2 ? 320
10


? 8( 秒)

在这 8 秒时间里，炸弹沿水平方向运动的距离 s2＝v2t，敌舰在同一方
向上运动的距离 s1＝v1t。由图 2－12 可以看出，飞机投弹时水平方向上“提
前”的距离应为：
s＝v2t—v1t＝（v2－v1）t
＝744（米）
　　在时间 t＝8 秒内，炸弹与飞机在水平方向上的运动情况相同，是匀速 运动，它们的水平运动距离都是 s2＝v2t＝840（米）。所以炸弹击中敌舰
时，飞机恰好从正上方通过。 从上面可以看出，就整体而言，水平方向上的运动与炸弹竖直方向上
的运动是彼此独立的。水平方向上是匀速运动的飞机和投下的炸弹追击匀 速运动的敌舰，所受的限制（也可以说是联系）是追击的时间
t＝ 2 h ，
g
它由竖直方向上的自由落体运动情况决定。 在运动的分解与合成中，两个分运动的独立性可以广泛地推广、应用。
下面的例题就说明了这个特性，并详细阐述利用这一特性分析、解决问题
的方法。
［例题 2］从倾角为θ的山坡上的 A 点，以水平初速度 V0 射出一颗炮
弹，落在山坡上的 B 点（图 3－13）。求：（1）炮弹从 A 到 B 共用多少时 间？A、B 之间的直线距离多大？（2）在炮弹飞行过程中，何时与山坡之 间的垂直距离最大？最大距离有多大？
［分析与解］可以把山坡看作是倾角为θ的斜面，计算中忽略山坡的
起伏对运算结果的影响。
　　（1）以 A 点为坐标原点，按图 2－13 所示建立直角坐标系。这样，炮 弹的运动可以看作是 ox 方向上的匀速运动（速度为 v0）与 oy 方向上初速
度为零、加速度为 g 的匀加速运动的合运动。设经时间 t 炮弹落在 B 点， 则 B 点的位置坐标为：
? x ? v0 t
?
? 1
y ? gt 2
? 2
由图可以看出：
1 2

y ? tg?, 即
x

gt
2
v 0 t


? tg?

由此可得炮弹从 A 到 B 所用的时间为：
t＝ 2v0 ·tgθ
g
A、B 之间的距离为：
2v2

AB ?

x2 ? y2

? 0 ? tg? / cos?
g

　　（2）按图 2－14 所示，将初速度 v0 和重力加速度 g 沿垂直于斜面（山 坡）的方向和平行于斜面的方向分别分解为 v1 和 v2，g1 和 g2。这样，炮弹 的平抛运动可以看作是下列两个方向上的分运动的合运动：在垂直于斜面 的方向上，是初速度为 v1＝v0sinθ、加速度为 g1＝－gcosθ的匀减速运 动；在平行于斜面的方向上，是初速度为 v2＝v0cosθ、加速度为 g2＝gsin θ的匀加速运动。
　　由此可知，当炮弹运动到与山坡之间的垂直距离最大的 C 点时，炮弹 在垂直于斜坡的方向上相对于斜坡的速度为零，所以由 A 到 C 所用时间为：
( v sin ?) v t
t' ? 0 ? 0 ? tg? ?
(g cos?) g 2
C 点到斜面的最大距离为：
(v0 sin ?) 2 v2
H ? CD ? ? 0 ? tg? ? sin ?
2(g cos?) 2g
从上面的计算可知：从 A 到 C 的时间与从 C 到 B 的时间相等，

v
均为t' ? 0 ,
g


tg? ?

t
但是，沿斜坡上的距离AD与DB是不相等的，
2

它们的大小分别为：
AD ? (v cos?)t' ? 1 (g sin ?) t' 2
0 2


? (v


cos?)(

v0 tg?) ?

1 v
(g sin ?)(


0 tg?)2

0 g 2 g


v 2
? 0 ? tg?(
2g
v 2


2 cos2 ? ? sin2 ?
)
cos ?

1

? 0 ? sin ?(
2g

DB ? AB ? AD


cos2 ?

? 1)

其中AB可以根据运动学公式s ? v 0 t ? 2 at

计算：

AB ? (v cos?) t ? 1 (g sin?)t 2
0 2


? (v 0

2 v
cos?)(
g


0 tg?) ?

1
(g sin ?)(
2

2 v 0 tg?) 2
g


2 v 2
? 0 ? tg?(
g
2 v 2


cos2 ? ? sin2 ?
)
cos?

? 0 tg? / cos ?
g
这里AB 的结果与前面（1）中计算的结果相同，但计算的方法不一样。 前面是根据炮弹的落点坐标（x，y），用解析几何的方法计算；这里是根 据炮弹沿斜面方向作初速度为 v0cosθ、加速度为 gsinθ的匀加速运动计 算所得。这样就可以求得 D、B 之间的距离：
　　
DB ? AB ? AD


2v2


sin ? v2


v2 sin ?

? 0 ? ? ( 0 sin ? ? 0 ? )

g

3v2

cos2 ? 2g
sin ? v2

2g cos2 ?

? 0 ? ? 0 ? sin ?
2g cos2 ? 2g

0 3

? ? sin ?(
2g


cos2 ?

? 1)

显然AD≠ DB;

且AD : DB≠1：3，

这是由于初速度为 v0cosθ≠0。
　　在分析、解决例题 2 的过程中，对炮弹的运动提出了两种不同的观点。 第一种观点认为炮弹的运动是：水平方向上速度为 v0 的匀速运动与竖直方 向上的自由落体运动的合运动。第二种观点认为炮弹的运动是：垂直于斜 面方向上初速度为 v0sinθ、加速度为 gcosθ的匀减速运动与沿斜面向 下、初速度为 v0cosθ、加速度为 gsinθ的匀加速运动的合运动。从表面 上看，第二种观点把平抛运动复杂化了。第一种观点是相对于地平面，第 二种观点则相对于斜坡，这两种观点都是分析研究同一个对象：平射出去 的炮弹在重力作用下的匀变速曲线运动。显然第一种观点具有直观，易被 理解、接受的优点。第二种观点从理解问题的角度来看，确实是把问题复 杂化了，但它提供了一种方法，这种方法使人们可以运用现有的物理知识 和数学知识顺利地解决问题。更重要的是应该理解第二种观点的理论依据 是矢量的分解与合成，分矢量与合矢量作用的等效性原理。等效性原理在 自然科学中被广泛采用，它既是一个重要的原理，也是一种有效的方法。 学习物理，要深刻理解等效性原理，逐步学会对具体的问题，特别是较复 杂的问题，从不同的角度提出不同的观点，从而寻找新的思路，探索新的 解题方法。
　　通常所讲的平抛运动，是物体在重力作用下的匀变速曲线运动，加速 度就是重力加速度 g。物理学中存在着大量的类似平抛的运动，如带电粒 子以初速度 v0 垂直于电场方向射入匀强电场中以后的运动等。这类运动与 平抛运动有着共同的特征：①有初速度 v0；②物体在运动过程中受与初速
度方向垂直的恒力作用，也就是运动过程中有垂直于初速度方向的恒定加 速度 a。它们都是匀变速曲线运动，轨迹都是抛物线。区别在于平抛运动 的加速度是重力产生的，是重力加速度；而类似平抛运动的加速度则可能 是浮力、电场力或浮力、电场力和重力的合力形成的。
［例题 3］一个探空气球，它在空气中受到的浮力是其重力的 1.5 倍。
由静止状态开始从地面释放，由于受到水平方向速度为 v0 的风的影响，气
球不能沿竖直方向直线上升。经观测，释放后 2 秒末气球的速度方向与水 平方向夹角为 45°。试求：当气球的高度 h＝30 米时，其速度大小和方向 如何？
　　［分析与解］取风速方向为 Ox 轴方向，竖直向上为 Oy 轴方向。则气 球沿水平方向（即 Ox 轴方向）作匀速运动，沿竖直向上方向（即 Oy 轴方 向）作初速度为零的匀加速运动，加速度为
　　
a＝0．5g≈5（米／秒 2）
则 2 秒末竖直方向上的分速度为： Vy＝at＝10（米／秒）
　　由于 2 秒末的速度方向与水平方向成 45°角，所以 2 秒末的水平分速 度为：
Vx＝Vytg45°＝Vy＝10（米／秒）
当高度为h＝30米时，由 h＝ 1 at 2
2

