加速上升的时候，人对升降机地板的压力比人实际受到
的重力要大。物体对支持物的压力（或对悬挂物的拉力）大于物体所受的
重力的情况称为超重现象。 升降机加速下降的时候，人对升降机地板的压力比人受到的重力小。
物体对支持物的压力（或对悬挂物的拉力）小于物体所受的重力的情况称
为失重现象。这一点，同学们可以自己分析一下。 当升降机带着人和体重计一起以重力加速度 g 加速下降时，体重计的
示数则为零，就好像人完全失去体重一样。物体对支持物的压力（或对悬 挂物的拉力）等于零的这种状态，叫做完全失重状态。
　　应当指出，物体处于超重或失重状态时，地球作用于物体的重力始终 存在，大小也没有发生变化，只是物体对支持物的压力（或对悬挂物的拉 力）发生了变化，看起来好像物重有所增大或减小。
　　
失重和开发宇宙


　　人造地球卫星、航天飞机进入轨道后，其中的人和物将处于失重状态。 人造地球卫星、航天飞机等航天器进入轨道后，可以认为是绕地球做圆周 运动。做圆周运动的物体，速度的方向是时刻改变的，因而具有加速度。 在本书第三章，我们将会学到，这个加速度是指向地球中心的，它的大小 等于卫星所在高度处重力加速度的大小。这跟在以重力加速度下降的升降 机中发生的情况类似，这时航天器中的人和物都处于完全失重状态。
　　你能够想象出在完全失重的条件下会发生什么现象吗？你设想地球上 一旦重力消失，会发生什么现象，在人造卫星中就会发生什么现象。物体 将飘在空中。液滴绝对呈球形。气泡在液体中将不上浮。宇航员站着睡觉 和躺着睡觉一样舒服，走路务必小心，稍有不慎，将会“上不着天，下不 着地”（图 1－17）。食物要做成块状或牙膏似的糊状，以免食物的碎渣 “漂浮”在空中进入宇航员的眼睛、鼻孔??。你还可以继续发挥你的想 象力，举出更多的现象来。
　　你还可以再想一想，人类能够利用失重的条件做些什么吗？下面举几 个事例，将会帮助你思考。这里所举的事例，虽然还没有完全实现，但科 学家们正在努力探索，也许不久的将来就会实现。
在失重条件下，融化了的金属的液滴由于表面张力的作用，形状绝对
呈球形，冷却后可以成为理想的滚珠。而在地面上，用现代技术制成的滚 珠，并不绝对呈球状，这是造成轴承磨损的重要原因之一。
玻璃纤维（一种很细的玻璃丝，直径为几十个微米）是现代光纤通信
的主要部件。在地面上，不可能制造很长的玻璃纤维，因为没等到液态的 玻璃丝凝固，由于它受到重力，将被拉成小段。而在太空的轨道上，将可 以制造出几百米长的玻璃纤维。
在太空的轨道上，可以制成一种新的泡沫材料——泡沫金属。在失重
条件下，在液态的金属中通以气体，气泡将不“上浮”，也不“下沉”， 均匀地分布在液态金属中，凝固后就成为泡沫金属。这样可以制成轻得像 软木塞似的泡沫钢，用它做机翼，又轻又结实。
同样的道理，在失重条件下，混合物可以均匀地混合，由此可以制成
地面上不能得到的特种合金。 电子工业、化学工业、核工业等部门，对高纯度材料的需要不断增加，
其纯度要求为“6 个 9”至“8 个 9”，即 99.9999％～99，999999％。在
地面上，冶炼金属需在容器内进行，总会有一些容器的微量元素掺入到被 冶炼的金属中。而在太空中的“悬浮冶炼”，是在失重条件下进行的，不 需要用容器，消除了容器对材料的污染，可获得纯度极高的产品。
　　在电子技术中所用的晶体，在地面上生长时，由于受重力的影响，晶 体的大小受到限制，而且要受到容器的污染。在失重条件下，晶体的生长 是均匀的，生长出来的晶体也要大得多。在不久的将来，如能在太空建立 起工厂，生产出砷化镓的纯晶体，那么，它要比现有的硅晶体优越得多， 将会引起电子技术的重大突破。
　　在太空失重的条件下，会生产出地面上难以生产的一系列产品。建立 空间工厂，已经不再是幻想。科学家们要在太空中做各种实验，青年学生 也可以提出自己的太空试验设想。展开你想象的翅膀，为宇宙开发贡献一
　　
分力量吧！


观察失重现象


　　找一个用过的易拉罐、金属罐头盒或塑料瓶，在靠近底部的侧面打一 个洞，用手指按住洞，在里面装上水。移开手指，水就从洞中射出来。这 是为什么？如果放开手，让罐子自由落下，在下落过程中，水将不再从洞 中射出。实际做一做，观察所发生的现象。怎样解释这一现象？

练习四


　　（1）在光滑的水平面上有两个彼此接触的物体 A 和 B，它们的质量分 别是 mA＝40 千克，mB＝60 千克，一个水平向左的力 F＝20 牛顿作用在物体
B 上，（如图 1—18 所示）。求它们的加速度和 A、B 之间的相互作用力。 如果改用 20 牛顿水平向右的力推 A，那么，它们的加速度是多大？A、B 之间的相互作用力又是多大？
　　（2）用水平推力 F＝60 牛在水平直路上推一辆质量为 M＝40 千克的平 板车，车上放一质量为 m＝20 千克的木箱，前进中车子受到的阻力为 T＝
12 牛。木箱在车上没有滑动，求木箱受到的静摩擦力。
（3）某钢绳所能承受的最大拉力是 4.0×104 牛，如果用这条钢绳使
3.5 吨的货物匀加速上升，在 0.50 秒内发生的速度改变不能超过多大？（g
取 10 米／秒 2）
　　（4）弹簧秤的秤钩上挂一个 14 千克的物体，在下列各种情况下，弹 簧秤的读数是多大？
①以 0.28 米／秒 2 的加速度竖直加速上升；
②以 0.10 米／秒 2 的加速度竖直减速上升；
③以 0.10 米／秒 2 的加速度竖直加速下降；
④以 0.28 米／秒 2 的加速度竖直减速下降。

*七、牛顿运动定律的适用范围


　　自从十七世纪以来，以牛顿定律为基础的经典力学不断发展，取得了 巨大的成就。从研究最简单的质点做直线运动的力学，到研究由若干质点 组成的所谓质点系做各种复杂运动的力学，从研究不变形的物体即所谓刚 体的力学，到研究可变形的连续介质的力学，如流体力学和弹性力学，都 属于经典力学的范围。
　　经典力学在科学研究和生产技术中有广泛的应用。经典力学和天文学 相结合，建立了天体力学。经典力学和工程实际相结合，建立了各种应用 力学，如水力学、材料力学、结构力学等等。从行星的运动到地面上各种 物体的运动；从大气的流动到地壳的变动；从设计各种机械到拦河筑坝、 修建桥梁和高楼大厦；从人力车、马车的运动到汽车、火车、飞机等现代 交通工具的运动；从抛出石块到发射导弹、人造卫星和航天飞机——所有 这些都服从经典力学的规律。经典力学在这样广阔领域内用来解决实际问 题时得到的结果与实际情况相符合，证明了牛顿定律的正确性。
　　但是，牛顿定律和一切物理定律一样，只具有相对的真理性。这就是 说，牛顿定律也有它的适用范围。
随着物理学的发展，特别是十九世纪以来电磁理论的发展，不断发现
新的事实，如高速运动的电子的质量随着速度的增大而增大。这些事实， 用经典力学无法加以说明，经典力学的理论与实验事实之间发生了矛盾。 在这种情况下，在二十世纪初，著名的物理学家爱因斯坦（1879～1955） 提出了狭义相对论，成为现代物理的开端。狭义相对论从根本上改变了我 们通常对空间和时间的看法，提出了一种新的时空观。
从经典力学看来，物体的长度和时间间隔跟物体运动的速度没有关
系，相对论却指明了它们跟速度的密切关系。相对论还指出，物体的质量 不是固定不变的，它随着物体运动速度的增大而增大。设 m0 为物体静止时
的质量，那么，物体以速度 v 运动时，它的质量 m 可以根据相对论力学的 公式计算出来。计算表明，当物体的运动速度 v 接近于光速 c 时，运动物 体的质量 m 远大于它的静止质量 m0.例如 v＝0.8c 时，m≈1.7m0；v＝0.95c 时，m≈3.1m0。这时，经典力学就不再适用了。当物体的运动速度 v 远小 于光速 c 时，虽然运动物体的质量 m 比它的静止质量 m0 要大，但相差甚微， 可以不予考虑，而认为运动物体的质量没有改变，经典力学仍旧适用。
　　实际上，太阳系里的一切宏观物体，如行星、卫星、人造飞船、地球 上的各种交通工具以及我们通常研究的物体，它们的速度都远小于光速， 都显示不出质量随速度而改变的现象。例如，地球的公转速度 v＝3×104 米／秒，以这个速度运动的物体，它的质量的改变大约只为静止质量的十 万万分之五，这样微小的变化实际上是无法观测出来的。这就是说，对于 太阳系里一切宏观物体的运动来说，经典力学已经足够准确了。
总之，处理低速运动问题时，经典力学是完全适用的；处理高速运动 问题时，必须用相对论力学。经典力学是相对论力学在低速时良好的近似。 经典力学是在研究宏观物体的基础上总结出来的规律。随着生产和科 学技术的发展，十九世纪末和二十世纪初以来，人们对物质世界的研究深 入到原子内部，发现电子、质子、中子等微观粒子，不仅具有粒子性，而