可以求得：
2h



2 ? 30

t＝ ?
a

? 2 3（秒）
5

这时气球的速度分量分别（图 2－15）为：
'
?? vx ? v x ? 10(米 / 秒)
?
?? vy ' ? at ? 10 3(米 / 秒)
这时速度的大小为：

'2 2

v′ = v x ? v' y

= 20（米 / 秒）

速度的方向与水平方向夹角为：
v'

θ = tg-1 (

)＝tg?1

3 = 60°

v x
[例题 4]在 Oxy 平面上，物体沿 Ox 轴的正方向作匀速直线运动，速度
为 v0；当物体进入 Oy 轴右边的区域（x≥0）时，物体受到与 Oy 轴正方向
相同的恒力作用，从而产生与 Oy 轴正方向同向的恒定加速度 a。求物体进 入受力区域后 t 秒时的位置与速度。
[分析与解]物体进入受力区域后，由于物体在 Ox 轴方向上不受力的作
用，Ox 轴方向上保持原有速度 v0 作匀速运动，在 Oy 轴方向上物体的加速
度为 a，所以物体的实际运动是：Ox 方向上的匀速运动与 Oy 方向上初速度 为零的匀加速运动的合运动，t 秒时物体的位置坐标（图 2-16）为：
x = v 0 t
1
y = at 2
2
t秒内物体的位移大小为：s = x 2 + y 2
位移的方向与x轴夹角a为：a = tg-1 ( y )
x
t 秒时物体的速度分量分别为：
v x = v 0
v y = at

2 2
速度的大小为：v = v x ? v y
v y
速度的方向与x轴之间的夹角θ为：θ = tg -1 ( )
v x


从t秒时物体的位置坐标：x = v 0 t，y =

1 2at 2 可以看出，


位置随时间而变化。消去共同的参变量 t，即可得物体运动轨道的方
程：

y = a x


（抛物线）

2v 0
　　例题 4 可以看作是类似平抛运动的共同模型。掌握上述分析方法很重 要。应该注意的是：t 秒内的位移方向与 t 秒末的速度方向是完全不同的 两个物理概念；t 秒内的位移大小与 t 秒内物体（沿抛物线轨道）通过的 路程也是不相同的。
　　
●思考与练习


　　1．在运动着的列车车厢里，一个乘客让手中的一个物体自由落下。试 问在下列三种情况中，车上的乘客和车外路边静止的观察者看到的落体运 动情况。（1）列车匀速行驶；（2）列车匀加速行驶；（3）列车匀减速行 驶。
　　2．河宽 400 米，小艇以 4 米／秒的速度将船头垂直指向对岸行驶。试 求水流速度在下列三种情况时，小艇过河所用时间且小艇在对岸何处靠 岸？（1）流速为零；（2）流速为 1 米／秒；（3）流速为 2 米／秒。
　　3．大客车在平直的公路上以 12 米／秒的速度向东匀速行驶，雨滴竖 直匀速下落，速度为 8 米／秒。问车中的乘客见到的雨滴速度大小和方向 如何？
　　4．长江中的轮船本身的速度是 6 米／秒，顺流而下，向正东航行，水 流速度为 2 米／秒。船上的乘客在甲板上以 3 米／秒的速度垂直于轮船航 行的方向，由北向南行走。求乘客相对于江岸的速度大小和方向。
5．在 45 米高的塔顶上，以 10 米／秒的速度水平抛出一块石子，不计
空气阻力，且 g=10 米／秒 2。求石子落地时的速度大小和方向。
　　6．飞机沿水平方向以 100 米／秒的速度匀速飞行。飞行中每隔 2 秒有 一个小物体从飞机上掉落下来（不计空气阻力对物体运动的影响）。当第 六个物体即将落下时，第一个物体恰好落到地面上。求该瞬间这六个物体 在空间的相对位置。
7．我海岸防空部队在发现一艘敌舰后，立即派出飞机前去拦击。我机
以 200 米／秒的速度在 500 米高处水平飞行，敌舰与飞机处在同一竖直平 面内。在下列情况中，为击中敌舰应在离目标多远处（水平距离）投弹？
（1）敌舰静止不动；（2）敌舰以 20 米／秒的速度在逃离；（3）敌舰以
20 米／秒的速度与我机相向航行（不计空气阻力，取 g=10 米秒 2）。
　　8．甲、乙两个同学在码头上向水面抛掷小石块。他们都沿同一水平方 向投掷，抛出点与水平面间的高度差为 11．25 米。已知甲抛出小石块的初 速度是 v1=12．5 米／秒，而乙抛出的小石块的落水点比甲抛出的小石块的
落水点远 3．75 米。求乙抛出小石块的初速度多大？
　　9．在第 8 题中，乙抛出的小石块落水时的速度多大？落水时速度的方 向如何？
10．正方形的光滑平板 abcd 的边长为 l，静止地斜放在水平桌面上，
与桌面成 30°夹角，ab 边和 cd 边水平。一个小球被以某一水平速度从 a 点沿 ab 抛出（图 2-17），小球恰好从 d 点离开平板。试求小球从 a 到 d 所用时间多长？小球从 a 点抛出时的初速度多大？

三、两个任意方向上运动的合成


　　两个任意方向上的运动，是指两条有任意夹角的直线上的运动。两个 任意方向上运动的合成问题，比互相垂直的方向上运动的合成问题要广泛 得多，而且一般也都比较复杂。这些问题可以归纳为匀速运动的合成、斜 抛与类斜抛问题以及相关运动中的合成问题三大类。
　　研究两个任意方向上运动的合成，最直接的方法是根据平行四边形法 则或矢量三角形法则，运用作图法并辅之以简单的计算。这种方法的最主 要优点是直观，数学计算不复杂。
　　
●匀速运动的合成问题