且具有波动性，它们的运动规律一般不能用牛顿运动定律来说明。二十世 纪初期，人们建立了量子力学。用来描述微观粒子的规律性。
　　经典力学只适用于解决物体的低速运动问题，不能用来处理高速运动 问题；经典力学只适用于宏观物体，一般不适用于微观粒子。这就是牛顿 定律的适用范围。
　　学习的过程也是积累知识和提高能力的过程。积累，不是机械的堆砌， 而是要使知识系统化。学得的知识越系统，就越便于掌握它们，越有利于 深化和提高。我们在学习过程的不同阶段，要注意及时总结，归纳提高。 既要巩固和深化知识，又要学到方法，提高能力。
本章小结 这一章我们复习了牛顿运动定律和力学中常见的三种力，并且着重学
习了如何运用牛顿运动定律解决动力学问题。
　　动力学问题有两类：一类是已知物体的受力情况，要求确定物体的运 动情况；一类是已知物体的运动情况，要求确定物体的受力情况。
　　在应用牛顿运动定律解决动力学问题时，首先要明确被研究的对象， 然后分析被研究对象的受力情况和运动情况，在此基础上应用牛顿运动定 律和适当的运动学公式列出方程，求得未知量。这里，正确分析物体受力 情况和运动情况是解决问题的关键。
（1）牛顿的三条运动定律，它们的内容是什么？它们告诉我们什么？
它们有什么重要意义？它们的适用范围是什么？
（2）解决动力学问题的基本思路和步骤是怎样的？你自己总结一下。
　　（3）力学中常见的是哪几种力，它们各有什么特点？在分析物体受力 情况时，要注意什么问题？你常出现什么错误，有什么心得？你自己总结 一下。
（4）在解连接体的问题时，在什么情况下，可以把它们看作一个整体
进行分析？在什么情况下，需要用隔离法把连接体中的各个物体隔离出 来，单独对它们进行分析？
（5）如果物体所受的绳的拉力或支持物的支持力是未知的，那么，就
本章学习中遇到的情况，你要根据什么规律来确定未知的拉力或支持力？
　　（6）物体对水平面的压力（或水平面对物体的支持力）是否总等于物 体所受的重力？在什么条件下二者相等？
　　（7）悬绳对物体的拉力是否总等于物体所受的重力？在什么条件下二 者相等？
　　（8）什么叫超重、失重和完全失重？物体处于超重和失重状态时，地 球对物体的重力是否仍存在，大小是否发生变化？
（9）静摩擦力 f 的大小因问题情况不同，取值范围是 0＜f≤fm。就本
章学习中遇到的情况，你要根据什么规律来确定静摩擦力的大小？

习题

（1）你能立即说出你对地球的引力大约是多大吗？你是怎样得出的？
（2）一辆原来静正的马车，马用力拉它。有人说马无论怎样也拉不动

车，因为马拉车，车也拉马。这两个力总是大小相等，方向相反，彼此平 衡的。车仍应停在原地不动。这个说法的错误在哪里？
　　（3）假如在某一时刻，地球突然停止自转，根据你学过的力学知识， 你设想一下会发生什么情况？
　　（4）质量为 10 千克的物体，沿倾角为 30°的斜面由静止匀加速下滑， 物体和斜面间的滑动摩擦系数为 0.25。在 2.0 秒内物体从斜面顶端下滑到 底端。物体的加速度是多大？斜面有多长？（g 取 10 米／秒 2）
　　（5）一个木箱沿着一个粗糙斜面匀加速下滑，初速度是零，经 5.0 秒 的时间滑下的路程是 10 米，斜面的倾角是 30°，求木箱和粗糙斜面间的 滑动摩擦系数。（g 取 10 米／秒 2）
（6）A、B 两个物体用细绳连接在一起，用竖直向上的力 F 将它们提起
（图 1－19）。细绳能承受的最大拉力为 100 牛，两个物体的质量分别为
mA＝4 千克，mB＝8 千克，要使绳子在提起物体时不被拉断，拉力 F 应在多
大范围内？（取 g＝10 米／秒 2）
　　（7）汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上发生滑动，汽车在滑动摩 擦力的作用下停止前进。一辆汽车以 50 千米／时的速度在水平公路上行 驶，发现前面 30 米处有意外情况，于是司机紧急刹车，这会不会发生事故？ 计算时需考虑到，司机从发现情况到肌肉动作操纵制动器，要有一个 短的时间——反应时间。设反应时间为 0.6 秒，轮胎与路面的滑动摩擦系
数μ＝0.7，g 取 10 米／秒 2。
（8）如图 1－20 在粗糙的水平面上放一三角形木块 a，若物体 b 在 a
的斜面上匀速下滑，则
A.a 保持静止，而且没有相对于水平面运动的趋势。 B.a 保持静止，但有相对于水平面向右运动的趋势。 C.a 保持静止，但有相对于水平面向左运动的趋势。
D.a 因未给出所需数据，无法对 a 是否运动或有无运动趋势作出判断。
（1990 年全国普通高等学校招生统一考试物理试题）
　　（9）有两个物体，质量为 m1 和 m2，m1 原来静止，m2 以速度 v0 向右运 动（图 1－21）。它们同时开始受到大小相等、方向与 v0 相同的恒力 F 的 作用，它们能不能在某一时刻达到相同的速度？分 m1＜m2，m1＝m2，m1＞m2 三种情况来讨论。
　　（10）1966 年曾在地球的上空完成了以牛顿第二定律为基础的测定质 量的实验。实验时，用双子星号宇宙飞船 m1 去接触正在轨道上运行的火箭
组 m2，接触以后，开动飞船尾部的推进器，使飞船和火箭组共同加速（图
1－22）。推进器的平均推力 F 等于 895 牛，推进器开动 7.0 秒钟，测出飞 船和火箭组的速度改变是 0.91 米／秒。已知双子星号宇宙飞船的质量 m1
＝3400 千克。求火箭组的质量 m2 是多大。
解：推进器的推力使宇宙飞船和火箭组产生的加速度
0.91米/ 秒
a ? ? 0.13米 /秒 2
7.0秒

根据牛顿第二定律得


F＝ma＝（ m ＋m ）a ，

所以
F 895
m2 ＝ －m1 ＝ 千克－3400千克＝3500千克。
a 0.13
实际上，火箭组的质量已经被独立地测出。实验的目的是要发展一种
技术，找出轨道中另一个国家的人造卫星的未知质量。事先已测出火箭组 的质量为 366O 千克，因而实验误差在 5％以内——正好在预期的误差范围 之内。

第二章 物体在重力作用下的运动


　　我们生活在地球上，经常遇到物体在重力作用下的运动，自由落体运 动是物体在重力作用下最简单的运动。把物体以某一初速度沿竖直方向向 上抛出去，物体先上升，然后下落，整个运动与自由落体不同，但轨迹仍 是直线。把物体水平或者斜向上方抛出去，物体运动的轨迹是一条抛物线。 同是在重力作用下运动，情况不同，有时做直线运动，有时做曲线运动。 物体在什么条件下做直线运动，在什么条件下做曲线运动？怎样描述 和研究曲线运动？怎样研究竖直向上抛出的物体的运动？又怎样研究水平
或斜向上方抛出的物体的运动？这些就是本章所要讲述的内容。