　　两个任意方向上匀速运动的合成问题很多。这里仅就运动中的人感觉 到的风向问题与过河问题举例，通过所举例题的分析与解的过程，阐述一 般的解题方法。
　　［例题 1］当人以 3 米／秒的速度向东跑时，他感到风是从正北方向 吹来的；当他以 6 米／秒的速度向东奔跑时，则感到风从东北方向吹来。 求风相对于地面的方向和速率。
　　［分析与解］空气流动形成风。如空气相对于地面不动，人在走动时， 便会感到有风迎面吹来，这时人感觉到的风向与人的运动方向相反，速率 与人运动的速度大小相同。
　　在有风的情况下，走动的人感觉到的风实际上是空气相对于人的运 动，所以我们可以假设人不动，即以人为参照物。
人向东走，以人为参照物，则转化为地面相对于人向西运动。 空气相对于地面运动，地面相对于人运动，则人感觉到的风便是空气
相对于人的运动。 可见，人感觉到的风，是空气相对于地面的运动和地面相对于人的运
动的合运动。
　　根据上述分析，题目所述内容可以表述为图 3-1 中的（甲）（乙）两 个矢量图。
由（甲）、（乙）两图可知，空气相对于地面的方向是指向东南的，

图中θ = 45°, 而速率v气对地 = 2? 人对地

= 3 2(米 / 秒)≈4．2(米 / 秒)

　　从图（乙）还可以看出，当人以 6 米／秒的速度向东奔跑时，他感觉 到的东北风的风速，比他以 3 米／秒的速度向东跑时感觉到的风速大，前
者是后者的 2 倍。
［例题 2］船在水中的速度为 v1，河中流水的速度为 v2，水向东流，
河宽为 d（图 3-2）。（1）若船头指向保持与河岸成θ角不变，船相对于 河岸的速度多大？船从南岸要用多少时间才能到达北岸？（2）θ角多大 时，过河所用的时间最短？最短时间多少？（3）θ角多大时，船恰好能在 正对岸靠岸？这样过河用多少时间。
［分析与解］以河岸为参照物，船参与了两个运动：相对于水的运动，
速度为 v1，方向与河岸夹θ角；与水一起向东运动，速度为 v2。则船相对
于河岸的速度是 v1、v2 的合速度：

2 2
v = v 1 ? v 2 ? 2 v1 v 2 cos ?
v 的方向与河岸夹角为 a，由图 3-2，根据正弦定理可知，

v1
sina

v
=
sin(180?-?)


，则得：

a = sin-1（ v 1 ·sinθ）
v
船到达对岸所用的时间为：
d d
t = vsina 或t = v sin?

d
（2 ）由t = v sin?


可知，当θ = 90°，

即船头保持与河岸垂直时，过河所用的时间最短：
d
t min = v
1
这时，船在正对岸下游 s 处靠岸：
v 2
s = v 2 t min = （ ）d
1
（3）要使船恰好能到达正对岸，则应使α=90°，
v v
即 1 sinθ = sin90° = 1，故sinθ = ，
v v 1
可见，船头应保持与河岸之间的夹角大小为：

2 2

θ = sin-1 ( v ) = sin-1 (
v 1

v 1 ? v 2
)
v 1

d d
这样过河所用的时间为：t = v 或t = v sin?
显然，要使船能在正对岸靠岸，必须θ＞90°，且 v1＞v2，否则不行。
［例题 3］甲、乙两人在静水中游泳时最大速度分别为 v1 和 v2。他们
分别从自西向东流的河的南岸和北岸的 A、B 点向对岸游去（图 3-3）。已
知 A、B 相距 s，A、B 连线与河岸夹θ角，水的流速为 v。两人同时、分别
从 A、B 点出发，问他们各自应向什么方向游，才能用最短的时间在河中某 处相遇？
这最短的时间是多少？
　　［分析与解］为了用最短的时间在河中某处相遇，显然他们均以最大 的速度 v1、v2 游动。
方法一：以河岸为参照物。甲、乙两人游动的方向也就是 v1、v2 的方
向，分别用它们与河岸垂直线的夹角α、β表示（图 3-3）。设经过时间 t
他们相遇，在这段时间里，他们两人在垂直于河岸方向上的位移大小分别
为 s1 和 s2，而在平行于河岸方向上的位移大小分别为 s’1 和 s2’。用正交分
解的方法可知：
?s1 = v1cosα·t
?
?s2 = v 2 cosβ·t
?s1 ′ = （v1sinα + v）t
?
?s2 ′ = （v 2 sinβ - v）t
甲、乙相遇，则应有：
?s1 + s2 = s·sinθ
?
?s1 ′ + s2 ′ = s·cosθ
即（v1cosα+v2cosβ）t=s·sinθ ①
（v1sinα+v2sinβ）t=s·cosθ ②
两式平方相加，可得：

[v12+v22+2v1v2cos（β-α）]t2=s2
s
t =
2 2
v 1 ? v 2 ? 2 v1 v 2 cos(? ? ?)
可见，只有当α=β，t 有最小值：
s

t min = v


1 ? v 2

　　将α=β代入①②两式，可得 ctgα=ctgβ=tgθ，即α=β=90°-θ， 这表明甲、乙均沿着连接 A、B 的直线向对方游时所用的时间最短。
　　甲、乙两人沿着连接 A、B 的直线向对方游时，如水静止，则他们将在 A、B 连线上的某点 O 相遇；若水以速度 v 流动时，他们将在 O 点下游的 O
′点相遇，而 OO′=vtmin。这种情况下，甲、乙的实际游泳路线分别是直
线 AO′与 BO′。 方法二：以河水为参照物。由于甲、乙两人在同一条河中游泳，在相
同的时间里，甲、乙均被水向下游冲去相同的距离 s=vt，所以可以不考虑 水流动的影响，而认为甲、乙都在静止的水中以各自最大的游速游动。要 在最短的时间里相遇，所以应沿着连接 A、B 的直线分别向对方游去，这样 所用的时间最短：
s

t min ? v


1 ? v 2

　　实际上在这段时间里，由于水流的作用，甲、乙均向下游漂移一段距 离：
v
s′ = vt min = v + v ·s
水不流动时甲、乙在 AB 上的 O 点相遇，水流动时他们在 O′点相遇， 甲、乙两人相对于河岸的实际路线分别为 AO′和 BO′（图 3-4）。 方法三：假设水不流动，乙也不游，则相当于甲以速度
v1 和速度 - v 2 的合速度 v12 从A向B游去（图3 - 5）。
由图 3-5 可以看出，只有当α=β=90°-θ时，
v1 与 - v 2 的合速度 v12 才有最大值，
这样，甲从 A 到 B 所用的时间才最短。v12 的最大值为 v1+v2，所以最
短的时间为：
s
t min = v + v
　　上述三种方法的根本区别在于参照物的选择，而计算方法的区别则是 非本质的区别。参照物的不同选择，代表了不同的物理思想，也就是分析 同一物理过程的不同物理模型。对物理过程的理解，都与特定的模型相联 系。对于运动学问题来讲，模型取决于参照物的选择，这反映了运动的相 对性特性。
　　
●斜抛问题与类似斜抛问题