一、自由落体运动


这一节我们复习关于自由落体运动的知识。 物体只在重力作用下，从静止开始下落的运动，叫做自由落体运动 。
在有空气的空间里，当落下的高度比较小，下落的速度不是很大时，空气 阻力比重力小得多，可以忽略不计，物体的下落就可以看作是自由落体运 动。本章研究物体在重力作用下的运动，如不特别指明，都不计空气阻力。 实验表明，自由落体运动是初速度为零的匀加速运动。实验还表明， 不同的自由落体，它们的运动情况是相同的，跟自由落体的质量没有关系。 这就是说，在同一地点，一切物体在自由落体运动中的加速度都相同，这 个加速度叫做自由落体加速度。这个加速度是重力引起的，也叫重力加
速度。
　　根据牛顿第二定律，我们可以知道重力 G 跟质量 m、重力加速度 g 的关 系：
G＝mg。
　　根据匀变速直线运动的一般公式，我们可以写出自由落体运动的速度 公式和位移公式
v＝gt，
s＝ 1 gt 2 。
2
从这两个公式我们可以知道自由落体在任一时刻的速度和位置，因而
它们确定了自由落体的运动规律。
把物体以一定的初速度 v0 沿着竖直方向向下抛出（竖直下抛运动），
物体的运动规律是怎样的呢？跟自由落体的情况相同，物体也是在重力作 用下运动的，它的加速度仍是重力加速度 g；所不同的是，这时物体的运 动具有初速度 v0，并且，v0 的方向与 g 的方向相同。物体做初速度不为零 的匀加速直线运动。根据匀变速直线运动的一般公式，可以写出它的速度 和位移公式，请你自己将它们写出来：
v＝ ，
s＝ 。 实际上，无论是自由落体运动，竖直下抛运动，还是我们后面将要学
到的竖直上抛运动，它们的运动规律都是牛顿运动定律和匀变速直线运动

的一般公式的具体应用。牛顿运动定律同样适用于曲线运动，后面将要学 到的平抛和斜抛运动，我们可以把它们分解为两个直线运动，同样要用到 匀变速直线运动的一般公式。

滴水法测重力加速度
　　利用水滴下落可以测出重力加速度。调节水龙头，让水一滴一滴地流 出。在水龙头正下方放一个盘子，使水滴落到盘子上。要把盘子垫起来， 以便能清晰地听到水滴碰到盘子的响声。
　　细心地调整阀门，使第一个水滴碰到盘子的瞬间，第二个水滴正好从 阀门处开始下落。你一边听水滴碰盘子的响声，一边注视着阀门处的水滴， 就很容易做到这一点。这样调整好之后，水滴从阀门落到盘子经过的时间， 就正好等于相继滴下的两个水滴之间的时间间隔。
　　数出在半分钟或一分钟内滴下的水滴的数目，或者测出下落 50～100 个水滴经过的时间，就可以算出水滴下落的时间 t。用米尺量出水滴下落
的距离s。将t 、s值代入公式s＝ 1 gt 2 中，就可以计算出重力加速度g。
2

二、竖直上抛运动


　　将物体以某一初速度沿着竖直方向向上抛出去，物体所做的运动叫做 竖直上抛运动。竖直上抛的物体和自由落体一样，都是只在重力作用下运 动的，因而，它们的加速度都是重力加速度，只是自由落体的初速度为零， 而竖直上抛物体有竖直向上的初速度。
　　竖直上抛的物体在上升过程中，运动方向与加速度方向相反，速度越 来越小，物体做匀减速运动。当速度减小到零的时候，物体上升到最大高 度。然后由这个高度下落，做自由落体运动，运动方向与加速度方向相同， 速度越来越大。因此，竖直上抛运动的问题可以分两步进行计算，上升过 程用初速度不为零的匀变速运动公式来计算，下落过程用初速度为零的匀 变速运动公式来计算，这两个过程的加速度都是重力加速度 g。
　　【例题】竖直上抛物体的初速度是 42 米/秒，物体上升的最大高度是 多少？上升到最大高度用多长时间？由最大高度落回原地的速度是多大？ 用了多长时间？
分析：这个题目可以分上升和下落两个过程来解。
在上升过程中，物体做匀减速运动。取 v0 的方向为正方向。加速度是
重力加速度，方向竖直向下，所以取负值，即 a＝－g＝－9.8 米／秒 2。 题目给了初速度 v0，而物体上升到最大高度时 vt＝0，因此，利用公式
2 ? v2 ＝2as求出s，就得到最大高度；上升到最大高度所用的时间t ，
可以利用公式 vt＝v0＋at 求出。 在下落过程中，物体做初速度为零的匀加速运动。取运动方向即竖直
向下的方向为正方向，加速度是重力加速度，取正值，即 a＝g＝9.8 米／
秒 2。落回原地的位移值已由上升过程求出，落回原地时的速度 v，可
以利用公式v2 ＝2as求出；落回原地所需的时间t ，可以利用公式v ＝at
求出。
解：（1）上升过程：v0＝42 米／秒，vt＝0，a＝－g＝－9.8 米/秒 s。
2 2
根据根据v t －v 0 ＝2as得到
2 2

s＝ v 0 ＝
2g

(42米 /秒)
2 ? 9.8米/ 秒 2

＝90 米。

根据 vt＝v0＋at，当 t＝t1 时 vt＝0，由此得到

t ＝ v 0 ＝
1 g

42米 /秒 ＝4.3秒。
9.8米 /秒 2

（2）下落过程：s＝90 米，a＝g＝9.8 米/秒 2。
根据v2 ＝2as得到

vt ＝

2gs ＝

2 ? 9.8米/秒2

? 90米＝42米/ 秒。

根据 vt=at 得到



v t
t 2 ? g



42米 /秒
?
9.8 米/ 秒2



? 4.3秒 。

比较 t1 和 t2 可知，物体上升到最大高度所用的时间跟物体从这个高度

落回原地所用的时间相等；比较 v 和 v0 可以看出，物体落回原地的速度跟 抛出的初速度大小相等，但方向相反（图 2－1）。
请同学们思考这样一个问题。取物体上升过程中通过的某一点，那么
物体由这一点上升到最大高度所用的时间，跟物体由最大高度落到这一点 所用的时间，二者是否相等？物体上升时通过这一点的速度，跟下落时通 过这一点的速度，二者的大小是否相等？实际计算—下。

练习一


　　（1）竖直向上射出的箭，初速度是 35 米/秒，上升的最大高度是多大？ 从射出到落回原地一共用多长时间？落回原地的速度是多大？
　　（2）用一只停表可以简便地测出玩具手枪子弹射出的速度。让子弹从 枪口竖直向上射出，用停表测出子弹从射出枪口到落回原地经过的时间， 即可求出子弹射出的速度。你实际做一下，并求出结果来。
（3）竖直向上抛出的物体，初速度是 30 米/秒，经过 2.0 秒、3.0 秒、
4.0 秒，物体的位移分别是多大？通过的路程分别是多长？各秒末的速度 分别是多大？
（4）以 42 米/秒的初速度竖直向上抛出一个球，球的质量为 0.5 千克，
设运动过程中受到一个恒定的阻力，大小为 1 牛，它上升的最大高度是多 大？上升到最大高度用多长时间？由最大高度落回原地时的速度是多大？ 用了多长时间？把算出的结果和课文中的例题比较一下。

三、曲线运动 运动的合成


如果不是将物体竖直向上抛出，而是水平抛出（图 2-2），物体将沿曲 线运动。在必修课中我们学过，曲线运动中物体速度的方向是时刻改变的， 它在某一点（或某一时刻）的瞬时速度①方向，就是通过这一点的曲线的切 线的方向。曲线运动中速度的方向时刻在改变，所以曲线运动是变速运动。 物体做曲线运动的条件 物体在什么条件下做直线运动，在什么条件
下做曲线运动呢？ 当运动物体所受的合外力为零时，加速度为零，物体做匀速直线运动。
如果合外力不为零，它的方向又与物体速度的方向在同一直线上，物体就 做变速直线运动：合外力与速度方向相同时，加速度与速度方向也相同， 物体做加速运动；合外力与速度方向相反时，加速度与速度方向也相反， 物体做减速运动。无论是哪一种情况，物体速度的方向都不改变。要改变 物体速度的方向，使它做曲线运动，就需要合外力的方向与物体速度的方 向不在同一直线上。让我们来观察下面的实验。
　　一个在水平桌面上做直线运动的钢珠，如果从侧向给它一个拉力，它 的速度方向就会改变。不断对钢珠施加侧向的拉力，例如在钢珠运动的路 线旁边放一根条形磁铁，钢珠就不断偏离原来的速度方向，做曲线运动了
（图 2－3）。
　　可见，当运动物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一直线上 时，物体就做曲线运动。
我们知道，运动物体的加速度方向跟它所受合外力的方向相同。所以，
做曲线运动的物体，它的加速度的方向跟它的速度方向也不在同一直线 上。
运动的合成和分解 作为研究曲线运动的准备，我们讨论一下运动的
合成和分解。 轮船渡河的运动可以看作是由两个运动组成的。假如河水不流动，而
轮船在静水中沿 AB 方向行驶，那么经过一段时间轮船将从 A 点运动到 B
点（图 2－4）。假如轮船没有开动，而河水流动，那么轮船被河水冲向下 游，经过相同一段时间，轮船将从 A 点运动到 A＇点。现在轮船在流动的 河水中行驶，它同时参与上述两个运动，经过这段时间将从 A 点运动到 B＇ 点。轮船从 A 点到 B＇点的运动，就是上述两个分运动的合运动。
已知分运动的情况，可以知道合运动的情况。已知分运动在某段时间
内发生的位移，应用平行四边形定则就可以求出合运动在这段时间内的位 移；已知分运动在某一时刻的速度和加速度，应用平行四边形定则就可以 求出合运动在那一时刻的速度和加速度。例如，知道了轮船在静水中的速
度 v1 的大小和方向，以及河水流动的速度 v2 的大小和方向，就可以求出轮
船合运动的速度 v（图 2－5）。已知分运动求合运动，叫做运动的合成。 反过来，已知合运动的情况，也可以求出分运动的情况。已知合运动 求分运动，叫做运动的分解。例如，飞机以 300 千米/小时的速度斜向上飞 行，方向与水平面成 30°角。飞机斜向上飞行的运动可以看作是它在水平 方向和竖直方向两个分运动的合运动，如图 2－6 把合运动的速度 v 分解成