对斜抛物体运动的理解，通常有两个模型。 模型一：斜抛物体的运动，是水平方向上速度为 v1=v0cosθ的匀速运
动与竖直方向上初速度为 v2=v0sinθ的竖直上抛运动的合运动（图 3-6）。 模型二：斜抛物体的运动是初速度方向上速度为 v0 的匀速直线运动与
竖直方向上自由落体运动的合运动（图 3-7）。 这两个模型的区别在于模型一把初速度 v0 正交分解为水平方向上的
v1 和竖直方向上的 v2，把斜抛运动看作是两个互相垂直的方向上的运动的
合运动。模型二对斜抛运动的描述更为直接。被斜抛的物体，若无重力作 用，将沿初速度的方向作匀速直线运动，1 秒末经过位置 A1、2 秒末经过 位置 A2、??实际上重力是存在的，所以 1 秒末斜抛物体的位置不在 A1， 而是在 A1 的正下方 B1，2 秒末的位置不在 A2，而是在 A2 的正下方 B2，??，

A B 、A B 、A B 、??的大小由自由落体公式 1 gt2
1 1 2 2 3 3 2
A3B3∶??=12∶22∶32??


决定，A1B1 ∶A2B2 ∶

　　模型一的最主要优点是与平面直角坐标系紧紧联系在一起，抛出点为 坐标原点，ox 轴沿水平方向，oy 轴竖直向上，这两根坐标轴的方向与该模 型的两个运动的方向一致。一般教科书均采用这个与坐标系结合的模型。 模型二直接体现了力学基本规律，特别是力的独立作用原理。利用这 个模型可以十分简便地解释一系列物理现象，分析说明一系列物理过程发 生的机理。这个模型把斜抛运动看作是夹角为 90°+θ的两个方向上运动 的合成，这两个方向与直角坐标没有直接的联系，所以在分析计算与斜抛
运动有关的问题时，往往采用模型一。
在图 3-6 所示的坐标系中，设斜抛物体抛出后 t 秒的位置坐标为 P（x，
y），根据模型一，可以写出轨迹的参数方程：
? x = v 0 cosθ·t
?

?
? y = v sinθ·t -

1 gt 2

? 0 2
消去共同的参变量 t，可得轨迹方程为：


y = -

g ·x 2 + tg?·x

2v 0 cos ?
这是抛物线方程。y=0 时，可得斜抛物体的水平射程 x：


0 = -

g
2v 2 cos2 ?

2

x 2 + tgθ·x

2

X = 2v 0 sin? cos? =
g

v 0 sin 2?
g

可知，当 2θ=90°，即θ=45°时，水平射程最大：
v 2

X max

? 0
g

将轨迹方程配成完全平方的形式，可得：


y = -


g （x -

v2 sin ? ? cos ?
）2

v2 sin2 ?
+

2v0 cos

? g 2g
v2 sin ? cos? X

可见，当x = 0 ?
g

时，y有最大值，
2

即斜抛物体能达到的最大高度为：
2 2
Y = v0 sin ?
2g
　　由射程公式 X=v02sin2θ/g 与 x=v0cosθ·T，可得斜抛物体的飞行时 间：
2v sin?
T = 0
g
与平抛运动一样，斜抛物体的运动也是匀变速运动。加速度为 g，在
△t 时间里，速度改变量的大小为 g△t，方向坚直向下。 在分析下列例题的过程中，我们将进一步阐述斜抛物体的运动特性。
任何一种解题方法，都来源于对运动特性的理解，也体现了对物理过程的 认识。只有对题目所述的物理过程有了充分的了解，对物理过程中物体运 动的特性、运动中所遵循的物理规律有了深刻的认识，才可能产生灵活多 变的解题方法。所以解题过程的重点是对题目的深入分析，而不是公式的 套用。
［例题 1］一个斜抛物体，某时刻的速度方向与水平方向夹角为α，
经时间 t，速度方向与水平方向的夹角变为β。如抛出时初始时刻的抛射 角为θ，求抛出时的初速度。
［分析与解］设初速度为 v0，斜抛物体在整个运动过程中，水平方向
上总是匀速运动，即速度的水平分量恒定不变，保持为 v||=v0cosθ。竖直
方向上是初速度为 v0sinθ的竖直上抛运动。又设某时刻抛体的速度为 v1，
经 t 秒速度为 v2。
（1）设 v1、v2 均斜向上（图 3-8），则在 t 秒内，竖直方向上速度改
变量为：△v=gt=v||tga-v||tgβ，


故得v|| =

gt
tga - tg?


，v0 =

gt
(tga - tg?)cos?

（2）如 v1 是抛体上升阶段某时刻的速度，v2 是抛体下降过程中的速
度，则 t 秒内竖直方向上速度改变量（图 3-9）为：
△v=gt=v||tga+v||tgβ


故得v|| =

gt
tga + tg?


，v0 =

gt
(tga + tg?)cos?

（3）如 v1、v2 均为抛体下降过程中的即时速度（图 3-10），则 t 秒
内速度改变量为：
△v=gt=v||tgβ-v||tgα


故得v|| =

gt
tg? ? tg?


，v0 =

gt
(tg? - tg?)cos?

　　［例题 2］某雷达站在某时刻发现一枚导弹正在向雷达站的方向飞 来，测得该时刻导弹的高度 h1=36000 米，水平距离 s1=45000 米；1 秒后导 弹的高度 h2=36045 米，水平距离 s2=44500 米。
　　设导弹无推动力，空气阻力不计，g 取 10 米／秒 2，求：（1）假设导 弹按抛物线（弹道）飞行，雷达站处在导弹的轨道面之中，求导弹的发射 点与雷达站之间的水平距离？（2）导弹轨道的最高点到地面的高度是多 少？（3）在发现导弹后 5 秒末，从雷达站发射一束激光恰好将导弹击毁， 求激光束瞄准的仰角多大？
　　［分析与解］方法一：由发现导弹时的位置 P（45000，36000）和 1 秒后的位置 M（44500，36045）可知，导弹处在轨道的上升阶段（图 3-11）， 根据抛体运动的规律和已知条件，可以推断导弹在被发现时（即 P 点）的 速度分量分别为：
　　
? s2
? vx =
?

? s1 = -500（米／秒）
t
1

? v = [（h - h ） +

gt 2 ]÷t = 50（米／秒）

y 2 1 2
设导弹发射时初速度的水平分量与竖直分量分别为 vox 和 voy，发射后
经 t0 秒被雷达发现，在 t0 秒内，观察导弹在竖直方向上的运动情况，可得：
? v y = v yo - gt 0
?

?
? h = v yo t 0 -
?

1 gt 2
2

代入已知量，得关于 t0 的一元二次方程：
t02+10t0-7200=0
（t0-80）（t0+90）=0
舍去负根，得 t0=80 秒，可知导弹发射点与雷达站的水平距离为：
D=vxt0+s1=500×80+45000
=85000（米）=85（千米）
（2）由 vy=vyo-gt0。可以求得导弹发射时初速度的竖直分量为
vyo=vy+gt0=50+10×80=850（米／秒），可见导弹轨道的最高点到地面的高
度为：
2
H = = 36125（米）
2g
（3）导弹被发现后 5 秒的位置坐标（图 3－11）为：
? x = D - v x （t 0 + 5） = 42500（米）
?

?
? y = v
?

yo （t 0 + 5） -

1 g（t + 5） 2 = 36125（米）
2

可见，激光束瞄准时的仰角为：
θ = tg-1 （ y ） = tg-1 （0.8488 ） = 40°19 ′
x
根据上面的分析，我们还可以求出导弹总的飞行时间为：

2voy
T =
g


= 175（秒）。

如导弹不被激光击毁，它的水平射程 X=vxT=85000（米）=D（85 千米），
雷达站将被摧毁。
　　方法二：在图 3-11 所示的坐标系中，坐标原点设在雷达站，导弹发射 点与雷达站相距 D，vox、voy 为导弹发射时初速度的水平分量与竖直分量，
则 t 秒时导弹的位置坐标为：
? x = D + vxo t
?
? 1
?? y = v yo t - 2 gt
设 t=t0 时导弹被雷达发现，这时导弹的位置为 P（45000，36000），
由此可得：
?45000 = v xo t 0 + D ①
?

?
?36045 = v t -

1 gt 2 ②

? yo 0 2 0
在 t=t0+1 时导弹的位置在 M（44500，36045），可得：
44500 = v xo （t 0 + 1） + D ③
1

36045 = vyo

（t 0 + 1） -

2 g（t 0 + 1） ④

由①、③两式解得：
vxo=-500（米／秒）
④式与②式相减，得 vyo=50+gt0；代入②式，得到关于 t0 的一元二次
方程，解此方程可知 t0=80（秒），这样由①式便可计算出导弹发射点与
雷达站的水平距离： D=45000-vxot0
=45000+500×80
=85000（米）
（2）将 t0=80（秒）代入②式，可知：
vyo=850（米／秒）
则导弹飞行中的最大高度为：
2
yo
H = = 36125（米）
2g
（3）发现导弹后经 5 秒，导弹的位置由①、②两式求得：
? x = 42500（米）
?
? y = 36125（米）
故激光束瞄准时的仰角为：
θ = tg ?1（ y ） = 40°19 ′
x
　　［例题 3］从空中某点 M 以相等的速率向各个不同的方向同时抛出若 干个物体。试证明在任何时刻，这些物体总是处在同一个球面上。并说明 球面的球心位置与球面的半径。
　　
　　[分析与解]从 M 点抛出去的物体，可能是竖直上抛，也可能是斜上抛、 平抛或斜下抛。为描述这些抛体的运动，我们以 M 点为坐标原点，竖直向 上为 y 轴，把 x 轴设在任意一个水平方向上（图 3-12），这样，只要我们 能证明在 oxy 平面内的抛体在任何时刻都处在同一个圆上，问题也就解决 了。因为我们只要把 oxy 平面绕 y 轴旋转一周，空间中的立体球面与平面 中的圆之间的联系便会一目了然。
　　设物体抛出时的初速度方向与水平轴夹角为θ，则时刻 t 抛体的位置 坐标分别为：
? x = v 0 cosθ·t
?

?
? y = v sinθ·t -

1 gt 2

? 0 2
1 2
设 v0t=a， 2 gt =b，在任意确定的时刻 t，a、b 也随之确定。将 a、b
代入，得

? x = acosθ
?
? y = asinθ - b

?x = acosθ
即 ?
?y + b = asinθ

　　这是以抛射角θ为参变量的圆参数方程，圆心的坐标为 O（0，-b）， 半径为 a。
由 b=gt 1 gt2 可知，圆心位置是变化的，它从 M 点开始，由静止出发
2
作自由落体运动。圆的半径 a=v0t 随时间逐渐增大。
　　例题 3 所述的现象，在节日焰火（烟花）中可以看得很清楚。从地面 上看去，五颜六色的发光点构成的一个圆面，实际上是分布在一个球面上。 由于焰火弹是斜射升空的，球面的球心实际上沿抛物线运动，而球面的半 径总是随时间而逐渐变大。
上述三个例题的解法是有区别的。例题 1 主要应用矢量分析与矢量
图；例题 2 是根据抛体在竖直方向上与水平方向上的运动特性，逐步分析 求解；例题 3 则是解析法的具体运用。共同点是这三种解法都是按模型一 理解斜抛运动的。
物理学中还常常遇到类似斜抛运动的问题，如带电粒子以初速度 v0 射
入匀强电场中，当初速度 v0 的方向与电场方向垂直时，带电粒子在电场中
的运动是类似平抛运动；如初速度 v0 的方向与电场方向不垂直，则带电粒
子进入电场后的运动就是类似斜抛运动。
　　[例题 4]质点在 oxy 平面中沿直线 y=tgθx，从第Ⅲ象限经坐标原点向 第Ⅰ象限以速度 v0 作匀速运动。通过坐标原点以后，物体即受恒力作用，
有与 oy 轴相反方向的恒定加速度 a。求质点通过 O 点后 t 秒时的位置和速 度。
[分析与解]如图 3-13，y=xtgθ是通过坐标原点、与 ox 轴夹角为θ的
直线。将初速度 v0 沿 ox 轴与 oy 轴分解，得分量：
?? vox = v0 cosθ
?
?? voy = vo sinθ
可见，质点在第Ⅰ象限与第Ⅳ象限里的运动，是 ox 方向上速度为 vox

的匀速运动与 oy 方向上初速度为 voy、加速度为 a 的匀减速运动的合运动。
t 秒时质点位置 P 的坐标（图 3-13）为：
? x = v 0 cosθ·t
?

?
? y = v sinθ·t -

1 at 2

? 0 2
质点在 P 点的速度分量为：
?? vx = vo cosθ
?
?? vy = v0 sinθ - at
v y
速度的方向与ox方向间的夹角为：a = tg?1 （ ）。
v x

●相关运动中的运动合成问题


　　相关运动，是指存在着某种联系的几个物体的运动。这里所讲的联系， 有直接联系与间接联系。码头上的人通过跨在岸边滑轮上的绳子，拉着小 船靠岸，在这过程中小船靠岸的速度与人拉着绳子沿水平地面走动的速度 之间的关系，是通过绳子联系的，是直接联系。斜靠在墙角处的直杆，当 杆子的下端沿水平地面滑动时，杆子的上端必然会沿墙壁向下滑行，由于 杆子的长度与形状都不变，杆子下端沿水平地面滑动的速度与杆子上端沿 墙壁向下滑行的速度，自然也是直接联系的。人追赶一部开动中的汽车， 猎犬追捕一只兔子，人与汽车、猎犬与兔子自然也有联系，但它们之间没 有特定的联系物（如绳子、杆子??），这种联系叫间接联系。
　　研究相关运动中不同物体的运动量（位移、速度、加速度、??）之 间的关系，显然是比较复杂、比较困难的，因为这种关系与联系方式和运 动的限制条件有关。这就需要我们根据运动量的矢量特性，根据实际的联 系情况与限制条件，选择合适的参照物，通过分析，找出正确的解题途径， 求得准确的答案。
[例题 1]人在码头上，通过跨在定滑轮上的绳子，拉着小船靠岸（图
3-14）。人拉着绳子沿水平方向走动的速度 v0 保持不变，人拉着的这段水
平绳子与水面相距 h。求小船与岸边相距 x 时，船靠岸的速度 v 多大？
　　[分析与解]方法一：人拉着绳子走动时，绳上各点的速率都相等，方 向与绳子的方向一致。
对滑轮以下的那段绳子来说，它的运动显然不是平动。这段绳子在船
靠岸的过程中与水面之间的夹角θ不断增大，因此这段绳子的运动，既有 与这段绳子的长度不断缩短相关的沿绳子方向上的运动，又有绕定滑轮 O 的转动。所以绳上各点的运动速度，是沿绳子方向上的速度 v0 和垂直于绳
的方向上的速度 v’的合速度（图 3-15）。可见，当小船与岸边相距 x 时， 绳端 A 点，即小船的靠岸速度为：