① 也就是即时速度，现根据全国自然科学名词审定委员会公布的《物理学名词》改为瞬时速度。

水平方向和竖直方向的分速度 vx 和 vy，它们就是这两个分运动的速度。
vx＝vcos30°＝26O 千米/小时，
vy＝vsin30°＝150 千米/小时。
　　在图 2－4 轮船渡河的例子中，由于轮船在 AB 方向是匀速行驶的，河 水在 AA＇方向是匀速流动的，轮船的两个分运动的速度矢量都是恒定的， 轮船的合运动的速度矢量也是恒定的，所以合运动是匀速直线运动。但一 般来说，两个直线运动的合运动，并不一定都是直线运动。在轮船渡河的 例子中，如果轮船在 AB 方向是加速行驶的，河水在 AA＇方向的流动是匀 速的，那么轮船的合运动就不是直线运动，而是曲线运动了（图 2-7）
　　一些常见的曲线运动往往可以分解为两个方向上的直线运动，分别研 究这两个方向上的受力情况和运动情况，就可以知道曲线运动的规律。这 是研究曲线运动的基本方法。下面我们将用这种方法来研究曲线运动。
　　作为特例，当两个分运动在同一直线上的时候，如果两个分运动的方 向相同，合位移的大小等于两个分位移的大小之和，方向跟分位移方向相 同；如果两个分运动的方向相反，合位移的大小等于两个分位移的大小之 差，方向跟数值大的那个分位移的方向相同。速度、加速度的情况与上述 位移的情况是相同的。
一个初速度为 v0 的匀加速直线运动，可以看作是在同一直线上的两个
直线运动的合运动：一个是速度为 v0 的匀速直线运动，另一个是初速度为
零的匀加速直线运动。合运动的位移 s 是这两个分运动的位移 s1＝v0t 和

s ＝ 1 之和，即 s＝s ＋s

＝v t＋

1 at 2

。合运动的速度v 是这两个分运动

2 1 2 0 2
的速 v1＝v0 和 v2＝at 之和，即 v＝v1＋v2＝v0＋at。
竖直上抛运动，则可以看作是一个初速度为 v0 的竖直向上的匀速直线
运动和自由落体运动的合运动。

练习二


　　（1）在由西向东行驶的炮艇上发炮，射击南岸或北岸上的目标。要击 中目标，射击方向应该直接对准目标，还是应该偏东一些或偏西一些？
（2）炮筒与水平方向成 60°角，炮弹从炮口射出时的速度是 800 米/
秒。这个速度在竖直方向和水平方向的分速度各是多大？
　　（3）降落伞在下落一定时间以后的运动是匀速的。没风的时候某跳伞 员着地的速度是 5.0 米/秒。现在有正东风，风速大小是 4.0 米/秒，跳伞 员将以多大的速度着地？这个速度的方向怎样？
（4）小汽艇在静水中的航行速度是 12 千米/时，当它在流速是 2 千米
/时的河水中向着垂直于河岸的方向航行时，合速度的大小和方向怎样？