v ? v0 / cos? ? v0 ?

x2 ? h2
?
x

1 ? ( h ) 2
x


? v0

　　方法二：设小船与岸边相距 x 时靠岸的速度为 v，经过很短的一段时 间△t，小船运动到 B 点（图 3-16）。在△t 这段时间里，滑轮以下的那段 绳子由位置 AO 运动到 BO，这段绳子绕 O 点转过的角度为 a.在 AO 上取 C 点，使 CO=BO。由于△t 极短，a 很小，所以可以认为 BC 与 AO 垂直，三角
形 ABC 可以看作是直角三角形，故得
AC v ?t v x
? 0 ? 0 ? cos? ?

AB v?t v



h 2

x 2 ? h 2

由此可得：v = 1 + ( )
x

·v 0 。

　　上述两种方法的共同点是分析滑轮以下的那段绳子的变化情况。方法 一认为这段绳子既有沿绳子方向上的速度 v0，又有绕 O 点转动垂直于绳子 方向上的速度 v′，而小船的速度是 v0 与 v′的合速度。方法二则根据这
段绳子在极短的时间△t 内位置变化情况，推断三角形 ABC 为直角三角形，

找出小船靠岸的速度 v 与绳上各点沿绳子方向上的速度 v0 之间的关系，从 而求得答案。


从所得答案v = 1 + (

h
)2 ·v
x 0


可以看出，当小船与岸边相距很远，

即 x》h 时，v≈v0，小船靠岸的速度与人拉绳子的速度几乎相等。
　　[例题 2]同一平面中的两根直杆 a 和 b，夹角为θ，分别以垂直于自身 的速度 v1 和 v2 在同一平面中平动（图 3-17）。求这两根杆子交点 O 的速 度大小和方向。
[分析与解]方法一：设 b 杆不动、a 杆动，则交点 O 将沿 b 杆以速率
v1’运动（图 3-18）：v1’=v1/sinθ。
设 a 杆不动、b 杆动，则交点 O 将沿 a 杆以速率 v2′运动（图 3-18）：
v2′=v2／sin?
实际情况是 a、b 两杆同时运动，所以交点 O 的运动速度应是 v1′与
v2′的合速度 v：


v = v'2


? v'2


? 2v' v' cos?


2 2
v1 ? v 2 ? 2v1 v2 cos?
?
sin ?
应特别注意交点 O 的速度不是 v1、v2 的合速度，而是 v1′与 v2′的合
速度！
方法二：设某时刻两杆相交于 O，经过时间 t 两杆的交点为 O′（图 3
－19）。可见，两杆的交点是沿 OO′方向运动的。设交点的速率为 v，则：
OO' = vt。
　　从图 3－19 可以看出：OO′是 a、a′、b、b′构成的平行四边形的对 角线。根据题意及图示，可得：
OC = v1 t，OD = v2 t
OA = OC / sin? = v1 t / sin?
OB = OD / sin? = v2 t / sin?

OO' ?

OA2 ? OB2 ? 2OA ? OB cos ?


? ( v1t



) 2 ? (


v 2 t



) 2 ? 2(


v1t v2t
)(



) cos?

sin?

2 2

sin ?

sin ?

sin?

v1 ? v 2 ? 2v1 v2 cos?
? ? t
sin ?
2 2

即v =

v 1 ? v 2 ? 2v 1v 2 cos?
sin?

[例题 3]某时刻质点 A、B 处在直线 l 的两端，直线长为 l=15 米（图 3
－20）。质点 A 以速度 vA=4 米/秒沿直线 l 运动，质点 B 以速度 vB=3 米/
秒沿垂直于直线 l 的方向运动。求：何时 A、B 相距最近？最近距离多大？
　　[分析与解]方法一：取地面为参照物。经时间 t，A 运动到 A′，B 运 动到 B′，这时两个质点相距（图 3－21）为：
　　
2 2 2 2

s ? (l ? vA t)

? ( vB t) ?

(15 ? 4t)

? (3t)


? 25t 2 ? 120t ? 225

12
? 25(t ? ) 2 ? 81
5
12

可见，当t =

（秒） = 2.4（秒）时，两个质点相距最近，
5

最小距离为smin = 81（米） = 9 （米）。
方法二：分别以 A 或 B 为参照物，用相对速度求解。
（1）以 A 为参照物。即假设 A 不动，则 B 将作两个分运动：垂直 l
方向上的速率为 vB 的匀速运动；沿 l 方向由 B 向 A 速率为 vA 的匀速运动。
B 相对 A 的运动是这两个分运动的合运动（图 3－22），合速度的大小为：

2 2 2

v = v A ? v B

+ v B = 5（米 / 秒）

　　即质点 B 相对于 A 沿 BB′作匀速运动，速度为 v=5 米/秒。显然，只 有当质点 B 运动到 B′点，而 AB′⊥BB′，两个质点之间最近，最近距离 为：
　　

smin

= AB' = lsin? = l· v B
v

= 9 （米）

质点由 B 点到 B′点所用的时间为：

lcos?
t =
v

15 ? 0.8
=
5

（秒） = 2.4 （秒）

（2）以 B 点为参照物。即假设 B 不动，则 A 沿 l 以速度 vA 向 B 运动
的同时，还垂直于 l 以速度-vB 运动（图 3-23）。A 相对于 B 的速度是 vA、
-vB 的合速度。参考（1）的方法，可以求得相同的答案。
　　[例题 4]房间里离地面 H 高的 A 点有一盏灯，这盏灯可以看作是点光 源。一个小球以初速度 v0 从 A 点沿水平方向向墙壁垂直抛出，恰好落在墙
角 B 处（图 3－24）。试求：小球在墙壁上的影子是如何运动的？
[分析与解]刚抛出时小球的影子在墙上 F 点，且 AF 与墙壁垂直。时刻
t 小球处于位置 P 时，它的影子在墙上 P′处。可见，在时间 t 内，影子由
F 运动到 P′点，位移 s=FP′。由 P 作 AF 的垂线，垂足为 E，则直角三角
形 AEP 与直角三角形 AFP′相似；由相似三角形知识可得：

FP'
=
EP

AF ，即FP′ =
AE

AF ·EP
AE

式中FP′ = s，EP = 1 gt 2 ，AE = v t，AF = v

2 H ，

2 0 0 g
将各值代入上式并化简，即得：
Hg
s = ·t
2
Hg
式中 为常量。可见，小球的影子从 B 点开始向 F 作匀速运动，运
2


动速度 v=

Hg
恒定不变。
2

　　也许有人对上述结果不甚理解，平抛小球在竖直方向作自由落体运 动，它在墙壁上的影子怎么会作匀速运动呢？原来：小球不仅在竖直方向 上作自由落体运动，而且在水平方向上作匀速运动，并且小球恰好落在墙 角处。显然，如果小球没有水平方向上的匀速运动，小球也不是恰好落在 墙角处，影子的运动将完全不同。还应注意，本题所研究的是平抛出去的 小球与它在墙上影子的运动的相关性，这里的影子是点光源形成的，如果 是垂直于墙壁的平行光产生的影子，情况又将如何呢？
　　可见，在研究相关运动中不同物体的运动量之间的关系时，必须仔细 分析相关物体的联系方式和运动所受的限制条件。
[例题 5]长度为 l 的直杆斜靠在墙角处。某时刻起它在竖直平面里开
始滑动，当下端 B 与墙角相距 x 时，B 端沿水平方向的速度为 vB（图 3－
25）。求这时杆子的上端 A 沿墙壁向下滑动的速度（vA）多大？
　　[分析与解]当杆子在竖直平面里滑动时，B 端的速度沿水平方向，A 端的速度竖直向下。设 B 端与墙角相距 x 时，杆子与地面的夹角为? 。将 直杆两个端点的速度 vA、vB 沿杆子的方向和垂直于杆子的方向分解（见图
3－26）。由于杆子的长度保持不变，故杆子 A 端和 B 端沿杆子方向的分速 度应该相等，即：
v A sin? = v B cos?


由此可得v A = v B ·ctg? =

x
l 2 - x 2


·v B ，其中x < l。

　　在分析与解的过程中，我们应用了两个限制条件：①杆子的下端沿水 平方向滑动、上端竖直向下滑动；②杆子在滑动过程中长度不变，所以 A 端和 B 端沿杆子方向上的分速度相同。
读者可以将本题与例题 1 进行比较。例题 1 中我们分析滑轮以下那段
绳子的变化情况。这段绳子上端 O 的位置不变，绳子的下端 A 沿水平方向 运动。通过分析，我们得出两个重要的结论：①A 端相对于 O 的运动，既 有沿绳子方向的运动，又有垂直于绳子方向上的运动，A 点的运动是这两 个方向上分运动的合运动；②绳上各点沿绳子方向上的运动速度不变。就 是人牵引绳子的速度。
通过上述分析、比较，使我们进一步认识到：借助于模型和典型例题
的分析，是学好物理的有效方法，也是一条捷径。
[例题 6]汽车在平直的公路上以速度 v1=10 米/秒匀速行驶。在与公路
相距 d=50 米的 B 点，有一个人想乘上这部汽车，当这部汽车通过与 B 点相
距 l=200 米的 A 点（图 3－27）时，人即以速度 v2=3 米/秒沿某直线奔跑。
问：这个人应沿什么方向上的直线奔跑，在他到达公路时，才能恰好赶上 汽车，或赶在汽车之前到达公路上某处稍等片刻而乘上汽车？
　　[分析与解]这是平面上的追及问题，它比直线上的追及问题显然要复 杂得多。
　　解法一：设人沿直线 BC 奔跑，当他到达公路上的 C 点时，汽车也恰好 到达 C 点（图 3－28）。设直线 BC 与直线 BA 之间的夹角为 a。由已知条件 可知 AB 与公路之间夹角? 的正弦值为：
　　
d
sin? =
l


= 0.25。本题的任务就是求a角的大小。

设人从 B 到 C 用了时间 t，在同样的时间 t 里汽车从 A 运动到 C，则
AC=v1t，BC=v2t，在三角形 ABC 中应用正弦定律：

AC BC

v t v t

= ，即 1 = 2

sina

sin?
v

sin a
v

sin?
d

得sina = 1 sin? = 1 ?

≈0.8333

v 2 v 2 l
查表可得α有对应的两个解：
α1=56.5°，α2=123.5°
　　从图 3－28 可以看出，当α=56.5°时，人与汽车恰好在 C 点相遇；当 α=123.5°时，人与汽车恰好在 C′点相遇。可见，人要赶这部汽车，他 奔跑的方向与 BA 之间的夹角必须满足条件：56.5°≤α≤123.5°。
如上所述，α=56.5°与α=123.5°时，人恰好能赶上汽车；而 56.5
°＜α＜123.5°时，人赶到公路边可以稍等片刻后乘上汽车。 人从 B 到 C 恰好赶上汽车所用的时间为 t1，根据正弦定律：
sin?

BC = sin(180?-?

·l
- ?)

sin? =0.25，? ≈14.5°；sin（180°-a1-? ）=sin109°=0.9455；
l=200 米，代入上式得： BC≈52.9（米）。
由 BC=v2t1，可得：t1≈17.6（秒）。
根据同样的方法可以求得，人从 B 到 C′恰好赶上汽车应需时间
t2=24.9（秒）。
　　上面的解法是以地面为参照物，人与汽车都相对于地面在运动。如果 改变参照物，情况将如何呢？
解法二：以汽车为参照物。即假设汽车不动，则人应沿直线 BA、以速
度 v 向汽车奔跑，而 v 应该是 v2 与-v1 的合速度（见图 3－29 和 3－30）。
根据正弦定律：
v1 v 2 v 1

sin? ? sin ? ,

即sinα =
2

·sin? = 0.8333

得α1=56.5°（图 3－29）和α2=123.5°（图 3－30）。
上述两种方法都得到相同的结果：
sina = v 1 · d
v 2 l
从题目所给的条件：v1=10 米/秒，d=50 米，l=200 米来看，当人的运
动速度 v2=3 米/秒时，只要他的运动方向与 AB 间的夹角 a 满足关系式 56.5
°≤a≤123.5°时，他肯定可以赶上并乘上汽车。
如果人的奔跑速度 v2<2.5 米/秒，则 sina>1，本题无解。表明 v2<2.5
米时，人无论如何都赶不上汽车。
若 v2=2.5 米/秒，则 sina=1，a=90°，这时问题有唯一解：人必须沿
垂直于 AB 的方向奔跑，在 C″点与汽车相遇（图 3－31），这时 BC″

=ABtg? =51.7（米），人以 v2=2.5 米/秒从 B 跑到 C″需时间
51.7 米

t = 2.5米 / 秒

= 20.7 （秒）。

　　从解法二（假设汽车静止，以汽车为参照物）还可以看出，本题相当 于：已知一个分速度（-v1）的方向和大小，还知道另一个速度（v2）的大 小和合速度（v）的方向，求分速度 v2 的方向与合速度 v 的大小。显然， 这是一个比较复杂的问题。从上面分析与解的结果看，可能无解，可能有 唯一解，还可能有两个解。深入研究这个典型例题的解题方法，真正弄懂 由图 3－29、图 3－30 和图 3－31 所表示的解题结果，对任何一个初学物 理的人来说都是十分有益的。
　　
●思考与练习