四、平抛物体的运动


　　平抛物体的运动 将物体用一定的初速度沿水平方向抛出，物体受到 跟它的速度方向不在同一直线上的重力作用而做曲线运动。这样的曲线运 动叫做平抛运动。打一下桌上的小球，使它以一定的水平速度离开桌面， 观察小球离开桌面后的运动，我们就可以看到平抛运动的轨迹（图 2－8）。 平抛运动可以分解为水平方向和竖直方向上的两个分运动。在水平方 向（也就是在初速度方向）上物体不受力，物体由于惯性而做匀速直线运 动，速度等于平抛物体的初速度。在竖直方向上，物体受到重力的作用， 并且初速度为零，物体做自由落体运动。情况是不是这样呢？我们来看下
面的实验。
　　如图 2－9 所示，用小锤打击弹性金属片，A 球就向水平方向飞出，做 平抛运动。同时 B 球也被松开，做自由落体运动。实验表明，越用力打击 金属片，A 球的水平速度也越大，它在落地前飞出的水平距离就越远。但 是，无论 A 球的初速度大小如何，它总是与 B 球同时落地。这说明平抛运 动在竖直方向上是自由落体运动，水平方向速度的大小并不影响平抛物体 在竖直方向的运动。
我们还可以用闪光照相的方法更精细地研究平抛运动。彩图 5 是一幅
平抛物体与自由落体对比的闪光照片。可以看出，尽管两个球在水平方向 上的运动不同，但它们在竖直方向上的运动是相同的，即经过相等的时间， 落到相同的高度。仔细测量平抛出去的球在相等时间里前进的水平距离， 可以证明平抛运动的水平分运动是匀速的。
这样，我们就可以把比较复杂的平抛运动分解成两个简单的直线运
动，使问题的研究大大简化。
　　平抛运动的公式 既然平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运 动和竖直向下的自由落体运动，我们就可以分别算出平抛物体在任一时刻
t 的位置坐标 x 和 y。取水平方向为 x 轴，正方向与初速度 v0 的方向相同；
取竖直方向为 y 轴，正方向向下；取抛出点为坐标原点。加速度方向与 y 轴正方向相同，所以是正值，即 a＝g。物体在任何时刻 t 的位置坐标可以 由下面的公式求出：
x ? v0 t ，
y ? 1 gt 2 。
2
根据这两个公式求出任一时刻物体的位置，用平滑曲线把这些位置连起
来，就得到平抛运动的轨迹，这个轨迹是一条抛物线。
　　【例题】飞机在高出地面 0.81 千米的高度。以 2.5×102 千米/时的速 度水平飞行。为了使飞机上投下的炸弹落在指定的轰炸目标上，应该在离 轰炸目标的水平距离多远的地方投弹？
　　分析：从水平飞行的飞机上落下的炸弹做平抛运动（图 2－10）。在 炸弹开始下落到击中目标这段时间 t 内，炸弹在竖直方向的位移是
　　
y＝ 1 gt
2

2 ，在水平方向的位移是x ＝v t，这个位移就是炸弹开始下落的地

的地方到轰炸目标的水平距离。已知 v0＝2.5×102 千米/时＝0.069 千

米/ 秒，y ＝0.81千米，从公式y ＝ 1 gt 2 和x ＝v t 消去t ，解出 x，即可得到

2
所求的结果。
解：从y ＝ 1 gt 2 可以得到
2

t＝

把它代入 x＝v0t 中，得到
2y
x＝v0
g

0






2 y ，
g


＝0.069×


2 ? 0.81 千米
0.0098

＝0.90千米。
即应该在离轰炸目标的水平距离是 0.90 千米的地方投弹。 用尺测量玩具手枪子弹射出的速度 根据你学过的平抛运动的知识，用尺可以简便地测出玩具手枪子弹射
出的速度。
　　让子弹从高度为 h 的地方水平射出，用卷尺量出子弹落地处到射出处 的水平距离 l 和高度 h。如果子弹射出的速度是 v0，那么，
h＝ 1 gt 2 ，
2
　　　　　　　　　　　　l＝v0 t 。
由上面二式消去 t，得到子弹射出的速度：
g



实际做一做。

v0 ＝l 2h 。



练习三