　　1.已知河宽为 200 米，两岸平行，河中水流速度是 2 米/秒。一条小艇 相对于静水的速度是 4 米/秒，它要横渡这条河流，求：（1）如小艇的船 头始终垂直指向对岸，过河要用多少时间？小艇在何处靠岸？（2）若小艇 要到达正对岸，它应如何行驶？过河要用多少时间？
　　2.如题 1，如小艇将船头指向上游且与河岸成 30°夹角，小艇过河要 用多少时间？小艇在何处靠岸？
　　3.小轮船用 5 分钟时间横渡一条 600 米宽的大河，恰好靠上正对岸码 头。已知小轮船本身的速度是 4 米/秒。求小轮船船头的指向与河水的流 速。
　　4.汽车以 6 米/秒的速度向东匀速行驶，车上人看到的雨点竖直向下匀 速运动，并测得速度为 4 米/秒。求车停止后，车上的人看到的雨点的运动 方向和速度多大？
5.人骑自行车以速度 v1=15 千米/小时向正北方向行驶，行驶中他感到
风从正西方向吹来，风速 v=20 千米/小时。试求相对于地面的风速和方向。
6.汽车在平直的公路上以速度 v1=10 米/秒匀速行驶。在与公路相距
d=50 米的 B 点，有一个人想赶乘这部汽车。当汽车经过与人相距 l=200 米
的 A 点时（图 3－32），人即以 v2=4 米/秒的速度沿直线向公路奔跑追赶
汽车。问他向什么方向奔跑，追赶上汽车所需的时间最短？
　　7.河岸边的捕鲨站设在 A 点（图 3－33），当发现一条大鲨鱼平行于 海岸线向正北方向游动到捕鲨站东南方的 B 点时，即发射一枚鱼雷式的小 火箭去追杀它。已知鲨鱼游动的速度 v1=12 米/秒，小火箭沿水面以速度 v2=24 米/秒匀速前进。为了射中这条鲨鱼，小火箭应向什么方向发射？
8.一条走私船正以 v1=20 千米/小时的速度向北偏东 30°的方向逃
跑，当它通过 A 点时，在其正东 5 千米的 B 点我海岸截私快艇奉命前去追 截（图 3－34），快艇船速为 v2=25 千米/小时，若要在快艇航线上截住该 走私船，我快艇应按什么方向航行？
　　9.在第 8 题中，我截私快艇从 B 点算起，经多少时间，在其航线上截 住该走私船？
10.在平地上竖立一根直杆，从地面上某点，在该点与直杆所处的竖直
平面里斜抛一个物体，经△t 秒该物体恰好从直杆的顶端掠过，又经过 3
△t 秒落到地面上。不计空气阻力，求：（1）杆子的高度 h；（2）物体离 地面的最大高度 H。（3）物体的落地点到抛出点的距离是杆子到抛出点的 距离的几倍？
11.在倾斜角为 a 的山坡脚下，以仰角? 向山坡上发射一枚炮弹，炮弹
的初速度为 v0，不计空气阻力，求炮弹沿山坡上的射程 s。
12.假设水从消防龙头喷射出来的初速度相等。试求在喷射仰角分别为
60°、45°和 30°的情况下，喷出的水所能达到的最大高度之比和水平射 程之比。
　　13.如图 3－35 所示，A、B 是一条大河两岸的两个码头，相距 S=1200 米，两个码头的连线与水流方向夹角为 60°，水流的速度 v=1.9 米/秒。 今有小汽艇在 A、B 间作一次往返航行，不计汽艇掉头所需的时间，共需时
　　
间 5 分钟。已知小汽艇在 A、B 间航行时的实际航线均为连接 A、B 的直线。 求小汽艇本身的速度及航行时船头的指向？

参考答案

1.（l）15 米/秒，向北；（2）15 米/秒，向南。2.（l）相对静止；
（2）6 米/秒=21.6 千米/小时。3.24 分钟。4.8 秒。5.甲：17.5 米/秒； 乙：20 米/秒。6.45 秒。7.u=l 米/秒，n=70。8.n1=180，n2=135。9.t=1
秒。

10. h = 0 ? gt

v 2
。11.175米。12. h = 0 。13. 取g = 10米 / 秒2 。

2g 8 2g
（1）d≥1.25 米；（2）t=1 秒，v=0；（3）s=5 米，竖直向上。14.
（1）20 秒；（2）405 秒；（3）980 米。

（二）

1.（1）车上人看：自由落体；车外人看：朝列车运动方向的平抛运动。
（2）车上人看：向后，斜向下的匀加速直线运动；车外人看：朝列车运动 方向的平抛运动。（3）车上人看：向前，斜向下的匀加速直线运动；车外 人看：朝列车运动方向的平抛运动。2.（l）100 秒；正对岸；（2）100 秒，正对岸下游 100 米处；（3）100 秒，正对岸下游 200 米处。3.速率 v
≈14.4 米/秒，对竖直方向向西偏斜角约 56°。4.v=8.54 米/秒，向东偏
南 20.6°。5.v=31.6 米/秒，与水平方向的夹角 a≈71.6°。6.处在同一 条竖直直线上。第六个物体的高度，即飞机的高度为 500 米，第五、第四、 第三、第二个物体离地面的高度分别为 480 米、420 米、320 米、180 米， 第一个物体在地面上。7.（1）2000 米，（2）1800 米，（3）2200 米 8.v2=15
米/秒。9.21.2 米/秒，与水平方向夹角为 45°。


10. t = 2

l ；v
g 0

1
? gl 。
2



（三）


　　1.（1）50 秒，在正对岸下游 100 米处靠岸；（2）船头指向上游与河 岸成 60°角，57.8 秒。2.用 100 秒，在正对岸上游 146 米处靠岸。3.船头 指向上游与河岸成 30°角，3.46 米/秒。4.7.2 米/秒，对竖直方向向东偏
斜 56.3°。5.v2=25 千米/小时，风向东偏北 37°角。6.与 BD 成 37°角（见
图 3－32）的 BC 方向。7.向东偏南 24°19′。8.向北偏西 46°11′的方 向航行。9.10.7 分钟（642 秒）。
3

10. （l）h =

g（△t）2 ；（2）H = 2g（△t）2 ；
2

（3）4倍。11.s = 2v2 sin（? - a）cos? / gcos2 a。

12. H 60 ∶H 45∶H 30

= 3∶2∶1；s60 ∶s45 ∶s30 = 3∶2∶ 3。

　　13.船速 v=8.26 米/秒；无论从 A 到 B 还是从 B 到 A，船头均应指向上 游，对直线 AB 的偏角均为? =11°30′。（附：从 A 到 B，实际航速为 v1=9.05
米/秒，用时间 t1=132.6 秒；从 B 到 A 的实际航速为 v2=7.15 米/秒，需时

间 t2=167.8 秒。）